高考数学复习第八章平面解析几何直线与圆、圆与圆的位置关系课时作业理

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第四节直线与圆、圆与圆的位置关系课时作业A组-—基础对点练1．圆心为（4，0)且与直线错误!x－y＝0相切的圆的方程为( )A．(x－4）2＋y2＝1 B．（x－4）2＋y2＝12C．（x－4)2＋y2＝6 D．(x＋4)2＋y2＝9解析：由题意，知圆的半径为圆心到直线3x－y＝0的距离，即r＝错误!＝2错误!，结合圆心坐标可知，圆的方程为(x－4)2＋y2＝12，故选B.答案：B2．（2018·石家庄质检)若a，b是正数，直线2ax＋by－2＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长为2错误!，则t＝a错误!取得最大值时a的值为( ）A.错误!B．错误!C。

错误!D．错误!解析：因为圆心到直线的距离d＝错误!,则直线被圆截得的弦长L＝2错误!＝2 错误!＝2错误!,所以4a2＋b2＝4.t＝a错误!＝错误!·（2错误!a)错误!≤错误!·错误!·[(2错误!a)2＋（错误!）2]＝错误![8a2＋1＋2（4－4a2）］＝错误!，当且仅当错误!时等号成立,此时a＝错误!,故选D。

答案：D3．(2018·惠州模拟)已知圆O:x2＋y2＝4上到直线l：x＋y＝a的距离等于1的点恰有3个,则实数a的值为( ）A．2 2 B．错误!C．－错误!或错误!D．－2错误!或2错误!解析：因为圆上到直线l的距离等于1的点恰好有3个,所以圆心到直线l的距离d＝1，即d＝错误!＝1，解得a＝±错误!.故选C。

直线与圆、圆与圆的位置关系[考试要求] 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．1．直线与圆的位置关系及常用的两种判断方法(1)三种位置关系：相交、相切、相离．(2)两种判断方法：2．圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0)．位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况外离d>r1＋r2无解外切d＝r1＋r2一组实数解相交|r1－r2|<d<r1＋r2两组不同的实数解内切d＝|r1－r2|(r1≠r2)一组实数解内含0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)无解[常用结论]1．当两圆相交(切)时，两圆方程(x2，y2项的系数相同)相减便可得公共弦(公切线)所在的直线方程．2．直线与圆相交时，弦心距d ，半径r ，弦长的一半12l 满足关系式r 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫12l 2. 3．圆的切线方程常用结论(1)过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.(2)过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.(3)过圆x 2＋y 2＝r 2外一点M (x 0，y 0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切． ( ) (2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，那么两圆相交．( )(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．( )(4)过圆O ：x 2＋y 2＝r 2外一点P (x 0，y 0)作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则O ，P ，A ，B 四点共圆且直线AB 的方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2. ( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ 二、教材习题衍生1．若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－3，－1] B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)C [由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为2， ∴|a －0＋1|12＋(－1)2≤2，即|a ＋1|≤2，解得－3≤a ≤1.]2．圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( ) A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离B [两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d ＝42＋12＝17.∵3－2<d <3＋2， ∴两圆相交．]3．圆Q ：x 2＋y 2－4x ＝0在点P (1，3)处的切线方程为 ．x －3y ＋2＝0 [因为点P (1，3)是圆Q ：x 2＋y 2－4x ＝0上的一点，所以点P 为切点，从而圆心与P 的连线与切线垂直．又圆心(2,0)，所以0－32－1·k ＝－1，解得k ＝33. 故在点P 处的切线方程为x －3y ＋2＝0.]4．直线x ＋2y ＝0被圆C ：x 2＋y 2－6x －2y －15＝0所截得的弦长等于 ． 45 [由题意知圆心C (3,1)，半径r ＝5.又圆心C 到直线l 的距离d ＝|3＋2|5＝5，则弦长为2r 2－d 2＝4 5.]考点一 直线与圆的位置关系判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d 与r 的关系． (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题． [典例1] (1)直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定(2)圆(x －3)2＋(y －3)2＝9上到直线3x ＋4y －11＝0的距离等于1的点的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4(1)A (2)C [(1)法一：(代数法)由⎩⎪⎨⎪⎧mx －y ＋1－m ＝0，x 2＋(y －1)2＝5，消去y ，整理得(1＋m 2)x 2－2m 2x ＋m 2－5＝0， 因为Δ＝16m 2＋20>0，所以直线l 与圆相交． 法二：(几何法)∵圆心(0,1)到直线l 的距离d ＝|m |m 2＋1<1< 5.故直线l 与圆相交．法三：(点与圆的位置关系法)直线l ：mx －y ＋1－m ＝0过定点(1,1)，∵点(1,1)在圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的内部，∴直线l 与圆C 相交．(2)如图所示，因为圆心到直线的距离为|9＋12－11|5＝2，又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，故圆上到直线的距离为1的点有3个．]点评：(1)已知直线与圆的位置关系求参数值或取值范围，就是利用d ＝r ，d >r 或d <r 建立关于参数的等式或不等式求解；(2)圆上的点到直线距离为定值的动点个数问题多借助图形，转化为点到直线的距离求解．如图①，若圆上恰有一点到直线的距离为t ，则需满足d ＝r ＋t . 如图②，若圆上恰有三点到直线的距离为t ，则需满足d ＝r －t .图① 图②由图①②可知，若圆上恰有两个点到直线的距离为t ，则需满足r －t ＜d ＜r ＋t . 若圆上恰有四点到直线的距离为t ，则需满足d ＜r －t . [跟进训练]1．已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( ) A ．相切 B ．相交 C ．相离 D ．不确定B [因为M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，所以a 2＋b 2＞1，而圆心O 到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝1a 2＋b 2＜1，所以直线与圆相交．]2．若直线l ：x ＋y ＝m 与曲线C ：y ＝1－x 2有且只有两个公共点，则m 的取值范围是 ．[1，2) [画出图象如图，当直线l 经过点A ，B 时，m ＝1，此时直线l 与曲线y ＝1－x 2有两个公共点；当直线l 与曲线相切时，m ＝2，因此当1≤m <2时，直线l ：x ＋y ＝m 与曲线y ＝1－x 2有且只有两个公共点．]考点二 圆与圆的位置关系几何法判断圆与圆的位置的步骤(1)确定两圆的圆心坐标和半径长．(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d 和r 1＋r 2，|r 1－r 2|的值． (3)比较d ，r 1＋r 2，|r 1－r 2|的大小，写出结论．[典例2] 已知两圆x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0.求 (1)m 取何值时两圆外切？(2)m 取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么？(3)求m ＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长． [解] 两圆的标准方程分别为(x －1)2＋(y －3)2＝11， (x －5)2＋(y －6)2＝61－m ， 圆心分别为M (1,3)，N (5,6)， 半径分别为11和61－m .(1)当两圆外切时， (5－1)2＋(6－3)2＝11＋61－m .解得m ＝25＋1011.(2)法一：(作差法)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x －6y －1＝0，x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0，两式相减得8x ＋6y －1－m ＝0. 又两圆相内切， ∴61－m －11＝5，∴m ＝25－1011.∴所求公切线方程为4x ＋3y ＋511－13＝0.法二：(直接法)当两圆内切时，两圆圆心间距离等于两圆半径之差的绝对值． 故有61－m －11＝5，解得m ＝25－1011. 因为k MN ＝6－35－1＝34，所以两圆公切线的斜率是－43.设切线方程为y ＝－43x ＋b ，则有⎪⎪⎪⎪43×1＋3－b ⎝⎛⎭⎫432＋1＝11.解得b ＝133±5311.容易验证，当b ＝133＋5311时，直线与圆x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0相交，舍去．故所求公切线方程为y ＝－43x ＋133－5311，即4x ＋3y ＋511－13＝0.(3)两圆的公共弦所在直线的方程为(x 2＋y 2－2x －6y －1)－(x 2＋y 2－10x －12y ＋45)＝0，即4x ＋3y －23＝0.由圆的半径、弦长、弦心距间的关系，不难求得公共弦的长为2×(11)2－⎝⎛⎭⎪⎪⎫|4＋3×3－23|42＋322＝27. 点评：求两圆的公共弦长，常选其中一圆，由弦心距d ，半径长l2，半径r 构成直角三角形，利用勾股定理求解．[跟进训练]1．已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离B [由题意得圆M 的标准方程为x 2＋(y －a )2＝a 2，圆心(0，a )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a2，所以2a 2－a 22＝22，解得a ＝2，圆M ，圆N 的圆心距|MN |＝2小于两圆半径之和3，大于两圆半径之差1，故两圆相交．]2．(2020·南通模拟)已知点A (0,2)，O (0,0)，若圆C ：(x －a )2＋(y －a ＋2)2＝1上存在点M ，使MA →·MO →＝3，则圆心C 的横坐标a 的取值范围为 ．[0,3] [设M (x ，y )，因为A (0,2)，O (0,0)， 所以MA →＝(－x,2－y )，MO →＝(－x ，－y )． 因为MA →·MO →＝3，所以(－x )(－x )＋(2－y )(－y )＝3， 化简得：x 2＋(y －1)2＝4，所以M 点的轨迹是以(0,1)为圆心，2为半径的圆． 因为M 在C ：(x －a )2＋(y －a ＋2)2＝1上， 所以两圆必须相交或相切． 所以1≤(a －0)2＋[(a －2)－1]2≤3，解得0≤a ≤3.所以圆心C 的横坐标a 的取值范围为[0,3]．] 考点三 直线、圆的综合问题几何法解决直线与圆的综合问题(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．(2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．[典例3－1] 已知点P (2＋1,2－2)，点M (3,1)，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4. (1)求过点P 的圆C 的切线方程；(2)求过点M 的圆C 的切线方程，并求出切线长． [解] 由题意得圆心C (1,2)，半径r ＝2. (1)∵(2＋1－1)2＋(2－2－2)2＝4， ∴点P 在圆C 上．又k PC ＝2－2－22＋1－1＝－1，∴切线的斜率k ＝－1k PC＝1. ∴过点P 的圆C 的切线方程是 y －(2－2)＝x －(2＋1)， 即x －y ＋1－22＝0.(2)∵(3－1)2＋(1－2)2＝5＞4， ∴点M 在圆C 外部．当过点M 的直线斜率不存在时，直线方程为x ＝3， 即x －3＝0.又点C (1,2)到直线x －3＝0的距离d ＝3－1＝2＝r ， 即此时满足题意，所以直线x ＝3是圆的切线． 当切线的斜率存在时，设切线方程为y －1＝k (x －3)， 即kx －y ＋1－3k ＝0，则圆心C 到切线的距离d ＝|k －2＋1－3k |k 2＋1＝r ＝2，解得k ＝34.∴切线方程为y －1＝34(x －3)，即3x －4y －5＝0.综上可得，过点M 的圆C 的切线方程为x －3＝0或3x －4y －5＝0. ∵|MC |＝(3－1)2＋(1－2)2＝5，∴过点M 的圆C 的切线长为|MC |2－r 2＝5－4＝1.点评：(1)已知切点常用“圆心与切点的连线垂直于切线”这个条件求解，也可利用向量法求解：如图O 是圆心，A 是切点，P 是切线l 上任意一点，则OA →·AP →＝0.(2)过圆外一点(x 0，y 0)的圆的切线方程的求法：当斜率存在时，设为k ，则切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，即kx －y ＋y 0－kx 0＝0，由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程．提醒：过圆上一点有且只有一条切线，过圆外一点，一定有两条切线．弦长问题[典例3－2] (1)设圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0的圆心为C ，直线l 过(0,3)，且与圆C 交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则直线l 的方程为( )A ．3x ＋4y －12＝0或4x －3y ＋9＝0B ．3x ＋4y －12＝0或x ＝0C ．4x －3y ＋9＝0或x ＝0D ．3x －4y ＋12＝0或4x ＋3y ＋9＝0(2)(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点．若|AB |＝23，则|CD |＝ .(1)B (2)4 [(1)当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，x 2＋y 2－2x －2y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝1－3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1＋3，∴|AB |＝23，符合题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋3，∵圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0，即(x －1)2＋(y －1)2＝4，其圆心为C (1,1)，圆的半径r ＝2，圆心C (1,1)到直线y ＝kx ＋3的距离d ＝|k －1＋3|k 2＋1＝|k ＋2|k 2＋1，∵d 2＋⎝⎛⎭⎫|AB |22＝r 2，∴(k ＋2)2k 2＋1＋3＝4，解得k ＝－34，∴直线l 的方程为y ＝－34x ＋3，即3x ＋4y －12＝0.综上，直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0或x ＝0.故选B ．(2)由直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0知其过定点(－3，3)，圆心O 到直线l 的距离为d ＝|3m －3|m 2＋1.由|AB |＝23得⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3m －3m 2＋12＋(3)2＝12，解得m ＝－33.又直线l 的斜率为－m ＝33，所以直线l 的倾斜角α＝π6.画出符合题意的图形如图所示，过点C 作CE ⊥BD ，则∠DCE ＝π6.在Rt △CDE 中，可得|CD |＝|AB |cos α＝23×23＝4.] 点评：求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可以用勾股定理或斜率之积为－1列方程来简化运算．提醒：对于已知弦长求直线方程的问题，若弦是直径有且只有一条，否则一定有两条．常因漏掉直线斜率不存在的情形致误，如本例(1)．探索性问题[典例3－3] 已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方．(1)求圆C 的方程；(2)过点M (1,0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．[解] (1)设圆心C (a,0)⎝⎛⎭⎫a >－52，则|4a ＋10|5＝2⇒a ＝0或a ＝－5(舍)．所以圆C ：x 2＋y 2＝4.(2)当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB ．当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，N (t,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4y ＝k (x －1) 得，(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0， 所以x 1＋x 2＝2k 2k 2＋1，x 1x 2＝k 2－4k 2＋1.若x 轴平分∠ANB ，则k AN ＝－k BN ⇒y 1x 1－t ＋y 2x 2－t ＝0⇒k (x 1－1)x 1－t ＋k (x 2－1)x 2－t＝0⇒2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0⇒2(k 2－4)k 2＋1－2k 2(t ＋1)k 2＋1＋2t ＝0⇒t ＝4，所以当点N 为(4,0)时，能使得∠ANM ＝∠BNM 总成立．点评：本例是探索性问题，求解的关键是把几何问题代数化，即先把条件“x 轴平分∠ANB ”等价转化为“直线斜率的关系：k AN ＝－k BN ”，然后借助方程思想求解． [跟进训练] 1．由直线y ＝x ＋1上的动点P 向圆C ：(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为( )A ．1B ．2 2C ．7D ．3C [如图，切线长|PM |＝|PC |2－1，显然当|PC |为C 到直线y ＝x ＋1的距离，即3＋12＝22时，|PM |最小为7，故选C ．]2．(2020·长春模拟)已知在圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0内，过点E (1,0)的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．3 5B ．6 5C ．415D ．215D [将圆的方程化为标准方程得(x －2)2＋(y ＋1)2＝5，圆心坐标为F (2，－1)，半径r ＝5，如图，显然过点E 的最长弦为过点E 的直径，即|AC |＝25，而过点E 的最短弦为垂直于EF 的弦，|EF |＝(2－1)2＋(－1－0)2＝2， |BD |＝2r 2－|EF |2＝23，∴S 四边形ABCD ＝12|AC |×|BD |＝215.] 3．已知圆O ：x 2＋y 2＝2，直线l ：y ＝kx －2.(1)若直线l 与圆O 相切，求k 的值；(2)若直线l 与圆O 交于不同的两点A ，B ，当∠AOB 为锐角时，求k 的取值范围；(3)若k ＝12，P 是直线l 上的动点，过P 作圆O 的两条切线PC ，PD ，切点为C ，D ，探究：直线CD 是否过定点．[解] (1)∵圆O ：x 2＋y 2＝2，直线l ：y ＝kx －2，直线l 与圆O 相切，∴圆心O (0,0)到直线l 的距离等于半径r ＝2，即d ＝|－2|k 2＋1＝2，解得k ＝±1.(2)设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，将直线l ：y ＝kx －2代入x 2＋y 2＝2，整理得(1＋k 2)x 2－4kx ＋2＝0，∴x 1＋x 2＝4k 1＋k 2，x 1x 2＝21＋k 2， Δ＝(－4k )2－8(1＋k 2)＞0，即k 2＞1，当∠AOB 为锐角时，OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1－2)(kx 2－2)＝(1＋k 2)x 1x 2－2k (x 1＋x 2)＋4＝6－2k 21＋k 2＞0， 解得k 2＜3，又k 2＞1，∴－3＜k ＜－1或1＜k ＜ 3.故k 的取值范围为(－3，－1)∪(1， 3 )．(3)由题意知O ，P ，C ，D 四点共圆且在以OP 为直径的圆上． 设P ⎝⎛⎭⎫t ，12t －2，以OP 为直径的圆的方程为x (x －t )＋y ⎝⎛⎭⎫y －12t ＋2＝0， ∴x 2－tx ＋y 2－⎝⎛⎭⎫12t －2y ＝0，又C ，D 在圆O ：x 2＋y 2＝2上，两圆作差得l CD ：tx ＋⎝⎛⎭⎫12t －2y －2＝0，即⎝⎛⎭⎫x ＋y 2t －2y －2＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y 2＝0，2y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12，y ＝－1，∴直线CD 过定点⎝⎛⎭⎫12，－1.。

第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系[考纲传真] 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．(对应学生用书第116页)[基础知识填充]1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系：d <r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d >r ⇔相离．(2)代数法：联立直线l 与圆C 的方程，消去y (或x )，得一元二次方程，计算判别式Δ＝b 2－4ac ，Δ>0⇔相交，Δ＝0⇔相切，Δ<0⇔相离． 2．圆与圆的位置关系设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1>0)， 圆O 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2>0)．方法 位置关系几何法：圆心距d 与r 1，r 2的关系代数法：联立两个圆的方程组成方程组的解的情况相离 d >r 1＋r 2 无解 外切 d ＝r 1＋r 2一组实数解 相交 |r 2－r 1|<d <r 1＋r 2两组不同的实数解 内切 d ＝|r 1－r 2|(r 1≠r 2)一组实数解 内含0≤d <|r 1－r 2|(r 1≠r 2)无解[1．圆的切线(1)过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程是xx 0＋yy 0＝r 2；(2)过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程是(x －a )(x 0－a )＋(y －b )(y 0－b )＝r 2.(3)过圆x 2＋y 2＝r 2外一点M (x 0，y 0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.2．直线被圆截得的弦长弦心距d 、弦长a 的一半12a 及圆的半径r 构成一直角三角形，且有r 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2.3．圆与圆的位置关系的常用结论(1)两圆的位置关系与公切线的条数：①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤相离：4条．(2)当两圆相交时，两圆方程(x 2，y 2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“k ＝1”是“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”的必要不充分条件．( ) (2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．( ) (3)如果两圆的圆心距小于两半径之和，则两圆相交．( )(4)若两圆相交，则两圆方程相减消去二次项后得到的二元一次方程是公共弦所在直线的方程．( )[解析] 依据直线与圆、圆与圆的位置关系，只有(4)正确． [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．(教材改编)圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( ) A ．内切 B ．相交 C ．外切D ．相离B [两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d ＝42＋1＝17.∵3－2<d <3＋2，∴两圆相交．]3．(2017·合肥调研)直线3x ＋4y ＝b 与圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相切，则b 的值是( )A ．－2或12B ．2或－12C ．－2或－12D ．2或12D [由圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0，知圆心(1,1)，半径为1，所以|3×1＋4×1－b |32＋42＝1，解得b ＝2或12.]4．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为__________．2555[圆心为(2，－1)，半径r ＝2. 圆心到直线的距离d ＝|2＋2×－1－3|1＋4＝355，所以弦长为2r 2－d 2＝222－⎝⎛⎭⎪⎫3552＝2555.] 5．(2018·张家口模拟)已知直线12x －5y ＝3与圆x 2＋y 2－6x －8y ＋16＝0相交于A ，B 两点，则|AB |＝________. 【导学号：00090279】42 [把圆的方程化成标准方程为(x －3)2＋(y －4)2＝9，所以圆心坐标为(3,4)，半径r ＝3，所以圆心到直线12x －5y ＝3的距离d ＝|12×3－5×4－3|122＋－52＝1，则|AB |＝2r 2－d 2＝4 2.](对应学生用书第117页)直线与圆的位置关系2＝5的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离D ．不确定(2)若点P (1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为__________． (3)(2016·全国卷Ⅰ)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________．(1)A (2)x ＋2y －5＝0 (3)4π [(1)法一：∵圆心(0,1)到直线l 的距离d ＝|m |m 2＋1<1< 5.故直线l 与圆相交．法二：直线l ：mx －y ＋1－m ＝0过定点(1,1)，∵点(1,1)在圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的内部，∴直线l 与圆C 相交．(2)∵以原点O 为圆心的圆过点P (1,2)， ∴圆的方程为x 2＋y 2＝5. ∵k OP ＝2，∴切线的斜率k ＝－12.由点斜式可得切线方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.(3)圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0化为标准方程是C ：x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，所以圆心C (0，a )，半径r ＝a 2＋2.|AB |＝23，点C 到直线y ＝x ＋2a 即x －y ＋2a ＝0的距离d ＝|0－a ＋2a |2，由勾股定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|0－a ＋2a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2，所以r ＝2，所以圆C 的面积为π×22＝4π.][规律方法] 1.(1)利用圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系，也可利用直线的方程与圆的方程联立后得到的一元二次方程的判别式来判断；(2)注意灵活运用圆的几何性质，联系圆的几何特征，数形结合，简化运算．如“切线与过切点的半径垂直”等．2．与弦长有关的问题常用几何法，即利用弦心距、半径和弦长的一半构成直角三角形进行求解．[变式训练1] (1)(2018·兰州模拟)过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( ) A ．2x ＋y －5＝0 B ．2x ＋y －7＝0 C ．x －2y －5＝0D ．x －2y －7＝0(2)(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l ：x－3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD |＝__________.【导学号：00090280】(1)B (2)4 [(1)依题意知，点(3,1)在圆(x －1)2＋y 2＝r 2上，且为切点．∵圆心(1,0)与切点(3,1)连线的斜率为12，所以切线的斜率k ＝－2.故圆的切线方程为y －1＝－2(x－3)，即2x ＋y －7＝0.(2)由圆x 2＋y 2＝12知圆心O (0,0)，半径r ＝2 3.∴圆心(0,0)到直线x －3y ＋6＝0的 距离d ＝61＋3＝3，|AB |＝212－32＝2 3.过C 作CE ⊥BD 于E .如图所示，则|CE |＝|AB |＝2 3.∵直线l 的方程为x －3y ＋6＝0， ∴k AB ＝33，则∠BPD ＝30°，从而∠BDP ＝60°. ∴|CD |＝|CE |sin 60°＝|AB |sin 60°＝2332＝4.]圆与圆的位置关系(1)(2016·山东高考)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( ) A ．内切 B ．相交 C ．外切D ．相离(2)(2018·汉中模拟)若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a ＞0)的公共弦长为23，则a ＝________.(1)B (2)1 [(1)法一：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2ay ＝0，x ＋y ＝0得两交点为(0,0)，(－a ，a )．∵圆M截直线所得线段长度为22，∴a 2＋－a2＝2 2.又a >0，∴a ＝2.∴圆M 的方程为x 2＋y 2－4y ＝0，即x 2＋(y －2)2＝4，圆心M (0,2)，半径r 1＝2. 又圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心N (1,1)，半径r 2＝1， ∴|MN |＝0－12＋2－12＝ 2.∵r 1－r 2＝1，r 1＋r 2＝3,1<|MN |<3，∴两圆相交． 法二：∵x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)⇔x 2＋(y －a )2＝a 2(a >0)， ∴M (0，a )，r 1＝A ．∵圆M 截直线x ＋y ＝0所得线段的长度为22，∴圆心M 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a2＝a 2－2，解得a ＝2. 以下同法一．(2)方程x 2＋y 2＋2ay －6＝0与x 2＋y 2＝4. 两式相减得：2ay ＝2，则y ＝1a.由已知条件22－32＝1a，即a ＝1.][规律方法] 1.圆与圆的位置关系取决于圆心距与两个半径的和与差的大小关系． 2．若两圆相交，则两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x 2，y 2项得到． 3．若两圆相交，则两圆的连心线垂直平分公共弦．[变式训练2] (1)圆x 2＋y 2－6x ＋16y －48＝0与圆x 2＋y 2＋4x －8y －44＝0的公切线条数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4(2)(2017·山西太原模拟)若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( ) A ．21 B ．19 C ．9D ．－11(1)B (2)C [(1)将两圆x 2＋y 2－6x ＋16y －48＝0与x 2＋y 2＋4x －8y －44＝0化为标准形式分别为(x －3)2＋(y ＋8)2＝112，(x ＋2)2＋(y －4)2＝82.因此两圆的圆心和半径分别为O 1(3，－8)，r 1＝11；Q 2(－2,4)，r 2＝8.故圆心距|O 1O 2|＝3＋22＋－8－42＝13.又|r 1＋r 2|＞|O 1O 2|＞|r 1－r 2|，因此两圆相交，公切线只有2条．(2)圆C 1的圆心为C 1(0,0)，半径r 1＝1，圆C 2的方程可化为(x －3)2＋(y －4)2＝25－m ，所以圆C 2的圆心为C 2(3,4)，半径r 2＝25－m (m ＜25)．从而|C 1C 2|＝32＋42＝5.由两圆外切得|C 1C 2|＝r 1＋r 2，即1＋25－m ＝5，解得m ＝9，故选C ．]直线与圆的综合问题(2016·江苏高考改编)如图8­4­1，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2,4)．(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程； (2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC ＝OA ，求直线l 的方程．【导学号：00090图8­4­1[解] 圆M 的标准方程为(x －6)2＋(y －7)2＝25， 所以圆心M (6,7)，半径为5.1分(1)由圆心N 在直线x ＝6上，可设N (6，y 0)． 因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以0<y 0<7，圆N 的半径为y 0，从而7－y 0＝5＋y 0，解得y 0＝1. 4分 因此，圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1.5分(2)因为直线l ∥OA ， 所以直线l 的斜率为4－02－0＝2.设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ， 即2x －y ＋m ＝0， 则圆心M 到直线l 的距离d ＝|2×6－7＋m |5＝|m ＋5|5. 8分因为BC ＝OA ＝22＋42＝25， 而MC 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫BC 22， 所以25＝m ＋525＋5，解得m ＝5或m ＝－15.故直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0.12分[规律方法] 1.(1)设出圆N 的圆心N (6，y 0)，由条件圆M 与圆N 外切，求得圆心与半径，从而确定圆的标准方程．(2)依据平行直线，设出直线l 的方程，根据点到直线的距离公式及勾股定理求解．2．求弦长常用的方法：①弦长公式；②半弦长、半径、弦心距构成直角三角形，利用勾股定理求解(几何法)．[变式训练3] 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为圆心的圆与直线：x －3y ＝4相切． (1)求圆O 的方程；(2)若圆O 上有两点M ，N 关于直线x ＋2y ＝0对称，且|MN |＝23，求直线MN 的方程． [解] (1)依题意，圆O 的半径r 等于原点O 到直线x －3y ＝4的距离， 则r ＝41＋3＝2.所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝4. 5分(2)由题意，可设直线MN 的方程为2x －y ＋m ＝0. 则圆心O 到直线MN 的距离d ＝|m |5.7分由垂径分弦定理，得m 25＋(3)2＝22，即m ＝± 5.10分 所以直线MN 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0.12分。