《勾股定理》全章复习与巩固基础-教师讲义

中 正 教 育 教 师 辅 导 讲 义年 级： 八年级 课 时 数：3 学员姓名： 辅导科目： 数学 学科教师： 课程主题《勾股定理》全章复习与巩固 基础 授课类型T 课本同步 C 专题辅导 T 应用能力提升 授课日期时段 年 月 日 段（ ：00-- ：00）学习目标1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题. 教学内容【知识网络】要点一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形两直角边a b 、的平方和等于斜边c 的平方.（即：222a b c +=）2.勾股定理的应用 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：（1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；（3）解决与勾股定理有关的面积计算；（4）勾股定理在实际生活中的应用．要点二、勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a b c 、、，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形. 应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为c ；（2）验证：22a b +与2c 是否具有相等关系： 若222a b c +=，则△ABC 是以∠C 为90°的直角三角形； 若222a b c +＞时，△ABC 是锐角三角形； 若222a b c +＜时，△ABC 是钝角三角形．2.勾股数满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.要点诠释：常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.如果(a b c 、、)是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：1.较小的直角边为连续奇数；2.较长的直角边与对应斜边相差1.3.假设三个数分别为a b c 、、，且a b c <<，那么存在2a b c =+成立.（例如④中存在27＝24＋25、29＝40＋41等）要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.1、已知直角三角形的两边长分别为6和8，求第三边的平方长．解：设第三边为x ．当x 为斜边时，由勾股定理得22268100x =+=．当x 为直角边时，由勾股定理，得22268x +=228x =．所以这个三角形的第三边的平方为100或28．【变式】在△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12．求△ABC 的周长．解：在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，由勾股定理，得22222151281BD AB AD =-=-=．∴ 9BD =．同理22222131225CD AC AD =-=-=．∴ 5CD =．①当∠ACB ＞90°时，BC ＝BD －CD ＝9－5＝4．∴ △ABC 的周长为：AB ＋BC ＋CA ＝15＋4＋13＝32．②当∠ACB ＜90°时，BC ＝BD ＋CD ＝9＋5＝14．∴ △ABC 的周长为：AB ＋BC ＋CA ＝15＋14＋13＝42．综上所述：△ABC 的周长为32或42．类型二、勾股定理及逆定理的综合应用2、已知如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ＝20，BC ＝32，D 是BC 上的一点，且AD ⊥AC ，求BD 的长．解：过点A 作AE ⊥BC 于E ．∵ AB ＝AC ，∴ BE ＝EC ＝12BC ＝1322⨯=16． 在Rt △ABE 中，AB ＝20，BE ＝16，∴ 222222016144AE AB BE =-=-=，∴ AE ＝12，在Rt △ADE 中，设DE ＝x ，则2222144AD AE DE x =+=+，∵ AD ⊥AC ，∴ 222AD AC CD +=，而22214420(16)x x ++=+． 解得：x ＝9．∴ BD ＝BE －DE ＝16－9＝7．3如图所示，在△ABC 中，D 是BC 边上的点，已知AB ＝13，AD ＝12，AC ＝15，BD ＝5，求DC 的长．解：在△ABD 中，由22212513+=可知：222AD BD AB +=，又由勾股定理的逆定理知∠ADB ＝90°． 在Rt △ADC 中，22281,9DC AC AD DC =-==．4、如果ΔABC 的三边分别为a b c 、、，且满足222506810a b c a b c +++=++，判断ΔABC 的形状.解：由222506810a b c a b c +++=++，得 ： 2226981610250a a b b c c -++-++-+=∴ 222(3)(4)(5)0a b c -+-+-= ∵ 222(3)0(4)0(5)0a b c -≥-≥-≥，， ∴ 3,4, 5.a b c ===∵ 222345+=, ∴ 222a b c +=.由勾股定理的逆定理得：△ABC 是直角三角形.6、如图①，一只蚂蚁在长方体木块的一个顶点A 处，食物在这个长方体上和蚂蚁相对的顶点B 处，蚂蚁急于吃到食物，所以沿着长方体的表面向上爬，请你计算它从A 处爬到B 处的最短路线长为多少?解：如图②③所示． 因为两点之间线段最短，所以最短的爬行路程就是线段AB 的长度．在图②中，由勾股定理，得222311130AB =+=． 在图③中，由勾股定理，得22268100AB =+=． 因为130＞100，所以图③中的AB 的长度最短，为10cm ，即蚂蚁需要爬行的最短路线长为10cm ．【变式】如图，有一个圆柱体，它的高为20，底面半径为5．如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的A 点，沿圆柱表面爬到与A 相对的上底面B 点，则蚂蚁爬的最短路线长约为___25___.(π取3)一.选择题 1．如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面3m 处折断，树顶端落在离树底部4m 处，则树折断之前高( )A.5mB.7mC.8mD.10m（1）（2） 2．如图，从台阶的下端点B 到上端点A 的直线距离为( )A.15B.16C.17D.183. 放学以后，小红和小颖分手，分别沿着东南方向和西南方向回家，若两人行走的速度都是40m/min ，小红用15min 到家，小颖用20min 到家，则小红和小颖家的距离为（ ）A ． 600mB ． 800mC ． 1000mD ． 不能确定4. 如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，点E 、F 是中线AD 上的两点，则图中阴影部分的面积是（ ）．A ．6B ．12C ．24D ．30（4）（6） （7） 5．下列三角形中，是直角三角形的是( )A.三角形的三边满足关系a b c +=B.三角形的三边比为1∶2∶3C.三角形的一边等于另一边的一半D.三角形的三边为9，40，416．某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a 元，则购买这种草皮至少需要( )A.450a 元B.225a 元C.150a 元D.300a 元7. 如图所示，正方形网格中的△ABC ，若小方格边长为1，则△ABC 是（ ）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上答案都不对8. 已知，如图长方形ABCD 中，AB ＝3cm ，AD ＝9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（ ） A.32cm B.42cm C.62cm D.122cm （8）（9）（11）二.填空题9. 根据下图中的数据，确定A= ，B= ，x= ．10．若一个三角形的三边长分别为6，8，10，则这个三角形中最短边上的高为______．11．如图，B ，C 是河岸边两点，A 是对岸岸边一点，测得∠ABC ＝45°，∠ACB ＝45°，BC ＝60米，则点A 到岸边BC 的距离是______米．（12） （14） （16）12．在直角三角形中，一条直角边为11cm，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为______．13. 如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若涂黑的四个小正方形的面cm，则其中最大的正方形的边长为______cm．积的和是16214．如图，平面上A、B两点处有甲、乙两只蚂蚁，它们都发现C处有食物，已知点C在A的东南方向，在B的西南方向.甲、乙两只蚂蚁同时从A、B两地出发爬向C处，速度都是30cm／min.结果甲蚂蚁用了2 min，乙蚂蚁2分40秒到达C处分享食物，两只蚂蚁原来所处地点相距_______cm.15. 小明要把一根长为70cm的长的木棒放到一个长、宽、高分别为50cm，40cm，30cm的木箱中，他能放进去吗？（填“能”或“不能”）．16．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，取斜边的中点，向斜边做垂线，画出一个新的等腰直角三角形，如此继续下去，直到所画直角三角形的斜边与△ABC的BC边重叠为止，此时这个三角形的斜边长为__________．三.解答题17.若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此三角形的面积.18．如图，两个村庄A、B在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC＝1千米，BD＝3 千米，CD＝3千米．现要在河边CD上建造一水厂，向A、B两村送自来水．铺设水管的工程费用为每千米20000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用W.（18）（19）（20）19．如图，△ABC中，∠A＝90°，AC＝20，AB＝10，延长AB到D，使CD＋DB＝AC＋AB，求BD的长．20.如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，B'为CD边上的点，CB'＝3．将纸片沿某条直线折叠，使点B 落在点B'处，点A的对应点为A'，折痕分别与AD，BC边交于点M，N．求BN的长.21如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连结CQ．(1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论．(2)若PA：PB：PC=3：4：5，连结PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．解：(1)猜想：AP=CQ证明：在△ABP 与△CBQ 中， ∵ AB=CB ，BP=BQ ，∠ABC=∠PBQ=60°∴ ∠ABP=∠ABC-∠PBC=∠PBQ-∠PBC=∠CBQ ∴ △ABP ≌△CBQ ∴ AP=CQ(2)由PA ：PB ：PC=3：4：5 可设PA=3a ，PB=4a ，PC=5a连结PQ ，在△PBQ 中，由于PB=BQ=4a ，且∠PBQ=60°∴ △PBQ 为正三角形 ∴ PQ=4a 于是在△PQC 中，∵∴ △PQC 是直角三角形 一.选择题1.【答案】C ；2.【答案】C ；【解析】距离为222815289AB =+=,AB=173.【答案】C 【解析】OA=40×20=800m ，OB=40×15=600m ，在直角△OAB 中，AB=1000m.4.【答案】A ；【解析】由题意BEF CEF S S =△△，∴ 13462ABD S S ==⨯⨯=△阴影． 5.【答案】D ；6.【答案】C ；【解析】作高，求得高为15 m ，所以面积为120151502⨯⨯=2m .7.【答案】A ； 【解析】AC 2＝13，AB 2＝52，BC 2＝65，满足勾股定理.8.【答案】C ；【解析】设AE ＝x ，则DE ＝BE ＝9－x ，在Rt △ABE 中，.二.填空题9.【答案】225；144；40；【解析】根据勾股定理直接求解即可．10．【答案】8； 11．【答案】30；12.【答案】132cm 【解析】由题意()222111n n +=+，解得60n =，所以周长为11＋60＋61＝132. 13.【答案】4；【解析】根据勾股定理，四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积.14．【答案】100； 【解析】依题知AC ＝60cm ，BC ＝80cm ，∴ AB 2＝602+802＝1002，AB=100cm ．15.【答案】能； 【解析】可设放入长方体盒子中的最大长度是xcm ，根据题意，得x 2=502+402+302=5000， 702=4900，因为4900＜5000，所以能放进去．16.【答案】81； 三.解答题17.解：设此直角三角形两直角边分别是3x ，4x ，由勾股定理得： ()()2223420x x +=化简得：216x =∴直角三角形的面积为： 21346962x x x ⨯⨯==. 18．解：作A 点关于CD 的对称点A ′，连结A ′B ，与CD 交点为O ．222223(13)255A B A E BE A B ''=+=++='=所以铺设水管的总费用W 为20000×5＝100000＝10万元. 19．解：设BD ＝x ，则CD ＝30－x ．在Rt △ACD 中根据勾股定理列出()222(30)1020x x -=++，解得x ＝5． 所以BD ＝5. 20.解：点A 与点A '，点B 与点B '分别关于直线MN 对称，∴AM A M '=，BN B N '=． 设BN B N x '==，则9CN x =-．∵ 正方形ABCD ， ∴ o 90C ∠=． ∴ 222CN B C B N ''+=．∵ C B '＝3，∴ 222(9)3x x -+=．解得5x =．∴ 5BN =.。

勾股定理全章复习与巩固学习目标1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题.知识网络要点梳理要点一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（即：）2.勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：（1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；（3）求作长度为的线段要点二、勾股定理的逆定理1.原命题与逆命题如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.2.勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为；（2）验证与是否具有相等关系，若，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形，反之，则不是直角三角形.3.勾股数满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.常见的勾股数：①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.如果()是勾股数，当t为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：1.较小的直角边为连续奇数；2.较长的直角边与对应斜边相差1.3.假设三个数分别为，且，那么存在成立.（例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等）要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.典型例题类型一、勾股定理及逆定理的简单应用1、已知直角三角形的两边长分别为6和8，求第三边的长．【变式】在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12．求△ABC的周长．2、如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝CB，M为AB上一点．求证：．【变式】已知，△ABC中，AB＝AC，D为BC上任一点，求证：.类型二、勾股定理及逆定理的综合应用3、已知如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝20，BC＝32，D是BC上的一点，且AD⊥AC，求BD的长．【变式】如图所示，已知△ABC中，∠B＝22.5°，AB的垂直平分线交BC于D，BD＝，AE⊥BC于E，求AE的长.4、如图①所示，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用表示，则不难证明．(1)如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用表示，那么之间有什么关系?(不必证明)(2)如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用表示，请你确定之间的关系并加以证明．5、如果ΔABC的三边分别为，且满足，判断ΔABC 的形状.类型三、勾股定理的实际应用6、如图①，一只蚂蚁在长方体木块的一个顶点A处，食物在这个长方体上和蚂蚁相对的顶点B处，蚂蚁急于吃到食物，所以沿着长方体的表面向上爬，请你计算它从A处爬到B 处的最短路线长为多少?【变式】如图，有一个圆柱体，它的高为20，底面半径为5．如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的A点，沿圆柱表面爬到与A相对的上底面B点，则蚂蚁爬的最短路线长约为______.(π取3)巩固练习一.选择题1．如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面3处折断，树顶端落在离树底部4处，则树折断之前高( )A.5B.7C.8D.102．如图，从台阶的下端点B到上端点A的直线距离为( )A. B.C. D.3. 下列命题中是假命题的是（）A.三个内角的度数之比为：3：4的三角形是直角三角形；B.三个内角的度数之比为：：2的三角形是直角三角形；C.三边长度之比：：2的三角形是直角三角形；D.三边长度之比：：2的三角形是直角三角形；4. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点E、F是中线AD上的两点，则图中阴影部分的面积是（）．A．6 B．12 C．24 D．305．下列三角形中，是直角三角形的是( )A.三角形的三边满足关系B.三角形的三边比为1∶2∶3C.三角形的一边等于另一边的一半D.三角形的三边为9，40，416．某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价元，则购买这种草皮至少需要( )A.450元B.225元C.150元D.300元7. 如图所示，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC是（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上答案都不对8. 已知，如图长方形ABCD中，AB＝3，AD＝9，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A.3B.4C.6D.12二.填空题9．若一个三角形的三边长分别为6，8，10，则这个三角形中最短边上的高为______．10．若等边三角形的边长为2，则它的面积为______．11．如图，B，C是河岸边两点，A是对岸岸边一点，测得∠ABC＝45°，∠ACB＝45°，BC＝60米，则点A到岸边BC的距离是______米．12. 下列命题中，其逆命题成立的是______________．（只填写序号）①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；④如果三角形的三边长满足，那么这个三角形是直角三角形．13. 长为4 的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角(如图所示)，则梯子的顶端沿墙面升高了______．14．在直角三角形中，一条直角边为11，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为______．15. 如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若涂黑的四个小正方形的面积的和是10，则其中最大的正方形的边长为______．16．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，取斜边的中点，向斜边做垂线，画出一个新的等腰直角三角形，如此继续下去，直到所画直角三角形的斜边与△ABC的BC边重叠为止，此时这个三角形的斜边长为__________．三.解答题17. 若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此三角形的面积.18．如图，两个村庄A、B在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC＝1千米，BD＝3 千米，CD＝3千米．现要在河边CD上建造一水厂，向A、B两村送自来水．铺设水管的工程费用为每千米20000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用W．19．如图，△ABC中，∠A＝90°，AC＝20，AB＝10，延长AB到D，使CD＋DB＝AC ＋AB，求BD的长．20. 如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，为CD边上的点，＝3．将纸片沿某条直线折叠，使点B落在点处，点A的对应点为，折痕分别与AD，BC边交于点M，N．求BN的长.。

《勾股定理》典型例题分析一、知识要点：1、勾股定理 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

也就是说：如果直角三角形的两直角边为a 、b ，斜边为c ，那么 a 2 + b 2= c 2。

公式的变形：a 2 = c 2- b 2， b 2= c 2-a 2 。

2、勾股定理的逆定理如果三角形ABC 的三边长分别是a ，b ，c ，且满足a 2 + b 2= c 2，那么三角形ABC 是直角三角形。

这个定理叫做勾股定理的逆定理.该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点：① 已知的条件：某三角形的三条边的长度.②满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方.③得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角.④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。

3、勾股数满足a 2 + b 2= c 2的三个正整数，称为勾股数。

注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。

②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。

常见勾股数有：（3，4，5?）(5，12，13?) (?6，8，10?)?(?7，24，25?)?(?8，15，17?)(9，12，15?)?4、最短距离问题：主要运用的依据是两点之间线段最短。

二、考点剖析考点一：利用勾股定理求面积1、求阴影部分面积：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆．2. 如图，以Rt △ABC 的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系．3、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S 1、S 2、S 3，则它们之间的关系是（ ）A. S 1- S 2= S 3B. S 1+ S 2= S 3C. S 2+S 3< S 1D. S 2- S 3=S 14、四边形ABCD 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD 的面积。

勾股定理全章复习与巩固学习目标1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；2.理解并掌握勾股定理及逆定理的容；3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题.知识网络要点梳理要点一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（即：）2.勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：（1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；（3）求作长度为的线段要点二、勾股定理的逆定理1.原命题与逆命题如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.2.勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为；（2）验证与是否具有相等关系，若，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形，反之，则不是直角三角形.3.勾股数满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.常见的勾股数：①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.如果()是勾股数，当t为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：1.较小的直角边为连续奇数；2.较长的直角边与对应斜边相差1.3.假设三个数分别为，且，那么存在成立.（例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等）要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.典型例题类型一、勾股定理及逆定理的简单应用1、已知直角三角形的两边长分别为6和8，求第三边的长．【变式】在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12．求△ABC的周长．2、如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝CB，M为AB上一点．求证：．【变式】已知，△ABC中，AB＝AC，D为BC上任一点，求证：.类型二、勾股定理及逆定理的综合应用3、已知如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝20，BC＝32，D是BC上的一点，且AD ⊥AC，求BD的长．【变式】如图所示，已知△ABC中，∠B＝22.5°，AB的垂直平分线交BC于D，BD＝，AE⊥BC于E，求AE的长.4、如图①所示，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用表示，则不难证明．(1)如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用表示，那么之间有什么关系?(不必证明)(2)如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用表示，请你确定之间的关系并加以证明．5、如果ΔABC的三边分别为，且满足，判断ΔABC的形状.类型三、勾股定理的实际应用6、如图①，一只蚂蚁在长方体木块的一个顶点A处，食物在这个长方体上和蚂蚁相对的顶点B处，蚂蚁急于吃到食物，所以沿着长方体的表面向上爬，请你计算它从A处爬到B处的最短路线长为多少?【变式】如图，有一个圆柱体，它的高为20，底面半径为5．如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的A点，沿圆柱表面爬到与A相对的上底面B点，则蚂蚁爬的最短路线长约为______.(π取3)巩固练习一.选择题1．如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面3处折断，树顶端落在离树底部4处，则树折断之前高( )A.5B.7C.8D.102．如图，从台阶的下端点B到上端点A的直线距离为( )A. B.C. D.3. 下列命题中是假命题的是（）A.三个角的度数之比为：3：4的三角形是直角三角形；B.三个角的度数之比为：：2的三角形是直角三角形；C.三边长度之比：：2的三角形是直角三角形；D.三边长度之比：：2的三角形是直角三角形；4. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点E、F是中线AD上的两点，则图中阴影部分的面积是（）．A．6 B．12 C．24 D．305．下列三角形中，是直角三角形的是( )A.三角形的三边满足关系B.三角形的三边比为1∶2∶3C.三角形的一边等于另一边的一半D.三角形的三边为9，40，416．某市在旧城改造中，计划在市一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价元，则购买这种草皮至少需要( )A.450元B.225元C.150元D.300元7. 如图所示，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC是（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上答案都不对8. 已知，如图长方形ABCD中，AB＝3，AD＝9，将此长方形折叠，使点B 与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A.3B.4C.6D.12二.填空题9．若一个三角形的三边长分别为6，8，10，则这个三角形中最短边上的高为______．10．若等边三角形的边长为2，则它的面积为______．11．如图，B，C是河岸边两点，A是对岸岸边一点，测得∠ABC＝45°，∠ACB＝45°，BC＝60米，则点A到岸边BC的距离是______米．12. 下列命题中，其逆命题成立的是______________．（只填写序号）①同旁角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；④如果三角形的三边长满足，那么这个三角形是直角三角形．13. 长为4 的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角(如图所示)，则梯子的顶端沿墙面升高了______．14．在直角三角形中，一条直角边为11，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为______．15. 如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若涂黑的四个小正方形的面积的和是10，则其中最大的正方形的边长为______．16．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，取斜边的中点，向斜边做垂线，画出一个新的等腰直角三角形，如此继续下去，直到所画直角三角形的斜边与△ABC的BC 边重叠为止，此时这个三角形的斜边长为__________．三.解答题17. 若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此三角形的面积.18．如图，两个村庄A、B在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC＝1千米，BD＝3 千米，CD＝3千米．现要在河边CD上建造一水厂，向A、B两村送自来水．铺设水管的工程费用为每千米20000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用W．19．如图，△ABC中，∠A＝90°，AC＝20，AB＝10，延长AB到D，使CD＋DB ＝AC＋AB，求BD的长．20. 如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，为CD边上的点，＝3．将纸片沿某条直线折叠，使点B落在点处，点A的对应点为，折痕分别与AD，BC边交于点M，N．求BN的长.。

勾股定理复习讲义内容一、第一单元知识结构二、典例归类考点1：面积及面积的应用例1、若直角三角形的两直角边为7和24，在三角形内有一点P 到三边的距离相等，这个距离为。

例2、在直线l 上依次放着七个正方形，如图所示，已知斜放置地三个的正方形的面积分别是1，2，3，正放着的四个正方形面积依次是,,,,1S S S S 则=+++S S S S 。

对应练习:1、如上右图，每个小方格都是边长为1的正方形， （1）求图四边形ABCD 的各边的长。

（2）求∠ADC 的度数L3、如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC ，AD=3，AB=4，∠B=60°，则梯形的面积总结归纳： 。

考点2、距离（最短距离）问题例3、如图所示，圆柱的底面周长为6cm ，AC 是底面圆的直径，高BC ＝ 6cm ，点是母线上一点且＝．一只蚂蚁从A 点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P 的最短距离是.如图所示，有一个长方体，它的长、宽、高分别为5，3，4。

在点A ’处有一只蚂蚁，它想吃到与点A ’相对的C 点的食物，沿长方体表面需要爬行的最短路程是多少？对应练习: 1、如图，边长为1的立方体中，一只蚂蚁从A 顶点出发沿着立方体的外表面爬到B 顶点的最短路程是（ ） A 、3 B 、 C 、 D 、12、如上图，则正方体中能放入的最大长度为。

总结归纳：。

考点3：判断三角形的形状例4、如果ΔABC 的三边分别为a 、b 、c ，且满足a 2+b 2+c 2+50=6a+8b+10c ，判断ΔABC 的形状。

P BC PC 23BC对应练习:1、下面的三角形中：①△ABC中，∠C=∠A－∠B；②△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3；③△ABC中，a：b：c=3：4：5；④△ABC中，三边长分别为8，15，17．其中是直角三角形的个数有（）．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2、已知a，b，c为△ABC三边，且满足(a2－b2)(a2+b2－c2)＝0，则它的形状为三角形A.直角B.等腰C.等腰直角D.等腰或直角考点4：勾股定理与实际问题结合例6、如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF的长。

勾股定理全章复习与巩固（提高）【学习目标】1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题.【知识网络】【要点梳理】【高清课堂 勾股定理全章复习 知识要点】要点一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形两直角边a b 、的平方和等于斜边c 的平方.（即：222a b c +=）2.勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：（1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；（3）求作长度为的线段.要点二、勾股定理的逆定理1.原命题与逆命题如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.2.勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a b c 、、，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形. 应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为c ；（2）验证2c 与22a b +是否具有相等关系，若222a b c +=，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形，反之，则不是直角三角形.3.勾股数满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.如果(a b c 、、)是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：1.较小的直角边为连续奇数；2.较长的直角边与对应斜边相差1.3.假设三个数分别为a b c 、、，且a b c <<，那么存在2a b c =+成立.（例如④中存在27＝24＋25、29＝40＋41等）要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.【典型例题】类型一、勾股定理及逆定理的应用1、如图所示，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，AD ＝35，AB ＝105，BC 85=，E 是AB 上一点，且AE ＝45，求点E 到CD 的距离EF ．【思路点拨】连接DE 、CE 将EF 转化为△DCE 一边CD 上的高，根据题目所给的条件，容易求出△CDE 的面积，所以利用面积法只需求出CD 的长度，即可求出EF 的长度，过点D 作DH ⊥BC 于H ，在Rt △DCH 中利用勾股定理即可求出DC ．。

《勾股定理》全章复习与巩固（提高）【学习目标】1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题.【知识网络】【要点梳理】要点一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形两直角边a、b 的平方和等于斜边c 的平方.（即：a2+b2=c2）2.勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：（1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；（3）解决与勾股定理有关的面积计算；（4）勾股定理在实际生活中的应用．要点二、勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c ，满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为c ；（2）验证：a2+b2与c2是否具有相等关系：若a2+b2=c2，则△ABC 是以∠C 为90°的直角三角形；若a2+b2∴c2时，△ABC 是锐角三角形；若a2+b2∴c2时，△ABC 是钝角三角形．2.勾股数满足不定方程x2+y2=z2的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x、y、z 为三边长的三角形一定是直角三角形.要点诠释：常见的勾股数：①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.如果( a、b、c )是勾股数，当t 为正整数时，以at、b、t ct 为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：1.较小的直角边为连续奇数；2.较长的直角边与对应斜边相差1.3.假设三个数分别为a、b、c ，且a <b <c ，那么存在a2=b +c 成立.（例如④中存在72＝24＋25、92＝40＋41 等）要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.【典型例题】类型一、勾股定理及逆定理的应用1、如图所示，等腰直角△ABC 中，∠ACB＝90°，E、F 为AB 上两点(E 左F 右)，且∠ECF＝45°，求证：AE2+BF 2=EF 2.【思路点拨】由于∠ACB＝90°，∠ECF＝45°，所以∠ACE＋∠BCF＝45°，若将∠ACE 和∠BCF 合在一起则为一特殊角45°，于是想到将△ACE 旋转到△BCF 的右外侧合并，或将△ BCF 绕C 点旋转到△ACE 的左外侧合并，旋转后的BF 边与AE 边组成一个直角，联想勾股定理即可证明．【答案与解析】解：(1) AE2+BF 2=EF 2，理由如下：将△BCF 绕点C 旋转得△ACF′，使△BCF 的BC 与AC 边重合，即△ACF′≌△BCF，∵在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠CAF′＝∠B＝45°，∴ ∠EAF′＝90°．∵∠ECF＝45°，∴∠ACE＋∠BCF＝45°．∵∠ACF′＝∠BCF，∴∠ECF′＝45°．⎨ ⎩⎧CE = CE ⎪∠ECF ' = ∠ECF = 45°⎪CF = CF ' ∴ △ECF ≌△ECF′(SAS)，∴ EF ＝EF′． 在 Rt △AEF′中， AE 2 + F 'A 2 = F'E 2 ，∴ AE 2 + BF 2 = EF 2 ．【总结升华】若一个角的内部含有同顶点的半角，(如平角内含直角，90°角内含 45°角， 120°角内含 60°角)，则常常利用旋转法将剩下的部分拼接在一起组成又一个半角，然后利用角平分线、全等三角形等知识解决问题．举一反三：【变式】已知凸四边形 ABCD 中，∠ABC ＝30°，∠ADC ＝60°，AD ＝DC ，求证： BD 2 = AB 2 + BC 2 .【答案】解：将△ABD 绕点 D 顺时针旋转 60°．由于 DC ＝AD ，故点 A 转至点 C ．点 B 转至点 E ，连结 BE ．∵ BD ＝DE ，∠BDE ＝60°∴ △BDE 为等边三角形，BE ＝BD易证△DAB ≌△DCE ，∠A ＝∠2，CE ＝AB∵ 四边形 ADCB 中∠ADC ＝60°，∠ABC ＝30°∴ ∠A ＋∠1＝360°－60°－30°＝270°∴ ∠1＋∠2＝∠1＋∠A ＝270°∴ ∠3＝360°－(∠1＋∠2)＝90°∴ BC 2 + CE 2 = BE 2∴ BC 2 + AB 2 = BD 22、如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，P 是△ABC 内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC 的度数．【答案与解析】解：如图，做∠ECB=∠PCA ，且使 CE=CP ，连结 EP ，EB⎨ ⎩⎧ AC = BC ⎪∠PCA = ∠ECB⎪PC = EC ∴△APC ≌△BEC∴△PCE 为等腰直角三角形∴∠CPE=45°，PE 2=PC 2+CE 2=8又∵PB 2=1，BE 2=9∴PE 2+ PB 2= BE 2则∠BPE=90°∴∠BPC=135°【总结升华】本题考查了勾股定理的逆定理，通过观察所要求的角度，作出辅助线，把PA 、PB 、PC 的长度转化为一个三角形三条边，构造出直角三角形是解题的关键，当然此题也可以利用旋转的思想来解，即将△APC 绕点 C 旋转，使 CA 与 CB 重合即△APC ≌△ BEC.类型二、勾股定理及逆定理的综合应用3、（2016 春•丰城市期末）如图，已知四边形 ABCD 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形 ABCD 的面积．【思路点拨】连接 AC ，在直角三角形 ABC 中，由 AB 及 BC 的长，利用勾股定理求出AC 的长，再由 AD 及 CD 的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形 ACD 为直角三角形， 根据四边形 ABCD 的面积=直角三角形 ABC 的面积+直角三角形 ACD 的面积，即可求出四边形的面积．【答案与解析】解：连接 AC ，如图所示：∵∠B=90°，∴△ABC 为直角三角形，又∵AB=3，BC=4，∴根据勾股定理得：AC 2=25，又∵CD=12，AD=13，∴AD 2=132=169，CD 2+AC 2=122+52=144+25=169，∴CD 2+AC 2=AD 2，∴△ACD 为直角三角形，∠ACD=90°，则 S 四边形 ABCD =S △ABC +S △ACD =AB •BC + AC •CD= ×3×4+×5×12=36．故四边形 ABCD 的面积是 36．【总结升华】此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理及勾股定理的逆定理是解本题的关键．4、如图：正方形ABCD 中，E 是DC 中点，F 是EC 中点.求证：∠BAF=2∠EAD.【答案与解析】证明：取BC 中点G，连结AG 并延长交DC 延长线于H∵∠ABG=∠HCG，BG=CG，∠AGB=∠HGC∴△GAB≌△HCG∴∠GAB=∠H，AB=CH又∵ AB=AD，∠B=∠D，BG=DE∴△ABG≌△ADE∴∠GAB=∠DAE在R t∴ADF 中，设AD =a ，由勾股定理得：AF 2=AD2+DF 2=a2+ ( 3a)2=25a24 16 ∴AF =5 a4HF =CH +CF =a +a=5a又 4 4∴AF=HF∴∠FAH=∠H∴∠FAH=∠DAE∴∠BAF=2∠DAE【总结升华】要证∠BAF=2∠EAD，一般方法是在∠BAF 中取一个角使之等于∠EAD，再证明另一个角也等于∠EAD，另一种方法是把小角扩大一倍，看它是否等于较大的角.举一反三：【变式】（2014 春•防城区期末）如图所示，在△ABC 中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为36cm，点P 从点A 开始沿边向B 点以每秒1cm 的速度移动；点Q 从点B 沿BC 边向点C 以每秒2cm 的速度移动，如果同时出发，问过3 秒时，△BPQ 的面积为多少？【答案】解：设AB 为3xcm，BC 为4xcm，AC 为5xcm，∵周长为36cm，AB+BC+AC=36cm，∴3x+4x+5x=36，得x=3，∴AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm，∵AB2+BC2=AC2，∴△ABC 是直角三角形，过3 秒时，BP=9﹣3×1=6（cm），BQ=2×3=6（cm），∴S△PBQ=BP•BQ=×（9﹣3）×6=18（cm2）．故过3 秒时，△BPQ 的面积为18cm2．类型三、勾股定理的实际应用5、如图所示，牧童在A 处放牛，其家在B 处，A、B 到河岸的距离分别为AC＝400 米，BD＝200 米，CD＝800 米，牧童从A 处把牛牵到河边饮水后再回家．试问在何处饮水，所走路程最短？最短路程是多少？【思路点拨】作点A 关于直线CD 的对称点G，连接GB，交CD 于点E，利用“两点之间线段最短”可知应在E 处饮水，再根据对称性知GB 的长为所走的最短路程，然后构造直角三角形，利用勾股定理可解决．【答案与解析】解：作点A 关于直线CD 的对称点G，连接GB 交CD 于点E，由“两点之间线段最短”可以知道在E 点处饮水，所走路程最短．说明如下：在直线CD 上任意取一异于点E 的点I，连接AI、AE、BE、BI、GI、GE．∵点G、A 关于直线CD 对称，∴AI＝GI，AE＝GE．由“两点之间线段最短”或“三角形中两边之和大于第三边”可得GI＋BI＞GB＝AE＋BE，于是得证．最短路程为GB 的长，自点B 作CD 的垂线，自点G 作BD 的垂线交于点H，在直角三角形GHB 中，∵GH＝CD＝800，BH＝BD＋DH＝BD＋GC＝BD＋AC＝200＋400＝600，∴由勾股定理得GB2=GH 2+BH 2= 8002+ 6002=1000000 ．∴GB＝1000，即最短路程为1000 米．【总结升华】这是一道有关极值的典型题目．解决这类题目，一方面要考虑“两点之间线段最短”；另一方面，证明最值，常常另选一个量，通过与求证的那个“最大”“最小”的量进行比较来证明，如本题中的I 点．本题体现了勾股定理在实际生活中的应用．举一反三：【变式】如图所示，正方形ABCD 的AB 边上有一点E，AE＝3，EB＝1，在AC 上有一点P，使EP＋BP 最短．求EP＋BP 的最小值．【答案】解：根据正方形的对称性可知：BP＝DP，连接DE，交AC 于P，ED＝EP＋DP＝EP＋BP，即最短距离EP＋BP 也就是ED．∵AE＝3，EB＝1，∴AB＝AE＋EB＝4，∴AD＝4，根据勾股定理得：ED2=AE2+AD2= 32+ 42= 25 ．∵ED＞0，∴ED＝5，∴ 最短距离EP＋BP＝5．6、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．如图台风中心在我国台湾海峡的B 处，在沿海城市福州A 的正南方向240 千米，其中心风力为12 级，每远离台风中心25 千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20 千米/时的速度沿北偏东30°方向向C 移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力达到或超过4 级，则称受台风影响．试问：（1）该城市是否会受到台风影响？请说明理由．（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？【答案与解析】解：（1）该城市会受到台风影响．理由：如图，过点A 作AD⊥BC 于D 点，则AD 即为该城市距离台风中心的最短距离．在Rt△ABD 中，因为∠B=30°，AB=240．∴AD＝1AB =21×240＝120（千米）．2由题可知，距台风中心在（12-4）×25=200（千米）以内时，则会受到台风影响．因为120＜200，因此该城市将会受到影响．（2）依题（1）可知，当点A 距台风中心不超过200 千米时，会受台风影响，故在BC 上作AE=AF=200；台风中心从点E 移动到点F 处时，该城市会处在台风影响范围之内．（如图）由勾股定理得，DE2=AE2-AD2= 2002-1202= 25600DE＝160（千米）．所以EF=2×160=320（千米）．又知台风中心以20 千米/时的速度移动．所以台风影响该城市320÷20=16（小时）．（3）∵AD 距台风中心最近，∴该城市受到这次台风最大风力为：12-（120÷25）=7.2（级）．答：该城市受台风影响最大风力7.2 级．【总结升华】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到直角三角形中，运用勾股定理使问题解决．【巩固练习】一．选择题1．在△ABC 中，若a =n 2-1, b= 2n, c =n 2+1，则△ABC 是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．直角三角形2.如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为（）A．90°B．60°C．45°D．30°3．（2015 春•西华县期末）下列满足条件的三角形中，不是直角三角形的是（）A．三内角之比为1：2：3 B．三边长的平方之比为1：2：3C．三边长之比为3：4：5 D．三内角之比为3：4：5 4．如图，一牧童在A 处牧马，牧童家在B 处，A、B 处距河岸的距离AC、BD 的长分别为500m 和700m，且C、D 两地的距离为500m，天黑前牧童从A 点将马牵引到河边去饮水后，再赶回家，那么牧童至少要走（）A．2900m B．1200m C．1300m D．1700m5.直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边上的高为h，则下列各式中总能成立的是（）A．ab=h2 B．a2+b2=h2 C．1+1=1a b hD．1+1=1a2 b2 h26.如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°，CD⊥AB 于点D，AB＝13，CD＝6，则(AC＋BC)2 等于( )A．25 B．325 C．2197 D．4057.已知三角形的三边长为a、b、c ，由下列条件能构成直角三角形的是（）A．a2=(m -1)2, b2= 4m2, c2=(m +1)2B．a2=(m -1)2, b2= 4m, c2=(m +1)2C．a2=(m -1)2, b2= 2m, c2=(m +1)2D．a2=(m -1)2, b2= 2m2, c2=(m +1)28．（2016•连云港）如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为S1、S2、S3；如图2，分别以直角三角形三个顶点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等的扇形，面积分别为S4、S5、S6．其中S1=16，S2=45，S5=11，S6=14，则S3+S4=（）A．86 B．64 C．54 D．48二．填空题9.如图，AB＝5，AC＝3，BC 边上的中线AD＝2，则△ABC 的面积为．10.如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AB＝6，BC＝8，将直角边AB 折叠使它落在斜边AC 上，折痕为AD，则BD＝．11.已知：△ABC 中，AB＝15，AC＝13，BC 边上的高AD＝12，BC＝．12.如图，E 是边长为4cm 的正方形ABCD 的边AB 上一点，且AE=1cm，P 为对角线BD 上的任意一点，则AP+EP 的最小值是cm．13.如图，长方体的底面边长分别为1cm 和2cm，高为4cm，点P 在边BC 上，且1BP=BC．如果用一根细线从点A 开始经过3 个侧面缠绕一圈到达点P，那么所用细4线最短需要cm．14．（2014 春•监利县期末）小明把一根70cm 长的木棒放到一个长宽高分别为30cm，40cm，50cm 的木箱中，他能放进去吗？答：（选填“能”或“不能”）．15．（2016 春•浠水县期末）如图，AD=8，CD=6，∠ADC=90°，AB=26，BC=24，该图形的面积等于．16．如图所示，在△ABC 中，AB＝5，AC＝13，BC 边上的中线AD＝6，∠BAD＝．三．解答题17．（2016 春•召陵区月考）能够成为直角三角形边长的三个正整数，我们称之为一组勾股数，观察表格所给出的三个数a，b，c，a＜b＜c．（1）试找出它们的共同点，并证明你的结论；（2）写出当a=17 时，b，c 的值．3，4，5 32+42=525，12，13，52+122=1327，24，25 72+242=2529，40，41 92+402=412……17，b，c 172+b2=c218.如图等腰△ABC 的底边长为8cm，腰长为5cm，一个动点P 在底边上从B 向C 以0．25cm/s 的速度移动，请你探究，当P 运动几秒时，P 点与顶点A 的连线PA 与腰垂直．19．（2015•永州）如图，有两条公路OM、ON 相交成30°角，沿公路OM 方向离O 点80米处有一所学校A．当重型运输卡车P 沿道路ON 方向行驶时，在以P 为圆心50 米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P 与学校A 的距离越近噪声影响越大．若一直重型运输卡车P 沿道路ON 方向行驶的速度为18 千米/时．（1）求对学校A 的噪声影响最大时卡车P 与学校A 的距离；（2）求卡车P 沿道路ON 方向行驶一次给学校A 带来噪声影响的时间．20．如图1，四根长度一定的木条，其中AB＝6 cm ，CD＝15 cm ，将这四根木条用小钉绞合在一起，构成一个四边形ABCD（在A、B、C、D 四点处是可以活动的）．现固定AB 边不动，转动这个四边形，使它的形状改变，在转动的过程中有以下两个特殊位置．位置一：当点D 在BA 的延长线上时，点C 在线段AD 上（如图2）；位置二：当点C 在AB 的延长线上时，∠C＝90°．（1）在图2 中，若设BC 的长为x ，请用x 的代数式表示AD 的长；（2）在图3 中画出位置二的准确图形；（各木条长度需符合题目要求）（3）利用图2、图3 求图1 的四边形ABCD 中，BC、AD 边的长．【答案与解析】一．选择题1.【答案】D；【解析】因为c2-a2=(n2+1+n2-1)(n2+1-n2+1)＝4 n2=b2，所以c2-a2=b2，a2+b2=c2，由勾股定理的逆定理可知：△ABC 是直角三角形．2.【答案】C；【解析】连接AC，计算AC2＝BC2＝5,AB2＝10,根据勾股定理的逆定理，△ABC 是等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°．3.【答案】D；【解析】解：A、因为根据三角形内角和定理可求出三个角分别为30 度，60 度，90 度，( ) ( ) 所以是直角三角形，故正确；B 、因为其符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形，故正确；C 、因为其符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形，故正确；D 、因为根据三角形内角和公式得三个角中没有 90°角，所以不是直角三角形， 故不正确．故选D ． 4．【答案】C ；【解析】作 A 点关于河岸的对称点 A′，连接 BA′交河岸与 P ，则 PB+PA=PB+PA′=BA′最短，如图，BB′=BD+DB′=1200，B′A′=500，BA′=1300（m ）．5. 【答案】D ；ab【解析】解：根据直角三角形的面积可以导出： c =．再结合勾股定理： ha 2+b 2=c 2．进行等量代换，得 a 2+b 2=1 1 1 a 2b2 h 2 ．两边同除以 a 2b 2， 得 + = ． a 2 b 2 h 2 6. 【答案】B ；【解析】(AC + BC )2 = AC 2 + BC 2 + 2 A C ⋅ BC = AB 2 + 2 A B ⋅ C D ＝169＋2×13×6＝3 25． 7. 【答案】B ；m -1 2 + 4m = m +1 2 【解析】 ．8. 【答案】C ；【解析】解：如图 1，S 1=AC 2，S 2= AB 2，S 3= BC 2， ∵BC 2=AB 2﹣AC 2，∴S 2﹣S 1=S 3，如图 2，S 4=S 5+S 6，∴S 3+S 4=45﹣16+11+14=54．故选 C ．二．填空题9.【答案】6；【解析】延长AD 到E，使DE＝AD，连结BE，可得△ABE 为直角三角形．10.【答案】3；【解析】设点B 落在AC 上的E 点处，设BD＝x ，则DE＝BD＝x ，AE＝AB＝6，CE＝4，CD＝8－x ，在Rt△CDE 中根据勾股定理列方程．1.【答案】14 或4；【解析】当△ABC 是锐角三角形时，BC＝9＋5＝14；当△ABC 是钝角三角形时，BC＝9－5＝4．12．【答案】5【解析】作E 点关于直线BD 的对称点E′，连接AE′，则线段AE′的长即为AP+EP 的最小值5．13.【答案】5【解析】∵长方体的底面边长分别为1cm 和2cm，高为4cm，点P 在边BC 上，且1 BP=43BC，∴AC=4cm，PC=4BC=3cm，根据两点之间线段最短，AP=5．14.【答案】能；【解析】解：可设放入长方体盒子中的最大长度是xcm，根据题意，得x2=502+402+302=5000，702=4900，因为4900＜5000，所以能放进去．15.【答案】96；【解析】连接AC，在Rt△ACD 中，AD=8，CD=6，∴AC2=100，在△ABC 中，∵AC2+BC2=102+242=262=AB2，∴△ABC 为直角三角形；∴图形面积为：S△ABC﹣S△ACD= ×10×24﹣×6×8=96．16.【答案】90°；【解析】延长AD 到M，使DM＝AD，易得△ABD≌△MCD．∴ CM＝AB＝5 AM＝2AD＝12 在△ACM 中52+122=132即CM 2+AM 2=AC 2∴∠AMC＝∠BAD=90°三．解答题17.【解析】解：（1）以上各组数的共同点可以从以下方面分析：①以上各组数均满足a2+b2=c2；②最小的数（a）是奇数，其余的两个数是连续的正整数；③最小奇数的平方等于另两个连续整数的和，如32=9=4+5，52=25=12+13，72=49=24+25，92=81=40+41…由以上特点我们可猜想并证明这样一个结论：设m 为大于1 的奇数，将m2 拆分为两个连续的整数之和，即m2=n+（n+1），则m，n，n+1 就构成一组简单的勾股数，证明：∵m2=n+（n+1）（m 为大于1 的奇数），∴m2+n2=2n+1+n2=（n+1）2，∴m，n，（n+1）是一组勾股数；（2）运用以上结论，当a=17 时，∵172=289=144+145，∴b=144，c=145．18.【解析】解：如图，作AD⊥BC，交BC 于点D，∵BC=8cm，∴BD=CD= BC=4cm，∴AD=3，分两种情况：当点P 运动t 秒后有PA⊥AC 时，∵AP2=PD2+AD2=PC2﹣AC2，∴PD2+AD2=PC2﹣AC2，∴PD2+32=（PD+4）2﹣52∴PD=2．25，∴BP=4﹣2．25=1．75=0．25t，∴t=7 秒，当点P 运动t 秒后有PA⊥AB 时，同理可证得PD=2．25，∴BP=4+2．25=6．25=0．25t，∴t=25 秒，∴点P 运动的时间为7 秒或25 秒．19.【解析】解：（1）过点A 作AD⊥ON 于点D，∵∠NOM=30°，AO=80m，∴AD=40m，即对学校A 的噪声影响最大时卡车P 与学校A 的距离为40 米；（2）由图可知：以50m 为半径画圆，分别交ON 于B，C 两点，AD⊥BC，BD=CD= BC，OA=80m，∵在Rt△AOD 中，∠AOB=30°，∴AD= OA= ×80=40m，在Rt△ABD 中，AB=50，AD=40，由勾股定理得：BD= ==30m，故BC=2×30=60 米，即重型运输卡车在经过BD 时对学校产生影响．∵重型运输卡车的速度为18 千米/小时，即=300 米/分钟，∴重型运输卡车经过BD 时需要60÷300=0．2（分钟）=12（秒）．答：卡车P 沿道路ON 方向行驶一次给学校A 带来噪声影响的时间为12 秒．20.【解析】解：（1）∵在四边形ABCD 转动的过程中，BC、AD 边的长度始终保持不变，BC＝x ，∴在图2 中，AC＝BC－AB＝x －6，AD＝AC＋CD＝x ＋9．（2）位置二的图形见图3．（3）∵在四边形ABCD 转动的过程中，BC、AD 边的长度始终保持不变，∴在图3 中，BC＝x ，AC＝AB＋BC＝6＋x ，AD＝x ＋9．在△ACD 中，∠C＝90°由勾股定理得AC 2+CD2=AD2．∴ (6 +x)2+152= (x + 9)2．整理，得x2+12x + 36 + 225 =x2+18x + 81 ．化简，得 6 x ＝180．解得x ＝30．即BC＝30．∴AD＝39．。