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设E 为 BD 的中点，
B
F是等边 ? BCD 的中心 .
(O)
A
E F
D y
则E (0, a ,0).F ( 3a , a ,0),
2
62
C
? A( 3a , a , 6a ).
x
623
AF ? AC 2 ? CF 2 ? a 2 ? a 2 ? 6a , 33
3
d BD ? (0,1,0);
d BC ? ( 3,1,0); d CD ? (? 3,1,0);
基本命题 2： 一条直线与一个平面平行或在一个平面 内的充要条件是这条直线的方向向量垂 直于该平面的法向量 .
基本命题 3： 两个平面平行或重合的充要条件是它们
的法向量互相平行 .
?
?→m?
m↑
↑n
n↑?
?? n?m? 0
??
n ?? m
8
例4：在正方体中， E、F分别为BC和BB' 的中点， 求证： A'D ∥FE.
B'
2
? EF 与A' D显然不重合，? A' D ∥ FE .
9
例5：在长方体 ABCD- A'B'C'D' 中，
AD ? a, AB ? b, AA ' ? c, E 、 F 分别是 A' D、 B ' D' 上的点，
且 A' E ? 1 A' D , B ' F ? 1 B ' D' , 求证：
证：建系如图，B(4,2,3)、C(0,2,3)、D(0,0,3)、 z
A'(4,0,0) 、B'(4,2,0) 、D'(0,0,0).
D
C
? A' B ? (0,2,3), DB ? (4,2,0),
D' B ? (4,2,0), B' C ? (? 4,0,3).
A
B
D'
C' y
设平面 A' BD和平面 CD' B' 的法向量分别
(3)d A'C ? (? 4,2,3).
A'
(4)d DB' ? (4,2,? 3).
x
z
D
3
D'
2
C B
C'
y
4
B'
2
例2:已知所有棱长为 a 的正三棱锥 A-BCD, 试建立
空间直角坐标系 ,确定各棱所在直线的方向向量 .
解:建系如图 ,则B(0,0,0)、
z
D(0, a,0)、C ( 3a , a ,0). 22
如何刻画空间直线的方向？
一、直线的方向向量。
对于空间任意一条直线 l ，我们把与直线 l 平行的
非零向量 d 叫做直线 l 的一个方向向量 。
一条直线 l 有无穷多个方向向量，这些方向 向量是相互平行的；直线 l 的方向向量 d 也是所有与 l 平行的直线的方向向量。
1
例1:已知长方体 ABCD —A'B'C'D' 的棱长 AB=2,AD=4,AA'=3. 建系如图 ,求下列直线的一个方 向向量:(1)AA'; (2)B'C; (3)A'C; (4)DB'平行于平面 CC ' D' D.
D
C
证：建系如图，则 A' (a,0,0)、D(0,0, c )、 A
B
B ' (a , b,0)、D' (0,0,0),
E D'
C' y
E ( 2a ,0, c )、F ( 2a , 2b ,0), ?
33
33
EF
? (0, 2b ,? c ). 3 3x
2 D
4
A B
3
D'
C
y C'
? ? 4u ? 2v ? 0
?
? ?
?
4u
?
3w
?
? 0
?????wv???234u u.
A' x
B'
取u ? 3,得v ? 6, w ? ? 4,
? 平面 ACD ' 的一个法向量 n ? (3,6,? 4).
7
基本命题 1：两条直线平行或重合的充要条件是它们 的方向向量互相平行。
??n ? ?
AA' ?
?? n ?AA' ? 0 ?
?? n ? AC ??n ?AC ? 0.
? AA' ? (0,0 ? 3), AC ? (? 4,2,0),
? u ?0 ? v ?0 ? w ?(? 3) ? 0
?
? ?
u
?(? 4)
?
v
?2
?
w
?0
?
0
z D2 4
A
B
3
D'
A'
B'
x
?
? w?0
证：设正方体的边长为 1，建系如图， z
则A'(1,0,0) 、D(0,0,1)、
E ( 1 ,1,1)、 F (1,1, 1 ).
2
2
? A' D ? (? 1,0,1), FE ? (? 1 ,0, 1 ), 22
D
C
E
A
B
D' F
C' y
? FE ? 1 A' D ? FE ∥ A' D ,
A' x
d BA ? (1, 3,2 2);
d AC ? (1,0 ? 2);
z
B (O)
x
d AD ? (? 1, 3,?2 2).
3a a 6a A( , , ).
623
E
D(0y, a,0)
F
C(
3a a , ,0).
22
4
如何刻画平面的方向？
二、平面的法向量：
对于非零的空间向量 n,如果它所在的直线与平 面? 垂直，
那么向量 n叫做 平面 ? 的一个法向量 .
例3：长方体中，求下列平面的一个法向量：
（1）平面ABCD; (2) 平面ACC'A';
z
(3)平面ACD'.
解：（1）n ? (0,0,1).
D2 4
A
B
D' 3
C
y C'
A'
B'
x
5
(2)设平面 ACC ' A' 的一个法向量为 n ? (u , v , w )则
? ?
?
2u
?
v
?
0
取u ? 1 ? v ? 2,
C
y C'
? 平面 ACC ' A' 的一个法向量 n ? (1,2,0).
6
(3)设n ? (u, v, w)是平面ACD' 的一个法向量，
z
?? n ? ?
AC
?
?? n ?AC ? 0 ?
?? n ? AD' ??n ?AD' ? 0
? AC ? (? 4,2,0), AD' ? (? 4,0,? 3),
解:A(4,0,3), B(4,2,3), C(0,2,3),
D(0,0,3),A'(4,0,0),B'(4,2,0),C'(0,2,0),
D'(0,0,0). (1) AA ' ? (0,0 ? 3),
? 直线AA ' 的一个方向向量是
A
d AA' ? (0,0 ? 3).
(2)d B'C ? (?4,0,3).
A'
F B'
? x轴垂直于平面 CC ' D' D,? n ? (1,0,0)是平面 CC ' D' D的一个法向量 .
? EF ?n ? 0? EF ? n. 又显然EF 不在平面 CC' D' D内，
? 直线EF ∥ 平面CC' D' D.
10
例6:已知长方体的棱 AD=4,AB=2,AA'=3, 求证平面A'BD ∥平面CD'B'
