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KK，=0=K 三）动量矩定理下面研究质点相对于某一根指定的直线的运动，这根直线称为“轴线”．这时着重的是力矩而不是力．1．力对于轴线的力矩图3－1力F 对轴线AB 的力矩等于力F 在垂直于轴线的平面S 中的投影F ⊥再乘以其与轴线AB 的垂直距离d （一般称之为力臂）．如果力F 本身就在与AB 垂直的平面内，力矩就等于 F 乘以F 与AB 的垂直距离d 。
力F 对轴线AB 的力矩记为AB M ，AB M F =⊥ d （3．15）通常按右手法则来规定力矩的指向，将右手的四指捏成拳状以表示力矩驱使物体转动的趋势，伸直的大拇指的指向即力矩的指向2．对于轴线的动量矩和动量矩定理（1）质点与轴连结．如果质点与轴AB 相连结，则质点必在垂直于AB 的平面内作圆周运动．质点所受外力对AB 轴的力矩为（3．16）mv 是质点的动量，R 是动量与轴AB 间的垂直距离．仿照力矩，我们将 mv 与R 的乘积称为质点对于AB 轴的动量矩（角动量） AB J ，即 AB AB M J = （3. 17） 这就是动量矩定理．（2）转动惯量．将上式中的 AB J 以质点绕轴转动的角速度 ω表示2AB J mR ω= （3. 18）2mR 称为质点对AB 轴的转动惯量，记为I AB ，则动量矩定理（3．17）即AB I ωα= （3．19） 式中 α是质点绕轴转动的角加速度，这与牛顿第二定律 F ma =多么相似！从这类比中还可以看出， I 与 m 相对应， I 反映绕轴转动的惯性，所以称为转动惯量．（3）质点并不与轴连结．图3－2所讨论的质点并不与轴AB 连结，也不一定是绕轴转圈，只是相对于轴来研究质点的运动情况．为了方便，取AB 为直角坐标系的Z 轴．如质点的动量 m v 在 xy 平面内，它相对于z 轴的动量矩为sin z J mvr θ= （3．20） 若动量 m v 不在 xy 平面内，我们可以将它分解为与 xy 平面垂直和与 xy 平面平行的分量，其中与 xy 平面垂直的动量分量对Z 轴的动量矩为零．所以只要考虑在 xy 平面内的动量分量．动量矩的正负和力矩一样，也用右手法则决定，和Z 轴正指向相同者取正值，反之为负值．由牛顿第二定律可以导出一般情况下的动量矩定理 z J （3．21） 这是它的微分形式．注意在一般情况下，此定理不宜表为 M Ia =，除非质点的转动惯量I是常数．一般说来，质点运动时，它与转轴的距离不是常数，所以I 也不是常数．我们还可以考察力矩的时间累积效果，将上式积分一次,得2121t z z z t M dz J J =-⎰ （3．22） 式中 1z J 与 2z J 分别表示质点在时刻 1t 及 2t 的动量矩，力矩对时间的积分称为冲量矩．这就是对z 轴动量矩定理的积分形式，适宜用来研究冲击作用．3．动量矩守恒原理如果质点所受的力对于Z 轴的力矩为零，这时冲量矩自然也为零，由动量矩定理可得出或 1z J = 2z J （3．23）上面两式的意义相同，它们指出如果质点所受的力对Z 轴的力矩为零，则质点对该轴的动量矩守恒．如果质点与轴线连结而绕轴转动，则动量矩守恒原理为2J mvR mR ω===常数 （3．24）式中R 为质点与轴线间的垂直距离， ω为质点绕轴转动的角速度，上式意味着质点绕轴转动的角速度不变．如果质点并非固定连结于轴上，则动量矩守恒原理为 2J m ρϕ==常数 （3．25） 例如在舞蹈或滑冰表演中，演员常绕自身的轴旋转．略去摩擦，他所受的重力对转轴的力矩为零，动量矩守恒．当演员将两手合抱于胸前，旋转就加快起来；演员将两臂伸展出去，旋转就减慢。
动量和动量矩定理
如果不考虑鱼雷运动过程中的弹性变形，以及由于然料消耗引起的鱼雷重量和重心位置的变化，可以把鱼雷看成一个常质量的刚体。
刚体的空间运动由重心的运动和绕中心的转动两部分组成。
描述重心运动规律的是动量定理。
描速重心转动规律的是动量矩定理。
所以动量和动量矩定理是建立鱼雷运动方程组的出发点。
一、动量定理
用矢量表示鱼雷的动量，用矢量表示作用在鱼雷上的所有外力之和，在静止坐标系中的动量矩定理是：
(2-88
) 在建立鱼雷重心运动方程时，选用原点在鱼雷重心的半速度坐标系为参考系，因为在半速度系中重心运动方程形式最简。
半速度系的轴指向重心速度方向，轴垂直于轴OX并处于包含OX的铅垂面内指向上方，轴垂直于平面，从雷尾往前看指向右侧。
鱼雷运动过程中半速度系是运动的，以矢量表示半速度系的旋转角速度，表示动量的矢量端点在半速度系中的相对速度，则以半速度坐标系为参考系的动量定理是。
(2-89
) 式中叉乘可写为矩阵形式：
式中是沿半速度系三个轴的单位矢量。
显然，矢量在半速度系三个轴上的分量是
式中m是鱼雷质量，v是鱼雷速度，即重心速度。
将上式代入式(2-89)得到
(2-90
) 参阅图1-4，矢量在半速度系三个轴上的分量是
(2-91
) 将式(2-91)代入式(2-90)得到
(2-92
)
式中是m鱼雷质量，v是鱼雷速度；是弹道倾角；
是弹道偏角；分别是外力矢量F在半速度系三个轴上的分量。
式(2-92)就是以半速度系为参考写出的动量定理，是建立鱼雷重心运动方程组的出发点。
3 动量矩定理动量定理给出了三个独立的方程，在某种意义上来说，它只解决了一个点(质心)的运动问题，不足以全面地描述质点系的运动状态。
例如，一均质圆盘绕过质心且垂直于圆盘的定轴转动，不论圆盘转动快慢如何，也不论其转动快慢有何变化，它的动量始终为零。
这说明动量定理不能反映这种运动的规律。
动量矩定理反映了质点系外力系在空间的分布与质点系运动之间的规律。
设n 个质点组成质点系，其中第i 个质点的质量为m i ，矢径为r i ，瞬时速度为v i ，该质点对固定点O 的动量矩为L Oi (图8-1)定义为(8.1.12) ),...,2,1(,n i m i i i Oi =×=v r L 动量矩是一个矢量。
定义质点系对O 点的动量矩为质点系中每个质点对同一点动量矩的矢量和，即(8.1.13)i i ni i ni Oi O m v r L L ×==∑∑==11在直角坐标系中，质点系的动量矩可表示为(8.1.14) k j i L z y x O L L L ++=式中L x , L y , L z 为质点系动量矩L O 分别在轴x , y , z 上的投影。
类似静力学中力对点之矩和力对轴之矩的关系，有质点系对点O 的动量矩在通过该点的轴上的投影等于质点系对该轴的动量矩，即质点系对坐标轴x , y , z 的矩为(8.1.15)∑∑∑===−=−=−=ni ix i iy i i z n i n i iz i ix i i y iy i iz i i x v y v x m L v x v z m L v z v y m L 111)(,)(,)(作为特殊的质点系，刚体作平移和定轴转动时动量矩的计算相对简单。
(1) 平移刚体对O 点的动量矩 设平移刚体的质量为m ，同一瞬时刚体上各点的速度均相等，用v 表示，由式(8.1.13)得()v r v r v r L m m m C i i i i i O ×=×=×=∑∑)( (8.1.16)因此，刚体平移时，可将全部质量集中在质心，作为一个质点计算其动量矩。
CO L p L p r r r r ⋅=⋅∴′pr L L C O C O r r r r ×+=′′两边点积p 因为)()(=×⋅=×⋅′′p p r p r p C O C O r r r r r r 动量系第二不变量则ii r v r r r ×=ωr k r r ×=ωni i O r L r r ×=∑=1)i r r 到转轴的距离ρiCpOωm i r iρii i v m )rωz J =OCp L C才是能作为平面问题的条件之一。
对称平面PL OOr C稳态流ϕϕ2 v v r2Q Q tωxF F M2Q Q tωlxF yF思考思考：：若螺栓不固定螺栓不固定？？O30°xF Nm 1gm b 1OF yP1`P2偏心转子电动机工作时为什么会左右运动偏心转子电动机工作时为什么会左右运动；；这种运动有什么规律这种运动有什么规律；；会不会上下跳动；？？台式风扇放置在光滑的台面上面上，，风扇工作时风扇工作时，，会发生什么现象？抽去隔板后将会发生什么现象不要在你的智慧中夹杂着傲慢不要使你的谦虚心缺乏智慧v i m ir C2QQtωlO30°O。
