动量定理和定量矩定理

第17章 动量定理和 动量矩定理工程力学学习指导第17章 动量定理和动量矩定理17.1 教学要求与学习目标1. 正确理解动量的概念，能够熟练计算质点系、刚体以及刚体系的动量。

2. 认真理解有关动量定理、动量守恒定理以及质心运动定理，掌握这些定理的相互关系。

3. 正确而熟练地应用动量定理、动量守恒定理以及质心运动定理解决质点系动力学两类问题，特别是已知运动求未知约束力的问题。

4. 学习动量矩定理时，首先需要认识到，在动力学普遍定理中，动量定理和动量矩定理属于同一类型的方程，即均为矢量方程。

而质点系的动量和动量矩，可以理解为动量组成的系统（即动量系）的基本特征量——动量系的主矢和主矩。

两者对时间的变化率等于外力系的基本特征量——力系的主矢和主矩。

5. 认真理解质点系动量矩概念，正确计算系统对任一点的动量矩。

6. 熟悉动量矩定理的建立过程，正确应用动量矩定理求解质点系的两类动力学问题。

7. 于作平面运动的刚体，能够正确建立系统运动微分方程和补充的运动学方程，并应用以上方程求解刚体平面运动的两类动力学问题。

17.2 理 论 要 点17.2.1 质点系的动量质点系中所有质点动量的矢量和（即质点系动量的主矢）称为质点系的动量。

即i ii m v p ∑=质点系的动量是自由矢，是度量质点系整体运动的基本特征量之一。

具体计算时可采用其在直角坐标系的投影形式，即⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫===∑∑∑i iz i z i iy i y iix i x v m p v m p v m p质点系的动量还可用质心的速度直接表示：质点系的动量等于质点系的总质量与质心速度的乘积，即C m v p =这相当于将质点系的总质量集中于质心一点的动量，所以说质点系的动量描述了其质心的运动。

上述动量表达式对于刚体系也是正确的。

17.2.2 质点系动量定理质点系动量定理建立了质点系动量的变化率与外力主矢量之间的关系。

其微分形式为(e)(e)R d d i it ==∑pF F 质点系的动量对时间的变化率等于质点系所受外力系的矢量和。

动量矩定理的三个公式动量矩定理是物理学中的重要概念，它有三个关键公式。

这三个公式在解决许多物理问题时，那可是相当有用的。

咱们先来聊聊第一个公式：对某定点 O，质点的动量矩 L 等于质点对该点的位置矢量 r 与质点的动量 p 的矢量积，即 L = r × p 。

这个公式看似有点复杂，其实你仔细琢磨琢磨，也不难理解。

比如说，你想象一下，有个小球在光滑的平面上滚动。

这个小球的速度很快，质量也不小。

那它的动量就比较大。

如果这个小球距离某个固定的点比较远，那它相对于这个点的动量矩就会更大。

再来说说第二个公式：质点所受的合力 F 对某定点 O 的力矩 M 等于质点对该点 O 的动量矩随时间的变化率，即 M = dL/dt 。

这个公式能帮助我们理解物体在受到外力作用时，它的转动状态是怎么变化的。

就像我们骑自行车的时候，我们蹬脚踏板的力就相当于一个外力。

这个力产生的力矩会让自行车的轮子转动起来，并且改变轮子的转动速度和方向。

最后是第三个公式：质点系对某定点 O 的动量矩 L 等于质点系中各质点对该点动量矩的矢量和，即L = ∑（ri × pi）。

这三个公式在实际应用中可是大显身手。

记得有一次，我在学校的物理实验室里，看到同学们在做一个关于转动惯量的实验。

实验台上有一个可以绕着中心轴旋转的圆盘，圆盘上有不同位置的小孔，可以通过改变小孔的位置来改变圆盘的质量分布。

同学们在圆盘上施加一个恒定的力矩，然后观察圆盘的转动情况。

他们通过测量圆盘的角速度和角加速度，来验证动量矩定理的公式。

当时有个同学怎么都弄不明白为什么改变圆盘的质量分布会影响它的转动状态。

我就用动量矩定理的公式给他解释。

我说，你看啊，质量分布变了，相当于质点的位置变了，那对中心点的动量矩也就跟着变了。

合力矩不变的情况下，动量矩的变化率就不一样了，所以转动状态就不同啦。

这同学听了之后，恍然大悟，那种因为搞懂一个难题而露出的兴奋表情，我到现在都还记得。

动量和动量矩定理
如果不考虑鱼雷运动过程中的弹性变形，以及由于然料消耗引起的鱼雷重量和重心位置的变化，可以把鱼雷看成一个常质量的刚体。

刚体的空间运动由重心的运动和绕中心的转动两部分组成。

描述重心运动规律的是动量定理。

描速重心转动规律的是动量矩定理。

所以动量和动量矩定理是建立鱼雷运动方程组的出发点。

一、动量定理
用矢量表示鱼雷的动量，用矢量表示作用在鱼雷上的所有外力之和，在静止坐标系中的动量矩定理是：
(2-88
) 在建立鱼雷重心运动方程时，选用原点在鱼雷重心的半速度坐标系为参考系，因为在半速度系中重心运动方程形式最简。

半速度系的轴指向重心速度方向，轴垂直于轴OX并处于包含OX的铅垂面内指向上方，轴垂直于平面，从雷尾往前看指向右侧。

鱼雷运动过程中半速度系是运动的，以矢量表示半速度系的旋转角速度，表示动量的矢量端点在半速度系中的相对速度，则以半速度坐标系为参考系的动量定理是。

(2-89
) 式中叉乘可写为矩阵形式：
式中是沿半速度系三个轴的单位矢量。

显然，矢量在半速度系三个轴上的分量是
式中m是鱼雷质量，v是鱼雷速度，即重心速度。

将上式代入式(2-89)得到
(2-90
) 参阅图1-4，矢量在半速度系三个轴上的分量是
(2-91
) 将式(2-91)代入式(2-90)得到
(2-92
)
式中是m鱼雷质量，v是鱼雷速度；是弹道倾角；
是弹道偏角；分别是外力矢量F在半速度系三个轴上的分量。

式(2-92)就是以半速度系为参考写出的动量定理，是建立鱼雷重心运动方程组的出发点。

动量矩定理公式标题：动量矩定理公式作为物理学中的重要定理之一，动量矩定理公式（也被称为角动量定理）在解释运动过程中起着至关重要的作用。

它描述了物体的力矩对其角动量变化的影响。

本文将详细介绍动量矩定理的基本原理、公式的推导过程以及其在实际物理现象中的应用。

动量矩定理的基本原理源于牛顿第二定律和角动量的定义。

根据牛顿第二定律，一个物体所受的合外力等于物体的质量乘以加速度。

而角动量是描述物体旋转运动的量度，其定义为物体的质量乘以线速度与转轴之间的距离乘积。

根据动量矩定理，当一个物体所受的力矩不为零时，物体的角动量将发生变化。

推导动量矩定理的公式相对简单明了。

设一个物体的角动量为L，力矩为τ，那么根据牛顿第二定律和角动量的定义可以得到：τ = dL/dt其中，τ表示力矩，L表示角动量，dt表示时间的微元。

根据微积分的知识，可以将上式进行积分，得到：∫τdt = ∫dL即∫τdt = L2 - L1其中，L1和L2分别表示起始时刻和结束时刻的角动量。

这个就是动量矩定理的基本公式。

动量矩定理的公式可以用于解释许多物理现象。

例如，在刚体的旋转问题中，一个刚体受到的力矩将会导致角动量的变化。

通过应用动量矩定理，可以计算出刚体在旋转过程中的加速度、转动角速度等信息。

这对于分析刚体运动的特性非常有帮助。

此外，动量矩定理公式还可以应用于解释守恒定律。

根据动量矩定理，当一个物体所受的合外力矩为零时，物体的角动量将保持不变。

这是因为合外力矩为零意味着物体不受到外部力矩的扰动，因而物体的角动量不会发生改变。

这就是角动量守恒定律的数学表达。

在实际应用中，动量矩定理的公式常常被用于设计和分析机械系统的工作原理。

例如，在车辆制动系统中，物体的角动量变化与制动力矩直接相关。

通过对动量矩定理的应用，可以计算制动力矩对车辆速度和行驶方向的影响，从而确保车辆在制动过程中的稳定性和安全性。

此外，动量矩定理的公式还可以用于解释许多自然现象。

CO L p L p r r r r ⋅=⋅∴′pr L L C O C O r r r r ×+=′′两边点积p 因为)()(=×⋅=×⋅′′p p r p r p C O C O r r r r r r 动量系第二不变量则ii r v r r r ×=ωr k r r ×=ωni i O r L r r ×=∑=1)i r r 到转轴的距离ρiCpOωm i r iρii i v m )rωz J =OCp L C才是能作为平面问题的条件之一。

对称平面PL OOr C稳态流ϕϕ2 v v r2Q Q tωxF F M2Q Q tωlxF yF思考思考：：若螺栓不固定螺栓不固定？？O30°xF Nm 1gm b 1OF yP1`P2偏心转子电动机工作时为什么会左右运动偏心转子电动机工作时为什么会左右运动；；这种运动有什么规律这种运动有什么规律；；会不会上下跳动；？？台式风扇放置在光滑的台面上面上，，风扇工作时风扇工作时，，会发生什么现象？抽去隔板后将会发生什么现象不要在你的智慧中夹杂着傲慢不要使你的谦虚心缺乏智慧v i m ir C2QQtωlO30°O。

动量定理表达式动量定理是物理学中的基本定理，它表明了物体的动量的保守性。

动量定理又称为“质量动量定理”，是指物体的动量p（即质量m乘以速度v）在不受外力影响的情况下是守恒的，即动量的增加或减少只能由物体本身来完成。

这个定理也可以写成数学表达式：Δp = FΔt其中，Δp表示运动物体在时间Δt内其动量变化量，F表示作用于该物体的外力，Δt表示物体的运动时间，上式的意思是，物体的动量变化量Δp等于作用于该物体的外力F乘以时间Δt。

如果物体没有受到外部力的影响，则上式还可以简化为：Δp = 0也就是说，物体在不受外力影响的情况下，其动量是守恒的，不会增加或减少，只能够改变物体的方向，而不会改变物体的大小。

动量定律是物理学研究物体运动的基础，它可以帮助我们深入地了解物体运动的规律。

它包括动量守恒定律，动量平衡定律，动量定理，动量矩定理等。

动量守恒定律是指物体的动量在不受外力影响的情况下是守恒的，即动量的增加或减少只能由物体本身来完成。

它可以用数学表达式Δp = 0来表示。

动量平衡定律是指物体在受到外力的作用下，其动量的变化量等于外力与时间之积。

它可以用数学表达式Δp = FΔt来表示。

动量定理是指物体的机械动能的变化量等于外力作用时间与物体的动量变化量之积。

它可以用数学表达式ΔE=FΔtΔp来表示。

动量矩定理是指物体的动量矩的变化量等于外力的作用时间与物体的质心位置变化量之积。

它可以用数学表达式ΔL=rFΔt来表示。

因此，动量定理表达式是一组物理学定理，用于表达物体运动的守恒性质。

它可以帮助我们深入地了解物体运动的规律，从而更好地掌握物理学知识。