定轴转动刚体的角动量定理和角动量守恒定律

Iz
( 1 ml 2 12
mr 2 )
代入得 mgr cos 2mr dr
dt
v
dr dt
g cos 2
g
2
cos
t
7 lg 24v 0
cos(12v 7l
0t
)
L 0 J 常量
即：合外力为对转轴的力矩为零时，刚体的角动量守恒
讨论：
a.对于绕固定转轴转动的刚体，因J保持不变， 当合外力矩为零时，其角速度恒定。
当M z 0时， J =恒量 =恒量
b.若系统由若干个刚体构成,当合外力矩为零时,系
统的角动量依然守恒。J 大→ 小, J 小→ 大。
当M z 0时， Lz J11 J22 恒量
。这样，棒与物体相撞时，它们组成的系统所受的对
转轴O的外力矩为零，所以，这个系统的对O轴的角
动量守恒。我们用v表示物体碰撞后的速度，则
1
ml 2
mvl
1
ml 2
3
3
（2）
式中’为棒在碰撞后的角速度，它可正可负。
’取正值，表示碰后棒向左摆；反之，表示向右
摆。
第三阶段是物体在碰撞后的滑行过程。物体作匀减 速直线运动，加速度由牛顿第二定律求得为
例12、如图所示，长为L，质量为m1的均匀细棒 能绕一端在铅直平面内转动。开始时，细棒静止于
垂直位置。现有一质量为m2的子弹，以水平速度v0
射入细棒下断而不复出。求细棒和子弹开始一起运 动时的角速度？
题意分析：由于子弹射入细棒的时间极为短促，我们 可以近似地认为：在这一过程中，细棒仍然静止于垂 直位置。因此，对于子弹和细棒所组成的系统（也就 是研究对象）在子弹射入细棒的过程中，系统所受的 合外力（重力和轴支持力相等）对转轴O的力矩都为 零。根据角动量守恒定律，系统对于O轴的角动量守 恒。

或 Lz = I = 恒量
当刚体相对惯性系中某给定转轴的合外力矩为 零时，该刚体对同一转轴的角动量保持不变。
——对转轴的角动量守恒定律
二、定轴转动中的角动量守恒
说明 1、 关于该守恒定律的条件：
Mz Miz 0
特别地，若每一个力的力矩均为零，即 则
二、定轴转动中的角动量守恒
M iz ri Fi sini 0 的几种情况
10
f
20
O1 R1 A
R2 O2 fB
随堂练习
当两圆柱接触处无相对滑动时，两者转速相反
10
20
O1 R1 A
R2 O2 B
且两者接触点的线速率相等！
二、定轴转动中的角动量守恒
由定轴转动的角动量定理
Mz
dLz dt
若刚体所受对转轴的合外力矩 M z 0，则有
dLz d ( I ) 0
dt
dt
二、定轴转动中的角动量守恒
(3) 对共轴非刚体系（其中各质元到转轴的距离可 变则）系：统的转动惯量可变，此时系统对转轴的角动量守恒，
即：I =恒量
• 特别地，若各质元的 保持一致，
Lz =I =恒量
当 I 增大时， 就减小； 当 I 减小时， 就增大 。
二、定轴转动中的角动量守恒
例如：花样滑冰运动员在冰面上旋转时 运动了角动量守恒定律
（1）
（2）
（3）
二、定轴转动中的角动量守恒
2、对转轴的角动量守恒定律的适用范围： • 不仅适用于刚体， • 也适用于绕同一转轴转动的任意质点系。
二、定轴转动中的角动量守恒
3、对转轴的角动量守恒的几种典型表现 (1) 对定轴刚体：I 不变， 大小和方向均不变；

P
第3章 刚体力学基础
第4节
大学物理学(力学与电磁学) 11
二 刚体对轴的角动量 刚体定轴转动的角动量定理
1.刚体对轴的角动量 刚体对转轴z 轴的角动
量就是刚体上各质元的角动
量之和． Li miri2
z
Lz
r
mv
mv
L Li (miri2 ) ( miri2 ) J
i
i
i
的劲度系数为k，设有一质量为m的子弹以初速 v0 垂
直于OA射向M并嵌在木块内.弹簧原长 l0 ，子弹击中
木块后，木块M运动到B点时刻，弹簧长度变为l，此
时OB垂直于OA，求在B点时，木块的运动速度 v2 .
解 击中瞬间，在水平
面内，子弹与木块组成
的系统沿 v0方向动量守 恒，即有
mv0 (m M )v1
置时, 有一只小虫以速率 v0 垂直落在距点 O 为 l/4 处,
并背离点O 向细杆的端点 A 爬行. 设小虫与细杆的质量
均为m. 问: 欲使细杆以恒定的角速度转动, 小虫应以多
大速率向细杆端点爬行?
解: 碰撞前后系统角动量 守恒
mv0
l 4
1 12
ml
2
m(
l 4
)
2
12v0 7l
第3章 刚体力学基础
第3章 刚体力学基础
第4节
大学物理学(力学与电磁学) 6
在由A→B的过程中，子弹、木块系统机械能守恒
1 2
(m
M)v21
1 2
(m
M)v22
1 2
k (l
l0 )2
在由A→B的过程中木块在水平面内只受指向O点的
弹性有心力，故木块对O点的角动量守恒，设 v2

0

内转动物体角动量的增量，称为角动量定理。 讨论：(1)冲量矩是力对时间的累积，其效果是引起动量矩的改变。 (2)角动量定理对 J 不变或变均适用。 三、角动量守恒定律(动量矩守恒) 由角动量定理可知，如果物体所受对某固定轴的合外力矩
dL d ( J ) 0 ，所以 L J 恒量 dt dt
2). 质点的动能定理： 合外力对质点所做的功等于动能的增量， 那么刚体转动动能 的改变是不是也是由于力做功导致的？(学生应该会提出是力矩做功的原因， 那么 点明：其实力矩功并不是新的功，只是力的功的另一种表达方式，为什么这样说， 我们从力做功去推导力矩做功看一下)。
一、力矩的功(推导)： A dA Md
5
于相应的力矩与角位移元的乘积，称为力矩的功。
1 1 1 二、转动动能： Ek mi ri 2 2 ( mi ri 2 ) 2 J 2 2 2 2
转动动能不是一种新的动能是动能的另一种表达方式。
10 分钟
过渡：那么现在我们知道了对于刚体的定轴转动，力矩做的功，以及刚体的转动 动能，那么应该可以知道刚体定轴转动的动能定理了。
二、 角动量定理(动量矩定理) (1) 冲量矩：与冲量相似，表示力矩在一段时间内的累计效应，等于力矩乘以力矩所作用的 时间。 (2) 定理：刚体作定轴转动时，根据转动定律得出 Mdt
10 分钟
d ( J ) ，对其两边积分，得：

t
t0
Mdt d ( J) J J0 ；转动物体所受合外力矩的冲量等于在这段时间
1 J 常量 2
在只有保守力矩做功的情况下，系统的转动动能和势能相互转化，而总的机械能 保持不变，这就是刚体定轴转动的机械能守恒定律。

为零,角动量守恒
v0

v0
mv0l mv0l 0 mvl mvl J
v l
6 v0 7l
1 2 J ml 3
代入上式
L J const.
即转动过程中角动量(大小、方向)保持不变 角动量守恒定律比转动定律适用范围更广泛， 这里可以有
J 00 J11
但是
J 0 J1
讨论
1）角动量守恒条件
M 0
2）若 J 不变， 不变；若 J 变， 也变， 但
L J 不变.
3） 内力矩不改变系统的角动量. 4）在冲击等问题中 内力矩>>外力矩，角动量保持不变。 5）角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.
力矩。合外力矩为 0 ，小球角动
量守恒 。 有：
N
mg
L = mvr = 恒量
即： m v1 r1 =m v2 r2
例2 光滑桌面上有一长2l，质量为m的细棒， 起初静止。两个质量m，速率v0的小球，如图 与细棒完全非弹性碰撞，碰撞后与细棒一起绕 中心轴转动，求系统碰撞后的角速度 解：系统的合外力矩
d( ) d( J ) dL M J J dt dt dt
刚体所受的(对轴的)外力矩等于刚体(对轴的) 角动量的时间变化率。 或写作
Mdt dL
t2 t1
对于一段时间过程有

t2
t1
Mdt dL L末 L初
三、定轴转动刚体的角动量守恒定律 如合外力矩等于零
6）转动系统由多个物体(刚体或质点)组成， 角动量守恒定律的形式为

i
J ii J i 0i 0
i
m
m
系统内各物体的角 动量必须是对同一 固定轴而言的。

v0
m v
例2、如图所示，将单摆和一等长l的匀质直杆悬挂在同一点，杆的质量与 单摆的摆锤质量相等，均为m。
开始时直杆自然下垂，将单摆的摆锤拉到高度h0，令它自静止状态下摆,于 垂直位置和直杆作弹性碰撞。
求碰撞后直杆下端达到的高度h及摆锤达到的高度h’。
l m ho
c l hc 求h=?
h’
a
b
解:碰撞前单摆摆锤的速度为
功率一定时，转速越大，力矩越小；转速越 小，力矩越大。
3、意义
表示力矩对刚体作功的快慢
思考： P15 1-8、1-11
第一章 刚体力学(2)
第4节 角动量守恒定律 一、质点的角动量 二、刚体定轴转动的角动量 三、角动量守恒定律 四、力矩作功
一、质点的角动量 质点质量m，速度v，位置矢量 为 r， 定义质点对坐标原点O的角动量L 为该质点的位置矢量与动量的矢 量积
L o r m
P θ
L r P r mv
单位：kgm2/s
大小：L＝rmvsin 方向：右手螺旋定则判定
说明
•角动量是物理学的基本概念之一。 •角动量与质点的运动和参考点有关。 •作圆周运动的质点的角动量L ＝ r m v
P r
L o
•质点作匀速直线运动时，质点的角动量 L保持不变。
大小：L＝
rmvsinα = mvd
二、刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律 1、刚体定轴转动的角动量
刚体上的一个质元,绕固定轴做圆周运动角动量为：L ＝ ri m vi
Li mi ri
2
o
L
所以刚体绕此轴的角动量为：
vi o ri mi
L Li ( mi ri2 )

解 : 对于整个系统不考虑轴 间摩擦阻力矩 , 则系统不受外力 矩作用, 碰撞前后角动量守恒 .
m2 vl = Iω − m2ul
1 细棒绕O转动的转动惯量为 I = m1l 2 3 3(v + u )m2 代入上式求得 ω = m1l
m2
u
v
A
O
m1
9
两个共轴飞轮转动惯量分别为J 例4：两个共轴飞轮转动惯量分别为 1、J2，角速度分 别为 ω1 、ω2，求两飞轮啮合后共同的角速度 ω 。啮合 过程机械能损失。 过程机械能损失。 J1 J2 两飞轮通过摩擦达到共同速度,合 解：两飞轮通过摩擦达到共同速度 合 外力矩为0，系统角动量守恒。 外力矩为 ，系统角动量守恒。 L0 = L = C
5
ω0 例1：在摩擦系数为µ桌面上有 细杆， 细杆，质量为 m、长度为 l， 、 ， m, l o 以初始角速度 ω0 绕垂直于杆 的质心轴转动， 的质心轴转动，问细杆经过多 µ 长时间停止转动。 长时间停止转动。 以细杆为研究对象，受力分析， 解：以细杆为研究对象，受力分析，重力及桌面的 支持力不产生力矩，只有摩擦力产生力矩。 支持力不产生力矩，只有摩擦力产生力矩。
定轴转动刚体的 角动量守恒定律
1
一、定轴转动刚体的角动量定理
dω d(Iω) dL = = 刚体定轴转动定律： 刚体定轴转动定律： M = Iβ = I dt dt dt 定轴转动刚体角动量 dL ∴M = 定理微分形式 dt
定轴转动刚体所受的合外力矩等于刚体的角动量 对时间的变化率。 对时间的变化率。 dL 两边同时乘以dt并积分 并积分， 将M = 两边同时乘以 并积分，得： dt r
7
人与转盘的转动惯量J 例2：人与转盘的转动惯量 0=60kgm2,伸 伸 臂时臂长为 1m，收臂时臂长为 0.2m。人 ， 。 站在摩擦可不计的自由转动的圆盘中心上， 站在摩擦可不计的自由转动的圆盘中心上， 的哑铃。 每只手抓有质量 m=5kg的哑铃。伸臂时转 的哑铃 动角速度 ω1 = 3 s-1,求收臂时的角速度 ω2 。 求收臂时的角速度 解：整个过程合外力矩为0，角动量守恒， 整个过程合外力矩为 ，角动量守恒，

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r 对于定轴转动， 对于定轴转动， L 对沿定轴的分量 Lz 为
Lz = ∑ ∆Li cosθ = ∑ ∆mi Ri vi cosθ = ∑ ∆mi ri vi = (∑ ∆mi ri )ω
2
称刚体绕定轴转动的角动量。 称刚体绕定轴转动的角动量。 刚体转动惯量： 刚体转动惯量
I = ∑ ∆mi ri
ml 2 ω ′2 23 l h = + 3 µ s − 6 µ sl 2 mgh =
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3、物体系的角动量守恒 、 若系统由几个物体组成， 若系统由几个物体组成，当系统受到的外力对 轴的力矩的矢量和为零，则系统的总角动量守恒： 轴的力矩的矢量和为零，则系统的总角动量守恒：
如：直升机机尾加侧向旋叶，是为防止机身的反转。 直升机机尾加侧向旋叶，是为防止机身的反转。
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飞轮1： 摩擦轮 ： 例4-7 摩擦离合器 飞轮 ：I1、 ω1 摩擦轮2： I2、 静止，两轮沿轴向结合， 静止，两轮沿轴向结合，求结合后两轮达到的共同角 速度。 速度。 解：两轮对共同转轴的角动量守恒
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角动量定理比转动定律的适用范围更广，适用于 角动量定理比转动定律的适用范围更广， 刚体，非刚体和物体系。 刚体，非刚体和物体系。 对几个物体组成的系统， 对几个物体组成的系统，如果它们对同一给 定轴的角动量分别为 I ω ， I 2 ω 2 ，L
1 1
系统对该轴的角动量为 且系统满足角动量定理
Lz = ∑ I i ω i
i
dLz d = ∑ I iω i Mz = dt dt i
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三、定轴转动刚体的角动量守恒定律