平面解析几何-直线与圆

2.6 直线与圆、圆与圆的位置关系2.6.1 直线与圆的位置关系A级必备知识基础练1.(2022江苏盐城伍佑中学高二月考)点A为圆(x-1)2+y2=1上的动点，PA是圆的切线，|PA|=1，则点P的轨迹方程是()A.(x-1)2+y2=4B.(x-1)2+y2=2C.x2+y2=2xD.x2+y2=-2x2.圆x2+y2=1与直线y=kx-3有公共点的充要条件是()A.k≤-2或k≥2B.k≤-2C.k≥2D.k≤-2或k>23.(2022山东高二学情联考)过点P(1，-2)的直线与圆C:(x+2)2+(y-1)2=5相切，则切线长为()A. B.2C.2D.4.(多选题)(2022重庆育才中学高二月考)已知圆M的一般方程为x2+y2-8x+6y=0，则下列说法正确的是()A.圆M的圆心为(4，3)B.圆M的半径为5C.圆M被x轴截得的弦长为6D.圆M被y轴截得的弦长为65.圆x2+y2-2x-8y+13=0截直线ax+y-1=0所得的弦长为2，则a=()A.-B.-C. D.26.已知圆C与直线x-y=0及x-y=4都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为.7.若点P(2，-1)为圆C:(x-1)2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程为.8.已知圆C:x2+y2-6x-8y+21=0，直线l过点A(1，0).(1)求圆C的圆心坐标及半径;(2)若直线l与圆C相切，求直线l的方程;(3)当直线l的斜率存在且与圆C相切于点B时，求|AB|.B级关键能力提升练9.(2020全国Ⅰ，文6)已知圆x2+y2-6x=0，过点(1，2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为()A.1B.2C.3D.410.已知直线l:x-y+m=0与圆x2+y2=4交于A，B两点，O为坐标原点，且=0，则实数m为()A.2B.2C.±2D.±211.(多选题)(2022云南罗平县高二检测)过点(2，2)，斜率为k的直线与圆x2+y2-4x=0的位置关系可能是()A.相离B.相切C.相交但不过圆心D.相交且经过圆心12.(多选题)(2022辽宁葫芦岛协作校高二联考)已知直线l:3x+4y=0，圆C:x2-4x+y2=m-5，则()A.m的取值范围为(0，+∞)B.当直线l与圆C相切时，m=C.当1<m<2时，l与圆C相离D.当直线l与圆C相交时，m的取值范围是13.已知k∈R，若直线l:y=kx+1被圆x2-2x+y2-3=0所截，则截得的弦长最短为，此时直线l的方程为.14.如图，已知以点A(-1，2)为圆心的圆与直线l1:x+2y+7=0相切.过点B(-2，0)的动直线l与圆A交于M，N两点.(1)求圆A的方程;(2)当|MN|=2时，求直线l的方程.C级学科素养创新练15.(2022黑龙江大庆中学高二月考)若圆x2+y2-2x-6y+1=0上恰有三点到直线y=kx的距离为2，则k的值为()A.2B.1C.D.16.若直线l:y=ax-3与圆C:x2+y2=4相交，求a的取值范围.参考答案2.6直线与圆、圆与圆的位置关系2.6.1直线与圆的位置关系1.B∵PA是圆的切线，|PA|=1且圆的半径为r=1，∴点P到圆心的距离恒为.又圆心(1，0)，设P(x，y)，由两点间的距离公式得(x-1)2+y2=2，即点P的轨迹方程是(x-1)2+y2=2.故选B.2.A若直线与圆有公共点，则圆心(0，0)到直线kx-y-3=0的距离d=≤1，即≥3，∴k2+1≥9，即k2≥8，解得k≤-2或k≥2.∴圆x2+y2=1与直线y=kx-3有公共点的充要条件是k≤-2或k≥2.故选A.3.D由圆C:(x+2)2+(y-1)2=5，可得圆心C(-2，1)，半径r=，过点P(1，-2)的直线与圆C:(x+2)2+(y-1)2=5相切，两条切线长相等，只取其中一条切线，设切点为M，则CM⊥PM，由题得|PC|==3，|CM|=r=，所以切线|PM|=.故选D.4.BD将x2+y2-8x+6y=0化为圆的标准方程是(x-4)2+(y+3)2=25，所以圆M的圆心坐标为(4，-3)，半径为5，故A错误，B正确;圆心(4，-3)到x轴的距离为3，所以圆M被x轴截得的弦长为2=8，故C错误;对选项D，圆心(4，-3)到y轴的距离为4，所以圆M被y轴截得的弦长为2=6，故D正确.故选BD.5.A将x2+y2-2x-8y+13=0化为(x-1)2+(y-4)2=4，则该圆圆心为(1，4)，半径为2.又弦长为2，则圆心到直线距离为=1.根据点到直线距离公式可知d==1，化简可得(a+3)2=a2+1.解得a=-，故选A.6.(x-1)2+(y+1)2=2设圆心为点C(a，-a)，由点到直线的距离公式得，解得a=1，所以圆心为(1，-1)，且半径为，故圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.7.x-y-3=0圆心坐标为点C(1，0)，由题可得，k PC==-1.又|CP|⊥|AB|，因此k AB=1.因为直线AB过点P，可知直线AB的方程为y+1=x-2，即x-y-3=0.8.解将圆C的方程化成标准式方程得(x-3)2+(y-4)2=22.(1)圆C的圆心坐标是(3，4)，半径为2.(2)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程是x=1，满足题意;当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程是y=k(x-1)，即kx-y-k=0.由圆心(3，4)到直线l的距离等于圆C的半径，可得=2，解得k=，故直线l的方程是3x-4y-3=0.综上所述，直线l的方程是x=1或3x-4y-3=0.(3)由(2)可得直线l的方程是3x-4y-3=0.圆C的圆心是点C(3，4)，则|AC|==2，所以|AB|==4.9.B圆的方程可化为(x-3)2+y2=9.因为=2<3，所以点(1，2)在圆内.如图所示，设圆心O1(3，0)，A(1，2)，当弦BC与O1A垂直时弦最短，因为|O1A|==2，|O1B|=3，所以|AB|==1，所以|BC|=2|AB|=2.10.C由=0可知∠AOB=90°.由于圆半径为r=2，则圆心(0，0)到直线l的距离d=，解得|m|=2，即m=±2，故选C.11.BC由题得，圆的标准方程为(x-2)2+y2=4，则圆心为(2，0)，半径为2.设过点(2，2)，斜率为k的直线为y=k(x-2)+2，即kx-y-2k+2=0，∴圆心到kx-y-2k+2=0的距离d=≤2，∴当d=2时，直线与圆相切;当d<2时，直线与圆相交但直线不过圆心.故B，C正确，A，D错误.故选BC.12.BC圆C的标准方程为(x-2)2+y2=m-1，则圆C的圆心为C(2，0)，半径r=，由r=>0，得m>1，故A错误;因为C(2，0)到直线l的距离为，所以当直线l与圆C相切时，r=，解得m=，故B正确; 当1<m<2时，0<r<1<，所以直线l与圆C相离，故C正确;当直线l与圆C相交时，，解得m>，故D错误.故选BC.13.2y=x+1圆x2-2x+y2-3=0的标准方程为(x-1)2+y2=22，所以圆心为O(1，0)，半径为r=2.直线l:y=kx+1过定点P(0，1).故|OP|=.当l⊥OP时，截得的弦长最短，则最短弦长为2=2.由题得，k OP=-1，所以k l=1，故直线l的方程为y=x+1.14.解(1)设圆A的半径为r.∵圆A与直线l1:x+2y+7=0相切，∴r==2.故圆A的方程为(x+1)2+(y-2)2=20.(2)①当直线l的斜率不存在时，可得直线l的方程为x=-2，易得|MN|=2，符合题意;②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x+2)，即kx-y+2k=0.取MN的中点Q，连接AQ，则AQ⊥MN.∵|MN|=2，∴|AQ|==1.∴=1，解得k=.∴直线l的方程为3x-4y+6=0.综上，直线l的方程为x=-2或3x-4y+6=0.15.C将方程x2+y2-2x-6y+1=0化为(x-1)2+(y-3)2=9，则圆心(1，3)，半径为3.∵圆上恰有三点到直线y=kx的距离为2，∴圆心(1，3)到直线y=kx的距离为1，即=1，解得k=.故选C.16.解(方法1)圆C:x2+y2=4的圆心C(0，0)，r2=4.直线l:y=ax-3可化为ax-y-3=0.圆心C(0，0)到直线l:ax-y-3=0的距离d=.由直线l与圆C相交可得r>d，则r2>d2，即4>，解得a>或a<-.因此a 的取值范围是-∞，-∪，+∞.(方法2)将y=ax-3代入x2+y2=4得到x2+(ax-3)2=4，整理可得(1+a2)x2-6ax+5=0.因为直线与圆相交，则Δ=(-6a)2-4×(1+a2)×5=36a2-20-20a2=16a2-20>0，即a2>，解得a>或a<-，故a 的取值范围是-∞，-∪，+∞.11。

平面解析几何知识点归纳平面解析几何是研究平面上点、直线、圆及其相关性质和相互关系的数学分支。

在平面解析几何中，我们通过坐标系的建立和运用向量的概念，可以方便地描述和研究平面上的各种几何图形和问题。

本文将对平面解析几何中的一些重要知识点进行归纳，以帮助读者更好地理解和掌握这些知识。

1. 坐标系的建立平面解析几何中，坐标系是最基本的工具之一。

一般来说，我们可以建立直角坐标系、极坐标系或其他特定的坐标系来描述平面上的点。

以直角坐标系为例，我们用x轴和y轴分别表示水平和垂直方向，将一个点P的位置用有序数对(x, y)表示，其中x称为点P的横坐标，y称为点P的纵坐标。

2. 点的坐标计算对于已知坐标系的平面上的点P(x, y)，我们可以通过给定的信息计算出点的坐标。

例如，已知点A和点B的坐标，我们可以通过运用向量的加法和数乘运算，求得点P的坐标。

设向量OA的坐标为A(x1,y1)，向量OB的坐标为B(x2, y2)，则向量OP的坐标为P(x, y)，其中P 的坐标满足向量OP = 向量OA + 向量OB。

3. 向量的定义和运算在平面解析几何中，向量是重要的概念之一。

向量可以表示有大小和方向的量，并且可以与点一一对应。

向量的表示方法有很多种，常见的有坐标表示和位置向量表示。

在坐标表示中，向量通常用有序数对(x, y)表示。

在位置向量表示中，我们用一个固定点O与向量表示的点P的坐标差，来表示向量OP。

向量的运算包括加法、减法和数乘。

设向量u = (x1, y1)，向量v = (x2, y2)，实数k，向量u与v的加法定义为：u + v = (x1 + x2, y1 + y2)；向量u与v的减法定义为：u - v = (x1 - x2, y1 - y2)；向量u的数乘定义为：k * u = (kx1, ky1)。

4. 直线的方程直线是平面几何中的基本要素之一。

在平面解析几何中，我们可以通过直线上的点和直线的斜率来确定直线的方程。

平面解析几何一、直线与圆1.斜率公式 2121y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 2.直线的五种方程（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )．（2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).（3）两点式112121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). < （4）截距式 1x y a b+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、). （5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).3.两条直线的平行和垂直(1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+①121212||,l l k k b b ⇔=≠;②12121l l k k ⊥⇔=-.(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222||A B C l l A B C ⇔=≠； < ②1212120l l A A B B ⊥⇔+=；4.点到直线的距离d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).5.圆的四种方程 （1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=.（2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).圆心⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D ，半径r=2422F E D -+. 6.点与圆的位置关系点00(,)P x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种: .若d =d r >⇔点P 在圆外;d r =⇔点P 在圆上;d r <⇔点P 在圆内. 7.直线与圆的位置关系直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种: 0<∆⇔⇔>相离r d ;0=∆⇔⇔=相切r d ;0>∆⇔⇔<相交r d . 其中22B A CBb Aa d +++=.8.两圆位置关系的判定方法#设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21条公切线外离421⇔⇔+>r r d ;条公切线外切321⇔⇔+=r r d ;条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ;条公切线内切121⇔⇔-=r r d ;无公切线内含⇔⇔-<<210r r d .$二、圆锥曲线1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)；(2)双曲线：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)．2．圆锥曲线的标准方程(1)椭圆：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)(焦点在y 轴上)； (2)双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)(焦点在y 轴上)． 3．圆锥曲线的几何性质&(1)椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩.长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c ，三者满足a 2=b 2+c 2，顶点为（a,0）,(0,b),焦点为（c,0）,离心率e=ac ，准线c a 2±=x (X 型). (2)双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，实轴长为2a ，虚轴长为2b ，焦距为2c ，三者满足a 2+b 2=c 2，顶点为（a,0）,焦点为（c,0）,离心率e=a c （e>1）,渐近线为x ab y ±=. 4.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1)若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x ab y ±=. (2)共轭双曲线： 12222=-b y ax 与1-2222=a x b y 渐近线一样. (3)等轴双曲线：若双曲线与12222=-by a x 中a=b ，（e=2,渐近线为y=x ±）. 5.抛物线px y 22=的焦半径公式抛物线22(0)y px p =>焦半径02p CF x =+.准线：x=2p ,离心率为e=1.（点到焦点的距离等于点到准线的距离）.。

解析几何中的直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系是解析几何中的重要概念之一。

在空间几何中，直线和圆可以有多种相互位置的情况，包括相离、相切和相交。

本文将对直线与圆的不同位置关系进行解析和讨论。

一、直线和圆相离的情况当一条直线与一个圆没有任何交点时，我们称直线和圆相离。

此时，直线与圆之间的最短距离等于两者之间的半径差。

直线作为一个无限延伸的曲线，在与圆相离的情况下，可能与圆的外部或内部都不存在交点。

二、直线和圆相切的情况直线和圆相切意味着它们只有一个公共点，即相切点。

在这种情况下，直线与圆的切点即为它们的交点，且直线垂直于通过切点的半径。

直线与圆相切的情况分为两种，一种是直线与圆外切，另一种是直线与圆内切。

1. 直线与圆外切当一条直线与一个圆外切时，直线与圆相交于切点。

此时，直线与圆的半径垂直并且共线，且直线和圆之间的最短距离等于圆的半径。

直线从切点开始离开圆，没有任何交点。

外切情况下，直线与圆的位置关系可以通过切线与圆的关系来理解。

2. 直线与圆内切直线与圆内切意味着直线与圆只有一个公共点，并且直线在此切点处与圆的内部相切。

如外切情况一样，直线与圆内切时，直线与通过切点的半径垂直并且共线。

直线从切点开始进入圆内，没有任何其他交点。

三、直线和圆相交的情况直线和圆可能有两个交点或者无穷多个交点。

直线与圆相交的情况分为两种，一种是直线穿过圆内部，另一种是直线截取了圆的一部分。

1. 直线穿过圆内部当一条直线穿过一个圆的内部时，直线与圆的交点有两个。

此时直线与圆的位置关系是直线既与圆的内部相交，又与圆的外部相交。

直线穿过圆的内部时，直线与圆的交点处于圆的两侧。

2. 直线截取圆的一部分当一条直线截取了一个圆的一部分时，直线与圆的交点有两个。

此时直线与圆的位置关系是直线既与圆的内部相交，又与圆的外部相交。

直线截取圆的一部分时，直线的两个交点分别位于圆上，相交点将圆分成了两部分。

总结：直线和圆的位置关系在解析几何中是一个重要的概念。

直线和圆【复习要点】1、直线与圆的位置关系：相交、相切、相离判断方法：（1）代数法；把直线方程与圆方程联立方程组，消去一个未知数，转化成关于x （或y ）的二元一次方程，再利用“∆”来判断.0∆>⇔直线与圆相交；0∆=⇔直线与圆相切； 0∆<⇔直线与圆相离. （2）几何法：比较圆心到直线的距离d 与圆半径r 的大小.d r <⇔直线与圆相交；d r =⇔直线与圆相切； d r >⇔直线与圆相离. 2、直线与圆相交时，圆的弦长的求法：常用弦心距d 、弦长的一半2l 、圆的半径r 所构成的直角三角形来解.3、点与圆的位置关系：已知点00(,)M x y 与圆C ：222()()x a y b r -+-=（0r >）点M 在圆外⇔22200()()x a y b r -+->；点M 在圆上⇔22200()()x a y b r -+-=；点M 在圆内⇔22200()()x a y b r -+-<4、圆与圆的位置关系的判定，利用两圆的圆心距与两半径的关系5、两圆相交弦所在的直线方程：若圆1C ：221110x y D x E y F ++++=与圆2C ：222220x y D x E y F ++++=相交，则相交弦所在的直线方程为：121212()()()0D D x E E y F F -+-+-=提醒：研究直线与圆、圆与圆的位置关系的时候，要充分发挥平面几何知识的作用. 【强化训练】1、直线2y kx =+与圆22(2)(3)1x y -+-=有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是 2、圆224460x y x y +-++=截直线50x y --=所得的弦长为3、已知点00(,)P x y 在圆222x y r +=内且不与圆心重合，则直线200x x y y r +=与圆的位置关系是4、圆2244100x y x y +---=上点到直线140x y +-=的最大距离为5、过点)1,1(-的直线被圆0222=-+x y x 截得的弦长为2，则此直线的方程为6、圆4)2(22=+-y x 与圆122=+y x 的公共弦所在的直线方程是7、圆034222=-+++y x y x 上到直线01=++y x 的距离为2的点共有 个8、过圆054222=--++y x y x 与直线042=++y x 的两个交点，且面积最小的圆的面积是 9、过圆0126422=-+-+y x y x 内一点)2,4(-A 作圆的弦，则这些弦的中点的轨迹方程是10、曲线1y =+(－2≤x ≤2)与直线(2)4y k x =-+有两个公共点时，则实数k 的取值范围是 11、设圆上的点)3,2(-A 关于直线02=+y x 的对称点仍在这个圆上，且与直线01=+-y x 相交的弦长为22，求圆的方程。

高中平面解析几何知识点总结一.直线部分1．直线的倾斜角与斜率：（1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角. 倾斜角)180,0[︒∈α,︒=90α斜率不存在.（2）直线的斜率：αtan ),(211212=≠--=k x x x x y y k ．两点坐标为111(,)P x y 、222(,)P x y .2．直线方程的五种形式：（1）点斜式：)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ，且斜率为k )．注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =．（2）斜截式：b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距).（3）两点式：121121x x x x y y y y --=-- (12y y ≠，12x x ≠).注：① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线；② 方程形式为：0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以表示任意直线．（4）截距式：1=+b ya x （b a ,分别为x 轴y 轴上的截距，且0,0≠≠b a ）．注：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线．（5）一般式：0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0)．一般式化为斜截式：B C x B A y --=，即，直线的斜率：B Ak -=． 注：（1）已知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+或0x =． 已知直线横截距0x ，常设其方程为x my x =+(直线斜率k 存在时，m 为k 的倒数)或0y =．已知直线过点00(,)x y ，常设其方程为00()y k x x y =-+或x x =．（2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合．3．直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0.（1）直线在两坐标轴上的截距相等⇔直线的斜率为1-或直线过原点． （2）直线两截距互为相反数⇔直线的斜率为1或直线过原点． （3）直线两截距绝对值相等⇔直线的斜率为1±或直线过原点． 4．两条直线的平行和垂直： （1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+，有① 212121,//b b k k l l ≠=⇔； ② 12121l l k k ⊥⇔=-.（2）若0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l ，有① 1221122121//C A C A B A B A l l ≠=⇔且； ② 0212121=+⇔⊥B B A A l l ．5．平面两点距离公式： （1）已知两点坐标111(,)P x y 、222(,)P x y ，则两点间距离22122121)()(y y x x P P -+-=．（2）x 轴上两点间距离：AB x x AB -=．（3）线段21P P 的中点是),(00y x M ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=22210210y y y x x x ． 6．点到直线的距离公式：点),(00y x P 到直线0=++C By Ax l ：的距离：2200B A CBy Ax d +++=．7．两平行直线间的距离公式：两条平行直线002211=++=++C By Ax l C By Ax l ：，：的距离：2221B A C C d +-=．8．直线系方程： （1）平行直线系方程：① 直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程． ② 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为10Ax By C ++=．③ 过点00(,)P x y 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为：00()()0A x xB y y -+-=．（2）垂直直线系方程：① 与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为10Bx Ay C -+=．② 过点00(,)P x y 与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为：00()()0B x x A y y ---=．（3）定点直线系方程：① 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线x x =),其中k 是待定的系数．② 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x xB y y -+-=,其中,A B 是待定的系数．（4）共点直线系方程：经过两直线0022221111=++=++C y B x A l C y B x A l ：，：交点的直线系方程为0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ (除开2l)，其中λ是待定的系数．9．两条曲线的交点坐标：曲线1:(,)0C f x y =与2:(,)0C g x y =的交点坐标⇔方程组{(,)0(,)0f x y g x y ==的解．10.平面和空间直线参数方程：① 平面直线方程以向量形式给出：nb y nax 21--=方向向量为()n n s 21，=→下面推导参数方程：⎪⎩⎪⎨⎧+=+===--tn b y tn a x tn b y na x 2121则有令：② 空间直线方程也以向量形式给出：nb z nb y na x 321---==方向向量为()n n n s 321,，=→下面推导参数方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+====---t n c z t n b y t n a x t nc z nb y na x 321321则有令：注意：只有封闭曲线才会产生参数方程，对于无限曲线，例如二次函数一般不会有化为如上的参数方程。

高中几何知识解析解析几何中的直线与圆的性质几何学是数学中的一个重要分支，着重研究空间之内的形状、大小、相对位置以及它们之间的关系。

在高中阶段，学生们开始接触到更加复杂的几何知识，并深入学习线和圆的性质。

本文将解析解析几何中的直线与圆的性质。

1. 直线的性质直线是几何中最基本的对象之一，具有以下性质：（1）直线上的任意两点可以通过直线的方程进行表示。

一般形式为：y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。

（2）直线上的两个点可以唯一确定一条直线。

反之亦成立，即任意两个不重合的直线必定相交于一点。

（3）直线可分为平行线和垂直线。

若两条直线的斜率相等且截距不相等，则两条直线平行；若两条直线的斜率相乘为-1，则两条直线垂直。

2. 圆的性质圆是平面上所有到圆心距离相等于半径的点集，具有以下性质：（1）圆心到圆上任意点的距离都相等，该距离称为半径。

（2）圆的周长由半径和π决定，即C = 2πr。

（3）圆内任意两点可以通过圆心进行表示，两点到圆心的距离相等。

（4）切线是与圆相切且垂直于半径的直线。

（5）弦是圆上的一条线段，且它的两个端点都在圆上。

直径是弦的特殊情况，直径的长度等于圆的半径的两倍。

3. 直线与圆的关系在解析几何中，直线与圆之间存在多种关系：（1）直线和圆相交：直线与圆相交于两个点，这两个点分别位于圆上。

（2）直线与圆相切：直线与圆只有一个公共点，这个点位于圆上。

（3）直线与圆相离：直线与圆没有公共点。

4. 直线与圆的判断问题当给定一个直线和一个圆时，我们可以通过以下几个步骤来进行判断：（1）判断直线和圆的位置关系：将直线的方程代入圆的方程，得到一个一元二次方程，求解该方程的根。

若判别式大于零，说明直线与圆相交；若判别式等于零，说明直线与圆相切；若判别式小于零，说明直线与圆相离。

（2）判断直线是否为圆的切线：求直线的斜率，然后计算该斜率与圆心到直线的距离的乘积。

若乘积等于圆的半径，则表示直线为圆的切线。

课时规范练41直线与圆、圆与圆的位置关系基础巩固组1.(2021浙江余姚中学月考)直线mx-y+1=0与圆(x-2)2+(y-1)2=5的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.与m的值有关2.(2021湖南长沙一中月考)已知圆x2+y2=25,则过圆上一点A(3,4)的切线方程为()A.3x+4y-25=0B.4x+3y-24=0C.3x-4y+7=0D.4x-3y=03.(2021河南安阳一中月考)若直线l:mx+ny+3=0始终平分圆C:x2-2x+y2+3y-1=0,则2m-3n=()A.-6B.-3C.3D.64.(2021安徽合肥一中模拟)“k∈[-2,√3]”是“直线l:y=kx与圆C:(x-2)2+y2=3相交”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.(多选)已知圆C1:x2+y2-10x-10y=0和圆C2:x2+y2-6x+2y-40=0,则()A.两圆相交B.公共弦长为4√10C.两圆相离D.公共弦长为2√106.(多选)(2021湖南怀化一模)直线l过点P(1,2)且与直线x+ay-3=0平行.若直线l被圆x2+y2=4截得的弦长为2√3,则实数a的值可以是()A.0B.34C.43D.-437.两圆x2+y2-4x+2y+1=0与(x+2)2+(y-2)2=9的公切线有条.8.(2021河北秦皇岛二模)已知直线x+y-5=0与圆C:(x-2)2+(y-1)2=4相交于A,B两点,则△ABC的面积为.9.(2021湖北荆州模拟)已知圆C过点A(4,-1),且与直线x-y+1=0相切于点B(-2,-1).(1)求圆C的方程;(2)设直线y=x与圆C相交于M,N两点,求弦长|MN|.综合提升组10.(多选)(2021河北张家口二模)已知直线l:kx+y=0与圆M:x2+y2-2x-2y+1=0,则下列说法中正确的是()A.直线l与圆M一定相交B.若k=0,则直线l与圆M相切C.当k=-1时,直线l被圆M截得的弦最长D.圆心M到直线l的距离的最大值为√211.(多选)(2021山东淄博三模)已知圆O1:x2+y2-2x-3=0和圆O2:x2+y2-2y-1=0的交点为A,B,则()A.圆O1和圆O2有两条公切线B.直线AB的方程为x-y+1=0C.圆O2上存在两点P和Q使得|PQ|>|AB|D.圆O1上的点到直线AB的最大距离为2+√212.(2021山东烟台二中三模)已知直线ax+y-2=0与圆C:x2+y2-2x-2ay+a2-3=0相交于A,B两点,且△ABC为钝角三角形,则实数a的取值范围为.13.若一个圆的圆心是抛物线x2=8y的焦点,且该圆与直线√3x-y-2=0相切,则该圆的标准方程为.过点P(-2,-2)作该圆的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,则直线AB的方程为.创新应用组14.(2021北京高三一模)瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理:三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上,这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作△ABC,AB=AC=4,B(-1,3),C(4,-2),且其“欧拉线”与圆M:(x-a)2+(y-a+3)2=r2相切.则圆M上的点到直线x-y+3=0的距离的最小值为() A.2√2 B.3√2C.4√2D.615.阿波罗尼斯与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期数学三巨匠.“阿波罗尼斯圆”是他的代表成果之一;平面上一点P到两定点A,B的距离满足|PA||PB|=t(t>0且t≠1)为常数,则点P的轨迹为圆.已知圆O:x2+y2=1和点A(-12,0),若定点B(b,0)(b≠-12)和常数λ满足:对圆O上任意一点M,都有|MB|=λ|MA|,则λ=,△MAB面积的最大值为.课时规范练41 直线与圆、圆与圆的位置关系1.A 解析因为直线mx-y+1=0过定点(0,1),且(0-2)2+(1-1)2=4<5, 所以点(0,1)在圆内,所以直线和圆相交.故选A .2.A 解析因为圆x 2+y 2=25的圆心为O (0,0),所以直线AO 的斜率k OA =43,所以切线的斜率k=-1k OA =-34,所以切线方程为y-4=-34(x-3),化简得3x+4y-25=0.故选A .3.A 解析由圆C :x 2-2x+y 2+3y-1=0得圆心C (1,-32).因为直线平分圆,所以直线必过圆心(1,-32),则m-32n+3=0,则2m-3n=-6.故选A . 4.B 解析由直线与圆相交,得圆心到直线的距离为d=√k +1<√3,解得k ∈(-√3,√3).因为(-√3,√3)⫋[-2,√3],所以[-2,√3]是直线l 与圆C 相交的必要不充分条件. 故选B .5.AB 解析圆C 1的标准方程为(x-5)2+(y-5)2=50,圆心为(5,5),半径为r 1=5√2. 圆C 2的标准方程为(x-3)2+(y+1)2=50,圆心为(3,-1),半径为r 2=5√2. ∵圆心距d=√(5-3)2+[5-(-1)]2=2√10,∴|r 1-r 2|<d<r 1+r 2,∴两圆相交,故选项A 正确,选项C 错误; 设两圆公共弦长为L ,则有(L 2)2+(d 2)2=r 2(r=r 1=r 2),∴L=4√10,故选项B 正确,选项D 错误. 故选AB .6.AD 解析设直线l 的方程为x+ay+c=0(c ≠-3). 因为直线l 过点P (1,2),所以c=-1-2a , 所以直线l 的方程为x+ay-2a-1=0. 圆x 2+y 2=4的圆心为(0,0),半径为2.因为直线l 被圆x 2+y 2=4截得的弦长为2√3,所以弦心距为1, 所以圆心到直线的距离d=√a 2+1=1,解得a=0或a=-43.故选AD .7.3 解析圆x 2+y 2-4x+2y+1=0整理可得(x-2)2+(y+1)2=4,可得圆心C 1的坐标为(2,-1),半径r 1=2.(x+2)2+(y-2)2=9的圆心C 2的坐标为(-2,2),半径r 2=3,所以圆心距|C 1C 2|=√(2+2)2+(2+1)2=5=r 1+r 2,所以两个圆外切,所以公切线有3条.8.2解析因为圆C:(x-2)2+(y-1)2=4的圆心为C(2,1),半径r=2,所以圆心C到直线x+y-5=0的距离d=√2=√2,所以直线x+y-5=0被圆C:(x-2)2+(y-1)2=4截得的弦长|AB|=2√4-2=2√2,所以△ABC面积S=12×2√2×√2=2.9.解(1)过切点B(-2,-1)且与直线x-y+1=0垂直的直线为y+1=-(x+2),即x+y+3=0,则其过圆心.∵直线AB方程为y=-1,∴AB的中垂线x=1过圆心.联立{x+y+3=0,x=1,解得{x=1,y=-4,∴圆心为(1,-4),∴半径r=√(1+2)2+(-4+1)2=3√2,∴所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=18.(2)∵直线l的方程为x-y=0,∴圆心C(1,-4)到直线l的距离d=√2,∴|MN|=2√18-d2=√22.10.BCD解析M:x2+y2-2x-2y+1=0,即(x-1)2+(y-1)2=1,是以点(1,1)为圆心,以1为半径的圆.对于A,因为直线l:kx+y=0过原点,且02+02-2×(-2)×0+1>0,所以原点在圆外,所以直线l 与圆M不一定相交,故A错误;对于B,若k=0,则直线l:y=0,直线l与圆M相切,故B正确;对于C,当k=-1时,直线l的方程为y=x,过圆M的圆心,故C正确;对于D,由点到直线的距离公式,得d=√k+1=√k2+1+2kk2+1=√1+2k+1k≤√2(当且仅当k=1时,等号成立),故D正确.故选BCD.11.ABD解析对于A,因为两个圆相交,所以有两条公切线,故A正确;对于B,将两圆方程相减可得-2x+2y-2=0,即得直线AB的方程为x-y+1=0,故B正确;对于C,直线AB过圆O2的圆心(0,1),所以线段AB是圆O2的直径,所以圆O2中不存在比AB长的弦,故C错误;对于D,圆O1的圆心坐标为(1,0),半径为2,圆心到直线AB:x-y+1=0的距离为√2=√2,所以圆O1上的点到直线AB的最大距离为2+√2,故D正确.故选ABD.12.(2-√3,1)∪(1,2+√3)解析圆C:x2+y2-2x-2ay+a2-3=0可化为(x-1)2+(y-a)2=4,故圆心为C(1,a),半径为2.当△ABC为等腰直角三角形时,点C到直线的距离d=√a2+1=√2,解得a=2±√3.∵△ABC为钝角三角形,∴0<d<√2.又当a=1时,d=0,∴a的取值范围为(2-√3,1)∪(1,2+√3).13.x2+(y-2)2=4x+2y-2=0解析由题意,圆心坐标为F(0,2).因为该圆与直线√3x-y-2=0相切,所以d=|-2-2|2=2=r,所以圆的标准方程为x2+(y-2)2=4.因为∠FAP=∠FBP=π2,所以点F,A,B,P四点共圆,且FP为该圆的直径,所以圆的方程为(x+1)2+y2=5.又因为x2+(y-2)2=4,联立求解得x+2y-2=0,所以直线AB的方程为x+2y-2=0.14.A解析因为在△ABC中,AB=AC=4,所以BC边上的高、垂直平分线和中线合一,则其“欧拉线”为△ABC边BC的垂直平分线AD.因为B(-1,3),C(4,-2),所以D(32,12).因为直线BC的斜率为3+2-1-4=-1,所以边BC的垂直平分线的斜率为1,所以边BC的垂直平分线方程为y-12=x-32,即x-y-1=0.因为△ABC的“欧拉线”与圆M:(x-a)2+(y-a+3)2=r2相切,所以圆心M(a,a-3)到“欧拉线”的距离为√2=r,解得r=√2.因为圆心(a,a-3)到直线x-y+3=0的距离为√2=3√2,所以圆M上的点到直线x-y+3=0的距离的最小值为3√2−√2=2√2.故选A.15.234解析设点M(x,y).由|MB|=λ|MA|(λ≥0),得(x-b)2+y2=λ2x+122+y2,整理得(-λ2)x2+(1-λ2)y2-(2b+λ2)x+b2-14λ2=0.因为b=-12,所以|MB|≠|MA|,所以λ≠1,所以1-λ2≠0,所以x2+y2-2b+λ21-λ2x+b2-14λ21-λ2=0,所以{2b+λ21-λ2=0,b2-14λ21-λ2=-1,解得{λ=1,b=-12(舍去)或{λ=2,b=-2.如图所示,S△MAB=12|AB||y M|.由图可知,当|y M|=1,即M的坐标为(0,1)或(0,-1)时,S△MAB取得最大值12-12-(-2)=34.。

高中解析几何知识归纳高中解析几何是数学中的一个重要组成部分，主要研究平面和空间中点、线、面之间的相互关系和位置关系。

以下是对高中解析几何知识点的详细介绍：一、平面解析几何1. 点：平面上的点用坐标系表示，有序数对（x, y）表示。

2. 直线：直线的方程一般形式为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，A和B不同时为0。

3. 圆：圆的标准方程为(x - h)²+ (y - k)²= r²，其中(h, k)为圆心坐标，r为半径。

4. 圆锥曲线：包括椭圆、双曲线和抛物线。

-椭圆：椭圆的标准方程为x²/a²+ y²/b²= 1，其中a为半长轴，b为半短轴。

-双曲线：双曲线的标准方程为x²/a²- y²/b²= 1，其中a为实轴半长，b为虚轴半长。

-抛物线：抛物线的标准方程为y²= 4ax或x²= 4ay，其中a为焦点到准线的距离。

二、空间解析几何1. 点：空间中的点用坐标系表示，有序数对（x, y, z）表示。

2. 直线：空间直线的方程一般形式为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C、D为常数，A、B、C不同时为0。

3. 平面：平面的方程一般形式为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C、D为常数，A、B、C 不同时为0。

4. 空间几何体：包括立方体、球、锥体、柱体等。

三、解析几何的基本公式和性质1. 点到直线的距离公式：d = |Ax1 + By1 + C| / √(A²+ B²)，其中（x1, y1）为点的坐标。

2. 点到直线的距离性质：点到直线的距离等于点到直线的垂线的长度。

3. 直线与直线的交点公式：解直线方程组，得到交点的坐标。

4. 直线与圆的位置关系：直线与圆相交、相切或相离。

5. 圆与圆的位置关系：圆与圆相交、相切或相离。

第4讲直线与圆、圆与圆的地址关系[基础题组练]1．已知会集A ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x＋ ＝1}，则∩B 的元素个数为( )yAA ．4B ．3C ．2D ．1分析：选C.(直接法)会集A 表示圆，会集B 表示一条直线，又圆心 (0，0)到直线x ＋y12<1＝r ，所以直线与圆订交．＝1的距离d ＝ ＝222．直线l ：x －y ＋m ＝0与圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0恒有公共点，则m 的取值范围是 ()A ．[－2，2]B ．[－22，22]C ．[－2－1，2－1]D ．[－22－1，22－1]分析：选D.圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，圆心为(2，1)，半径为 2，圆心到直线的距离d ＝|2－1＋m | |m ＋1||m ＋1|＝，若直线l 与圆C 恒有公共点，则 ≤2，解得－222 22－1≤m ≤22－1，应选D.3．若圆x 2＋y 2＝a 2与圆x 2＋y 2＋ay －6＝0的公共弦长为 23，则a 的值为()A ．±2B ．2C ．－2D ．无解分析：选A.圆x 2＋y 2＝a 2的圆心为原点 O ，半径r ＝|a |.将x 2＋y 2＝a 2与x 2＋y 2＋ay －6＝0左右分别相减，可得a 2＋ay －6＝0，即得两圆的公共弦所在直线的方程为a 2＋ay －6＝0.62原点O 到直线a ＋ay －6＝0的距离d ＝a －a ，依据勾股定理可得226 2a ＝(3) ＋ －a，a所以a 2＝4，所以a ＝±2.应选A.4．(2020·台州中学高三月考)若直线y ＝kx ＋4＋2k 与曲线y ＝ 4－x 2有两个交点，则k 的取值范围是()A．[1，＋∞)3B.－1，－43C.4，1 D．(－∞，－1]分析：选B.曲线y＝4－x2即x2＋y2＝4(y≥0)，表示一个以(0，0)为圆心，以2为半径的位于x轴上方的半圆，以下列图．直线y＝kx＋4＋2k即y＝k(x＋2)＋4，表示恒过点(－2，4)，斜率为k的直线，4结合图形可得k AB＝－4＝－1，|4＋2k| 3 3因为1＋k 2＝2，解得k＝－，即k AT＝－，4 4所以要使直线与半圆有两个不一样的交点，k的取值范围是3 －1，－.45．圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey－3＝0(D<0，E为整数)的圆心C到直线4x－3y＋3＝0的距离为1，且圆C被截x轴所得的弦长|MN|＝4，则E的值为( )A．－4 B．4C．－8 D．8D E分析：选C.圆心C－2，－2.DE4×－2－3×－2＋3由题意得＝1，42＋（－3） 2即|4 －3－6|＝10，①DE在圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey－3＝0中，令y＝0得x2＋Dx－3＝0.设M(x1，0)，N(x2，0)，则x1＋x2＝－D，x1x2＝－3.由|MN|＝4得|x1－x2|＝4，即(x1＋x2)2－4x1x2＝16，(－D)2－4×(－3)＝16.因为D<0，所以D＝－2.将D＝－2代入①得|3E＋14|＝10，所以E ＝－8 或E ＝－ 43(舍去)．6．已知圆C ：(x －3) 2＋(y －1) 2＝1和两点A (－t ，0)，B (t ，0)，(t >0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则当t 获得最大值时，点P 的坐标是()A.3 2B.333，22，22 2C.3 3D.333，23，22 2分析：选D.设(， b )为圆上一点，由题意知，→·→＝0，即( ＋ )( a － t )＋ 2＝0，PaAP BP at b2222 ＝a 22 OP | 2＝2＋1＝3，即t 的最大值为 3，此时k ＝ 3a－t ＋b＝0，所以t＋b＝|，|OP|，max OP3OP 所在直线的倾斜角为30°，所以点P 的纵坐标为33 ＝ 3 3，即P 3 3，横坐标为 3× 2 3，.2 2 22 7．(2020·浙江高中学科基础测试 )由直线3－4＋5＝0上的一动点 P 向圆 x 2＋y 2－4xyx＋2y ＋4＝0引切线，则切线长的最小值为________．分析：当直线上的点到圆心 (2，－1)的距离最短时，切线长最小．此时，圆心到直线的距离＝|3×2－4×（－1）＋5|＝3，＝1，所以切线长为2 2.d32＋（－4）2r答案：2 28．(2020·杭州七校联考)已知圆C ：(x －3)2＋(y －5)2＝5，直线l过圆心且交圆 C 于A ，B 两点，交 y 轴于 P 点，若2 →＝→ ，则直线l 的斜率k ＝________．PA PB分析：依题意得，点A 是线段PB 的中点，|PC |＝|PA |＋|AC |＝35，过圆心C (3，5)作 y 轴的垂线，垂足为 1，则|1|＝3，|1|＝（35）2－32＝6.记直线 l 的倾斜角为θ ，C CC PC 则有|tanθ|＝|PC | ＝2，即 k ＝±2.1| CC 1|答案：±29．已知圆：( x －1)2＋( y －2)2＝2，若等边△的一边 为圆C 的一条弦，则| |CPAB ABPC的最大值为________．分析：已知圆 ：( x －1)2＋(y －2)2＝2，所以圆心为(1，2)，半径 r ＝ 2，若等边△PABCC的一边为圆C 的一条弦，则 ⊥ .在△中，∠＝30°，由正弦定理得 |AC | ＝ABPCABPAC APCsin30°|PC |，所以|PC |＝22sin ∠PAC ≤22，故|PC |的最大值为22.sin∠PAC答案：2 210．(2020·绍兴柯桥区高三下学期考试)已知圆O 1和圆O 2都经过点(0，1)，若两圆与直线4x －3y ＋5＝0及y ＋1＝0均相切，则|O 1O 2|＝________．分析：如图，因为原点O 到直线4x －3y ＋5＝0的距离d ＝ |5|42＋（－3）2＝1，到直线y ＝－1的距离为1，且到(0，1)的距离为1，所以圆O 1和圆O 2的一个圆心为原点O ，不如看作是圆O 1， 设O 2(a ，b )，则由题意：b ＋1＝ a 2＋（b －1）2a ＝2|4 a －3 ＋5|，解得 .b ＋1＝bb ＝1 42＋（－3）2所以|O 1O 2|＝22＋12＝5.答案： 511．(2020·浙江省名校协作体高三联考)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝9内有一点P (2，2)， 过点P 作直线l 交圆C 于A ，B 两点．(1) 当l 经过圆心C 时，求直线l 的方程；(2) 当直线l 的倾斜角为45°时，求弦AB 的长．222－0解：(1)已知圆C ：(x －1) ＋y ＝9的圆心为C (1，0)，因为直线过点P ，C ，所以k PC ＝2－1＝2，直线l 的方程为y ＝2(x －1)，即2x －y －2＝0.(2)当直线l 的倾斜角为 45°时，斜率为1，直线l 的方程为y －2＝x －2，即x －y ＝0，圆心C 到直线l 的距离为1 34.，又因为圆的半径为3，所以弦AB 的长为212．圆1 的方程为 x 2＋(y ＋1)2＝4，圆2的圆心坐标为(2，1)．OO(1) 若圆O 1与圆O 2外切，求圆O 2的方程；(2) 若圆O 1与圆O 2订交于A ，B 两点，且|AB |＝22，求圆O 2的方程．解：(1)因为圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4， 所以圆心O 1(0，－1)，半径r 1＝2.设圆O 的半径为r ，由两圆外切知 | O O | ＝r ＋r .221 2 1 21 22＋（ 2＝2 2，又|OO |＝（2－0） 1＋1）所以r2＝|12|－1＝22－2.OOr2(x －2)2＋(y －1) 2＝12－82.所以圆O 的方程为(2)设圆O 2的方程为(x －2) 2＋(y －2 21)＝r 2，又圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，2相减得AB 所在的直线方程为4x ＋4y ＋r 2－8＝0. 设线段AB 的中点为H ，2 －| AH | 2因为r 1＝2，所以|O 1H |＝r 1 ＝2.|4×0＋4×（－1）＋ r 22－8| |r 22－12| ，又|O 1H |＝ 42＋42＝ 4 2|r 22－12| 22所以 4 2 ＝ 2，解得r 2＝4 或r 2＝20.所以圆2的方程为( x －2)2＋( y －1) 2＝4或( x －2) 2＋(y －1)2＝20.O[综合题组练]1．两圆x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0和x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0恰有三条公切线，若a ∈R1 1且ab ≠0，则a 2＋b 2的最小值为()A ．1B ．314 C.9D.9分析：选A.由题意知两圆的标准方程为(x ＋a )2＋y 2＝4和x 2＋(y －2b )2＝1，圆心分别为(－a ，0)和(0，2b )，半径分别为 2和1，因为两圆恰有三条公切线，所以两圆外切，故 有22242111991 1＋4b 2 a 2 1 a ＋4b＝3，即a ＋＝9，所以2＋2＝2＋ 2＝2＋ 2＋4≥×(1＋4＋4)bab9ab 9ab94b 2 a 2＝1. 当且仅当a 2 ＝b 2，即|a |＝ 2|b |时取等号，应选 A.2．在平面直角坐标系 xOy 中，点A (0，3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为 1，圆 心在l 上．若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，则圆心C 的横坐标a 的取值范围是()A. 0， 12B ．[0，1]5C. 1， 12D.1250，5分析：选A.因为圆心在直线 y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为( x － a ) 2＋[ y －2( －2)]2＝1.a设点M (x ，y )，因为MA ＝2MO ，所以x 2＋（y －3）2＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4，所以点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点 M (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则|2－1|≤CD ≤2＋1，即1≤a 2＋（2a －3）2≤3.由a 2＋（2a －3）2≥1得5a 2－12a ＋8≥0，解得a ∈R ；由a 2＋（2a －3）2≤3得5a 2－12a ≤0，解得0≤a ≤125.所以点C 的横坐标a 的取值范围为 12 .应选A.0， 53．(2020·浙江省镇海中学高三模拟)已知点P (a ，b )关于直线l 的对称点为P ′(b ＋1，－1)，则圆 ： x 2 ＋ y 2－6－2y ＝0关于直线 l 对称的圆 ′的方程为______________；aC xC圆C 与圆C ′的公共弦的长度为 ________．分析：由题设将圆 C ：x 2＋y 2－6x －2y ＝0中的x ，y 换为y ＋1，x －1可得圆C ′的方程为( y ＋1)2＋(x －1)2－6( y ＋1)－2(－1)＝0，即x 2＋y 2－4－4 y －2＝0，也即(x －2)2＋(yxx－2) 2＝10；将两圆的方程两边相减可得公共弦的直线方程为x －y －1＝0，圆心C ′(2，2)d ＝ 1，半径r ＝ 10，故弦长L ＝21到该直线的距离 210－2＝38.答案：(x －2)2＋(y －2)2＝10 384．已知抛物线： y 2＝2 x ，过点(2，0)的直线l 交 C 于 ， B 两点，圆 M 是以线段ABCA为直径的圆．(1) 证明：坐标原点O 在圆M 上；(2) 设圆M 过点P (4，－2)，求直线l 与圆M 的方程．解：(1)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，l ：x ＝my ＋2.x ＝my ＋ ， 由y 2＝2x 2 可得y 2－2my －4＝0，则y 1y 2＝－4.2 y 2（y 1y 2y 1 2 2）又x 1＝2，x 2＝2，故x 1x 2＝ 4＝4.所以的斜率与的斜率之积为y 1 y 2－4 ⊥.故坐标原点O 在圆M·＝＝－1，所以OAOBx 1 x 24OAOB上．(2)由(1)可得y1＋ 2＝2， x 1＋ 2＝(1＋ 2)＋4＝22＋4.ymxmyym2故圆心M 的坐标为(m ＋2，m )， 圆的半径r ＝ （ 2＋2）2＋2.Mmm→→因为圆M 过点P (4，－2)，所以AP ·BP ＝0，故(x 1－4)(x 2－4)＋(y 1＋2)(y 2＋2)＝0，即x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋y 1y 2＋2(y 1＋y 2)＋20＝0.由(1) 1 21 2＝4.可得yy ＝－4，xx21所以 2m －m －1＝0，解得m ＝1或m ＝－2.当m ＝1时，直线l 的方程为x －y －2＝0，圆心M 的坐标为(3，1)，圆M 的半径为10，圆M的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝10.当1l 的方程为 2 x ＋－4＝0，圆心的坐标为9 1，圆的半径为＝－时，直线，－m 2 y M 4 2 M85 9212854，圆M的方程为x－4＋y＋2＝16.5．(2020·富阳市场口中学高三质检)已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是正整数，且与直线4x＋3y－29＝0相切．(1)求圆的方程；(2)设直线ax－y＋5＝0(a＞0)与圆订交于A，B两点，务实数a的取值范围；(3)在(2)的条件下，能否存在实数a，使得弦AB的垂直均分线l过点P(－2，4)，若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明原由．解：(1)设圆心为M(m，0)(m∈N*)．因为圆与直线4x＋3y－29＝0相切，且半径为5，所以|4m－29|＝5，5即|4m－29|＝25.因为m为正整数，故m＝1. 故所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝25.(2)把直线ax－y＋5＝0，即y＝ax＋5代入圆的方程，消去y，整理得(a2＋1)x2＋2(5a－1)x＋1＝0，因为直线ax－y＋5＝0交圆于A，B两点，故＝4(5a－1)2－4(a2＋1)＞0，即12a2－5a＞0，因为a＞0，解得a＞5，125所以实数a的取值范围是12，＋∞.(3)设吻合条件的实数a存在，1则直线l的斜率为－a，1l的方程为y＝－a(x＋2)＋4，即x＋ay＋2－4a＝0.因为l垂直均分弦AB，故圆心M(1，0)必在l上，3所以1＋0＋2－4a＝0，解得a＝4.3因为4∈ 512，＋∞，故存在实数3 a＝4，使得过点P(－2，4)的直线l垂直均分弦AB.。

平面解析几何练习题一、直线与圆的相交1. 已知圆的方程为：x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0，求与直线y = 2x + 1相交的点坐标。

解析：首先将直线方程代入圆的方程，得到：x^2 + (2x + 1)^2 - 4x - 6(2x + 1) + 9 = 0。

将方程化简得到二次方程 5x^2 - 22x - 14 = 0。

解此二次方程，得两个不同实根：x1 ≈ 0.953 和x2 ≈ 2.337。

将x的值带入直线方程求得对应的y值，即可得到两个交点的坐标。

2. 已知直线过点A(2, 4)且与圆x^2 + y^2 - 6x + 8y + 9 = 0相切，求此直线的方程。

解析：首先求圆的切线方程，在圆的方程中，将x和y的系数前的项移至另一侧得到新方程 x^2 + y^2 = 6x - 8y - 9。

然后利用点到直线的距离公式，得到圆心O(a, b)到直线的距离公式：d = |a + 2b - 8| / √(1 + 4) = |a + 2b - 8| / 2。

因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径。

将距离公式代入原方程，得到二次方程 (2a + 4b - 16)^2 = 4(a^2 + b^2 - 6a + 8b + 9)。

通过求解此二次方程，得到a和b的值，即可得到直线的方程。

二、圆的切线与切点1. 已知圆C的方程为：(x-2)^2 + (y+1)^2 = 16，求过点P(3,2)的圆C 的切线方程及切点。

解析：首先求得点P到圆心C(2,-1)的距离，即两点之间的线段CP 的长度r = √((3-2)^2 + (2+1)^2) = √(2^2 + 3^2) = √13。

因为点P在圆C 上，所以点P到圆C的距离等于圆C的半径 r = 4。

接下来求得点P到圆C的切线斜率k，即斜率为 -1/k 的直线与圆C的切线。

切线斜率 k = (2 - (-1)) / (3 - 2) = 3。