2019届高考数学一轮复习第八章平面解析几何第四节直线与圆圆与圆的位置关系课时作业

2019届高三第一轮复习《原创与经典》（苏教版）（理科）第一章集合常用逻辑用语推理与证明第1课时集合的概念、集合间的基本关系第2课时集合的基本运算第3课时命题及其关系、充分条件与必要条件第4课时简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词第5课时合情推理与演泽推理第6课时直接证明与间接证明第7课时数学归纳法第二章不等式第8课时不等关系与不等式第9课时一元二次不等式及其解法第10课时二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题第11课时基本不等式及其应用第12课时不等式的综合应用第三章函数的概念与基本初等函数第13课时函数的概念及其表示第14课时函数的定义域与值域第15课时函数的单调性与最值第16课时函数的奇偶性与周期性9第17课时二次函数与幂函数第18课时指数与指数函数第19课时对数与对数函数第20课时函数的图象第21课时函数与方程第22课时函数模型及其应用第四章 导数第23课时 导数的概念及其运算（含复合函数的导数）第24课时 利用导数研究函数的单调性与极值第25课时 函数的最值、导数在实际问题中的应用第五章 三角函数 第26课时任意角、弧度制及任意角的三角函数 第27课时同角三角函数的基本关系式与诱导公式 第28课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式 第29课时二倍角的三角函数 第30课时三角函数的图象和性质 第31课时函数sin()y A x ωϕ=+的图象及其应用 第32课时正弦定理、余弦定理 第33课时解三角形的综合应用第六章 平面向量 第34课时平面向量的概念及其线性运算 第35课时平面向量的基本定理及坐标表示 第36课时平面向量的数量积 第37课时平面向量的综合应用第七章 数 列 第38课时数列的概念及其简单表示法 第39课时等差数列 第40课时等比数列 第41课时数列的求和 第42课时等差数列与等比数列的综合应用 第八章 立体几何初步 第43课时平面的基本性质及空间两条直线的位置关系第44课时直线、平面平行的判定与性质第45课时直线、平面垂直的判定与性质第46课时空间几何体的表面积与体积第47课时空间向量的应用——空间线面关系的判定第48课时空间向量的应用——空间的角的计算第九章平面解析几何第49课时直线的方程第50课时两直线的位置关系与点到直线的距离第51课时圆的方程第52课时直线与圆、圆与圆的位置关系第53课时椭圆第54课时双曲线、抛物线第55课时曲线与方程第56课时直线与圆锥曲线的位置关系第57课时圆锥曲线的综合应用第十章复数、算法、统计与概率第58课时抽样方法、用样本估计总体第59课时随机事件及其概率第60课时古典概型第61课时几何概型互斥事件第62课时算法的含义及流程图第63课时复数第十一章计数原理、随机变量及其分布第64课时分类计数原理与分步计数原理第65课时排列与组合第66课时二项式定理第67课时离散型随机变量及其概率分布第68课时事件的独立性及二项分布第69课时离散型随机变量的均值与方差第十二章选修4系列第70课时选修4－1 《几何证明选讲》相似三角形的进一步认识第71课时选修4－1 《几何证明选讲》圆的进一步认识第72课时选修4－2 《矩阵与变换》平面变换、变换的复合与矩阵的乘法第73课时选修4－2 《矩阵与变换》逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量第74课时选修4－4《参数方程与极坐标》极坐标系第75课时选修4－4《参数方程与极坐标》参数方程第76课时选修4－5《不等式选讲》绝对值的不等式第77课时选修4－5《不等式选讲》不等式的证明。

第四节直线与圆、圆与圆的位置关系1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：d<r⇔相交；d＝r⇔相切；d>r⇔相离．(2)代数法：联立直线l与圆C的方程，消去y(或x)，得一元二次方程，计算判别式Δ＝b2－4ac，Δ>0⇔相交，Δ＝0⇔相切，Δ<0⇔相离．2．圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0).1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．( )(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．( )(3)如果两圆的圆心距小于两半径之和，则两圆相交．( )(4)若两圆相交，则两圆方程相减消去二次项后得到的二元一次方程是公共弦所在直线的方程．( )[解析]依据直线与圆、圆与圆的位置关系，只有(4)正确．[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．(教材改编)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( )A．内切B．相交C．外切D．相离B[两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d＝42＋1＝17.∵3－2<d <3＋2，∴两圆相交．]3．(2017·嘉兴调研)直线3x ＋4y ＝b 与圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相切，则b 的值是( )A ．－2或12B ．2或－12C ．－2或－12D ．2或12D [由圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0，知圆心(1,1)，半径为1，所以|3×1＋4×1－b |32＋42＝1，解得b ＝2或12.]4．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为__________．2555[圆心为(2，－1)，半径r ＝2. 圆心到直线的距离d ＝|2＋－－3|1＋4＝355，所以弦长为2r 2－d 2＝222－⎝⎛⎭⎪⎫3552＝2555.] 5．设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________. 【导学号：51062274】4π [圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0化为标准方程是C ：x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，所以圆心C (0，a )，半径r ＝a 2＋2.|AB |＝23，点C 到直线y ＝x ＋2a 即x －y ＋2a ＝0的距离d ＝|0－a ＋2a |2，由勾股定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|0－a ＋2a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2，所以r ＝2，所以圆C 的面积为π×22＝4π.]＋(y －1)2＝5的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定(2)若点P (1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为__________． (1)A (2)x ＋2y －5＝0 [(1)法一：∵圆心(0,1)到直线l 的距离d ＝|m |m 2＋1<1< 5.故直线l 与圆相交．法二：直线l ：mx －y ＋1－m ＝0过定点(1,1)，∵点(1,1)在圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的内部，∴直线l 与圆C 相交．(2)∵以原点O 为圆心的圆过点P (1,2)， ∴圆的方程为x 2＋y 2＝5. ∵k OP ＝2，∴切线的斜率k ＝－12.由点斜式可得切线方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.][规律方法] 1.(1)利用圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系，也可利用直线的方程与圆的方程联立后得到的一元二次方程的判别式来判断直线与圆的位置关系；(2)注意灵活运用圆的几何性质，联系圆的几何特征，数形结合，简化运算．如“切线与过切点的半径垂直”等．2．与弦长有关的问题常用几何法，即利用弦心距、半径和弦长的一半构成直角三角形进行求解．[变式训练1] (1)(2017·宁波中学模拟)过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( )A ．2x ＋y －5＝0B ．2x ＋y －7＝0C ．x －2y －5＝0D ．x －2y －7＝0(2)已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD |＝__________.(1)B (2)4 [(1)依题意知，点(3,1)在圆(x －1)2＋y 2＝r 2上，且为切点． ∴圆心(1,0)与切点(3,1)连线的斜率为12.因此切线的斜率k ＝－2.故圆的切线方程为y －1＝－2(x －3)，即2x ＋y －7＝0. (2)由圆x 2＋y 2＝12知圆心O (0,0)，半径r ＝2 3. ∴圆心(0,0)到直线x －3y ＋6＝0的 距离d ＝61＋3＝3，|AB |＝212－32＝2 3.过C 作CE ⊥BD 于E .如图所示，则|CE |＝|AB |＝2 3.∵直线l 的方程为x －3y ＋6＝0， ∴k AB ＝33，则∠BPD ＝30°，从而∠BDP ＝60°. ∴|CD |＝|CE |sin 60°＝|AB |sin 60°＝2332＝4.]已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离B [法一：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2ay ＝0，x ＋y ＝0得两交点为(0,0)，(－a ，a )．∵圆M 截直线所得线段长度为22， ∴a 2＋－a2＝2 2.又a >0，∴a ＝2.∴圆M 的方程为x 2＋y 2－4y ＝0，即x 2＋(y －2)2＝4，圆心M (0,2)，半径r 1＝2. 又圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心N (1,1)，半径r 2＝1， ∴|MN |＝－2＋－2＝ 2.∵r 1－r 2＝1，r 1＋r 2＝3,1<|MN |<3，∴两圆相交． 法二：∵x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)⇔x 2＋(y －a )2＝a 2(a >0)， ∴M (0，a )，r 1＝a .∵圆M 截直线x ＋y ＝0所得线段的长度为22，∴圆心M 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a2＝a 2－2，解得a ＝2.以下同法一．][规律方法] 1.圆与圆的位置关系取决于圆心距与两个半径的和与差的大小关系． 2．若两圆相交，则两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x 2，y 2项得到．3．若两圆相交，则两圆的连心线垂直平分公共弦．[变式训练2] 若⊙O ：x 2＋y 2＝5与⊙O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是__________．4 [由题意⊙O 1与⊙O 在A 处的切线互相垂直，则两切线分别过另一圆的圆心，∴O 1A ⊥OA .又∵|OA |＝5，|O 1A |＝25， ∴|OO 1|＝5.又A ，B 关于OO 1对称，∴AB 为Rt △OAO 1斜边上高的2倍． 又∵12·OA ·O 1A ＝12OO 1·AC ，得AC ＝2.∴AB ＝4.]M ：x 2＋y 2－12x－14y ＋60＝0及其上一点A (2,4)．图8­4­1(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程； (2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC ＝OA ，求直线l 的方程． [解] 圆M 的标准方程为(x －6)2＋(y －7)2＝25， 所以圆心M (6,7)，半径为5.2分(1)由圆心N 在直线x ＝6上，可设N (6，y 0)． 因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以0<y 0<7，圆N 的半径为y 0，从而7－y 0＝5＋y 0，解得y 0＝1.4分 因此，圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1.6分 (2)因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为4－02－0＝2.设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ， 即2x －y ＋m ＝0， 则圆心M 到直线l 的距离d ＝|2×6－7＋m |5＝|m ＋5|5.10分 因为BC ＝OA ＝22＋42＝25， 而MC 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫BC 22， 所以25＝m ＋25＋5，解得m ＝5或m ＝－15.故直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0.15分[规律方法] 1.(1)设出圆N 的圆心N (6，y 0)，由条件圆M 与圆N 外切，求得圆心与半径，从而确定圆的标准方程．(2)依据平行直线，设出直线l 的方程，根据点到直线的距离公式及勾股定理求解．2．求弦长常用的方法：①弦长公式；②半弦长、半径、弦心距构成直角三角形，利用勾股定理求解(几何法)．[变式训练3] 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为圆心的圆与直线：x －3y ＝4相切．(1)求圆O 的方程；(2)若圆O 上有两点M ，N 关于直线x ＋2y ＝0对称，且|MN |＝23，求直线MN 的方程. 【导学号：51062275】[解] (1)依题意，圆O 的半径r 等于原点O 到直线x －3y ＝4的距离， 则r ＝41＋3＝2.4分所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.6分(2)由题意，可设直线MN 的方程为2x －y ＋m ＝0. 则圆心O 到直线MN 的距离d ＝|m |5.10分由垂径分弦定理，得m 25＋(3)2＝22，即m ＝± 5.12分所以直线MN 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0.15分[思想与方法]1．直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方程的结合，解题时要抓住圆的几何性质，重视数形结合思想方法的应用．2．计算直线被圆截得的弦长的常用方法：(1)几何方法：运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算．(2)代数方法：弦长公式|AB|＝1＋k2|x A－x B|＝＋k2x A＋x B2－4x A x B].[易错与防范]1．求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可以用勾股定理或斜率之积为“－1”列方程来简化运算．2．过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解．课时分层训练(四十六)直线与圆、圆与圆的位置关系A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是( ) A．相切B．相交C．相离D．不确定B [由题意知点在圆外，则a 2＋b 2>1，圆心到直线的距离d ＝1a 2＋b 2<1，故直线与圆相交．]2．若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( ) A ．21 B ．19 C ．9D ．－11C [圆C 1的圆心为C 1(0,0)，半径r 1＝1，因为圆C 2的方程可化为(x －3)2＋(y －4)2＝25－m ，所以圆C 2的圆心为C 2(3,4)，半径r 2＝25－m (m <25)．从而|C 1C 2|＝32＋42＝5.两圆外切得|C 1C 2|＝r 1＋r 2，即1＋25－m ＝5，解得m ＝9.]3．已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是( )A ．－2B ．－4C ．－6D ．－8B [由x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0， 得(x ＋1)2＋(y －1)2＝2－a ，所以圆心坐标为(－1,1)，半径r ＝2－a ，圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离为|－1＋1＋2|2＝2，所以22＋(2)2＝2－a ，解得a ＝－4.]4．(2017·浙江金丽衢十二校模拟)过点P (4,2)作圆x 2＋y 2＝4的两条切线，切点分别为A ，B ，O 为坐标原点，则△OAB 外接圆的方程是( )【导学号：51062276】A ．(x －2)2＋(y －1)2＝5 B ．(x －4)2＋(y －2)2＝20 C ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5 D ．(x ＋4)2＋(y ＋2)2＝20A [由题意知，O ，A ，B ，P 四点共圆，所以所求圆的圆心为线段OP 的中点(2,1)． 又圆的半径r ＝12|OP |＝5，所以所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.]5．(2017·杭州二中三模)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝25，则过点P (2，－1)的圆C 的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是( )A ．1013B ．921C ．1023D ．911C [易知最长弦为圆的直径10.又最短弦所在直线与最长弦垂直，且|PC |＝2，∴最短弦的长为2r 2－|PC |2＝225－2＝223.故所求四边形的面积S ＝12×10×223＝1023]．二、填空题6．已知圆C 1：x 2＋y 2－6x －7＝0与圆C 2：x 2＋y 2－6y －27＝0相交于A ，B 两点，则线段AB 的中垂线方程为________________．x ＋y －3＝0 [∵圆C 1的圆心C 1(3,0)，圆C 2的圆心C 2(0,3)，∴直线C 1C 2的方程为x ＋y－3＝0，AB 的中垂线即直线C 1C 2，故其方程为x ＋y －3＝0.]7．若直线3x －4y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B 两点，且∠AOB ＝120°(O 为坐标原点)，则r ＝__________.2 [如图，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，则|OD |＝532＋－2＝1.∵∠AOB ＝120°，OA ＝OB ， ∴∠OBD ＝30°，∴|OB |＝2|OD |＝2，即r ＝2.]8．(2017·浙江金华十校联考)已知圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝4，直线l ：kx －y －2k ＝0(k ∈R )，若直线l 与圆C 恒有公共点，则实数k 的最小值是__________.【导学号：51062277】－33[圆心C (－2,0)，半径r ＝2. 又圆C 与直线l 恒有公共点．所以圆心C (－2,0)到直线l 的距离d ≤r . 因此|－2k －2k |k 2＋1≤2，解得－33≤k ≤33.所以实数k 的最小值为－33.] 三、解答题9．已知圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，点A (3,5)． (1)求过点A 的圆的切线方程；(2)O 点是坐标原点，连接OA ，OC ，求△AOC 的面积S . [解] (1)由圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，得(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆心C (2,3)．当斜率存在时，设过点A 的圆的切线方程为y －5＝k (x －3)，即kx －y ＋5－3k ＝0.3分由d ＝|2k －3＋5－3k |k 2＋1＝1，得k ＝34.又斜率不存在时直线x ＝3也与圆相切， 故所求切线方程为x ＝3或3x －4y ＋11＝0.6分 (2)直线OA 的方程为y ＝53x ，即5x －3y ＝0，又点C 到OA 的距离d ＝|5×2－3×3|52＋－2＝134.12分又|OA |＝32＋52＝34. 所以S ＝12|OA |d ＝12.15分10．(2017·宁波镇海中学模拟)已知定点M (0,2)，N (－2,0)，直线l ：kx －y －2k ＋2＝0(k 为常数)．(1)若点M ，N 到直线l 的距离相等，求实数k 的值；(2)对于l 上任意一点P ，∠MPN 恒为锐角，求实数k 的取值范围． [解] (1)∵点M ，N 到直线l 的距离相等， ∴l ∥MN 或l 过MN 的中点．∵M (0,2)，N (－2,0)，∴直线MN 的斜率k MN ＝1，MN 的中点坐标为C (－1,1).3分又∵直线l ：kx －y －2k ＋2＝0过定点D (2,2)， ∴当l ∥MN 时，k ＝k MN ＝1； 当l 过MN 的中点时，k ＝k CD ＝13.综上可知，k 的值为1或13.6分(2)∵对于l 上任意一点P ，∠MPN 恒为锐角，∴l 与以MN 为直径的圆相离，即圆心(－1,1)到直线l 的距离大于半径，10分 ∴d ＝|－k －1－2k ＋2|k 2＋1>2，解得k <－17或k >1.15分B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．若圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋a 2－9＝0(a ∈R )与圆C 2：x 2＋y 2＋2by ＋b 2－1＝0(b ∈R )内切，则ab 的最大值为( ) A. 2B ．2C ．4D ．2 2 B [圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋a 2－9＝0(a ∈R )．化为(x －a )2＋y 2＝9，圆心坐标为(a,0)，半径为3.圆C 2：x 2＋y 2＋2by ＋b 2－1＝0(b ∈R )，化为x 2＋(y ＋b )2＝1，圆心坐标为(0，－b )，半径为1.∵圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋a 2－9＝0(a ∈R )与圆C 2：x 2＋y 2＋2by ＋b 2－1＝0(b ∈R )内切， ∴a 2＋b 2＝3－1，即a 2＋b 2＝4，ab ≤12(a 2＋b 2)＝2. ∴ab 的最大值为2.]2．(2017·杭州质检)过点P (1，3)作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则PA →·PB →＝__________. 【导学号：51062278】32[如图所示，可知OA ⊥AP ，OB ⊥BP ，OP ＝1＋3＝2. 又OA ＝OB ＝1，可以求得AP ＝BP ＝3，∠APB ＝60°.故PA →·PB →＝3×3×cos 60°＝32.] 3．已知圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝4，点O 是坐标原点，直线l ：y ＝kx 与圆C 交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)直线l 能否将圆C 分割成弧长的比为13的两段弧？ 若能，求出直线l 的方程；若不能，请说明理由．[解] (1)将y ＝kx 代入圆C 的方程x 2＋(y －4)2＝4.得(1＋k 2)x 2－8kx ＋12＝0.2分∵直线l 与圆C 交于M ，N 两点，∴Δ＝(－8k )2－4×12(1＋k 2)>0，得k 2>3，(*)∴k 的取值范围是(－∞，－3)∪(3，＋∞).6分(2)假设直线l 将圆C 分割成弧长的比为13的两段弧，则劣弧所对的圆心角∠MCN＝90°，由圆C：x2＋(y－4)2＝4知圆心C(0,4)，半径r＝2.9分在Rt△MCN中，可求弦心距d＝r·sin 45°＝2，故圆心C(0,4)到直线kx－y＝0的距离|0－4|1＋k2＝2，∴1＋k2＝8，k＝±7，经验证k＝±7满足不等式(*)，12分故l的方程为y＝±7x.因此，存在满足条件的直线l，其方程为y＝±7x.15分。

第四节直线与圆、圆与圆的位置关系———————————————————————————————— [考纲传真] 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：d<r⇔相交；d＝r⇔相切；d>r⇔相离．(2)代数法：联立直线l与圆C的方程，消去y(或x)，得一元二次方程，计算判别式Δ＝b2－4ac，Δ>0⇔相交，Δ＝0⇔相切，Δ<0⇔相离．2．圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0).1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．( )(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．( )(3)如果两圆的圆心距小于两半径之和，则两圆相交．( )(4)若两圆相交，则两圆方程相减消去二次项后得到的二元一次方程是公共弦所在直线的方程．( )[解析]依据直线与圆、圆与圆的位置关系，只有(4)正确．[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．(教材改编)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离B [两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d ＝42＋1＝17. ∵3－2<d <3＋2，∴两圆相交．]3．(2017·合肥调研)直线3x ＋4y ＝b 与圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相切，则b 的值是( )A ．－2或12B ．2或－12C ．－2或－12D ．2或12D [由圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0，知圆心(1,1)，半径为1，所以|3×1＋4×1－b |32＋42＝1，解得b ＝2或12.]4．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为__________．2555[圆心为(2，－1)，半径r ＝2. 圆心到直线的距离d ＝|2＋－－3|1＋4＝355，所以弦长为2r 2－d 2＝222－⎝⎛⎭⎪⎫3552＝2555.] 5．(2016·全国卷Ⅰ)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________．4π [圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0化为标准方程是C ：x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，所以圆心C (0，a )，半径r ＝a 2＋2.|AB |＝23，点C 到直线y ＝x ＋2a 即x －y ＋2a ＝0的距离d ＝|0－a ＋2a |2，由勾股定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|0－a ＋2a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2，所以r ＝2，所以圆C 的面积为π×22＝4π.]的位置关系是( )【导学号：31222298】A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定(2)若点P (1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为__________． (1)A (2)x ＋2y －5＝0 [(1)法一：∵圆心(0,1)到直线l 的距离d ＝|m |m 2＋1<1< 5.故直线l 与圆相交．法二：直线l ：mx －y ＋1－m ＝0过定点(1,1)，∵点(1,1)在圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的内部，∴直线l 与圆C 相交．(2)∵以原点O 为圆心的圆过点P (1,2)， ∴圆的方程为x 2＋y 2＝5. ∵k OP ＝2，∴切线的斜率k ＝－12.由点斜式可得切线方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.][规律方法] 1.(1)利用圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系，也可利用直线的方程与圆的方程联立后得到的一元二次方程的判别式来判断直线与圆的位置关系；(2)注意灵活运用圆的几何性质，联系圆的几何特征，数形结合，简化运算．如“切线与过切点的半径垂直”等．2．与弦长有关的问题常用几何法，即利用弦心距、半径和弦长的一半构成直角三角形进行求解．[变式训练1] (1)(2017·山西忻州模拟)过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( )A ．2x ＋y －5＝0B ．2x ＋y －7＝0C ．x －2y －5＝0D ．x －2y －7＝0(2)(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD |＝__________.(1)B (2)4 [(1)依题意知，点(3,1)在圆(x －1)2＋y 2＝r 2上，且为切点． ∴圆心(1,0)与切点(3,1)连线的斜率为12.因此切线的斜率k ＝－2.故圆的切线方程为y －1＝－2(x －3)，即2x ＋y －7＝0. (2)由圆x 2＋y 2＝12知圆心O (0,0)，半径r ＝2 3. ∴圆心(0,0)到直线x －3y ＋6＝0的 距离d ＝61＋3＝3，|AB |＝212－32＝2 3.过C 作CE ⊥BD 于E .如图所示，则|CE |＝|AB |＝2 3.∵直线l 的方程为x －3y ＋6＝0， ∴k AB ＝33，则∠BPD ＝30°，从而∠BDP ＝60°. ∴|CD |＝|CE |sin 60°＝|AB |sin 60°＝2332＝4.](2016·山东高考)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离B [法一：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2ay ＝0，x ＋y ＝0得两交点为(0,0)，(－a ，a )．∵圆M 截直线所得线段长度为22， ∴a 2＋－a2＝2 2.又a >0，∴a ＝2.∴圆M 的方程为x 2＋y 2－4y ＝0，即x 2＋(y －2)2＝4，圆心M (0,2)，半径r 1＝2. 又圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心N (1,1)，半径r 2＝1， ∴|MN |＝－2＋－12＝ 2.∵r 1－r 2＝1，r 1＋r 2＝3,1<|MN |<3，∴两圆相交． 法二：∵x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)⇔x 2＋(y －a )2＝a 2(a >0)， ∴M (0，a )，r 1＝a .∵圆M 截直线x ＋y ＝0所得线段的长度为22，∴圆心M 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a2＝a 2－2，解得a ＝2.以下同法一．][规律方法] 1.圆与圆的位置关系取决于圆心距与两个半径的和与差的大小关系． 2．若两圆相交，则两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x 2，y 2项得到．3．若两圆相交，则两圆的连心线垂直平分公共弦．[变式训练2] 若⊙O ：x 2＋y 2＝5与⊙O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是__________．4 [由题意⊙O 1与⊙O 在A 处的切线互相垂直，则两切线分别过另一圆的圆心，∴O 1A ⊥OA .又∵|OA |＝5，|O 1A |＝25， ∴|OO 1|＝5.又A ，B 关于OO 1对称，∴AB 为Rt △OAO 1斜边上高的2倍． 又∵12·OA ·O 1A ＝12OO 1·AC ，得AC ＝2.∴AB ＝4.]心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2,4)．(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程； (2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC ＝OA ，求直线l 的方程．图8­4­1[解] 圆M 的标准方程为(x －6)2＋(y －7)2＝25， 所以圆心M (6,7)，半径为5.1分(1)由圆心N 在直线x ＝6上，可设N (6，y 0)． 因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以0<y 0<7，圆N 的半径为y 0，从而7－y 0＝5＋y 0，解得y 0＝1.4分 因此，圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1.5分(2)因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为4－02－0＝2.设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ， 即2x －y ＋m ＝0， 则圆心M 到直线l 的距离d ＝|2×6－7＋m |5＝|m ＋5|5.8分 因为BC ＝OA ＝22＋42＝25， 而MC 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫BC 22， 所以25＝m ＋25＋5，解得m ＝5或m ＝－15.故直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0.12分[规律方法] 1.(1)设出圆N 的圆心N (6，y 0)，由条件圆M 与圆N 外切，求得圆心与半径，从而确定圆的标准方程．(2)依据平行直线，设出直线l 的方程，根据点到直线的距离公式及勾股定理求解．2．求弦长常用的方法：①弦长公式；②半弦长、半径、弦心距构成直角三角形，利用勾股定理求解(几何法)．[变式训练3] 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为圆心的圆与直线：x －3y ＝4相切．(1)求圆O 的方程；(2)若圆O 上有两点M ，N 关于直线x ＋2y ＝0对称，且|MN |＝23，求直线MN 的方程． [解] (1)依题意，圆O 的半径r 等于原点O 到直线x －3y ＝4的距离， 则r ＝41＋3＝2.所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.5分(2)由题意，可设直线MN 的方程为2x －y ＋m ＝0. 则圆心O 到直线MN 的距离d ＝|m |5.7分由垂径分弦定理，得m 25＋(3)2＝22，即m ＝± 5.10分所以直线MN的方程为2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0.12分[思想与方法]1．直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方程的结合，解题时要抓住圆的几何性质，重视数形结合思想方法的应用．2．计算直线被圆截得的弦长的常用方法：(1)几何方法：运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算．(2)代数方法：弦长公式|AB|＝1＋k2|x A－x B|＝＋k2x A＋x B2－4x A x B].[易错与防范]1．求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可以用勾股定理或斜率之积为“－1”列方程来简化运算．2．过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解．课时分层训练(四十八)直线与圆、圆与圆的位置关系A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是( ) A．相切B．相交C．相离D．不确定B [由题意知点在圆外，则a 2＋b 2>1，圆心到直线的距离d ＝1a 2＋b 2<1，故直线与圆相交．]2．(2017·山西太原模拟)若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( )A ．21B ．19C ．9D ．－11C [圆C 1的圆心为C 1(0,0)，半径r 1＝1，因为圆C 2的方程可化为(x －3)2＋(y －4)2＝25－m ，所以圆C 2的圆心为C 2(3,4)，半径r 2＝25－m (m <25)．从而|C 1C 2|＝32＋42＝5.两圆外切得|C 1C 2|＝r 1＋r 2，即1＋25－m ＝5，解得m ＝9.]3．已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是( )A ．－2B ．－4C ．－6D ．－8B [由x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0， 得(x ＋1)2＋(y －1)2＝2－a ，所以圆心坐标为(－1,1)，半径r ＝2－a ，圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离为|－1＋1＋2|2＝2，所以22＋(2)2＝2－a ，解得a ＝－4.]4．(2017·浙江金丽衢十二校模拟)过点P (4,2)作圆x 2＋y 2＝4的两条切线，切点分别为A ，B ，O 为坐标原点，则△OAB 外接圆的方程是( )【导学号：31222299】A ．(x －2)2＋(y －1)2＝5 B ．(x －4)2＋(y －2)2＝20 C ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5 D ．(x ＋4)2＋(y ＋2)2＝20A [由题意知，O ，A ，B ，P 四点共圆，所以所求圆的圆心为线段OP 的中点(2,1)． 又圆的半径r ＝12|OP |＝5，所以所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.]5．(2017·河北衡水中学三模)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝25，则过点P (2，－1)的圆C 的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是( )【导学号：31222300】A ．1013B ．921C ．1023D ．911C [易知最长弦为圆的直径10.又最短弦所在直线与最长弦垂直，且|PC |＝2，∴最短弦的长为2r 2－|PC |2＝225－2＝223.故所求四边形的面积S ＝12×10×223＝1023]．二、填空题6．已知圆C 1：x 2＋y 2－6x －7＝0与圆C 2：x 2＋y 2－6y －27＝0相交于A ，B 两点，则线段AB 的中垂线方程为________________. 【导学号：31222301】x ＋y －3＝0 [∵圆C 1的圆心C 1(3,0)，圆C 2的圆心C 2(0,3)，∴直线C 1C 2的方程为x ＋y－3＝0，AB 的中垂线即直线C 1C 2，故其方程为x ＋y －3＝0.]7．若直线3x －4y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B 两点，且∠AOB ＝120°(O 为坐标原点)，则r ＝__________.2 [如图，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，则 |OD |＝532＋－2＝1.∵∠AOB ＝120°，OA ＝OB ， ∴∠OBD ＝30°，∴|OB |＝2|OD |＝2，即r ＝2.]8．(2017·安徽十校联考)已知圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝4，直线l ：kx －y －2k ＝0(k ∈R )，若直线l 与圆C 恒有公共点，则实数k 的最小值是__________．－33[圆心C (－2,0)，半径r ＝2. 又圆C 与直线l 恒有公共点．所以圆心C (－2,0)到直线l 的距离d ≤r . 因此|－2k －2k |k 2＋1≤2，解得－33≤k ≤33.所以实数k 的最小值为－33.] 三、解答题9．已知点A (1，a )，圆x 2＋y 2＝4.(1)若过点A 的圆的切线只有一条，求a 的值及切线方程；(2)若过点A 且在两坐标轴上截距相等的直线被圆截得的弦长为23，求a 的值． [解] (1)由于过点A 的圆的切线只有一条，则点A 在圆上，故12＋a 2＝4，∴a ＝± 3.2分当a ＝3时，A (1，3)，易知所求切线方程为x ＋3y －4＝0； 当a ＝－3时，A (1，－3)，易知所求切线方程为x －3y －4＝0.5分 (2)设过点A 的直线方程为x ＋y ＝b ， 则1＋a ＝b ，即a ＝b －1，8分又圆心(0,0)到直线x ＋y ＝b 的距离d ＝|b |2，∴⎝⎛⎭⎪⎫|b |22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＝4，则b ＝± 2. 因此a ＝b －1＝±2－1.12分10．(2017·唐山模拟)已知定点M (0,2)，N (－2,0)，直线l ：kx －y －2k ＋2＝0(k 为常数)．(1)若点M ，N 到直线l 的距离相等，求实数k 的值；(2)对于l 上任意一点P ，∠MPN 恒为锐角，求实数k 的取值范围． [解] (1)∵点M ，N 到直线l 的距离相等， ∴l ∥MN 或l 过MN 的中点．∵M (0,2)，N (－2,0)，∴直线MN 的斜率k MN ＝1，MN 的中点坐标为C (－1,1).3分又∵直线l ：kx －y －2k ＋2＝0过定点D (2,2)， ∴当l ∥MN 时，k ＝k MN ＝1； 当l 过MN 的中点时，k ＝k CD ＝13.综上可知，k 的值为1或13.6分(2)∵对于l 上任意一点P ，∠MPN 恒为锐角，∴l 与以MN 为直径的圆相离，即圆心(－1,1)到直线l 的距离大于半径，10分 ∴d ＝|－k －1－2k ＋2|k 2＋1>2，解得k <－17或k >1.12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．已知直线l ：kx ＋y －2＝0(k ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－6x ＋2y ＋9＝0的对称轴，过点A (0，k )作圆C 的一条切线，切点为B ，则线段AB 的长为( )A ．2B ．2 2C ．3D ．2 3D [由圆C ：x 2＋y 2－6x ＋2y ＋9＝0得(x －3)2＋(y ＋1)2＝1，则C (3，－1)．依题意，圆C 的圆心(3，－1)在直线kx ＋y －2＝0上，所以3k －1－2＝0，解得k ＝1，则点A (0,1)，所以|AC |＝13，故|AB |＝|AC |2－r 2＝13－1＝2 3.]2．(2017·济南质检)过点P (1，3)作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则PA →·PB →＝__________.32[如图所示，可知OA ⊥AP ，OB ⊥BP ，OP ＝1＋3＝2. 又OA ＝OB ＝1，可以求得AP ＝BP ＝3，∠APB ＝60°.故PA →·PB →＝3×3×cos 60°＝32.] 3．已知圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝4，点O 是坐标原点，直线l ：y ＝kx 与圆C 交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)直线l 能否将圆C 分割成弧长的比为13的两段弧？ 若能，求出直线l 的方程；若不能，请说明理由．【导学号：3122302】[解] (1)将y ＝kx 代入圆C 的方程x 2＋(y －4)2＝4.得(1＋k 2)x 2－8kx ＋12＝0.2分∵直线l 与圆C 交于M ，N 两点，∴Δ＝(－8k )2－4×12(1＋k 2)>0，得k 2>3，(*)∴k 的取值范围是(－∞，－3)∪(3，＋∞).5分(2)假设直线l 将圆C 分割成弧长的比为13的两段弧， 则劣弧所对的圆心角∠MCN ＝90°， 由圆C ：x 2＋(y －4)2＝4知圆心C (0,4)，半径r ＝2.8分在Rt △MCN 中，可求弦心距d ＝r ·sin 45°＝2，故圆心C (0,4)到直线kx －y ＝0的距离|0－4|1＋k 2＝2， ∴1＋k 2＝8，k ＝±7，经验证k ＝±7满足不等式(*)，10分故l 的方程为y ＝±7x .因此，存在满足条件的直线l ，其方程为y ＝±7x .12分。

第四节直线与圆、圆与圆的位置关系授课提示：对应学生用书第158页［基础梳理］1．直线与圆的位置关系与判断方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系．①d〈r⇔直线与圆相交；②d＝r⇔直线与圆相切；③d〉r⇔直线与圆相离．(2)代数法：联立方程，消去x（或y)得一元二次方程，计算Δ＝b2－4ac.①Δ〉0⇔直线与圆相交；②Δ＝0⇔直线与圆相切；③Δ〈0⇔直线与圆相离．2．圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1）2＋(y－b1)2＝r错误!(r1〉0)，圆O2＋（y－b2＝r2方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况外离d〉r1＋r2无解外切d＝r1＋r2一组实数解续表相交｜r1－r2｜〈d〈r1＋r2两组不同的实数解内切d＝｜r1－r2｜(r1≠r2）一组实数解内含0≤d〈|r1－r2|(r1≠r2）无解位置关系内含内切相交外切外离公切线条数01234圆的方程两种设法技巧：（1）经过直线l：Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的交点的圆的方程表示为（x2＋y2＋Dx＋Ey＋F）＋λ(Ax＋By＋C）＝0.（2）经过圆x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的两个交点的圆的方程表示为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2）＝0。

[四基自测]1．（基础点:直线与圆的位置关系）直线y＝x＋6与圆x2＋y2－2y－4＝0的位置关系为（)A．相离B．相切C．相交且不过圆心 D.相交过圆心答案：A2．(基础点：圆与圆的位置关系）两圆x2＋y2－2y＝0与x2＋y2－4＝0的位置关系是（）A．相交B．内切C．外切 D.内含答案：B3．（基础点：圆的弦长)直线l：3x－y－6＝0与圆x2＋y2－2x－4y＝0相交于A，B两点,则｜AB｜＝________．答案：104．（易错点:求圆的切线方程)已知直线l：y＝k(x＋错误!）和圆C：x2＋(y－1)2＝1，若直线l与圆C相切，则k＝________．答案：0或3授课提示：对应学生用书第158页考点一直线与圆的位置关系挖掘1直线与圆位置关系的判断/ 自主练透[例1](1）直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋（y－1)2＝5的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D。

第四节直线与圆、圆与圆的位置关系考试要求：能判断直线与圆、圆与圆的位置关系．一、教材概念·结论·性质重现1．直线与圆的位置关系的判断(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系进行判断．d<r ⇔相交；d＝r⇔相切；d>r⇔相离．(2)代数法：联立直线与圆的方程，求联立后所得方程的判别式Δ，直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合，代数法与几何法是不同的方法和思路，解题时要根据题目特点灵活选择．2．圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝(r2>0)．位置关系方法几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况相离d>r1＋r2无解外切d＝r1＋r2一组实数解相交|r1－r2|<d<r1＋r2两组不同的实数解内切d＝|r1－r2|(r1≠r2)一组实数解内含0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)无解(1)用代数法判断两圆的位置关系时，要准确区分两圆内切、外切或相离、内含．(2)两圆的位置关系与公切线的条数：①内含：0条．②内切：1条．③相交：2条．④外切：3条.⑤外离：4条．(1)当两圆相交(切)时，两圆方程(x2，y2项的系数相同)相减便可得公共弦(内公切线)所在的直线方程．两圆相交时，两圆连心线垂直平分公共弦；两圆相切时，两圆连心线必过切点．(2)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)·(y －b)＝r2.(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在的直线方程为x0x＋y0y＝r2.(4)直线与圆相交时，弦心距d、半径r、弦长的一半l满足关系式r2＝d2＋.(5)过圆内一点的最长的弦是直径，最短的是垂直这点与圆心连线的弦．二、基本技能·思想·活动经验1．判断下列说法的正误，对的画“√”，错的画“×”．(1)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．( ×)(2)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．( ×) (3)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B 四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2. ( √)(4)圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有2条．( √)2．“k＝0”是“直线y＝kx－与圆x2＋y2＝2相切”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件C 解析：直线与圆相切⇔＝⇔k＝0.3．圆C1：x2＋(y－1)2＝1与圆C2：(x＋4)2＋(y－1)2＝4的公切线的条数为( )A．4 B．3C．2 D．1A 解析：两圆的圆心距|C1C2|＝4>2＋1，所以两圆外离，两圆的公切线有4条．4．圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦所在直线和两坐标轴所围成图形的面积为( )A．1 B．2C．4 D．8B 解析：由(x2＋y2－4)－(x2＋y2－4x＋4y－12)＝0得公共弦所在直线的方程为x－y＋2＝0，它与两坐标轴分别交于(－2，0)，(0，2)，所以直线和两坐标轴所围成图形的面积为×2×2＝2.5．直线l：3x－y－6＝0与圆x2＋y2－2x－4y＝0相交于A，B两点，则|AB|＝________．解析：圆的方程可化为(x－1)2＋(y－2)2＝()2，又圆心(1，2)到直线l的距离为，所以|AB|＝2＝.考点1 直线与圆的位置关系——基础性1．直线ax－by＝0与圆x2＋y2－ax＋by＝0的位置关系是( )A．相交B．相切C．相离D．不能确定B 解析：将圆的方程化为标准方程得＋＝，所以圆心坐标为，半径r＝＝.因为圆心到直线ax－by＝0的距离d＝＝＝r，所以直线与圆相切．故选B．2．圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的位置关系为( )A．相离B．相切C．相交D．以上都有可能C 解析：由2tx－y－2－2t＝0(t∈R)，得(2x－2)t－(y＋2)＝0，所以直线2tx－y－2－2t＝0(t∈R)恒过点(1，－2)．因为1＋4－2－8＝－5<0，所以(1，－2)在圆x2＋y2－2x＋4y＝0内部，所以直线2tx－y－2－2t＝0(t∈R)与圆x2＋y2－2x＋4y＝0相交．故选C．3．若过点A(4，0)的直线l与曲线(x－2)2＋y2＝1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为( )A．[－] B．(－)C．D．C 解析：设直线方程为y＝k(x－4)，即kx－y－4k＝0，直线l与曲线(x－2)2＋y2＝1有公共点，所以圆心到直线的距离小于等于半径，即d＝≤1，得4k2≤k2＋1，k2≤，即－≤k≤.故选C．1．注意常用方法：判断直线与圆的位置关系一般用几何法，即d与r的关系进行判断．2．注意直线上定点的作用：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．考点2 圆与圆的位置关系——综合性(1)若圆(x＋1)2＋y2＝m与圆x2＋y2－4x＋8y－16＝0内切，则实数m的值为( ) A．1 B．11C．121 D．1或121D 解析：对x2＋y2－4x＋8y－16＝0进行整理，可得(x－2)2＋(y＋4)2＝36，故两圆的圆心坐标为(－1，0)，(2，－4)，半径分别为，6.因为圆(x＋1)2＋y2＝m与圆x2＋y2－4x＋8y －16＝0内切，所以圆心距d满足d＝|r2－r1|，即＝|－6|，解得m ＝1或121.(2)已知两圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0.①求证：圆C1和圆C2相交；②求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．①证明：由题意可知，圆C1的圆心为C1(1，3)，半径r1＝，圆C2的圆心为C2(5，6)，半径r2＝4，两圆的圆心距d＝|C1C2|＝5，r1＋r2＝＋4，|r1－r2|＝4－，所以|r1－r2|＜d＜r1＋r2，所以圆C1和C2相交．②解：圆C1和圆C2的方程左右两边分别相减，整理得4x＋3y－23＝0，所以两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0.圆心C2(5，6)到直线4x＋3y－23＝0的距离d＝＝3，故公共弦长为2＝2.本例(1)中若两圆内含，求实数m的取值范围．解：圆(x＋1)2＋y2＝m的圆心为(－1，0)，半径为；圆x2＋y2－4x＋8y－16＝0，即(x－2)2＋(y＋4)2＝36，故圆心为(2，－4)，半径为6.由两圆内含得<|－6|，解得m<1或m>121.(1)判断两圆位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和及差的绝对值的大小关系判断，一般不用代数法．注意两圆相切时，应分外切、内切两种情况．(2)两圆相交时，两圆的公共弦所在直线的方程，可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．(3)求两圆公共弦长，常选其中一圆，由弦心距d、半弦长、半径r构成直角三角形，利用勾股定理求解．1．已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是( )A．内切B．相交C．外切D．相离B 解析：将圆M的方程化为x2＋(y－a)2＝a2，则圆心M(0，a)，半径r1＝a.点M到直线x ＋y＝0的距离d＝，则＋2＝a2，得a＝2，故M(0，2)，r1N的圆心N(1，1)，半径r2＝1，所以|MN|＝，而|r1－r2|<|MN|<|r1＋r2|，所以两圆相交．故选B．2．若圆O1：x2＋y2＝5与圆O2：(x＋m)2＋y2＝20相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是( )A．3 B．4C．2D．8B 解析：如图，连接O1A，O2A，由于⊙O1与⊙O2在点A处的切线互相垂直，因此O1A⊥O2A，所以＝O1A2＋O2A2，即m2AB 交x轴于点C．在Rt△O1AO2中，sin ∠AO2O1＝，所以在Rt△ACO2中，AC＝AO2·sin ∠AO2O1＝2＝2，所以AB＝2AC＝4.故选B．考点3 直线与圆的综合问题——应用性考向1 弦长问题已知圆C：(x－4)2＋(y－2)2＝r2截y轴所得的弦长为2，过点(0，4)且斜率为k 的直线l与圆C交于A，B两点．若|AB|＝2，则k的值为( )A．－B．C．－D．D 解析：已知圆C：(x－4)2＋(y－2)2＝r2截y轴所得的弦长为2，所以圆心坐标为(4，2)，半径为r，则42＋()2＝r2，解得r＝3.由于过点(0，4)且斜率为k的直线l与圆C交于A，B两点，|AB|＝2，则设直线l的方程为y＝kx＋4，由点到直线的距离公式可得：＝，解得k＝.求弦长的两种求法(1)代数方法：将直线和圆的方程联立，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长．(2)几何方法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2.考向2 圆的切线问题若过直线3x＋4y－2＝0上一点M向圆C：(x＋2)2＋(y＋3)2＝4作一条切线切于点T，则|MT|的最小值为( )A．B． 4C． 2D． 2D 解析：根据题意，圆C：(x＋2)2＋(y＋3)2＝4，其圆心为(－2，－3)，半径r＝2，过点M向圆C作一条切线切于点T，则|MT|＝＝.当|MC|取得最小值时，|MT|的值最小，而|MC|的最小值为点C到直线3x＋4y－2＝0的距离，则|MC|min ＝＝4，则|MT|的最小值为＝2.故选D．(1)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径这一关系，从而建立方程解决问题．(2)过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解．1．若直线l与曲线y＝和圆x 2＋y2＝都相切，则l的方程为( )A．y＝2x＋1 B．y ＝2x＋C．y＝x＋1 D．y ＝x＋D 解析：圆x2＋y2＝的圆心为原点，半径为，经检验原点与选项A，D中的直线y＝2x ＋1，y ＝x＋的距离均为，即两直线与圆x2＋y2＝均相切，原点与选项B，C中的直线y＝2x ＋，y＝x＋1的距离均不是，即两直线与圆x2＋y2＝均不相切，所以排除选项BC．将直线方程y＝2x＋1代入y＝，得2()2－＋1＝0，判别式Δ＜0，所以直线y＝2x＋1与曲线y＝不相切，所以排除选项A．故选D．2．已知直线x－y＋8＝0和圆x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B两点．若|AB|＝6，则r的值为________．5 解析：设圆心为O(0，0)，圆心到直线的距离d＝AB的中点M，连接OM(图略)，则OM⊥AB．在Rt△OMA中，r＝＝5.一个圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且在直线y＝x上截得的弦长为2，求此圆的方程．[四字程序]读想算思求圆的标准方程或一般方程如何求圆的方程？1．圆的标准方程是什么？2．圆的一般方程是什么数形结合1．圆的圆心在直线上．2．圆与直线相切．3．圆在直线上截得的根据题目条件设出圆的标准方程或一般方程，利用待定系数法求解1．(x－a)2＋(y－b)2＝r2.2．x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0借助于圆的几何性质求解弦长为思路参考：根据圆心在直线上，设出圆心．由圆与直线相切，表示出半径，结合弦长求出圆的方程．解：因为所求圆的圆心在直线x－3y＝0上，且与y轴相切，所以设所求圆的圆心为C (3a，a)，半径为r＝3|a|.又圆在直线y＝x上截得的弦长为2，圆心C(3a，a)到直线y＝x的距离为d＝，所以有d2＋()2＝r2，即2a2＋7＝9a2，所以a＝±1.故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.思路参考：设出圆的标准方程．利用圆心到直线的距离公式表示出半径，结合弦长求出圆的方程．解：设所求的圆的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则圆心(a，b)到直线x－y＝0的距离为，所以r2＝＋()2，即2r2＝(a－b)2＋14.①由于所求的圆与y轴相切，所以r2＝a2.②又因为所求圆心在直线x－3y＝0上，所以a－3b＝0.③联立①②③，解得a＝3，b＝1，r2＝9或a＝－3，b＝－1，r2＝9.故所求的圆的方程是(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.思路参考：设出圆的一般方程，用待定系数法求解．解：设所求的圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，圆心为，半径为.令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0.由圆与y轴相切，得Δ＝0，即E2＝4F.④又圆心到直线x－y＝0的距离为，由已知，得＋()2＝r2，即(D－E)2＋56＝2(D2＋E2－4F)．⑤又圆心在直线x－3y＝0上，所以D－3E＝0.⑥联立④⑤⑥，解得D＝－6，E＝－2，F＝1或D＝6，E＝2，F＝1.故所求圆的方程是x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0，即(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.1．本题考查圆的方程的求法，解法灵活多变，基本解题策略是设出圆的方程，借助待定系数法求解．2．基于课程标准，解答本题需要掌握圆的标准方程和一般方程的一般形式．本题的解答体现了数学运算、直观想象的核心素养．3．基于高考评价体系，本题通过圆的代数性质和几何性质之间相互联系和转化，体现了基础性．已知圆C的圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)，则圆C 的方程为______________.(x－1)2＋(y＋4)2＝8 解析：(方法一)如图，设圆心)．依题意得＝1，解得x0＝1，即圆心坐标为(1，－4)，半径r＝2，故圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8. (方法二)设所求方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2.根据已知条件得解得因此所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.课时质量评价(四十六)A组全考点巩固练1．(2022·北京卷)若直线2x＋y－1＝0是圆(x－a)2＋y2＝1的一条对称轴，则a＝( ) A．B．－C．1 D．－1A 解析：由题可知圆心为(a，0)，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即2a＋0－1＝0，解得a＝.故选A．2．(2023·济南质检)圆x2＋(y－2)2＝4与圆x2＋2mx＋y2＋m2－1＝0至少有三条公切线，则m的取值范围是( )A．(－∞，－]B．[，＋∞)C．[－]D．(－∞，－]∪[，＋∞)D 解析：将x2＋2mx＋y2＋m2－1＝0化为标准方程得(x＋m)2＋y2＝1，即圆心为(－m，0)，半径为1，圆x2＋(y－2)2x2＋(y－2)2＝4与圆x2＋2mx＋y2＋m2－1＝0至少有三条公切线，所以两圆的位置关系为外切或相离，所以≥2＋1，即m2≥5，解得m∈(－∞，－]∪[，＋∞). 故选D．3．(多选题)若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值可能为( )A．0 B．4C．－2 D．6AB 解析：由圆的方程，可知圆心坐标为(a，0)，半径r，所以圆心到直线的距离d＝＝.又d＝，所以|a－2|＝2，解得a＝4或0.故选AB．4．已知圆的方程是x2＋y2＝1，则在y轴上截距为的切线方程为( )A．y＝x＋B．y＝－x＋C．y＝x＋或y＝－x＋D．x＝1或y＝x＋C 解析：由题意知切线斜率存在，故设切线方程为y＝kx＋，则＝1，所以k＝±1，故所求切线方程为y＝x＋或y＝－x＋.5．过点P(1，2)的直线与圆x2＋y2＝1相切，且与直线ax＋y－1＝0垂直，则实数a的值为( )A．0 B．－C．0或D．C 解析：当a＝0时，直线ax＋y－1＝0，即直线y＝1，此时过点P(1，2)且与直线y＝1垂直的直线为x＝1，而x＝1是与圆相切，满足题意，所以a＝0成立．当a≠0时，过点P(1，2)且与直线ax＋y－1＝0垂直的直线斜率为，可设该直线方程为y －2＝(x－1)，即x－ay＋2a－1＝0，再根据直线与圆相切，即圆心到直线距离为1，可得＝1，解得a＝.故选C．6．直线l：y＝kx＋4与圆O：x2＋y2＝4交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点．若x1x2＋y1y2＝0，则k2的值为( )A．3 B．7C．8 D．13B 解析：由条件可得x1x2≠0，圆O的圆心为(0，0)，半径为2，由x1x2＋y1y2＝0可得·＝－1，故OA⊥OB，故△AOB为等腰直角三角形．故点O到直线l的距离为，即＝，解得k2＝7.故选B．7．早在两千多年前，我国的墨子给出了圆的定义——一中同长也．已知O为坐标原点，P(－1，).若⊙O，⊙P的“长”分别为1，r，且两圆相切，则r＝________．1或3 解析：由题意，O为坐标原点，P(－1，)，根据圆的定义可知，⊙O的圆心为O(0，0)，半径为1，⊙P的圆心为P(－1，)，半径为r，因为两圆相切，则有|PO|＝r＋1或|PO|＝r－1，则有r＋1＝2或r－1＝2，解得r＝1或3.8．已知圆O：x2＋y2＝5与圆C1：x2＋y2－5x＝0相交于M，N两点，点P的坐标为(3，－4)．若圆C2经过M，N，P三点，则C2的方程为________．(x－5)2＋y2＝20 解析：把圆O：x2＋y2＝5与圆C1：x2＋y2－5x＝0相减，可得公共弦MN的方程为x＝1，故M，N两点的坐标为(1，2)，(1，－2)．又点P的坐标为(3，－4)，故要求的圆的圆心C2在x轴上，设C2(m，0)，由C2M＝C2P，求得m＝5，故要求的圆的圆心C2(5，0)，半径为C2M＝，故要求的圆C2的方程为(x－5)2＋y2＝20.9．已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．(1)求k的取值范围；(2)若·＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.解：(1)由题意可得，直线l的斜率存在．设过点A(0，1)且斜率为k的直线l的方程：y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0.由已知可得圆C的圆心C的坐标为(2，3)，半径R＝1.由直线l与圆C交于M，N两点，则<1，解得<k<.所以k的取值范围为.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由题意可得，经过点M，N，A的直线方程为y＝kx＋1，代入圆C的方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，可得(1＋k2)x2－4(k＋1)x＋7＝0，所以x1＋x2＝，x1x2＝，所以y1y2＝(kx1＋1)(kx2＋1)＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝.由·＝x1x2＋y1y2＝＝12，解得k＝1，故直线l的方程为y＝x＋1，即x－y＋1＝0.圆心C在直线l上，MN的长即为圆的直径．所以|MN|＝2.B组新高考培优练10．已知直线l：x＋y－5＝0与圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝r2(r＞0)相交所得的弦长为2，则圆C的半径r＝( )A．B．2C．2D．4B 解析：依题意，得圆C的圆心坐标为(2，1)，圆心到直线l的距离d＝＝，因为弦长为2，所以2＝2，所以r＝2.11．已知直线x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，过点A(－4，a)作圆C 的一条切线，切点为B，则|AB|＝( )A．2 B．6C．4D．2B 解析：因为圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0，即(x－2)2＋(y－1)2＝4，所以圆心为C(2，1)，半径r＝2.由题意可得，直线l：x＋ay－1＝0经过圆C的圆心(2，1)，故有2＋a－1＝0，所以a＝－1，点A(－4，－1)．因为|AC|＝＝2，|CB|＝r＝2，所以|AB|＝＝6.故选B．12．直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k＝1”是“|AB|＝”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A 解析：依题意，注意到|AB|2＝()2＝等价于圆心O到直线l的距离等于，即有＝，k＝±1.因此，“k＝1”是“|AB|＝”的充分不必要条件．13．(多选题)已知直线l：x＋y－4＝0，圆O：x2＋y2＝2，M是l上一点，MA，MB分别是圆O的切线，则( )A．直线l与圆O相切B．圆O上的点到直线l的距离的最小值为C．存在点M，使∠AMB＝90°D．存在点M，使△AMB为等边三角形BD 解析：对于A选项，圆心到直线的距离d＝＝2>＝r，所以直线和圆相离，故A错误；对于B选项，圆O上的点到直线l的距离的最小值为d－r＝，故B正确；对于C选项，当OM⊥l时，∠AMB有最大值60°，故C错误；对于D选项，当OM⊥l时，△AMB 为等边三角形，故D正确. 故选BD．14．(多选题)(2022·德州期末)已知点A是直线l：x＋y－＝0上一定点，点P，Q是圆x2＋y2＝1上的动点．若∠PAQ的最大值为90°，则点A的坐标可以是( )A．(0，) B．(1，－1)C．(，0) D．(－1，1)AC 解析：如下图所示：原点到直线l的距离为d＝＝1，则直线l与圆x2＋y2＝1相切．由图可知，当AP，AQ均为圆x2＋y2＝1的切线时，∠PAQ取得最大值，连接OP，OQ，由于∠PAQ的最大值为90°，且∠APO＝∠AQO＝90°，|OP|＝|OQ|＝1，则四边形APOQ为正方形，所以|OA|＝|OP|＝.由两点间的距离公式得设A(t，－t)，|OA|＝＝，整理得2t2－2t＝0，解得t＝0或，因此，点A的坐标为(0，)或(，0)．故选AC．15．在①被x轴、y轴所截得的弦长均为4，且圆C的圆心位于第四象限，②与直线4x －3y＋18＝0相切于点B(－3，2)，③过点B(－2，－5)，且圆心在直线x＋y＝0上这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答．问题：已知圆C过点A(－2，3)，________，求圆C的方程．解：若选①，设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(a＞0，b＜0)，由题意可知解得因此，圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2②，由题意知圆心必在过切点B(－3，2)且垂直于切线4x－3y＋18＝0的直线上，可求得此直线方程为3x＋4y＋1＝0.直线AB的斜率k AB＝＝1，线段AB的中点坐标为，则线段AB的垂直平分线方程为y－＝－，即y＝－x.可知圆心必在线段AB的垂直平分线y＝－x上，联立可求得圆心C(1，－1)，则r＝|BC|＝＝5，因此，圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝25.若选③，由题意知圆心必在AB的垂直平分线上，所以AB的垂直平分线方程为y＝－1.将直线y＋1＝0与直线x＋y＝0联立，可得圆心坐标C(1，－1).因为r＝|BC|＝＝5，因此，圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝25. 16．已知直线l：4x＋3y＋10＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l 的右上方．(1)求圆C的方程；(2)过点M(1，0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设圆心C(a，0)，则＝2，解得a＝0或a＝－5(舍)．所以圆C：x2＋y2＝4.(2)如图，当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB．当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，N(t，0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(k2＋1)x2－2k2x＋k2－4＝0，Δ＝(－2k2)2－4(k2＋1)(k2－4)＝12k2＋16>0，所以x1＋x2＝，x1x2＝.若x轴平分∠ANB，则k AN＝－k BN⇒＝0⇒＝0⇒2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0⇒＋2t＝0⇒t＝4.所以当点N为(4，0)时，能使得x轴平分∠ANB．。