高中数学北师大版选修2-1课时作业：3.4.3 曲线与方程(3) 含解析

一、选择题1．已知F 是双曲线22:13y C x -=的右焦点，Q 是双曲线C 左支上的一点，(0,M 是y 轴上的一点.当MQF 的周长最小时，过点Q 的椭圆与双曲线C 共焦点，则椭圆的离心率为（ ）A ．25B ．45C ．15D ．232．已知12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若在右支上存在点A ，使得点2F 到直线1AF 的距离为2a ，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）A ．)+∞B ．C ．)+∞D ． 3．过抛物线24y x =焦点F ，斜率为k （0k >）的直线交抛物线于A ，B 两点，若3AF BF =，则k =（ ）A B ．2 C D ．1 4．圆22: ()4M x m y -+=与双曲线2222:1(0,0 ) y x C a b a b-=>>的两条渐近线相切于AB 、两点，若||1AB =，则C 的离心率为（ ）A B C ．14 D ．45．已知双曲线2221(0)x y a a -=>与椭圆22183x y +=有相同的焦点，则a =（ ）A B ．C ．2 D ．46．若圆222210x y ax y +-++=与圆221x y +=关于直线1y x =-对称，过点()2,C a a -的圆P 与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程为（ ）A ．24480y x y -++=B ．22220y x y +-+=C ．2210y x y ---=D ．24250y x y +-+=7．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的焦点到渐近线的距离为1，且与椭圆22182x y +=有公共焦点.则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．y x =B ．y =C ．y x =D ．y =8．椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为F 1，F 2，点P (x 1，y 1)，Q (-x 1，-y 1)在椭圆C 上，其中x 1>0，y 1>0，若|PQ |=2|OF 2|，11||||QF PF ≥，则离心率的取值范围为（ ） A．⎛ ⎝⎦ B．2] C．1⎤⎥⎝⎦D．1] 9．椭圆22221x y a b+=（0a b >>）上一点M 关于原点的对称点为N ，F 为椭圆的一个焦点，若0MF NF ⋅=，且3MNF π∠=，则该椭圆的离心率为（ ） A．1BCD110．已知椭圆22:12x C y +=，直线l 过椭圆C 的左焦点F 且交椭圆于A ，B 两点，AB 的中垂线交x 轴于M 点，则2||||FM AB 的取值范围为（ ） A ．11,164⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．11,84⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．11,162⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．11,82⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 11．以下关于圆锥曲线的命题中是真命题为（ ）A ．设,AB 是两定点，k 为非零常数，若||||PA PB k -=，则动点P 的轨迹为双曲线的一支；B ．过定圆C 上一定点A 作圆的动弦AB ，O 为坐标原点，若1()2OP OA OB =+，则动点P 的轨迹为椭圆；C ．方程22520x x -+=的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；D ．双曲线221925x y -=与椭圆22135y x +=有相同的焦点. 12．12,F F 为双曲线2214x y -=-的两个焦点，点P 在双曲线上，且1290F PF ︒∠=，则12F PF △的面积是（ ）A ．2B ．4C ．8D ．16二、填空题13．直线l 过抛物线28y x =的焦点F ，且与抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的中点到y 轴的距离是2，则AB =______.14．12F F 、分别为椭圆2214x y +=的左、右焦点，P 为该椭圆上一点，且1260F PF ︒∠=，则12F PF ∆的内切圆半径等于___________15．已知抛物线24y x = 上一点的距离到焦点的距离为5，则这点的坐标为_______． 16．已知双曲线221x my +=的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m =______.17．已知椭圆()222:1024x y C b b+=<<的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 为椭圆上一点，13PF =，123F PF π∠=，则b =______． 18．在平面直角坐标系中，已知椭圆22:12+=x E y ，直线10x y +-=与椭圆E 交于A ，B 两点，则△AOB 的外接圆圆心的坐标为______．19．已知点P 是抛物线24y x =上动点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为()1,0-，则PF PA的最小值为 ________. 20．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()220y px p =>的焦点为F ，准线为l ，()2,0C p ，过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B ，AF 与BC 相交于点E .若2AF CF =，且ACE △的面积为p 的值为______.三、解答题21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率e =，一条准线方程为x （1）求椭圆C 的方程；（2）设,G H 为椭圆上的两个动点，G 在第一象限，O 为坐标原点，若OG OH ⊥，GOH ，求OG 的斜率.22．已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>，焦距为2． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）点P 为椭圆C 的上顶点，过点P 作两条相互垂直的直线1l ，2l 分别与椭圆相交于M 、N 两点，若4tan 3∠=PNM ，求直线1l 的方程． 附：多项式因式分解公式()()32238642322-+-=--+t t t t t t ． 23．过椭圆)(2222:10x y C a b a b+=>>右焦点2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，1F 为其左焦点，已知1AF B △的周长为8 （1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C 恒有两个交点P ，Q ，且OP OQ ⊥？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．24．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点()2,1P ，离心率为2. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点P 作两条互相垂直的弦PA ，PB 分别与椭圆C 交于A ，B .（i ）证明直线AB 过定点；（ii ）求点P 到直线AB 距离的最大值.25．我们把经过椭圆的焦点且与过焦点的轴垂直的弦称为椭圆的正焦弦．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的正焦弦长为1，且点⎛ ⎝⎭在椭圆上． （1）求椭圆的方程；（2）经过点11,28P ⎛⎫- ⎪⎝⎭作一直线交椭圆于,A B 两点如果点P 为线段AB 的中点，求直线AB 的斜率；（3）若直线l 与（2）中的直线AB 平行，且与椭圆交于M ，N 两点，试求MON △（O 为坐标原点）面积的最大值．26．在平面直角坐标系中，(10,C ，圆(222:12C x y +=，动圆P 过1C 且与圆2C 相切.（1）求动点P 的轨迹C 的标准方程； （2）若直线l 过点()0,1，且与曲线C 交于A 、B ，已知AB 的中点在直线14x =-上，求直线l 的方程.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】当,,M Q E 三点共线时，MQ QE +最小，进而可求出Q 的坐标，结合椭圆的性质，可知椭圆的离心率EF e QE QF =+.【详解】由题意，双曲线22:13y C x -=中，2221,3,4a b c ===， 设双曲线的左焦点为E ，则()2,0E -，右焦点()2,0F ，则()222324MF =+=，根据双曲线的性质可知，2QF QE a -=，则MQF 的周长为26MF MQ QF MF MQ QE a MQ QE ++=+++=++，当,,M Q E 三点共线时，MQ QE +最小，此时MQF 的周长最小，此时直线ME 的方程为)32y x =+，联立)221332y x x y ⎧==+-⎪⎨⎪⎩，消去y 得450x +=，解得54x =-，则334y = 所以MQF 的周长最小时，点Q 的坐标为533,44⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 过点Q 的椭圆的左焦点()2,0E -，右焦点()2,0F ，则2222533533224444QE QF ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-++--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭614544=+=， 所以椭圆的离心率45EFe QE QF ==+. 故选：B.【点睛】 本题考查双曲线、椭圆的性质，考查椭圆离心率的求法，考查学生的计算求解能力，属于中档题.2．A解析：A【分析】由点()2,0F c 到直线1AF 的距离为2a ，可得出直线1AF 的方程为0ax by ac -+=，与双曲线联立，利用120x x <可建立关系求解.【详解】设点A 的坐标为(,)m n ，则直线1AF 的方程为()()0m c y n x c +-+=，点()2,0F c 到直线1AF 的距离为2a ，2a =，可得()a n m c b =+， 则直线1AF 的方程化为0ax by ac -+=，与双曲线方程联立，可得()4424422420b a x a cx a c a b ----=， A 在右支上，4224440a c a b b a--∴<-，即440b a ->，即220b a ->，即2220c a ->，则可得e >故选：A.【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 3．A解析：A【分析】 将直线方程代入抛物线可得212224k x x k++=，121=x x ，由3AF BF =可得1232x x =+，联立方程即可解出k .【详解】由题可得()1,0F ，则直线方程为()1y k x =-，将直线代入抛物线可得()2222240k x k x k -++=， 设()()1122,,,A x y B x y ，则212224k x x k++=，121=x x ， 由抛物线定义可得121,1AF x BF x =+=+，3AF BF =，则1232x x =+， 结合212224k x x k++=可得1222312,x x k k =+=，代入121=x x ，则223121k k⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭，由0k >，可解得k = 故选：A.【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式；（5）代入韦达定理求解.4．B解析：B【分析】 由曲线的对称性，以及数形结合分析得115b a =，从而求得其离心率. 【详解】 如图所示，1AB =，2MA MB ==，根据对称性可知,A B 关于x 轴对称，所以112sin 24AMO ∠==，因为OA AM ⊥，所以1cos 4AOM ∠=， 渐近线OA 的斜率tan 15a k AOM b =∠==，所以115b a =， 所以22411515c b e a a ==+=， 故选：B ．【点睛】方法点睛：本题考查双曲线离心率，求双曲线离心率是常考题型，涉及的方法包含： 1.根据,,a b c 直接求.2.根据条件建立关于,a c 的齐次方程求解.3.根据几何关系找到,,a b c 的等量关系求解.5．C解析：C【分析】先求出椭圆焦点坐（椭圆的半焦距），再由双曲线中的关系计算出a ．【详解】 椭圆22183x y +=的半焦距为c ∴双曲线中215a +=，∴2a =（∵0a >）．故选：C ．【点睛】晚错点睛：椭圆与双曲线中都是参数,,a b c ，但它们的关系不相同：椭圆中222a b c =+，双曲线中222+=a b c ，不能混淆．这也是易错的地方．6．D解析：D【分析】首先根据两圆的对称性，列式求a ，再利用直接法求圆心P 的轨迹方程.【详解】由条件可知222210x y ax y +-++=的半径为1，并且圆心连线所在直线的斜率是1-， ()()2222222101x y ax y x a y a +-++=⇔-++=，，圆心(),1a -，22r a =， 所以2111a a -⎧=-⎪⎨⎪=⎩，解得：1a =，即()2,1C -设(),P x y ，由条件可知PC x =x =，两边平方后，整理为24250y x y +-+=.故选：D【点睛】方法点睛：一般求曲线方程的方法包含以下几种：1.直接法：把题设条件直接“翻译”成含,x y 的等式就得到曲线的轨迹方程.2.定义法：运用解析几何中以下常用定义（如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发，直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程.3.相关点法：首先要有主动点和从动点，主动点在已知曲线上运动，则可以采用此法. 7．C解析：C【分析】求出椭圆焦点坐标，得双曲线的焦点坐标，再由焦点到渐近线的距离可求得,a b，得渐近线方程．【详解】由题意已知椭圆的焦点坐标为(，即为双曲线的焦点坐标，双曲线中c =渐近线方程为b y x a=±，其中一条为0bx ay -=，1==，1b =，∴a = ∴渐近线方程为y x =． 故选：C ．【点睛】 关键点点睛：本题考查椭圆与双曲线的焦点坐标，考查双曲线的渐近线方程，关键是求出,a b ．解题时要注意椭圆中222a b c =+，双曲线中222+=a b c ．两者不能混淆． 8．C解析：C【分析】 根据2||2PQ OF =，可得四边形12PFQF 为矩形，设12,PFn PF m ==，根据椭圆的定义以及勾股定理可得()22242c m n n m a c =+-，再分析18m t n m=+的取值范围， 进而求得()222422c a c <≤-，再求离心率的范围即可 【详解】设12,PF n PF m ==，由210,0x y >>，知m n <，因为()()1111,,,P x y Q x y --，在椭圆C 上，222PQ OP OF ==，所以，四边形12PFQF 为矩形，12=QFPF ；由11QF PF ≥1m n≤<， 由椭圆定义可得2222,4m n a m n c +=+=①；平方相减可得()222mn a c =-②；由①②得()2222242c m n m n mn n m a c +==+-； 令=+m n t n m，令3m v n ⎫=∈⎪⎪⎣⎭，所以，12,3t v v ⎛=+∈ ⎝⎦， 即()222422c a c <≤-，所以，()222223a c c a c -<≤-，所以，()222113e e e -<≤-，所以，2142e <≤-解得12e <≤ 故选：C【点睛】关键点睛：解题的关键在于运用椭圆的定义构造齐次式求椭圆的离心率， 即由椭圆定义可得2222,4m n a m n c +=+=①；平方相减可得()222mn a c =-②；由①②得()2222242c m n m n mn n m a c +==+-，然后利用换元法得出()222113e e e -<≤-，进而求解 属于中档题 9．D解析：D【分析】E 是另一个焦点，由对称性知MENF 是平行四边形，从而得MENF 是矩形．3MEF MNF π∠=∠=，在直角三角形MEF 中用c 表示出两直角边，再上椭圆定义得,a c 的等式，求得离心率．【详解】如图，E 是另一个焦点，由对称性知MENF 是平行四边形， ∵0MF NF ⋅=，∴MF NF ⊥，∴MENF 是矩形．3MNF π∠=，∴3MEF π∠=，∴1cos 232ME EF c c π==⨯=，2sin 3MF c π==，∴1)2MF ME c a +==，∴1c e a ===． 故选：D ．【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆的离心率，解题关键是找到,a c 的关系，本题利用椭圆的对称性，引入另一焦点E 后形成一个平行四边形MENF ，再根据向量数量积得垂直，从而得到矩形，在矩形中利用椭圆的定义构造出,a c 的关系．求出离心率．10．B解析：B 【分析】 当l ：0y =时，2||1||8FM AB =，设():10l x my m =-≠与椭圆联立可得：()222210my my +--=， 然后求得AB 的中垂线方程，令0y = ，得21,02M m ⎛⎫- ⎪+⎝⎭，然后分别利用两点间的距离公式和弦长公式求得||MF ，2||AB ，建立2||||FM AB 求解. 【详解】椭圆22:12x C y +=的左焦点为()1,0F -,当l ：0y =时，())()2,0,2,0,0,0A BM -，1,22FM AB ==所以2||1||8FM AB =， 设():10l x my m =-≠与椭圆联立22112x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得： ()222210my my +--=，由韦达定理得：1221222212m y y m y y m ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，取AB 中点为222,22m D m m -⎛⎫⎪++⎝⎭， 所以AB 的中垂线方程为：2212:22DM m l x y m m m ⎛⎫=--- ⎪++⎝⎭， 令0y = ，得21,02M m ⎛⎫-⎪+⎝⎭， 所以221||2m MF m +=+，又()()2222281||2m AB m +==+， 所以2222||121111=1(,)||818184FM m AB m m ⎛⎫+⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 综上所述2||11,||84FM AB ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭， 故选：B. 【点睛】思路点睛：1、解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单． 2、设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则弦长为AB ===k 为直线斜率)． 注意：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式大于零．11．C解析：C 【分析】①根据双曲线定义可得出判断；②不妨在单位圆x 2+y 2=1中，用代入法求得P 的轨迹方程可得判断；③求出方程22520x x -+=根，利用椭圆与双曲线的离心率的范围可得出判断； ④求出双曲线和椭圆的焦点坐标可得答案； 【详解】①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，当||||||PA PB k AB -==时，则动点P 的轨迹是以A 为端点的一条射线线，因此不正确； ②∵()12OP OA OB =+，∴P 为弦AB 的中点，不妨在单位圆x 2+y 2=1中，定点A （1，0），动点11(,)B x y ，设P （x ，y ），用代入法求得P 的轨迹方程是212x ⎛⎫- ⎪⎝⎭+y 2=14，∴点P 的轨迹为圆，错误；③解方程22520x x -+=可得两根12，2．因此12可以作为椭圆的离心率，2可以作为双曲线的离心率，因此方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率，正确；④由双曲线221925x y -=可得c，其焦点(，同理可得椭圆22135y x +=焦点为(0,，因此没有相同的焦点，错误； 综上可知：其中真命题的序号为 ③． 故选：C ． 【点睛】本题综合考查了圆锥曲线的定义、标准方程及其性质，考查了推理能力，属于中档题．12．B解析：B 【分析】先求出双曲线的a,b,c ，再利用12Rt PF F 中三边关系求出128PF PF =，再由直角三角形面积公式即得结果. 【详解】由2214x y -=-得标准方程为2214x y -=得221,4a b ==，2145c ∴=+=c ∴= 故12Rt PF F 中，()222212121212121222=2F F PF PF PF PFPF PF PF PF F F c ⎧==+⎪⎪=⎨+-=-⎪⎪⎩128PF PF ∴=所以12118422S PF PF =⋅=⨯=. 故选：B. 【点睛】本题考查了双曲线的定义和几何性质，考查了直角三角形的边长关系和面积公式，属于中档题.二、填空题13．【分析】设再表达出的坐标再利用抛物线的弦长公式求解即可【详解】设则利用中点坐标公式知又点M 到y 轴的距离为2故即又故利用过抛物线焦点的弦长公式故答案为：8【点睛】方法点睛：本题主要考查了过抛物线焦点的解析：【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，再表达出M 的坐标，再利用抛物线的弦长公式求解即可. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则利用中点坐标公式知1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭，又点M 到y 轴的距离为2，故1222x x +=,即124x x +=, 又28,4p p ==，故利用过抛物线焦点的弦长公式12448AB x x p =++=+=. 故答案为：8 【点睛】方法点睛：本题主要考查了过抛物线焦点的弦长公式，有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点，可直接使用公式12AB x x p =++，若不过焦点，则必须用一般弦长公式，考查学生的运算能力与转化思想，属于一般题.14．【分析】由题意知由余弦定理可得由面积公式即可求解【详解】因为分别为椭圆的左右焦点为该椭圆上一点所以则由余弦定理得即所以故的面积设的内切圆半径为则解得故答案为：【点睛】本题主要考查了椭圆的定义椭圆的简解析：13- 【分析】由题意知12124,F P PF F F +==1243F PPF =‖，由面积公式12121211sin |)2602(S F P PF F P PF F F r ︒=⋅+⋅=‖+|即可求解.【详解】因为12F F 、分别为椭圆2214x y +=的左、右焦点，P 为该椭圆上一点，所以12124,F P PF F F +==则由余弦定理得，2221212122cos 60F F F P PF F P PF ︒=+-‖，()2121212122cos602F P PF F P PF F P PF ︒=+--，即1212163F PPF =-‖，所以1243F PPF =‖， 故12PF F ∆的面积121sin 602S F P PF ︒=⋅‖=设12F PF ∆的内切圆半径为r ，则12121|)(4122(F P PF F F r r S +⋅=+⋅==+|，解得1r =-1 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，椭圆的简单几何性质，余弦定理，面积公式，属于中档题.15．【解析】由抛物线定义得即这点的坐标为 解析：(4,4)±【解析】由抛物线定义得215,4444x x y y +=∴=∴=⨯⇒=± ,即这点的坐标为()4,4±16．【分析】化双曲线方程为标准方程求得的值依题意列方程解方程求得的值【详解】双曲线方程化为标准方程得故依题意可知即解得【点睛】本小题主要考查双曲线的标准方程考查双曲线的虚轴和实轴考查运算求解能力属于基础题解析：1-4【分析】化双曲线方程为标准方程，求得,a b 的值，依题意列方程，解方程求得m 的值. 【详解】双曲线方程化为标准方程得2211y x m-=-，故1,a b == 依题意可知2b a =2=，解得14m =-.【点睛】本小题主要考查双曲线的标准方程，考查双曲线的虚轴和实轴，考查运算求解能力，属于基础题.17．【分析】作出图形利用椭圆的定义可求得利用余弦定理可求得的值进而可求得的值【详解】根据椭圆的定义：在焦点中由余弦定理可得：则所以故答案为：【点睛】本题考查利用椭圆的定义和余弦定理求椭圆方程中的参数考查解析：32【分析】作出图形，利用椭圆的定义可求得2PF ，利用余弦定理可求得c 的值，进而可求得b 的值. 【详解】根据椭圆的定义：2231PF a =-=，在焦点12PF F △中，由余弦定理可得：222212121242cos 73c F F PF PF PF PF π==+-⋅=，274c ∴=，则22279444b a c =-=-=，所以，32b =. 故答案为：32.【点睛】本题考查利用椭圆的定义和余弦定理求椭圆方程中的参数，考查计算能力，属于中等题.18．【分析】首先联立方程求得设圆心坐标利用其到△三个顶点的距离相等列出等量关系式求得结果【详解】联立方程可得：设圆心坐标则得：故答案为：【点睛】该题考查的是有关圆的问题涉及到的知识点有求直线与椭圆的交点解析：51,62⎛⎫⎪⎝⎭【分析】首先联立方程221012x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩，求得()0,1A ，41,33B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设圆心坐标(),x y ，利用其到△AOB 三个顶点的距离相等，列出等量关系式，求得结果.【详解】联立方程221012x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：()0,1A ，41,33B ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 设圆心坐标(),x y ，则()22222241133x y x y x y ⎛⎫-++=+=+- ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭， 得：56x =，12y =， 故答案为：51,62⎛⎫⎪⎝⎭．【点睛】该题考查的是有关圆的问题，涉及到的知识点有求直线与椭圆的交点，三角形外接圆的圆心的求法，属于简单题目.19．【分析】过P 做准线的垂线根据定义可得将所求最小转化为的最小结合图像分析出当PA 与抛物线相切时最小联立直线与抛物线方程根据判别式求出PA 斜率k 进而可得的值代入所求即可【详解】由题意可得抛物线的焦点准线【分析】过P 做准线的垂线，根据定义可得PF PM =，将所求PFPA最小，转化为sin PMPAM PA=∠的最小，结合图像分析出，当PA 与抛物线相切时，PAM ∠最小，联立直线与抛物线方程，根据判别式求出PA 斜率k ，进而可得PAM ∠的值，代入所求即可。

曲线与方程学业测评一、选择题1.已知曲线C 的方程为x 2－xy ＋y －5＝0，则下列各点中，在曲线C 上的点是( ) A ．(－1，2) B ．(1，－2) C ．(2，－3) D ．(3，6)2．方程|x |＋|y |＝1表示的曲线是( )3．方程(x ＋y －2)x 2＋y 2－4＝0的曲线是( ) A ．两个点 B ．一个圆 C ．一条直线和一个圆 D ．两条射线和一个圆4．已知定点A (－1,0)，B (1,0)，动点P 满足直线PA ，PB 的斜率之积为－1，则动点P 满足的方程是( )A ．x 2＋y 2＝1 B ．x 2＋y 2＝1(x ≠±1) C ．x 2＋y 2＝1(x ≠0)D ．y ＝1－x 2(x ≠±1)5．已知两定点A (－2,0)、B (1,0)，如果动点P 满足|PA |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于( )A ．πB ．4πC ．8πD ．9π二、填空题6．若曲线C ：xy ＋3x ＋ky ＋2＝0，当k ＝________时，曲线经过点(2，－1)． 7．已知点M 到定点F (1,0)的距离和它到定直线l ：x ＝4的距离的比是常数12，设点M的轨迹为曲线C ，则曲线C 的轨迹方程是________．8.已知动点P 在曲线2x 2－y ＝0上移动，则点A (0，－1)与点P 连线的中点M 的轨迹方程是 ______ ．9．下列结论正确的是________．(填序号) ①方程xy －2＝1表示斜率为1，在y 轴上的截距是2的直线；②△ABC 的顶点坐标分别为A (0,3)，B (－2,0)，C (2,0)，则中线AD 的方程是x ＝0； ③到x 轴距离为5的点的轨迹方程是y ＝5；④曲线2x 2－3y 2－2x ＋m ＝0通过原点的充要条件是m ＝0.三、解答题10．如图3­4­2所示，圆O1和圆O2的半径都等于1，|O1O2|＝4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN(M、N)为切点，使得|PM|＝2|PN|.试建立平面直角坐标系，并求动点P的轨迹方程．图3­4­2。

圆锥曲线的共同特征直线与圆锥曲线的交点课时目标.了解圆锥曲线的共同特征，并会简单的应用.会判断直线与圆锥曲线的位置关系以及求与弦的中点有关的问题．．圆锥曲线的共同特征圆锥曲线上的点到的距离与它到的距离之比为定值.当时，该圆锥曲线为椭圆；当时，该圆锥曲线为抛物线；当时，该圆锥曲线为双曲线．．曲线的交点设曲线：(，)＝，：(，)＝，(，)是与的公共点(\\(,))，故求曲线交点即求方程组(\\((，(＝(，(＝))的实数解．一、选择题．如图中共顶点的椭圆①②与双曲线③④的离心率分别为、、、，其大小关系为( )．<<<．<<<．<<<．<<<．直线＝与曲线＋＝(∈且≠)的公共点的个数为( )．．．．．已知双曲线－＝ (>，>)的右焦点为，若过点且倾斜角为°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( )．() ．(－)．(，＋∞) ．，＋∞)．已知抛物线的方程为＝，过点(，－)和点()的直线与抛物线没有公共点，则实数的取值范围是( )．(－∞，－)∪(，＋∞)∪．(－∞，－)∪(，＋∞)．(－∞，－)∪(，＋∞)．若直线＝＋和椭圆＋＝有且只有一个交点，那么的值为( )．已知抛物线＝(>)，过其焦点且斜率为的直线交抛物线于、两点，若线段的中点的纵坐标为，则该抛物线的准线方程为( )．＝．＝－．＝．＝－二、填空题．已知长方形，＝，＝，则以、为焦点，且过、两点的椭圆的离心率为．．过椭圆＋＝的右焦点作一条斜率为的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，则△的面积为．．点()平分双曲线－＝的一条弦，则这条弦所在直线的方程是．三、解答题．中心在坐标原点、焦点在轴上的椭圆，它的离心率为，与直线＋－＝相交于、两点，若以为直径的圆经过坐标原点，求椭圆方程．能力提升．设抛物线＝的焦点为，过点(，)的直线与抛物线相交于，两点，与抛物线的准线相交于点，＝，则△与△的面积之比等于( )．设双曲线：－＝ (>)与直线：＋＝相交于两个不同的点、.()求双曲线的离心率的取值范围；()若设直线与轴的交点为，且＝，求的值．。

§4曲线与方程4．1曲线与方程授课提示：对应学生用书第46页一、方程的曲线与曲线的方程的意义一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：1．曲线上点的坐标都是这个方程的解；2．以这个方程的解为坐标的点都在曲线上．那么，这个方程叫作曲线的方程，这条曲线叫作方程的曲线．二、求曲线方程(直接法)的一般步骤1．建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；2．写出适合条件的点M的集合P＝{M|p(M)}；3．用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0；4．化方程f(x，y)＝0为最简形式；5．说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．一般地，步骤5可以省略不写，如有特殊情况，可以适当说明，另外也可以省略2，直接列出曲线方程．[疑难提示]对曲线与方程的理解曲线是满足条件的图形，方程是曲线的方程，包含对其中未知数的限制．[想一想]1．如果曲线C的方程是f(x，y)＝0，那么点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是什么？提示：若点P在曲线C上，则f(x0，y0)＝0；若f(x0，y0)＝0，则点P在曲线C上，∴点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是f(x0，y0)＝0.[练一练]2．设方程f(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C 上”是不正确的，则下列命题正确的是()A．坐标满足方程f(x，y)＝0的点都不在曲线C上B．曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x，y)＝0C．坐标满足方程f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上D．一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0解析：“坐标满足方程f (x ，y )＝0的点都在曲线C 上”不正确，即“坐标满足方程f (x ，y )＝0的点不都在曲线C 上”是正确的．“不都在”包括“都不在”和“有的在，有的不在”两种情况，故A 、C 错．B 显然错．答案：D授课提示：对应学生用书第47页探究一 曲线与方程的概念[典例1] 已知方程x 2＋(y －1)2＝10.(1)判断点P (1，－2)，Q (2，3)是否在此方程表示的曲线上；(2)若点M (m 2，－m )在此方程表示的曲线上，求m 的值． [解析] (1)∵12＋(－2－1)2＝10，(2)2＋(3－1)2＝6≠10，∴点P (1，－2)在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，点Q (2，3)不在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上．(2)∵点M (m 2，－m )在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，∴x ＝m 2，y ＝－m 适合上述方程，即(m 2)2＋(－m －1)2＝10，化简整理得5m 2＋8m －36＝0，解得m ＝2或m ＝－185， ∴m 的值为2或－185.“曲线的方程”和“方程的曲线”是以平面直角坐标系为平台的两个重要概念，两者必须同时具备以下两个条件：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上．也就是说，曲线C 是一个点集，以方程f (x ，y )＝0的实数解为坐标的点的集合F ＝{(x ，y )|f (x ，y )＝0}，曲线和方程的概念中的两个条件可以表示为(1)C ⊆F ；(2)F ⊆C .由两个集合相等的概念知C ＝F .所以曲线和方程的概念中的两个条件实际上是两个集合相等，这是判断方程是否为所给曲线的方程，曲线是否为所给方程的曲线的标准．1．下列曲线(含直线)与方程能否建立“曲线的方程”和“方程的曲线”的关系？说明理由．(1)曲线C ：过点A (2,0)且平行于y 轴的直线；方程f (x ，y )＝0：|x |＝2.(2)曲线C ：到两坐标轴的距离的积等于1的点的集合；方程f (x ，y )＝0：xy ＝1.解析：(1)过点A (2,0)且平行于y 轴的直线上的点的坐标x ＝2都是方程|x |＝2的解；而以方程|x |＝2的解为坐标的点不都在这条直线上．也就是说，曲线与方程只满足关系(1)而不满足关系(2)，故该曲线C 的方程为x ＝2，方程|x |＝2表示两条直线．(2)到两坐标轴的距离的积等于1的点的坐标不都是方程xy ＝1的解，如点(1，－1)，而以方程xy ＝1的解为坐标的点都在曲线C 上．也就是说，曲线与方程只满足关系(2)而不满足关系(1)，故该曲线C 的方程为xy ＝±1，方程xy ＝1表示位于一、三象限的双曲线．2．(1)判断点A (－4,3)，B (－32，－4)，C (5，25)是否在方程x 2＋y 2＝25(x ≤0)所表示的曲线上；(2)方程x 2(x 2－1)＝y 2(y 2－1)所表示的曲线是C ，若点M (m ，2)与点N ⎝⎛⎭⎫32，n 在曲线C 上，求m ，n 的值．解析：(1)把点A (－4,3)的坐标代入方程x 2＋y 2＝25中，满足方程，且点A 的横坐标满足x ≤0，则点A 在方程x 2＋y 2＝25(x ≤0)所表示的曲线上；把点B (－32，－4)的坐标代入x 2＋y 2＝25， 因为(－32)2＋(－4)2＝34≠25，所以点B 不在方程x 2＋y 2＝25(x ≤0)所表示的曲线上；把点C (5，25)的坐标代入x 2＋y 2＝25，得(5)2＋(25)2＝25，满足方程，但因为横坐标5不满足x ≤0的条件，所以点C 不在方程x 2＋y 2＝25(x ≤0)所表示的曲线上．(2)因为点M (m ，2)，N ⎝⎛⎭⎫32，n 在曲线C 上，所以它们的坐标都是方程的解，所以m 2(m 2－1)＝2×1，34×⎝⎛⎭⎫－14＝n 2(n 2－1)，解得m ＝±2，n ＝±12或±32.探究二 根据方程研究曲线[典例2] 方程y ＝|x |x2所表示的图形是( )[解析] 方程y ＝|x |x 2＝⎩⎨⎧ 1x ，x ＞0，－1x ，x ＜0，结合各选项的图形可得正确的图形为 B.[答案] B判断方程表示什么曲线的问题，一般的解题方法是对方程进行同解变形，此时可将方程视为函数，研究其定义域，从而把方程变形到易于判断或熟知的方程为止．对于复杂的方程，需进行因式分解，得到每个简单方程表示的曲线，此时，原方程表示的曲线即为上述各曲线．3．方程(2x ＋3y －1)(x －3－1)＝0表示的曲线是( )A ．两条直线B ．两条射线C ．两条线段D ．一条直线和一条射线解析：由(2x ＋3y －1)(x －3－1)＝0，得2x ＋3y －1＝0(x ≥3)或x －3－1＝0，即2x ＋3y －1＝0(x ≥3)或x ＝4，所以方程(2x ＋3y －1)(x －3－1)＝0表示的曲线是一条直线和一条射线．故选D.答案：D4．(1)方程(x ＋y －1)x －1＝0表示什么曲线？(2)方程2x 2＋y 2－4x ＋2y ＋3＝0表示什么曲线？解析：(1)由方程(x ＋y －1)x －1＝0可得：⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x ＋y －1＝0，或x －1＝0， 即x ＋y －1＝0(x ≥1)或x ＝1，∴方程表示直线x ＝1和射线x ＋y －1＝0(x ≥1)，(2)方程的左边配方得2(x －1)2＋(y ＋1)2＝0，而2(x －1)2≥0，(y ＋1)2≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2(x －1)2＝0，(y ＋1)2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1， ∴方程表示的图形为点A (1，－1)．探究三 求曲线的方程求曲线方程的常用方法—⎪⎪⎪⎪ —直接法—定义法—代入法—参数法5．已知A (0,4)，点B 是曲线2x 2＋1－y ＝0上任意一点，且M 是线段AB 的中点，求动点M 的轨迹方程．解析：设B (x 1，y 1)，M (x ，y )，由M 是线段AB 的中点，得⎩⎨⎧x ＝x 12y ＝y 1＋42，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x y 1＝2y －4. 又点B 在曲线2x 2＋1－y ＝0上，∴2x 21＋1－y 1＝0，∴2×(2x )2＋1－(2y －4)＝0，即8x 2－2y ＋5＝0，∴动点M 的轨迹方程是8x 2－2y ＋5＝0.6．已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在⊙C 1的内部，且和⊙C 1内切，和⊙C 2外切，求动圆圆心的轨迹方程．解析：由已知可得圆C 1与C 2的圆心坐标分别为C 1(4,0)，C 2(－4，0)，其半径分别为r 1＝13，r 2＝3.设动圆的圆心为C ，其坐标为(x ，y )，动圆的半径为r .由于圆C 1与圆C 相内切，依据两圆内切的充要条件，可得|C 1C |＝r 1－r .①由于圆C 2与圆C 相外切，依据两圆外切的充要条件，可得|C 2C |＝r 2＋r .②由①＋②可得|CC 1|＋|CC 2|＝r 1＋r 2＝13＋3＝16，即点C 到两定点C 1与C 2的距离之和为16，且|C 1C 2|＝8，可知动点C 的轨迹是以C 1与C 2为焦点的椭圆．由题意，得c ＝4，a ＝8，∴b 2＝a 2－c 2＝64－16＝48.即动圆圆心的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆，其方程为x 264＋y 248＝1. 7．已知A 为定点，线段BC 在定直线l 上滑动，|BC |＝4，点A 到直线l 的距离为3，求△ABC 外心的轨迹方程．解析：建立平面直角坐标系，使x 轴与l 重合，点A 在y 轴上(如图所示)，则A (0,3)． 设△ABC 的外心为P (x ，y )，因为点P 在线段BC 的垂直平分线上，所以不妨令B (x ＋2,0)，C (x －2,0)．连接AP ，BP .因为点P 在线段AB 的垂直平分线上，所以|P A |＝|PB |，即x 2＋(y －3)2＝22＋y 2，化简得x 2－6y ＋5＝0.于是△ABC 外心的轨迹方程为x 2－6y ＋5＝0.8．A 为定点，线段BC 在定直线l 上滑动，已知|BC |＝4，A 到l 的距离为3，求△ABC 的外心的轨迹方程．解析：解法一(直接法) 建立平面直角坐标系，使x 轴与l 重合，A 点在y 轴上(如图所示)，则A (0，3)．设外心P 的坐标为(x ，y )，∵P 在BC 的垂直平分线上，∴B (x ＋2,0)，C (x －2,0)．∵P 也在AB 的垂直平分线上，∴|P A |＝|PB |，即x 2＋(y －3)2＝22＋y 2，化简，得x 2－6y ＋5＝0.即△ABC 的外心的轨迹方程为x 2－6y ＋5＝0.解法二(参数法) 建立坐标系(同解法一)，得A (0,3)．设BC 边的垂直平分线的方程为x ＝t ，①则点B 的坐标为(t ＋2,0)，于是AB 的中点是⎝⎛⎭⎫t ＋22，32，从而AB 的垂直平分线方程为y －32＝t ＋23⎝⎛⎭⎫x －t ＋22.② 由①②式消去t ，得x 2－6y ＋5＝0，即为所求．转化思想在求解有关轨迹方程问题中的应用[典例] 已知点Q (2,0)和圆x 2＋y 2＝1，动点M 到圆O 的切线长等于圆O 的半径与|MQ |的和，求动点M 的轨迹方程．[解析] 如图，过M 作圆的切线MN ，N 为切点，设M (x ，y )．由题意知|MN |＝|MQ |＋|ON |，由于|MN |＝|OM |2－|ON |2＝x 2＋y 2－1， |MQ |＝ (x －2)2＋y 2，|ON |＝1， 所以x 2＋y 2－1＝(x －2)2＋y 2＋1两边平方整理得2x －3＝(x －2)2＋y 2，再两边平方整理得3x 2－y 2－8x ＋5＝0.即：9⎝⎛⎭⎫x －432－3y 2＝1.因为2x －3＝(x －2)2＋y 2中2x －3≥0，所以x ≥32.所以动点M 的轨迹方程为9⎝⎛⎭⎫x －432－3y 2＝1⎝⎛⎭⎫x ≥32. [感悟提高] (1)对方程的化简及自变量的取值是重难点．(2)求曲线方程要注意两个等价：一是所列方程与题目要求是否等价；二是对方程化简变形是否等价．莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……学 习 资 料 专 题3.3.1 双曲线及其标准方程[基础达标]1.双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( ) A ．(22，0) B ．(52，0) C ．(62，0) D ．(3，0)解析：选C.将双曲线方程化为标准方程为x 2－y 212＝1，∴a 2＝1，b 2＝12，∴c ＝a 2＋b 2＝62，故右焦点的坐标为(62，0)． 2.已知双曲线C 的右焦点为F (3，0)，c a ＝32，则C 的标准方程是( )A.x 24－y 25＝1 B ．x 24－y 25＝1C.x 22－y 25＝1 D ．x 22－y 25＝1解析：选B.由题意可知c ＝3，a ＝2，b ＝c 2－a 2＝32－22＝5，故双曲线的标准方程为x 24－y 25＝1.3.若双曲线x 24－y 212＝1上的一点P 到它的右焦点的距离为8，则点P 到它的左焦点的距离是( )A ．4B ．12C ．4或12D ．6解析：选C.设P 到左焦点的距离为r ，c 2＝12＋4＝16，c ＝4，a ＝2，c －a ＝2，则由双曲线定义|r －8|＝4，∴r ＝4或r ＝12，4，12∈[2，＋∞)，符合题意．4.已知双曲线C ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为双曲线C 的右支上一点，且|PF 2|＝|F 1F 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．24B ．36C ．48D ．96解析：选C.a ＝3，b ＝4，c ＝5，|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ＝10，|PF 1|＝2a ＋|PF 2|＝6＋10＝16，F 2到PF 1的距离为6，故S △PF 1F 2＝12×6×16＝48.5.已知F 1，F 2为双曲线x 2－y 2＝2的左，右焦点，点P 在该双曲线上，且|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( )A.14 B ．35 C.34D ．45解析：选C.双曲线方程可化为x 22－y 22＝1，a ＝b ＝2，c ＝2，由⎩⎨⎧|PF 1|＝2|PF 2||PF 1|－|PF 2|＝22，得|PF 2|＝22，|PF 1|＝42，又∵|F 1F 2|＝2c ＝4，在△F 1PF 2中，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝（42）2＋（22）2－422×42×22＝34. 6.双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点为(0，3)，则k 的值为________． 解析：依题意，双曲线方程可化为y 2－8k －x 2－1k＝1，已知一个焦点为(0，3)，所以－8k －1k ＝9，解得k ＝－1.答案：－17.在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－6，0)和C (6，0)，若顶点B 在双曲线x 225－y 211＝1的左支上，则sin A －sin Csin B＝________．解析：A (－6，0)，C (6，0)为双曲线x 225－y 211＝1的左，右焦点．由于B 在双曲线左支上，在△ABC 中，由正弦定理知，|BC |＝2R sin A ，|AB |＝2R sin C ，2R sin B ＝|AC |＝12，根据双曲线定义|BC |－|AB |＝10，故sin A －sin C sin B ＝2R sin A －2R sin C 2R sin B ＝|BC |－|AB ||AC |＝1012＝56. 答案：568.已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若|PQ |＝16，点A (5，0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．解析：显然点A (5，0)为双曲线的右焦点．由题意得，|FP |－|PA |＝6，|FQ |－|QA |＝6，两式相加，利用双曲线的定义得|FP |＋|FQ |＝28，所以△PQF 的周长为|FP |＋|FQ |＋|PQ |＝44.答案：449.设圆C 与两圆(x ＋5)2＋y 2＝4，(x －5)2＋y 2＝4中的一个内切，另一个外切．求圆C 的圆心轨迹L 的方程．解：依题意得两圆的圆心分别为F 1(－5，0)，F 2(5，0)， 从而可得|CF 1|＋2＝|CF 2|－2或|CF 2|＋2＝|CF 1|－2， 所以||CF 2|－|CF 1||＝4<|F 1F 2|＝25，所以圆心C 的轨迹是双曲线，其中a ＝2，c ＝5，b 2＝c 2－a 2＝1， 故C 的圆心轨迹L 的方程是x 24－y 2＝1.10.双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点为F 1，F 2，点P 在双曲线上．若PF 1⊥PF 2，求点P 到x轴的距离．解：设P 点为(x 0，y 0)，而F 1(－5，0)，F 2(5，0)，则PF 1→＝(－5－x 0，－y 0)，PF 2→＝(5－x 0，－y 0)．∵PF 1⊥PF 2，∴PF 1→·PF 2→＝0，即(－5－x 0)(5－x 0)＋(－y 0)·(－y 0)＝0， 整理，得x 20＋y 20＝25①. 又∵P (x 0，y 0)在双曲线上， ∴x 209－y 2016＝1②. 联立①②，得y 20＝25625，即|y 0|＝165.因此点P 到x 轴的距离为165.[能力提升]1.如图，从双曲线x 23－y 25＝1的左焦点F 引圆x 2＋y 2＝3的切线FP 交双曲线右支于点P ，T 为切点，M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则|MO |－|MT |等于( )A. 3 B ． 5 C.5－ 3D ．5＋ 3解析：选C.|OM |－|MT |＝12|PE |－(|MF |－|FT |)＝|FT |－12(|PF |－|PE |)＝5－12×2 3＝5－ 3.2.已知双曲线的方程为x 2－y 24＝1，如图，点A 的坐标为(－5，0)，B 是圆x 2＋(y －5)2＝1上的点，点C 为其圆心，点M 在双曲线的右支上，则|MA |＋|MB |的最小值为________．解析：设D (5，0)，则A 、D 为双曲线的两个焦点，连接BD ，MD ，由双曲线的定义，得|MA |－|MD |＝2a ＝2.∴|MA |＋|MB |＝2＋|MB |＋|MD |≥2＋|BD |，又点B 是圆x 2＋(y －5)2＝1上的点，圆的圆心为C (0，5)，半径为1，故|BD |≥|CD |－1＝10－1，从而|MA |＋|MB |≥2＋|BD |≥10＋1，当点M ，B 在线段CD 上时上式取等号，即|MA |＋|MB |的最小值为10＋1.答案：10＋13.已知双曲线过P 1(－2，325)和P 2(437，4)两点，求双曲线的标准方程．解：法一：当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．由P 1，P 2在双曲线上，知⎩⎪⎨⎪⎧（－2）2a 2－（325）2b2＝1.（437）2a 2－42b 2＝1，解之得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＝－116，1b 2＝－19.不合题意，舍去；当双曲线的焦点在y 轴上时，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)．由P 1，P 2在双曲线上， 知⎩⎪⎨⎪⎧（325）2a 2－（－2）2b2＝1，42a 2－（437）2b2＝1，解之得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＝19，1b 2＝116，即a 2＝9，b 2＝16.故所求双曲线方程为y 29－x 216＝1.法二：设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)， 由P 1，P 2在双曲线上，知⎩⎪⎨⎪⎧（－2）2m ＋（325）2n ＝1（437）2m ＋42n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－116n ＝19，故所求方程为y 29－x 216＝1.4．设点P 到点M (－1，0)，N (1，0)的距离之差为2m ，到x 轴，y 轴的距离之比为2，求m 的取值范围．解：设点P 的坐标为(x ，y )，依题意，有|y ||x |＝2，即y ＝±2x (x ≠0)．所以点P (x ，y )，M (－1，0)，N (1，0)三点不共线， 所以||PM |－|PN ||<|MN |＝2. 又因为||PM |－|PN ||＝2|m |>0， 所以0<|m |<1.所以点P 在以M ，N 为焦点的双曲线上，且a 2＝m 2，c 2＝1， 所以b 2＝1－m 2，所以x 2m 2－y 21－m 2＝1.①把y ＝±2x (x ≠0)代入①，得x 2＝m 2（1－m 2）1－5m2. 因为1－m 2>0，所以1－5m 2>0， 解得0<|m |<55， 所以m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－55，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，55.。

第三章 §4 课时作业34一、选择题1．已知直线l 的方程是f (x ，y )＝0，点M (x 0，y 0)不在l 上，则方程f (x ，y )－f (x 0，y 0)＝0表示的曲线是( )A ．直线lB ．与l 垂直的一条直线C ．与l 平行的一条直线D ．与l 平行的两条直线解析：方程f (x ，y )－f (x 0，y 0)＝0表示过点M (x 0，y 0)且和直线l 平行的一条直线．故选C.答案：C2．一动点C 在曲线x 2＋y 2＝1上移动时，它和定点B (3,0)连线的中点P 的轨迹方程是( )A ．(x ＋3)2＋y 2＝4B ．(x －3)2＋y 2＝1C ．(2x －3)2＋4y 2＝1D ．(x ＋32)2＋y 2＝1解析：设动点C 的坐标为(x 0，y 0)， P 点坐标为(x ，y )，则由中点坐标公式可得x ＝x 0＋32，y ＝y 0＋02，即x 0＝2x －3，y 0＝2y .又动点C (x 0，y 0)在曲线x 2＋y 2＝1上， ∴(2x －3)2＋4y 2＝1. 答案：C3．在第四象限内，到原点的距离等于2的点的轨迹方程是( ) A ．x 2＋y 2＝4 B ．x 2＋y 2＝4(x >0) C ．y ＝－4－x 2D ．y ＝－4－x 2(0<x <2)解析：注意所求轨迹在第四象限内． 答案：D4．[2014·广东省珠海一中模考]点A (2,0)，点B 在圆x 2＋y 2＝1上，点C 是∠AOB 的平分线与线段AB 的交点，则当点B 运动时，点C 的轨迹方程为( )A ．(x －23)2＋y 2＝49B ．(x ＋23)2＋y 2＝49C ．(x －13)2＋y 2＝49D ． (x ＋13)2＋y 2＝49解析：本题主要考查求曲线的方程．设B (x 0，y 0)，C (x ，y )由|OA ||OB |＝2，得AC →＝2CB →，即(x －2，y )＝2(x 0－x ，y 0－y )⇒⎩⎨⎧x 0＝32x －1y 0＝32y，因为点B (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上，代入后化简得(x －23)2＋y 2＝49，故选A.答案：A 二、填空题5．动点P 到点(1，－2)的距离为4，则动点P 的轨迹方程为________． 解析：设P (x ，y )，由题意易知所求轨迹为圆，即(x －1)2＋(y ＋2)2＝16. 答案：(x －1)2＋(y ＋2)2＝166．过点A (4,1)的圆C 与直线x －y －1＝0相切于点B (2,1)，则圆C 的方程为__________． 解析：设圆C 的方程为：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 圆心(a ，b )到直线x －y －1＝0的距离 d ＝|a －b －1|2＝r ，①又圆C 过A (4,1)，B (2,1)， ∴(4－a )2＋(1－b )2＝r 2， ② (2－a )2＋(1－b )2＝r 2，③由①②③，得a ＝3，b ＝0，r ＝2， ∴圆的方程为(x －3)2＋y 2＝2. 答案：(x －3)2＋y 2＝27．由动点P 向圆O ：x 2＋y 2＝1引两条切线P A 、PB ，切点分别为A 、B ，∠APB ＝60°，则动点P 的轨迹方程为__________．解析：由题意得OP ＝2，为定长，所以点P 的轨迹是以定点O 为圆心，r ＝2的圆． ∴点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝4.答案：x 2＋y 2＝4 三、解答题8．已知点P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上任一动点，若F 2关于∠F 1PF 2的平分线的对称点H 在线段PF 1上，求点H 的轨迹方程．解：如图，设点P 在双曲线的右支上，且PQ 为∠F 1PF 2的平分线．∵F 2关于PQ 的对称点为H ， ∴|PF 2|＝|PH |，且H 在PF 1上． 又|PF 1|－|PF 2|＝|PF 1|－|PH |＝|F 1H |＝2a .即H 在以F 1为圆心，半径为2a 的圆上，其方程为(x ＋c )2＋y 2＝4a 2.9．△ABC 的三边长分别为AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，点P 是△ABC 内切圆上一点，求|P A |2＋|PB |2＋|PC |2的最小值与最大值．解：以C 为原点O ，CB 、CA 所在直线分别为x 轴、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，由于AC ＝3，BC ＝4，得C (0,0)，A (0,3)，B (4,0)．设△ABC 内切圆的圆心为(r ，r )，由△ABC 的面积＝12×3×4＝12×3r＋12×4r ＋12×5r ，得r ＝1， 于是内切圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1⇒x 2＋y 2＝2x ＋2y －1， 由(x －1)2≤1⇒0≤x ≤2.设P (x ，y )，那么|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＝x 2＋(y －3)2＋(x －4)2＋y 2＋x 2＋y 2＝3(x 2＋y 2)－8x －6y ＋25＝3(2x ＋2y －1)－8x －6y ＋25＝22－2x ，那么当x ＝0时，|P A |2＋|PB |2＋|PC |2取最大值为22，当x ＝2时取最小值为18.。

第三章圆锥曲线与方程()(时间：分钟满分：分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分)．中心在原点，焦点在轴上，若长轴长为，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )＋＝＋＝＋＝＋＝．设≠，∈，则抛物线＝的焦点坐标为( )．已知(－)，()，则以为斜边的直角三角形的直角顶点的轨迹方程是( )．＋＝．＋＝．＋＝(≠±) ．＋＝(≠±)．设椭圆＋＝ (>)上一点到其左焦点的距离为，到右焦点的距离为，则椭圆的离心率为( )．已知双曲线的方程为－＝，点，在双曲线的右支上，线段经过双曲线的右焦点，＝，为另一焦点，则△的周长为( )．＋．＋．＋．＋．已知抛物线＝上的点到抛物线的准线的距离为，到直线－＋＝的距离为，则＋的最小值是( )．．设点为抛物线＝上一点，点()，且＝，则的横坐标的值为( )．－．．－或．－或．从抛物线＝上一点引抛物线准线的垂线，垂足为，且＝，设抛物线的焦点为，则△的面积为( )．．．．．若直线＝－与抛物线＝交于，两个不同的点，且的中点的横坐标为，则等于( )．或－．－．．±．设、分别是双曲线－＝的左、右焦点．若点在双曲线上，且·＝，则＋等于( )．．．．二、填空题(本大题共小题，每小题分，共分)．已知椭圆＋＝ (>>)有两个顶点在直线＋＝上，则此椭圆的焦点坐标是．．以等腰直角△的两个顶点为焦点，并且经过另一顶点的椭圆的离心率为．．已知抛物线：＝ (>)，过焦点且斜率为 (>)的直线与相交于、两点，若＝，则＝. ．已知抛物线＝ (>)，过点()的直线与抛物线交于、两点，则·＝.．已知过抛物线＝的焦点的直线交该抛物线于、两点，＝，则＝.三、解答题(本大题共小题，共分)．(分)求与椭圆＋＝有公共焦点，并且离心率为的双曲线方程．．(分)已知斜率为的直线过椭圆＋＝的右焦点交椭圆于、两点，求弦的长．.(分)已知两个定点(－)、()，求使∠＝∠的点的轨迹方程．。

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3.4。

1 曲线与方程[基础达标]1.已知曲线C的方程为x2－xy＋y－5＝0，则下列各点中,在曲线C上的点是（）A．(－1，2) B．(1,－2)C．(2，－3) D．(3，6）解析：选A。

代入检验知只有(－1，2）使方程成立．2.方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线( )A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．关于x－y＝0对称解析：选C。

同时以－x代替x，以－y代替y，方程不变，所以方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线关于原点对称．3。

在直角坐标系中，方程|x｜·y＝1的曲线是( )解析：选C.当x＞0时，方程为xy＝1，又y＞0，故在第一象限有一支图像；当x＜0时，方程为－xy＝1，又y＞0，故在第二象限有一支图像．错误!已知定点A(1,0）和定直线l：x＝－1，在l上有两动点E，F,且满足错误!⊥错误!，另有动点P,满足错误!∥错误!，错误!∥错误!(O为坐标原点），则动点P的轨迹方程为( ）A．y2＝4x B．y2＝4x(x≠0）C．y2＝－4x D．y2＝－4x（x≠0)解析：选B.设P（x，y),E(－1，y1)，F（－1，y2)(y1，y2均不为零），由错误!∥错误!，得y＝y，即E（－1，y）．1由错误!∥错误!,得y2＝－错误!,即F(－1，－错误!）．由错误!⊥错误!，得y2＝4x(x≠0）．故选B。

习题课(2)一、选择题1．将抛物线y ＝4x 2绕焦点逆时针方向旋转90°后，所得抛物线的准线方程是( ) A ．x ＝2 B ．y ＝－2 C ．x ＝18D ．x ＝116解析：化成标准式x 2＝14y ，则p ＝18，设准线方程为x ＝m ，则m ＝18.答案：C2．若抛物线y 2＝2px (p >0)上三个点的纵坐标的平方成等差数列，那么这三个点到抛物线焦点F 的距离的关系是( )A ．成等差数列B ．既成等差数列又成等比数列C ．成等比数列D ．既不成等比数列也不成等差数列解析：设三点为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)，则y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，y 23＝2px 3， 因为2y 22＝y 21＋y 23，所以x 1＋x 3＝2x 2，即|P 1F |－p 2＋|P 3F |－p2＝2⎝⎛⎭⎫|P 2F |－p 2， 所以|P 1F |＋|P 3F |＝2|P 2F |. 答案：A3．已知A ，B 是抛物线y 2＝2px (p >0)上两点，O 为坐标原点，若|OA |＝|OB |，且△AOB 的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线AB 的方程是( )A ．x ＝pB ．x ＝3pC ．x ＝32pD ．x ＝52p解析：∵|OA |＝|OB |，∴A ，B 两点关于x 轴对称，由于垂心是焦点，则垂心为F ⎝⎛⎭⎫p 2，0. 设A ，B 两点的坐标分别为A (x 0，y 0)，B (x 0，－y 0)，由题意，得k F A ·k OB ＝－1，即y 0x 0－p 2·⎝⎛⎭⎫－y 0x 0＝－1，则y 20＝x 0⎝⎛⎭⎫x 0－p 2. ∵y 20＝2px 0(x 0>0，p >0)，∴2px 0＝x 0⎝⎛⎭⎫x 0－p 2.∴x 0＝52p .∴直线AB 的方程为x ＝52p .答案：D4．抛物线x 2＝－4y 的通径为线段AB ，O 为抛物线的顶点，则( ) A ．通径长为8，△AOB 的面积为4 B ．通径长为8，△AOB 的面积为2 C ．通径长为4，△AOB 的面积为4 D ．通径长为4，△AOB 的面积为2解析：在抛物线x 2＝－4y 中，因为2p ＝4，所以通径的长为4，△AOB 的面积为12·2p ·p2＝12×4×1＝2. 答案：D5．过抛物线y 2＝ax (a >0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若PF 与FQ 的长分别为p 、q ，则1p ＋1q等于( )A ．2aB ．12aC ．4aD ．4a解析：可采用特殊值法，设PQ 过焦点F ⎝⎛⎭⎫a 4，0且垂直于x 轴，则|PF |＝p ＝x p ＋a 4＝a 4＋a 4＝a2， |QF |＝q ＝a 2，∴1p ＋1q ＝2a ＋2a ＝4a .答案：D6．[2014·河北省衡水中学期中考试]已知抛物线y ＝x 2－1上一定点B (－1,0)和两个动点P ，Q ，当BP ⊥PQ 时，点Q 的横坐标的取值范围是( )A ．(－∞，－3)∪[1，＋∞)B ．[－3,1]C ．[1，＋∞)D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)解析：本题主要考查直线垂直的条件和直线与抛物线的位置关系．设P (t ，t 2－1)，Q (s ，s 2－1)，∵BP ⊥PQ ，∴t 2－1t ＋1·(s 2－1)－(t 2－1)s －t＝－1，即t 2＋(s －1)t －s ＋1＝0，∵t ∈R ，P ，Q 是抛物线上两个不同的点，∴必须有Δ＝(s －1)2＋4(s －1)≥0，即s 2＋2s －3≥0，解得s ≤－3或s ≥1.∴点Q 的横坐标的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞)，故选D.答案：D 二、填空题7．抛物线y ＝ax 2的准线方程为y ＝1，则实数a 的值是__________． 解析：抛物线y ＝ax 2化为x 2＝1ay ，由于其准线方程为y ＝1，故a <0，且|14a |＝1，解得a ＝－14.答案：－148．[2014·四川省绵阳南山中学月考]抛物线y 2＝2x 上的两点A 、B 到焦点的距离之和是5，则线段AB 的中点到y 轴的距离是________．解析：本题主要考查抛物线的定义和基本性质的应用．抛物线y 2＝2x 的焦点为F (12，0)，准线方程为x ＝－12，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则|AF |＋|BF |＝x 1＋12＋x 2＋12＝5，解得x 1＋x 2＝4，故线段AB 的中点横坐标为2.故线段AB 的中点到y 轴的距离是2.答案：29．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝__________.解析：∵直线AF 的斜率为－3，∴∠P AF ＝60°. 又|P A |＝|PF |，∴△P AF 为正三角形，作FM ⊥P A ，则M 为P A 中点，|MA |＝p ， ∴|P A |＝2p .∴|PF |＝|AP |＝2p ＝8. 答案：8 三、解答题10．(1)求过点(－p 2，0)(p >0)且与直线x ＝p2相切的动圆圆心M 的轨迹方程；(2)平面上动点M 到定点F (0,3)的距离比M 到直线y ＝－1的距离大2，求动点M 满足的方程，并画出相应的草图．解：(1)根据抛物线的定义知， 圆心M 的轨迹是以点(－p2，0)为焦点，直线x ＝p2为准线的抛物线，其方程为y 2＝－2px (p >0)．(2)因为动点M 到定点F (0,3)的距离比点M 到直线y ＝－1的距离大2， 所以动点M 到定点F (0,3)的距离等于点M 到直线y ＝－3的距离，由抛物线的定义得动点M 的轨迹是以定点F (0,3)为焦点， 定直线y ＝－3为准线的抛物线， 故动点M 的轨迹方程为x 2＝12y ， 草图如上图所示．11．已知抛物线方程y 2＝2x ，设点A 的坐标为(a,0)，求抛物线上的点到点A 的距离最小值d ，并写出关系式d ＝f (a )．解：设B (x ，y )是抛物线y 2＝2x 上任意一点， 则|AB |2＝(x －a )2＋y 2＝[x －(a －1)]2－1＋2a . 当a >1时，此时当x ＝a －1时，|AB |取最小值， d ＝2a －1；当a ≤1时，此时当x ＝0时，|AB |取最小值，d ＝|a |.综上所述，d ＝⎩⎨⎧2a －1(a >1)，|a |(a ≤1).12．已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点F (1,0)的距离减去它到y 轴距离的差都是1.(1)求曲线C 的方程；(2)是否存在正数m ，对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A 、B 的任一直线，都有F A →·FB →<0？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：(1)设P (x ，y )是曲线C 上任意一点，那么点P (x ，y )满足(x －1)2＋y 2－x ＝1(x >0)，化简得y 2＝4x (x >0)．即曲线C 的方程为y 2＝4x (x >0)．(2)设过点M (m,0)(m >0)的直线l 与曲线C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．设l 的方程为x ＝ty ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋m ，y 2＝4x ，得y 2－4ty －4m ＝0，Δ＝16(t 2＋m )>0，由韦达定理知⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4m .①因为F A →＝(x 1－1，y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)，F A →·FB →<0⇔(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2<0. ②又x ＝y 24，所以不等式②等价于y 214·y 224＋y 1y 2－⎝⎛⎭⎫y 214＋y 224＋1<0 ⇔(y 1y 2)216＋y 1y 2－14[(y 1＋y 2)2－2y 1y 2]＋1<0，③ 由①式，不等式③等价于m 2－6m ＋1<4t 2，④对任意实数t,4t 2的最小值为0，所以不等式④对于一切t 成立等价于m 2－6m ＋1<0，即3－22<m <3＋2 2.由此可知，存在正数m ，对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有F A →·FB →<0，且m 的取值范围是(3－22，3＋22)．。