北师大版2021版高考数学(理)一轮复习 第九章平面解析几何第3讲圆的方程练习(含答案)

第九章平面解析几何第1讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程基础知识整合1．直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角①定义：x轴01正向与直线02向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为030°.②倾斜角的范围为040°≤α<180°.(2)直线的斜率条件公式直线的倾斜角为θ，且θ≠90°k＝05tanθ直线过点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1≠x2k＝06y2－y1 x2－x12．直线方程的几种形式名称条件方程适用范围点斜式斜率k与点(x1，y1)07y－y1＝k(x－x1)不含直线x＝x1斜截式斜率k与直线在y轴上的截距b08y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线两点式两点(x1，y1)，(x2，y2)09y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1不含直线x＝x1(x1＝x2)和直线y＝y1(y1＝y2)截距式直线在x轴，y轴上的截距分别为a，b10xa＋yb＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式—11Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0) 平面直角坐标系内的直线都适用1．直线的斜率k与倾斜角θ之间的关系．θ0°0°<θ<90°90°90°<θ<180°k 0k>0不存在k<0 “斜率变化分两段，90°是分界线；遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”．2．“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意．1．已知直线过A (2,4)，B (1，m )两点，且倾斜角为45°，则m ＝( ) A ．3 B ．－3 C ．5 D ．－1答案 A解析 ∵直线过A (2,4)，B (1，m )两点，∴直线的斜率为m －41－2＝4－m .又直线的倾斜角为45°，∴直线的斜率为1，即4－m ＝1，∴m ＝3.故选A ．2．直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是( ) A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6答案 D解析 由直线的方程得直线的斜率k ＝－33，设倾斜角为α，则tan α＝－33，所以α＝5π6. 3．(2019·青海模拟)倾斜角为135°，在y 轴上的截距为－1的直线方程是( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y －1＝0 C ．x ＋y －1＝0 D ．x ＋y ＋1＝0答案 D解析 直线的斜率为k ＝tan135°＝－1，所以直线方程为y ＝－x －1，即x ＋y ＋1＝0. 4．(2019·四川绵阳联考)过点(5,2)且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍的直线方程是( )A ．2x ＋y －12＝0B ．2x ＋y －12＝0或2x －5y ＝0C ．x －2y －1＝0D ．x －2y －1＝0或2x －5y ＝0 答案 B解析 设所求直线在x 轴上的截距为a ，则在y 轴上的截距为2a ，①当a ＝0时，所求直线经过点(5,2)和(0,0)，所以直线方程为y ＝25x ，即2x －5y ＝0；②当a ≠0时，设所求直线方程为x a ＋y 2a ＝1，又直线过点(5,2)，所以5a ＋22a ＝1，解得a ＝6，所以所求直线方程为x 6＋y 12＝1，即2x ＋y －12＝0.综上，所求直线方程为2x －5y ＝0或2x ＋y －12＝0.故选B ．5．(2020·广东深圳调研)在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0的图象有可能是( )答案 B解析 当a >0，b >0时，－a <0，－b <0，B 项符合．6．直线l 与直线y ＝1，直线x －y －7＝0分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率是( )A ．23B ．32C ．－23D ．－32答案 C解析 设P (a,1)，Q (b ，b －7)，由线段PQ 的中点坐标为(1，－1)可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b 2＝1，1＋b －72＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝4，所以P (－2，1)，Q (4，－3)，所以直线l 的斜率k＝1－－3－2－4＝－23，故选C ．核心考向突破考向一 直线的倾斜角与斜率例 1 (1)(2019·重庆巴蜀中学诊断)直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πC ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 答案 B解析 依题意，直线的斜率k ＝－1a 2＋1∈[－1,0)，因此其倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. (2)直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________．答案 (－∞，－3]∪[1，＋∞) 解析 如图，∵k AP ＝1－02－1＝1，k BP ＝3－00－1＝－3， ∴k ∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)．直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2与⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π两种情况讨论．由正切函数图象可以看出，当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2时，斜率k ∈[0，＋∞)；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，斜率k ∈(－∞，0)．[即时训练] 1.(2019·南昌模拟)直线2x cos α－y －3＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3的倾斜角的变化范围是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，2π3答案 B解析 直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α.由于α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32，因此k ＝2cos α∈[1，3]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，3]．由于θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3，即倾斜角的变化范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3. 2．(2019·安徽五校联考)已知点A (2,3)，B (－3，－2)，若直线kx －y ＋1－k ＝0与线段AB 相交，则k 的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34∪[2，＋∞)C ．(－∞，1]∪[2，＋∞)D ．[1,2]答案 B解析 直线kx －y ＋1－k ＝0恒过P (1,1)，k PA ＝2，k PB ＝34，故k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34∪[2，＋∞)．故选B ．考向二 求直线的方程例2 根据所给条件求直线的方程： (1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010； (2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12； (3)与直线3x －4y －5＝0关于y 轴对称．解 (1)由题设知该直线的斜率存在，故可采用点斜式．设倾斜角为α，则sin α＝1010(0<α<π)，从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±13，故所求直线方程为y ＝±13(x ＋4)，即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0.(2)由题设知截距不为0，设直线方程为x a ＋y 12－a ＝1，又直线过点(－3,4)，从而－3a＋412－a＝1，解得a ＝－4或a ＝9. 故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0.(3)直线3x －4y －5＝0与y 轴的交点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－54，所求直线过A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－54，且斜率k ＝－34，所求直线方程为y ＝－34x －54，即3x ＋4y ＋5＝0.1．直线方程的求法(1)直接法：根据已知条件，求出直线方程的确定条件，选择适当的直线方程的形式，直接写出直线方程．(2)待定系数法：其具体步骤为，①设出直线方程的恰当形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式)；②根据题设条件列出关于待定系数的方程或方程组；③解方程或方程组得到待定系数；④写出直线方程；⑤验证所得直线方程是否为所求直线方程，如果有遗漏需要补加．2．应注意分类讨论思想的应用：选用点斜式或斜截式时，需讨论直线的斜率是否存在；选用截距式时，需讨论直线是否过原点．[即时训练] 3.已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( )A ．1B ．－1C ．－2或－1D ．－2或1答案 D解析 当a ＝0时，直线方程为y －2＝0，不满足题意，所以a ≠0，直线在x 轴上的截距为2＋a a ，在y 轴上的截距为2＋a ，则由2＋a ＝2＋aa，得a ＝－2或a ＝1.4．已知A (－1,1)，B (3,1)，C (1,3)，则△ABC 的边BC 上的高所在的直线方程为( ) A ．x ＋y ＝0 B ．x －y ＋2＝0 C ．x ＋y ＋2＝0 D ．x －y ＝0答案 B解析 因为B (3,1)，C (1,3)，所以k BC ＝3－11－3＝－1，故BC 边上的高所在直线的斜率k ＝1，又高线经过点A (－1，1)，所以其所在的直线方程的x －y ＋2＝0.5．过点P (6，－2)，且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1的直线方程为________． 答案 2x ＋3y －6＝0或x ＋2y －2＝0 解析 设直线方程的截距式为xa ＋1＋y a ＝1，则6a ＋1＋－2a＝1，解得a ＝2或a ＝1，则直线的方程是x 2＋1＋y 2＝1或x 1＋1＋y1＝1，即2x ＋3y －6＝0或x ＋2y －2＝0.精准设计考向，多角度探究突破 考向三 直线方程的应用角度1 例3 过点P (4,1)作直线l ，分别交x 轴，y 轴的正半轴于点A ，B ．(1)当△AOB 的面积最小时，求直线l 的方程； (2)当|OA |＋|OB |取最小值时，求直线l 的方程．解 设直线l ：x a ＋y b＝1(a >0，b >0)，因为直线l 经过点P (4,1)，所以4a ＋1b＝1.(1)因为4a ＋1b ＝1≥24a ·1b＝4ab，所以ab ≥16，S △AOB ＝12ab ≥8，当且仅当a ＝8，b ＝2时等号成立．所以当a ＝8，b ＝2时，△AOB 的面积最小， 此时直线l 的方程为x 8＋y2＝1，即x ＋4y －8＝0.(2)因为4a ＋1b＝1，a >0，b >0，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1b ＝5＋a b ＋4b a≥9，当且仅当a ＝6，b ＝3时等号成立．所以当|OA |＋|OB |取最小值时，直线l 的方程为x ＋2y －6＝0. 角度2 直线方程与函数的结合例4 为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD 内建一个矩形草坪(如图)，另外△EFA 内部有一文物保护区不能占用，经测量AB ＝100 m ，BC ＝80 m ，AE ＝30 m ，AF ＝20 m ，应如何设计才能使草坪面积最大？解 如图所示，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，则E (30,0)，F (0,20)，∴直线EF 的方程为x 30＋y20＝1(0≤x ≤30)．易知当矩形草坪的一个顶点在线段EF 上时，可取最大值， 在线段EF 上取点P (m ，n )，作PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥CD 于点R ，设矩形PQCR 的面积为S ，则S ＝|PQ |·|PR |＝(100－m )(80－n )． 又m30＋n 20＝1(0≤m ≤30)，∴n ＝20－23m . ∴S ＝(100－m )⎝ ⎛⎭⎪⎫80－20＋23m＝－23(m －5)2＋180503(0≤m ≤30)．∴当m ＝5时，S 有最大值，这时|EP |∶|PF |＝5∶1.所以当矩形草坪的两边在BC ，CD 上，一个顶点在线段EF 上，且这个顶点分有向线段EF 成5∶1时，草坪面积最大．直线方程综合问题的两大类型及解法(1)与函数相结合的问题：解决这类问题，一般是利用直线方程中x ，y 的关系，将问题转化为关于x (或y )的函数，借助函数的性质解决．(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识(如方程解的个数、根的存在问题，不等式的性质、基本不等式等)来解决．[即时训练] 6.已知实数x ，y 满足y ＝x 2－2x ＋2(－1≤x ≤1)，试求y ＋3x ＋2的最大值和最小值．解 如图，作出y ＝x 2－2x ＋2(－1≤x ≤1)的图象(曲线段AB )，则y ＋3x ＋2表示定点P (－2，－3)和曲线段AB 上任一点(x ，y )的连线的斜率k ，连接PA ，PB ，则k PA ≤k ≤k PB ．易得A (1,1)，B (－1,5)，所以k PA ＝1－－31－－2＝43，k PB ＝5－－3－1－－2＝8，所以43≤k ≤8，故y ＋3x ＋2的最大值是8，最小值是43. 7．如图，在两条互相垂直的道路l 1，l 2的一角，有一个电线杆，电线杆底部到道路l 1的垂直距离为4米，到道路l 2的垂直距离为3米，现在要过电线杆的底部靠近道路的一侧修建一条人行道，使得人行道与两条垂直的道路围成的直角三角形的面积最小，则人行道的长度为多少米？解 如图建立平面直角坐标系，设人行道所在直线方程为y －4＝k (x －3)(k <0)，所以A ⎝⎛⎭⎪⎫3－4k，0，B (0,4－3k )，所以△ABO 的面积S ＝12(4－3k )⎝ ⎛⎭⎪⎫3－4k ＝12⎝⎛⎭⎪⎫24－9k －16k ，因为k <0， 所以－9k －16k≥2－9k ⎝⎛⎭⎪⎫－16k＝24，当且仅当－9k ＝－16k ，即k ＝－43时取等号．此时，A (6,0)，B (0,8)，所以人行道的长度为62＋82＝10米．1、在最软入的时候，你会想起谁。

圆的定义与方程【知识拓展】1．确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组；(3)解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程．2．点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种．圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；(3)点在圆内：(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( √ )(2)已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则以AB 为直径的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.( √ )(3)方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF >0.( √ )(4)方程x 2＋2ax ＋y 2＝0一定表示圆．( × )(5)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F ＞0.( √ )1．(教材改编)将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x ＋y ＋3＝0 C ．x －y ＋1＝0 D ．x －y ＋3＝0答案 C解析 圆心是(1,2)，所以将圆心坐标代入检验选项C 满足．2．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m ，0)(m >0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( ) A ．7 B ．6 C ．5 D ．4 答案 B解析 根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C 的坐标为(3,4)，半径r ＝1，且|AB |＝2m . 因为∠APB ＝90°，连接OP ， 易知|OP |＝12|AB |＝m .要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离．因为|OC|＝32＋42＝5，所以|OP|max＝|OC|＋r＝6，即m的最大值为6.3．(2015·北京)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()A．(x－1)2＋(y－1)2＝1B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D．(x－1)2＋(y－1)2＝2答案 D解析圆的半径r＝12＋12＝2，∴圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.4．(教材改编)圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1,1)和B(1,3)，则圆C的方程为______________．答案(x－2)2＋y2＝10解析设圆心坐标为C(a,0)，∵点A(－1,1)和B(1,3)在圆C上，∴|CA|＝|CB|，即(a＋1)2＋1＝(a－1)2＋9，解得a＝2，∴圆心为C(2,0)，半径|CA|＝(2＋1)2＋1＝10，∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.5．(2016·浙江)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是______，半径是______．答案 (－2，－4) 5解析 由已知方程表示圆，则a 2＝a ＋2， 解得a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去． 当a ＝－1时，原方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0， 化为标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25， 表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆．题型一 求圆的方程例1 (1)(2016·天津)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________________．(2)(2015·课标全国Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．答案 (1)(x －2)2＋y 2＝9 (2)⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254解析 (1)因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a,0)，且a >0， 所以圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝2a 5＝455，解得a ＝2，所以圆C 的半径r ＝|CM |＝4＋5＝3，所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.(2)由题意知圆过(4,0)，(0,2)，(0，－2)三点， (4,0)，(0，－2)两点的垂直平分线方程为 y ＋1＝－2(x －2)，令y ＝0，解得x ＝32，圆心为⎝⎛⎭⎫32，0，半径为52.思维升华 (1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D 、E 、F 的方程组，进而求出D 、E 、F 的值．(2016·湖北八校联考)已知圆C 关于y 轴对称，经过点A (1,0)，且被x 轴分成两段弧，弧长之比为1∶2，则圆C 的标准方程为________________． 答案 x 2＋(y ±33)2＝43解析 ∵圆C 关于y 轴对称，∴可设C (0，b )，设圆C 的半径为r ，则圆C 的标准方程为x 2＋(y －b )2＝r 2，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧12＋(－b )2＝r 2，|b |＝12r ，解得⎩⎨⎧r 2＝43，b ＝±33，于是圆C 的标准方程为x 2＋(y ±33)2＝43.题型二 与圆有关的最值问题例2 已知点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝1上．求x ＋y 的最大值和最小值． 解 设t ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋t ，t 可视为直线y ＝－x ＋t 在y 轴上的截距，∴x ＋y 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y 轴上的截距．由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径， 即|2＋(－3)－t |2＝1，解得t ＝2－1或t ＝－2－1.∴x ＋y 的最大值为2－1，最小值为－2－1. 引申探究1．在本例的条件下，求yx的最大值和最小值．解 y x 可视为点(x ，y )与原点连线的斜率，y x 的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率．设过原点的直线的方程为y ＝kx ，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即|2k ＋3|k 2＋1＝1，解得k ＝－2＋233或k ＝－2－233.所以y x 的最大值为－2＋233，最小值为－2－233.2．在本例的条件下，求x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值和最小值．解x 2＋y 2＋2x －4y ＋5＝(x ＋1)2＋(y －2)2，求它的最值可视为求点(x ，y )到定点(－1, 2)的距离的最值，可转化为圆心(2，－3)到定点(－1,2)的距离与半径的和或差．又圆心到定点(－1,2)的距离为34， 所以x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值为34＋1，最小值为34－1.思维升华 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．(2)与圆上点(x ，y )有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如u ＝y －bx －a 型的最值问题，可转化为过点(a ，b )和点(x ，y )的直线的斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2型的最值问题，可转化为动点到定点(a ，b )的距离平方的最值问题．已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.求：(1)yx 的最大值和最小值； (2)y －x 的最小值；(3)x 2＋y 2的最大值和最小值．解 (1)如图，方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0表示以点(2,0)为圆心，以3为半径的圆．设yx ＝k ，即y ＝kx ，则圆心(2,0)到直线y ＝kx 的距离为半径，即直线与圆相切时，斜率取得最大值、最小值． 由|2k －0|k 2＋1＝3，解得k 2＝3， ∴k max ＝3，k min ＝－ 3. (2)设y －x ＝b ，则y ＝x ＋b ，当且仅当直线y ＝x ＋b 与圆切于第四象限时，在y 轴上的截距b 取最小值， 由点到直线的距离公式，得|2－0＋b |2＝3，即b ＝－2±6， 故(y －x )min ＝－2－ 6.(3)x 2＋y 2是圆上的点与原点的距离的平方，故连接OC ， 与圆交于B 点，并延长交圆于C ′，则 (x 2＋y 2)max ＝|OC ′|2＝(2＋3)2＝7＋43， (x 2＋y 2)min ＝|OB |2＝(2－3)2＝7－4 3. 题型三 与圆有关的轨迹问题例3 (2016·潍坊模拟)已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点．(1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．解(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4，故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.思维升华求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；(2)定义法，根据圆、直线等定义列方程；(3)几何法，利用圆的几何性质列方程；(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．(2016·天津模拟)设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM、ON 为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．解如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 2，y 2，线段MN 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42.由于平行四边形的对角线互相平分，故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42，从而⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4.又N (x ＋3，y －4)在圆上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4. 因此所求轨迹为圆：(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，但应除去两点⎝⎛⎭⎫－95，125和⎝⎛⎭⎫－215，285(点P 在直线OM 上的情况)．21．利用几何性质巧设方程求半径典例 在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上，求圆C 的方程．思想方法指导 本题可采用两种方法解答，即代数法和几何法．(1)一般解法(代数法)：可以求出曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的三个交点，设圆的方程为一般式，代入点的坐标求解析式．(2)巧妙解法(几何法)：利用圆的性质，知道圆心一定在圆上两点连线的垂直平分线上，从而设圆的方程为标准式，简化计算，显然几何法比代数法的计算量小，因此平时训练多采用几何法解题． 规范解答解 一般解法 (代数法)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)，设圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧1＋E ＋F ＝0，(3＋22)2＋D (3＋22)＋F ＝0，(3－22)2＋D (3－22)＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－6，E ＝－2，F ＝1，故圆的方程是x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0.巧妙解法 (几何法)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．故可设C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1. 则圆C 的半径为32＋(t －1)2＝3，所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.1．(2016·南昌检测)圆心在y 轴上，且过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2＋10y ＝0 B ．x 2＋y 2－10y ＝0 C ．x 2＋y 2＋10x ＝0 D ．x 2＋y 2－10x ＝0答案 B解析 根据题意，设圆心坐标为(0，r )，半径为r ，则32＋(r －1)2＝r 2，解得r ＝5，可得圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0.2．(2016·昆明一模)方程|x |－1＝1－(y －1)2所表示的曲线是( ) A ．一个圆 B ．两个圆 C ．半个圆 D ．两个半圆答案 D解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧(|x |－1)2＋(y －1)2＝1，|x |－1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ (x －1)2＋(y －1)2＝1，x ≥1，或⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，x ≤－1. 故原方程表示两个半圆．3．若直线ax ＋2by －2＝0(a >0，b >0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a ＋2b的最小值为( )A ．1B ．5C ．4 2D ．3＋2 2答案 D解析 由题意知圆心C (2,1)在直线ax ＋2by －2＝0上，∴2a ＋2b －2＝0，整理得a ＋b ＝1，∴1a ＋2b ＝(1a ＋2b )(a ＋b )＝3＋b a ＋2a b≥3＋2 b a ×2a b＝3＋22， 当且仅当b a ＝2a b，即b ＝2－2，a ＝2－1时，等号成立． ∴1a ＋2b的最小值为3＋2 2. 4．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1答案 A解析 设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，x 20＋y 20＝4，连线中点坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝x 0＋42y ＝y 0－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2，代入x 20＋y 20＝4中得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1. 5．(2016·绵阳诊断)圆C 的圆心在y 轴正半轴上，且与x 轴相切，被双曲线x 2－y 23＝1的渐近线截得的弦长为3，则圆C 的方程为( )A ．x 2＋(y －1)2＝1B ．x 2＋(y －3)2＝3C ．x 2＋(y ＋1)2＝1D ．x 2＋(y ＋3)2＝3答案 A 解析 依题意，得题中的双曲线的一条渐近线的斜率为3，倾斜角为60°，结合图形(图略)可知，所求的圆C 的圆心坐标是(0,1)、半径是1，因此其方程是x 2＋(y －1)2＝1.6．(2016·九江模拟)已知P 是直线l ：3x －4y ＋11＝0上的动点，P A ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线(A ，B 是切点)，C 是圆心，那么四边形P ACB 的面积的最小值是( ) A. 2 B ．2 2 C. 3 D ．2 3答案 C解析 圆的方程可化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，则C (1,1)，当|PC |最小时，四边形P ACB 的面积最小，|PC |min ＝|3－4＋11|32＋42＝2，此时|P A |＝|PB |＝ 3. 所以四边形P ACB 的面积S ＝2×12×3×1＝3，故选C. 7．(2016·南昌模拟)若圆C 经过坐标原点与点(4,0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是______________． 答案 (x －2)2＋(y ＋32)2＝254解析 因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0,0)和(4,0)，所以设圆心为(2，m )． 又因为圆与直线y ＝1相切，所以22＋m 2＝|1－m |，解之得m ＝－32. 所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋32)2＝254. 8．过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为______________．答案 x ＋y －2＝0解析 当圆心与点P 的连线和过点P 的直线垂直时，符合条件．圆心O 与点P 连线的斜率k ＝1，所求直线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.9．已知D 是由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ≥0， x ＋3y ≥0所确定的平面区域，则圆x 2＋y 2＝4在区域D 内的弧长为________．答案 π2解析 作出可行域D 及圆x 2＋y 2＝4，如图所示，图中阴影部分所在圆心角θ＝α－β所对的弧长即为所求．易知图中两直线的斜率分别为12、－13，得tan α＝12，tan β＝－13， tan θ＝tan(α－β)＝12＋131－12×13＝1， 得θ＝π4，得弧长l ＝θ·R ＝π4×2＝π2(R 为圆的半径)． 10．(2016·岳阳模拟)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1，0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________．答案 7＋1解析 设D (x ，y )，由CD →＝(x －3，y )及|CD →|＝1知(x －3)2＋y 2＝1，即动点D 的轨迹为以点C 为圆心的单位圆，又OA →＋OB →＋OD →＝(－1,0)＋(0，3)＋(x ，y )＝(x－1，y ＋3)，∴|OA →＋OB →＋OD →|＝(x －1)2＋(y ＋3)2.问题转化为圆(x －3)2＋y 2＝1上的点与点P (1，－3)间距离的最大值．∵圆心C (3,0)与点P (1，－3)之间的距离为(3－1)2＋(0＋3)2＝7， ∴(x －1)2＋(y ＋3)2的最大值为7＋1. 11．已知圆C 经过P (4，－2)，Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段的长为43，半径小于5.(1)求直线PQ 与圆C 的方程；(2)若直线l ∥PQ ，且l 与圆C 交于点A ，B ，且以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，求直线l 的方程．解 (1)由题意知直线PQ 的方程为x ＋y －2＝0.设圆心C (a ，b )，半径为r ，由于线段PQ 的垂直平分线的方程是y －12＝x －32， 即y ＝x －1，所以b ＝a －1.①由圆C 在y 轴上截得的线段的长为43，知r 2＝12＋a 2，可得(a ＋1)2＋(b －3)2＝12＋a 2，②由①②得a ＝1，b ＝0或a ＝5，b ＝4.当a ＝1，b ＝0时，r 2＝13，满足题意，当a ＝5，b ＝4时，r 2＝37，不满足题意．故圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝13.(2)设直线l 的方程为y ＝－x ＋m (m ≠2)，A (x 1，m －x 1)，B (x 2，m －x 2)．由题意可知OA ⊥OB ，即OA →·OB →＝0，∴x 1x 2＋(m －x 1)(m －x 2)＝0，化简得2x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2＝0.③由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋m ，(x －1)2＋y 2＝13得 2x 2－2(m ＋1)x ＋m 2－12＝0，∴x 1＋x 2＝m ＋1，x 1x 2＝m 2－122， 代入③，得m 2－12－m ·(1＋m )＋m 2＝0，∴m ＝4或m ＝－3，经检验都满足题意，∴直线l 的方程为x ＋y －4＝0或x ＋y ＋3＝0.12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得的线段长为22，在y 轴上截得的线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程；(2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程． 解 (1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r .则y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2.∴y 2＋2＝x 2＋3，即y 2－x 2＝1.∴P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1.(2)设P 点的坐标为(x 0，y 0)， 则|x 0－y 0|2＝22，即|x 0－y 0|＝1. ∴y 0－x 0＝±1，即y 0＝x 0±1.①当y 0＝x 0＋1时，由y 20－x 20＝1，得(x 0＋1)2－x 20＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1，∴r 2＝3. ∴圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3.②当y 0＝x 0－1时，由y 20－x 20＝1，得(x 0－1)2－x 20＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1，∴r 2＝3. ∴圆P 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3.综上所述，圆P 的方程为x 2＋(y ±1)2＝3. 13.已知M 为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2,3)．(1)求|MQ |的最大值和最小值；(2)若M (m ，n )，求n －3m ＋2的最大值和最小值． 解 (1)由圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0，可得(x －2)2＋(y －7)2＝8，所以圆心C 的坐标为(2,7)，半径r ＝2 2.又|QC |＝(2＋2)2＋(7－3)2＝4 2. 所以|MQ |max ＝42＋22＝62，|MQ |min ＝42－22＝2 2.(2)可知n －3m ＋2表示直线MQ 的斜率， 设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0，则n －3m ＋2＝k . 由直线MQ 与圆C 有交点， 所以|2k －7＋2k ＋3|1＋k2≤22， 可得2－3≤k ≤2＋3，所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3.。

9.3 圆的方程必备知识预案自诊知识梳理1.圆的定义及方程定义 平面上到 的距离等于 的点的集合(轨迹)叫作圆 标准 方程(x-a )2+(y-b )2=r 2(r>0) 圆心: 半径:一般 方程 x 2+y 2+Dx+Ey+F=0(D 2+E 2-4F>0) 圆心:-D 2,-E2 半径:注意:当D 2+E 2-4F=0时,方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0表示一个点(-D 2,-D2);当D 2+E 2-4F<0时,方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0没有意义,不表示任何图形.2.点与圆的位置关系圆的标准方程(x-a )2+(y-b )2=r 2(r>0),点M (x 0,y 0),(1)(x 0-a )2+(y 0-b )2 r 2⇔点M 在圆上;(2)(x 0-a )2+(y 0-b )2 r 2⇔点M 在圆外;(3)(x 0-a )2+(y 0-b )2 r 2⇔点M 在圆内.以A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)为直径的两端点的圆的方程是(x-x 1)(x-x 2)+(y-y 1)(y-y 2)=0(公式推导:设圆上任一点P (x ,y ),则有k PA ·k PB =-1,由斜率公式代入整理即可).考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)已知圆的方程为x 2+y 2-2y=0,过点A (1,2)作该圆的切线只有一条.( ) (2)方程(x+a )2+(y+b )2=t 2(t ∈R )表示圆心为(a ,b ),半径为t 的一个圆.( )(3)方程x 2+y 2+ax+2ay+2a 2+a-1=0表示圆心为-D 2,-a ,半径为12√-3D 2-4D +4的圆.( )(4)已知点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则以AB 为直径的圆的方程是(x-x 1)(x-x 2)+(y-y 1)(y-y 2)=0.( )(5)若点M (x 0,y 0)在圆x 2+y 2+Dx+Ey+F=0外,则D 02+D 02+Dx 0+Ey 0+F>0. ( ) 2.已知圆C 经过点A (1,5),且圆心为C (-2,1),则圆C 的方程为( )A.(x-2)2+(y+1)2=5B.(x+2)2+(y-1)2=5C.(x-2)2+(y+1)2=25 D.(x+2)2+(y-1)2=253.(2020山东聊城模拟)圆x 2+y 2-6x-2y+3=0的圆心到直线x+ay-1=0的距离为1,则a=( )A.-43B.-34C.√3D.24.(2020山东青岛实验高中测试)方程x 2+y 2+ax+2ay+2a 2+a-1=0表示圆,则a 的取值范围是( )A.a<-2B.-23<a<0 C.-2<a<0D.-2<a<235.已知点A (2,0),B (0,4),O 为坐标原点,则△ABO 外接圆的方程是 .关键能力学案突破考点求圆的方程【例1】(1)(2020山东青岛实验高中测试)圆心为(2,-1)的圆,在直线x-y-1=0上截得的弦长为2√2,那么这个圆的方程为( )A.(x-2)2+(y+1)2=4B.(x-2)2+(y+1)2=2C.(x+2)2+(y-1)2=4D.(x+2)2+(y-1)2=2(2)已知圆C 的圆心在直线x+y=0上,圆C 与直线x-y=0相切,且被直线x-y-3=0截得的弦长为√6,则圆C 的方程为 .思考求圆的方程有哪些常见方法?解题心得求圆的方程时,应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说,求圆的方程有两种方法:(1)几何法,通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时,常用到的圆的三个性质:①圆心在过切点且与切线垂直的直线上;②圆心在任一弦的垂直平分线上;③两圆内切或外切时,切点与两圆圆心共线;(2)代数法,即设出圆的方程,用待定系数法求解.对点训练1(1)在平面直角坐标系xOy 中,过A (4,4),B (4,0),C (0,4)三点的圆被x 轴截得的弦长为( )A.4B.4√2C.2D.2√2(2)一个圆与y 轴相切,圆心在直线x-3y=0上,且在直线y=x 上截得的弦长为2√7,则该圆的方程为.考点与圆有关的轨迹问题【例2】点P (4,-2)与圆x 2+y 2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )A.(x-2)2+(y+1)2=1B.(x-2)2+(y+1)2=4C.(x+4)2+(y-2)2=4D.(x+2)2+(y-1)2=1 思考求与圆有关的轨迹方程都有哪些常用方法?解题心得1.求与圆有关的轨迹问题时,根据题设条件的不同,常采用以下方法:(1)直接法,直接根据题目提供的条件列出方程;(2)定义法,根据圆、直线等定义列方程;(3)几何法,利用圆的几何性质列方程;(4)代入法,找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式等.2.求与圆有关的轨迹问题时,题目的设问有两种常见形式,作答也应不同.若求轨迹方程,则把方程求出化简即可;若求轨迹,则必须根据轨迹方程,指出轨迹是什么曲线.对点训练2古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义:平面内,到两个定点A,B距离之比是常数λ(λ>0,λ≠1)的点M的轨迹是圆.若两定点A,B 的距离为3,动点M满足|MA|=2|MB|,则点M的轨迹围成区域的面积为()A.πB.2πC.3πD.4π考点与圆有关的最值问题(多考向探究)考向1借助目标函数的几何意义求最值【例3】已知点M(m,n)为圆C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点.(1)求m+2n的最大值;(2)求D-3D+2的最大值和最小值.解题心得借助几何性质求与圆有关的最值问题,常根据代数式的几何意义,借助数形结合思想求解.形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题.(1)形如u=D-DD-D(2)形如t=ax+by形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题.(3)形如m=(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.的最大值与最小值分别为对点训练3已知实数x,y满足(x-2)2+(y-1)2=1,则z=D+1D和.考向2借助圆的几何性质求最值【例4】已知点A(0,2),点P在直线x+y+2=0上运动,点Q在圆C:x2+y2-4x-2y=0上运动,则|PA|+|PQ|的最小值是.思考如何求解折线段和长的最值问题?解题心得形如|PA|+|PQ|形式的与圆有关的折线段问题(其中P,Q均为动点),要立足两点:(1)减少动点的个数;(2)“曲化直”,即将折线段转化为同一直线上的两线段之和,一般要通过对称性解决.对点训练4(2020山东济宁模拟)已知两点A(0,-3),B(4,0),若点P是圆C:x2+y2-2y=0上的动点,则△ABP的面积的最小值为.考向3建立函数关系求最值,0),A,B是圆【例5】(2020江苏,14)在平面直角坐标系xOy中,已知P(√32)2=36上的两个动点,满足PA=PB,则△PAB面积的最大值是.C:x2+(D-12解题心得利用函数关系求最值时,先根据已知条件列出相关的函数关系式,再根据函数知识或基本不等式求最值.对点训练5(2020宁夏银川模拟)设点P(x,y)是圆(x-3)2+y2=4上的动点,定点A(0,2),B(0,-2),则|DD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为.⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DD求半径常有以下方法:(1)若已知直线与圆相切,则圆心到切点(或切线)的距离等于半径;(2)若已知弦长、弦心距,则可利用弦长的一半、弦心距、半径三者满足勾股定理的关系求得.1.求圆的方程需要三个独立条件,因此不论选用哪种形式的圆的方程都要列出三个独立的关系式.2.解答与圆有关的最值问题一般要结合代数式的几何意义进行,注意数形结合,充分运用圆的性质.3.解决与圆有关的轨迹问题,一定要看清要求,是求轨迹方程还是求轨迹.9.3 圆的方程 必备知识·预案自诊知识梳理1.定点 定长 (a ,b ) r √D 2+D 2-4D22.(1)= (2)> (3)<考点自诊1.(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√2.D 因为圆C 经过A (1,5),且圆心为C (-2,1),所以圆C 的半径为r=√(-2-1)2+(1-5)2=5,则圆C 的方程为(x+2)2+(y-1)2=25.故选D .3.B 由题意,圆x 2+y 2-6x-2y+3=0,即(x-3)2+(y-1)2=7.圆心(3,1)到直线x+ay-1=0的距离d=|2+D |√1+D2=1,所以a=-34. 4.D 方程x 2+y 2+ax+2ay+2a 2+a-1=0表示圆,所以a 2+4a 2-4(2a 2+a-1)>0,所以3a 2+4a-4<0,所以(a+2)(3a-2)<0,即-2<a<23.5.(x-1)2+(y-2)2=5 方法1 由题知OA ⊥OB ,故△ABO 外接圆的圆心为AB 的中点(1,2),半径为12|AB|=√5,所以△ABO 外接圆的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=5.方法2 设圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,因为过A (2,0),B (0,4),O (0,0)三点,所以{4+2D +D =0,16+4D +D =0,D =0,解得D=-2,E=-4,F=0,则△ABO 外接圆的方程是x 2+y 2-2x-4y=0,即△ABO 外接圆的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=5.关键能力·学案突破例1(1)A (2)(x-1)2+(y+1)2=2(1)因为圆心(2,-1)到直线x-y-1=0的距离d=|2+1-1|√2=√2,弦长为2√2,所以圆的半径r=√(√2)2+(2√22)2=2,则圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=4.(2)由圆C 的圆心在直线x+y=0上,可设圆心坐标为(a ,-a ),又圆C 与直线x-y=0相切,所以圆的半径r=√2|a|.因为圆心到直线x-y-3=0的距离d=|2D -3|√2,圆C 被直线x-y-3=0截得的弦长为√6,所以d2+(√62)2=r 2,即(2D -3)22+32=2a 2,解得a=1,所以圆C 的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.对点训练1(1)A (2)x 2+y 2-6x-2y+1=0或x 2+y 2+6x+2y+1=0 (1)根据题意,设过A ,B ,C 三点的圆为圆M ,其方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,又由A (4,4),B (4,0),C (0,4),则有{32+4D +4D +D =0,16+4D +D =0,16+4D +D =0,解得D=-4,E=-4,F=0,即圆M 的方程为x 2+y 2-4x-4y=0,令y=0可得x 2-4x=0,解得x 1=0,x 2=4,即圆与x 轴的交点的坐标为(0,0),(4,0),则圆被x 轴截得的弦长为4.故选A.(2)方法1 ∵所求圆的圆心在直线x-3y=0上, ∴设所求圆的圆心为(3a ,a ),又所求圆与y 轴相切,∴半径r=3|a|,又所求圆在直线y=x 上截得的弦长为2√7,圆心(3a ,a )到直线y=x 的距离d=|2D |√2,∴d 2+(√7)2=r 2,即2a 2+7=9a 2,∴a=±1.故所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9,即x 2+y 2-6x-2y+1=0或x 2+y 2+6x+2y+1=0.方法2 设所求圆的方程为(x-a )2+(y-b )2=r 2,则圆心(a ,b )到直线y=x 的距离为|D -D |√2,∴r 2=(D -D )22+7,即2r 2=(a-b )2+14.① ∵所求圆与y 轴相切,∴r 2=a 2,② ∵所求圆的圆心在直线x-3y=0上, ∴a-3b=0,③联立①②③,解得{D =3,D =1,D 2=9或{D =-3,D =-1,D 2=9.故所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9,即x 2+y 2-6x-2y+1=0或x 2+y 2+6x+2y+1=0.方法3 设所求圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,则圆心坐标为-D 2,-D2,半径r=12√D 2+D 2-4D .在圆的方程中,令x=0,得y 2+Ey+F=0.由于所求圆与y 轴相切,∴Δ=0,则E 2=4F. ①圆心-D 2,-D2到直线y=x 的距离d=|-D 2+D2|√2,由已知得d 2+(√7)2=r 2,即(D-E )2+56=2(D 2+E 2-4F ). ② 又圆心-D 2,-D 2在直线x-3y=0上,∴D-3E=0.③联立①②③,解得{D =-6,D =-2,D =1或{D =6,D =2,D =1.故所求圆的方程为x 2+y 2-6x-2y+1=0或x 2+y 2+6x+2y+1=0.例2A 设圆上任一点为Q (x 0,y 0),PQ 中点为M (x ,y ),根据中点坐标公式,得{D 0=2D -4,D 0=2D +2,因为Q (x 0,y 0)在圆x 2+y 2=4上,所以D 02+D 02=4,即(2x-4)2+(2y+2)2=4,化为(x-2)2+(y+1)2=1,故选A .对点训练2D 以A 为原点,直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系,则B (3,0).设M (x ,y ),依题意有√D 2+D 2√(D -3)2+D 2=2,化简整理得x 2+y 2-8x+12=0,即(x-4)2+y 2=4,则圆的面积为4π.故选D.例3解(1)(方法1)依题意,圆心C (2,7),半径r=2√2.设m+2n=t ,则点M (m ,n )为直线x+2y=t 与圆C 的公共点,所以圆心C 到该直线的距离d=|2+2×7-D |√12+22≤2√2,解得16-2√10≤t ≤16+2√10. 所以m+2n 的最大值为16+2√10.(方法2)由x 2+y 2-4x-14y+45=0,得(x-2)2+(y-7)2=8. 因为点M (m ,n )为圆C 上任意一点,所以可设{D -2=2√2cos D ,D -7=2√2sin D ,(θ为参数)即{D =2+2√2cos D ,D =7+2√2sin D ,(θ为参数) 所以m+2n=2+2√2cos θ+2(7+2√2sin θ)=16+2√2cos θ+4√2sin θ=16+2√10sin(θ+φ),其中tan φ=12.因为-1≤sin(θ+φ)≤1, 所以m+2n 的最大值为16+2√10. (2)设点Q (-2,3). 则直线MQ 的斜率k=D -3D +2. 设直线MQ 的方程为y-3=k (x+2), 即kx-y+2k+3=0.由直线MQ 与圆C 有公共点, 得|2D -7+2D +3|√D 2+1≤2√2,解得2-√3≤k ≤2+√3, 即2-√3≤D -3D +2≤2+√3.所以D -3D +2的最大值为2+√3,最小值为2-√3.对点训练34+√734-√73由题意,得D +1D表示过点A (0,-1)和圆(x-2)2+(y-1)2=1上的动点P (x ,y )的直线的斜率.当且仅当直线与圆相切时,直线的斜率分别取得最大值与最小值.设切线方程为y=kx-1,即kx-y-1=0,则|2D -2|√D 2+1=1,解得k=4±√73.所以z max =4+√73,z min =4-√73.例42√5 依题意,圆心C (2,1),半径r=√5.设点A (0,2)关于直线x+y+2=0的对称点为A'(m ,n ),则{D +02+D +22+2=0,D -2D -0=1,解得{D =-4,D =-2,故A'(-4,-2).连接A'C 交直线x+y+2=0于点P ,交圆C 于点Q (图略),此时|PA|+|PQ|取得最小值.由对称性可知此时|PA|+|PQ|=|PA'|+|PQ|=|A'Q|=|A'C|-r=2√5. 对点训练4112依题意,圆心C (0,1),半径r=1.如图,过圆心C 向直线AB 作垂线交圆C 于点P ,连接BP ,AP ,此时△ABP 的面积最小.因为直线AB 的方程为D 4+D -3=1,即3x-4y-12=0,所以圆心C 到直线AB 的距离d=165.又|AB|=√32+42=5,所以△ABP 的面积的最小值为12×5×(165-1)=112.例510√5 本题考查圆与直线的位置关系.如图,由已知,得C (0,12),CP=1,AB ⊥CP.设过点P 的直径为EF ,AB 与EF 相交于点D ,设CD=d. (1)当点D 与P 在圆心C 的异侧时,S △PAB =12×2√36-D 2×(1+d ) =√(36-D 2)(1+D )2(0≤d<6).设f (d )=(36-d 2)(1+d )2,则f'(d )=-2d (d+1)2+2(36-d 2)(d+1)=-2(d+1)(d-4)(2d+9). 所以f (d )在区间[0,4)上单调递增,在区间(4,6)上单调递减,所以当d=4时,f (d )取得最大值f (4)=500,此时,S △PAB =10√5.(2)当点D 与P 在圆心C 的同侧时,①当点D 在点C ,P 之间时,△PAB 的高为1-d ; ②当点D 在CP 的延长线上时,△PAB 的高为d-1. 根据圆的对称性,当AB 与(1)中相等时,相应的高都小于(1)中AB 对应的高,所以相应△PAB 的面积也小. 综上,△PAB 面积的最大值是10√5.⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2x,-2y),所⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-x,-2-y),所以DD对点训练510由题意,知DD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-x,2-y),DD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√D2+D2.因为点P(x,y)是圆(x-3)2+y2=4上的点,所以⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DD以|DD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√D2-(D-3)2+4=2√6D-5. (x-3)2+y2=4,1≤x≤5,所以y2=-(x-3)2+4,所以|DD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的值最大,最大值为2√6×5-5=10.因为1≤x≤5,所以当x=5时,|DD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DD。

高考专题冲破五 高考中的圆锥曲线问题【考点自测】1．(2021·全国Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共核心，则C 的方程为( )A.x 28－y 210＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 25－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 答案 B 解析 由y ＝52x ，可得b a ＝52.① 由椭圆x 212＋y 23＝1的核心为(3,0)，(－3,0)，可得a 2＋b 2＝9.② 由①②可得a 2＝4，b 2＝5.所以C 的方程为x 24－y 25＝1.故选B.2．(2021·全国Ⅲ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右极点别离为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( )A.63 B.33 C.23 D.13 答案 A解析 由题意知，以A 1A 2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a .又直线bx －ay ＋2ab ＝0与圆相切，∴圆心到直线的距离d ＝2aba 2＋b 2＝a ，解得a ＝3b ，∴b a＝13，∴e ＝c a＝a 2－b 2a＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫132＝63. 故选A.3．(2021·全国Ⅰ)已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的核心，过F 作两条彼此垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为( )A ．16B ．14C ．12D ．10 答案 A解析 因为F 为y 2＝4x 的核心，所以F (1,0)．由题意知直线l 1，l 2的斜率均存在，且不为0，设l 1的斜率为k ，则l 2的斜率为－1k，故直线l 1，l 2的方程别离为y ＝k (x －1)，y ＝－1k(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.显然，该方程必有两个不等实根．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k2，x 1x 2＝1，所以|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋4k 22－4＝4(1＋k 2)k 2. 同理可得|DE |＝4(1＋k 2)．所以|AB |＋|DE |＝4(1＋k 2)k2＋4(1＋k 2) ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋1＋1＋k 2＝8＋4⎝⎛⎭⎪⎫k 2＋1k 2≥8＋4×2＝16，当且仅当k 2＝1k2，即k ＝±1时，取得等号．故选A.4．(2021·北京)若双曲线x 2－y 2m＝1的离心率为3，则实数m ＝________.答案 2解析 由双曲线的标准方程知a ＝1，b 2＝m ，c ＝1＋m ， 故双曲线的离心率e ＝c a＝1＋m ＝3， ∴1＋m ＝3，解得m ＝2.5．(2021·山东)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右支与核心为F的抛物线x 2＝2py (p ＞0)交于A ，B 两点，若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为________． 答案 y ＝±22x 解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2b 2＝1，x 2＝2py ，得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0，显然，方程必有两个不等实根．∴y 1＋y 2＝2pb2a2.又∵|AF |＋|BF |＝4|OF |，∴y 1＋p 2＋y 2＋p 2＝4×p2，即y 1＋y 2＝p ，∴2pb2a 2＝p ，即b 2a 2＝12，∴b a ＝22， ∴双曲线的渐近线方程为y ＝±22x .题型一 求圆锥曲线的标准方程例1 (2021·佛山模拟)设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右核心别离为F 1，F 2，上极点为B .若|BF 2|＝|F 1F 2|＝2，则该椭圆的方程为( ) A.x 24＋y 23＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 22＋y 2＝1 D.x 24＋y 2＝1 答案 A解析 ∵|BF 2|＝|F 1F 2|＝2，∴a ＝2c ＝2， ∴a ＝2，c ＝1，∴b ＝3， ∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.思维升华 求圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型，主要利用圆锥曲线的概念、简单性质，解得标准方程中的参数，从而求得方程．跟踪训练1 已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个核心为F (2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝3相切，则双曲线的方程为( ) A.x 29－y 213＝1 B.x 213－y 29＝1 C.x 23－y 2＝1 D ．x 2－y 23＝1答案 D解析 双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一个核心为F (2,0)，则a 2＋b 2＝4，①双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ， 由题意得2ba 2＋b 2＝3，②联立①②解得b ＝3，a ＝1，所求双曲线的方程为x 2－y 23＝1，故选D.题型二 圆锥曲线的简单性质例2 (1)(2021届辽宁凌源二中联考)已知圆E ：(x －3)2＋(y ＋m －4)2＝1(m ∈R )，当m 转变时，圆E 上的点与原点O 的最短距离是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率，则双曲线C 的渐近线为( ) A ．y ＝±2x B ．y ＝±12xC ．y ＝±3xD ．y ＝±33x 答案 C解析 圆E 的圆心到原点的距离d ＝32＋(4－m )2，由此可得，当m ＝4时，圆E 上的点与原点O 的最短距离是d min ＝3－1＝2，即双曲线的离心率为e ＝c a＝2，由此可得b a ＝c 2－a 2a＝3，双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线为y ＝±bax ＝±3x .故选C.(2)(2021·天津)设抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数，p >0)的核心为F ，准线为l .过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B .设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫72p ，0，AF 与BC 相交于点E .若|CF |＝2|AF |，且△ACE的面积为32，则p 的值为________． 答案6解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (p >0)消去t 可得抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0， 又|CF |＝2|AF |且|CF |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪72p －p 2＝3p ， ∴|AB |＝|AF |＝32p ，可得A (p ，2p )． 易知△AEB ∽△FEC ， ∴|AE ||FE |＝|AB ||FC |＝12， 故S △ACE ＝13S △ACF ＝13×3p ×2p ×12＝22p 2＝32， ∴p 2＝6，∵p >0，∴p ＝ 6.思维升华 圆锥曲线的简单性质是高考考查的重点，求离心率、准线、双曲线渐近线是常考题型，解决这种问题的关键是熟练掌握各性质的概念，及相关参数间的联系．掌握一些常常利用的结论及变形技能，有助于提高运算能力．跟踪训练2 (2021·全国Ⅱ)若双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线被圆(x －2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则C 的离心率为( ) A ．2 B. 3 C. 2 D.233答案 A解析 设双曲线的一条渐近线方程为y ＝b ax ， 圆的圆心为(2,0)，半径为2，由弦长为2得出圆心到渐近线的距离为22－12＝ 3.按照点到直线的距离公式，得|2b |a 2＋b 2＝3，解得b 2＝3a 2.所以C 的离心率e ＝ca ＝c 2a 2＝1＋b 2a2＝2. 故选A.题型三 最值、范围问题例3 (2021·浙江)如图，已知抛物线x 2＝y ，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，94，抛物线上的点P (x ，y )⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＜x ＜32，过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .(1)求直线AP 斜率的取值范围； (2)求|PA |·|PQ |的最大值． 解 (1)由P (x ，y )，即P (x ，x 2)． 设直线AP 的斜率为k ，则k ＝x 2－14x ＋12＝x －12，因为－12＜x ＜32.所以直线AP 斜率的取值范围为(－1,1)． (2)联立直线AP 与BQ 的方程⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋12k ＋14＝0，x ＋ky －94k －32＝0，解得点Q 的横坐标是x Q ＝－k 2＋4k ＋32(k 2＋1). 因为|PA |＝1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝1＋k 2(k ＋1)，|PQ |＝1＋k 2(x Q －x )＝－(k －1)(k ＋1)2k 2＋1，所以|PA |·|PQ |＝－(k －1)(k ＋1)3， 令f (k )＝－(k －1)(k ＋1)3， 因为f ′(k )＝－(4k －2)(k ＋1)2，所以f (k )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12上单调递增，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减．因此当k ＝12时，|PA |·|PQ |取得最大值2716.思维升华 圆锥曲线中的最值、范围问题解决方式一般分两种：一是代数法，从代数的角度考虑，通过成立函数、不等式等模型，利用二次函数法和大体不等式法、换元法、导数法等方式求最值；二是几何法，从圆锥曲线的简单性质的角度考虑，按照圆锥曲线的几何意义求最值与范围．跟踪训练3 (2021·山东)平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是32，抛物线E ：x 2＝2y 的核心F 是C 的一个极点．(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D .直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M . ①求证：点M 在定直线上；②直线l 与y 轴交于点G ，记△PFG 的面积为S 1，△PDM 的面积为S 2，求S 1S 2的最大值及取得最大值时点P 的坐标．(1)解 由题意知a 2－b 2a ＝32，可得a 2＝4b 2，因为抛物线E 的核心为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，所以b ＝12，a ＝1，所以椭圆C 的方程为x 2＋4y 2＝1.(2)①证明 设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 22(m >0)，由x 2＝2y ，可得y ′＝x ，所以直线l 的斜率为m ，因此直线l 的方程为y －m 22＝m (x －m )．即y ＝mx －m 22.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝1，y ＝mx －m 22，得(4m 2＋1)x 2－4m 3x ＋m 4－1＝0.由Δ>0，得0<m <2＋5(或0<m 2<2＋5)．(*)且x 1＋x 2＝4m 34m 2＋1，因此x 0＝2m 34m 2＋1，将其代入y ＝mx －m 22，得y 0＝－m 22(4m 2＋1)，因为y 0x 0＝－14m ， 所以直线OD 方程为y ＝－14m x ，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14m x ，x ＝m ，得点M 的纵坐标y M ＝－14，所以点M 在定直线y ＝－14上．②解 由①知直线l 的方程为y ＝mx －m 22，令x ＝0，得y ＝－m 22，所以G ⎝⎛⎭⎪⎫0，－m 22， 又P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 22，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m34m 2＋1，－m 22(4m 2＋1)，所以S 1＝12·|GF |·m ＝(m 2＋1)m4，S 2＝12·|PM |·|m －x 0|＝12×2m 2＋14×2m 3＋m4m 2＋1＝m (2m 2＋1)28(4m 2＋1)， 所以S 1S 2＝2(4m 2＋1)(m 2＋1)(2m 2＋1)2. 设t ＝2m 2＋1，则S 1S 2＝(2t －1)(t ＋1)t 2＝2t 2＋t －1t 2＝－1t 2＋1t＋2，当1t ＝12，即t ＝2时，S 1S 2取到最大值94， 此时m ＝22，知足(*)式，所以P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，14. 因此S 1S 2的最大值为94，此时点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，14.题型四 定点、定值问题例4 (2021·益阳、湘潭调研)已知动圆P 通过点N (1,0)，而且与圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝16相切．(1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)设G (m,0)为轨迹C 内的一个动点，过点G 且斜率为k 的直线l 交轨迹C 于A ，B 两点，当k 为何值时，ω＝|GA |2＋|GB |2是与m 无关的定值，并求出该定值．解 (1)由题设得|PM |＋|PN |＝4>|MN |＝2， ∴点P 的轨迹C 是以M ，N 为核心的椭圆， ∵2a ＝4,2c ＝2，∴b ＝a 2－c 2＝3， ∴点P 的轨迹C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，G (m,0)(－2<m <2)， 直线l ：y ＝k (x －m )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －m )，x 24＋y23＝1，得(3＋4k 2)x 2－8k 2mx ＋4k 2m 2－12＝0， x 1＋x 2＝8mk 24k 2＋3，x 1·x 2＝4k 2m 2－124k 2＋3， ∴y 1＋y 2＝k (x 1－m )＋k (x 2－m ) ＝k (x 1＋x 2)－2km ＝－6mk4k 2＋3.y 1·y 2＝k 2(x 1－m )(x 2－m )＝k 2x 1x 2－k 2m (x 1＋x 2)＋k 2m 2＝3k 2(m 2－4)4k 2＋3. ∴|GA |2＋|GB |2＝(x 1－m )2＋y 21＋(x 2－m )2＋y 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2－2m (x 1＋x 2)＋2m 2＋(y 1＋y 2)2－2y 1y 2 ＝(k 2＋1)－6m 2(4k 2－3)＋24(3＋4k 2)(4k 2＋3)2. ∵ω＝|GA |2＋|GB |2的值与m 无关，∴4k 2－3＝0， 解得k ＝±32.此时ω＝|GA |2＋|GB |2＝7. 思维升华 求定点及定值问题常见的方式有两种 (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的进程中消去变量，从而取得定值．跟踪训练4 已知椭圆C ：9x 2＋y 2＝m 2(m ＞0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .(1)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；(2)若l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫m3，m ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 可否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，请说明理由． (1)证明 设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )．将y ＝kx ＋b 代入9x 2＋y 2＝m 2， 得(k 2＋9)x 2＋2kbx ＋b 2－m 2＝0，① 故x M ＝x 1＋x 22＝－kb k 2＋9，y M ＝kx M ＋b ＝9bk 2＋9. 于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M＝－9k，即k OM ·k ＝－9.所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值． (2)解 四边形OAPB 能为平行四边形．因为直线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3，m ，由①中判别式Δ＝4k 2b 2－4(k 2＋9)·(b 2－m 2)>0，得k 2m 2>9b 2－9m 2，又b ＝m －k3m ，所以k 2m 2>9⎝ ⎛⎭⎪⎫m －k 3m 2－9m 2，得k 2>k 2－6k ，所以k >0.所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是k ＞0，k ≠3. 由(1)得OM 的方程为y ＝－9kx .设点P 的横坐标为x P ， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－9k x ，9x 2＋y 2＝m 2，得x 2P ＝k 2m 29k 2＋81，即x P ＝±km3k 2＋9. 将点⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3，m 的坐标代入l 的方程得b ＝m (3－k )3，因此x M ＝km (k －3)3(k 2＋9). 四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 彼此平分，即x P ＝2x M . 于是±km 3k 2＋9＝2×km (k －3)3(k 2＋9)， 解得k 1＝4－7，k 2＝4＋7.因为k i ＞0，k i ≠3，i ＝1,2，所以当l 的斜率为4－7或4＋7时，四边形OAPB 为平行四边形．题型五 探索性问题例5 (2021·泉州模拟)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率是22，过点P (0,1)的动直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，当直线l 平行于x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为2 2.(1)求椭圆E 的方程；(2)在平面直角坐标系xOy 中，是不是存在与点P 不同的定点Q ，使得|QA ||QB |＝|PA ||PB |恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 解 (1)由已知，点(2，1)在椭圆E 上，因此⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋1b 2＝1，a2－b 2＝c 2，c a ＝22，解得a ＝2，b ＝2，所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)当直线l 与x 轴平行时，设直线l 与椭圆相交于C ，D 两点，若是存在定点Q 知足条件，则有|QC ||QD |＝|PC ||PD |＝1，即|QC |＝|QD |，所以Q 点在y 轴上，可设Q 点的坐标为(0，y 0)．当直线l 与x 轴垂直时，设直线l 与椭圆相交于M ，N 两点，则M ，N 的坐标别离为(0，2)，(0，－2)， 由|QM ||QN |＝|PM ||PN |，有|y 0－2||y 0＋2|＝2－12＋1， 解得y 0＝1或y 0＝2，所以若存在不同于点P 的定点Q 知足条件，则Q 点坐标只可能为(0,2)．证明如下：对任意直线l ，均有|QA ||QB |＝|PA ||PB |，其中Q 点坐标为(0,2)．当直线l 的斜率不存在时，由上可知，结论成立；当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，A ，B 的坐标别离为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝kx ＋1，得(2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0，其判别式Δ＝(4k )2＋8(2k 2＋1)＞0，所以x 1＋x 2＝－4k2k 2＋1， x 1x 2＝－22k 2＋1， 因此1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝2k ，易知点B 关于y 轴对称的点B ′的坐标为(－x 2，y 2)， 又k QA ＝y 1－2x 1＝kx 1－1x 1＝k －1x 1， k QB ′＝y 2－2－x 2＝kx 2－1－x 2＝－k ＋1x 2＝k －1x 1，所以k QA ＝k QB ′，即Q ，A ，B ′三点共线， 所以|QA ||QB |＝|QA ||QB ′|＝|x 1||x 2|＝|PA ||PB |，故存在与点P 不同的定点Q (0,2)，使得|QA ||QB |＝|PA ||PB |恒成立．思维升华 (1)探索性问题通常采用“肯定顺推法”，将不肯定性问题明朗化．其步骤为假设知足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；不然，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常常利用的方式．跟踪训练5 (2021届珠海摸底)已知椭圆C 1，抛物线C 2的核心均在x 轴上，C 1的中心和C 2的极点均为原点O ，从每条曲线上各取两个点，其坐标别离是(3，－23)，(－2，0)，(4，－4)，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22. (1)求C 1，C 2的标准方程；(2)是不是存在直线l 知足条件：①过C 2的核心F ；②与C 1交于不同的两点M ，N 且满足OM →⊥ON →？若存在，求出直线方程；若不存在，请说明理由． 解 (1)设抛物线C 2：y 2＝2px (p ≠0)，则有y 2x＝2p (x ≠0)，据此验证四个点知(3，－23)，(4，－4)在抛物线上， 易患，抛物线C 2的标准方程为C 2：y 2＝4x ；设椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，把点(－2,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22代入可得a 2＝4，b 2＝1. 所以椭圆C 1的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)由椭圆的对称性可设C 2的核心为F (1,0)， 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1. 直线l 交椭圆C 1于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32， OM →·ON →≠0，不知足题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)， 并设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 2＋4y 2＝4，消去y ，得(1＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4(k 2－1)＝0， 于是x 1＋x 2＝8k 21＋4k 2，x 1x 2＝4(k 2－1)1＋4k2，y 1y 2＝k (x 1－1)·k (x 2－1)＝k 2x 1x 2－k 2(x 1＋x 2)＋k 2＝－3k21＋4k2，①由OM →⊥ON →，得OM →·ON →＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0.② 将①代入②式，得4(k 2－1)1＋4k 2－3k 21＋4k 2＝k 2－41＋4k 2＝0，解得k ＝±2.经查验，k ＝±2都符合题意．所以存在直线l 知足条件，且l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋y －2＝0.1．(2021·惠州模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，过点M (1，0)的直线l交椭圆C 于A ，B 两点，|MA |＝λ|MB |，且当直线l 垂直于x 轴时，|AB |＝ 2. (1)求椭圆C 的方程；(2)当λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，求弦长|AB |的取值范围．解 (1)由已知e ＝22，得c a ＝22，① ∵当直线垂直于x 轴时，|AB |＝2， ∴椭圆过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22， 代入椭圆方程得1a 2＋12b 2＝1，②又a 2＝b 2＋c 2，③联立①②③可得a 2＝2，b 2＝1， ∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)当过点M 的直线的斜率为0时，点A ，B 别离为椭圆长轴的端点，λ＝|MA ||MB |＝2＋12－1＝3＋22>2或λ＝|MA ||MB |＝2－12＋1＝3－22<12，不符合题意．∴直线l 的斜率不能为0.设直线l 的方程为x ＝my ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将直线的方程代入椭圆方程得(m 2＋2)y 2＋2my －1＝0， 显然方程有两个不同实数解． 由根与系数的关系可得⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2mm 2＋2， ④y 1y 2＝－1m 2＋2， ⑤将④式平方除以⑤式可得y 1y 2＋y 2y 1＋2＝－4m2m 2＋2，由已知|MA |＝λ|MB |可知，y 1y 2＝－λ， ∴－λ－1λ＋2＝－4m2m 2＋2，又知λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，∴－λ－1λ＋2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，0，∴－12≤－4m 2m 2＋2≤0，解得m 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，27.|AB |2＝(1＋m 2)|y 1－y 2|2＝(1＋m 2)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2] ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋1m 2＋22＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1m 2＋22，∵m 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，27，∴1m 2＋2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤716，12，∴|AB |∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，928. 2．(2021·新余联考)如图所示，已知点E (m,0)为抛物线y 2＝4x 内的一个定点，过E 作斜率别离为k 1，k 2的两条直线，分别交抛物线于点A ，B ，C ，D ，且M ，N 分别是AB ，CD 的中点．(1)若m ＝1，k 1k 2＝－1，求△EMN 面积的最小值； (2)若k 1＋k 2＝1，求证：直线MN 过定点． (1)解 当m ＝1时，E 为抛物线y 2＝4x 的核心， ∵k 1k 2＝－1，∴AB ⊥CD ，直线AB 的方程为y ＝k 1(x －1)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1(x －1)，y 2＝4x ，得k 1y 2－4y －4k 1＝0，显然方程有两不等实根，y 1＋y 2＝4k 1，y 1y 2＝－4，∵AB 的中点为M ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，x 1＋x 2＝y 1k 1＋1＋y 2k 1＋1＝4k 21＋2.∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋1，2k 1，同理，点N (2k 21＋1，－2k 1)． ∴S △EMN ＝12|EM |·|EN |＝12 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 212＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 12·(2k 21)2＋(－2k 1)2 ＝2k 21＋1k 21＋2≥22＋2＝4， 当且仅当k 21＝1k 21，即k 1＝±1时，△EMN 的面积取最小值4.(2)证明 直线AB 的方程为y ＝k 1(x －m )，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1(x －m )，y 2＝4x ，得k 1y 2－4y －4k 1m ＝0，显然方程有两不等实根．y 1＋y 2＝4k 1，y 1y 2＝－4m ，∵AB 的中点为M ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，x 1＋x 2＝y 1k 1＋m ＋y 2k 1＋m＝4k 1k 1＋2m ＝4k 21＋2m ， ∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋m ，2k 1，同理，点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 22＋m ，2k 2，∴k MN ＝k 1k 2k 1＋k 2＝k 1k 2， ∴直线MN ：y －2k 1＝k 1k 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋m ，即y ＝k 1k 2(x －m )＋2，∴直线MN 恒过定点(m,2)．3．(2021·衡水联考)在平面直角坐标系xOy 中，过点C (2,0)的直线与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)求证：y 1y 2为定值；(2)是不是存在平行于y 轴的定直线被以AC 为直径的圆截得的弦长为定值？若是存在，求出该直线方程和弦长；若是不存在，请说明理由． (1)证明 方式一 当直线AB 垂直于x 轴时，y 1＝22，y 2＝－22，因此y 1y 2＝－8(定值)． 当直线AB 不垂直于x 轴时， 设直线AB 的方程为y ＝k (x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，y 2＝4x ，得ky 2－4y －8k ＝0.∴y 1y 2＝－8.因此有y 1y 2＝－8，为定值． 方式二 显然直线AB 的斜率不为0. 设直线AB 的方程为my ＝x －2，由⎩⎪⎨⎪⎧my ＝x －2，y 2＝4x ，得y 2－4my －8＝0.∴y 1y 2＝－8，为定值．(2)解 设存在直线l ：x ＝a 知足条件， 则AC 的中点为E ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋22，y 12，|AC |＝(x 1－2)2＋y 21. 因此以AC 为直径的圆的半径r ＝12|AC |＝12(x 1－2)2＋y 21＝12x 21＋4， 又点E 到直线x ＝a 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1＋22－a故所截弦长为 2r 2－d 2＝214(x 21＋4)－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋22－a 2＝x 21＋4－(x 1＋2－2a )2＝－4(1－a )x 1＋8a －4a 2.当1－a ＝0，即a ＝1时，弦长为定值2，这时直线方程为x ＝1. 4．已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4.(2)设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线y ＝2上，且OA ⊥OB ，试判断直线AB 与圆x 2＋y 2＝2的位置关系，并证明你的结论．解 (1)由题意知，椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1，所以a 2＝4，b 2＝2，从而c 2＝a 2－b 2＝2. 因此a ＝2，c ＝ 2. 故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝22. (2)直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切．证明如下： 设点A ，B 的坐标别离为(x 0，y 0)，(t,2)，其中x 0≠0. 因为OA ⊥OB ，所以OA →·OB →＝0， 即tx 0＋2y 0＝0，解得t ＝－2y 0x 0.当x 0＝t 时，y 0＝－t 22，代入椭圆C 的方程，得t ＝±2，故直线AB 的方程为x ＝±2， 圆心O 到直线AB 的距离d ＝ 2. 此时直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切． 当x 0≠t 时，直线AB 的方程为y －2＝y 0－2x 0－t(x －t )． 即(y 0－2)x －(x 0－t )y ＋2x 0－ty 0＝0. 圆心O 到直线AB 的距离d ＝|2x 0－ty 0|(y 0－2)2＋[－(x 0－t )]2.又x 20＋2y 20＝4，t ＝－2y 0x 0，故d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0＋2y 20x 0x 20＋y 20＋4y 2x 20＋4＝ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪4＋x 20x 0x 40＋8x 20＋162x 20＝ 2.此时直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切． 综上，直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切．5．(2021·商丘质检)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝ 32，a ＋b ＝3.(2)如图所示，A ，B ，D 是椭圆C 的极点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意一点，直线DP 交x 轴于点N ，直线AD 交BP 于点M ，设BP 的斜率为k ，MN 的斜率为m .证明：2m －k 为定值．(1)解 因为e ＝32＝c a ， 所以a ＝23c ，b ＝13c .代入a ＋b ＝3得，c ＝3，a ＝2，b ＝1. 故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明 因为B (2,0)，点P 不为椭圆极点，则可设直线BP 的方程为y ＝k (x －2)⎝⎛⎭⎪⎫k ≠0，k ≠±12，① ①代入x 24＋y 2＝1，解得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－24k 2＋1，－4k 4k 2＋1.直线AD 的方程为y ＝12x ＋1.②①与②联立解得M ⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋22k －1，4k 2k －1.由D (0,1)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－24k 2＋1，－4k 4k 2＋1，N (x,0)三点共线知－4k4k 2＋1－18k 2－24k 2＋1－0＝0－1x －0，解得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k －22k ＋1，0.所以MN 的斜率为m ＝4k2k －1－04k ＋22k －1－4k －22k ＋1＝4k (2k ＋1)2(2k ＋1)2－2(2k －1)2＝2k ＋14. 则2m －k ＝2k ＋12－k ＝12(定值)．6．(2021届广东六校联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)通过点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，22，且两核心与短轴的一个端点的连线组成等腰直角三角形．(1)求椭圆C 的方程；(2)动直线l ：mx ＋ny ＋13n ＝0(m ，n ∈R )交椭圆C 于A ，B 两点，试问：在座标平面上是不是存在一个定点T ，使得以AB 为直径的圆恒过点T .若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)因为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两核心与短轴的一个端点的连线组成等腰直角三角形，所以a ＝2b ，所以x 22b 2＋y 2b2＝1， 又因为椭圆通过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22，代入可得b ＝1. 所以a ＝2，故所求椭圆的方程为x 22＋y 2＝1. (2)首先求出动直线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－13. 当l 与x 轴平行时，以AB 为直径的圆的方程为 x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋132＝⎝ ⎛⎭⎪⎫432， 当l 与y 轴平行时，以AB 为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋132＝⎝ ⎛⎭⎪⎫432，x 2＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝1，即两圆相切于点(0,1)，因此所求的点T 若是存在，只能是(0,1)，事实上，点T (0,1)就是所求的点．证明如下：当直线l 垂直于x 轴时，以AB 为直径的圆过点T (0,1)，当直线l 不垂直于x 轴时，可设直线l ：y ＝kx －13，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －13，x 22＋y 2＝1， 消去y ，得(18k 2＋9)x 2－12kx －16＝0， 记点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝12k 18k 2＋9，x 1x 2＝－1618k 2＋9.又因为TA →＝(x 1，y 1－1)，TB →＝(x 2，y 2－1)，所以TA →·TB →＝x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)＝x 1x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫kx 1－43⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 2－43 ＝(1＋k 2)x 1x 2－43k (x 1＋x 2)＋169＝(1＋k 2)·－1618k 2＋9－43k ·12k 18k 2＋9＋169＝0， 所以TA →⊥TB →，即以AB 为直径的圆恒过点T (0,1)， 所以在座标平面上存在一个定点T (0,1)知足题意．。

第3讲 圆的方程基础知识整合1．圆的定义、方程(1)在平面内到01定点的距离等于02定长的点的轨迹叫做圆． (2)确定一个圆的基本要素：03圆心和04半径. (3)圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)． (4)圆的一般方程①一般方程：05x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0；②方程表示圆的充要条件：06D 2＋E 2－4F >0；③圆心坐标：07⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E2，半径r ＝0812D 2＋E 2－4F . 2．点与圆的位置关系 (1)理论依据09点与圆心的距离与半径的大小关系． (2)三个结论圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，点M (x 0，y 0)，d 为圆心到点M 的距离．①10(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2⇔点在圆上⇔d ＝r ；②11(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2⇔点在圆外⇔d >r ；③12(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2⇔点在圆内⇔d <r .求圆的方程，如果能借助圆的几何性质，能使解题思路简化减少计算量，常用的几何性质有：(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上； (2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．1．(2016·全国卷Ⅱ)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )A ．－43B ．－34C ． 3D ．2答案 A解析 圆的方程可化为(x －1)2＋(y －4)2＝4，则圆心坐标为(1,4)，圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43.故选A ．2．(2019·江西南昌模拟)若坐标原点在圆(x －m )2＋(y ＋m )2＝4的内部，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－3，3)C ．(－2，2)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22 答案 C解析 ∵原点(0,0)在圆(x －m )2＋(y ＋m )2＝4的内部，∴(0－m )2＋(0＋m )2<4，解得－2<m <2，故选C ．3．若方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2) B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0 C ．(－2,0) D ．⎝⎛⎭⎪⎫－2，23 答案 D解析 由圆的一般方程的系数关系可得a 2＋(2a )2－4(2a 2＋a －1)>0，化简得3a 2＋4a －4<0，解得－2<a <23.4．圆心在y 轴上且通过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2＋10y ＝0 B ．x 2＋y 2－10y ＝0 C ．x 2＋y 2＋10x ＝0 D ．x 2＋y 2－10x ＝0答案 B解析 设圆心为(0，b )，半径为r ，则r ＝|b |， ∴圆的方程为x 2＋(y －b )2＝b 2. ∵点(3,1)在圆上，∴9＋(1－b )2＝b 2，解得b ＝5. ∴圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0.5．(2019·福建厦门模拟)点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任意一点连接的线段的中点的轨迹方程为( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 答案 A解析 设中点为A (x ，y )，圆上任意一点为B (x ′，y ′)，由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧x ′＋4＝2x ，y ′－2＝2y ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x －4，y ′＝2y ＋2，故(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得，(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.6．(2018·天津高考)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________．答案 x 2＋y 2－2x ＝0解析 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，圆经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)，则⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，1＋1＋D ＋E ＋F ＝0，4＋0＋2D ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝0，F ＝0，所以圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0.核心考向突破考向一 求圆的方程例1 (1)(2019·海南海口模拟)已知圆M 与直线3x －4y ＝0及3x －4y ＋10＝0都相切，圆心在直线y ＝－x －4上，则圆M 的方程为( )A ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝1 B ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝1 C ．(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝1 D ．(x －3)2＋(y －1)2＝1 答案 C解析 到两直线3x －4y ＝0,3x －4y ＋10＝0的距离都相等的直线方程为3x －4y ＋5＝0，联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＋5＝0，y ＝－x －4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－1.又两平行线间的距离为2，所以圆M 的半径为1，从而圆M 的方程为(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝1.故选C ．(2)已知圆的圆心在直线x －2y －3＝0上，且过点A (2，－3)，B (－2，－5)，则圆的方程为________．答案 x 2＋y 2＋2x ＋4y －5＝0解析 解法一：设所求圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2－a 2＋－3－b 2＝r 2，－2－a 2＋－5－b 2＝r 2，a －2b －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，r 2＝10，故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10，即x 2＋y 2＋2x ＋4y －5＝0.解法二：设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－E 2－3＝0，4＋9＋2D －3E ＋F ＝0，4＋25－2D －5E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝4，F ＝－5.故所求圆的方程为x 2＋y 2＋2x ＋4y －5＝0.求圆的方程的两种方法(1)几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设出圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值．②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设出圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值．[即时训练] 1.已知圆E 经过三点A (0,1)，B (2,0)，C (0，－1)，且圆心在x 轴的正半轴上，则圆E 的标准方程为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋342＋y 2＝2516C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋y 2＝2516D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋y 2＝254答案 C解析 因为圆E 经过点A (0,1)，B (2,0)，所以圆E 的圆心在线段AB 的垂直平分线y －12＝2(x －1)上．又圆E 的圆心在x 轴的正半轴上，所以圆E 的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0.则圆E 的半径为EB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－342＋0－02＝54，所以圆E 的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋y 2＝2516. 2．(2019·江苏镇江模拟)圆心在直线y ＝－4x 上，并且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)的圆的方程为________.答案 (x －1)2＋(y ＋4)2＝8解析 设圆心A 的坐标为(x ，－4x )，则k AP ＝2－4xx －3，k l ＝－1，又圆A 与直线l 相切，∴k AP ·k l ＝－1，∴x ＝1，∴A (1，－4)，r ＝1－32＋－4＋22＝22，∴所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.考向二 与圆有关的轨迹问题例2 (2019·内蒙古模拟)已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B ．(1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程．解 (1)由x 2＋y 2－6x ＋5＝0，得(x －3)2＋y 2＝4，所以圆C 1的圆心坐标为(3,0)． (2)设点M (x ，y )，因为点M 为线段AB 的中点，所以C 1M ⊥AB ， 所以kC 1M ·k AB ＝－1，当x ≠3时，可得y x －3·yx＝－1，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94，又当直线l 与x 轴重合时，M 点坐标为(3,0)，代入上式成立．设直线l 的方程为y ＝kx ，与x 2＋y 2－6x ＋5＝0联立，消去y 得，(1＋k 2)x 2－6x ＋5＝0. 令其判别式Δ＝(－6)2－4(1＋k 2)×5＝0，得k 2＝45，此时方程为95x 2－6x ＋5＝0，解上式得x ＝53，因此53<x ≤3.所以线段AB 的中点M 的轨迹的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94⎝ ⎛⎭⎪⎫53<x ≤3.求与圆有关的轨迹方程的方法[即时训练] 3.已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点．(1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．解 (1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2,2y )． 因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上， 所以(2x －2)2＋(2y )2＝4.故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1(x ≠2)．(2)设PQ 的中点为N (x ，y )，在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |，设O 为坐标原点，连接ON (图略)，则ON ⊥PQ ，所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2，所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.精准设计考向，多角度探究突破 考向三 与圆有关的最值问题角度1 例3 (1)圆A ：x 2＋y 2－4x ＋4y ＋6＝0上的动点M 到坐标原点O 的距离的最大值、最小值分别是________，________.答案 3 22解析 ∵⊙A ：(x －2)2＋(y ＋2)2＝2，∴圆心A (2，－2)，半径r ＝2，∴|OA |＝22，则|OM |max ＝22＋2＝32，|OM |min ＝22－2＝ 2.(2)已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0. ①求y x的最大值和最小值； ②求y －x 的最大值和最小值； ③求x 2＋y 2的最大值和最小值．解 ①原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆，y x的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设y x＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝± 3. 所以y x的最大值为3，最小值为－ 3.②y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2± 6. 所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.③x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为2－02＋0－02＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3.角度2 构建目标函数求最值例 4 (2019·江西新余模拟)已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m,0)(m >0)．若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( )A ．7B ．6C ．5D ．4答案 B解析 解法一：由(x －3)2＋(y －4)2＝1，知圆上点P (x 0，y 0)可化为⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3＋cos θ，y 0＝4＋sin θ.∵∠APB ＝90°，即AP →·BP →＝0， ∴(x 0＋m )(x 0－m )＋y 20＝0， ∴m 2＝x 20＋y 20＝26＋6cos θ＋8sin θ ＝26＋10sin(θ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝34， ∴4<m ≤6，即m 的最大值为6.故选B ．解法二：∵在Rt △APB 中，原点O 为斜边中点，|AB |＝2m (m >0)， ∴m ＝|OP |≤|OC |＋r ，C (3,4)，r ＝1，∴|OP |≤6， 即m ≤6.故选B ．与圆有关的最值问题的求解方法(1)借助几何性质求最值 ①形如μ＝y －bx －a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题； ②形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．(2)建立函数关系式求最值根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，利用基本不等式求最值是比较常用的．[即时训练] 4.(2018·全国卷Ⅲ)直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是( )A ．[2,6]B ．[4,8]C ．[2，32]D ．[22，32]答案 A解析 ∵直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴，y 轴交于点A ，B ，∴A (－2,0)，B (0，－2)，则|AB |＝2 2.∵点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，圆心为(2,0)，∴圆心到直线的距离d 1＝|2＋0＋2|2＝22，故点P 到直线x ＋y ＋2＝0的距离d 2的范围为[2，32]，则S △ABP ＝12|AB |d 2＝2d 2∈[2,6]．故选A ．5．设点P (x ，y )是圆x 2＋(y －3)2＝1上的动点，定点A (2,0)，B (－2,0)．则PA →·PB →的最大值为________．答案 12解析 由题意，得PA →＝(2－x ，－y )，PB →＝(－2－x ，－y )，所以PA →·PB →＝x 2＋y 2－4，由于点P (x ，y )是圆上的点，故其坐标满足方程x 2＋(y －3)2＝1，故x 2＝－(y －3)2＋1，所以PA →·PB →＝－(y －3)2＋1＋y 2－4＝6y －12.易知2≤y ≤4，所以，当y ＝4时，PA →·PB →的值最大，最大值为6×4－12＝12.1、在最软入的时候，你会想起谁。

北师大版2021版高考数学（理）一轮复习 第九章平面解析几何第8讲曲线与方程练习[基础题组练]1．方程(x －y )2＋(xy －1)2＝0表示的曲线是( ) A ．一条直线和一条双曲线 B ．两条双曲线 C ．两个点 D ．以上答案都不对解析：选C.(x －y )2＋(xy －1)2＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，xy －1＝0.故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1.2．(2020·银川模拟)设D 为椭圆y 25＋x 2＝1上任意一点，A (0，－2)，B (0，2)，延长AD 至点P ，使得|PD |＝|BD |，则点P 的轨迹方程为( )A ．x 2＋(y －2)2＝20 B ．x 2＋(y ＋2)2＝20 C ．x 2＋(y －2)2＝5 D ．x 2＋(y ＋2)2＝5解析：选B.设点P 坐标为(x ，y )．因为D 为椭圆y 25＋x 2＝1上任意一点，且A ，B 为椭圆的焦点，所以|DA |＋|DB |＝2 5.又|PD |＝|BD |，所以|PA |＝|PD |＋|DA |＝|DA |＋|DB |＝25，所以x 2＋（y ＋2）2＝25，所以x 2＋(y ＋2)2＝20，所以点P 的轨迹方程为x 2＋(y ＋2)2＝20.故选B.3.如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，A (1，0)，B (1，1)，C (0，1)，映射f 将xOy 平面上的点P (x ，y )对应到另一个平面直角坐标系uO ′v 上的点P ′(2xy ，x 2－y 2)，则当点P 沿着折线A ­B ­C 运动时，在映射f 的作用下，动点P ′的轨迹是( )解析：选D.当P 沿AB 运动时，x ＝1，设P ′(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2y ，y ′＝1－y 2(0≤y ≤1)，故y ′＝1－x ′24(0≤x ′≤2，0≤y ′≤1)．当P 沿BC 运动时，y ＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝x 2－1(0≤x ≤1)，所以y ′＝x ′24－1(0≤x ′≤2，－1≤y ′≤0)，由此可知P ′的轨迹如D 项图象所示，故选D.4．(2020·兰州模拟)已知两点M (－2，0)，N (2，0)，点P 为坐标平面内的动点，满足|MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝0，则动点P (x ，y )的轨迹方程为( )A ．y 2＝－8x B ．y 2＝8x C ．y 2＝－4xD ．y 2＝4x解析：选A.设P (x ，y )，M (－2，0)，N (2，0)，|MN →|＝4.则MP →＝(x ＋2，y )，NP →＝(x －2，y )，由|MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝0，得4（x ＋2）2＋y 2＋4(x －2)＝0，化简整理得y 2＝－8x .故选A.5．(2020·郑州模拟)动点M 在圆x 2＋y 2＝25上移动，过点M 作x 轴的垂线段MD ，D 为垂足，则线段MD 中点的轨迹方程是( )A.4x 225＋y225＝1 B ．x 225＋4y225＝1 C.4x 225－y225＝1 D ．x 225－4y225＝1 解析：选B.如图，设线段MD 中点为P (x ，y )，M (x 0，y 0)，D (x 0，0)，因为P 是MD 的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ，y 0＝2y .又M 在圆x 2＋y 2＝25上，所以x 20＋y 20＝25，即x 2＋4y 2＝25，x 225＋4y 225＝1，所以线段MD 的中点P 的轨迹方程是x 225＋4y225＝1.故选B.6．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A (1，0)，B (2，2)，若点C 满足OC →＝OA →＋t (OB →－OA →)，其中t ∈R ，则点C 的轨迹方程是________．解析：设C (x ，y )，则OC →＝(x ，y )，OA →＋t (OB →－OA →)＝(1＋t ，2t )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t ，消去参数t 得点C的轨迹方程为y ＝2x －2.答案：y ＝2x －27．△ABC 的顶点A (－5，0)，B (5，0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是________．解析：如图，△ABC 与内切圆的切点分别为G ，E ，F .|AG |＝|AE |＝8，|BF |＝|BG |＝2，|CE |＝|CF |， 所以|CA |－|CB |＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，轨迹方程为x 29－y 216＝1(x >3)．答案：x 29－y 216＝1(x >3)8．设F 1，F 2为椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点，A 为椭圆上任意一点，过焦点F 1向∠F 1AF 2的外角平分线作垂线，垂足为D ，则点D 的轨迹方程是________．解析：由题意，延长F 1D ，F 2A 并交于点B ，易证Rt △ABD ≌Rt △AF 1D ，则|F 1D |＝|BD |，|F 1A |＝|AB |，又O 为F 1F 2的中点，连接OD ，则OD ∥F 2B ，从而可知|OD |＝12|F 2B |＝12(|AF 1|＋|AF 2|)＝2，设点D 的坐标为(x ，y )，则x 2＋y 2＝4.答案：x 2＋y 2＝49．如图所示，已知圆A ：(x ＋2)2＋y 2＝1与点B (2，0)，分别求出满足下列条件的动点P 的轨迹方程．(1)△PAB 的周长为10；(2)圆P 与圆A 外切，且过B 点(P 为动圆圆心)；(3)圆P 与圆A 外切，且与直线x ＝1相切(P 为动圆圆心)．解：(1)根据题意，知|PA |＋|PB |＋|AB |＝10，即|PA |＋|PB |＝6>4＝|AB |，故P 点轨迹是椭圆，且2a ＝6，2c ＝4，即a ＝3，c ＝2，b ＝ 5.因此其轨迹方程为x 29＋y 25＝1(y ≠0)．(2)设圆P 的半径为r ，则|PA |＝r ＋1，|PB |＝r ， 因此|PA |－|PB |＝1.由双曲线的定义知，P 点的轨迹为双曲线的右支，且2a ＝1，2c ＝4，即a ＝12，c ＝2，b ＝152，因此其轨迹方程为4x 2－415y 2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≥12.(3)依题意，知动点P 到定点A 的距离等于到定直线x ＝2的距离，故其轨迹为抛物线，且开口向左，p ＝4.因此其轨迹方程为y 2＝－8x .10．(2020·宝鸡模拟)已知动圆P 恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，且与直线x ＝－14相切．(1)求动圆P 圆心的轨迹M 的方程；(2)在正方形ABCD 中，AB 边在直线y ＝x ＋4上，另外C ，D 两点在轨迹M 上，求该正方形的面积． 解：(1)由题意得动圆P 的圆心到点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0的距离与它到直线x ＝－14的距离相等， 所以圆心P 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0为焦点，直线x ＝－14为准线的抛物线，且p ＝12，所以动圆P 圆心的轨迹M 的方程为y 2＝x .(2)由题意设CD 边所在直线方程为y ＝x ＋t .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋t ，y 2＝x ，消去y ，整理得x 2＋(2t －1)x ＋t 2＝0.因为直线CD 和抛物线交于两点，所以Δ＝(2t －1)2－4t 2＝1－4t ＞0，解得t ＜14.设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝1－2t ，x 1x 2＝t 2. 所以|CD |＝2[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2] ＝2[（1－2t ）2－4t 2]＝2（1－4t ）.又直线AB 与直线CD 之间的距离为|AD |＝|t －4|2，|AD |＝|CD |，所以2（1－4t ）＝|t －4|2，解得t ＝－2或t ＝－6， 经检验t ＝－2和t ＝－6都满足Δ＞0. 所以正方形边长|AD |＝32或|AD |＝52， 所以正方形ABCD 的面积S ＝18或S ＝50.[综合题组练]1．设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点．若BP →＝2PA →，且OQ →·AB →＝1，则点P 的轨迹方程是( )A.32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0) B.32x 2－3y 2＝1(x ＞0，y ＞0) C ．3x 2－32y 2＝1(x ＞0，y ＞0)D ．3x 2＋32y 2＝1(x ＞0，y ＞0)解析：选A.设A (a ，0)，B (0，b )，a ＞0，b ＞0.由BP →＝2PA →，得(x ，y －b )＝2(a －x ，－y )，即a ＝32x＞0，b ＝3y ＞0.点Q (－x ，y )，故由OQ →·AB →＝1，得(－x ，y )·(－a ，b )＝1，即ax ＋by ＝1.将a ＝32x ，b＝3y 代入ax ＋by ＝1，得所求的轨迹方程为32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0)．2．若曲线C 上存在点M ，使M 到平面内两点A (－5，0)，B (5，0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C 为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是( )A ．x ＋y ＝5B ．x 2＋y 2＝9 C.x 225＋y 29＝1 D ．x 2＝16y解析：选B.因为M 到平面内两点A (－5，0)，B (5，0)距离之差的绝对值为8，所以M 的轨迹是以A (－5，0)，B (5，0)为焦点的双曲线，方程为x 216－y 29＝1.A 项，直线x ＋y ＝5过点(5，0)，满足题意，为“好曲线”；B 项，x 2＋y 2＝9的圆心为(0，0)，半径为3，与M 的轨迹没有交点，不满足题意；C 项，x 225＋y 29＝1的右顶点为(5，0)，满足题意，为“好曲线”；D 项，方程代入x 216－y 29＝1，可得y －y 29＝1，即y 2－9y ＋9＝0，所以Δ＞0，满足题意，为“好曲线”．3.如图，斜线段AB 与平面α所成的角为60°，B 为斜足，平面α上的动点P 满足∠PAB ＝30°，则点P 的轨迹是( )A ．直线B ．抛物线C ．椭圆D ．双曲线的一支解析：选C.母线与中轴线夹角为30°，然后用平面α去截，使直线AB 与平面α的夹角为60°，则截口为P 的轨迹图形，由圆锥曲线的定义可知，P 的轨迹为椭圆．故选C.4．(2020·四川成都石室中学模拟)已知两定点F 1(－1，0)，F 2(1，0)和一动点P ，给出下列结论： ①若|PF 1|＋|PF 2|＝2，则点P 的轨迹是椭圆； ②若|PF 1|－|PF 2|＝1，则点P 的轨迹是双曲线； ③若|PF 1||PF 2|＝λ(λ＞0，且λ≠1)，则点P 的轨迹是圆；④若|PF 1|·|PF 2|＝a 2(a ≠0)，则点P 的轨迹关于原点对称；⑤若直线PF 1与PF 2的斜率之积为m (m ≠0)，则点P 的轨迹是椭圆(除长轴两端点)． 其中正确的是________．(填序号)解析：对于①，由于|PF 1|＋|PF 2|＝2＝|F 1F 2|，所以点P 的轨迹是线段F 1F 2，故①不正确． 对于②，由于|PF 1|－|PF 2|＝1，故点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的右支，故②不正确． 对于③，设P (x ，y )，由题意得（x ＋1）2＋y 2（x －1）2＋y2＝λ，整理得(1－λ2)x 2＋(1－λ2)y 2＋(2＋2λ2)x ＋1－λ2＝0.因为λ＞0，且λ≠1，所以x 2＋y 2＋（2＋2λ2）1－λ2x ＋1－λ21－λ2＝0，所以点P 的轨迹是圆，故③正确．对于④，设P (x ，y )，则|PF 1|·|PF 2|＝（x ＋1）2＋y 2·（x －1）2＋y 2＝a 2.又点P (x ，y )关于原点的对称点为P ′(－x ，－y )，因为（－x ＋1）2＋（－y ）2·（－x －1）2＋（－y ）2＝（x ＋1）2＋y 2·（x －1）2＋y 2＝a 2，所以点P ′(－x ，－y )也在曲线（x ＋1）2＋y 2·（x －1）2＋y 2＝a 2上，即点P 的轨迹关于原点对称，故④正确．对于⑤，设P (x ，y )，则k PF 1＝yx ＋1，k PF 2＝yx －1，由题意得k PF 1·k PF 2＝yx ＋1·yx －1＝y 2x 2－1＝m (m ≠0)，整理得x 2－y 2m＝1，此方程不一定表示椭圆，故⑤不正确．综上，正确结论的序号是③④. 答案：③④5．(一题多解)(2020·东北三省四市一模)如图，已知椭圆C ：x 218＋y 29＝1的短轴端点分别为B 1，B 2，点M 是椭圆C 上的动点，且不与B 1，B 2重合，点N 满足NB 1⊥MB 1，NB 2⊥MB 2.(1)求动点N 的轨迹方程； (2)求四边形MB 2NB 1面积的最大值．解：(1)法一：设N (x ，y )，M (x 0，y 0)(x 0≠0)． 由题知B 1(0，－3)，B 2(0，3)， 所以k MB 1＝y 0＋3x 0，k MB 2＝y 0－3x 0. 因为MB 1⊥NB 1，MB 2⊥NB 2， 所以直线NB 1：y ＋3＝－x 0y 0＋3x ，①直线NB 2：y －3＝－x 0y 0－3x ，② ①×②得y 2－9＝x 20y 20－9x 2.又因为x 2018＋y 209＝1，所以y 2－9＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 209y 20－9x 2＝－2x 2，整理得动点N 的轨迹方程为y 29＋x 292＝1(x ≠0)．法二：设N (x ，y )，M (x 0，y 0)(x 0≠0)． 由题知B 1(0，－3)，B 2(0，3)， 所以k MB 1＝y 0＋3x 0，k MB 2＝y 0－3x 0. 因为MB 1⊥NB 1，MB 2⊥NB 2， 所以直线NB 1：y ＋3＝－x 0y 0＋3x ，①直线NB 2：y －3＝－x 0y 0－3x ，② 联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y 20－9x 0，y ＝－y 0.又x 2018＋y 209＝1，所以x ＝－x 02，故⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－2x ，y 0＝－y ，代入x 2018＋y 209＝1，得y 29＋x 292＝1.所以动点N 的轨迹方程为y 29＋x 292＝1(x ≠0)．法三：设直线MB 1：y ＝kx －3(k ≠0)， 则直线NB 1：y ＝－1kx －3，①直线MB 1与椭圆C ：x 218＋y 29＝1的交点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 2k 2＋1，6k 2－32k 2＋1.则直线MB 2的斜率为k MB 2＝6k 2－32k 2＋1－312k 2k 2＋1＝－12k .所以直线NB 2：y ＝2kx ＋3.②由①②得点N 的轨迹方程为y 29＋x 292＝1(x ≠0)．(2)由(1)方法三得直线NB 1：y ＝－1kx －3，①直线NB 2：y ＝2kx ＋3，② 联立①②解得x ＝－6k 2k 2＋1，即x N ＝－6k 2k 2＋1，故四边形MB 2NB 1的面积S ＝12|B 1B 2|(|x M |＋|x N |)＝3×⎝⎛⎭⎪⎫12|k |2k 2＋1＋6|k |2k 2＋1＝54|k |2k 2＋1＝542|k |＋1|k |≤2722，当且仅当|k |＝22时，S 取得最大值2722. 6．在平面直角坐标系xOy 中取两个定点A 1(－6，0)，A 2(6，0)，再取两个动点N 1(0，m )，N 2(0，n )，且mn ＝2.(1)求直线A 1N 1与A 2N 2的交点M 的轨迹C 的方程；(2)过R (3，0)的直线与轨迹C 交于P ，Q 两点，过点P 作PN ⊥x 轴且与轨迹C 交于另一点N ，F 为轨迹C 的右焦点，若RP →＝λRQ →(λ＞1)，求证：NF →＝λFQ →.解：(1)依题意知，直线A 1N 1的方程为y ＝m6(x ＋6)，① 直线A 2N 2的方程为y ＝－n6(x －6)，②设M (x ，y )是直线A 1N 1与A 2N 2的交点，①×②得y 2＝－mn6(x 2－6)，又mn ＝2，整理得x 26＋y 22＝1.故点M 的轨迹C 的方程为x 26＋y 22＝1.(2)证明：设过点R 的直线l ：x ＝ty ＋3，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则N (x 1，－y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋3，x 26＋y 22＝1，消去x ，得(t 2＋3)y 2＋6ty ＋3＝0，(*)所以y 1＋y 2＝－6t t 2＋3，y 1y 2＝3t 2＋3. 由RP →＝λRQ →，得(x 1－3，y 1)＝λ(x 2－3，y 2)，故x 1－3＝λ(x 2－3)，y 1＝λy 2， 由(1)得F (2，0)，要证NF →＝λFQ →，即证(2－x 1，y 1)＝λ(x 2－2，y 2)， 只需证2－x 1＝λ(x 2－2)，只需证x 1－3x 2－3＝－x 1－2x 2－2，即证2x 1x 2－5(x 1＋x 2)＋12＝0，又x 1x 2＝(ty 1＋3)(ty 2＋3)＝t 2y 1y 2＋3t (y 1＋y 2)＋9，x 1＋x 2＝ty 1＋3＋ty 2＋3＝t (y 1＋y 2)＋6，所以2t 2y 1y 2＋6t (y 1＋y 2)＋18－5t (y 1＋y 2)－30＋12＝0，即2t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＝0，而2t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＝2t 2·3t 2＋3－t ·6tt 2＋3＝0成立，得证．。

第九章平面解析几何 9.3 圆的方程试题理北师大版圆的定义与方程【知识拓展】1．确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组；(3)解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程．2．点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种．圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( √ )(2)已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则以AB 为直径的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.( √ )(3)方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF >0.( √ )(4)方程x 2＋2ax ＋y 2＝0一定表示圆．( × )(5)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F ＞0.( √ )1．(教材改编)将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x ＋y ＋3＝0 C ．x －y ＋1＝0 D ．x －y ＋3＝0答案 C解析 圆心是(1,2)，所以将圆心坐标代入检验选项C 满足．2．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m ，0)(m >0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( ) A ．7 B ．6 C ．5 D ．4 答案 B解析 根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C 的坐标为(3,4)，半径r ＝1，且|AB |＝2m . 因为∠APB ＝90°，连接OP ， 易知|OP |＝12|AB |＝m .要求m 的最大值，即求圆C 上的点P 到原点O 的最大距离． 因为|OC |＝32＋42＝5， 所以|OP |max ＝|OC |＋r ＝6， 即m 的最大值为6.3．(2015·北京)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )A．(x－1)2＋(y－1)2＝1B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D．(x－1)2＋(y－1)2＝2答案 D解析圆的半径r＝12＋12＝2，∴圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.4．(教材改编)圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1,1)和B(1,3)，则圆C的方程为______________．答案(x－2)2＋y2＝10解析设圆心坐标为C(a,0)，∵点A(－1,1)和B(1,3)在圆C上，∴|CA|＝|CB|，即a＋2＋1＝a－2＋9，解得a＝2，∴圆心为C(2,0)，半径|CA|＝＋2＋1＝10，∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.5．(2016·浙江)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是______，半径是______．答案(－2，－4) 5解析由已知方程表示圆，则a2＝a＋2，解得a＝2或a＝－1.当a＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去．当a＝－1时，原方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，化为标准方程为(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆．题型一求圆的方程例1 (1)(2016·天津)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________________．(2)(2015·课标全国Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．答案 (1)(x －2)2＋y 2＝9 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254解析 (1)因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a,0)，且a >0， 所以圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝2a5＝455，解得a ＝2，所以圆C 的半径r ＝|CM |＝4＋5＝3， 所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.(2)由题意知圆过(4,0)，(0,2)，(0，－2)三点， (4,0)，(0，－2)两点的垂直平分线方程为y ＋1＝－2(x －2)，令y ＝0，解得x ＝32，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，半径为52.思维升华 (1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D 、E 、F 的方程组，进而求出D 、E 、F 的值．(2016·湖北八校联考)已知圆C 关于y 轴对称，经过点A (1,0)，且被x 轴分成两段弧，弧长之比为1∶2，则圆C 的标准方程为________________． 答案 x 2＋(y ±33)2＝43解析 ∵圆C 关于y 轴对称，∴可设C (0，b )，设圆C 的半径为r ，则圆C 的标准方程为x 2＋(y －b )2＝r 2，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧12＋－b2＝r 2，|b |＝12r ，解得⎩⎪⎨⎪⎧r 2＝43，b ＝±33，于是圆C 的标准方程为x 2＋(y ±33)2＝43. 题型二 与圆有关的最值问题例2 已知点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝1上．求x ＋y 的最大值和最小值． 解 设t ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋t ，t 可视为直线y ＝－x ＋t 在y 轴上的截距，∴x ＋y 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y 轴上的截距．由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径， 即|2＋－－t |2＝1，解得t ＝2－1或t ＝－2－1.∴x ＋y 的最大值为2－1，最小值为－2－1. 引申探究1．在本例的条件下，求y x的最大值和最小值．解 y x 可视为点(x ，y )与原点连线的斜率，y x的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率．设过原点的直线的方程为y ＝kx ，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即|2k ＋3|k 2＋1＝1，解得k ＝－2＋233或k ＝－2－233.所以y x 的最大值为－2＋233，最小值为－2－233.2．在本例的条件下，求x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值和最小值． 解x 2＋y 2＋2x －4y ＋5＝x ＋2＋y －2，求它的最值可视为求点(x ，y )到定点(－1, 2)的距离的最值，可转化为圆心(2，－3)到定点(－1,2)的距离与半径的和或差．又圆心到定点(－1,2)的距离为34，所以x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值为34＋1，最小值为34－1. 思维升华 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．(2)与圆上点(x ，y )有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如u ＝y －bx －a型的最值问题，可转化为过点(a ，b )和点(x ，y )的直线的斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2型的最值问题，可转化为动点到定点(a ，b )的距离平方的最值问题．已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.求：(1)y x的最大值和最小值； (2)y －x 的最小值；(3)x 2＋y 2的最大值和最小值．解 (1)如图，方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0表示以点(2,0)为圆心，以3为半径的圆．设y x＝k ，即y ＝kx ，则圆心(2,0)到直线y ＝kx 的距离为半径，即直线与圆相切时，斜率取得最大值、最小值． 由|2k －0|k 2＋1＝3，解得k 2＝3， ∴k max ＝3，k min ＝－ 3. (2)设y －x ＝b ，则y ＝x ＋b ，当且仅当直线y ＝x ＋b 与圆切于第四象限时，在y 轴上的截距b 取最小值， 由点到直线的距离公式，得|2－0＋b |2＝3， 即b ＝－2±6， 故(y －x )min ＝－2－ 6.(3)x 2＋y 2是圆上的点与原点的距离的平方，故连接OC ， 与圆交于B 点，并延长交圆于C ′，则 (x 2＋y 2)max ＝|OC ′|2＝(2＋3)2＝7＋43， (x 2＋y 2)min ＝|OB |2＝(2－3)2＝7－4 3. 题型三 与圆有关的轨迹问题例3 (2016·潍坊模拟)已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点．(1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程． 解 (1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2,2y )． 因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上， 所以(2x －2)2＋(2y )2＝4，故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1. (2)设PQ 的中点为N (x ，y )，在Rt△PBQ 中， |PN |＝|BN |.设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ， 所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2， 所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.思维升华 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法 (1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程； (2)定义法，根据圆、直线等定义列方程； (3)几何法，利用圆的几何性质列方程；(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．(2016·天津模拟)设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM 、ON为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹． 解 如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2，线段MN 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42.由于平行四边形的对角线互相平分，故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42，从而⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4.又N (x ＋3，y －4)在圆上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4. 因此所求轨迹为圆：(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，但应除去两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285(点P 在直线OM 上的情况)．21．利用几何性质巧设方程求半径典例 在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上，求圆C 的方程．思想方法指导 本题可采用两种方法解答，即代数法和几何法．(1)一般解法(代数法)：可以求出曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的三个交点，设圆的方程为一般式，代入点的坐标求解析式．(2)巧妙解法(几何法)：利用圆的性质，知道圆心一定在圆上两点连线的垂直平分线上，从而设圆的方程为标准式，简化计算，显然几何法比代数法的计算量小，因此平时训练多采用几何法解题． 规范解答解 一般解法 (代数法)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)，设圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，则有⎩⎨⎧1＋E ＋F ＝0，＋222＋D＋22＋F ＝0，－222＋D－22＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－6，E ＝－2，F ＝1，故圆的方程是x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0.巧妙解法 (几何法)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)． 故可设C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1. 则圆C 的半径为32＋t －2＝3，所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.1．(2016·南昌检测)圆心在y 轴上，且过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2＋10y ＝0 B ．x 2＋y 2－10y ＝0 C ．x 2＋y 2＋10x ＝0 D ．x 2＋y 2－10x ＝0答案 B解析 根据题意，设圆心坐标为(0，r )，半径为r ，则32＋(r －1)2＝r 2，解得r ＝5，可得圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0.2．(2016·昆明一模)方程|x |－1＝1－y －2所表示的曲线是( )A ．一个圆B ．两个圆C ．半个圆D ．两个半圆答案 D解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x |－2＋y －2＝1，|x |－1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2＋y －2＝1，x ≥1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＋y －2＝1，x ≤－1.故原方程表示两个半圆．3．若直线ax ＋2by －2＝0(a >0，b >0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a ＋2b的最小值为( )A ．1B ．5C ．4 2D ．3＋2 2 答案 D解析 由题意知圆心C (2,1)在直线ax ＋2by －2＝0上， ∴2a ＋2b －2＝0，整理得a ＋b ＝1， ∴1a ＋2b ＝(1a ＋2b )(a ＋b )＝3＋b a ＋2a b≥3＋2b a ×2ab ＝3＋22， 当且仅当b a ＝2ab，即b ＝2－2，a ＝2－1时，等号成立．∴1a ＋2b的最小值为3＋2 2.4．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 答案 A解析 设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，x 20＋y 20＝4，连线中点坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝x 0＋42y ＝y 0－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2，代入x 20＋y 20＝4中得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.5．(2016·绵阳诊断)圆C 的圆心在y 轴正半轴上，且与x 轴相切，被双曲线x 2－y 23＝1的渐近线截得的弦长为3，则圆C 的方程为( ) A ．x 2＋(y －1)2＝1 B ．x 2＋(y －3)2＝3 C ．x 2＋(y ＋1)2＝1 D ．x 2＋(y ＋3)2＝3答案 A解析 依题意，得题中的双曲线的一条渐近线的斜率为3，倾斜角为60°，结合图形(图略)可知，所求的圆C 的圆心坐标是(0,1)、半径是1，因此其方程是x 2＋(y －1)2＝1. 6．(2016·九江模拟)已知P 是直线l ：3x －4y ＋11＝0上的动点，PA ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线(A ，B 是切点)，C 是圆心，那么四边形PACB 的面积的最小值是( ) A. 2 B ．2 2 C. 3 D ．2 3 答案 C解析 圆的方程可化为(x －1)2＋(y －1)2＝1， 则C (1,1)，当|PC |最小时，四边形PACB 的面积最小， |PC |min ＝|3－4＋11|32＋42＝2，此时|PA |＝|PB |＝ 3. 所以四边形PACB 的面积S ＝2×12×3×1＝3，故选C.7．(2016·南昌模拟)若圆C 经过坐标原点与点(4,0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是______________．答案 (x －2)2＋(y ＋32)2＝254解析 因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0,0)和(4,0)，所以设圆心为(2，m )． 又因为圆与直线y ＝1相切，所以22＋m 2＝|1－m |，解之得m ＝－32. 所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋32)2＝254. 8．过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为______________．答案 x ＋y －2＝0解析 当圆心与点P 的连线和过点P 的直线垂直时，符合条件．圆心O 与点P 连线的斜率k ＝1，所求直线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.9．已知D 是由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ≥0， x ＋3y ≥0所确定的平面区域，则圆x 2＋y 2＝4在区域D 内的弧长为________．答案 π2解析 作出可行域D 及圆x 2＋y 2＝4，如图所示，图中阴影部分所在圆心角θ＝α－β所对的弧长即为所求．易知图中两直线的斜率分别为12、－13，得tan α＝12，tan β＝－13， tan θ＝tan(α－β)＝12＋131－12×13＝1， 得θ＝π4，得弧长l ＝θ·R ＝π4×2＝π2(R 为圆的半径)． 10．(2016·岳阳模拟)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1，0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________．答案7＋1解析 设D (x ，y )，由CD →＝(x －3，y )及|CD →|＝1知(x －3)2＋y 2＝1，即动点D 的轨迹为以点C 为圆心的单位圆，又OA →＋OB →＋OD →＝(－1,0)＋(0，3)＋(x ，y )＝(x－1，y ＋3)，∴|OA →＋OB →＋OD →|＝x －2＋y ＋32. 问题转化为圆(x －3)2＋y 2＝1上的点与点P (1，－3)间距离的最大值．∵圆心C (3,0)与点P (1，－3)之间的距离为－2＋＋32＝7， ∴x －2＋y ＋32的最大值为7＋1.11．已知圆C 经过P (4，－2)，Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段的长为43，半径小于5.(1)求直线PQ 与圆C 的方程；(2)若直线l ∥PQ ，且l 与圆C 交于点A ，B ，且以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，求直线l 的方程．解 (1)由题意知直线PQ 的方程为x ＋y －2＝0.设圆心C (a ，b )，半径为r ，由于线段PQ 的垂直平分线的方程是y －12＝x －32， 即y ＝x －1，所以b ＝a －1.①由圆C 在y 轴上截得的线段的长为43，知r 2＝12＋a 2，可得(a ＋1)2＋(b －3)2＝12＋a 2，②由①②得a ＝1，b ＝0或a ＝5，b ＝4.当a ＝1，b ＝0时，r 2＝13，满足题意，当a ＝5，b ＝4时，r 2＝37，不满足题意．故圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝13.(2)设直线l 的方程为y ＝－x ＋m (m ≠2)， A (x 1，m －x 1)，B (x 2，m －x 2)．由题意可知OA ⊥OB ，即OA →·OB →＝0，∴x 1x 2＋(m －x 1)(m －x 2)＝0，化简得2x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2＝0.③由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－x ＋m ，x －2＋y 2＝13得 2x 2－2(m ＋1)x ＋m 2－12＝0，∴x 1＋x 2＝m ＋1，x 1x 2＝m 2－122， 代入③，得m 2－12－m ·(1＋m )＋m 2＝0，∴m ＝4或m ＝－3，经检验都满足题意，∴直线l 的方程为x ＋y －4＝0或x ＋y ＋3＝0.12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得的线段长为22，在y 轴上截得的线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程；(2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程． 解 (1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r .则y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2.∴y 2＋2＝x 2＋3，即y 2－x 2＝1.∴P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1.(2)设P 点的坐标为(x 0，y 0)， 则|x 0－y 0|2＝22，即|x 0－y 0|＝1. ∴y 0－x 0＝±1，即y 0＝x 0±1.①当y 0＝x 0＋1时，由y 20－x 20＝1，得(x 0＋1)2－x 20＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝0，y 0＝1，∴r 2＝3.∴圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3.②当y 0＝x 0－1时，由y 20－x 20＝1，得(x 0－1)2－x 20＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝0，y 0＝－1，∴r 2＝3.∴圆P 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3.综上所述，圆P 的方程为x 2＋(y ±1)2＝3.13.已知M 为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2,3)．(1)求|MQ |的最大值和最小值；(2)若M (m ，n )，求n －3m ＋2的最大值和最小值．解 (1)由圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0，可得(x －2)2＋(y －7)2＝8，所以圆心C 的坐标为(2,7)，半径r ＝2 2.又|QC |＝＋2＋－2＝4 2.所以|MQ |max ＝42＋22＝62，|MQ |min ＝42－22＝2 2.(2)可知n －3m ＋2表示直线MQ 的斜率，设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0，则n －3m ＋2＝k .由直线MQ 与圆C 有交点， 所以|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2≤22，可得2－3≤k ≤2＋3，所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3.。

[基础题组练 ]1．已知圆 C 的圆心为 (2，－ 1)，半径长是方程(x＋ 1)(x－ 4)＝ 0 的解，则圆 C 的标准方程为()A ． (x＋ 1)2＋( y－2) 2＝ 4 B． (x－ 2)2＋ (y－ 1)2＝ 4C．( x－ 2) 2＋ (y＋1) 2＝ 16 D． (x＋ 2)2＋ (y－ 1)2＝ 16分析：选 C.依据圆 C 的半径长是方程 (x＋ 1)(x－ 4)＝ 0 的解，可得半径长为4，故要求的圆的标准方程为 (x－ 2)2＋ (y＋ 1)2＝ 16.2． (2020 河·北九校第二次联考 )圆 C 的半径为 2，圆心在 x 轴的正半轴上，直线3x＋ 4y ＋4＝ 0 与圆 C 相切，则圆 C 的方程为 ( )A ． x2－ y2－2x－ 3＝ 0 B． x2＋ y2＋ 4x＝ 0C．x2＋ y2－ 4x＝ 0 D． x2＋ y2＋ 2x－ 3＝ 0分析：选 C.由题意设所求圆的方程为( x－ m)2＋ y2＝ 4(m>0)，则|3m＋4|＝ 2，解得 m＝ 232＋ 42或 m＝－14(舍去 )，故所求圆的方程为 (x－ 2)2＋ y2＝ 4，即 x2＋ y2－ 4x＝ 0，应选 C. 33．方程 |x|－ 1＝1－（ y－ 1）2所表示的曲线是 ( )A ．一个圆B．两个圆C．半个圆D．两个半圆（ |x|－ 1）2＋（ y－ 1）2＝ 1，分析：选 D. 由题意得|x|－ 1≥ 0，（x－ 1）2＋（ y－1）2＝ 1，（ x＋1）2＋（ y－ 1）2＝ 1，即或x≤ －1.x≥ 1故原方程表示两个半圆．4． (2020 河·南焦作模拟 )圆 x2＋ y2－ 2x－ 2y＋1＝ 0 上的点到直线x－ y＝2 距离的最大值是( )A．1＋ 2 B． 22C．1＋2 D． 2＋2 2分析：选 A. 将圆的方程化为 (x－ 1)2＋ (y－1) 2＝ 1，圆心坐标为 (1，1)，半径为 1，则圆心到直线 x－ y＝2 的距离 d＝|1－1－2|＝2，故圆上的点到直线 x－ y＝ 2 距离的最大值为d＋ 1 2＝2＋1，选 A.5．点 P(4，－ 2)与圆 x2＋ y2＝ 4 上任一点连线的中点的轨迹方程是()A ． (x－ 2)2＋( y＋1) 2＝ 1 B． (x－ 2)2＋ (y＋ 1)2＝ 4C．( x＋ 4) 2＋ (y－2) 2＝ 4 D． (x＋ 2)2＋ (y－ 1)2＝ 1x＝4＋x0，分析：选 A. 设圆上任一点为Q(x0， y0) ，PQ 的中点为 M(x， y)，则2解得－ 2＋ y0，y＝2x0＝ 2x－ 4，由于点Q 在圆 x2＋ y2＝ 4 上，所以 x2＋ y2＝ 4，即 (2x－4) 2＋ (2y＋ 2)2＝ 4，化简00y0＝ 2y＋ 2.得( x－2) 2＋ (y＋ 1)2＝ 1.6．已知 a∈ R，方程 a2x2＋ (a＋ 2)y2＋ 4x＋ 8y＋ 5a＝0 表示圆，则圆心坐标是，半径是．分析：已知方程表示圆，则a2＝a＋2，解得 a＝ 2 或 a＝－ 1.当a＝2 时，方程不知足表示圆的条件，故舍去．当a＝－ 1 时，原方程为 x2＋ y2＋ 4x＋ 8y－ 5＝0，化为标准方程为 (x＋2) 2＋ (y＋ 4)2＝ 25，表示以 (－ 2，－ 4)为圆心，半径为 5 的圆．答案： (－ 2，－ 4) 57．过两点 A(1，4) ，B(3， 2)且圆心在直线y＝ 0 上的圆的标准方程为．分析：设圆的标准方程为 (x－a)2＋ (y－ b)2＝ r 2.由于圆心在直线 y＝ 0 上，所以 b＝ 0，所（ 1－ a）2＋ 16＝ r2，以圆的方程为 (x－ a)2＋ y2＝ r2 .又由于该圆过 A(1，4)，B(3，2)两点，所以（ 3－ a）2＋ 4＝ r 2，a＝－ 1，解得所以所求圆的方程为 (x＋ 1)2＋ y2＝ 20.r 2＝ 20.答案： (x＋1) 2＋ y2＝ 208．若圆 C 与圆 x2＋ y2＋ 2x＝ 0 对于直线 x＋ y－ 1＝ 0 对称，则圆 C 的方程是．分析：设 C( a， b)，由于已知圆的圆心为A(－ 1， 0)，由点 A，C 对于 x＋y－ 1＝ 0 对称b×（－ 1）＝－ 1，a＋1得a－21＋b2－ 1＝ 0，a＝ 1，1，解得又由于圆的半径是b＝ 2.所以圆 C 的方程是 (x－ 1)2＋ (y－ 2)2＝ 1，即 x2＋ y2－ 2x－4y＋ 4＝ 0.答案： x2＋y2－2x－ 4y＋ 4＝09．求合适以下条件的圆的方程．(1)圆心在直线y＝－ 4x 上，且与直线l ： x＋ y－ 1＝ 0 相切于点P(3，－ 2)；(2)过三点 A(1， 12)， B(7，10)， C(－ 9， 2)．解： (1) 法一：设圆的标准方程为 ( x － a)2＋ (y － b)2＝ r2，则有b＝－ 4a，（ 3－a）2＋（－ 2－ b）2＝ r2，|a＋ b－ 1|＝r，2解得 a＝ 1， b＝－ 4， r ＝ 2 2.所以圆的方程为(x－1) 2＋ (y＋ 4)2＝ 8.法二：过切点且与x＋y－ 1＝ 0 垂直的直线为y＋ 2＝ x－ 3，与 y＝－ 4x 联立可求得圆心为(1，－ 4)．所以半径 r ＝（1－3）2＋（－4＋2）2＝22，所以所求圆的方程为(x－ 1)2＋ (y＋ 4)2＝ 8.(2)设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx ＋ Ey＋ F ＝0(D 2＋ E2－4F ＞ 0)，1＋144＋ D＋ 12E＋ F＝ 0，则 49＋ 100＋ 7D＋ 10E＋ F＝0，81＋ 4－ 9D ＋2E＋ F＝ 0.解得 D ＝－ 2， E＝－ 4， F＝－ 95.所以所求圆的方程为x2＋ y2－ 2x－ 4y－ 95＝ 0.10．已知以点P 为圆心的圆经过点A(－ 1，0)和 B(3， 4)，线段 AB 的垂直均分线交圆P 于点 C 和 D ，且 |CD|＝ 4 10.(1)求直线 CD 的方程；(2)求圆 P 的方程．解： (1)由题意知，直线 AB 的斜率 k＝ 1，中点坐标为 (1， 2)．则直线 CD 的方程为y－ 2＝－ (x－1)，即 x＋ y－3＝ 0.(2)设圆心 P( a， b)，则由点 P 在 CD 上得 a ＋b － 3＝ 0.①又由于直径 |CD|＝ 4 10，所以 |PA|＝ 2 10， 所以 (a ＋ 1)2＋ b 2＝ 40.②a ＝－ 3， a ＝ 5，由①② 解得 或b ＝－ 2.b ＝ 6， 所以圆心 P(－ 3，6)或 P(5， － 2)．所以圆 P 的方程为 (x ＋ 3)2＋ (y － 6)2＝ 40 或 (x － 5)2＋ (y ＋ 2)2＝ 40.[综合题组练 ]x ≥ 0，1． (应用型 ) 已知平面地区 y ≥ 0，恰巧被面积最小的圆C ： (x － a) 2＋ (y － b)2＝ r 2x ＋ 2y －4≤ 0及其内部所覆盖，则圆 C 的方程为．分析： 由题意知 ，此平面地区表示的是以 O(0， 0)， P(4，0)， Q(0，2)所组成的三角形及其内部 ，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆．由于△ OPQ 为直角三角形 ，|PQ|所以圆心为斜边 PQ 的中点 (2， 1)，半径 r ＝ 2＝5，所以圆 C 的方程为 (x － 2)2＋ (y － 1)2＝ 5. 答案： (x －2) 2＋ (y － 1)2＝ 52．已知 A(0， 2)，点 P 在直线 x ＋y ＋ 2＝ 0 上，点 Q 在圆 C ：x 2 ＋y 2－ 4x － 2y ＝0 上，则 |PA|＋ |PQ|的最小值是．分析：由于圆 C ：x 2＋ y 2－ 4x － 2y ＝ 0，故圆 C 是以 C(2，1)为圆心 ，半径 r ＝ 5的圆． 设m ＋ 0 n ＋2 ＋2＝0，2 ＋ 2点 A(0， 2)对于直线 x ＋ y ＋2＝ 0 的对称点为 A ′(m ， n)，故n － 2＝ 1，m － 0m ＝－ 4，解得故 A ′(－4，－ 2)． n ＝－ 2， 连结 A ′C 交圆 C 于 Q ，由对称性可知|PA|＋ |PQ|＝ |A ′P|＋ |PQ|≥ |A ′Q|＝ |A ′C|－ r ＝ 2 5. 答案： 2 53．(2018 高·考全国卷 Ⅱ )设抛物线 C ： y 2＝ 4x 的焦点为 F ，过 F 且斜率为 k (k ＞0)的直线l 与 C 交于 A ， B 两点， |AB|＝ 8.(1)求 l 的方程；(2)求过点 A ， B 且与 C 的准线相切的圆的方程．解： (1)由题意得 F(1， 0)，l 的方程为 y ＝ k(x －1)(k>0)．设 A(x 1， y 1)， B(x 2， y 2)．y ＝k （ x － 1），由得 k 2x 2－ (2k 2＋4)x ＋ k 2＝ 0.y 2＝ 4x＝ 16k 2＋16>0，故 x 12k 2＋ 42k 2 .＋x ＝所以 |AB|＝ |AF|＋ |BF |＝(x 1＋ 1)＋ (x 2＋ 1)＝ 4k 2＋ 4k 2 .由题设知 4k 2＋ 4k 2 ＝ 8，解得 k ＝－ 1(舍去 )， k ＝ 1.所以 l 的方程为 y ＝ x －1.(2)由 (1) 得 AB 的中点坐标为 (3，2)，所以 AB 的垂直均分线方程为 y － 2＝－ (x － 3)，即 y＝－ x ＋ 5.设所求圆的圆心坐标为(x 0， y 0)，y 0＝－ x 0＋ 5，则（ x 0＋ 1）2＝（y 0－ x 0＋ 1）2＋ 16.2x 0＝ 3，x 0 ＝11， 解得 或y 0＝ 2 y 0＝－ 6.所以所求圆的方程为(x － 3)2＋ (y － 2)2＝ 16 或 (x － 11)2＋ (y ＋ 6)2＝144.4．已知圆C 的方程为x 2＋ (y － 4)2＝ 1，直线l 的方程为2x －y ＝ 0，点P 在直线l 上，过点P 作圆C 的切线PA ， PB ，切点分别为A ， B.(1)若∠ APB ＝ 60°，求点 P 的坐标；(2)求证：经过 A ，P ， C( 此中点 C 为圆 C 的圆心 )三点的圆必经过定点，并求出全部定点的坐标．解：(1)由条件可得圆 C 的圆心坐标为 (0，4)，|PC |＝2，设 P(a ，2a)，则 a 2＋（ 2a － 4）2＝ 2，6解得 a ＝ 2 或 a ＝ ，6 12所以点 P 的坐标为 (2， 4)或 5，5 .(2)证明： 设 P(b ， 2b)，过点 A ，P ，C 的圆即是以 PC 为直径的圆 ，其方程为 x(x － b)＋(y － 4)(y － 2b) ＝ 0，整理得 x 2＋y 2－ bx － 4y － 2by ＋ 8b ＝ 0，即 (x 2＋ y 2－ 4y)－ b(x ＋ 2y －8)＝ 0. x 2＋ y 2－ 4y ＝ 0， x ＝ 0，8，x ＝ 5由 解得 或16x ＋2y － 8＝ 0 y ＝ 4y ＝ ，5816 所以该圆必经过定点(0， 4)和，.。

9.3 圆的方程必备知识预案自诊知识梳理1.圆的定义及方程定义 平面上到 的距离等于 的点的集合(轨迹)叫作圆 标准 方程(x-a )2+(y-b )2=r 2(r>0) 圆心: 半径:一般 方程 x 2+y 2+Dx+Ey+F=0(D 2+E 2-4F>0) 圆心:-D 2,-E2 半径:注意:当D 2+E 2-4F=0时,方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0表示一个点(-D 2,-D2);当D 2+E 2-4F<0时,方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0没有意义,不表示任何图形.2.点与圆的位置关系圆的标准方程(x-a )2+(y-b )2=r 2(r>0),点M (x 0,y 0),(1)(x 0-a )2+(y 0-b )2 r 2⇔点M 在圆上;(2)(x 0-a )2+(y 0-b )2 r 2⇔点M 在圆外;(3)(x 0-a )2+(y 0-b )2 r 2⇔点M 在圆内.以A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)为直径的两端点的圆的方程是(x-x 1)(x-x 2)+(y-y 1)(y-y 2)=0(公式推导:设圆上任一点P (x ,y ),则有k PA ·k PB =-1,由斜率公式代入整理即可).考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)已知圆的方程为x 2+y 2-2y=0,过点A (1,2)作该圆的切线只有一条.( ) (2)方程(x+a )2+(y+b )2=t 2(t ∈R )表示圆心为(a ,b ),半径为t 的一个圆.( )(3)方程x 2+y 2+ax+2ay+2a 2+a-1=0表示圆心为-D 2,-a ,半径为12√-3D 2-4D +4的圆.( )(4)已知点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则以AB 为直径的圆的方程是(x-x 1)(x-x 2)+(y-y 1)(y-y 2)=0.( )(5)若点M (x 0,y 0)在圆x 2+y 2+Dx+Ey+F=0外,则D 02+D 02+Dx 0+Ey 0+F>0. ( ) 2.已知圆C 经过点A (1,5),且圆心为C (-2,1),则圆C 的方程为( )A.(x-2)2+(y+1)2=5B.(x+2)2+(y-1)2=5C.(x-2)2+(y+1)2=25D.(x+2)2+(y-1)2=253.(2020山东聊城模拟)圆x 2+y 2-6x-2y+3=0的圆心到直线x+ay-1=0的距离为1,则a=( )A.-43B.-34C.√3D.24.(2020山东青岛实验高中测试)方程x 2+y 2+ax+2ay+2a 2+a-1=0表示圆,则a 的取值范围是( )A.a<-2B.-23<a<0 C.-2<a<0D.-2<a<235.已知点A (2,0),B (0,4),O 为坐标原点,则△ABO 外接圆的方程是 .关键能力学案突破考点求圆的方程【例1】(1)(2020山东青岛实验高中测试)圆心为(2,-1)的圆,在直线x-y-1=0上截得的弦长为2√2,那么这个圆的方程为( )A.(x-2)2+(y+1)2=4B.(x-2)2+(y+1)2=2C.(x+2)2+(y-1)2=4D.(x+2)2+(y-1)2=2(2)已知圆C 的圆心在直线x+y=0上,圆C 与直线x-y=0相切,且被直线x-y-3=0截得的弦长为√6,则圆C 的方程为 .思考求圆的方程有哪些常见方法?解题心得求圆的方程时,应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说,求圆的方程有两种方法:(1)几何法,通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时,常用到的圆的三个性质:①圆心在过切点且与切线垂直的直线上;②圆心在任一弦的垂直平分线上;③两圆内切或外切时,切点与两圆圆心共线;(2)代数法,即设出圆的方程,用待定系数法求解.对点训练1(1)在平面直角坐标系xOy 中,过A (4,4),B (4,0),C (0,4)三点的圆被x 轴截得的弦长为( )A.4B.4√2C.2D.2√2(2)一个圆与y 轴相切,圆心在直线x-3y=0上,且在直线y=x 上截得的弦长为2√7,则该圆的方程为 .考点与圆有关的轨迹问题【例2】点P (4,-2)与圆x 2+y 2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )A.(x-2)2+(y+1)2=1B.(x-2)2+(y+1)2=4C.(x+4)2+(y-2)2=4D.(x+2)2+(y-1)2=1 思考求与圆有关的轨迹方程都有哪些常用方法?解题心得1.求与圆有关的轨迹问题时,根据题设条件的不同,常采用以下方法:(1)直接法,直接根据题目提供的条件列出方程;(2)定义法,根据圆、直线等定义列方程;(3)几何法,利用圆的几何性质列方程;(4)代入法,找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式等.2.求与圆有关的轨迹问题时,题目的设问有两种常见形式,作答也应不同.若求轨迹方程,则把方程求出化简即可;若求轨迹,则必须根据轨迹方程,指出轨迹是什么曲线.对点训练2古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义:平面内,到两个定点A,B距离之比是常数λ(λ>0,λ≠1)的点M的轨迹是圆.若两定点A,B 的距离为3,动点M满足|MA|=2|MB|,则点M的轨迹围成区域的面积为()A.πB.2πC.3πD.4π考点与圆有关的最值问题(多考向探究)考向1借助目标函数的几何意义求最值【例3】已知点M(m,n)为圆C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点.(1)求m+2n的最大值;(2)求D-3D+2的最大值和最小值.解题心得借助几何性质求与圆有关的最值问题,常根据代数式的几何意义,借助数形结合思想求解.(1)形如u=D-D形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题.D-D(2)形如t=ax+by形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题.(3)形如m=(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.对点训练3已知实数x,y满足(x-2)2+(y-1)2=1,则z=D+1的最大值与最小值分别为D和.考向2借助圆的几何性质求最值【例4】已知点A(0,2),点P在直线x+y+2=0上运动,点Q在圆C:x2+y2-4x-2y=0上运动,则|PA|+|PQ|的最小值是.思考如何求解折线段和长的最值问题?解题心得形如|PA|+|PQ|形式的与圆有关的折线段问题(其中P,Q均为动点),要立足两点:(1)减少动点的个数;(2)“曲化直”,即将折线段转化为同一直线上的两线段之和,一般要通过对称性解决.对点训练4(2020山东济宁模拟)已知两点A(0,-3),B(4,0),若点P是圆C:x2+y2-2y=0上的动点,则△ABP的面积的最小值为.考向3建立函数关系求最值,0),A,B是圆【例5】(2020江苏,14)在平面直角坐标系xOy中,已知P(√32)2=36上的两个动点,满足PA=PB,则△PAB面积的最大值是.C:x2+(D-12解题心得利用函数关系求最值时,先根据已知条件列出相关的函数关系式,再根据函数知识或基本不等式求最值.对点训练5(2020宁夏银川模拟)设点P(x,y)是圆(x-3)2+y2=4上的动点,定点A(0,2),B(0,-2),则|DD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为.⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DD求半径常有以下方法:(1)若已知直线与圆相切,则圆心到切点(或切线)的距离等于半径;(2)若已知弦长、弦心距,则可利用弦长的一半、弦心距、半径三者满足勾股定理的关系求得.1.求圆的方程需要三个独立条件,因此不论选用哪种形式的圆的方程都要列出三个独立的关系式.2.解答与圆有关的最值问题一般要结合代数式的几何意义进行,注意数形结合,充分运用圆的性质.3.解决与圆有关的轨迹问题,一定要看清要求,是求轨迹方程还是求轨迹.9.3 圆的方程 必备知识·预案自诊知识梳理1.定点 定长 (a ,b ) r √D 2+D 2-4D22.(1)= (2)> (3)<考点自诊1.(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√2.D 因为圆C 经过A (1,5),且圆心为C (-2,1),所以圆C 的半径为r=√(-2-1)2+(1-5)2=5,则圆C 的方程为(x+2)2+(y-1)2=25.故选D .3.B 由题意,圆x 2+y 2-6x-2y+3=0,即(x-3)2+(y-1)2=7.圆心(3,1)到直线x+ay-1=0的距离d=|2+D |√1+D2=1,所以a=-34. 4.D 方程x 2+y 2+ax+2ay+2a 2+a-1=0表示圆,所以a 2+4a 2-4(2a 2+a-1)>0,所以3a 2+4a-4<0,所以(a+2)(3a-2)<0,即-2<a<23.5.(x-1)2+(y-2)2=5 方法1 由题知OA ⊥OB ,故△ABO 外接圆的圆心为AB 的中点(1,2),半径为12|AB|=√5,所以△ABO 外接圆的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=5.方法2 设圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,因为过A (2,0),B (0,4),O (0,0)三点,所以{4+2D +D =0,16+4D +D =0,D =0,解得D=-2,E=-4,F=0,则△ABO 外接圆的方程是x 2+y 2-2x-4y=0,即△ABO 外接圆的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=5.关键能力·学案突破例1(1)A (2)(x-1)2+(y+1)2=2(1)因为圆心(2,-1)到直线x-y-1=0的距离d=|2+1-1|√2=√2,弦长为2√2,所以圆的半径r=√(√2)2+(2√22)2=2,则圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=4.(2)由圆C 的圆心在直线x+y=0上,可设圆心坐标为(a ,-a ),又圆C 与直线x-y=0相切,所以圆的半径r=√2|a|.因为圆心到直线x-y-3=0的距离d=|2D -3|√2,圆C 被直线x-y-3=0截得的弦长为√6,所以d2+(√62)2=r 2,即(2D -3)22+32=2a 2,解得a=1,所以圆C 的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.对点训练1(1)A (2)x 2+y 2-6x-2y+1=0或x 2+y 2+6x+2y+1=0 (1)根据题意,设过A ,B ,C 三点的圆为圆M ,其方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,又由A (4,4),B (4,0),C (0,4),则有{32+4D +4D +D =0,16+4D +D =0,16+4D +D =0,解得D=-4,E=-4,F=0,即圆M 的方程为x 2+y 2-4x-4y=0,令y=0可得x 2-4x=0,解得x 1=0,x 2=4,即圆与x 轴的交点的坐标为(0,0),(4,0),则圆被x 轴截得的弦长为4.故选A.(2)方法1 ∵所求圆的圆心在直线x-3y=0上, ∴设所求圆的圆心为(3a ,a ),又所求圆与y 轴相切,∴半径r=3|a|,又所求圆在直线y=x 上截得的弦长为2√7,圆心(3a ,a )到直线y=x 的距离d=|2D |√2,∴d 2+(√7)2=r 2,即2a 2+7=9a 2,∴a=±1.故所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9,即x 2+y 2-6x-2y+1=0或x 2+y 2+6x+2y+1=0.方法2 设所求圆的方程为(x-a )2+(y-b )2=r 2,则圆心(a ,b )到直线y=x 的距离为|D -D |√2,∴r 2=(D -D )22+7,即2r 2=(a-b )2+14.① ∵所求圆与y 轴相切,∴r 2=a 2, ② ∵所求圆的圆心在直线x-3y=0上, ∴a-3b=0,③联立①②③,解得{D =3,D =1,D 2=9或{D =-3,D =-1,D 2=9.故所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9,即x 2+y 2-6x-2y+1=0或x 2+y 2+6x+2y+1=0.方法3 设所求圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,则圆心坐标为-D 2,-D2,半径r=12√D 2+D 2-4D .在圆的方程中,令x=0,得y 2+Ey+F=0.由于所求圆与y 轴相切,∴Δ=0,则E 2=4F. ①圆心-D 2,-D 2到直线y=x 的距离d=|-D 2+D2|√2,由已知得d 2+(√7)2=r 2,即(D-E )2+56=2(D 2+E 2-4F ).② 又圆心-D2,-D2在直线x-3y=0上,∴D-3E=0.③联立①②③,解得{D =-6,D =-2,D =1或{D =6,D =2,D =1.故所求圆的方程为x 2+y 2-6x-2y+1=0或x 2+y 2+6x+2y+1=0.例2A 设圆上任一点为Q (x 0,y 0),PQ 中点为M (x ,y ),根据中点坐标公式,得{D 0=2D -4,D 0=2D +2,因为Q (x 0,y 0)在圆x 2+y 2=4上,所以D 02+D 02=4,即(2x-4)2+(2y+2)2=4,化为(x-2)2+(y+1)2=1,故选A .对点训练2D 以A 为原点,直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系,则B (3,0).设M (x ,y ),依题意有√D 2+D 2√(D -3)2+D 2=2,化简整理得x 2+y 2-8x+12=0,即(x-4)2+y 2=4,则圆的面积为4π.故选D.例3解(1)(方法1)依题意,圆心C (2,7),半径r=2√2.设m+2n=t ,则点M (m ,n )为直线x+2y=t 与圆C 的公共点,所以圆心C 到该直线的距离d=|2+2×7-D |√12+22≤2√2,解得16-2√10≤t ≤16+2√10. 所以m+2n 的最大值为16+2√10.(方法2)由x 2+y 2-4x-14y+45=0,得(x-2)2+(y-7)2=8. 因为点M (m ,n )为圆C 上任意一点,所以可设{D -2=2√2cos D ,D -7=2√2sin D ,(θ为参数)即{D =2+2√2cos D ,D =7+2√2sin D ,(θ为参数) 所以m+2n=2+2√2cos θ+2(7+2√2sin θ)=16+2√2cos θ+4√2sin θ=16+2√10sin(θ+φ),其中tan φ=12.因为-1≤sin(θ+φ)≤1, 所以m+2n 的最大值为16+2√10. (2)设点Q (-2,3). 则直线MQ 的斜率k=D -3D +2. 设直线MQ 的方程为y-3=k (x+2), 即kx-y+2k+3=0.由直线MQ 与圆C 有公共点, 得|2D -7+2D +3|√D 2+1≤2√2,解得2-√3≤k ≤2+√3,即2-√3≤D -3D +2≤2+√3.所以D -3D +2的最大值为2+√3,最小值为2-√3. 对点训练34+√734-√73由题意,得D +1D表示过点A (0,-1)和圆(x-2)2+(y-1)2=1上的动点P (x ,y )的直线的斜率.当且仅当直线与圆相切时,直线的斜率分别取得最大值与最小值.设切线方程为y=kx-1,即kx-y-1=0,则|2D -2|√D 2+1=1,解得k=4±√73.所以z max =4+√73,z min =4-√73.例42√5 依题意,圆心C (2,1),半径r=√5.设点A (0,2)关于直线x+y+2=0的对称点为A'(m ,n ),则{D +02+D +22+2=0,D -2D -0=1,解得{D =-4,D =-2,故A'(-4,-2).连接A'C 交直线x+y+2=0于点P ,交圆C 于点Q (图略),此时|PA|+|PQ|取得最小值.由对称性可知此时|PA|+|PQ|=|PA'|+|PQ|=|A'Q|=|A'C|-r=2√5. 对点训练4112依题意,圆心C (0,1),半径r=1.如图,过圆心C 向直线AB 作垂线交圆C 于点P ,连接BP ,AP ,此时△ABP 的面积最小.因为直线AB 的方程为D 4+D -3=1,即3x-4y-12=0,所以圆心C 到直线AB 的距离d=165.又|AB|=√32+42=5,所以△ABP 的面积的最小值为12×5×(165-1)=112.例510√5 本题考查圆与直线的位置关系.如图,由已知,得C (0,12),CP=1,AB ⊥CP.设过点P 的直径为EF ,AB 与EF 相交于点D ,设CD=d. (1)当点D 与P 在圆心C 的异侧时,S △PAB =12×2√36-D 2×(1+d ) =√(36-D 2)(1+D )2(0≤d<6).设f (d )=(36-d 2)(1+d )2,则f'(d )=-2d (d+1)2+2(36-d 2)(d+1)=-2(d+1)(d-4)(2d+9). 所以f (d )在区间[0,4)上单调递增,在区间(4,6)上单调递减,所以当d=4时,f (d )取得最大值f (4)=500,此时,S △PAB =10√5.(2)当点D 与P 在圆心C 的同侧时,①当点D 在点C ,P 之间时,△PAB 的高为1-d ; ②当点D 在CP 的延长线上时,△PAB 的高为d-1. 根据圆的对称性,当AB 与(1)中相等时,相应的高都小于(1)中AB 对应的高,所以相应△PAB 的面积也小. 综上,△PAB 面积的最大值是10√5. 对点训练510 由题意,知DD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-x ,2-y ),DD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-x ,-2-y ),所以DD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2x ,-2y ),所以|DD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√D 2+D 2.因为点P (x ,y )是圆(x-3)2+y 2=4上的点,所以(x-3)2+y 2=4,1≤x ≤5,所以y 2=-(x-3)2+4,所以|DD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√D 2-(D -3)2+4=2√6D -5.因为1≤x ≤5,所以当x=5时,|DD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的值最大,最大值为2√6×5-5=10.。