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下列各题中，图3表示的曲线方程是所列出的方程吗？ 如果不是，不符合定义中的关系①还是关系②？
(1)曲线C为过点A(1，1)，B(-1，1)的 折线，方程为(x-y)(x+y)=0; (2)曲线C是顶点在原点的抛物线，方 程为x+ =0; (3)曲线C是Ⅰ, Ⅱ象限内到X轴，Y轴 的距离乘积为1的点集，方程为y= 。
课本例
例 1 已知一条直线 l 和它上方的一个点 F,点 F 到 l 的距离是 2.一条曲线也在 l 的上方,它上面的每一 点到 F 的距离减去到 l 的距离的差都是 2,建立适 当的坐标系,求这条曲线的方程.
y
(0, F. 2)
0
.M
B
( x, y )
l
x
课堂练习: 练习 1.已知点 M 与 x 轴的距离和点 M 与点 F(0,4) 的距离相等,求点 M 的轨迹方程.
思考2
D
Mx C
A
例2、已知 ABC 中，A(-2,0),B(0,-2),第三顶点C在曲 2 线 y 3x 1 上移动，求 ABC 的重心轨迹方程。
例3、已知G是 ABC的重心，A(0,-1),B(0,1),在x轴上 有一点M满足 MA MC , GM AB( R). 求点C的轨 迹方程。
y 1 -1 0 x 1 y 1 -2 -1 0 1 2 x y 1 -2 -1 0 1 2 x
图3
例3、如果曲线C上的点坐标(x,y)都是方程F(x,y)=0的解， 那么（ D） A、以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上。 B、以方程F(x,y)=0的解为坐标的点，有些不在曲线上。 C、不在曲线C上的点的坐标都不是方程F(x,y)=0的解。 D、坐标不满足F(x,y)=0的点不在曲线C上。
例 1.△ABC 的顶点 B、 的坐标分别为(0,0)、 C (4,0),AB 边上的中线的长为 3,求顶点 A 的轨迹方程.
x x1 2 由中点坐标公式可知 y y 1 2
解:设 A 的坐标分别为 ( x, y ) ,AB 的中点 D 的坐标为 ( x1 , y1 )
综上所述,线段 AB 的垂直平分线的方程是 x 2 y 7 0 . 1 方法小结
第一种方法运用现成的结论当然快,但它需要你对研 究的曲线要有一定的了解;第二种方法虽然有些走弯路,但 这种方法有一般性. 求曲线的方程可以这样一般地尝试,注意其中的步骤: 求曲线的方程(轨迹方程),一般有下面几个步骤: 1.建立适当的坐标系,设曲线上任一点 M 的坐标 ( x, y ) ;
x 2 y 2 6 x 4 y 9 0 相交于 例 4.经过原点的直线 l 与圆
两个不同点 A、B，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程. y 解:设 M ( x, y ) ,A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) A 2 2 x1 x2 x1 y1 6 x1 4 y1 9 0 ① x 2 且 2 则 M x2 y2 2 6 x2 4 y2 9 0 ② y1 y2 y
√
3.用坐标表示条件 P(M ) ,列出方程 f ( x, y) 0 ; √ 4.化简方程 f ( x, y) 0 为最简形式; √ 5.证明(查漏除杂). √
2.写出适合条件 P 的几何点集: P M P ( M ) ;
√
以上过程可以概括为一句话:建设现(限)代化. ．．． ． ．． ． ．
2.1曲线和方程
—— 2.1.2求曲线的方程（二）
复习：
求曲线的方程(轨迹方程)的一般步骤: 一、建立适当的坐标系，设曲线上任一点的坐 标，及相关点的坐标; 二、(限)找条件，由条件(代)列方程; 三、化简方程. 证明所得方程(可以省略)为所求的曲线方程.
以上步骤用一句话概括就是:建设现(限)代化. ．．． ． ．． ． ．
2.1曲线和方程
—— 2.1.1曲线和方程
• 主要内容：
• 曲线和方程的概念、意义及曲线和方程的两个基 本问题
• 重点和难点：
• 曲线和方程的概念
？
曲线和方程之间有 什么对应关系呢？
分析特例归纳定义
（1）、求第一、三象限里两轴间夹角平分线的 坐标满足的关系
第一、三象限角平分线
l 点的横坐标与纵坐标相等 x=y（或x-y=0）
由①─②得 ( x1 x2 )( x1 x2 ) ( y1 y2 )( y1 y2 )
2
B
C
l
6( x1 x2 ) 4( y1 y2 ) 0 0 y y1 y2 ∵ kOM k AB 即 (易知 x1 x2 ) x x1 x2 ∴化简得 x2 y 2 3x 2 y 0 y y ∴ 2x 2 y 6 4 0
条件 方程
曲线 y
l
0
得出关系：
x-y=0 x
（1）
l 上点的坐标都是方程x-y=0的解
（2）以方程x-y=0的解为坐标的点都 在 l上
分析特例归纳定义
（2）、方程 ( x a)2 ( y b)2 r 2 表示如图的圆 图像上的点M与此方程 ( x a) ( y b) r 有什么关系？
2 2 1 ∴线段 AB 的垂直平分线的方程为 y 3 ( x 1) . 2 法二:若没有现成的结论怎么办? 即 x+2y-7=0
──需要掌握一般性的方法
问题 1.设 A、B 两点的坐标是 (-1,-1)、(3,7),求线段 AB 的垂直平分线的方程. 我们的目标就是要找x与y的关系式
A
x
例2、已知直角坐标平面上点Q(2,0) 和圆O: x y 1.
2 2
动点M到圆O的切线长与|MQ|的比等于常数 ( 0),
求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？
y
M
N 0 Q
x
例3、求抛物线 y x2 (2m 1) x m2 1(m 的顶点 R) 的轨迹方程。
解:设 M(x,y)是线段 AB 的垂直平分线上的任一点,
则 |MA|=|MB|
2 2
需要尝试、摸索
先找曲线上的点满足的几何条件
2 2
坐标化 ∴ ( x 1) ( y 1) ( x 3) ( y 7) ∴ x2 2x 1 y2 2 y 1 x2 6x 9 y 2 14 y 49 化简
y
( x, y )
B
∵AB 边上的中线 CD=3 ∴ ( x1 4)2 y12 9
化简整理得 ( x 8)2 y 2 36 0 2 2 ∴点 A 的轨迹方程为 ( x 8) y 36 . y 0 注:这种求轨迹方程的方法叫做相关点坐标分析法(代入法) 法二: 添辅助线 MA,巧用图形性质, 妙极了!
小结：
• 在轨迹的基础上将轨迹和条件化为曲线和 方程，当说某方程是曲线的方程或某曲线 是方程的曲线时就意味着具备上述两个条 件，只有具备上述两个方面的要求，才能 将曲线的研究化为方程的研究,几何问题化 为代数问题，以数助形正是解析几何的思 想，本节课正是这一思想的基础。
2.1曲线和方程
—— 2.1.2求曲线的方程（一）
例4、证明与两坐标轴的距离的积是常数 k(k>0)的
点的轨迹方程是 xy
k.
归纳:证明已知曲线的方程的方法和步骤
第一步，设M (x0,y0)是曲线C上任一点，证明(x0,y0) 是f(x,y)=0的解； 第二步，设(x0,y0)是f(x,y)=0的解，证明点M (x0,y0)在曲线C上. 例5、判断方程|x-1|+|y-1|=1所表示的曲线形状。
化简
思考:( P
37
练习第 3 题)
活用几何性质来找关系
如图,已知点 C 的坐标是(2 , 2) , 过点 C 直线 CA 与 x 轴交于点 A,过点 C 且与直线 CA 垂直的直线 CB 与 y 轴交于点 B,设点 M 是线段 AB 的中点,求点 M 的 轨迹方程. y
B
思维漂亮!
M
0
( x, y ) C
2 2 2
y
· ·
M
0
满足关系：
（1）、如果M ( x0 , y0 )是圆上的点，那么
x
M ( x0 , y0 ) 一定是这个方程的解
（2）、如果M ( x0 , y0 )是方程 ( x a)2 ( y b)2 r 2 的解，那么以它为坐标 的点一定在圆上。
分析特例归纳定义
（3）、说明过A（2，0）平行于y轴的直线与方程︱x︱=2的关系
平面解析几何研究的主要问题是：
研究
f(x,y)=0
0 x
迪卡尔
1.求曲线的方程; 2.通过方程研究曲线的性质.
问题 1. 设 A、B 两点的坐标是 (-1,-1)、(3,7), 求线段 AB 的垂直平分线的方程.
如何求曲线的方程?
法一:运用现成的结论──直线方程的知识来求. 1 7 (1) 解:∵ kAB 2 ,∴所求直线的斜率 k = 3 (1) 2 1 3 1 7 , ) 即(1,3) 又∵线段 AB 的中点坐标是 (
解:设点 M 的坐 x ( y 4)
2 2
建立坐标系 设点的坐标
限(找几何条件) 代(把条件坐标化
∴ y = x ( y 4)
2
2 2 2
2
∴ y x y 8 y 16 2 ∴ x 8 y 16 这就是所求的轨迹方程.
评讲作业题 巩固步骤
练习：
1、已知A(-a,0),B(a,0) (a R ) 若动点M与两定点A，B构成 直角三角形，求直角顶点M的轨迹方程。
