八年级数学《勾股定理》讲义

初二数学讲义勾股定理一．知识归纳１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证． （方法一）（方法二）（方法三）a b ccb a E DC B A方法二： 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以A B方法三：，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证 ３.勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =-②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题5.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数） 2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数） 例题解析题型一：直接考查勾股定理例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长分析：直接应用勾股定理222a b c +=考点一、已知两边求第三边例．已知，如图在ΔABC 中，AB=BC=CA=2cm ，AD 是边BC 上的高．求 ①AD 的长；②ΔABC 的面积．练习一1．已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长________________．2.（2009年滨州）某楼梯的侧面视图如图4所示，其中4AB =米，30BAC ∠=°， 90C ∠=°，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB 段 楼梯所铺地毯的长度应为 ．3．在数轴上作出表示10的点．4．三角形ABC 中,AB=10,AC=17,BC 边上的高线AD=8,求BC题型二：应用勾股定理建立方程例２.⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝ ⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为 分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜B CA 30CB A DE F 边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长 例4.如图Rt ABC ∆，90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积考点二、利用列方程求线段的长例．如图，铁路上A ，B 两点相距25km ，C ，D 为两村庄，DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，已知DA=15km ，CB=10km ，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C ，D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在离A 站多少km 处？ 练习二 如图，小红用一张长方形纸片ABCD 进行折纸，已知该纸片宽AB 为8cm ，•长BC•为10cm ．当小红折叠时，顶点D 落在BC 边上的点F 处（折痕为AE ）．想一想，此时EC 有多长？•题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了m题型四：与展开图有关的计算例4、如图一个圆柱，底圆周长6cm ，高4cm ，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A 点爬到B 点，则最少要爬行 cm题型五：勾股定理的实际应用 用勾股定理求两点之间的距离问题例、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A 点出发，沿北偏东60°A DE B CA B C D E 第7题F E D CB A 第9题 方向走了到达B 点，然后再沿北偏西30°方向走了500m 到达目的地C点。

c b a H G F E D C B A 勾股定理知识点一、勾股定理的概念知识概念：勾股定理是指，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

中国古代称直角三角形为“勾股形”， 因此把这个定理称为“勾股定理”。

在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，因此这个定理也叫做“毕达哥拉斯定理”在Rt △ACB 中，根据勾股定理：222a b c +=中国古代数学家赵爽的证明方法：将四个全等的直角三角形摆成如图所示的图形4AGB S ∆+S 正方形EFGH =ABCD S 正方形，2214()2ab b a c ⨯+-= 化简可证a 2+b 2＝c 2例1、在Rt △ABC 中，∠C=90°(1)已知a=3， b=4，求c (2)已知a=9，b=40，求c (3)已知a=6，c=10，求b1、在Rt △ABC 中，∠C=90°(1)已知a=5， b=12，求c (2)已知a=7，b=24，求c (3)已知a=8，c=17，求b2、如图，在ABC Rt ∆中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别表示A ∠、B ∠、C ∠的对边。

（1）已知c ＝25，b ＝15，求a（2）已知a ＝6，∠A ＝60°，求b 、c知识概念：满足勾股定理的三个正整数称为勾股数例2、下列属于勾股数的有_________①3，4，5 ②6，8，10 ③9，12，15 ④12，16，20 ⑤5，12，13 ⑥7，24，25 ⑦9，40，41⑧10，24，26 ⑨1，1，2 ⑩0.3，0.4，0.5如果三个数满足勾股定理，那么它们的k 倍也满足勾股定理1、下列哪一组属于勾股数（ ）A 、0.6，0.8，1B 、112，2，122C 、1，2，3D 、15，20，252、在△ABC中，∠C=90°，若c=10，a:b=3:4，则ab=______3、如图，在等腰△ABC中，AB=AC=10，BC=12，则高AD=______4、已知直角三角形一个锐角为60°，斜边长为2，那么此直角三角形的周长是（）A、3B、1C、3+2D、3+35、已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）A、25海里B、30海里C、35海里D、40海里6、请用数轴上表示出代表2的数7、如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是________例3、已知Rt△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若∠B=90°，则（）A、a2+b2=c2B、a2+c2=b2C、b2+c2=a2D、a+b=c例4、已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是________8、如图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是________米.9、如图，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，且S1=4，S2=8，则AB的长为_________.10、在Rt△ABC中，斜边AB=2，则AB2+BC2+CA2=_________11、若一个直角三角形的三边长分别为a，b，c，且a2=9，b2=16，则c2为（）A．25 B．7 C．7或25 D．9或1612、如图，△ABC中，∠C=90°，AB的中垂线DE交AB于E，交BC于D，若AB=10，AC=6，则△ACD的周长为（）A．14 B．16 C．18 D．2013、直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______．14、有一只小鸟在一棵高4m的小树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m，高20m的一棵大树的树梢上发出友好的叫声，它立刻以4m/s的速度飞向大树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达大树和伙伴在一起？15、飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到小明头顶正上方4000米处,过了20秒,飞机距离小明头顶5000米,求飞机每小时飞行多少千米?16、如图，某会展中心在会展期间准备将高5m,长13m，宽2m的楼道上铺地毯,已知地毯每平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱?。

初二数学勾股定理【知识点归纳】考点一：勾股定理（1）对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有2c22+ba=勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

（2）结论：①有一个角是30°的直角三角形，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

②有一个角是45°的直角三角形是等腰直角三角形。

③直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。

（3）勾股定理的验证例题：例1：已知直角三角形的两边，利用勾股定理求第三边。

（1）在Rt△ABC中，∠C=90°①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则b=___________；③若c=61，b=60，则a=__________；④若a∶b=3∶4，c=10则Rt△ABC的面积是=________。

（2）如果直角三角形的两直角边长分别为1n2-，2n（n>1），那么它的斜边长是（）A、2n B、n+1 C、n2－1 D、1n2+（3）在Rt△ABC中，a,b,c为三边长，则下列关系中正确的是（）A.222+=a c b+= B.222a b cC.222+= D.以上都有可能c b a（4）已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）A、25B、14C、7D、7或25例2：已知直角三角形的一边以及另外两边的关系利用勾股定理求周长、面积等问题。

（1）直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为__________。

（2）已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（）A、242c mc m D、602c m B、362c m C、482（3）已知x、y为正数，且│x2-4│+（y2-3）2=0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（）A、5B、25C、7D、15例3：探索勾股定理的证明有四个斜边为c 、两直角边长为a,b 的全等三角形，拼成如图所示的五边形，利用这个图形证明勾股定理。