当前位置：文档之家› 二元函数的极值问题

二元函数的极值问题

摘要

本文主要讨论了二元函数的极值问题，不仅介绍了二元函数极值方面的有关概念和定理，还给出了这些定理的证明，并举出了二元函数极值方面的几个理论问题，特别地对极值判别式进行了推广和求解条件极值的拉格朗日乘数法进行了一般化改进.本文以高教版数学分析教材为出发点，在讨论的过程中重温了书本上的定理，更对书中的定理进行升华，使定理能够更好解决实际问题，进而运用的更加广泛.

关键词:二元函数；极大值；极小值

Abstract

The extremum of function of two variables is expounded in this thesis. Not only are some relevant ideas and definitions are presented in this thesis, but also the relative proof to them. Furthermore, it exhibits several theoretical problems of the extremum of function of two variables as well. Particularly, it expands the discriminant of the extremum and generally improves Lagrangian Multiplier that is to find a minimum or a maximum of a function. On one hand, based on the teaching material of Advanced Mathematics, the thesis reviews the definitions in the textbook throughout the procedure of specification. On the other hand, it sublimates these definitions so that we can solve the practical issues better and use them more widely.

Key words：function of two variables；maximun value; minimum value

摘要 ........................................................................ I Abstract ................................................................... I I 目录 ...................................................................... I II 1引言.. (1)

2二元函数极值问题的相关概念 (1)

2.1二元函数定义 (1)

2.2二元函数及其极大极小值的定义 (2)

3二元函数的极值问题 (2)

3.1二元函数极值存在的必要条件 (2)

3.2二元函数极值存在的充分条件 (3)

3.3求二元函数极值的步骤 (5)

4特殊情况下二元函数极值 (6)

5条件极值问题 (8)

5.1代入法 (9)

5.2拉格朗日(Lagrange)乘数法 (9)

6总结 (13)

参考文献 (14)

函数极值问题是一个非常普通的数学问题，是经典微积分学最成功的应用，不仅在实际问题中占有重要地位，而且也是函数性态的一个重要特征.在一元函数中，可以利用函数的导数求得函数的极值，从而进一步解决一些有关最大，最小值应用问题.同样利用偏导数，也可以解决二元函数的极值问题.

2二元函数极值问题的相关概念

2.1二元函数定义

定义 1 设平面点集D 包含于2R ,若按照某对应法则f ,D 中每一点),(y x P 都有唯一确定的实数z 与之对应,则称f 为在D 上的二元函数.记作

,D :R f → （1）且称D 为f 的定义域；P 对应的z 为f 在点P 的函数值,记作

),(y x f z =或)(P f z =；

全体函数值的集合称为f 的值域,记作R f ⊂(D).通常还把P 的坐标x 与y 称为自变量，而把z 称为因变量.

当把D y x ∈),(和它所有的函数值),(y x f z =一起组成三维数据组()z y x ,,时，三维欧氏空间3R 中的点集

}{3)y ,(),,(|),,(R D x y x f z z y x S ⊂∈==

便是二元函数f 的图像.通常),(y x f z =的图象是一空间曲面，f 的定义域D 便是该曲面在xOy 平面上的投影.

为了方便起见，我们把(1)式所确定的二元函数也记作

),(y x f z =, D y x ∈),(,

或 )(P f z =，D P ∈,

且当它的定义域D 不会被误解的情况下，也简单的说“函数),(y x f z =”或“函数f ”.

2.2二元函数及其极大极小值的定义

定义 2 设函数f 在点),(000y x P 的某领域)(0P U 内有定义，若对于任何点)(),(0P U y x P ∈,成立不等式

)()(0P f P f ≥(或)()(0P f P f ≤)，

则称函数f 是在点0P 取得极小值（或极大值），点0P 称为f 的极小（极大）值点.极大值、极小值统称极值，极大值点、极小值点统称极值点.

注意：这里所讨论的极值点只限于定义域的内点.

例如，设2223),(y x y x f +=，221),(y x y x g --=，xy y x h 2),(=.由定义直接知道，坐标原点)0,0(是f 的极小值点，是g 的极大值点，但不是h 的极值点.这是因为对于任何点),(y x ,恒有0)0,0(),(=≥f y x f ；对任意{}1y x |x,y x,y 22≤+∈)()(，恒有1)0,0(),(=≤g y x g ;而对于函数h ，在原点的任意小邻域内，既含有使0),(>y x h 的第一、三象限中的点，又含有使0),(

由定义可见，若f 在点),(00y x 取得极值，刚当固定0y y =时，一元函数),(0y x f 必定在0x x =取得相同的极值.同理，一元函数),(0y x f 必定在0y y =也取得相同的极值. 那么一般情况下如何求二元函数的极值呢？仿照一元函数的极值的讨论，我们得到二元函数极值存在的必要条件如下.

3二元函数的极值问题

3.1二元函数极值存在的必要条件

定理 1 若函数f 在点),(000y x P 处存在偏导数，且函数在该点取得极值，则有0),(),(0000==y x f y x f y x .

证明因为点),(00y x 是函数),(y x f 的极值点，若固定),(y x f 中的变量0y y =，则),(0y x f z =是一个一元函数且在0x x =处取得极值，由一元函数极值的必要条件知0),(00=y x f x ，同理有0),(00=y x f y .

反之，凡是满足方程组

⎩⎨⎧==0

),(0),(y x f y x f y x 的点),(00y x 称为函数),(y x f z =的驻点．定理说明，只要函数),(y x f z =的两个偏导数存在，那么它的极值点一定是驻点，反过来，驻点是不是一定为极值点呢？

例如，函数22y x z +-=，在点()0,0处的两个偏导数为0，即()0,0是驻点，但在()0,0的任一邻域内函数既有正值也有负值，所以()0,0不是极值点，即驻点不一定是极值点.另外，极值点也可能是偏导数不存在的点.比如，上半锥面22y x z +=在点()0,0的偏导数不存在，但()0,0是函数的极小值点，函数极小值为0.

3.2二元函数极值存在的充分条件

判断二元函数),(y x f 在),(000y x P 取得极值的充分条件，我们假定函数f 有二阶连续偏导数，并记

0f p =⎢⎣⎡)()(00P f P f yx xx ⎥⎥⎦⎤)()(00xy P f P f yy =⎢⎣⎡yx xx f f 0

xy P yy f f ⎥⎥⎦⎤, 称它为f 在),(000y x P 的黑塞矩阵.

定义3 若函数f 在点),(000y x P 的某邻域)(0P U 具有直到1+n 阶的连续偏导数，则对)(0P U 内任一点),(00k y h x ++，存在相应的)1,0(∈θ，使得

).,()()!1(1),()(!1),()(!21),()(),(),(00100002000000k y h x f y k x h n y x f y

k x h n y x f y k x h y x f y

k x h y x f k y h x f n n θθ++∂∂+∂∂++∂∂+∂∂+⋯+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+=+++ (2)式称为二元函数f 在点0P 的泰勒公式，其中

i m i i m i m

m i i m m k h y x f y x C y x f y k x h --=∂∂∂=∂∂+∂∂∑),(),()(000

00. 定理2 （极值充分条件）设二元函数f 在点),(000y x P 的某邻域)(0P U 具有二阶连续偏

（2）

导数，且0P 为f 的稳定点，则当)(0P H f 为正定矩阵时，此函数f 在0P 有极小值；当)(0P H f 为负定矩阵时，在0P 有极大值；当)(0P H f 为不定矩阵时，在0P 不取极值. 证明由f 在0P 的二阶泰勒公式，并注意到条件0)()(00==P f P f y x ，有

)(),)((),(2

1),(),(22000y x y x P H y x y x f y x f T f ∆+∆ο+∆∆∆∆=-. 由于)(0P H f 正定，所以对任何)0,0(),(≠∆∆y x 恒使二次型

0),)((),(),(0>∆∆∆∆=∆∆T f y x P H y x y x Q .

因此存在一个与y x ∆∆,无关的正数q ，使得)(2),(22y x q y x Q ∆+∆≥∆∆.则对于充分小的0()U P 只要),(y x ∈0()U P ，就有

0))1()(,()(),(),(),(22222200≥ο+∆∆=∆+∆ο+∆∆≥-q y x y x y x q y x f y x f ，

即f 在),(000y x P 取极小值.

同理可证)(0P H f 为负定矩阵时，f 在),(000y x P 取极大值.

最后，当)(0P H f 不定时，f 在0P 不取极值.假设f 取极值（因为不失一般性，所以我们不妨设为取极大值），对任何过0P 的直线

x t x x ∆+=0，y t y y ∆+=0，

)(),(),(00t y t y x t x f y x f φ=∆+∆+=在0t 也取极大值.由一元函数取极值的充分条件，0)0(>''φ是不可能的（否则φ在0t 将取极小值）

，故0)0(≤''φ.而又有 y x yf xf t ∆+∆=φ')(，

22)(2)()(y f yf x x f t yy xy xx ∆+∆∆+∆=φ''，

T f y x P H y x ),)((),()0(0∆∆∆∆=''φ，

这表明)(0P H f 为负半定的.

同理，f 倘若取极小值，则将导致)(0P H f 为正半定.也就是说，当f 在0P 取极值时，)(0P H f 必须是正半定或负半定，但这与)(0P H f 不定相矛盾.证毕.

若函数f 如定理2所设，设0P 是f 的稳定点，则我们可以将定理2写成如下比较实用

的形式：

①当0)(0>P f xx ，0))((02>-P f f f xy yy xx 时，f 在点0P 取得极小值； ②当0)(0

-P f f f xy yy xx 时，f 在点0P 取得极大值； ③当0))((02<-P f f f xy yy xx 时，f 在点0P 不能取得极值；

④当0))((02=-P f f f xy yy xx 时，不能肯定f 在点0P 是否取得极值.

3.3求二元函数极值的步骤

第一步，首先求出偏导数x f ，y f ，xx f ，yy f ，xy f ；

第二步，然后解方程组

⎩⎨⎧==00y

x f f 求出驻点P ；

第三步，求出二元函数在驻点P 处)(P f xx 、)(P f yy 、)(P f xy 的值及))((2P f f f xy yy xx -的

符号，再根据定理2判定出极值点；

第四步，求出二元函数的极大值或者极小值.

例1 求)

,(y x f y x y xy x +-+-222的极值点.

解由方程组 ⎩⎨⎧=+-==--=012022x y f y x f y

x 得f 的稳定点为)0,1(0P ，由于

02)(0>=P f xx ,

2)(0=P f yy ,

1)(0-=P f xy ，

03))((02

>=-P f f f xy yy xx ,

故f 在0P 取极小值1)0,1(-=f .又因为f 处处可微，所以0P 为f 的惟一极值点.

例2 求xy y x z 333-+=的极值.

解由方程组

⎪⎩⎪⎨⎧=-==-=0

3303322x y f y x f y x 得f 的稳定点为)1,1(1P 、)0,0(2P ，由于x f xx 6=、y f yy 6=、3-=xy f ，所以

027))((12

>=-P f f f xy yy xx .

故f 在1P 取极小值1)1,1(-=f .

又因为 09))((22

<-=-P f f f xy yy xx ，

所以2P 不是f 的极值点.

例3 讨论),(y x f =62+-xy y 是否存在极值点.

解由方程组 ⎩⎨⎧=-==-=020x y f y f y

x 得稳定点为原点)0,0(0P .又01))((02<-=-P f f f xy yy xx ,故原点不是f 的极值点.又因为f 在定义域内处处存在偏导数，所以f 没有极值点.

例4 讨论)2)((),(22y x y x y x f --=在原点是否取得极值.

解容易验证原点为其稳定点，但在原点02=-xy yy xx f f f ,所以无法判定f 在原点是否取得极值.

但是，我们又很容易发现，当222y x y <<时，)

,(y x f 0；当22y x >或2y x <时，),(y x f 0.所以函数f 不可能在原点取得极值.

4特殊情况下二元函数极值

对于一个二元函数来说，当),(000y x P 为稳定点，判别式0))((02

≠-=P f f f M xy yy xx 时，可以判定f 在点0P 取得极小值、极大值或不能取得极值.但是，在判别式为零的时候，就没有肯定的答案了，下面我们就来讨论一下判别式为零时的情形.

根据极值的定义可知，要判定),(000y x P 是否为极值点，只要判定),(y x P 在),(000y x P 的某邻域0()U P 内变化时，),(),(00y x f y x f f -=∆是否保持定号，并由此来判断.假设f 的

所有二阶偏导数连续，则可以利用泰勒公式来讨论f ∆的符号.

定理3 设点),(000y x P 是二元函数),(y x f 的稳定点，0===xy yy xx f f f ，若),(y x f 在0P 的某邻域内具有三阶连续偏导数，且至少有一个不为零时，则f 在0P 无极值.

证明由所给的泰勒展开式有

),(),(][61),(),(3300300y x y x f y

f k x f h y x f y x f ∆+∆ο+∂∂-∂∂=- 其中00,y y k x x h -=-=，而)(33y x ∆+∆ο为当),(),(00y x y x →时f 的无穷小量.所以，对于0P 的充分小的邻域0()U P ，只要当)(),(0P U y x ∈时，就能保证

),(][61003y x f y

f k x f h ∂∂-∂∂与),(),(00y x f y x f - 同号.这是因为

),(][61003y x f y

f k x f h ∂∂-∂∂ ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂+∂∂∂+∂∂=30033200322003230033),(),(3),(3),(61y y x f k y x y x f hk y x y x f k h x y x f h ，若),(y x f 在0P 的某邻域内三阶连续偏导数至少有一个不为零，即

0),(),(),(),(2

3003220032200323003≠⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂y y x f y x y x f y x y x f x y x f ，我们来分情况讨论

1若0)(033≠∂∂P x

f 时，取00,y y x x h =-=，则当0x x >时，0>h 则03>h ；

当0x x <时，0

0h ；从而)(0333P x f h ∂∂的符号是不确定的.即当0)(033≠∂∂P x

f 时，f 在0P 无极值. 2若0)(033≠∂∂P y

f 时，取00,y y k x x -==，同理可得f 在0P 无极值.

3若0)(033=∂∂P x f ，0)(033=∂∂P y f ，则

0)(023≠∂∂∂P y x f ，或0)(023≠∂∂∂P y

x f

.不妨设0)(02

3≠∂∂∂P y

x f

，此时 ]),()

,([21),(),(2

003200300y x y x f k y x y x f h y x f y x f ∂∂∂+∂∂∂=-，

取0>k 充分小,使得2

0032003)

,(),(y

x y x f k y x y x f h ∂∂∂>∂∂∂，则),(),(00y x f y x f -的符号是由y

x y x f k h ∂∂∂2

0032

)

,(决定.从而k 取正负号时导致),(),(00y x f y x f -在),(00y x 的任意小邻域可取正可取负.因此，),(),(00y x f y x f -的符号不确定.即当0)(033=∂∂P x f ，0)(033=∂∂P y

，

而0)(02

3≠∂∂∂P y x f 时，f 在0P 无极值.在0)(023≠∂∂∂P y

x f

时，同理可得f 在0P 无极值. 综上，定理得证.

例5 讨论函数323532),(y xy x y x f +-=在原点是否有极值.

解函数),(y x f 在原点处的一，二阶偏导数0=====yy xy xx y x f f f f f ，而

0123≠=x f ，由定理3可得，函数),(y x f 在原点不取极值.

5条件极值问题

在大量二元函数取极值的问题中，有一类问题是经常碰到的，即所谓求函数“条件极值”的问题.例如，要设计一个容量为V 的长方形开口容器，那么，当容器的长，宽，高各等于多少时，其表面积最小？

为了解决上面这个问题，我们不妨设容器的长、宽、高分别为c b a 、、,则该容器表的面积为

ac bc ab c b a S 22),,(++=.

由此不难看出，上述表面积函数S 的自变量c b a 、、,不仅要符合定义域的要求

0,0,0>>>c b a ，

而且还须满足条件abc V =.像上面这类附有约束条件的极值问题，称为条件极值问题（不带约束条件的极值问题不妨称为无条件极值问题）.

一般地，求二元函数的条件极值，在讨论二元函数),(y x f z =在约束条件0),(=y x g 下

的极值问题时，我们主要使用下面两个方法.

5.1代入法

在约束条件0),(=y x g 中，如果能解x (或y ), 即)(y x ϕ=(或)(x y ϕ=),将它代入),(y x f z =中，那么)),((y y f z ϕ=（或))(,(x x f z ϕ=）

，这样就把二元函数),(y x f z =在约束条件0),(=y x g 下的极值问题，转化为求一元函数)),((y y f z ϕ=（或))(,(x x f z ϕ=）的极值问题了，而一元函数的极值问题已经在微积分中得到圆满解决.

例5 求xy z =在约束条件1=+y x 的极值.

解由约束条件x y -=1代入z 中，得到2)1(x x x x z -=-=，

令021x =-='x z ，解得21

x ，又因为02xx

<-=''z ，所以2

=x 为极大值点. 故函数z 的极大值为4

)21,21(=z .

5.2拉格朗日(Lagrange)乘数法

在某些情况下，要想在约束条件0),(=y x g 中解出x (或y )不总是可能的,下面我们介绍一种不直接依赖消元而求解条件极值问题的有效方法:

(1)引入辅助变量λ和辅助函数

),(),(),,(y x g y x f y x L λλ+=；

（2）求出),,(λy x L 对λ,,y x 的一阶偏导数，并令它们都为零，然后联立组成方程组即：

⎪

⎩⎪

⎨⎧===+==+=0

),(),,(0),(),(),,(0

),(),(),,(y x g y x L y x g y x f y x L y x g y x f y x L y y y x x x λλλλλλ 解上面这个方程组，得出解),(i i y x )2,1(⋯⋯=i ，都是),(y x f z =在约束条件0),(=y x g 下的驻点，这是因为由(3)和(4)得

),(),()

,(),(y x g y x f y x g y x f y

y x x '-=''-='λλ

由(6)和(7)得

(3) (4) (5)

(6)

(7)

,(),()

,(),(='''-'y x g y x g y x f y x f y x y x 再由(5)得

0),(),(=''+'x y x y y x g y x g

所以有

)

,(),(y x g y x g y y x x ''-

=' 于是

0),(),(=''+'x y x y y x f y x f

这样我们就容易得到

0),(),(=''+'='x y x x y y x f y x f z

所以说),(i i y x )2,1(⋯⋯=i 都是),(y x f z =在约束条件0),(=y x g 下的驻点.这里需要说明一点，如果在实际问题中，能判定函数),(y x f z =在约束条件0),(=y x g 下只有一个极大值或极小值，并且上面的方程组也只有惟一的解),(00y x ，那么点),(00y x 就是极大值或极小值.当然,在不能判定的情况下，我们还要继续下面的步骤；

（3）为了判断),(i i y x )2,1(⋯⋯=i 是否是极值点，我们设),(y x f z =有连续的一阶、二阶偏导数，y 对x 的一阶、二阶导数存在，那么

xx y x x yy yx xy xx xx y y x f y y y x f y x f y x f y x f z '''+''''+''+''+''=''),(]),(),(),([),(

由一元函数极值的第二判别法得

①当0),(<''i i xx y x z 时，),(y x f z =在约束条件0),(=y x g 下有极大值),(i i y x f z =； ②当0),(>''i i xx y x z 时，),(y x f z =在约束条件0),(=y x g 下有极小值),(i i y x f z =.

上面这种方法就是拉格朗日乘数法，辅助函数L 称为拉格朗日函数，辅助变量λ称为拉格朗日乘数.这个方法虽然看起来很烦琐，但是它很好的解决了代入法的不足之处，在解决二元函数条件极值问题方面应用非常广泛.现在我们就用拉格朗日乘数法来重新求

xy z =在约束条件1=+y x 的极值.

引入辅助变量λ和辅助函数

)1(),(),(),,(-++=+=y x xy y x g y x f y x L λλλ；

然后求出),,(λy x L 对λ,,y x 的一阶偏导数，并令它们都为零组成方程组,即

⎪

⎩⎪

⎨⎧=-+=+==+=0

10),,(0),,(y y x x y x L y y x L x λλλλ 解方程组得唯一驻点)21

,21(，由于当±∞→x 时，∞→ y ，故-∞→=xy z ，则函数z 必

在此处取得极大值41)21,21(=z .当然，我们还可以用步骤三去判断)21

,21(是否是极值点.很

容易求得y y x f x ='),(、x y x f y ='),(、0),(=''y x f xx

、1),(),(=''=''y x f y x f yx xy 、0),(=''y x f yy 、1-='x y 、0=''xx y ，所以，

02),(]),(),(),([),()2

,21(<-='''+''''+''+''+''=''xx y x x yy yx xy xx xx y y x f y y y x f y x f y x f y x f z ，故xy z =在点)21,21(取得极大值4

)21,21(=z .

例6 求函数y x y x f z +==),(在条件222=+y x 下的极值.

解引入辅助变量λ和辅助函数

)2(),,(22-+++=y x y x y x L λλ

求出),,(λy x L 对λ,,y x 的一阶偏导数，并令它们都为零组成方程组,即

⎪⎩⎪

⎨⎧=+=+==+=2

021),,(0

21),,(2

2y x y y x L x y x L y x λλλλ 解方程组得到两个驻点()11，和()11--，.又有， 1),(),(='='y x f y x f y x ,

0),(),(=''=''y x f y x f yy xx

,0),(),(=''=''y x f y x f yx xy ,y

y x -

=',3

3222

y x y y y

x x y y

y x y y x

xx -=+-=+-='--=''，所以， 02),(]),(),(),([),()1,1(<-='''+''''+''+''+''=''xx y x x yy yx xy xx xx y y x f y y y x f y x f y x f y x f z

那么，函数),(y x f z =在点()11，

取得极大值2)1,1(=z ；又因为

02),(]),(),(),([),()1,1(>='''+''''+''+''+''=--''xx y x x yy yx xy xx xx y y x f y y y x f y x f y x f y x f z

那么，函数),(y x f z =在点()11--，

取得极小值2)1,1(-=--z .

例7 求函数22),(y x y x f z +==在条件04=-+y x 下的极值.

解: 引入辅助变量λ和辅助函数

)1(),,(22-+++=y x y x y x L λλ

求出),,(λy x L 对λ,,y x 的一阶偏导数，并令它们都为零组成方程组即：

⎪

⎩⎪

⎨⎧=-+=+==+=0

402),,(02),,(y x y y x L x y x L y x λλλλ 解方程组得到惟一的驻点)2,2(.又有x y x f x 2),(='，y y x f y 2),(='，2),(=''y x f xx ，0),(),(=''=''y x f y x f yx xy ，2),(=''y x f yy ，1-='x y ，0=''xx y ，所以，

04),(]),(),(),([),()2,2(>='''+''''+''+''+''=''xx y x x yy yx xy xx xx y y x f y y y x f y x f y x f y x f z

那么，函数),(y x f z =在点)2,2(取得极大值8)2,2(=xx z .

6总结

本文主要讨论数学分析中二元函数的极值问题.把一元函数的极值问题推广到多元函数的情形，得到了一些新的结果，并给出了一些未推广前不能求解，而利用推广后的结论可以求解的例子.本文先证明稳定点为极值点的充分条件，并给出其判别式，再分析判别式为零的情形，来解决与此相关的数学问题.

参考文献

[1] 华东师范大学数学系.数学分析（下册第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003. [2] 刘玉琏等.数学分析讲义（下册第四版）[M].北京：高等教育出版社，2003. [3]万淑香．二元函数的极值问题[J]．鸡西大学学报，2007，4：75-76．

[4]柴文祥等. 二元函数极值判别的一点注记[J].牡丹江师范学院学报，2011，4：3-4 [5]刘连褔.02=-=∆AC B 时二元函数极值问题讨论[J]. 廊坊师范学院学报，2010,10:16-17.

[6]刘晓俊. 二元函数求条件极值的方法[J]. 金融教学与研究，1994，3：57-59.

二元函数最大值最小值

二元函数最大值最小值 1. 二元函数的定义及性质二元函数是指具有两个自变量的函数，可以表示为f(x,y)，其中x和y是实数。二元函数在数学和其他学科中都有广泛的应用。在这篇文章中，我们将探讨二元函数的最大值和最小值。 2. 求二元函数最大值最小值的方法求二元函数最大值和最小值的方法有很多种，下面将介绍其中几种常见的方法： 2.1 方程法方程法是一种常用的求二元函数最大值最小值的方法。具体步骤如下： 1.对二元函数进行求导，得到关于x和y的偏导数； 2.解关于x和y的偏导数的方程组，求得关键点； 3.计算关键点对应的函数值，并比较大小，得到最大值和最小值。 2.2 极值法极值法是另一种常用的求二元函数最大值最小值的方法。具体步骤如下： 1.对二元函数进行求偏导，得到关于x和y的偏导数； 2.解关于x和y的偏导数的方程组，求得关键点，即导数等于0的点； 3.判断关键点是否为极值点，可以通过求二阶偏导数来确定； 4.计算关键点对应的函数值，并比较大小，得到最大值和最小值。 2.3 Lagrange乘子法 Lagrange乘子法是一种求二元函数在一定条件下的最大值和最小值的方法。具体步骤如下： 1.设置约束条件，即给出一个或多个限制条件； 2.根据Lagrange乘子法的原理，建立相关方程组；

3.解方程组，求得最大值和最小值。 3. 求解二元函数最大值最小值的示例假设有一个二元函数f(x,y) = x^2 + y^2，我们将通过上述三种方法来求解它的最大值和最小值。 3.1 方程法求解最大值最小值对f(x,y) = x^2 + y^2求偏导，得到关于x和y的偏导数： ∂f/∂x = 2x，∂f/∂y = 2y 令∂f/∂x = 0，∂f/∂y = 0，解得关键点为(x,y) = (0,0)。计算关键点对应的函数值： f(0,0) = 0^2 + 0^2 = 0 所以函数f(x,y) = x^2 + y^2的最大值和最小值都为0。 3.2 极值法求解最大值最小值对f(x,y) = x^2 + y^2求偏导，得到关于x和y的偏导数： ∂f/∂x = 2x，∂f/∂y = 2y 令∂f/∂x = 0，∂f/∂y = 0，解得关键点为(x,y) = (0,0)。计算关键点对应的二阶偏导数： ∂2f/∂x2 = 2，∂2f/∂y2 = 2 由于二阶偏导数均为正数，所以关键点(0,0)为最小值点。计算最小值点对应的函数值： f(0,0) = 0^2 + 0^2 = 0 所以函数f(x,y) = x^2 + y^2的最小值为0。

二元函数极值问题

5 0x >时， 1,z x ?=? 0x <时，1z x ?=-?. 因此在0x =时偏导数不存在. 由此可见，函数的极值点必为 f x ??及f y ??同时为零或至少有一个偏导数不存在的点. 3.2极值的充分条件设函数),(y x f z =在点的某个邻域内连续且有二阶连续偏导数,又 0),(00'=y x f x 且0),(00'=y x fy ,记二阶连续偏导数为 A y x f xx =),(00', B y x f xy =),(00', C y x f yy =),(00', AC B -=?2,则函数),(y x f z =在),(00y x 点处是否取得极值的条件如下: (1) 当0A 时,函数),(y x f z =在点),(00y x 处取得极小值; (3) 当0>?时,函数),(y x f z =在点),(00y x 处不取得极值; (4) 当0=?时,函数),(y x f z =在点),(00y x 处可能取得极值,也可能不取得极值. 4. 求二元函数的极值的步骤要求函数的极值，首先要求出所有使函数的偏导数等于零或偏导数不存在的点，然后讨论该点周围函数的变化情形，以进一步判断是否有极值，为此我们讨论f ?，若(,)f x y 的一切二阶导数连续，则由泰勒公式并注意到在极值点必须0x y f f ==，就有 222 000000200001(,)(,)((,)22(,)(,)) x xy y f f x x y y f x y f x x y y x f x x y y x y f x x y y y θθθθθθ?=+?+?-=+?+??++?+???++?+??. 由于(,)f x y 的一切二阶偏导数在00(,)x y 连续，记200(,)x A f x y =，00(,)xy B f x y =，200(,)y C f x y =，那就有

多元函数的极值及其求法

第十一讲二元函数的极值要求：理解多元函数极值的概念，会用充分条件判定二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值。问题提出：在实际问题中，往往会遇到多元函数的最大值，最小值问题，与一元函数相类似，多元函数的最大值，最小值与极大值，极小值有密切的关系，因此以二元函数为例，来讨论多元函数的极值问题．一．二元函数的极值定义设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某个邻域内有定义，对于该邻域内的所有 ),(),(00y x y x ≠，如果总有),(),(00y x f y x f <，则称函数),(y x f z =在点),(00y x 处有极大值；如果总有),(),(00y x f y x f >，则称函数),(y x f z =在点),(00y x 有极小值．函数的极大值，极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点．例1．函数xy z =在点)0,0(处不取得极值，因为在点)0,0(处的函数值为零，而在点 )0,0(的任一邻域内总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点．例2．函数2 2 43y x z +=在点)0,0(处有极小值．因为对任何),(y x 有0)0,0(),(=>f y x f ．从几何上看，点)0,0,0(是开口朝上的椭圆抛物面2 2 43y x z +=的顶点，曲面在点 )0,0,0(处有切平面0=z ，从而得到函数取得极值的必要条件．定理1（必要条件）设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数，且在点),(00y x 处有极值，则它在该点的偏导数必然为零，即0),(00=y x f x ，0),(00=y x f y ．几何解释若函数),(y x f z =在点),(00y x 取得极值0z ，那么函数所表示的曲面在点),,(000z y x 处的切平面方程为 ))(,())(,(0000000y y y x f x x y x f z z y x -+-=- 是平行于xoy 坐标面的平面0z z =．类似地有三元及三元以上函数的极值概念，对三元函数也有取得极值的必要条件为 0),,(000=z y x f x ，0),,(000=z y x f y ，0),,(000=z y x f z

二元函数的极值

§10–7 二元函数的极值基础知识导学 1. 二元函数的极值与驻点 ⑴ 极值与驻点 ①极值设函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某个邻域内有定义，如果对在此邻域内除点),(000y x P 外的任意点),(y x P ，均有),(),(00y x f y x f <（或),(),(00y x f y x f >），则称点),(000y x P 为函数),(y x f z =的极大值点（或极小值点）.),(00y x f 称为极大值（或极小值），极大值点和极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值. ②驻点使0),(,0),(==y x f y x f y x 同时成立的点),(y x 称为函数),(y x f z =的驻点. ⑵ 极值存在的必要条件设函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某个邻域内有定义，且存在一阶偏导数，如果),(000y x P 是极值点，则必有 0),( ,0),(0000==y x f y x f y x . 注意可导函数的极值点必定为驻点，但是函数),(y x f z =的驻点却不一定是极值点. ⑶极值存在的充分条件设函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某个邻域内具有二阶连续偏导数，且),(000y x P 是驻点.设),(00y x f A xx =，),(00y x f B xy =,),(00y x f C yy =，则 ①当02 <-AC B 时，点),(000y x P 是极值点，且当0A 时，点),(000y x P 是极小值点； ②当02 >-AC B 时，点),(000y x P 不是极值点；