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《3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量》教案 教学目标1.理解直线的方向向量和平面的法向量;2.会用待定系数法求平面的法向量.教学重难点1.直线的方向向量和平面的法向量.2.求平面的法向量.教学方法建议新授课､启发式一一引导发现､合作探究.教学过程(A)类问题(自学通过)1.直线的方向向量.我们把直线l 上的向量e (0e ≠ ) 以及与e 共线的非零向量叫做直线l 的 . 2.平面的法线.与平面 的直线叫做平面的法线.3．平面的法向量.如果表示非零向量n 的有向线段所在直线垂直于平面α,那么称向量n 垂直于平面α,记作n ⊥α.此时,我们把向量n叫做平面α的法向量.一个平面的法向量有 个,过一个定点作平面的法向量有 个.(B)类问题(讨论探究) 4.在正方体1111ABCD A B C D -中,求证:1DB 是平面1ACD 的法向量.(C)类问题(教师点拨)5.在空间直角坐标系内,设平面α经过点000()P x y z ，，,平面α的法向量为()e a b c ＝，，,()M x y z ，，为平面α内任意一点,求x y z ，，满足的关系式. 五､问题解决情况检测(A)类问题(自学通过)1.若直线l 垂直于平面α,且l 的方向向量为()4,2,t ,α的法向量为⎪⎭⎫ ⎝⎛2,1,21,则实数t 的值为 .(B)类问题检测2.在正方体1111ABCD A B C D -中,求平面1ACD 的一个法向量.(C)类问题检测3.已知点P 是平行四边形A B C D 所在平面外一点,如果(214AB ＝，－， ,(420)AD ＝，， ,(121)AP ＝－，，－ .(1)求证:AP 是平面ABCD 的法向量;(2)求平行四边形ABCD 的面积.教学反思。
第二章 空间向量与立体几何2．4 空间向量在立体几何中的应用 2．4.1 空间直线的方向向量和平面的法向量 新课程标准解读核心素养 1.能用向量语言表述直线和平面 数学抽象 2.理解直线的方向向量与平面的法向量 数学抽象 3.会求直线的方向向量与平面的法向量数学运算、直观想象教学设计一、目标展示 二、情境导入如图所示的长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1.问题 (1)怎样借助空间向量来表示空间点A ，B ，C ，D ，A 1，B 1，C 1，D 1? (2)设AB ―→＝v ，如果只借助v ，能不能确定直线AB 在空间中的位置？(3)一般地，怎样借助空间向量来刻画空间中点和直线的位置？ 三、合作探究知识点一 位置向量在空间中，取一定点O 作为原点，那么空间中任意一点P 的位置就可以用向量OP ―→来表示，OP ―→_称为点P 的位置向量．知识点二 直线的方向向量1．一般地，如果非零向量v 与直线l 平行，就称v 为l 的方向向量．2．已知空间直线l 上一个定点A 以及这条直线的一个方向向量，就可以确定这条空间直线的位置．3．一条直线有无穷多个方向向量，这些方向向量是相互平行的；直线l 的方向向量v 也是所有与l 平行的直线的方向向量．知识点三 平面的法向量1．如果非零向量n 所在直线与平面α垂直，则称n 为平面α的法向量．2．给定一点A 和一个向量n ，那么，过点A ，且以向量n 为法向量的平面是完全确定的． 3．一个平面的法向量有无穷多个．由于垂直于同一平面的直线是平行的，因而一个平面的所有法向量互相平行．四、精讲点拨【例1】 已知点A (2，4，0)，B (1，3，3)，如图，以AB ―→的方向为正向，在直线AB 上建立一条数轴，P ，Q 为轴上的两点，且分别满足条件：①AP ∶PB ＝1∶2； ②AQ ∶QB ＝2∶1. 求点P 和点Q 的坐标．【例2】 (1)已知直线l 的一个方向向量m ＝(2，－1，3)，且直线l 过A (0，y ，3)和B (－1，2，z )两点，则y －z ＝( )A ．0B ．1 C.32D ．3(2)在如图所示的坐标系中，ABCD -A 1B 1C 1D 1为正方体，棱长为1，则直线DD 1的一个方向向量为________，直线BC 1的一个方向向量为________．【例3】 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，棱长为1，G ，E ，F 分别为AA 1，AB ，BC 的中点，求平面GEF 的一个法向量．五、达标检测1．若A (－1，0，1)，B (1，4，7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为( ) A ．(1，2，3) B ．(1，3，2) C ．(2，1，3)D ．(3，2，1)2．若n ＝(2，－3，1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是( ) A ．(0，－3，1) B ．(2，0，1) C ．(－2，－3，1) D ．(－2，3，－1)六、课堂小结1.确定空间中点的位置；2.直线的方向向量；3.求平面的法向量.。
直线的方向向量与平面的法向量
学习目标：
1．理解直线的方向向量和平面的法向量；
2．会用待定系数法求平面的法向量。
学习重点：直线的方向向量和平面的法向量
学习难点：求平面的法向量
学习过程
一、创设情景
1、平面坐标系中直线的倾斜角及斜率，直线的方向向量，直线平行与垂直的判定；
2、如何用向量描述空间的两条直线、直线和平面、平面和平面的位置关系？
二、建构数学
1、直线的方向向量
我们把直线上的向量以及与共线的向量叫做直线的方向向量。
2、平面的法向量
如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称这个向量垂直于平面α，记作，如果，那么向量叫做平面α的法向量。
三、数学运用
1、在正方体中，求证：是平面的法向量。
证：设正方体棱长为1，以为单位正交基底，建立如下图空间坐标系。
，，，
，所以。
同理。
所以平面。
从而是平面的法向量。
2 解：由题意可得，
，即，
化简得。
3、课堂练习
点是平行四边形所在平面外一点，如果，，。
〔1〕求证：是平面的法向量；
〔2〕求平行四边形的面积。
〔1〕证明：∵，
，
∴，，又，平面，
∴是平面的法向量；
〔2〕，，
∴，
∴，
∴，
∴。
四、回忆总结
1、直线的方向向量与平面法向量的概念；
2、求平面法向量的方法。
五、布置作业。
苏教版选修2《直线的方向向量与平面的法向量》说课稿一、教材分析1. 教材基本信息•书名：苏教版选修2《直线的方向向量与平面的法向量》•适用对象：高中数学选修2年级学生•出版社：苏教版2. 教材内容概述本章主要介绍了直线的方向向量与平面的法向量的概念和性质，并结合相关例题进行实际运用。
通过学习本章内容，学生能够掌握直线的方向向量与平面的法向量的计算方法，理解它们在解决实际问题中的应用。
3. 教材特点分析本章教材内容相对较为抽象，需要学生具备一定的空间想象能力。
因此，在教学中需要通过具体的例子和图示来帮助学生理解概念，并引导学生探索相关性质和定理的证明过程。
二、教学目标1. 知识与能力目标•掌握直线的方向向量与平面的法向量的定义和性质；•运用向量知识计算直线的方向向量和平面的法向量；•理解直线的方向向量平行于直线的位置向量，平面的法向量垂直于平面的法线；•能够运用直线的方向向量和平面的法向量解决实际问题。
2. 过程与方法目标•引导学生通过观察和分析，主动探索直线的方向向量和平面的法向量的性质；•鼓励学生思考和讨论，提高解决问题的能力；•组织学生进行小组合作学习，促进学生之间的互动和合作。
3. 情感态度与价值观目标•培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力；•提高学生对数学的兴趣和自信心；•培养学生的合作意识和团队精神。
三、教学重点和难点1. 教学重点•直线的方向向量和平面的法向量的计算方法；•直线的方向向量与直线的位置向量的关系；•平面的法向量与平面的法线的关系。
2. 教学难点•直线的方向向量与平面的法向量的概念抽象，需要学生具备空间想象能力；•平面的法向量与平面的法线的关系理解上可能存在困难。
四、教学内容和教学步骤1. 直线的方向向量（1）引入概念直线的方向向量定义：如果直线L上有两不同点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，则向量AB称为直线L的方向向量。
简单来说，直线的方向向量就是连接直线上两个不同点的向量。
3．2.1 直线的方向向量及平面的法向量1．用向量表示直线的位置条件直线l上一点A表示直线l方向的向量a(即直线l的□01方向向量)形式在直线l上取AB→＝a，那么对于直线l上任意一点P，一定存在实数t使得AP→＝□02tAB→作用定位置点A和向量a可以确定直线的位置定点可以具体表示出l上的任意一点(1)通过平面α上的一个定点和两个向量来确定条件平面α内两条□03相交直线的方向向量a，b和交点O形式对于平面α上任意一点P，存在有序实数对(x，y)，使得OP→＝□04x a＋y b(2)通过平面α上的一个定点和法向量来确定平面的法向量□05直线l⊥α，直线l的方向向量，叫做平面α的法向量确定平面位置过点A，以向量a为法向量的平面是完全确定的3．空间中平行、垂直关系的向量表示设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，v，则线线平行l∥m⇔□06a∥b⇔□07a＝k b(k∈R)线面平行l∥α⇔□08a⊥u⇔□09a·u＝0面面平行α∥β⇔□10u∥v⇔□11u＝k v(k∈R)线线垂直 l ⊥m ⇔□12a ⊥b ⇔□13a ·b ＝0 线面垂直 l ⊥α⇔□14a ∥u ⇔□15a ＝λu (λ∈R ) 面面垂直 α⊥β⇔□16u ⊥v ⇔□17u ·v ＝01．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线上任意两个不同的点A ，B 表示的向量AB →都可作为该直线的方向向量．( ) (2)若向量n 1，n 2为平面α的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行．( )(3)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行．( ) (4)若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反．( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)√ 2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)若点A (－1,0,1)，B (1,4,7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量的坐标可以是________．(2)已知a ＝(2，－4，－3)，b ＝(1，－2，－4)是平面α内的两个不共线向量．如果n ＝(1，m ，n )是α的一个法向量，那么m ＝________，n ＝________.(3)(教材改编P 104T 2)设平面α的法向量为(1,3，－2)，平面β的法向量为(－2，－6，k )，若α∥β，则k ＝________.(4)已知直线l 1，l 2的方向向量分别是v 1＝(1,2，－2)，v 2＝(－3，－6,6)，则直线l 1，l 2的位置关系为________．答案 (1)(2,4,6) (2)120 (3)4 (4)平行探究1 点的位置向量与直线的方向向量例1 (1)若点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，12，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，72在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，13，1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，23，13(2)已知O 为坐标原点，四面体OABC 的顶点A (0,3,5)，B (2,2,0)，C (0,5,0)，直线BD ∥CA ，并且与坐标平面xOz 相交于点D ，求点D 的坐标．[解析] (1)AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，72－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，12＝(1,2,3)，⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23，1＝13(1,2,3)＝13AB →，又因为与AB →共线的非零向量都可以作为直线l 的方向向量．故选A.(2)由题意可设点D 的坐标为(x,0，z )， 则BD →＝(x －2，－2，z )，CA →＝(0，－2,5)．∵BD ∥CA ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝0，z ＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，z ＝5，∴点D 的坐标为(2,0,5)． [答案] (1)A (2)见解析 拓展提升求点的坐标：可设出对应点的坐标，再利用点与向量的关系，写出对应向量的坐标，利用两向量平行的充要条件解题．【跟踪训练1】 已知点A (2,4,0)，B (1,3,3)，在直线AB 上有一点Q ，使得AQ →＝－2QB →，求点Q 的坐标．解 由题设AQ →＝－2QB →，设Q (x ，y ，z )，则(x －2，y －4，z )＝－2(1－x,3－y,3－z )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝－2(1－x )，y －4＝－2(3－y )，z ＝－2(3－z )，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，∴Q (0，2，6).z ＝6，探究2 求平面的法向量例2 如图，ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，求平面SCD 与平面SBA 的法向量．[解]∵AD ，AB ，AS 是三条两两垂直的线段，∴以A 为原点，分别以AD →，AB →，AS →的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立坐标系，则A (0,0,0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，C (1,1,0)，S (0,0,1)，AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0是平面SAB 的法向量，设平面SCD 的法向量n ＝(1，λ，u )，则n ·DC →＝(1，λ，u )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0＝12＋λ＝0，∴λ＝－12.n ·DS →＝(1，λ，u )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，1＝－12＋u ＝0，∴u ＝12，∴n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－12，12. 综上，平面SCD 的一个方向向量为n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－12，12，平面SBA 的一个法向量为AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0.拓展提升设直线l 的方向向量为u ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量v ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ⊥α⇔u ∥v ⇔u ＝k v ⇔a 1＝ka 2，b 1＝kb 2，c 1＝kc 2，其中k ∈R ，平面的法向量的求解方法：①设出平面的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )．②找出(或求出)平面内的两个不共线的向量的坐标：a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)．③依据法向量的定义建立关于x ，y ，z 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧n ·a ＝0，n ·b ＝0.④解方程组，取其中的一个解，即得法向量，由于一个平面的法向量有无数多个，故可在方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量．【跟踪训练2】 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求证：DB 1→是平面ACD 1的一个法向量．证明 设正方体的棱长为1，分别以DA →，DC →，DD 1→为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则DB 1→＝(1,1,1)，AC →＝(－1,1,0)，AD 1→＝(－1,0,1)．于是有DB 1→·AC →DB 1→⊥AC →，即DB 1⊥AC . 同理，DB 1⊥AD 1，又AC ∩AD 1＝A ，所以DB 1⊥平面ACD 1，从而是平面ACD 1的一个法向量． 探究3 利用方向向量、法向量判断线、面 关系例3 (1)设a ，b 分别是不重合的直线l 1，l 2的方向向量，根据下列条件判断l 1与l 2的位置关系：①a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)； ②a ＝(5,0,2)，b ＝(0,4,0)； ③a ＝(－2,1,4)，b ＝(6,3,3)．(2)设u ，v 分别是不同的平面α，β的法向量，根据下列条件判断α，β的位置关系： ①u ＝(1，－1,2)，v ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，2，－12；②u ＝(0,3,0)，v ＝(0，－5,0)； ③u ＝(2，－3,4)，v ＝(4，－2,1)．(3)设u 是平面α的法向量，a 是直线l 的方向向量(l ⊄α)，根据下列条件判断α和l 的位置关系：①u ＝(2,2，－1)，a ＝(－3,4,2)； ②u ＝(0,2，－3)，a ＝(0，－8,12)； ③u ＝(4,1,5)，a ＝(2，－1,0)．[解] (1)①因为a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)，所以a ＝－13b ，所以a ∥b ，所以l 1∥l 2.②因为a ＝(5,0,2)，b ＝(0,4,0)，所以a ·b ＝0， 所以a ⊥b ，所以l 1⊥l 2.③因为a ＝(－2,1,4)，b ＝(6,3,3)，所以a 与b 不共线，也不垂直，所以l 1与l 2的位置关系是相交或异面．(2)①因为u ＝(1，－1,2)，v ＝⎝⎛⎭⎪⎫3，2，－12，所以u ·v ＝3－2－1＝0，所以u ⊥v ，所以α⊥β.②因为u ＝(0,3,0)，v ＝(0，－5,0)，所以u ＝－35v ，所以u ∥v ，所以α∥β.③因为u ＝(2，－3,4)，v ＝(4，－2,1)．所以u 与v 既不共线，也不垂直，所以α，β相交．(3)①因为u ＝(2,2，－1)，a ＝(－3,4,2)，所以u ·a ＝－6＋8－2＝0， 所以u ⊥a ，所以直线l 和平面α的位置关系是l ∥α.②因为u ＝(0,2，－3)，a ＝(0，－8,12)，所以u ＝－14a ，所以u ∥a ，所以l ⊥α.③因为u ＝(4,1,5)，a ＝(2，－1,0)，所以u 和a 不共线也不垂直，所以l 与α斜交． 拓展提升利用向量判断线、面关系的方法(1)两直线的方向向量共线(垂直)时，两直线平行(垂直)；否则两直线相交或异面． (2)直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行；否则直线与平面相交但不垂直．(3)两个平面的法向量共线(垂直)时，两平面平行(垂直)；否则两平面相交但不垂直．【跟踪训练3】 根据下列条件，判断相应的线、面位置关系： (1)直线l 1，l 2的方向向量分别为a ＝(1，－3，－1)，b ＝(8,2,2)； (2)平面α，β的法向量分别是u ＝(1,3,0)，v ＝(－3，－9，0)；(3)直线l 的方向向量，平面α的法向量分别是a ＝(1，－4，－3)，u ＝(2,0,3)； (4)直线l 的方向向量，平面α的法向量分别是a ＝(3,2,1)，u ＝(－1,2，－1)． 解 (1)因为a ＝(1，－3，－1)，b ＝(8,2,2)，所以a ·b ＝8－6－2＝0，所以a ⊥b ，所以l 1⊥l 2.(2)因为u ＝(1,3,0)，v ＝(－3，－9,0)，所以v ＝－3u ，所以v ∥u ，所以α∥β. (3)因为a ＝(1，－4，－3)，u ＝(2,0,3)，所以a ≠k u (k ∈R )且a ·u ≠0，所以a 与u 既不共线也不垂直，即l 与α相交但不垂直．(4)因为a ＝(3,2,1)，u ＝(－1,2，－1)，所以a ·u ＝－3＋4－1＝0，所以a ⊥u ，所以l ⊂α或l ∥α.1.空间中一条直线的方向向量有无数个.2.线段中点的向量表达式：对于AP →＝tAB →，当t ＝12时，我们就得到线段中点的向量表达式．设点M 是线段AB 的中点，则OM →＝12(OA →＋OB →)，这就是线段AB 中点的向量表达式.，求出向量的横、纵、竖坐标是具有某种关系的，而不是具体的值，可设定某个坐标为常数，再表示其他坐标.(1)设n 是平面α的一个法向量，v 是直线l 的方向向量，则v ⊥n 且l 上至少有一点A ∉α，则l ∥α.(2)根据线面平行的判定定理：“如果平面外直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行”，要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量.(3)根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线向量确定的平面必定平行，因此要证明平面外一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可.(1)在一个平面内找到两个不共线的向量都与另一个平面的法向量垂直，那么这两个平面平行.(2)利用平面的法向量，证明面面平行，即如果a ⊥平面α，b ⊥平面β，且a ∥b ，那么α∥β.1．若平面α，β的法向量分别为a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，3，b ＝(－1,2，－6)，则( ) A ．a ∥β B ．α与β相交但不垂直 C ．α⊥β D ．α∥β或α与β重合 答案 D解析 ∵b ＝－2a ，∴b ∥a ，∴α∥β或α与β重合．2．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝2，E ，F 分别是平面A 1B 1C 1D 1，平面BCC 1B 1的中心，以点A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则直线EF 的方向向量可以是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，0，22B ．(1,0，2) C ．(－1,0，2) D ．(2,0，－2) 答案 D解析 由已知得E (1,1，2)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1，22，所以|EF →|＝⎝⎛⎭⎪⎫2，1，22－(1,1，2)＝⎝⎛⎭⎪⎫1，0，－22，结合选项可知，直线EF 的方向向量可以是(2,0，－2)．3．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，则平面ABC 的一个单位法向量是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫33，33，－33 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫33，－33，33 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33，33 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，－33，－33 答案 D解析 由AB →＝(－1,1,0)，AC →＝(－1,0,1)，结合选项，验证知应选D.4．若直线l ∥α，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，2，则m ＝________.答案 －8解析 因为直线l ∥α，所以直线l 的方向向量与平面α的法向量垂直，所以(2，m,1)·⎝⎛⎭⎪⎫1，12，2＝2＋m 2＋2＝0，解得m ＝－8.5．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是DD 1的中点，O 为底面ABCD 的中心，求证：OB →1是平面PAC 的法向量．证明 建立空间直角坐标系如右图所示，不妨设正方体的棱长为2，则A (2,0,0)，P (0,0,1)，C (0,2,0)，B 1(2,2,2)，O (1,1,0)，于是OB 1→＝(1,1,2)，AC →＝(－2,2,0)，AP →＝(－2，0,1)，∴OB 1→·AC →＝－2＋2＝0，OB 1→·AP →＝－2＋2＝0. ∴OB 1→⊥AC →，OB 1→⊥AP →，即OB 1⊥AC ，OB 1⊥AP . ∵AC ∩AP ＝A ，∴OB 1⊥平面PAC ，即OB 1→是平面PAC 的法向量．。
3.3空间直线的方向向量和平面的法向量
一、教学内容分析
这一节课重点介绍了空间直线的方向向量的概念和求法.例1是长方体在已经建立了空间直角坐标系得基础上求相关直线的方向向量，例2要求读者根据自己的理解，建立坐标系后求三棱锥中相关直线的方向向量；这两个例题都是简单几何体中空间直线的方向向量的基本运算，必须掌握好空间直线的方向向量求法，为后面用空间直线的方向向量求解有关度量问题打下好的基础.
二、教学目标设计
1、理解空间直线的方向向量概念；
2、掌握空间直线的方向向量的求法.
三、教学重点及难点
1、理解空间直线的方向向量概念;
2、掌握空间直线的方向向量的求法.
四、教学用具准备
运用多媒体展示相关例题及图形
五、教学流程设计
六、教学过程设计
（一）问题引入
1、
复习：平面直线的方向向量是如何定义的？唯一吗？ 2、 思考：如何表示空间直线的方向？
（二）学习新课
1、空间直线的方向向量的概念
（1）怎么确定空间直线的方向向量？
对于空间任意一条直线l ,我们把与直线l 平行的非零向量d 叫做直线l 的一个方向向量.
（2）空间直线的方向向量是唯一的吗？
（3）一个空间向量能够表示几条空间直线的方向向量？
2、尝试解决
例1 如图所示的空间直角坐标系中，棱长为a 的正方体OABC O A B C ''''-中，F 为棱BC 上的中点，
（1）向量BC OC AA ,,'可以分别表示哪条空间直线的方向向量？
（2）写出空间直线F A '的一个方向向量，并说明这个方向向量是否可以表示正方体的某条棱所在直线的方向.
解：（略）
（三）巩固新知
例2（教材P48 例题1）已知长方体''''D C B A ABCD -的棱长3',4,2===AA AD AB ，以长方体的顶点'D 为坐标原点，过'D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，求下列直线的一个方向向量：')4(;')3(;')2(;')1(DB C A C B AA .
解：（略）
[说明]对于学生求出的同一直线的不同方向向量进行点评.
.
例3（教材P49 例题2）已知所有棱长为a 的正三棱锥BCD A -，试建立空间直角坐标系，确定各棱所在直线的方向向量.
解：（略）
[说明]对于学生建立的不同坐标系进行点评与方案选优.
（四）课堂练习
1、已知(3,3,1)A ，(1,0,5)B ，求线段AB 所在直线的一个方向向量；
2、如图所示直角坐标系中有一棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -，
,E F 分别是1,DD DB 中点，G 在棱CD 上，14CG CD =，H 是1C G 的中点，求线段
FH G C EF C B ,,,11所在直线的一个方向向量.
3、教材P49 1
4、教材P49 2
（五）课堂小结
（六）布置作业：见练习册
七、教学设计说明
1、 通过以平面直线的方向向量表示直线方向类比引入空间直线的方向向量，激发学生自主探索的兴趣和信心；
2、 以直线方向向量的不唯一和一个向量可以表示无数条直线的方向来说明和理解的空间直线的方向向量的概念本质；
3、 课堂按“定性研究直线的方向向量→在现有坐标系中确定直线
的方向向量坐标→通过方案选择建立空间直角坐标系后再确定直线的方向向量坐标”展开研究，层层深入，重在掌握空间直线的方向向量概念和运算；
4、对学生练习中的相同坐标系或者不同坐标系中写出的不同方向向量
加以说明.旨在让学生今后能灵活地建立坐标系和选择坐标，从而用方向向量对直线进行研究和运算，非常重要，必须引起重视.。
