(一) 二次函数的概念
二次函数、对称轴、顶点等.
(二) 二次函数的图象和性质
二次函数的图象和性质2
[例题]
1、已知二次函数的解析式是3
2
2-
-
=x
x
y.
（1）在直角坐标系中，用五点法画出它的图象；
（2）当x为何值时，函数值y=0？
（3）当-3 解：(1) 已知二次函数的解析式是3 2 2- - =x x y=4 )1 (2- - x (2) 令0 3 2 2= - -x x，解得3 ,1 2 1 = - =x x ∴当x = -1或3时，函数值y =0 (3) 观察图象知：-4≤y＜12 2、（2010株洲市）已知二次函数()() 2 21 y x a a =-+- （a为常数），当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物 线系”．下图分别是当1 a=-，0 a=，1 a=，2 a=时 二次函数的图象.它们的顶点在一条直线上，这条直线的 解析式是y=. （1 2 1 - x） 3、（2010湖北省咸宁市）已知抛物线2 y ax bx c =++（a＜0）过A（2-，0）、O（0，0）、 B（3-， 1 y）、C（3， 2 y）四点，则 1 y与 2 y的大小关系是（ A ） A． 1 y＞ 2 y B． 1 y 2 y =C． 1 y＜ 2 y D．不能确定 4、（2010年杭州市）定义[,, a b c]为函数2 y ax bx c =++的特征数, 下面给出特征数为 [2m，1 –m , –1–m] 的函数的一些结论： ① 当m = – 3时，函数图象的顶点坐标是（ 31，3 8）； ② 当m > 0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于2 3 ； ③ 当m < 0时，函数在x > 4 1 时，y 随x 的增大而减小； ④ 当m ≠ 0时，函数图象经过同一个点. 其中正确的结论有（ B ） A. ①②③④ B. ①②④ C. ①③④ D. ②④ 5、(2010湖北省荆门市)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，下列 结论错误．． 的是（ ） A. ab ＜0 B. ac ＜0 C. 当x ＜2时，函数值随x 增大而增大；当x ＞2时，函数值随x 增 大而减小. D. 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交点的横坐标就是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根. 6、（2010玉溪市）如图是二次函数y =ax 2 +bx +c (a ≠0)在平面直角坐标 系中的图象，根据图形判断 ①c ＞0；②a +b +c ＜0；③2a -b ＜0； ④b 2+8a ＞4ac 中，正确的是（填写序号） ② 、④ ． 7、（2010年天津市）已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠) 如图所示，有下列结论：（ D ） ①24 0b ac ->； ②0abc >； ③80a c +>； ④930a b c ++ <． 其中，正确结论的个数是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8、（2010毕节）函数2 y ax b y ax bx c =+=++和在同一直角坐标系内的图象大致是( C ) 9、（2010年兰州）抛物线y =ax 2 +bx +c 图象如图所示，则一次函数24b ac bx y +--=与反比例函数x c b a y ++=在同一坐标系内的图象大致为（ D ） x x x x x y O -1 1 10、（2010年崇文二模）矩形ABCD 中，8cm 6cm AD AB ==，．动点E 从点C 开始沿边CB 向点B 以2cm/s 的速度运动至点B 停止，动点F 从点C 同时出发沿边CD 向点D 以1cm/s 的速度运动至点D 停止．如图可得到矩形CFHE ，设运动时间为x （单位：s ），此时矩形ABCD 去掉矩形CFHE 后剩余部分的面积为y (单位：2 cm )，则y 与x 之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（ A ） (三) 二次函数y =ax 2+bx +c 1、平移：a 不变. 清移动谁，不妨画草图. 2结论：抛物线y =ax 2 +bx +c 关于x 2-bx -c 抛物线y -bx +c 3 结论：抛物线180°后的解析式为y = -a (x -h )2+k [例题] 1c 的图象，回答下面的问题： （1）判断a ，b （2）把抛物线向下平移6个单位，再向左平移2个单位，求平移 后抛物线的解析式； （3）把抛物线沿x 轴翻折，求翻折后抛物线的解析式. 2、（2010桂林）将抛物线2 21216y x x =-+绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是（ D ）． A ．2 21216y x x =--+ B ．2 21216y x x =-+- C ．2 21219y x x =-+- D ．2 21220y x x =-+- 3、将抛物线12+=x y 绕原点O 旋转180°，则旋转后抛物线的解析式为（ D ） A. 2x y -= B. 12+-=x y C. 12-=x y D. 12--=x y 4、(2010遵义市)如图，两条抛物线12 12 1+- =x y 、 12 1 22--=x y 与分别经过点()0,2-,()0,2且平行于 y 轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为（ A ） A ．8 B ．6 C ．10 D ．4 5、（2010毕节）把抛物线y =x 2+bx +c 向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y = x 2 -3x ＋5，则（ A ） A ．b =3，c =7 B ．b =6，c =3 C ．b =-9，c =-5 D ．b =-9，c =21 6、(2010台州市)如图，点A ，B 的坐标分别为（1, 4）和（ 抛物线n m x a y +-=2 )(的顶点在线段AB 上运动，与x C 、D 两点（C 在D 的左侧），点C 的横坐标最小值为 -3D 的横坐标最大值为（ D ） A ．－3 B ．1 C ．5 D ．8 7、（2010浙江温州）如图，抛物线y =ax 2+bx 经过点A (4，0)B (2，2). 连结OB ，AB . (1)求该抛物线的解析式； (2)求证：△OAB 是等腰直角三角形； (3)将△OAB 绕点O 按顺时针方向旋转l35°得到△O A′B′写出△O A′B′ 的边A′B′的中点P 的坐标．试判断点P 抛物线上，并说明理由. 8、(2009年北京)已知关于x 的一元二次方程22410x x k ++-=有实数根， k 为正整数． （1）求k 的值； （2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数 2241y x x k =++-的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析 式； （3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x 轴 下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图 象．请你结合这个新的图象回答：当直线1 (2 y x b b k = +＜)与此图象有两个公共点时，b 的取值范围. 解：（1）由题意：△=24-8k ≥0 ∴k ≤3 ∵k 为正整数 ∴k =1，2，3 （2）当k =1时，方程22410x x k ++-=有一根为0； 当k =2时，方程22410x x k ++-=无整数根； 当k =3时，方程22410x x k ++-=有两个非0的整数根. ∴k =1，k =2不合题意舍去，k =3 当k =3时，二次函数为2422++=x x y ， 把它的图象向下平移8个单位得到的图象解析式为 6422-+=x x y （3）设抛物线6422-+=x x y 与x 轴交于A 、B 两点， 则A （-3，0），B （1，0） 依题意翻折后的图象如图所示. 当直线b x y += 21(b 1 -=b 由图象可知b 的取值范围是2 3 21<<-b 9、（2010年镇江市）已知二次函数m x x y ++=22 的图象C 1与x . （1）求C 1的顶点坐标； （2）将C 1向下平移若干个单位后，得抛物线C 2，如果C 2与x 3，0）， 求C 2的函数关系式，并求C 2与x 轴的另一个交点坐标； （3）若n y y C y Q y n P 求实数且上的两点是,,),2(),,(21121>解：（1）1,1)1(222-=-++=++=x m x m x x y 对称轴为 x 与 轴有且只有一个公共点，∴顶点的纵坐标为0. ∴C 1的顶点坐标为（-1，0） （2）设C 2的函数关系式为,)1(2 k x y ++= 把A （-3，0）代入上式得,4,0)13(2-==++-k k 得 ∴C 2的函数关系式为.4)1(2-+=x y ∵抛物线的对称轴为x x 与,1-=轴的一个交点为A （-3由对称性可知，它与x 轴的另一个交点坐标为（1，0）. （3）当x y x 随时,1-≥的增大而增大， 当.2,,121>∴>-≥n y y n 时 2),,2(),(,111----- (四) 确定二次函数解析式 一般式：y =ax 2+bx +c (a ≠0) 顶点式：y =a (x -h )2+k (a ≠0) 双根式：y =a (x -x 1)( x -x 2) (a ≠0) 其中x 1、x 2是抛物线与x 轴交点的横坐标 确定抛物线的解析式一般需要两个或三个独立条件，灵活的选用不同方法求出抛物线的解析式是解与抛物线相关问题的关键. [例题] 1、（2007天津市）已知一抛物线与x 轴的交点是)0,2(-A ，B （1，0），且经过点C （2，8）. （1）求该抛物线的解析式； （2）求该抛物线的顶点坐标. 答案：（1）4222 -+=x x y ；（2）)2 9 ,21(-- 注：抛物线与x 轴两交点的不同说法应给学生作变式练习. -n , y 1)(n , y y 2) 2、（2007上海市）在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为(14)A -，，且过点(30)B ，. （1）求该二次函数的解析式； （2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x 轴的另一个交点的坐标. 解：（1）2 23y x x =--． （2）令0y =，得2 230x x --=，解方程，得13x =，21x =-． ∴二次函数图象与x 轴的两个交点坐标分别为(30)，和(10)-，． ∴二次函数图象向右平移1个单位后经过坐标原点． 平移后所得图象与x 轴的另一个交点坐标为(40)， 注：抛物线顶点的不同说法应给学生作变式练习. 3、（2007广东梅州）已知二次函数图象的顶点是(12)-，，且过点302? ? ??? ，． （1）求二次函数的表达式； （2）求证：对任意实数m ，点2 ()M m m -， 都不在这个二次函数的图象上. 解：（1）2 3 212+-- =x x y （2）证明：若点2()M m m -， 在此二次函数的图象上， 则2 21 (1)22 m m -=- ++． 得2230m m -+=． △=41280-=-<，该方程无实根． 所以原结论成立． 4、（2010年天津市）已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)中自变量x 和函数值y 的部分对应值如下表： 则该二次函数的解析式为 ．（2y x x =+-） (五) 二次函数与一元二次方程 方程与函数联系密切，我们可以用方程思想解决函数问题，也可以用函数思想讨论方程问题，在确定函数解析式中的待定系数、函数图象与坐标轴的交点、函数图象的交点等问题时，常将问题转化为解方程或方程组；而在讨论方程、方程组的解的个数、解的分布情况等问题时，借助函数图象能获得直观简捷的解答. 二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ，令y =0，则得02=++c bx ax ，这是一个关于x 的一元二次方程，它们的联系表现在：方程实根的个数、抛物线与x 轴交点的个数的讨论都可转化为由根的判别式△来讨论. 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解，重要的是求解的思路，包括解的范围、解 的精确度以及如何达到所要求的精确度等．同时利用图象法求解，还可以使学生进一步理解一元二次方程和二次函数之间的关系． [例题] 1、已知二次函数2 2y x x m =-++的部分图象如图所示，则关于 x 的一元二次方程220x x m -++=的解为 . （11-=x ，32=x ） 2、二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）写出方程2 0ax bx c ++=的两个根； （2）写出不等式20ax bx c ++>的解集； （3）写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围； （4）若方程2 ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围. 解：（1）11x =，23x = （2）13x << （3）2x > （4）2k < 3、函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，那么关于x 的方程ax 2 +bx +c - 的根的情况是（ A ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个异号的实数根 C ．有两个相等的实数根 D ．没有实数根 4、（2010年朝阳二模）已知二次函数y 1=x 2-x -2和一次函数y 2=x +1的两个交点分别为A (-1，0)，B (3，4)，当y 1＞y 2时，自变量x 的取值范围是（ A ） A ．x ＜-1或x ＞3 B ．-1＜x ＜3 C ．x ＜-1 D ．x ＞3 5、下列表格是二次函数y =ax 2+bx +c 的自变量x 与函数值y 的对应值，判断方程ax 2+bx +c =0 （a ≠0，a ，b ，c 为常数）的一个解x 的范围（ C ） A. 6 B. 6.17 C. 6.18 D. 6.19 6、已知抛物线)(2442是常数m m mx mx y -+-=． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）若 1 55 m <<，且抛物线与x 轴交于整数点，求此抛物线的解析式． 解：（1）依题意，得0≠m ， ∴2242=--=-=m m a b x ， 24168164)4()24(4442222-=--=---=-=m m m m m m m m a b ac y ． ∴抛物线的顶点坐标为)2,2(-． （2）∵抛物线与x 轴交于整数点， ∴02442=-+-m mx mx 的根是整数． ∴2x ==． ∵0m > ，∴2x =± ∴2 m 是完全平方数． ∵155m <<， ∴22 105m << ∴2 m 取1，4，9， 当21m =时，2=m ； 当24m =时，21=m ； 当29m =时，29 m =． ∴m 的值为2或21或2 9 ． ∴抛物线的解析式为6822 +-=x x y 或x x y 2212-=或22810999 y x x =--． (六) 实际问题与二次函数 1、建立平面直角坐标系，求二次函数解析式，解决实际问题. 一般步骤： (1)建立适当的平面直角坐标系，注意建立坐标系时以方便为原则； (2)设恰当的解析式； (3)求解析式，注意点在各象限中的符号； (4)根据解析式解决实际问题. [例题]、一位运动员在距篮下水平距离4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05米. 若该运动员身高1.8米，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？ 标，再利用点的坐标及待定系数法求出运行路线的解析式.最后算出跳离地面的高度. 解：如图建立直角坐标系. ∵点(2.5，3.5)是这段抛物线的顶点 ∴设解析式为：5.3)5.2(2+-=x a y （0≤x ≤4） ∵抛物线过点（4，3.05） ∴5.3)5.24(05.32+-=a a = -0.2 ∴5.3)5.2(2.02+--=x y （0≤x ≤4） 即25.22.02++-=x x y 当x =0时，y =2.25 ∴距地面高度是2.25-1.8-0.25=0.2米 法二：如图建立直角坐标系. ∵点(0，3.5)是这段抛物线的顶点 ∴设解析式为：2 3.5y ax =+（-2.5≤x ≤1.5） ∵抛物线过点（1.5，3.05） ∴5.35.105.32+?=a a = -0.2 ∴5.32.02+-=x y （-2.5≤x ≤1.5） 当x = -2.5时，y =2.25 ∴距地面高度是2.25-1.8-0.25=0.2米 2、最值问题 (1) 二次函数的最值应用主要体现在以下方面： ①解决实际问题中的最值问题； ②探讨几何图形中相关元素的最值. (2) 利用二次函数求最值问题的一般步骤： ①列出函数解析式； ②求自变量x 的取值范围； ③求a b x 2- =的值； ④判断a b x 2-=的值是否在x 的取值范围中：若在，a b ac y 442-=最值； 若不在，利用图象在端点处找最值或利用增减性找最值. [例题] 1、如图，用18米长的木方做一个有一条横档的矩形窗子， 窗子的宽不能超过2米. 为使透进的光线最多，则窗子的长、 宽应各为多少米？ 解：设窗子的宽为x m ，透光面积y m 2. x x y 9232 +- =（0＜x ≤2） ∵32=-=a b x 不符合0＜x ≤2 ∴由函数图象可知：当x =2时，y 最大=12 ∴当宽为2 m ，长为6 m 时，透进的光最多. 注：利用图象在端点处找最值. 2、某服装公司试销一种成本为每件50元的T 恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，试销中销售量y （件）与销售单价x （元）的关系可以近似的看作一次函数 （如图）． （1）求y 与x 之间的函数关系式； （2）设公司获得的总利润为P 元，求P 与x 之 间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； 根据题意判断：当x 取何值时，P 的值最大？ 最大值是多少？（总利润=总销售额-总成本） 解：（1）设b kx y x y +=的函数关系式为：与， ∵函数图象经过点（60，400）和（70，300） ∴? ??+=+=b k b k 7030060400 解得???=-=100010b k ∴100010+-=x y （2）)100010)(50(+--=x x P 500001500102-+-=x x P （50≤x ≤70） ∵7520 15002=--=-a b ，10-=a ＜0 ∴函数500001500102-+-=x x P 图象开口向下，对称轴是直线x=75 ∵50≤x ≤70，此时y 随x 的增大而增大 ∴当x =70时，6000=最大值P 注：利用增减性找最值. (七) 二次函数综合题 解二次函数综合题特别是解与几何结合的综合题，善于求点的坐标，进而求出函数解析式是解题的基础. 而充分发挥形的因素，数形互助，把证明与计算相结合是解题的关键. [例题] 1、已知抛物线)0()21(22≠+-+=k k x k x y 与x 轴交于两点A （x 1, 0），B （x 2, 0）（x 1≠x 2），顶点为C . (1) 若△ABC 为直角三角形，求k 的值； (2) 若△ABC 为等边三角形，求k 的值. 解：(1) 作CD ⊥AB 于D ，则AD =DB ∵△ABC 为直角三角形 ∴AD =CD y (件) ∵a AD 2? =，a CD 4?= ∴ a a 42?=? ∵△≠0 ∴△=4 ∵△= -4k +1 ∴-4k +1=4 4 3- =k (2) 同理∵△ABC 为等边三角形 ∴CD =3AD ∵a AD 2? =，a CD 4?= ∴ a a 234? = ? ∵△≠0 ∴△=12 ∵△= -4k +1 ∴-4k +1=12 4 11- =k 小结：已知抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴交于A （x 1, 0），B （x 2, 0）（x 1≠x 2）两点，顶 点为C . (1) △ABC 为直角三角形442=-=??ac b ； (2) △ABC 为等边三角形1242=-=??ac b 2、（2010安徽芜湖）如图，在平面直角坐标系中放置一矩形ABCO ，其顶点为A （0，1）、 B （-33，1）、 C （-33，0）、O （0，0）．将此矩形沿着过E （-3，1）、F （- 43 3 ，0）的直 线EF 向右下方翻折，B 、C 的对应点分别为B ′、C ′. （1 ）求折痕所在直线EF 的解析式； （ 2）一抛物线经过B 、E 、B ′三点，求此二次函数解析式； （3）能否在直线EF 上求一点P ，使得△PBC 周长最小？如能，求出点P 的坐标；若不能，说明理由． 解：（1）设EF 的解析式为y =kx +b ,，把E （1）、F （3 - ,0）的坐标代入： 1=+b 解得： k 0=3 - k +b b =4 ∴直线EF 的解析式为y +4 （2）设矩形沿直线EF 向右下方翻折，B 、C 的对应点分别为B ′、C ′ ∵BE ；∴B ′E = BE 在Rt △AE B ′中，根据勾股定理，求得：A B ′＝3，∴B′ 的坐标为（0，-2） 设二次函数的解析式为：y =ax 2+bx +c 把点B （-33，1）、E （，1）、B′（0，-2）代入 -2=c a =1 3- 3a b +c =1 解得： b = 27a －b +c =1 c =－2 ∴二次函数的解析式为y =13-x 2－2 （3）能，可以在直线EF 上找到点P ，连接B′C ，交直线EF 于点P ，连接BP . 由于B′P =BP ，此时，点P 与C 、B ′在一条直线上，所以，BP +PC = B′P +PC 的和最小，由于BC 为定长，所以满足△PBC 周长最小. 设直线B′C 的解析式为：y=kx +b -2=b 0= -k +b ∴直线B′C 的解析式为2y x =- 又∵P 为直线B′C 和直线EF 的交点， ∴ 29y x =- - 解得： x = y +4 10 11 y =- ∴点P 的坐标为（，10 11 -） 3、（2010年海淀二模）已知：抛物线2 (2)2y x a x a =+--（a 为常数，且0a >）. （1）求证：抛物线与x 轴有两个交点； （2）设抛物线与x 轴的两个交点分别为A 、B （A 在B 左侧），与y 轴的交点为C . ①当AC = ②将①中的抛物线沿x 轴正方向平移t 个单位（t >0），同时将直线l ：3y x =沿y 轴 正方向平移t 个单位.平移后的直线为'l ，移动后A 、B 的对应点分别为'A 、'B .当t 为何值时， 在直线'l 上存在点P ，使得△''A B P 为以''B A 为直角边的等腰直角三角形? 解：（1）证明：令0y =,则2 (2)20x a x a +--=. △=2 2)2(8)2(+=+-a a a ． ∵ 0>a , ∴ 02>+a ． ∴ △0>. ∴ 方程2 (2)20x a x a +--=有两个不相等的实数根. ∴ 抛物线与x 轴有两个交点. （2）①令0y =,则2 (2)20x a x a +--=， 解方程，得122,x x a ==-. ∵A 在B 左侧，且0a >， ∴抛物线与x 轴的两个交点为A (,0)a -，B (2,0). ∵ 抛物线与y 轴的交点为C ， ∴ (0,2)C a -. ∴ ,2AO a CO a ==. 在Rt △AOC 中，222 AO CO +=， 22(2)20a a +=． 可得 2a =±． ∵ 0a >， ∴ 2a =． ∴ 抛物线的解析式为2 4y x =-. ②依题意，可得直线'l 的解析式为3y x t =+，'A (2,0)t -，'B (2,0)t +, ''4A B AB ==. ∵ △''A B P 为以''B A 为直角边的等腰直角三角形， ∴ 当''90PA B ∠=?时，点P 的坐标为(2,4)t -或(2,4)t --. ∴ 3(2)4t t -+=. 解得 52t = 或12 t =. 当''90PB A ∠=?时，点P 的坐标为(2,4)t +或(2,4)t +-. ∴3(2)4t t ++=. 解得52t =- 或1 2 t =-（不合题意，舍去）. 综上所述，52t =或1 2 t =. 初中数学微课教案 科目数学年级七年级课题一元一次方程的应用 教学目标借助“线段图”分析行程问题中的数量关系，继续利用路程时间速度三个量之间的关系，列方程解应用题。 通过观察、类比进一步培养学生的数学创新能力，培养学生与人合作的能力，培养学生学习数学的热情。 学情简析通过新课的学习，学生已经掌握一元一次方程应用基本的解题思路、方法，会分析解决简单的实际问题，但整个知识掌握不系统、不全面，解题正确率不高。 教法发现法、练习法、讨论法教具多媒体课件、彩色粉笔、小黑板等 教学过程 教学环节教学内容教师活动学生活动 创设问题情境回顾旧知 例题赏析趣味数学： 小明和小刚从相距6千米的两地同时出发同向而行，小明 每小时走7千米，小刚每小时走5千米，小明带了一只小狗， 小狗每小时跑10千米，小狗随小明同时出发，向小刚跑去， 碰到小刚后就立即回头向小明跑去，碰到小明后再回头跑 向小刚……,直到小明追上小刚时才停住，求这条小狗一共 跑了多少路？ 温故知新 1.路程问题中路程速度时间三者的关系： 2.列方程解应用题的一般步骤： 3.路程问题中的两种基本题型： 例1：一列慢车从某站开出，每小时行驶48千米，45分钟后， 一列快车也从该站出发，与慢车同向而行，如要1.5小时追 上慢车，快车每小时需行多少千米？ 过程展示： 相等关 系：快车 路程=慢 车先行 路程+慢 车后行 路程 解：设快车每小时行x千米，由题意得 引导观察 提问 提出问题 讲解分析 思考回答 思考回答 计算 巩固练习 走进生活巩固练习1.5x=48×3/4 +48×1.5 解得：x=72 答：快车每小时需行72千米 练习1：小红和小明家距离300米，两人沿同一条路线出发 去某地，小明每秒跑4米，小红骑自行车每秒行10米，若 小明在小红的前面,则小红多长时间可追上小明？ 练习2：一队学生去校外进行军事野营训练，以5千米/时 的速度行进，走了12分钟的时候，学校要将一个紧急通知 传给队长，通讯员从学校出发骑自行车以14千米/时的速 度，按原路追上去，通讯员用多少时间可以追上学生队伍？ 在一次环城自行车比赛中，已知最快的运动员每小时行30 千米，最慢运动员每小时行10千米，环城一周为60千米， 则速度最快的运动员第一次遇到速度最慢的运动员需用多 少小时？ 1、和小明每天绕1个长为400米的环形跑道练习跑步，小彬 每秒跑6米，小明每秒跑4米，若二人同时同地同向跑步， 经几秒后首次相遇? 若二人同时同地反向跑步，经几秒后首次相遇？ 2、两站间路程384千米，一列慢车从甲站开出，速度为48 千米/时，慢车开出30分钟后，一列快车从乙站开出，速 度为72千米/时，两车相遇需多长时间？ 小明和小刚从相距6千米的两地同时出发同向而行，小明 个别指导 反馈纠正 引导分析 启发提问 计算 观察思考 计算 初中数学基础计算专题训练 专题一：有理数的计算 1. 2(3)2--? 2. 12411()()()23523 +-++-+- 3. 11 ( 1.5)4 2.75(5)4 2 -+++- 4. 8(5)63-?-- 5. 3145()2-?- 6. 25()()( 4.9)0.656 -+---- 722(10)5()5 -÷?- 8. 323(5)()5 -?- 9. 25(6)(4)(8)?---÷- 10. 1612()(2)4 7 2 ?-÷- 11.2(16503)(2)5 --+÷- 12. 32(6)8(2)(4)5-?----? 13. 21122()(2)2233-+?-- 14. 199711(10.5)3 ---? 15. 2232[3()2]23-?-?-- 16. 232()(1)043 -+-+? 17. 4211(10.5)[2(3)]3---??-- 18. 4(81)( 2.25)()169 -÷+?-÷ 19. 215[4(10.2)(2)]5---+-?÷- 20. 666(5)(3)(7)(3)12(3)777 -?-+-?-+?- 21. 235()(4)0.25(5)(4)8 -?--?-?- 22. 23122(3)(1)62 9 3 --?-÷- 专题二：整式的加减 1、化简（40分） (1) 12(x －0.5) （2）3x+(5y-2x ) （3）8y-(-2x+3y) （4）-5a+(3a-2)-(3a-7) （5）7-3x-4x 2+4x -8x 2-15 (6) 2(2a 2 -9b)-3(－4a 2 +b) （7）－2（8a+2b ）+4(5a ＋b) （8） 3（5a-3c ）－2(a-c) (9)8x 2 -[-3x-(2x 2 -7x-5)+3]+4x （10）(5a-3b)–3(a 2 -2b)+7(3b+2a) 2、先化简，后求值； （1）(5x-3y-2xy)-(6x+5y-2xy)，其中5-=x ，1-=y （2）)3 1 23()31(221y x y x x +-+--，其中2,1=-=y x （3）若()0322 =++-b a ，求3a 2 b －[2ab 2 －2（ab －1.5a 2 b ）+ab]+3ab 2 的值； 一、填空题： 1．一个正数a的平方根，用符号“________”表示，其中a叫做________，根指数是________． 2．平方根等于它本身的数是________，算术平方根等于它本身的数是________．3．________的平方根有两个，________的平方根只有一个，并且________没有平方根． 4．0.25的算术平方根是________． 5．9的算术平方根是________，的算术平方根是________． 6．36的平方根是________，若，则x＝________． 7．的平方根是________，的平方根是________，的算术平方根是________．8．81的平方根是________，算术平方根是________，算术平方根的相反数是 ________，平方根的倒数是________，平方根的绝对值是________．9．，则x＝________． 10．当 a________时，有意义． 二、判断并加以说明． 1．3 的平方是9；（） 2．1的平方根是1；（） 3．0的平方根是0；（） 4．无理数就是带根号的数；（） 5．的平方根是；（） 6．是25的一个平方根；（） 7．正数的平方根比它的平方小；（） 8．除零外，任何数都有两个平方根；（） 9．的平方根是；（） 10．没有平方根；（） 11．零是最小的实数；（） 12．23是的算术平方根．（） 三、选择题： 1．下列说法正确的是（）． A．的算术平方根是 B．的平方根是 C．的算术平方根是 D．的平方根是 2．在四个数0，，2，中，有平方根的是（）． A．0与 B．0，与 C．0与 D．0，2与 3．若，则x为（）． A．1 B． C． D． 4．的平方根是（）． A．3 B． C．9 D． 5．的算术平方根是（）． A．16 B． C．4 D． 6．如果有意义，则x的取值范围是（）． A．x≥0 B．x＞0 C．x＞ D．x≥ 7．如果一个自然数的平方根是(a≥0)，则下一个自然数的平方根为（）．A． B． C． D． 8．下列叙述正确的是（）． A．是7的一个平方根 B．11的平方根是 C．如果x有算术平方根，则x＞0 D． 9．计算的平方根，下列表达式正确的是（）． A． B． C． D． 初中数学教学设计方案 初中数学教学设计方案——小编整理了关于初中数学教学设计方案，以供各位老师和同学们参考!希望对于各位老师的教学工作有所帮助! 1.测试形式与工具(打√) (1)课堂提问√ (2)书面练习√ (3)达标测试√ (4)学生自主网上测试√ (5)合作完成作品 (6)其他 2.测试内容 一.相似三角形的判定定理在现实生活中的应用的应用 二. 全等三角形是相似三角形当相似比为1时的特殊情况，判定两个三角形全等的3个定理和判定两个三角形相似的3个定理之间有内在的联系，不同之处仅在于前者是后者相似比为1的情况. 三.边边对应成比例到比求三角形的面积的比，周长比，高度的比 四.证明两个三角形相似 相似三角形复习题 一.填空题：(24分) 1.两个相似三角形的面积比为4∶25，则它们的周长比为。 2.顺次连结三角形三边中点所构成的三角形与原三角形，它们的面积比为。 3.如图，AB∥DC，AC交BD于点O.已知，BO=6，则DO=_________。 4.某校绘制的校园平面图的面积为2.5m2，比例尺为1：200，则该校占地面积 m2 。 5.如图，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAC=∠ADC，AC=8，BC=16，那么CD=__________。 6.如图，AD、BC交于点E，AC∥EF∥BD，EF交AB于F，设AC=p，BD=q，则EF=_____。 7.如图，已知△ABC的周长为30cm，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，则△DEF的周长等于 cm。 8.如图，△ABC中，D是AB上一点，AD：DB=3：4，E是BC上一点。如果DB=DC， ∠1=∠2，那么S△ADC：S△DEB= 。 二、选择题(24分) 1.DE是DABC的中位线，则DADE与DABC面积的比是( ) A. 1：1 B. 1：2 C. 1：3 D. 1：4 2.如图，已知△ADE∽△ABC，相似比为2：3，则 =( ) (A)3：2 (B)2：3 (C) 2：1 (D)不能确定 3.如图，已知△ACD∽△BCA，若CD=4，CB=9，则AC等于( ) (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 4.△ADE∽△ABC，相似比为2：3，则△ADE与△ABC的面积比为( ) (A) 2：3 (B) 3：2 (C) 9：4 (D) 4：9 5.若DE是△ABC的中位线，△ABC的周长为6，则△ADE的周长为( ) (A)4 (B)3 (C)2 (D)1 6.如图，△ABC中，DE∥BC，AD=1，DB=2，AE=2，那么EC=( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 2014寒假初中数学分式计算题精选 参考答案与试题解析 一．选择题（共2小题） 1．（2012?台州）小王乘公共汽车从甲地到相距40千米的乙地办事，然后乘出租车返回，出租车的平均速度比公共汽车多20千米/时，回来时路上所花时间比去时节省了，设公共汽车的平均速度为x千米/时，则下面列出的方程 中正确的是（） A．B．C．D． 解答：解：设公共汽车的平均速度为x千米/时，则出租车的平均速度为（x+20）千米/时， 根据回来时路上所花时间比去时节省了，得出回来时所用时间为：×， 根据题意得出=×，故选：A． 2．（2011?齐齐哈尔）分式方程=有增根，则m的值为（） A．0和3 B．1C．1和﹣2 D．3 考点：分式方程的增根；解一元一次方程． 专题：计算题． 分析：根据分式方程有增根，得出x﹣1=0，x+2=0，求出即可．D 二．填空题（共15小题） 3．计算的结果是． 4．若，xy+yz+zx=kxyz，则实数k=3 分析： 分别将去分母，然后将所得两式相加，求出yz+xz+xy=3xyz，再将xy+yz+zx=kxyz 代入即可求出k的值．也可用两式相加求出xyz的倒数之和，再求解会更简单． 点评：此题主要考查学生对分式的混合运算的理解和掌握，解答此题的关键是先求出yz+xz+xy=3xyz．5．（2003?武汉）已知等式：2+=22×，3+=32×，4+=42×，…，10+=102×，（a，b均为正整数），则a+b= 109． 解答： 解：10+=102×中，根据规律可得a=10，b=102﹣1=99，∴a+b=109． 6．（1998?河北）计算（x+y）?=x+y． 初中数学经典易错题集锦及答案、选择题 1、A、B是数轴上原点两旁的点，则它们表示的两个有理数是------------------ ( ) A、互为相反数 B、绝对值相等 C、是符号不同的数 D、都是负数 2、有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简|a-b|-|a+b|的结果是-------------- ( ) A、2a B、2b C、2a-2b D、2a+b b 3、轮船顺流航行时m千米/小时，逆流航行时(m-6)千米/小时，则水流速度--------------- ( A、2千米/小时 B、3千米/小时 C、6千米/小时 D、不能确定 4、方程2x+3y=20的正整数解有------------------------------------- ( ) A、1个 B、3个 C、4个 D、无数个 5、下列说法错误的是------------------------------------------- ( ) A.两点确定一条直线B、线段是直线的一部分 C、一条直线是一个平角 D、把线段向两边延长即是直线 2 2 6?函数y=(m -1)x -(3m-1)x+2的图象与x轴的交点情况是 ----------------------- ----( ) A.当m丰3时，有一个交点B、m =二1时，有两个交 C、当m = 1时，有一个交点 D、不论m为何值，均无交点 7?如果两圆的半径分别为R和r ( R>r)，圆心距为d，且(d-r)2=R2，则两圆的位置关系是---------- ( ) A、内切 B、外切 C、内切或外切 D、不能确定 8、在数轴上表示有理数a、b、c的小点分别是A、B、C且b 基于微课的初中数学智慧课堂设计分析 发表时间：2018-05-22T09:24:10.747Z 来源：《知识-力量》3月下作者：李凯 [导读] 微课教学模式，是以信息化网络为主要的现代化工具，通过教学视频的制作来实现的教学。随着微课教学模式，在初中数学课堂教学中的应用，丰富了初中数学课堂教学的内容的同时，提升了学生学习数学知识的兴趣， （六盘水市师范学院数学与信息工程学院，贵州省六盘水市 553000） 摘要：微课教学模式，是以信息化网络为主要的现代化工具，通过教学视频的制作来实现的教学。随着微课教学模式，在初中数学课堂教学中的应用，丰富了初中数学课堂教学的内容的同时，提升了学生学习数学知识的兴趣，还在一定程度上构建了新型的初中数学智慧课堂。让初中数学教学的整体教学效果更加突出化，提升了初中数学教学的效率。为了能够更好的利用微课教学模式构建初中数学智慧课堂环境，需要我国的初中数学教学，善于把握微课教学模式功能的具体应用，不断的深入研究初中数学微课教学智慧课堂的构建与设计。从而促进初中数学教学质量的不断提升，让学生能够在优质的初中数学智慧课堂教学环境中，实现数学综合能力的拓展与提升。 关键词：微课教学；初中数学；智慧课堂；设计 初中数学教学的最终教学目标，是促进学生逻辑思维与分散性思维的强化，实现学生对于数学知识综合应用能力的提升。因而，教师就可以通过利用微课教学模式的功能优势，通过简短的教学视频，来让学生更直观的了解与掌握数学知识。让学生在教师所构建的数学课堂教学环境中，实现对数学知识的自主性探索与实践。 1、综合概述微课教学模式 微课教学模式，是当前较为先进的新型教学模式。它主要是以信息化网络为辅助性工具，通过相关的教学内容，来进行教学视频的设计与制作。微课教学模式，最早起源于美国的圣胡安学院。它包含着五个教学步骤，包括要求教师在实际应用的过程中，要为学生罗列出相应的知识重点；将教学内容进行细致化的总结；完整的制作教学视频；适当的布置课后作业；最终将教学视频与教学任务，及时上传到教学管理系统内。微课教学模式传入我国后，胡铁生教授则提出了教授视频为微课教学模式的主要载体。它属于通过利用信息化多媒体，来详尽地讲解某一知识点的新型教学活动，能够成为教学的重要工具与手段。 2、微课的初中数学智慧课堂设计研究 2.1制作高质量的教学课件 初中数学教师在利用微课，进行教学课堂的设计与制作时。应当遵循微课教学流程的要求，注意时间的控制，一般控制在10分钟范围内。在教学课件内容的设计上，应当对本节课程整体的教学内容进行适当的筛选，将重要的知识点进行罗列。同时，教师可以把相关的教学视频与讲座，适当的插入到教学课件中。最后，布置适当量的课后作业，把微课教学的内容进行有效的衔接，起到巩固知识点的作用。 2.2进行教学思路的创新 初中数学教师，要想进一步利用微课教学模式，实现智慧课堂的构建。就需要善于把握微课教学优势，进行教学思路的创新。让学生的创新思维能力被激发出来，促进学生数学思维转换能力的逐渐强化。 以人教版八年级下册“一次函数”教学内容为例，教师可以利用微课教学来布置适宜的课后作业。当y=kx+b时，函数图像的倾斜程度，会随着k值变化而产生相应的变化。而后，教师再向学生演示函数图像不同倾斜度的视频教学。让学生能够更加直观的了解这一知识点。有效的促进学生对数学知识直觉转换与观察能力的提升。此外，教师还可以通过微课教学平台的利用，引导学生自主对学习到的知识进行综合，同时掌握应用方法与技巧。从而让学生能够自主地进行数学思路的创新探索，寻找更加简化的解题思路与方法。促进学生在新型的数学智慧课堂环境中，实现数学综合应用与实践能力的提升。 2.3微视频设计 智慧型课堂设计中，微课教学离不开微视频的设计。微视频设计过程中，必须保证视频内容具有层次化，重视逻辑设计。从微视频任务布置、知识讲解，以及知识获取等方面全面布置，与此同时还要建立在智能化的提问与解决对策管理体系，不断拓展数学教学活动。当然学生在学习数学知识期间，必须对微视频进行深入感悟，这样才能真正理解微视频中的知识。观察微视频过程中，学生需要深入体验与感悟微视频，教师引导学生正确理解数学任务，规划好知识学习步骤与数学活动，帮助学生观察微视频，提升学生的个性化测试体验，解决数学学习中的问题，并且提升自身的数学学习能力。教师帮助学生对微视频进行解读，利用提前准备好的教学资源与工具，根据微视频教学原则对为微视频详细讲解。着重于一个知识点出发，不断延伸微视频内容，控制好微视频播放的时间，一节课程中微视频播放最佳时间为5-10min。教师还要指导学生对微视频内容进行练习，复制微视频的知识点，将其融入到新知识中，尊重数学知识中的差异性特点。 微视频在数学智慧课堂中的应用，支撑智慧课堂教学发展。特别是微视频教学中对课堂教学流程的规划，首先是布置任务。明确课堂教学目标，让学生与数学学习产生共鸣，认同数学学习内容，提高学生对数学学习的兴趣与知识水平，并且分层次布置数学任务。具体智慧型课堂中的教学应用，可以从支架式资源与教师讲解视频的录制方面出发，对具体的教学任务进行解读。其次是获得新知识。这期间教学任务是帮助学生寻找适当的学习方式，以探究的方式获得更多数学新知识。具体教学实施，主要也是结合支架式资源，对教学过程详细讲解，引导学生记录数学知识，及时将知识点进行统计分析。再次是个性化测试与提升环节。这一环节的任务主要是对学生进行个性化测试，根据具体的测试结果选择适当的数学学习方式。具体实施步骤中，需要教师制作测试单，检测学生当前的数学学习水平，并且将学生学习的过程以及测试结果进行统计，制定科学的学习方案。不断通过微视频提升学生的学习能力。最后是知识体系的个性化构建以及智慧型课堂的客观评价。期间教学任务是个性化构建问题以及解决问题的能力体系，利用典型问题解答的方式完成数学学习。具体需要通过微课资源的个性化设置、问题案例的分析等实现。以动态测试的方式，对学生数学学习的个体化进行凸显，划分班级、学校以及区域等，全方面进行数学教学。 结束语： 新课程改革的不断推进下，我国的各个教学领域都在进行相应的教学改革。而最为重要教学阶段的初中数学教学，更加应当迎合新课程改革的要求，研究最适宜当前教学需求的教学模式。微课教学模式，是我国当前初中数学教学中最为先进的教学模式。它不仅具有着加强大的功能优势，还能够极大的拓展学生的数学思路。因而，我国的初中数学教学教师，应当深度的把握微课教学模式的优势，制作高质 课题：定义与命题（一） 授课教师：朱成敏教材：浙教版 教学目标： 知识技能目标： 1．让学生了解定义的含义并了解给一些名称下定义的常用方法； 2．让学生了解命题的含义； 3．让学生掌握命题的结构，能够区分命题的条件和结论，会把命题改写成“如果……，那么……”的形式； 4．让学生了解类比的思维方法； 过程性目标： 5．让学生经历术语定义产生的过程，在通过类比、完成填空的过程中培养自学的能力；6．让学生经历“命题”这个名词的定义产生过程，进一步了解命题的含义。 教学重、难点： 1．了解命题的含义，能够区分“命题”与“正确的命题（真命题）”； 2．理解命题的结构，把命题改写成“如果……，那么……”的形式； 3．学生活动的组织. 教学方法与教学手段： 发现探究小组合作主体性讲解 教学过程： 一、组织活动、引入新课 创设“幸运52”的场景组织学生活动。 （第一关：幸运抢答） 在老师的描述中抢答出这是什么数学名词。 例如： 它是一种方程； 它是两边都是整式的方程； 它是只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都是整式的方程。 （答案：一元一次方程） （引入定义） （设计说明：用“幸运52”这种喜闻乐见的形式引入，让学生及早融入课堂，积极思考，也作为本节课的一个贯穿的背景。更重要的是，希望学生初步经历给名词下定义时候逐步明确的过程，最终清楚的表述就是名词的定义。） 二、探究一些名词的定义产生过程 定义：一般地，能清楚地规定某一名称或术语意义的句子叫做该名称或术语的定义。 例如: （1）“规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。” 是“数轴”的定义； （2）“能够完全重合的图形叫做全等图形”是“全等图形”的定义。 学生活动一：（小组活动） 如何给术语下定义： 学生单独学习一段材料，小组共同作答。 阅读材料： 1．选出下列图形中与众不同的一个。 （A ） （B ） （C ） （D ） 选C ，原因如下： 共同点：都是三角形。 不同点：C 选项没有直角，而其余三角形有一个内角是直角。 由此把A 、B 、D 选项归为一类，叫做 “直角三角形”。 定义为：“有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。” 填空作答： 2．选出下列式子中与众不同的一个。 （A ）0122 =++x x （B ）532=+ （C ）a a a 2223 -=-+ （D ）t t 53=- 选（ ），原因如下： 共同点：都是 不同点： 由此把 选项归为一类，叫做“ ”。 定义为： 的 叫做 。 3．请设计一个类似的问题，要求能够得到“平行四边形”的定义。 小结：请同学谈体会，如何给名词下定义。 （设计说明：通过这个活动，培养学生自学的能力，让学生经历给名词下定义的过程。为了真正做到有效的合作学习，在活动中考虑了以下问题：a.把活动的设计成左右的对比模式，让学生有意识地根据学习材料进行类比的思考；b.让学生在进行讨论之前先进行独立思考，有了自己的想法，然后再与别人交换意见，产生思维的碰撞，以真正达到讨论的目的。） 第二十四章圆经典训练题 24．1 圆 一、选择题． 1．如图1，如果AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，那么下列结论中，?错误的是（ ）． A ．CE=DE B ． BC BD = C ．∠BAC=∠BAD D ．AC>AD C (1) (2) (3) 2．如图2，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，则弦AB 的长是（ ） A ．4 B ．6 C ．7 D ．8 3．如图3，在⊙O 中，P 是弦AB 的中点，CD 是过点P 的直径，?则下列结论中不正确的是（ ） A ．A B ⊥CD B ．∠AOB=4∠ACD C ． A D BD = D ．PO=PD 二、填空题 1．如图4，AB 为⊙O 直径，E 是 BC 中点，OE 交BC 于点D ，BD=3，AB=10，则AC=_____． B A 2．P 为⊙O 内一点，OP=3cm ，⊙O 半径为5cm ，则经过P 点的最短弦长为________；?最长弦长为_______． 3．如图5，OE 、OF 分别为⊙O 的弦AB 、CD 的弦心距，如果OE=OF ，那么_______________（只需写一个正确的结论） 三、综合提高题 1．如图，⊙O 直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD 长． 24.1 圆(第2课时) 一、选择题． 1．如果两个圆心角相等，那么（ ） A ．这两个圆心角所对的弦相等; B ．这两个圆心角所对的弧相等 C ．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等; D ．以上说法都不对 2．在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD ，则两条弧AB 与CD 关系是（ ） A ． A B =2 CD B ． AB > CD C ． AB <2 CD D ．不能确定 3．如图5，⊙O 中，如果 AB =2 AC ，那么（ ） ． A ．AB=AC B ．AB=AC C ．AB<2AC D ．AB>2AC A B A 二、填空题 1．交通工具上的轮子都是做圆的，这是运用了圆的性质中的__________________． 2．一条弦长恰好为半径长，则此弦所对的弧是半圆的__________________． 3．如图6，AB 和DE 是⊙O 的直径，弦AC ∥DE ，若弦BE=3，则弦CE=________． 三、解答题 1．如图，在⊙O 中，C 、D 是直径AB 上两点，且AC=BD ，MC ⊥AB ，ND ⊥AB ，M 、N ?在⊙O 上． （1）求证： AM = BN ；（2）若C 、D 分别为OA 、OB 中点，则 AM MN NB ==成立吗？ B A 龙源期刊网 https://www.doczj.com/doc/6b11971684.html, 浅谈初中数学微课程设计 作者：彭正茂 来源：《新课程·教师》2017年第02期 （甘肃省兰州市第四十三中学） 摘要：从微课程的特点、微课程设计原则阐述了微课程设计中应该注意的方法，同时以 数学为例提出了三个适合数学不同类型的微课程设计，并给出设计者需注意的问题，抛砖引玉，深入研究微课程设计。 关键词：初中数学；微课程；设计 社会发展和生活节奏越来越快，人们更乐于接受简单、有趣、高效的学习方式，随着计算机和手机通讯系统的发展，通过移动互联网终端学习已不再是什么新鲜事。微课程也在这样的背景之下应运而生。 一、微课程的特点 所谓微课程，就是要包含“微”与“课程”两个部分，其中“微”更体现了学习方式，要做到这一点，必须减少学习时间，一般控制在10分钟以内。另外还要在这么短的时间内，完成“课程”所要求的目标和内容，并以学习者能够接受的方式。这不是将原本一堂课分解成若干个10分钟，而是要设计一节10分钟的课。 其实微课程并不算是新鲜事物，但是随着移动终端和智能手机的发展，微课程由于其灵活性、片段化、突出重点的教学内容，迅速被社会认可和接受。所以，灵活、便携、内容精练是其又一特点。 从课程的角度看，微课程不是以章节的方式呈现，而是以点的方式存在。各知识点之间相对独立，关联性要有但不能强。虽然课程肯定要有基础作为铺垫，但课程的独立性决定了微课程的完整性。如果微课程只作为课堂教学的辅助存在，作为课堂教学的补充，便很容易失去其独立性，将会失去微课程的生命力，从而成为某一课程的附属品。 微课程作为课程单独存在，其独立性是微课程能够风靡世界最重要的原因之一。如果学习者遇到某个知识点不明白，可以直接进入某个知识点内容的微课程，不牵扯前因后果，这极大地节约了学习者的时间。 二、微课程设计原则 《二元一次方程》教学设计 一、教材的地位与作用 《二元一次方程》是九年义务教育人教版教材七年级下册第四章《二元一次方程组》的第一节。在此之前学生已经学习了一元一次方程，这为本节的学习起了铺垫的作用。本节内容是二元一次方程的起始部分，因此，在本章的教学中，起着承上启下的地位。 二、教学目标 (一)知识与技能： 1．了解二元一次方程概念； 2．了解二元一次方程的解的概念和解的不唯一性； 3．会将一个二元一次方程变形成用关于一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式。 (二)数学思考： 体会学习二元一次方程的必要性，学会独立思考，体会数学的转化思想和主元思想。 (三)问题解决： 初步学会利用二元一次方程来解决实际问题，感受二元一次方程解的不唯一性。获得求二元一次方程解的思路方法。 (四)情感态度： 培养学生发现意识和能力，使其具有强烈的好奇心和求知欲。 三、教学重点与难点 教学重点：二元一次方程及其解的概念。 教学难点：二元一次方程的概念里“含未知数的项的次数”的理解；把一个二元一次方程变形成用关于一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式。 四、教法与学法分析 教法：情境教学法、比较教学法、阅读教学法。 学法：阅读、比较、探究的学习方式。 五、教学过程 1．创设情境，引入新课 从学生熟悉的姚明受伤事件引入。 师：火箭队最近取得了20连胜，姚明参加了前面的12场比赛，是球队的顶梁柱。（1）连胜的第12场，火箭对公牛，在这场比赛中，姚明得了12分，其中罚球得了2分，你知道姚明投中了几个两分球？(本场比赛姚明没投中三分球) 师：能用方程解决吗？列出来的方程是什么方程？ （2）连胜的第1场，火箭对勇士，在这场比赛中，姚明得了36分，你知道姚明投中了几个两分球，罚进了几个球吗？(罚进1球得1分,本场比赛姚明没投中三分球) 师：这个问题能用一元一次方程解决吗?,你能列出方程吗? 设姚明投进了x个两分球,罚进了y个球，可列出方程______。 （3）在雄鹿队与火箭队的比赛中易建联全场总共得了19分，其中罚球得了3分。你知道他分别投进几个两分球、几个三分球吗？ 设易建联投进了x个两分球，y个三分球,可列出方程______。 师：对于所列出来的三个方程，后面两个你觉的是一元一次方程吗？那这两个方程有什么相同点吗？你能给它们命一个名称吗？ 从而揭示课题。 （设计意图：第一个问题主要是让学生体会一元一次方程是解决实际问题的数学模型，从而回顾一元一次方程的概念；第二、三问题设置的主要目的是让学生体会到当实际问题不能用一元一次方程来解决的时候，我们可以试着列出二元一次方程，渗透方程模型的通用性。另外，数学来源于生活，又应用于生活，通过创设轻松的问题情境，点燃学习新知识的“导火索”，引起学生的学习兴趣，以“我要学”的主人翁姿态投入学习，而且“会学”“乐学”。） 2．探索交流，汲取新知 概念思辨，归纳二元一次方程的特征 师：那到底什么叫二元一次方程？（学生思考后回答） 师：翻开书本，请同学们把这个概念划起来，想一想，你觉得和我们自己归纳出来的概念有什么区别吗？（同学们思考后回答） 师：根据概念，你觉得二元一次方程应具备哪几个特征？ 活动：你自己构造一个二元一次方程。 4. x2-5x=0 5. x2-x-1=0 6. 化简3寸反+6、^言-2x 7. 因式分解 x 4-8x2y2+16y 4 2 1 _ 5 8. 2x+1 +2x-1 =4x2-1 9. 因式分解(2x+y) 2 -(x+2y) 2 10. 因式分解-8a2b+2a3+8ab2 11. 因式分解a 4-16 1 14. ( -V3 )o- I -3 I +(-1)2015+( 2 )-1 计算题 1. 2. 5x+2 3 x2+x ~x+1 3. 会+工=1 x-4 4-x 1 * * 12.因式分解 3ax2-6axy+8ab2 13.先化简，再带入求值（x+2） x2-2x+1 (x-1)- ,x= 3 3 ,,1 18. (-3-1) X (- 2 )2-2-1 + (- 2 )3 20. (x+1) 2-(x+2)(x-2) — 1 』 21. sin60 - I 1-V 3 I + (2 ) -1 22. (-5) 16 x (-2)15 (结果以幕的形式表示) 23. 若 n 为正整数且(m n ) 2 =9,求(1 m 3n ) 3 (m2)2n 3 24. 因式分解 a2+ac-ab-bc 25. 因式分解 x2-5x+6 26. 因式分解(x+2)(x+3)+x 2- 4 27. 因式分解(a2+1) 2-4a2 1 28. -1 2016 +18 + (-3) X I -2 I 17. 2x-1 (x+1 x-2 -x+1) / x2+2x+1 19. 1 2x-1 3 4x 2 、一 1 34.计算(-1) 2 - 4 X [2- (-3) 2] 35. 解二元一次方程组x-2y=1 36. 解二元一次方程组 37. 解二元一次方程组 38. 39. 40. 虹 x+3y=6 2(x-y) 3 匚5y- x=3 x+2y=6 I 3x-2y=2 解不等式 3 (x-1) >2x+2 3x+1 7x-3 解不等式飞 3 x+y 4 1 2 2(x-2) 5 v 20 化简a(a-1) 2-(a+1)(a2-a+1) a 41. (a-b _b_ + b-a) 1 a+b 一 - 1 42.当m*，求代数 式1 m+一m 1 43. (2 ) -1-(也-1) o + -3 I tan45o-cos60o + cos30o tan60 山x2-5x+6 44.先化简再求值总寂 3 .(1奇 2 )(1+x-3 )，其中x^/3 每日一题 初二数学 1.如图，点A是△ABC和△ADE的公共顶点，∠BAC+∠DAE=180°，AB=AE，AC=AD，点M是DE的中点，直线AM交直线BC于点N．将△ADE绕点A旋转，在旋转的过程中，请探究∠ANB与∠BAE的数量关系，并加以证明． 前沿，拓展：若题目中点M是DE的中点这一条件改成∠ANB+∠BAE=180°，求证：点M是DE的中点 初三数学 1..在Rt△ABC中，∠A=90°，D、E分别为AB、AC上的点． （1）如图1，CE=AB，BD=AE，过点C作CF∥EB，且CF=EB，连接DF交EB于点G，连接BF，请你直接写出的值； （2）如图2，CE=kAB，BD=kAE，求k的值。 初一数学 1.已知A=3a2-4ab，B=a2+2ab． （1）求A-2B； （2）若|3a+1|+（2-3b）2=0，求A-2B的值． 每日一题 初二数学 2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF=∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G， （1）求证：CF=BG； （2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB=CP+CF； 3）在（2）问的条件下，当∠GAC=2∠FCH时，若S△AEG=，BG=6，求AC的长． 初三数学 2.如图，BC为⊙O的直径，点A为⊙O上的点，以BC、AB为边作?ABCD，⊙O交于AD与点E，连接BE，点P是过点B的⊙O的切线上的一点．连结PE，且满足∠PEA=∠ABE． （1）求证：PB=PE；（2）若sin∠P=，求AB的值。 一、教材分析 1．教材的地位和作用： 定义与命题的知识在贯穿于整个初中数学知识体系,但作为单独的章节进行学习,还是首次,在设计上体现了对数学本原的思考,关注的是数学知识的产生和发展过程,目的就是为了通过本节课以及后续知识的学习,使学生感受整个数学体系的建立和完善的过程,是由实验几何向推理几何过渡的重要章节。而作为本章节的第一课时,为学生在本章节中更好的开展学习起着至关重要的作用。 2．学情分析：本节课针对的是八年级下学期的学生,他们在数学学习上已经有了一定的积累,但从数学知识的产生和发展的角度来学习和理解数学中最基本的概念,对学生来说也是第一次,在教学设计上要考虑学生对知识的可接受程度。另外,上课学校是一所知名学校,学生在学习上,应该具备一定的能力和水平,通过努力应该可以达到相应的教学要求。 二、教学目标 知识技能目标： 了解定义的含义,了解命题的含义,掌握区分命题的条件和结论,会将一些命题改写为“如果…,那么…”的形式。 过程与方法目标： 学生通过本节课内容的学习,使学生经历定义的产生过程,感受定义的必要性。同时对命题的含义有初步的体验。体验区分命题的条件和结论的重要性和必要性。 情感、态度与价值观目标： 通过与学生的交流互动,营造愉快、和谐的课堂氛围,积极鼓励学生参与和活动,使学生感受到学习数学的快乐,培养学生主动探索数学知识的积极态度。三、教学重点、难点 1．教学重点：命题的概念。 2．教学难点：命题的结构认识和改写。 四、教法与教具选择 1．教学方法：启发式教学。 2．教具选择：多媒体、其他教具。 五、教学过程 教学 环节 教学程序师生互动设计意图创设 情境“硬广告”的问题 引导学生参与 课堂交流 使学生感受到为了 进行有效的交流必 须引入定义。 新课 定义 1．定义的含义 一般地,能清楚地规定某一名称 或术语的意义的句子叫做该名称或术 语的定义。 定义的核心功能是能清楚地规定 名称和术语的意义。 2．对定义的强化巩固 （1）举出几个数学中的定义； （2）举出其他学科名称的定义。 3．如何定义 观察下列多项式的特征．给以名称,并 作出定义： x2–2x–1 2x2+3x+1 x2–2xy+2y2 4a2–4ab+b2 4．定义的价值 例题：校园中,并不令人在意的教室墙 角,却让我产生了兴趣。 问题1：按我们的生活经验,墙角的线 AO与BO 问题2：如何判断（验证）垂直？ 强调定义 的功能。 学生自由发言, 组织学生评价, 捕捉学生反馈 的信息,适时地 引导学生感受 数学定义的严 密性和简洁性 等。 师生交流，老师 引导，强调“次、 项”。 与学生交流，教 师归纳。 教给学生获取知识 的方法和途径,让学 生的学习可持续发 展。 从定义出发来判断, 解决问题．既体现定 义的价值,有可作为 定义到命题的情境 过渡。 从定义出发思考问 题的解决。 引例：比较下列句子在表述形式上,哪 些对事情作了判断？哪些没有对事情 作出判断？ （1）鸟是动物。学生自主完成。 突出语句的判断功 能。 针对学生在命题理A 计算题 1.3 3 +（π+3）0- 3 27 +∣ 3 -2∣ 2. 5x+2 x2+x = 3 x+1 3. 3-x x-4+ 1 4-x=1 4. x2-5x=0 5. x2-x-1=0 6. 化简2 39x +6 x 4-2x 1 x 7. 因式分解x4-8x2y2+16y4 8. 2 2x+1+ 1 2x-1= 5 4x2-1 9. 因式分解（2x+y）2-(x+2y)2 10. 因式分解-8a2b+2a3+8ab2 11. 因式分解a4-16 12. 因式分解3ax2-6axy+8ab2 13. 先化简，再带入求值（x+2）(x-1)-x2-2x+1 x-1,x= 3 14. ( - 3 )o-∣-3∣+(-1)2015+(1 2) -1 15. ( 1 a-1- 1 a2-1 )÷ a2-a a2-1 16. 2(a+1)2+(a+1)(1-2a) 17. (2x-1 x+1-x+1)÷ x-2 x2+2x+1 18. (-3-1)×(- 3 2)2-2 -1÷(- 1 2)3 19. 1 2x-1=2 4 3 - 2 1 x 20. (x+1)2-(x+2)(x-2) 21. sin60°-∣1- 3 ∣+（1 2） -1 22．（-5）16×(-2)15 (结果以幂的形式表示) 23. 若n为正整数且（m n）2=9,求（1 3m 3n）3(m2)2n 24. 因式分解a2+ac-ab-bc 25. 因式分解x2-5x+6 26. 因式分解(x+2)(x+3)+x2-4 27. 因式分解(a2+1)2-4a2 28. -12016+18÷(-3)×∣-1 2∣ 29. 先化简，再求值3(x2+xy-1)-(3x2-2xy),其中x=1，y= - 1 5 30. 计算3-4+5-(-6)-7 31. 计算-12+(-4)2×∣-1 8∣-82÷(-4)3 32.计算20-（-7）-∣-2∣ 33.计算（1 3- 5 9+ 11 12）×(-36) 初中数学经典试题 、选择题： 1、图（二）中有四条互相不平行的直线L1、L 2、L 3、L4所截出的七个角。关于这七个角的度数关系，下列何者正确？（） A．2＝4＋7 B．3＝1＋6 C．1＋4＋6＝180 D．2＋3＋5＝360 答案： C. 2、在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠ B 是锐角，将△ ACD沿对角线AC折叠，点D 落在△ ABC所在平面内的点 E 处。如果AE过BC的中点，则平行四边形ABCD的面积等于（ ）A 、48 B 、10 6C 、12 7D 、24 2 答案： C. 3、如图，⊙ O中弦AB、CD相交于点F，AB＝10，AF＝2。若CF∶DF＝1∶4，则CF 的长等于（） A 、2 B 、 2 C 、3 D 、 2 2 答案： B. 4、如图：△ ABP与△ CDP是两个全等的等边三角形，且PA⊥PD。有下列四个结论：①∠ PBC ＝150；② AD∥BC；③直线PC与AB垂直；④四边形ABCD是轴对称图形。其中正确结论的个数为（） 23 11 A 、1 B 、 2 C 、 3 D 、 4 答案： D. 5、如图，在等腰 Rt △ABC 中，∠ C=90o ， AC=8，F 是 AB 边上的 中点，点 D 、E 分别在 AC 、BC 边上运动，且保持 AD=CE ，连接 DE 、 DF 、EF 。在此运动变化的过程中，下列结论： ① △ DFE 是等腰直角三角形； ② 四边形 CDFE 不可能为正方形； ③ DE 长度的最小值为 4； ④ 四边形 CDFE 的面积保持不变；⑤△ CDE 面积的最大值为 8 。 其中正确的结论是（ ） A ．①②③ B ．①④⑤ C ．①③④ D ．③④⑤ 答案： B. 二、填空题： 6、已知 0 x 1. （1） 若 x 2y 6，则 y 的最小值是 (2). 若 x 2 y 2 3 ， xy 1，则 x y ＝ . 答案：（1）-3 ；（2）-1. 7、用 m 根火柴可以拼成如图 1 所示的 x 个正方形，还可以拼成如图 2 所示的 2y 个正方形， 那么用含 x 的代数式表示 y ，得 y ＝ ____________ ． 答 案： 31 y ＝ x － 55 2 2 1 8、已知 m 2－ 5m －1＝ 0，则 2m 2－ 5m ＋ 2＝ . m 答案： 28. 9、 ____________________ 范围内的有理数经过四舍五入得到的近 似数 答案：大于或等于且小于 . 10、如图：正方形 ABCD 中，过点 D 作 DP 交 AC 于点 M 、 交 AB 于点 N ，交 CB 的延长线于点 P ，若 MN ＝ 1，PN ＝ 3， 则 DM 的长为 . 11、在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y x 3 与两坐标轴围成一个△ AOB 。现将背面完全 图1初中数学微课教案
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