二元函数的极值点

二元函数极值与最值的区别与联系
二元函数的极值是指函数在二元平面上取得的最大值或最小值，而最值则是指函数在整个定义域上取得的最大值或最小值。

区别：
1. 极值针对的是一个特定的点，而最值是函数在整个定义域上的取值范围。

2. 极值可能存在多个，而最值只有一个或不存在。

3. 极值点必须满足导数为零或不存在导数的条件，而最值只需要比较函数值。

联系：
1. 最值是极值的一种特殊情况，即函数在整个定义域上取得极值。

2. 寻找极值的过程常常涉及到找出最值的情况，比如通过比较函数在边界点和极值点的值来确定最值。

3. 极值的存在与函数的最值有一定的关联，特别是当极值点在定义域的边界上时，它可能是函数的最大值或最小值。

综上所述，二元函数的极值是局部的最值，而最值是全局的最值，它们有一定的联系和区别。

⼆元函数的极值与最值问题
⽬录
写在最前
对于形如z=f(x,y)的函数，求解极值的通法⼀般有两种：
偏导数法
⼆元全微分法
由于偏导数法操作简单，下⾯仅介绍这种⽅法
⼆元函数极值点
Ops:只想知道最值的可以跳过这⼀节。

我们以驻点为圆⼼在xy平⾯上做⼀个圆（就如同在⼀元函数y=f(x)驻点附近找⼀段区间），若当半径⾜够⼩时，f(x0,y0)是该圆形区域的最⼤值或最⼩值， 那么该驻点就是极⼤值点或极⼩值点。

与⼀元函数类似，驻点不⼀点是极值点。

那么我们如何判断极点呢？
⼀个⽐较常规的想法是，让f x在x=x0的两边异号，让f y在y=y0的两边异号，借此来判断函数的极值点。

但有⼀个很明显的错误：
类⽐地理中的鞍部，这个点被称作鞍点。

那么，该怎么做呢，数学家想到了⼀种⽅法——⼆阶偏导法。

令
A=f xx(x0,y0),B=f xy(x0,y0),C=f yy(x0,y0)
则有
A×C−B2>0且A>0==>极⼩值
A×C−B2>0且A<0==>极⼤值
A×C−B2<0==>鞍点
A×C−B2==0==>⽆法确定
⼆元函数最值
最值问题和极值问题相⽐，最⼤的区别就是最值问题可以通过⽐较各点的值来计算。

我们可以通过求出所有极值点甚⾄⾮极值点的值来得出最终的答案。

既然如此，我们可以求出所有可能的点（各偏导等于零的点）并计算得到最终答案。

二元函数取极值的条件
判断二元函数极值方法如下：
设：二元函数f(x,y)的稳定点为：(x0,y0),
即：∂f(x0,y0)/∂x = ∂f(x0,y0)/∂y = 0；
记：：A=∂²f(x0,y0)/∂x²
B=∂²f(x0,y0)/∂x∂y
C=∂²f(x0,y0)/∂y²
∆=AC-B²
如果：∆>0
A0,f(x0,y0) 为极小值；
如果：∆0
f(0,0)=0 为最小值。

求解函数极值方法：寻求函数整个定义域上的最大值和最小值是数学优化的目标。

如果函数在闭合区间上是连续的，则通过极值定理存在整个定义域上的最大值和最小值。

此外，整个定义域上最大值（或最小值）必须是域内部的局部最大值（或最小值），或必须位于域的边界上。

扩展资料
判断函数极值定义：
若函数f(x)在x₀的一个邻域D有定义，且对D中除x₀的所有点，都有f(x)<f(x ₀)，则称f(x₀)是函数f(x)的一个极大值。

同理，若对D的所有点，都有f(x)>f(x ₀)，则称f(x₀)是函数f(x)的一个极小值。

极值的概念来自数学应用中的最大最小值问题。

根据极值定律，定义在一个有界闭区域上的每一个连续函数都必定达到它的最大值和最小值，问题在于要确定它在哪些点处达到最大值或最小值。

如果极值点不是边界点，就一定是内点。

因此，这里的首要任务是求得一个内点成为一个极值点的必要条件。

二元函数取极值的充分条件二元函数取极值的充分条件分为以下几种情况：1. 二次型矩阵的正负性：设二元函数 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 附近有连续的二阶偏导数，且$\Delta H=f_{xx}(x_0,y_0)f_{yy}(x_0,y_0)-[f_{xy}(x_0,y_0)]^2>0$。

则当 $f_{xx}(x_0,y_0)>0$ 时，$f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 取极小值；当$f_{xx}(x_0,y_0)<0$ 时，$f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 取极大值。

2. 一阶偏导数的消失：设二元函数 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 附近有连续的偏导数，且$f_x(x_0,y_0)=0$，$f_y(x_0,y_0)=0$，则 $(x_0,y_0)$ 是 $f(x,y)$ 的一个驻点。

仅凭一阶偏导数消失的条件不能判断极值，需进一步判断。

3. 二阶导数的正负性：设二元函数 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 附近有连续的二阶偏导数，且$f_x(x_0,y_0)=0$，$f_y(x_0,y_0)=0$。

(1) 若 $f_{xx}(x_0,y_0)>0$ 且 $\Delta H>0$，则 $(x_0,y_0)$ 是$f(x,y)$ 的极小值点。

(2) 若 $f_{xx}(x_0,y_0)<0$ 且 $\Delta H>0$，则 $(x_0,y_0)$ 是$f(x,y)$ 的极大值点。

(3) 若 $\Delta H<0$，则 $(x_0,y_0)$ 不是 $f(x,y)$ 的极值点。

(4) 若 $\Delta H=0$，则无法判断 $(x_0,y_0)$ 是否是 $f(x,y)$ 的极值点，需作进一步研究。

4. 鞍点与拐点：当 $\Delta H<0$ 时， $(x_0,y_0)$ 不是 $f(x,y)$ 的极值点。

§10–7 二元函数的极值基础知识导学1. 二元函数的极值与驻点⑴ 极值与驻点①极值 设函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某个邻域内有定义，如果对在此邻域内除点),(000y x P 外的任意点),(y x P ，均有),(),(00y x f y x f <（或),(),(00y x f y x f >），则称点),(000y x P 为函数),(y x f z =的极大值点（或极小值点）.),(00y x f 称为极大值（或极小值），极大值点和极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值. ②驻点 使0),(,0),(==y x f y x f y x 同时成立的点),(y x 称为函数),(y x f z =的驻点.⑵ 极值存在的必要条件设函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某个邻域内有定义，且存在一阶偏导数，如果),(000y x P 是极值点，则必有 0),( ,0),(0000==y x f y x f y x .注意 可导函数的极值点必定为驻点，但是函数),(y x f z =的驻点却不一定是极值点. ⑶极值存在的充分条件设函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某个邻域内具有二阶连续偏导数，且),(000y x P 是驻点.设),(00y x f A xx =，),(00y x f B xy =,),(00y x f C yy =，则①当02<-AC B 时，点),(000y x P 是极值点，且当0<A 时，点),(000y x P 是极大值点；当0>A 时，点),(000y x P 是极小值点； ②当02>-AC B 时，点),(000y x P 不是极值点；③当02=-AC B 时，点),(000y x P 有可能是极值点也可能不是极值点.2．条件极值与拉格朗日乘数法⑴ 条件极值求多元函数的极值问题或最大值、最小值问题时，对自变量的取值往往要附加一定的约束条件，这类附有约束条件的极值问题，称为条件极值.⑵ 拉格朗日乘数法求函数),,(z y x f u =在满足约束条件0),,(=z y x ϕ下的条件极值，其常用方法是拉格朗日乘数法。

二元函数极值的几何意义摘要：1.二元函数极值的概念及判定条件2.二元函数极值的几何意义3.求二元函数极值的方法4.实例分析正文：一、二元函数极值的概念及判定条件二元函数极值是指在定义域内，函数在某一点取得最大值或最小值。

判定二元函数极值的条件有以下两种：1.二元函数的一阶导数等于零，即f_x = 0和f_y = 0同时成立。

2.二元函数的二阶导数小于零，即f_{xx} < 0和f_{yy} < 0同时成立。

二、二元函数极值的几何意义二元函数极值的几何意义在于，当二元函数在某一区域取得极值时，该区域内的函数值变化趋势会发生变化。

具体来说，如果函数在点（x0，y0）处取得极大值，那么在点（x0，y0）附近，函数值会随着x或y的增大而增大；如果函数在点（x0，y0）处取得极小值，那么在点（x0，y0）附近，函数值会随着x或y的增大而减小。

三、求二元函数极值的方法1.求一阶导数：对二元函数f(x, y)分别求关于x和y的一阶导数，得到f_x 和f_y。

2.求二阶导数：对一阶导数f_x和f_y分别求二阶导数，得到f_{xx}和f_{yy》。

3.判断极值：当f_x = 0且f_y = 0时，计算f_{xx}和f_{yy}的值。

若f_{xx} < 0且f_{yy} < 0，则点（x0，y0）为极大值点；若f_{xx} > 0且f_{yy} > 0，则点（x0，y0）为极小值点。

四、实例分析假设我们要求二元函数z = f(x, y) = x^2 + y^2 - 4x - 2y + 5在定义域内的极值。

1.求一阶导数：f_x = 2x - 4f_y = 2y - 22.求二阶导数：f_{xx} = 2f_{yy} = 23.判断极值：f_x = 0时，x = 2；f_y = 0时，y = 1；f_{xx} > 0且f_{yy} > 0，所以点（2，1）为极小值点。

通过以上分析，我们可以得出二元函数极值的几何意义以及求解方法。

2．二元函数的极值与最值二元函数的极值与最值问题已成为近年考研的重点， 现对二元函数的极值与 最值的求法总结如下： 1．二元函数的无条件极值 (1) 二元函数的极值一定在 驻点 和不可导点 取得。

对于不可导点，难以判断 是否是极值点；对于驻点可用极值的充分条件判定。

(2)二元函数取得极值的 必要条件 ： 设 z f (x,y) 在点(x 0,y 0) 处可微分且在 点(x 0, y 0 )处有极值，则 f 'x (x 0,y 0) 0， f 'y (x 0, y 0) 0，即 (x 0,y 0) 是驻点。

(3) 二元函数取得极值的 充分条件 ：设 z f (x,y) 在(x 0,y 0) 的某个领域内有 连续上 二阶偏导数，且 f 'x (x 0,y 0) f 'y (x 0, y 0) 0 ，令 f'xx (x 0,y 0) A ， f'xy (x 0,y 0) B ， f 'yy (x 0,y 0) C ，则当B 2AC 0且 A<0 时， f ( x 0 , y 0 )为极大值； 当B 2 AC 0且 A>0， f ( x 0 , y 0 )为极小值； B 2 AC 0 时，(x 0, y 0) 不是极值点。

注意： 当 B 2－AC = 0时，函数 z = f (x, y)在点( x 0 , y 0 )可能有极值，也可能没有 极值，需另行讨论 例 1 求函数 z = x 3 + y 2－ 2xy 的极值． 【分析】可能极值点是两个一阶偏导数为零的点， 先求出一阶偏导， 再令其为零 确定极值点即可， 然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值， 【解】先求函数的一、二阶偏导数：并求出相应的极值 . 2z 2 z z 3x 2y ， 2y 2x ． 26x ,xy x2zxy2z2y 2再求函数的驻点．令 z= 0，x得方程组23x 2y 0, 2y 2x 0.22求得驻点(0，0)、( 2，2)．33利用定理 2 对驻点进行讨论：2．(1)对驻点(0, 0)，由于 A = 0, B =－2， C = 2，B 2－AC 0,故(0, 0)不是函数 z = f(x, y) 的极值点．(2)对驻点( 2，2)，由于 A =4, B =－2，C = 2,B 2－AC =－4 0, 且A 0,则 332 2 4 f ( 2，2) 4为函数的一个极小值．3 3 27例 2：( 2004数学一)设 z=z(x,y)是由 x 26xy 10 y 22yz z 218 0 确定的函 数，求 z z(x, y )的极值点和极值 .分析 】 本题把极值问题与隐函数求导方法相结合，计算量是比较大的。

二元函数的极值和最值二元函数是指含有两个未知变量的函数，通常用z=f(x,y)来表示。

当x、y取不同的值时，z的取值也会发生变化，因此我们需要研究如何找出二元函数的极值和最值。

一、定义首先，我们需要了解极值和最值的定义。

极值是指函数在某个点上取得的极大值或极小值，而最值则是指函数在定义域内取得的最大值或最小值。

在二元函数中，极值也分为极大值和极小值。

当函数在某个点处取得极大值时，这个点被称为极大值点；同理，当函数在某个点处取得极小值时，这个点被称为极小值点。

考虑以下例子：z=x^2+y^2，我们需要找到z的极小值和最小值。

二、求解方法我们可以通过求一阶偏导数来找到极值点和最值点。

对于二元函数z=f(x,y)，我们先求出x和y的一阶偏导数：∂z/∂x=2x∂z/∂y=2y求出它们的偏导数后，我们需要将偏导数相等的方程组联立起来，解出x和y的值，进而求得z的值。

举个例子，对于函数z=x^2+y^2，我们可以得到：2x=02y=0由此可得，当x=0，y=0时，z取得最小值0。

除了求一阶偏导数的方法，我们还可以通过求二阶偏导数来判断函数的极值类型。

若f(x0,y0)满足：① ∂²f/∂x²(x0,y0)>0, ∂²f/∂y²(x0,y0)>0，则f(x0,y0)为极小值点；② ∂²f/∂x²(x0,y0)<0, ∂²f/∂y²(x0,y0)<0，则f(x0,y0)为极大值点；③ ∂²f/∂x²(x0,y0)与∂²f/∂y²(x0,y0)符号相反，则f(x0,y0)为鞍点。

同样以z=x^2+y^2为例，我们可以得到：∂²z/∂x²=∂²z/∂y²=2>0，因此z取得最小值。

3. 拓展方法除了上述两种方法外，我们还可以利用拉格朗日乘数法，求出约束条件下的极值和最值。

二元函数求极值的方法总结
二元函数求极值的方法主要有以下几种：局部极值的判定、二次型矩阵的特征值判定、拉格朗日乘数法和约束条件消去法。

下面将逐一介绍这些方法。

1. 局部极值的判定：对于二元函数，我们可以先求取一阶偏导数，然后将偏导数为零的点带入二阶偏导数。

如果二阶偏导数的行列式为正，那么该点是局部极小值点；如果二阶偏导数的行列式为负，那么该点是局部极大值点；如果二阶偏导数的行列式为零，那么无法判定。

此外，还需考虑边界点和可能的间断点。

2. 二次型矩阵的特征值判定：对于二元函数，我们可以构造二次型矩阵，并求取其特征值。

如果特征值均为正，那么该点是极小值点；如果特征值均为负，那么该点是极大值点；如果特征值既有正又有负，那么该点是鞍点；如果特征值中既有正数、负数，又有零，那么无法判定。

3. 拉格朗日乘数法：对于带有约束条件的二元函数最值问题，我们可以使用拉格朗日乘数法。

首先，将约束条件转化为等式形式，然后构造拉格朗日函数。

接下来，对拉格朗日函数进行求导，将导数与约束条件一同解方程组。

求得的解即为极值点。

4. 约束条件消去法：对于带有约束条件的二元函数最值问题，我们可以使用约束条件消去法。

首先，将约束条件代入目标函数，得到一个只含有一个变量的函数。

然后，对这个函数进行一元函数求导，找出极值点。

将极值点代入原来的约束条件，得到最终的极值点。

总之，对于二元函数求极值的问题，我们可以通过局部极值的判定、二次型矩阵的特征值判定、拉格朗日乘数法和约束条件消去法来解决。

不同的方法适用于不同的问题，需要根据具体情况选择合适的方法。