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人教版选修21第三章直线的方向向量与直线的向量方程讲义讲堂合作探究重点难点突破知识点一 空间直线的向量参数方程给定一个定点A 和一个向量a ，再任给一个实数t ，以A 为开始作向量ta AP =①，如 下左图，这时点P 的位置被完全确定，向量方程①通常称作直线l 以t 为参数的参数方程，向量a 称为该直线的偏向向量。
如上右图，ta OA AP OA OP +=+=②，若在直线l 上取a AB =，则②式可化为()()OB t OA t OA OB t OA AB t OA OP +-=-+=+=1③，①或②或③都叫做空间直线的向量参数方程。
②和③的推导依据的是向量加法的三角形准则。
知识点二 用向量要领证明平行干系。
（1）设直线1l 和2l 的偏向向量分别为1v 和2v ，则由向量共线的条件，得21//l l （或1l 与2l 重合）21//v v ⇔。
（2）已知两个非零向量，1v ，2v 平面α共面，一条直线l 的一个偏向向量为v ，则由共面向量定理，可得α//l 或⇔⊂αl 存在两个实数y x ,，使21yv xv v +=。
（3）要是C B A ,,三点不共线，则点M 在平面ABC 内的充分必要条件是：存在一对实数y x ,，使向量表达式AC y AB x AM +=成立。
（4）已知两个不共线的向量21,v v 与平面α共面，则由两平面平行的鉴定与性质，得βα//或α与β重合β//1v ⇔且β//2v 。
知识点三 用向量运算求证两条直线垂直或求两条直线所成的角（1）两直线垂直的条件要是我们知道两条直线的偏向向量，我们就可以利用两个偏向向量是否垂直来鉴定两直线是否垂直，如下左图，设直线1l 、2l 的偏向向量分别为1v 、2v ，则有2121v v l l ⊥⇔⊥。
由上述条件，证明空间两条直线21l l ⊥可转化为证明两条直线的偏向向量垂直，即证明021=⋅v v 。
（2）两条直线所成的角 设空间两条直线所成的角为θ，当两直线平行时︒=0θ，当两直线垂直时︒=90θ，既 不平行也不垂直的两直线所成的角()︒︒∈90,0θ，所以空间两直线所成的角[]︒︒∈90,0θ。
案例（二）——精析精练课堂合作探究重点难点突破知识点一 空间直线的向量参数方程给定一个定点A 和一个向量a ，再任给一个实数t ，以A 为起点作向量ta AP =①，如 下左图，这时点P 的位置被完全确定，向量方程①通常称作直线l 以t 为参数的参数方程，向量a 称为该直线的方向向量。
如上右图，ta OA AP OA OP +=+=②，若在直线l 上取a AB =，则②式可化为()()OB t OA t OA OB t OA AB t OA OP +-=-+=+=1③，①或②或③都叫做空间直线的向量参数方程。
②和③的推导依据的是向量加法的三角形法则。
知识点二 用向量方法证明平行关系。
（1）设直线1l 和2l 的方向向量分别为1v 和2v ，则由向量共线的条件，得21//l l （或1l 与2l 重合）21//v v ⇔。
（2）已知两个非零向量，1v ，2v 平面α共面，一条直线l 的一个方向向量为v ，则由共面向量定理，可得α//l 或⇔⊂αl 存在两个实数y x ,，使21yv xv v +=。
（3）如果C B A ,,三点不共线，则点M 在平面ABC 内的充分必要条件是：存在一对实数y x ,，使向量表达式AC y AB x AM +=成立。
（4）已知两个不共线的向量21,v v 与平面α共面，则由两平面平行的判定与性质，得βα//或α与β重合β//1v ⇔且β//2v 。
知识点三 用向量运算求证两条直线垂直或求两条直线所成的角（1）两直线垂直的条件如果我们知道两条直线的方向向量，我们就可以利用两个方向向量是否垂直来判定两直线是否垂直，如下左图，设直线1l 、2l 的方向向量分别为1v 、2v ，则有2121v v l l ⊥⇔⊥。
由上述条件，证明空间两条直线21l l ⊥可转化为证明两条直线的方向向量垂直，即证明021=⋅v v 。
（2）两条直线所成的角 设空间两条直线所成的角为θ，当两直线平行时︒=0θ，当两直线垂直时︒=90θ，既 不平行也不垂直的两直线所成的角()︒︒∈90,0θ，所以空间两直线所成的角[]︒︒∈90,0θ。
