十一讲二元函数的微分与极值

二元函数可微极大值二阶偏导数摘要：I.引言- 介绍二元函数及其在数学中的重要性- 引入可微和极大值的概念- 提出问题：如何求解二元函数的极值？II.二元函数可微的定义- 定义二元函数的全微分- 说明全微分与二元函数可微的关系- 给出二元函数可微的充要条件III.二阶偏导数- 定义二阶偏导数- 说明二阶偏导数与函数的凹凸性之间的关系- 给出二阶偏导数的计算方法IV.求解二元函数极大值的方法- 利用一阶导数求解极值- 利用二阶偏导数判断极值的性质- 给出求解二元函数极大值的步骤V.结论- 总结求解二元函数极大值的方法- 强调二元函数可微和二阶偏导数在求解极值中的重要性正文：I.引言在数学中，二元函数被广泛应用于物理、工程和经济学等领域。

理解二元函数的性质对于解决实际问题是至关重要的。

本篇文章将介绍二元函数可微和极大值的概念，并探讨如何求解二元函数的极值。

II.二元函数可微的定义首先，我们需要了解二元函数可微的定义。

设函数f(x, y) 定义在区域D 上，如果存在一个二阶偏导数矩阵，使得对于任意点(x, y)∈D，有f(x, y) = f(x0, y0) + (x - x0, y - y0)·A(x0, y0) + (x - x0)·B(x0, y0) + (y - y0)·C(x0, y0) + ε(x, y)其中A(x0, y0), B(x0, y0), C(x0, y0) 是二阶偏导数矩阵，ε(x, y) 是高阶无穷小，那么我们称函数f(x, y) 在点(x0, y0) 处可微。

如果函数在某个区域内处处可微，则称该函数在该区域内可微。

III.二阶偏导数二阶偏导数是二元函数可微性质的重要指标。

设函数f(x, y) 在点(x0, y0) 处可微，那么我们可以得到二阶偏导数矩阵：f/x = B(x0, y0)f/y = C(x0, y0)f/xy = A(x0, y0)其中A(x0, y0), B(x0, y0), C(x0, y0) 是二阶偏导数矩阵。

二元函数求极限的微分法与导数应用在微积分中，求二元函数的极限是一个重要的概念，它可以帮助我们研究函数在某一点的变化趋势。

本文将介绍二元函数求极限时常用的微分法和导数应用，并通过实例来说明其具体操作方法。

一、二元函数的极限首先，我们需要了解二元函数的极限定义。

对于二元函数f(x,y)，当自变量(x,y)靠近某一点(a,b)时，如果函数值f(x,y)无论取何值，都趋向于同一个确定的常数L，那么我们称L为函数f(x,y)在点(a,b)的极限，记作：lim f(x,y) = L(x,y)→(a,b)二、求二元函数极限的微分法为了求二元函数的极限，我们可以借助微分法。

以下是两种常用的微分法：1.极坐标法：对于二元函数f(x,y)，我们可以将自变量(x,y)转换成极坐标形式(r,θ)，其中：x = rcosθy = rsinθ在极坐标形式下，我们可以求得极限。

具体步骤如下：（1）将函数f(x,y)用r和θ表示。

（2）对自变量r求极限lim f(r,θ)。

（3）若该极限存在，则我们求得了二元函数的极限。

2.换元法：对于二元函数f(x,y)，我们可以进行适当的变量替换，将其简化为一元函数。

具体步骤如下：（1）选取一个适当的替换，例如令u = g(x,y)。

（2）将函数f(x,y)替换为f(u)。

（3）对变量u求极限lim f(u)。

（4）若该极限存在，则我们求得了二元函数的极限。

三、导数应用在研究二元函数的性质时，导数是非常重要的工具。

以下是导数在二元函数中的应用：1.切线与法线：对于二元函数f(x,y)，在某一点P(x0,y0)处，切线的斜率等于函数在该点的导数值。

利用切线的斜率可以求得函数在该点的局部变化趋势。

而法线与切线垂直，其斜率等于切线的负倒数。

2.全微分：全微分是函数在某一点的近似变化值。

对于二元函数f(x,y)，其全微分df可以通过以下公式计算：df = (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy其中，(∂f/∂x)和(∂f/∂y)分别是函数f(x,y)对x和y的偏导数，dx和dy是自变量的微小增量。

二元函数的极值1.二元函数极值定义：某一个邻域内有定义，在设)0,0(),(y x y x z [])0,0(),(),0,0(),(y x z y x z y x z y x z ≥≤或若,)(),()0,0(值或极小的一个极大是则称y x z y x z 值点。

或极小的一个极大是称)(),()0,0(y x z y x ☆极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点。

2.极值的必要条件：)0,0()0,0(),(y x y x y x f z 有极值，且在在点若=两个一阶偏导数存在，则：0)0,0(0)0,0(='='y x y f y x x f ，的点使)0,0(0)0,0()0,0(1y x y x y f y x x f ='='的驻点。

称为),(y x f z =的必要条件，定理的结论是极值存在2而非充分条件。

例：122+-=xyz ⎩⎨⎧===+='=-='0000202y x y yz x x z 解出驻点1)0,0(=z 112),0(0,0>+=≠=yy z y x 时，当112)0,(0,0<+-==≠xx z y x 时，当∴驻点不一定是极值点。

3.极值的充分条件：的某个领域内在设：函数)0,0(),(y x y x f y =为驻点，有二阶偏导数，且)0,0(y x [])0,0()0,0(2)0,0(y x yy f y x xx f y x xy f p ''⋅''-''=若：⎩⎨⎧⇒>''⇒<''<为极小值。

时，为极大值。

时，且当：)0,0(0)0,0()0,0(0)0,0(0y x f y x xx f y x f y x xx f p 不是极值。

当：)0,0(,0y x f p ⇒>不能确定。

§10–7 二元函数的极值基础知识导学1. 二元函数的极值与驻点⑴ 极值与驻点①极值 设函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某个邻域内有定义，如果对在此邻域内除点),(000y x P 外的任意点),(y x P ，均有),(),(00y x f y x f <（或),(),(00y x f y x f >），则称点),(000y x P 为函数),(y x f z =的极大值点（或极小值点）.),(00y x f 称为极大值（或极小值），极大值点和极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值. ②驻点 使0),(,0),(==y x f y x f y x 同时成立的点),(y x 称为函数),(y x f z =的驻点.⑵ 极值存在的必要条件设函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某个邻域内有定义，且存在一阶偏导数，如果),(000y x P 是极值点，则必有 0),( ,0),(0000==y x f y x f y x .注意 可导函数的极值点必定为驻点，但是函数),(y x f z =的驻点却不一定是极值点. ⑶极值存在的充分条件设函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某个邻域内具有二阶连续偏导数，且),(000y x P 是驻点.设),(00y x f A xx =，),(00y x f B xy =,),(00y x f C yy =，则①当02<-AC B 时，点),(000y x P 是极值点，且当0<A 时，点),(000y x P 是极大值点；当0>A 时，点),(000y x P 是极小值点； ②当02>-AC B 时，点),(000y x P 不是极值点；③当02=-AC B 时，点),(000y x P 有可能是极值点也可能不是极值点.2．条件极值与拉格朗日乘数法⑴ 条件极值求多元函数的极值问题或最大值、最小值问题时，对自变量的取值往往要附加一定的约束条件，这类附有约束条件的极值问题，称为条件极值.⑵ 拉格朗日乘数法求函数),,(z y x f u =在满足约束条件0),,(=z y x ϕ下的条件极值，其常用方法是拉格朗日乘数法。

2．二元函数的极值与最值二元函数的极值与最值问题已成为近年考研的重点， 现对二元函数的极值与 最值的求法总结如下： 1．二元函数的无条件极值 (1) 二元函数的极值一定在 驻点 和不可导点 取得。

对于不可导点，难以判断 是否是极值点；对于驻点可用极值的充分条件判定。

(2)二元函数取得极值的 必要条件 ： 设 z f (x,y) 在点(x 0,y 0) 处可微分且在 点(x 0, y 0 )处有极值，则 f 'x (x 0,y 0) 0， f 'y (x 0, y 0) 0，即 (x 0,y 0) 是驻点。

(3) 二元函数取得极值的 充分条件 ：设 z f (x,y) 在(x 0,y 0) 的某个领域内有 连续上 二阶偏导数，且 f 'x (x 0,y 0) f 'y (x 0, y 0) 0 ，令 f'xx (x 0,y 0) A ， f'xy (x 0,y 0) B ， f 'yy (x 0,y 0) C ，则当B 2AC 0且 A<0 时， f ( x 0 , y 0 )为极大值； 当B 2 AC 0且 A>0， f ( x 0 , y 0 )为极小值； B 2 AC 0 时，(x 0, y 0) 不是极值点。

注意： 当 B 2－AC = 0时，函数 z = f (x, y)在点( x 0 , y 0 )可能有极值，也可能没有 极值，需另行讨论 例 1 求函数 z = x 3 + y 2－ 2xy 的极值． 【分析】可能极值点是两个一阶偏导数为零的点， 先求出一阶偏导， 再令其为零 确定极值点即可， 然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值， 【解】先求函数的一、二阶偏导数：并求出相应的极值 . 2z 2 z z 3x 2y ， 2y 2x ． 26x ,xy x2zxy2z2y 2再求函数的驻点．令 z= 0，x得方程组23x 2y 0, 2y 2x 0.22求得驻点(0，0)、( 2，2)．33利用定理 2 对驻点进行讨论：2．(1)对驻点(0, 0)，由于 A = 0, B =－2， C = 2，B 2－AC 0,故(0, 0)不是函数 z = f(x, y) 的极值点．(2)对驻点( 2，2)，由于 A =4, B =－2，C = 2,B 2－AC =－4 0, 且A 0,则 332 2 4 f ( 2，2) 4为函数的一个极小值．3 3 27例 2：( 2004数学一)设 z=z(x,y)是由 x 26xy 10 y 22yz z 218 0 确定的函 数，求 z z(x, y )的极值点和极值 .分析 】 本题把极值问题与隐函数求导方法相结合，计算量是比较大的。