高考数学百大经典例题 曲线和方程(新课标)

曲线与方程考纲解读 1.利用曲线与方程的关系辨认曲线；2.求动点的轨迹(方程)．[基础梳理]1．曲线与方程一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C (看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f (x ，y )＝0的实数解建立了如下关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫作曲线的方程；这条曲线叫作方程的曲线． 2．求动点轨迹方程的一般步骤(1)建立坐标系，用(x ，y )表示曲线上任意一点M 的坐标； (2)写出适合条件p 的点M 的集合P ＝{M |p (M )}； (3)用坐标表示条件p (M )，列出方程f (x ，y )＝0，并化简； (4)查漏补缺．[三基自测]1．到点F (0,4)的距离比到直线y ＝－5的距离小1的动点M 的轨迹方程为( ) A ．y ＝16x 2 B ．y ＝－16x 2 C ．x 2＝16y D ．x 2＝－16y答案：C2．在△ABC 中，A (0,3)，B (－2,0)，C (2,0)，则中线AO (O 为原点)所在的方程为________． 答案：x ＝0(0≤y ≤3)3．已知方程ax 2＋by 2＝2的曲线经过点A ⎝⎛⎭⎫－54，0和B (1,1)，则曲线方程为________． 答案：1625x 2＋925y 2＝14．已知A (－5,0)，B (5,0)，则满足k AC ·k BC ＝－1的点C 的轨迹方程为________． 答案：x 2＋y 2＝25(去掉A 、B 两点)考点一 坐标法(直接法)求解曲线方程|模型突破[例1] (2018·成都模拟)动点P 与两定点A (a,0)，B (－a,0)连线的斜率的乘积为k ，试求点P 的轨迹方程，并讨论轨迹是什么曲线．[解析] 设点P (x ，y )，则k AP ＝y x －a ，k BP ＝yx ＋a. 由题意得y x －a ·yx ＋a＝k ，即kx 2－y 2＝ka 2.所以点P 的轨迹方程为kx 2－y 2＝ka 2(x ≠±a )．(*)(1)当k ＝0时，(*)式即y ＝0，点P 的轨迹是直线AB (除去A 、B 两点)． (2)当k ≠0时，(*)式即x 2a 2－y 2ka2＝1，①若k >0，点P 的轨迹是焦点在x 轴上的双曲线(除去A 、B 两点)． ②若k <0，(*)式可化为x 2a 2＋y 2－ka 2＝1.当－1<k <0时，点P 的轨迹是焦点在x 轴上的椭圆(除去A ，B 两点)；当k ＝－1时，(*)式即x 2＋y 2＝a 2，点P 的轨迹是以原点为圆心，|a |为半径的圆(除去A ，B 两点)；当k <－1时，点P 的轨迹是焦点在y 轴上的椭圆(除去A ，B 两点)． [模型解法][高考类题](2016·高考全国卷Ⅲ)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程． 解析：由题设知F ⎝⎛⎭⎫12，0 .设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0， 且A ⎝⎛⎭⎫a 22，a ，B ⎝⎛⎭⎫b 22，b ，P ⎝⎛⎭⎫－12，a ，Q ⎝⎛⎭⎫－12，b ，R ⎝⎛⎭⎫－12，a ＋b 2. 记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0. (1)证明：由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0.记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－aba ＝－b ＝k 2.所以AR∥FQ .(2)设l 与x 轴的交点为D (x 1,0)，则S △ABF＝12|b －a ||FD |＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪x 1－12，S △PQF ＝|a －b |2. 由题设可得2×12|b －a |⎪⎪⎪⎪x 1－12 ＝|a －b |2，所以x 1＝0(舍去)，或x 1＝1. 设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )．当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝yx －1(x ≠1)．而a ＋b2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)． 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合．此时E 点坐标为(1,0)，满足方程y 2＝x －1. 所以所求轨迹方程为y 2＝x －1.考点二 定义法求解曲线方程|模型突破[例2] (1)(2018·北京模拟)△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是________．(2)已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，则圆心P 的轨迹方程为________．[解析] (1)如图，△ABC 的内切圆P 与三边的切点分别为E 、F 、G . ∵P 在x ＝3上，∴|AC |>|BC |，∴|CA |－|CB |＝|GA |－|FB |＝|EA |－|EB |＝(5＋3)－(5－3)＝6，∴C 点轨迹是以A 、B 为焦点的双曲线(右支)， ∴2a ＝6，a ＝3，c ＝5，b ＝4， ∴方程为x 29－y 216＝1(x >3)．(2)由题意可知，|PM |＝r ＋1，|PN |＝3－r ， ∴|PM |＋|PN |＝4且MN ＝2，∴P 点轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆． ∴2a ＝4，a ＝2，c ＝1，∴b 2＝3.方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)．[答案] (1)x 29－y 216＝1(x >3)(2)x 24＋y 23＝1(x ≠－2) [模型解法][高考类题](2013·高考新课标全国卷Ⅰ)已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |.解析：由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M 、N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)．(2)对于曲线C 上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2.所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4.若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |＝2 3.若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则|QP ||QM |＝R r 1，可求得Q (－4,0)，所以可设l ：y ＝k (x ＋4)．由l 与圆M 相切得|3k |1＋k2＝1，解得k ＝±24. 当k ＝24时，将y ＝24x ＋2代入x 24＋y 23＝1，并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x 1,2＝－4±627.所以|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝187. 当k ＝－24时，由图形的对称性可知|AB |＝187. 综上，|AB |＝23或|AB |＝187.考点三 代入法求曲线方程|模型突破[例3] (1)P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的任意一点，F 1、F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，有一动点Q 满足OQ →＝PF 1→＋PF 2→，则动点Q 的轨迹方程是________．(2)已知F 是抛物线y ＝14x 2的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段PF 中点的轨迹方程是________．[解析] (1)作P 关于O 的对称点M ，连接F 1M ，F 2M ，则四边形F 1PF 2M 为平行四边形，所以PF 1→＋PF 2→＝PM →＝2 PO →＝－2OP →，又OQ →＝PF 1→＋PF 2→， 所以OP →＝－12OQ →，设Q (x ，y )，则OP →＝⎝⎛⎭⎫－x 2，－y 2， 即P 点坐标为⎝⎛⎭⎫－x 2，－y2，又P 在椭圆上， 则有⎝⎛⎭⎫－x 2 2a 2＋⎝⎛⎭⎫－y 2 2b 2＝1，即x 24a 2＋y 24b2＝1. (2)因为抛物线x 2＝4y 的焦点F (0,1)，设线段PF 的中点坐标是(x ，y )，则P (2x,2y －1)在抛物线x 2＝4y 上，所以(2x )2＝4(2y －1)，化简得x 2＝2y －1.[答案] (1)x 24a 2＋y 24b 2＝1 (2)x 2＝2y －1[模型解法]破解此类题的关键点：(1)定关联点，根据已知条件确定与动点关联的点，以及该点所满足的条件． (2)建关系，根据两点之间的关联性确定两点坐标之间的关系．(3)代入，用动点坐标表示与之关联的点的坐标，然后代入该点所满足的条件，化简整理即可．[高考类题](2017·高考全国卷Ⅱ)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22＋y 2＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP →＝ 2 NM →.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP →·PQ →＝1.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .解析：(1)设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则N (x 0,0)，NP →＝(x －x 0，y )，NM →＝(0，y 0)． 由NP →＝ 2 NM →得x 0＝x ，y 0＝22y .因为M (x 0，y 0)在C 上，所以x 22＋y 22＝1.因此点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝2.(2)证明：由题意知F (－1,0)．设Q (－3，t )，P (m ，n )，则 OQ →＝(－3，t )，PF →＝(－1－m ，－n )， OQ →·PF →＝3＋3m －tn ，OP →＝(m ，n )，PQ →＝(－3－m ，t －n )． 由OP →·PQ →＝1得－3m －m 2＋tn －n 2＝1， 又由(1)知m 2＋n 2＝2，故3＋3m －tn ＝0.所以OQ →·PF →＝0，即OQ →⊥PF →.又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .[考点一](2014·高考湖北卷)在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点F (1,0)的距离比它到y 轴的距离多1.记点M 的轨迹为C .(1)求轨迹C 的方程；(2)设斜率为k 的直线l 过定点P (－2,1)．求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值范围．解析：(1)设点M (x ，y )，依题意得|MF |＝|x |＋1，即(x －1)2＋y 2＝|x |＋1，化简整理得y 2＝2(|x |＋x )．故点M 的轨迹C 的方程为y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，x ≥0，0，x <0.(2)在点M 的轨迹C 中，记C 1：y 2＝4x ，C 2：y ＝0(x <0)． 依题意，可设直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x ＋2)y 2＝4x ，可得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0.①(ⅰ)当k ＝0时，此时y ＝1.把y ＝1代入轨迹C 的方程，得x ＝14.故此时直线l ：y ＝1与轨迹C 恰好有一个公共点⎝⎛⎭⎫14，1. (ⅱ)当k ≠0时，方程①根的判别式为Δ＝－16(2k 2＋k －1)．② 设直线l 与x 轴的交点为(x 0,0)，则由y －1＝k (x ＋2)，令y ＝0，得x 0＝－2k ＋1k③(a)若⎩⎪⎨⎪⎧Δ<0，x 0<0，由②③解得k <－1，或k >12.即当k ∈(－∞，－1)∪(12，＋∞)时，直线l 与C 1没有公共点，与C 2有一个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点．(b)若⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝0x 0<0，或⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x 0≥0，由②③解得k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，或－12≤k <0.即当k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时，直线l 与C 1只有一个公共点，与C 2有一个公共点．当k ∈⎣⎡⎭⎫－12，0时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2没有公共点．故当k ∈⎣⎡⎭⎫－12，0∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点．(c)若⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x 0<0，由②③解得－1<k <－12，或0<k <12.即当k ∈⎝⎛⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎭⎫0，12时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2有一个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点．综合(ⅰ)(ⅱ)可知，当k ∈(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞∪{0}时，直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点；当k ∈⎣⎡⎭⎫－12，0∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点； 当k ∈⎝⎛⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎭⎫0，12时，直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点．。

考点42 曲线与方程、圆锥曲线的综合应用一、选择题1.（2020·山东高考理科·Ｔ8）已知双曲线22221x y a b-=（a>0,b>0）的两条渐近线均和圆C ：x 2+y 2-6x+5=0相切，且双曲线的右核心为圆C 的圆心，那么该双曲线的方程为( )（A ）22154x y -= （B ）22145x y -=（C ）221x y 36-= （D ）221x y 63-= 【思路点拨】先求出圆C 的圆心坐标（3,0），半径r=2，再求出渐近线方程，由圆心到渐近线的距离等于半径即可取得a,b 的关系，再由双曲线的右核心为圆C 的圆心知c=3，即可求出结果.【精讲精析】选A.双曲线的渐近线方程为bx+ay=0和bx-ay=0，圆心为（3,0），半径r=2.由圆心到直线的距离为223r ba b +=，得4a 2=5b 2，又因为双曲线的右核心为圆C 的圆心，因此c=3，即9=a 2+b 2， 因此，a 2=5，b 2=4因此该双曲线的方程为22154x y -=. 2．（2020·福建卷理科·Ｔ7）设圆锥曲线Γ的两个核心别离为F 1，F 2，假设曲线Γ上存在点P 知足1122::PF F F PF =4:3:2，那么曲线Γ的离心率等于( )（A ）1322或（B ）23或2 （C ）12或2 （D ）2332或【思路点拨】依照1122::PF F F PF =4:3:2，设出1122PF F F PF ｜｜，｜｜，｜｜，然后按曲线Γ为椭圆或双曲线，在12PF F ∆中别离利用概念求离心率. 【精讲精析】 选A.1122::PF F F PF =4:3:2，11224,||3,||2,PF k F F k PF k ∴==可设｜｜＝ 其中12||23F F c k ==，32kc ∴=.假设圆锥曲线Γ为椭圆，那么12||||26PF PF a k +==，3a k ∴=，312.32∴===k c e a k 假设圆锥曲线Γ为双曲线，那么12||||22,PF PF a k -==3. （2020·福建卷文科·Ｔ11）设圆锥曲线C 的两个核心别离为F 1， F 2，假设曲线C 上存在点P 知足1PF ：12F F ：2PF = 4:3:2，那么曲线C 的离心率等于（ ）（A ）1322或（B ）223或 （C ）122或 （D ）2332或【思路点拨】依照1122::PF F F PF =4:3:2，设出1122PF F F PF ｜｜，｜｜，｜｜的值，然后按曲线C 为椭圆或双曲线，在12PF F ∆中别离利用概念求离心率. 【精讲精析】选A.1122::PF F F PF =4:3:2，11224,||3,||2,PF k F F k PF k ==设｜｜＝ 其中12||23F F c k ==，32kc ∴=.假设圆锥曲线C 为椭圆，那么12||||26PF PF a k +==，3a k ∴=，312,32k c e a k ∴===假设圆锥曲线C 为双曲线，那么12||||22,PF PF a k -==,∴=a k二、填空题4.（2020·山东高考文科·Ｔ15）已知双曲线22221(0b 0)x y a a b -=＞，＞和椭圆22x y =1169+有相同的核心，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，那么双曲线的方程为 .【思路点拨】先求椭圆核心，即双曲线的核心，再由双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍求出b ，然后写出双曲线的方程.【精讲精析】由题意知双曲线的核心为（-7，0），（7，0），即c=7，又因为双曲线的离心率为c 27e a 4==，因此a=2,故b 2=3，因此双曲线的方程为13422=-y x . 【答案】13422=-y x 5.（2020·北京高考理科·T14）曲线C 是平面内与两个定点1(1,0)F -和2(1,0)F 的距离的积等于常数2(1)a a >的点的轨迹.给出以下三个结论：①曲线C 过坐标原点； ②曲线C 关于坐标原点对称；③假设点P 在曲线C 上，那么12F PF ∆的面积不大于212a . 其中所有正确的结论的序号是 .【思路点拨】写出曲线C 的方程，再逐个验证三个结论.【精讲精析】设P(x,y)为曲线C 上任意一点，那么由212||||PF PF a ⋅=，得C:22222(1)(1)x y x y a ++⋅-+= ，把（0，0）代入方程可得21a =，与1a >矛盾，故①不正确； 当M(x,y)在曲线C 上时，点M 关于原点的对称点'(,)M x y --，也知足方程，故曲线C 关于原点对称，故②正确；122212121111||||sin sin 222F PF S PF PF F PF a F PF a ∆=∠=∠≤，故③正确. 【答案】②③ 三、解答题6．（2020·安徽高考理科·Ｔ21）假设0>λ，点A 的坐标为（1,1），点B 在抛物线2x y =上运动，点Q知足BQ QA λ=，通过点Q 与x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 知足MP QM λ=,求点P 的轨迹方程.【思路点拨】设出Ｐ点坐标，通过Ｑ，Ｂ等中间量成立方程，消去中间量，求出点Ｐ的轨迹方程． 【精讲精析】由MP QM λ=知Q,M,P 三点在同一条垂直于x 轴的直线上，故可设P(x,y),Q(x,0y ),M(x,x 2),那么).(202x y y x -=-λ即.)1(20y x y λλ-+= ①再设),,(11y x B 由BQ QA λ=，即),1,1(),(0101y x y y x x --=--λ解得110x (1)x ,y (1)y .=+λ-λ⎧⎨=+λ-λ⎩ ② 将①式代入②式，消去0y ，得1221x (1)x ,y (1)x (1)y .=+λ-λ⎧⎨=+λ-λ+λ-λ⎩ ③ 又点B 在抛物线2x y =上，因此211x y =，再将③式代入211x y =，得因为0>λ，两边同时除以),1(λλ+得 故所求点P 的轨迹方程为12-=x y .7. （2020·新课标全国高考理科·Ｔ20）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,-1)，B 点在直线y = -3上，M 点知足//MB OA ， MA AB MB BA ⋅=⋅，M 点的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程；（2）P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处的切线，求O 点到l 距离的最小值.【思路点拨】第（1）问，求M 点的轨迹，可设M 点坐标为(,)x y ，然后利用条件//MB OA 取得点B 的坐标，最后将条件MA AB MB BA ⋅=⋅转化为坐标关系，取得,x y 知足的关系式，化简整理即得C 的方程；第（2）问，设出点P 的坐标，利用导数求出切线l 的斜率，表示出l 的方程，再利用点到直线的距离公式求得O 点到l 距离的函数，然后利用函数的知识求出最值即可. 【精讲精析】(1)设M(x,y ),由已知得B(x ,-3),A(0,-1). 因此MA =（-x,-1-y ）, MB =(0,-3-y), AB =(x ,-2).再由题意可知（MA +MB ）• AB =0, 即（-x,-4-2y ）• (x,-2)=0. 因此曲线C 的方程式为y=14x 2-2. (2)设P(x 0,y 0)为曲线C ：y=14x 2-2上一点，因为y '=12x,因此l 的斜率为12x 0, 因此直线l 的方程为0001()2y y x x x -=-，即2000220x x y y x -+-=. 则O 点到l 的距离20020|2|4y x d x -=+.又200124y x =-，因此 当20x =0时取等号，因此O 点到l 距离的最小值为2. 8.（2020·山东高考理科·Ｔ22）已知直线l 与椭圆C: 22132x y +=交于P （x 1,y 1），Q(x 2,y 2)两不同点，且△OPQ 的面积62∆=OPQ S ,其中O 为坐标原点.（1）证明x 12+x 22和y 12+y 22均为定值；（2）设线段PQ 的中点为M ，求PQ OM ⋅的最大值；（3）椭圆C 上是不是存在点D,E,G ，使得ODE ODG OEG S S S ∆∆∆===假设存在，判定△DEG 的形状；假设不存在，请说明理由.【思路点拨】此题重点考查学生的计算能力，相较较去年的圆锥曲线题目，今年的题目难度要大一些，是一道较好的选拔优秀学生的题目.（1）分斜率存在和不存在两种情形讨论.（2）利用第一问的结论，再应用大体不等式容易患出结论.（3）利用反证法，假设存在如此的点，经推理得出矛盾，从而证明原结论成立.【精讲精析】（1）当直线l 的斜率不存在时，,P Q 两点关于x 轴对称，那么1212,x x y y ==-，由()11,P x y 在椭圆上，那么2211132x y +=，而11OPQ S x y ∆==，那么111x y ==.于是22123x x +=，22122y y +=.当直线l 的斜率存在，设直线l 为y kx m =+，代入22132x y +=可得2223()6x kx m ++=，即222(23)6360+++-=k x kmx m ，由0∆>得，222236k m 4(23k )(3m 6)0-+->，化简得2232+>k m ，2121222636,2323km m x x x x k k-+=-=++.12PQ x =-==，0=l d 到的距离，1122POQS d PQ ∆=⋅⋅==， 整理得22322k m +=，知足0∆>，222221212122263(2)()2()232323km m x x x x x x k k -+=+-=--⨯=++，222222*********(3)(3)4()2333y y x x x x +=-+-=-+=，综上可知22123x x +=，22122y y +=.（2）当直线l 的斜率不存在时，由（1）知1622==⨯=OM PQ x PQ 当直线l 的斜率存在时，由（1）知12322x x km+=-， 2121231()222y y x x k k m m m m++=+=-+=，222212122229111()()(3)2242++=+=+=-x x y y k OM m m m， 22222222224(32)2(21)1(1)2(2)(23)k m m PQ k k m m+-+=+==++， 22221125(3)(2)4OMPQ m m =-+≤，当且仅当221132m m-=+，即m =综上可知OM PQ ⋅的最大值为52.（3）假设椭圆上存在三点,,D E G ，使得ODE ODG OEG S S S ∆∆∆===由（1）知2222223,3,3D E E G G D x x x x x x +=+=+=，2222222,2,2D E E G G D y y y y y y +=+=+=.解得22232D E G x x x ===,2221D E G y y y ===，因此,,D E G x x x 只能从当选取，,,D E G y y y 只能从1±当选取，因此,,D E G 只能从(1)±当选取三个不同点，而这三点的两两连线必有一个过原点，这与ODE ODG OEG S S S ∆∆∆===故椭圆上不存在三点,,D E G ，使得2ODE ODG OEG S S S ∆∆∆===. 9.（2020·山东高考文科·Ｔ22）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:13x C y +=.如下图，斜率为(0)k k ＞且只是原点的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线3x =-于点(3,)D m -. （Ⅰ）求22m k +的最小值；（Ⅱ）假设2OG OD =·OE ，（i ）求证：直线l 过定点；（ii ）试问点B ，G 可否关于x 轴对称？假设能，求出现在ABG ∆的外接圆方程；假设不能，请说明理由. 【思路点拨】此题重点考查学生的计算能力，相较较去年的圆锥曲线题目，今年的题目难度要大一些，是一道较好的选拔优秀学生的题目.（I ）设直线:(0)l y kx n n =+≠，联立方程，再由韦达定理得出中点E 的坐标，由三点共线，可知OE k K =OD ，k 解得1m k=，由大体不等式得出最小值.（II ）（i ）注意先求出k 和n 的关系，再由交点直线系方程得出l 过定点. （ii ）可先假设对称，然后通过运算验证如此的圆是不是存在. 【精讲精析】（Ⅰ）由题意:设直线:(0)l y kx n n =+≠,由22y=kx x 13+⎧⎪⎨+=⎪⎩n y 消y 得:222(13)6330k x knx n +++-=, 2222364(13)3(1)∆=-+-k n k n ×2212(31)0k n =+->，设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,AB 的中点E 00(,)x y ,那么由韦达定理得:12x x +=2613kn k -+,即02313kn x k -=+,002313kn y kx n k n k -=+=⨯+=+213nk+, 因其中点E 的坐标为23(,13kn k -+2)13nk +,因为O ，E ，D 三点在同一直线上，因此OE k K =，OD k 即133mk -=-， 解得1m k=， 因此22m k +=2212k k+≥,当且仅当1k =时取等号, 即22m k +的最小值为2.（Ⅱ）（i ）证明:由题意知:n>0,因为直线OD 的方程为3my x =-, 因此由得交点G 的纵坐标为223G m y m =+又因为213E n y k=+,D y m =,且2OG OD =·OE ，因此222313m n m m k =⋅++, 又由（Ⅰ）知: 1m k=,因此解得k n =,因此直线l 的方程为:l y kx k =+, 即有:(1)l y k x =+,x=-得y=0,与实数k无关,令1因此直线l 过定点(-1,0).（ii ）假设点B ，G 关于x 轴对称,那么有△ABG 的外接圆的圆心在x 轴上, 又在线段AB 的中垂线上, 由（i ）知点G 23(,3m -+2)3m m +,因此点B 23(,3m -+2)3m m -+,又因为直线l 过定点(-1,0),因此直线l 的斜率为223313mm k m -+=-++，又因为1m k=，因此解得21m =或26m =， 又因为230m ->,因此26m =舍去,即21m =， 现在k=1，m=1，E （31,44-），31(,)22G -. AB 的中垂线为2x+2y+1=0， 圆心坐标为1(,0)2-，圆半径为52，圆的方程为2215()24x y ++=. 综上所述, 点B ，G 关于x 轴对称,现在△ABG 的外接圆的方程为: 2215()24x y ++=. 10.（2020·辽宁高考理科·Ｔ20）如图，已知椭圆C 1的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆C 2的短轴为MN ，且C 1，C 2的离心率都为e ，直线l ⊥MN ，l 与C 1交于两点，与C 2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ． （I ）设12e =，求BC 与AD 的比值； （II ）当e 转变时，是不是存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由．【思路点拨】（I ）先利用离心率相同设出21,C C 的方程和直线l 的方程)(a t t x <=，再求出B A ,的坐标，然后计算BC 与AD 的长度就可求出比值；（II ）先考虑直线过原点的情形，再考虑直线只是原点的情形，现在利用斜率相等（即BO k ＝AN k ）成立等式关系，再考虑a t <的因素，可取得关于e 的不等式，求讲解明即可．【精讲精析】(Ⅰ)因为21,C C 的离心率相同，故依题意可设1C ：1222=+b y a x ，2C ：122422=+ax a y b ，（)0>>b a ， 设直线l ：)(a t t x <=，别离与1C ，2C 的方程联立，求得 当21=e 时，a b 23=，别离用B A y y ,表示A ，B 的纵坐标，可知 BC :AD =432222==ab y y AB .（Ⅱ）0=t 时，l 不符合题意．0≠t 时，BO ∥AN 当且仅当BO 的斜率BO k 与AN 的斜率AN k 相等，即=-t t a a b 22at ta ba --22， 解得222b a ab t --= a e e ⋅--=221， 因为a t <，又10<<e ，因此1122<-e e ，解得122<<e ， 因此当220≤<e 时，不存在直线l ，使得BO ∥AN ；当122<<e 时，存在直线l ， 使得BO ∥AN .11．（2020·湖南高考理科·T21）如下图，椭圆,23)0(122221的离心率为：>>=+b a by a x C x 轴被曲线2C ：2x y =-b 截得的线段长等于1C 的长半轴长.（Ⅰ）求21,C C 的方程；（Ⅱ）设2C 与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线l 与2C 相交于点A ，B ，直线MA ，MB 别离与1C 相交于点D ，E.（i ）证明：MD ME ⊥；（ii ）记MDE MAB ，∆∆的面积别离为21，SS .问：是不是存在直线l ，使得321721=S S ？请说明理由.【思路点拨】此题以椭圆和抛物线为载体，考查两曲线的大体知识.题中第一问通过求曲线的方程考查两曲线的大体知识点的关系.第二问通过证明考查逻辑思维能力和探讨参数的存在.解决此题需要较强的综合运用知识的能力.考查了数形结合思想、等价转化思想和方程思想. 【精讲精析】（I）由题意知2c e a ==，从而2a b =，又a =，解得2,1a b ==. 故1C ，2C 的方程别离为2221,14x y y x +==-. （II ）（i ）由题意知，直线l 的斜率存在，设为k ，那么直线l 的方程为y kx =.由2,1,=⎧⎨=-⎩y kx y x 得210x kx --=， 设1122(,),(,)A x y B x y ，那么12,x x 是上述方程的两个实根，于是1212,1x x k x x +==-. 又A ，B 在直线上，∴y 1=kx 1,y 2=kx 2, 又点M 的坐标为(0,1)-，因此 故MA MB ⊥，即MD ME ⊥.（ii ）设直线MA 的斜率为1k ，那么直线的方程为11y k x =-，由121,1,=-⎧⎨=-⎩y k x y x 解得0,1,=⎧⎨=-⎩x y 或121,1,=⎧⎨=-⎩x k y k 那么点A 的坐标为211(,1)k k -,点M 的坐标为（0，-1）.又直线MB 的斜率为11k -，同理可得点B 的坐标为21111(,1)k k --.于是211111111||||||||.22||k S MA MB k k k +=⋅=-= 由1221,440,=-⎧⎨+-=⎩y k x x y 得2211(14)80k x k x +-=，解得0,1,=⎧⎨=-⎩x y 或12121218,1441,14⎧=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩k x k k y k 那么点D 的坐标为2112211841(,)1414k k k k -++； 又直线ME 的斜率为11k -，同理可得点E 的坐标211221184(,),44--++k k k k于是2112221132(1)||1||||2(14)(4)k k S MD ME k k +⋅=⋅=++.因此21122114(417)64=++S k S k . 由题意知，21211417(417)6432++=k k ,解得214k = 或2114k =. 又由点,A B 的坐标可知，21211111111k k k k k k k -==-+，因此3.2k =± 故知足条件的直线l 存在，且有两条，其方程别离为32y x =和32y x =-. 12．（2020·湖南高考文科T21）已知平面内一动点P 到点F(1,0)的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1. （Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点F 作两条斜率存在且相互垂直的直线l 12l ，，设l 1与轨迹C 相交于点A ，B ，l 2与轨迹C 相交于点D ，E ，求AD EB ·的最小值.【思路点拨】此题考查求曲线的方程，考查利用代数方式研究几何问题的大体方式，考查数形结合思想.考查运算能力，考查分析问题、解决问题的能力. 【精讲精析】（I ）设动点P 的坐标为(,)x y ，由题意知22(1)|| 1.x y x -+-=化简得222||,y x x =+当20,4;0x y x x ≥=<时当时,y=0.因此动点P 的轨迹C 的方程为2,4(0)0)y x x x =≥<和y=0(. （II ）由题意知，直线1l 的斜率存在且不为0，设为k ，那么1l 的方程为(1)y k x =-．由得2222(24)0.k x k x k -++=∴21616k 0,k R∆=+>∈即设1122(,),(,),A x y B x y 则12,x x 是上述方程的两个实根，于是1212242,1x x x x k +=+=． 因为12l l ⊥，因此2l 的斜率为1k-． 设那么同理可得2343424,1x x k x x +=+=，当且仅当221k k =时，即1k =±时，AD EB •取最小值16． 13．（2020·陕西高考理科·T17）如图，设P 是圆2225x y +=上的动点，点D 是P 在x 轴上投影， M 为PD 上一点，且4||||5MD PD =． （Ⅰ）当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程； （Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为45的直线被C 所截线段的长度． 【思路点拨】（Ⅰ）动点M 通过点P 与已知圆相联系，因此把点P 的坐标用点M 的坐标表示，然后代入已知圆的方程即可；（Ⅱ）直线方程和椭圆方程组成方程组，能够求解，也能够利用根与系数的关系，结合两点的距离公式计算．【精讲精析】（Ⅰ）设点M 的坐标是(,)x y ，点P 的坐标是(,)p p x y ， 因为点D 是P 在x 轴上投影， M 为PD 上一点，且4||||5MD PD =，因此p x x =，且54p y y =， ∵P 在圆2225x y +=上，∴225()254x y +=，整理得2212516x y +=， 即C 的方程是2212516x y +=． （Ⅱ）过点（3，0）且斜率为45的直线方程是4(3)5y x =-， 设此直线与C 的交点为11(,)A x y ，22(,)B x y ，将直线方程4(3)5y x =-代入C 的方程2212516x y +=得：22(3)12525x x -+=，化简得2380x x --=，∴1x =，2x =，因此线段AB 的长度是||AB ==415==，即所截线段的长度是415．。

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作典型例题一例 1 如果命题“坐标满足方程()0=y x f ，的点都在曲线C 上”不正确，那么以下正确的命题是（A ）曲线C 上的点的坐标都满足方程()0=y x f ，．（B ）坐标满足方程()0=y x f ，的点有些在C 上，有些不在C 上．（C ）坐标满足方程()0=y x f ，的点都不在曲线C 上．（D ）一定有不在曲线C 上的点，其坐标满足方程()0=y x f ，．分析：原命题是错误的，即坐标满足方程()0=y x f ，的点不一定都在曲线C 上，易知答案为D ．典型例题二例2 说明过点)1,5(-P 且平行于x 轴的直线l 和方程1=y 所代表的曲线之间的关系． 分析：“曲线和方程”的定义中所列的两个条件正好组成两个集合相等的充要条件，二者缺一不可．其中“曲线上的点的坐标都是方程0),(=y x f 的解”，即纯粹性；“以方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，即完备性．这是我们判断方程是不是指定曲线的方程，曲线是不是所给方程的曲线的准则．解：如下图所示，过点P 且平行于x 轴的直线l 的方程为1-=y ，因而在直线l 上的点的坐标都满足1=y ，所以直线l 上的点都在方程1=y 表示的曲线上．但是以1=y 这个方程的解为坐标的点不会都在直线l 上，因此方程1=y 不是直线l 的方程，直线l 只是方程1=y 所表示曲线的一部分．说明：本题中曲线上的每一点都满足方程，即满足纯粹性，但以方程的解为坐标的点不都在曲线上，即不满足完备性．典型例题三例3 说明到坐标轴距离相等的点的轨迹与方程x y =所表示的直线之间的关系． 分析：该题应该抓住“纯粹性”和“完备性”来进行分析．解：方程x y =所表示的曲线上每一个点都满足到坐标轴距离相等．但是“到坐标轴距离相等的点的轨迹”上的点不都满足方程x y =，例如点)3,3(-到两坐标轴的距离均为3，但它不满足方程x y =．因此不能说方程x y =就是所有到坐标轴距离相等的点的轨迹方程，到坐标轴距离相等的点的轨迹也不能说是方程x y =所表示的轨迹．说明：本题中“以方程的解为坐标点都在曲线上”，即满足完备性，而“轨迹上的点的坐标不都满足方程”，即不满足纯粹性．只有两者全符合，方程才能叫曲线的方程，曲线才能叫方程的曲线．典型例题四例 4 曲线4)1(22=-+y x 与直线4)2(+-=x k y 有两个不同的交点，求k 的取值范围．有一个交点呢？无交点呢？分析：直线与曲线有两个交点、一个交点、无交点，就是由直线与曲线的方程组成的方程组分别有两个解、一个解和无解，也就是由两个方程整理出的关于x 的一元二次方程的判别式∆分别满足0>∆、0=∆、0<∆．解：由⎩⎨⎧=-++-=.4)1(,4)2(22y x x k y 得04)23()23(2)1(222=--+-++k x k k x k∴]4)23)[(1(4)23(42222--+--=∆k k k k )5124(42+--=k k)52)(12(4---=k k∴当0>∆即0)52)(12(<--k k ，即2521<<k 时，直线与曲线有两个不同的交点． 当0=∆即0)52)(12(=--k k ，即21=k 或25=k 时，直线与曲线有一个交点． 当0<∆即0)52)(12(>--k k ，即21<k 或25>k 时，直线与曲线没有公共点． 说明：在判断直线与曲线的交点个数时，由于直线与曲线的方程组成的方程组解的个数与由两方程联立所整理出的关于x (或y )的一元方程解的个数相同，所以如果上述一元方程是二次的，便可通过判别式来判断直线与曲线的交点个数，但如果是两个二次曲线相遇，两曲线的方程组成的方程组解的个数与由方程组所整理出的一元方程解的个数不一定相同，所以遇到此类问题时，不要盲目套用上例方法，一定要做到具体问题具体分析．典型例题五例5 若曲线x a y =与)0(>+=a a x y 有两个公共点，求实数a 的取值范围．分析：将“曲线有两个公共点”转化为“方程有两个不同的解”，从而研究一元二次方程的解的个数问题．若将两条曲线的大致形状现出来，也许可能得到一些启发．解法一：由⎩⎨⎧+==a x y x a y 得：a y a y -= ∵0≥y ，∴222)(a y a y -=，即02)1(4322=+--a y a y a ．要使上述方程有两个相异的非负实根． 则有：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>->->--=∆010120)1(442423246a a a a a a a又∵0>a∴解之得：1>a ．∴所求实数a 的范围是),1(∞+． 解法二：x a y =的曲线是关于y 轴对称且顶点在原点的折线，而a x y +=表示斜率为1且过点),0(a 的直线，由下图可知，当1≤a 时，折线的右支与直线不相交．所以两曲线只有一个交点，当1>a 时，直线与折线的两支都相交，所以两条直线有两个相异的交点．说明：这类题较好的解法是解法二，即利用数形结合的方法来探求．若题设条件中“0>a ”改为R a ∈呢，请自己探求．典型例题六例 6 已知AOB ∆，其中)0,6(A ，)0,0(O ，)3,0(B ，则角AOB 平分线的方程是x y =(如下图)，对吗？分析：本题主要考查曲线方程概念掌握和理解的程度，关键是理解三角形内角平分线是一条线段．解：不对，因为AOB ∆内角平分线是一条线段OC ，而方程x y =的图形是一条直线．如点)8,8(P 坐标适合方程x y =，但点P 不在AOB ∆内角AOB 的平分线上．综合上述内角AOB 平分线为：)20(≤≤=x x y ．说明：判断曲线的方程或方程的曲线，要紧扣定义，两个条件缺一不可，关键是要搞清楚曲线的范围．典型例题七例7 判断方程122+--=x x y 所表示的曲线．分析：根据方程的表面形式，很难判断方程的曲线的形状，因此必需先将方程进行等价变形．解：由原方程122+--=x x y 可得：1--=x y ，即⎩⎨⎧<-≥+-=),1(1),1(1x x x x y ∴方程122+--=x x y 的曲线是两条射线，如图所示：说明：判断方程表示的曲线，在化简变形方程时要注意等价变形．如方程21-=-y x 等价于2)1(2-=-y x 且1≥x ，即)1(2)1(2≥+-=x x y ，原方程的曲线是抛物线一部分．典型例题八例8 如图所示，已知A 、B 是两个定点，且2=AB ，动点M 到定点A 的距离是4，线段MB 的垂直平分线l 交线段MA 于点P ，求动点P 的轨迹方程．分析：本题首先要建立适当直角坐标系，动点P 满足的条件(等量关系)题设中没有明显给出，要从题意中分析找出等量关系．连结PB ，则PB PM =，由此4==+=+AM PM PA PB PA ，即动点P 到两定点A ，B 距离之和为常数．解：过A ，B 两点的直线为x 轴，A ，B 两点的中点O 为坐标原点，建立直角坐标系 ∵2=AB ，∴A ，B 两点坐标分别为)0,1(-，)0,1(．连结PB ．∵l 垂直平分线段BM ， ∴PB PM =，4==+=+AM PM PA PB PA ．设点),(y x P ，由两点距离公式得4)1()1(2222=+-+++y x y x ，化简方程，移项两边平方得(移项)x y x -=+-4)1(222．两边再平方移项得：13422=+y x ，即为所求点P 轨迹方程． 说明：通过分析题意利用几何图形的有关性质，找出P 点与两定点A ，B 距离之和为常数4，是解本题的关键．方程化简过程也是很重要的，且化简过程也保证了等价性．典型例题九例9 过()42，P 点作两条互相垂直的直线1l ，2l ，若1l 交1l 轴于A ，2l 交y 轴于B ，求线段AB 中点M 的轨迹方程．解：连接PM ，设()y x M ，，则()02，x A ，()y B 20，．∵ 21l l ⊥∴ PAB ∆为直角三角形．由直角三角形性质知 AB PM 21= 即 ()()2222442142y x y x +=-+- 化简得M 的轨迹方程为052=-+y x说明：本题也可以用勾股定理求解，还可以用斜率关系求解，因此本题可有三种解法．用斜率求解的过程要麻烦一些．典型例题十例10 求与两定点A 、B 满足222k PB PA =-（k 是常数）的动点P 的轨迹方程． OA x P yB 图２ M分析：按求曲线方程的方法步骤求解．解法一：如图甲，取两定点A 和B 的连线为x 轴，过AB 的中点且与AB 垂直的直线为y 轴建立坐标系．设)0,(a A -，)0,(a B ，),(y x P ，则：222)(y a x PA ++=，222)(y a x PB +-=． 据题意，222k PB PA =-，有[][]22222)()(k y a x y a x =+--++得24k ax =． 由于k 是常数，且0≠a ，所以ak x 42=为动点的轨迹方程，即动点P 的轨迹是一条平行于y 轴的直线．解法二：如图乙，取A 与B 两点连线为x 轴，过A 点且与AB 垂直的直线为y 轴建立坐标系．设)0,0(A ，)0,(a B ，),(y x P ，则：222y x PA +=，222)(y a x PB +-=． 据题意，222k PB PA =-，有()[]22222)(k y a x y x =+--+， 得a k a x 222+=，即动点P 的轨迹方程为ak a x 222+=，它是平行于y 轴的一条直线． 解法三：如图丙建立坐标系，设),(11y x A ，),(22y x B ，),(y x P ，则21212)()(y y x x PA -+-=，22222)()(y y x x PB -+-=． 据题意，222k PB PA =-，有 [][]222222121)()()()(k y y x x y y x x =-+---+-， 整理后得到点P 的轨迹方程为：0)(2)(22222221211212=---++-+-k y x y x y y y x x x ，它是一条直线．说明：由上面介绍的三种解法，可以看到对于同一条直线，在不同的坐标系中，方程不同，适当建立坐标系如解法一、解法二，得到的方程形式简单、特性明显，一看便知是直线．而解法三得到的方程烦琐、冗长，若以此为基础研究其他问题，会引起不必要的麻烦．因此，在求曲线方程时，根据具体情况适当选取坐标系十分重要．另外，也要注意到本题所求的是轨迹的方程，在作解答表述时应强调曲线的方程，而不是曲线． 典型例题十一例11 两直线分别绕着定点A 和B (a AB 2=)在平面内转动，且转动时保持相互垂直，求两直线的交点P 的轨迹方程．分析：建立适当的直角坐标系，利用直角三角形的性质，列出动点所满足的等式． 解：取直线AB 为x 轴，取线段AB 的中点O 为原点建立直角坐标系，则：)0,(a A -，)0,(a B ，P 属于集合{}222AB PB PA P C =+=．设),(y x P ，则22222)2()()(a y a x y a x =+-+++，化简得222a y x =+．这就是两直线的交点P 的轨迹方程．说明：本题易出现如下解答错误：取直线AB 为x 轴，取线段AB 的中点O 为原点建立直角坐标系，则：)0,(a A -，)0,(a B ，交点P 属于集合{}{}1-=⋅=⊥=PB PA k k P PB PA P C ． 设),(y x P ，则a x y k PA +=)(a x -≠，a x y k PB -=)(a x ≠， 故1-=-⋅+ax y a x y ，即222a y x =+(a x ±≠)． 要知道，当x PA ⊥轴且另一直线与x 轴重合时，仍有两直线互相垂直，此时两直线交点为A ．同样x PB ⊥轴重合时，且另一直线与x 轴仍有两直线互相垂直，此时两直线交点为B ．因而，)0,(a A -与)0,(a B 应为所求方程的解．纠正的方法是：当PA 或PB 的斜率不存在时，即a x ±=时，)0,(a A -和)0,(a B 也在曲线上，故所求的点P 的轨迹方程是222a y x =+．求出曲线上的点所适合的方程后，只是形式上的曲线方程，还必须对以方程的解为坐标的点作考察，既要剔除不适合的部分，也不要遗漏满足条件的部分．典型例题十二例12 如图，ABC Rt ∆的两条直角边长分别为a 和b )(b a >，A 与B 两点分别在x 轴的正半轴和y 轴的正半轴上滑动，求直角顶点C 的轨迹方程．分析：由已知ACB ∠是直角，A 和B 两点在坐标轴上滑动时，AOB ∠也是直角，由平面几何知识，A 、C 、B 、O 四点共圆，则有AOC ABC ∠=∠，这就是点C 满足的几何条件．由此列出顶点C 的坐标适合的方程．解：设点C 的坐标为),(y x ，连结CO ，由︒=∠=∠90AOB ACB ，所以A 、O 、B 、C 四点共圆．从而ABC AOC ∠=∠．由a b A B C =∠ta n ，x y AOC =∠tan ，有ab x y =，即x a b y =． 注意到方程表示的是过原点、斜率为ab 的一条直线，而题目中的A 与B 均在两坐标轴的正半轴上滑动，由于a 、b 为常数，故C 点的轨迹不会是一条直线，而是直线的一部分．我们可考察A 与B 两点在坐标轴上的极端位置，确定C 点坐标的范围．如下图，当点A 与原点重合时，x b a x AB S ABC ⋅+=⋅=∆222121，所以22ba ab x +=． 如下图，当点B 与原点重合时，C 点的横坐标BD x =．由射影定理，AB BD BC ⋅=2，即222b a x a +⋅=，有222b a a x +=．由已知b a >，所以22222b a a b a ab+<+．故C 点的轨迹方程为：x a b y =（22222ba a xb a ab +≤≤+）． 说明：求出曲线上的点所适合的方程后，只是形式上的曲线方程，还必须对以方程的解为坐标的点作考察，剔除不适合的部分．典型例题十三例13 过点)2,3(P 作两条互相垂直的直线1l 、2l ，若1l 交x 轴于A ，2l 交y 轴于B ，M 在线段AB 上，且3:1:=BM AM ，求M 点的轨迹方程．分析：如图，设),(y x M ，题中几何条件是21l l ⊥，在解析几何中要表示垂直关系的代数关系式就是斜率乘积为－1，所以要求M 的轨迹方程即x 、y 之间的关系，首先要把1l 、2l 的斜率用x 、y 表示出来，而表示斜率的关键是用x 、y 表示A 、B 两点的坐标，由题可知M 是A 、B 的定比分点，由定比分点坐标公式便可找出A 、B 、M 坐标之间的关系，进而表示出A 、B 两点的坐标，并求出M 点的轨迹方程．解：设),(y x M ，)0,(a A ，),0(b B∵M 在线段AB 上，且3:1:=BM AM ．∴M 分AB 所成的比是31， 由⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+=+=31131311b y a x ，得⎪⎩⎪⎨⎧==y b x a 434， ∴)0,34(x A 、)4,0(y B又∵)2,3(P ，∴1l 的斜率x k 34321-=，2l 的斜率3242--=y k ． ∵21l l ⊥，∴13243432-=--⋅-y x ． 化简得：01384=-+y x ．说明：本题的上述解题过程并不严密，因为1k 需在49≠x 时才能成立，而当49=x 时，)0,3(A ，1l 的方程为3=x ．所以2l 的方程是2=y ．故)2,0(B ，可求得)21,49(M ，而)21,49(也满足方程01384=-+y x ．故所求轨迹的方程是01384=-+y x ．这类题在解答时应注意考虑完备性和纯粹性．典型例题十四例14 如图，已知两点)2,2(-P ，)2,0(Q 以及一直线x y l =：，设长为2的线段AB在直线l 上移动．求直线PA 和QB 的交点M 的轨迹方程．分析1：设),(y x M ，题中的几何条件是2=AB ，所以只需用),(y x 表示出A 、B 两点的坐标，便可求出曲线的方程，而要表示A 点坐标可先找出A 、M 两点坐标的关系，显然P 、A 、M 三点共线．这样便可找出A 、M 坐标之间的关系，进而表示出A 的坐标，同理便可表示出B 的坐标，问题便可以迎刃而解．解法一：设),(y x M 、),(a a A 、),(b b B )(a b >．由P 、A 、M 三点共线可得：2222+-=+-x y a a （利用PA 与MP 斜率相等得到） ∴422+-+=y x y x a ． 由Q 、B 、M 三点共线可得x y b b 22-=-． ∴22+-=y x x b ． 又由2=AB 得2)(22=-b a ．∴1=-a b ，∴142222=+-+-+-y x y x y x x ． 化简和所求轨迹方程为：082222=+-+-y x y x ．分析2：此题也可以先用P 、A 、M 三点共线表示出A 点坐标，再根据2=AB 表示出B 点坐标，然后利用Q 、B 、M 三点共线也可求得轨迹方程．解法二：设),(y x M ，),(a a A 由2=AB 且B 在直线x y =上且B 在A 的上方可得：)1,1(++a a B由解法一知422+-+=y x y x a ， ∴)443,443(+-+++-++y x y x y x y x B 又由Q 、B 、M 三点共线可得：xy y x y x y x y x 24432443-=+-++-+-++． 化简得所求轨迹方程为：082222=+-+-y x y x ．解法三：由于2=AB 且AB 在直线x y =上所以可设),(a a A ，)1,1(++a a B ．则直线AP 的方程为：)2)(2()2)(2(+-=-+x a y a直线BQ 的方程为：x a y a )1()2)(1(-=-+ 由上述两式解得)0(1212≠⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=--=a a a y a a x ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+-+=+44)1(44)1(222222a a y a a x ∴8)1()1(22-=+-+y x ，即082222=+-+-y x y x ．而当0=a 时，直线AP 与BQ 平行，没有交点．∴所求轨迹方程为082222=+-+-y x y x ．说明：本题的前两种方法属于直接法，相对较繁，而后一种方法，事实上它涉及到参数的思想(a 为参数)，利用交点求轨迹方程．一般先把交点表示为关于参数的坐标，然后消去参数，这也反映出运动的观点．。

2024年普通高等学校招生全国统一考试 新课标Ⅰ卷数学试卷1.已知集合，，则( ).A. B. C. D.2.若，则( ).A. B. C. D.3.已知向量，，若，则( ).A.-2B.-1C.1D.24.已知，，则( ).A. B. C. D.5.，则圆锥的体积为( ).A.B. C. D.6.已知函数在R 上单调递增，则a的取值范围是( ).A. B. C. D.7.当时，曲线与的交点个数为( ).A.3 B.4C.6D.88.已知函数的定义域为R ，，且当时，，则下列结论中一定正确的是( ).A. B. C. D.9.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布，假设失去出口后的亩收入Y 服从正态分布，则( ).（若随机变量Z{}355A x x =-<<∣{3,1,0,2,3}B =--A B = {1,0}-{2,3}{3,1,0}--{1,0,2}-1i 1z z =+-z =1i --1i -+1i -1i+(0,1)a = (2,)b x = (4)b b a ⊥- x =cos()m αβ+=tan tan 2αβ=cos()αβ-=3m -3m-3m3m22,0()e ln(1),0x x ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩(,0]-∞[1,0]-[1,1]-[0,)+∞[0,2π]x ∈sin y x =π2sin 36y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()f x ()(1)(2)f x f x f x >-+-3x <()f x x =(10)100f >(20)1000f >(10)1000f <(20)10000f <2.1X =20.01S =()21.8,0.1N ()2,N X S服从正态分布，则）A. B. C. D.10.设函数，则( ).A.是的极小值点B.当时，C.当时，D.当时，11.造型可以看作图中的曲线C 的一部分，已知C 过坐标原点O ，且C 上的点满足横坐标大于-2，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则( ).A.B.点在C 上C.C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D.当点在C 上时，12.设双曲线（，）的左右焦点分別为，，过作平行于y 轴的直线交C 于A ，B两点，若，，则C 的离心率为_________.13.若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则_________.14.甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两个各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片的数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛比赛后，甲的总得分小于2的概率为_________.15.记的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知，()2,N μσ()0.8413P Z μμ<+≈(2)0.2P X >>()0.5P X Z ><()0.5P Y Z >>()0.8P Y Z ><2()(1)(4)f x x x =--3x =()f x 01x <<()2()f x f x <12x <<4(21)0f x -<-<110x -<<(2)()f x f x ->(2,0)F (0)x a a =<2a =-()00,x y 0042y x ≤+2222:1x y C a b-=0a >0b >1F 2F 2F 113F A =||10AB =e x y x =+(0,1)ln(1)y x a =++a =ABC △sin C B =.（1）求B ；（2）若的面积为，求c .16.已知和为椭圆上两点.（1）求C 的率心率；（2）若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且的面积为9，求l 的方程.17.如图，四棱锥中，底面，，，（1）若，证明：平面PBC ；（2）若，且二面角，求AD .18.已知函数.（1）若，且，求a 的最小值；（2）证明：曲线是中心对称图形；（3）若，当且仅当，求b 的取值范围.19.设m 为正整数，数列，，…，是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的4m 项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列，，…，是——可分数列.222a b c +-=ABC △3+(0,3)A 33,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭2222:1(0)x y C a b a b +=>>ABP △P ABCD -PA ⊥ABCD 2PA PC ==1BC =AB =AD PB ⊥//AD AD DC ⊥A CP D --3()ln (1)2x f x ax b x x =++--0b =()0f x '≥()y f x =()2f x >-12x <<1a 2a 42m a +i a ()j a i j <1a 2a 42m a +(,)i j（1）写出所有的，，使数列，，…，是——可分数列；（2）当时，证明：数列，，…，足——可分数列；（3）从1，2，…，中一次任取两个数i 和，记数列，，…，足——可分数列的概率为，证明：.(,)i j 16i j ≤<≤1a 2a 6a (,)i j 3m ≥1a 2a 42m a +(2,13)42m +()j i j <1a 2a 42m a +(,)i j m P 18m P >参考答案1.A解析：，选A.2.C解析：3.D解析：，，，，，选D.4.A解析：，，，选A.5.B解析：设它们底面半径为r ，圆锥母线l ，，，，，选B.6.B解析：在R 上↗，，，选B.7.C{1,0}A B =- 4(2,4)b a x -=- (4)b b a ⊥- (4)0b b a ∴-= 4(4)0x x ∴+-=2x ∴=cos cos sin sin sin sin 2cos cos m αβαβαβαβ-=⎧⎪⎨=⎪⎩sin sin 2cos cos m m αβαβ=-⎧∴⎨=-⎩cos()cos cos sin sin 23m m m αβαβαβ-=+=--=-2ππrl ∴=l ∴==3r ∴=1π93V =⋅⋅=()f x 00e ln1a a -≥⎧⎨-≤+⎩10a ∴-≤≤解析：6个交点，选C.8.B解析：，，，，，，，，，，，，，，，，，选B.9.BC解析：，，，，A 错.，B 对.，，C 对.，D 错，所以选BC.10.ACD解析：A 对，因为；B 错，因为当时且，所以；C 对，因为，，，时，(1)1f =(2)2f =(3)(2)(1)3f f f >+=(4)(3)(2)5f f f >+>(5)(4)(3)8f f f >+>(6)(5)(4)13f f f >+>(7)(6)(5)21f f f >+>(8)(7)(6)34f f f >+>(9)(8)(7)55f f f >+>(10)(9)(8)89f f f >+>(11)(10)(9)144f f f >+>(12)(11)(10)233f f f >+>(13)(12)(11)377f f f >+>(14)(13)(12)610f f f >+>(15)(14)(13)987f f f >+>(16)1000f >(20)1000f ∴>()2~ 1.8,0.1X N ()2~ 2.1,0.1Y N 2 1.820.12μσ=+⨯=+(2)(2)()10.84130.1587P X P X P X μσμσ>=>+<>+=-=(2)( 1.8)0.5P X P X ><>=2 2.10.1μσ=-=-(2)( 2.1)0.5P Y P Y >>>=(2)()()0.84130.8P Y P Y P Y μσμσ>=>-=<+=>()3(1)(3)f x x x '=--01x <<()0f x '>201x x <<<()2()f x f x <2(21)4(1)(25)0f x x x -=--<2(21)44(2)(21)0f x x x -+=-->2223(2)()(1)(2)(1)(4)(1)(22)2(1)f x f x x x x x x x x --=------=--+=--11x -<<，，D 对.11.ABD解析：A 对，因为O 在曲线上，所以O 到的距离为，而，所以有，那么曲线的方程为.B 对，因为代入知满足方程；C 错，因为，求导得，那么有，，于是在的左侧必存在一小区间上满足，因此最大值一定大于1；D 对，因为.12.解析：由知，即，而，所以，即，代回去解得，所以.13.解析：14.解析：甲出1一定输，所以最多3分，要得3分，就只有一种组合、、、.得2分有三类，分别列举如下：（1）出3和出5的赢，其余输：，，，（2）出3和出7的赢，其余输：，，，；，，，，，，，（3）出5和出7的赢，其余输：，，，；，，，；，，，；，，，；，，，；，，，；，，，(2)()0f x f x -->(2)()f x f x ->x a =a -2OF =242a a -⋅=⇒=-(4x +=2224(2)()2y x f x x ⎛⎫=--= ⎪+⎝⎭332()2(2)(2)f x x x '=---+(2)1f =1(2)02f '=-<2x =(2,2)ε-()1f x >()22220000004442222y x y x x x ⎛⎫⎛⎫=--≤⇒≤ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭32||10AB =25F A =2225b c a a a-==121F F F A ⊥1212F F =6c =4a =32e =ln 21218-32-54-76-16-32-54-78-14-32-58-76-18-32-56-74-16-32-58-74-12-38-54-76-14-38-52-76-18-34-52-76-16-38-52-74-18-36-52-74-16-38-54-72-18-36-54-72-共12种组合满足要求，而所有组合为24，所以甲得分不小于2的概率为15.（1）（2）解析：（1）已知，根据余弦定理，可得：.因为，所以.又因为，即，解得.因为，所以.（2）由（1）知，，则.已知的面积为，且，则，.又由正弦定理，可得.则，，同理.所以解得16.（1）（2）见解析12π3B =c =222a b c +-=222cos 2a b c C ab +-=cos C ==(0,π)C ∈π4C =sin C B =πsin4B =B =1cos 2B =(0,π)B ∈π3B =π3B =π4C =ππ5πππ3412A B C =--=--=ABC △3+1sin 2ABC S ab C =△1πsin 324ab =132ab =2(3ab =+sin sin sin a b c A B C ==sin sin sin sin a C b C c A B==π5πsin sin 412c a =5πsin 12πsin 4c a =πsin 3πsin 4c b =2225ππsin sin 421232(3π1sin 42c c ab ⎝⎭===+c =12解析：（1）将、代入椭圆，则.（2）①当L 的斜率不存在时，，，，A 到PB 距离，此时不满足条件.②当L 的斜率存在时，设，令、，，消y 可得，17.（1）证明见解析（2）解析：（1）面，平面，又，，平面PAB面，平面，(0,3)A 33,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭22220919941a b a b⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩22129a b ⎧=⎨=⎩c =12c e a ∴===:3L x =33,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭3PB =3d =1933922ABP S =⨯⨯=≠△3:(3)2PB y k x -=-()11,P x y ()22,B x y 223(3)21129y k x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩()()22224324123636270k x k k x k k +--+--=2122212224124336362743k k x x k k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨--⎪=⎪+⎩PB =AD =PA ⊥ABCD AD ⊂ABCD PA AD∴⊥AD PB ⊥ PB PA P = ,PB PA ⊂AD ∴⊥PAB AB ∴⊂PAB AD AB∴⊥中，，，B ，C ，D 四点共面，又平面，平面PBC平面PBC .（2）以DA ，DC 为x ，y 轴过D 作与平面ABCD 垂直的线为z 轴建立如图所示空间直角坐标系令，则，，，，设平面ACP 的法向量不妨设，，设平面CPD 的法向量为不妨设，则，，二面角，.18.（1）-2（2）证明见解析（3）ABC △222AB BC AC +=AB BC∴⊥A //AD BC∴BC ⊂ PBC AD ⊄//AD ∴D xyz-AD t =(,0,0)A t (,0,2)P t (0,0,0)D DC =()C()1111,,n x y z = 1x =1y t =10z =)1,0n t = ()2222,,n x y z = 2200n DP n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 222200tx z +=⎧∴=2z t =22x =-20y =2(2,0,)n t =- A CP D --121212cos ,n n n n n n ⋅=== t ∴=AD ∴=23b ≥-解析：（1）时，，对恒成立而，当且仅当时取“=”，故只需，即a 的最小值为-2.（2）方法一：，关于中心对称.方法二：将向左平移一个单位关于中心对称平移回去关于中心对称.（3）当且仅当，对恒成立令，必有（必要性）当时，对，对恒成立，符合条件，综上：.19.（1），，（2）证明见解析（3）证明见解析解析：（1）以下满足：，，0b =()ln 2x f x ax x =+-11()02f x a x x'=++≥-02x ∀<<11222(2)a a a x x x x ++=+≥+--1x =202a a +≥⇒≥-(0,2)x ∈(2)()f x f x -+332ln (2)(1)ln (1)22x x a x b x ax b x a x x-=+-+-+++-=-()f x ∴(1,)a ()f x 31(1)ln(1)1x f x a x bx x+⇒+=+++-(0,)a ()f x ⇒(1,)a ()2f x >- 12x <<(1)22f a ∴=-⇒=-3()ln 2(1)22x f x x b x x∴=-+->--12x ∀<<222112(1)2()23(1)3(1)(1)32(2)(2)x f x b x b x x b x x x x x x ⎡⎤-'=+-+-=+-=-+⎢⎥---⎣⎦2()3(2)g x b x x =+-∴2(1)2303g b b =+≥⇒≥-23b ≥-(1,2)x ∀∈32()ln 2(1)()23x f x x x h x x ≥---=-2222(1)1()2(1)2(1)10(2)(2)x h x x x x x x x ⎡⎤-'=--=-->⎢⎥--⎣⎦(1,2)x ∀∈()(1)2h x h ∴>=-23b ≥-(1,2)(1,6)(5,6)(,)i j (1,2)(1,6)(5,6)（2）易知：，，，等差等差故只需证明：1，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，14可分分组为，，即可其余，，按连续4个为一组即可（3）由第（2）问易发现：，，…，是可分的是可分的.易知：1，2，…，是可分的因为可分为，…，与，…，此时共种再证：1，2，…，是可分的易知与是可分的只需考虑，，，…，，，记，只需证：1，3，5，…，，，可分去掉2与观察：时，1，3，4，6无法做到；时，1，3，4，5，6，7，8，10，可以做到；时，1，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，14时，1，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，18，，，满足故，可划分为：，，，，…，，，共p 组事实上，就是，，且把2换成p a q a r a s a ,,,p q r s ⇔(1,4,7,10)(3,6,9,12)(5,8,11,14)k a 1542k m ≤≤+1a 2a 42m a +(,)i j 1,2,42m ⇔+ (,)i j 42m +(41,42)k r ++(0)k r m ≤≤≤(1,2,3,4)(43,42,41,4)k k k k ---(4(1)1,4(1),4(1)1,4(1)2)r r r r +-+++++(41,4,41,42)m m m m -++211C (1)(1)(2)2m m m m +++=++42m +(42,41)k r ++(0)k r m ≤<≤1~4k 42~42r m ++41k +43k +44k +41r -4r 42r +*N p r k =-∈41p -4p 42p +1~42p +41p +1p =2p =3p =4p =(1,5,9,13)(3,7,11,15)(4,8,12,16)(6,10,14,18)2p ∀≥(1,1,21,31)p p p +++(3,3,23,33)p p p +++(4,4,24,34)p p p +++(5,5,25,35)p p p +++(,2,3,4)p p p p (2,22,32,42)p p p p ++++(,,2,3)i p i p i p i +++1,2,3,,i p = 42p +此时，均可行，共组，，…，不可行综上，可行的与至少组故，得证！(,)k k p +2p ≥211C (1)2m m m m +-=-(0,1)(1,2)(1,)m m -(42,41)k r ++(41,42)k r ++11(1)(1)(2)22m m m m -+++()222224212221112C (21)(41)8618m m m m m m m m P m m m m +++++++≥==>++++。

典型例题一例 1 假如命题“坐标知足方程 f x， y 0 的点都在曲线 C 上”不正确，那么以下正确的命题是（ A）曲线C上的点的坐标都知足方程 f x， y0 ．（ B）坐标知足方程 f x， y 0 的点有些在C上，有些不在 C 上．（ C）坐标知足方程 f x， y 0 的点都不在曲线 C 上．（ D）必定有不在曲线 C 上的点，其坐标知足方程 f x， y0 ．剖析：原命题是错误的，即坐标知足方程 f x， y0 的点不必定都在曲线 C 上，易知答案为 D．典型例题二例 2 说明过点P(5 ,1) 且平行于 x 轴的直线l和方程y 1所代表的曲线之间的关系．剖析：“曲线和方程”的定义中所列的两个条件正好构成两个会合相等的充要条件，二者缺一不行．此中“曲线上的点的坐标都是方程 f ( x , y)0的解”，即纯粹性；“以方程的解为坐标的点都是曲线上的点” ，即齐备性．这是我们判断方程是否是指定曲线的方程，曲线是否是所给方程的曲线的准则．解：以下列图所示，过点 P 且平行于x轴的直线 l 的方程为y 1 ，因此在直线l上的点的坐标都知足y 1 ，所以直线 l 上的点都在方程y 1 表示的曲线上．可是以y 1这个方程的解为坐标的点不会都在直线l 上，所以方程y 1 不是直线 l 的方程，直线 l 不过方程y 1 所表示曲线的一部分．说明：本题中曲线上的每一点都知足方程，即知足纯粹性，但以方程的解为坐标的点不都在曲线上，即不知足齐备性．典型例题三例 3说明到坐标轴距离相等的点的轨迹与方程y x 所表示的直线之间的关系．剖析：该题应当抓住“纯粹性”和“齐备性”来进行剖析．解：方程 y x 所表示的曲线上每一个点都知足到坐标轴距离相等．可是“到坐标轴距离相等的点的轨迹”上的点不都知足方程y x ，比如点( 3 , 3)到两坐标轴的距离均为3，但它不知足方程y x ．所以不可以说方程y x 就是全部到坐标轴距离相等的点的轨迹方程，到坐标轴距离相等的点的轨迹也不可以说是方程y x 所表示的轨迹．说明：本题中“以方程的解为坐标点都在曲线上” ，即知足齐备性，而“轨迹上的点的坐标不都知足方程” ，即不知足纯粹性．只有二者全切合，方程才能叫曲线的方程，曲线才能叫方程的曲线．典型例题四例 4 曲线x2( y 1) 2 4 与直线 y k (x2)4 有两个不一样的交点，求k 的取值范围．有一个交点呢？无交点呢？剖析：直线与曲线有两个交点、一个交点、无交点，就是由直线与曲线的方程构成的方程组分别有两个解、一个解和无解，也就是由两个方程整理出的对于x 的一元二次方程的判别式分别知足0、0 、0 ．解：由y k( x 2) 4,x2( y1) 2 4.得 (1k 2 )x22k(3 2)x(3 2)2 4 0k k∴4k 2 (32k )24(1 k 2 )[( 3 2k)24] 4(4k 212k5)4(2k 1)(2k 5)∴当0 即( 2k1)( 2k5)0，即1k5时，直线与曲线有两个不一样的交点．22当0即 (2k1)( 2k5)0 ，即k 1或 k52时，直线与曲线有一个交点．2当0即 (2k1)( 2k5)0 ，即k 1或 k52时，直线与曲线没有公共点．2说明：在判断直线与曲线的交点个数时，因为直线与曲线的方程构成的方程组解的个数与由双方程联立所整理出的对于x (或y)的一元方程解的个数相同，所以假如上述一元方程是二次的，即可经过鉴别式来判断直线与曲线的交点个数，但假如是两个二次曲线相遇，两曲线的方程构成的方程组解的个数与由方程组所整理出的一元方程解的个数不必定相同，所以碰到此类问题时，不要盲目套用上例方法，必定要做到详细问题详细剖析．典型例题五例 5 若曲线y a x 与y x a(a 0) 有两个公共点，务实数 a 的取值范围．剖析：将“曲线有两个公共点”转变为“方程有两个不一样的解” ，从而研究一元二次方程的解的个数问题．若将两条曲线的大概形状现出来，或允许能获得一些启迪．y a x 解法一：由y 得： y a y ax a∵ y 0 ，∴y2a2 ( y a) 2，即 (a21) y22a3 y a40 ．要使上述方程有两个相异的非负实根．4a64a4 (a21)02a3则有：0a21a4a210又∵ a0∴解之得： a 1 ．∴所务实数 a 的范围是 (1,) ．解法二：y a x 的曲线是对于y 轴对称且极点在原点的折线，而y x a 表示斜率为 1 且过点(0 , a)的直线，由下列图可知，当a 1时，折线的右支与直线不订交．所以两曲线只有一个交点，当 a 1 时，直线与折线的两支都订交，所以两条直线有两个相异的交点．说明：这种题较好的解法是解法二，即利用数形联合的方法来探究．若题设条件中“ a 0”改为 a R 呢，请自己探究．典型例题六例 6 已知AOB ，此中A(6 , 0)，O(0 , 0)，B(0 , 3)，则角 AOB均分线的方程是y x (以下列图)，对吗？剖析：本题主要观察曲线方程看法掌握和理解的程度，重点是理解三角形内角均分线是一条线段．解：不对，因为AOB 内角均分线是一条线段OC ，而方程y x 的图形是一条直线．如点 P(8,8)坐标合适方程y x ，但点P 不在AOB 内角AOB 的均分线上．综合上述内角AOB 均分线为：y x(0x2) ．说明：判断曲线的方程或方程的曲线，重要扣定义，两个条件缺一不行，重点是要搞清楚曲线的范围．典型例题七例 7判断方程y x22x 1 所表示的曲线．剖析：依据方程的表面形式，很难判断方程的曲线的形状，所以必需先将方程进行等价变形．解：由原方程22 1 可得：y x xy x 1 ，即 yx 1 ( x1), x 1 ( x1),∴方程 y x22x1的曲线是两条射线，以下图：说明：判断方程表示的曲线，在化简变形方程时要注意等价变形．如方程 x 1y 2等价于 ( x 1)2y 2 且x 1，即 y ( x 1)22( x 1) ，原方程的曲线是抛物线一部分．典型例题八例 8 以下图，已知 A 、 B 是两个定点，且 AB 2 ，动点 M 到定点 A 的距离是4，线段 MB 的垂直均分线 l交线段 MA 于点 P ，求动点 P 的轨迹方程．剖析：本题第一要成立合适直角坐标系，动点P知足的条件(等量关系)题设中没有明显给出，要从题意中剖析找出等量关系．连接PB，则 PM PB ，由此PA PB PA PM AM 4 ，即动点 P 到两定点 A ， B 距离之和为常数．解：过 A ， B 两点的直线为x 轴，A，B两点的中点O为坐标原点，成立直角坐标系∵ AB 2，∴ A， B 两点坐标分别为( 1, 0)， (1, 0)．连接 PB ．∵ l 垂直均分线段BM ，∴PM PB，PA PB PA PM AM 4．设点 P( x , y) ，由两点距离公式得(x 1) 2y2( x 1)2y2 4 ，化简方程，移项两边平方得(移项 )2 ( x 1) 2y2 4 x ．两边再平方移项得：x2y21 ，即为所求点P 轨迹方程．43说明：经过剖析题意利用几何图形的相关性质，找出P 点与两定点 A ， B 距离之和为常数 4 ，是解本题的重点．方程化简过程也是很重要的，且化简过程也保证了等价性．典型例题九例9 过P2，4点作两条相互垂直的直线l1， l 2，若 l1交 l1轴于A， l2交 y 轴于 B ，求线段 AB 中点 M 的轨迹方程．解：连接 PM ，设M x，y，则 A 2x，0，yB 0，2 y ．BP ∵l1l 2∴PAB为直角三角形．M由直角三角形性质知O A x1ABPM2图２即x 2 2y 4 214x2 4 y 2化简得 M 的轨迹方程为2x 2 y 5 0说明：本题也能够用勾股定理求解，还能够用斜率关系求解，所以本题可有三种解法．用斜率求解的过程要麻烦一些．典型例题十例 10222（ k 是常数）的动点P 的轨迹方程．求与两定点 A 、 B 知足 PA PB k剖析：按求曲线方程的方法步骤求解．解法一：如图甲，取两定点 A 和 B 的连线为x轴，过 AB 的中点且与 AB 垂直的直线为 y 轴成立坐标系．2( x a)2y22a)2y2设 A( a , 0) ， B(a , 0) ， P( x , y) ，则：PA， PB ( x．据题意，222，有 ( x a)2y2( x a) 2y2k 2得 4ax k 2．PA PB k因为 k 是常数，且 a0 ，所以x k2P 的轨迹是一条平为动点的轨迹方程，即动点4a行于y 轴的直线．解法二：如图乙，取 A 与B 两点连线为x 轴，过 A 点且与AB 垂直的直线为y 轴成立坐标系．设 A(0,0) ， B( a , 0)， P(x , y) ，则：2x22(x a)2y 2．PA y 2， PB据题意，22k 2，有x2y 2( x a) 2y2k2，PA PBa2k 2a2k2，它是平行于y 轴的一条直线．得 x2a，即动点 P 的轨迹方程为x2a解法三：如图丙成立坐标系，设 A(x1, y1 ) ， B( x2 , y2 ) ， P( x , y) ，则2(x x1 ) 22( x x2 )( y y2 ) 2．PA( y y1 )2， PB2据题意， PA 2PB2k 2，有( x x1) 2( y y1 ) 2(x x2 ) 2( y y2 ) 2k2，整理后获得点P 的轨迹方程为：2( x2x1 ) x2( y2y1) y x12y12x22y22k20 ，它是一条直线．说明：由上边介绍的三种解法，能够看到对于同一条直线，在不一样的坐标系中，方程不同，合适成立坐标系如解法一、解法二，获得的方程形式简单、特征明显，一看便知是直线．而解法三获得的方程烦杂、冗长，若以此为基础研究其余问题，会惹起不用要的麻烦．所以，在求曲线方程时，依据详细状况适入选用坐标系十分重要．此外，也要注意到本题所求的是轨迹的方程，在作解答表述时应重申曲线的方程，而不是曲线．典型例题十一例 11 两直线分别绕着定点 A 和 B ( AB2a )在平面内转动，且转动时保持相互垂直，求两直线的交点P 的轨迹方程．剖析：成立合适的直角坐标系，利用直角三角形的性质，列出动点所知足的等式．解：取直线 AB 为x轴，取线段AB 的中点 O 为原点成立直角坐标系，则：A( a , 0) ， B(a , 0) ，P属于会合 C P22AB2PA PB．设 P(x , y) ，则 ( x a)2y2( x a) 2y2( 2a) 2，化简得 x2y2a2．这就是两直线的交点P 的轨迹方程．说明：本题易出现以下解答错误：取直线 AB 为x轴，取线段 AB 的中点 O 为原点成立直角坐标系，则：A( a , 0)， B(a , 0) ，交点P属于会合C P PA PB P k PA k PB1 ．设 P(x , y) ，则k PAy( x a) ，k PBy( x a) ，x a x ay y 故a 1，即x2y2 a 2(x a )．x a x要知道，当 PA x 轴且另向来线与x 轴重合时，仍有两直线相互垂直，此时两直线交点为 A ．相同 PB x 轴重合时，且另向来线与x 轴仍有两直线相互垂直，此时两直线交点为 B ．因此，A( a , 0) 与 B(a , 0) 应为所求方程的解．纠正的方法是：当PA 或 PB 的斜率不存在时，即x a 时，A(a , 0)和 B( a , 0) 也在曲线上，故所求的点P 的轨迹方程是x2y2 a 2．求出曲线上的点所合适的方程后，不过形式上的曲线方程，还一定对以方程的解为坐标的点作观察，既要剔除不合适的部分，也不要遗漏知足条件的部分．典型例题十二例12如图， Rt ABC 的两条直角边长分别为 a 和b( a b) ，A与B 两点分别在x 轴的正半轴和y 轴的正半轴上滑动，求直角极点 C 的轨迹方程．剖析： 由已知ACB 是直角， A 和 B 两点在座标轴上滑动时， AOB 也是直角，由平面几何知识， A 、 C 、 B 、 O 四点共圆，则有 ABC AOC ，这就是点 C 知足的几 何条件．由此列出极点 C 的坐标合适的方程．解：设点 C 的坐标为 ( x , y) ，连接 CO ，由ACB AOB 90 ，所以 A 、O 、B 、C 四点共圆．b，tan AOCy ，有 y b ，即 ybx ．从而 AOCABC ．由 tan ABCax x aa注意到方程表示的是过原点、斜率为b的一条直线，而题目中的A 与B 均在两坐标轴bC a点的轨迹不会是一条直线， 而是直线的一部分． 我的正半轴上滑动， 因为 a 、 为常数， 故们可观察 A 与 B 两点在座标轴上的极端地点，确立C 点坐标的范围．以下列图，当点A 与原点重合时，SABC1AB x1 a2 b 2 x ，所以 xab ．22a 2b 2以下列图，当点B 与原点重合时，C 点的横坐标 x BD ．由射影定理， BC2BD AB ，即 a 2xa 2b 2 ，有 xa 2 ．由已知 ab ，ab a2．所以b2a2a2b2故 C 点的轨迹方程为：y bx （ab x a 2）．a a2b2 a 2b2说明：求出曲线上的点所合适的方程后，不过形式上的曲线方程，还一定对以方程的解为坐标的点作观察，剔除不合适的部分．典型例题十三例 13 过点P(3 , 2)作两条相互垂直的直线l1、l2，若 l1交 x 轴于A， l2交y轴于B，M 在线段 AB 上，且 AM : BM1: 3，求 M 点的轨迹方程．剖析：如图，设 M ( x , y) ，题中几何条件是 l1l 2，在分析几何中要表示垂直关系的代数关系式就是斜率乘积为－1，所以要求M的轨迹方程即x 、y之间的关系，第一要把 l 1、l 2的斜率用 x 、y表示出来，而表示斜率的重点是用x 、y表示A、B两点的坐标，由题可知 M 是 A 、 B 的定比分点，由定比分点坐标公式即可找出 A 、 B 、 M 坐标之间的关系，从而表示出 A 、 B 两点的坐标，并求出 M 点的轨迹方程．解：设 M (x , y) ， A(a , 0) ， B(0 , b)∵ M 在线段 AB 上，且 AM : BM 1:3．∴ M 分AB所成的比是 1 ，3xa1143a x ，由1，得3bb4y y3113∴ A(4x , 0) 、 B(0 , 4 y) 3又∵ P(3 , 2) ， ∴ l 1 的斜率 k 12， l 2 的斜率 k 24 y2 4 ．3 x3324 y 2∵ l 11．l 2 ，∴34x33化简得： 4x 8y 130 ．说明： 本题的上述解题过程其实不严实，因为 k 1 需在 x9x9时才能成立，而当时，44 A(3 , 0) ， l 1 的方程为 x 3 ．所以 l 2 的方程是 y2．故 B(0, 2)，可求得 M (9 1 , ) ，而( 9 , 1) 也知足方程 4x4 28 y 13 0 ．故所求轨迹的方程是4x 8 y 13 0 ．这种题在解4 2答时应注意考虑齐备性和纯粹性．典型例题十四例14如图，已知两点 P( 2 , 2) ，Q(0 , 2)以及向来线l ：yx，设长为2 的线段AB在直线l 上挪动．求直线PA 和 QB 的交点M 的轨迹方程．剖析 1：设 M ( x , y) ，题中的几何条件是 AB2 ，所以只要用 ( x , y) 表示出 A 、 B两点的坐标，即可求出曲线的方程，而要表示A 点坐标可先找出 A 、 M 两点坐标的关系，明显 P 、 A 、 M 三点共线． 这样即可找出 A 、 M 坐标之间的关系，从而表示出 A 的坐标， 同理即可表示出 B 的坐标，问题便能够水到渠成．解法一： 设 M ( x , y) 、 A( a , a) 、 B(b , b) (b a) ．由 P 、 A 、M 三点共线可得：a2 y2（利用 PA 与 MP 斜率相等获得）a2 x 22x 2 y∴ a．x y 4由 Q 、B、M三点共线可得b2 y 2 ．b x2x∴ b．x y 2又由 AB 2 得2(a b)2 2 ．∴ b a 1，∴2x2x 2 y 1 ．y2x y4x化简和所求轨迹方程为：x2y2 2 x 2 y 8 0 ．剖析 2：本题也能够先用P 、 A 、 M 三点共线表示出 A 点坐标，再依据 AB 2 表示出 B 点坐标，而后利用Q 、B、M三点共线也可求得轨迹方程．解法二：设 M ( x , y) ， A( a , a)由 AB 2 且 B 在直线 y x 上且 B 在 A 的上方可得：B( a 1 , a 1)由解法一知2x 2 y ay，x4∴B(3x y 4 , 3x y 4 )x y 4 x y 4又由 Q 、B、M三点共线可得：3x y4 x y 2y 24．3x y4xx y4化简得所求轨迹方程为：x2y2 2 x 2 y 8 0 ．解法三：因为 AB 2 且 AB 在直线 y x 上所以可设 A(a , a)， B(a 1 , a1) ．则直线 AP 的方程为：(a2)( y 2) (a 2)( x 2)直线 BQ 的方程为： (a 1)( y 2) (a 1)xx21 a由上述两式解得a( a0)2y1aa( x1) 2a244∴a 2422( y1)a a24∴ ( x 1)2( y 1)28 ，即 x 2y 22x 2 y8 0 ．而当 a0 时，直线 AP 与BQ平行，没有交点．∴所求轨迹方程为x2y 22x 2 y 8 0 ．说明：本题的前两种方法属于直接法，相对较繁，尔后一种方法，事实上它波及到参数的思想 ( a为参数 )，利用交点求轨迹方程．一般先把交点表示为对于参数的坐标，而后消去参数，这也反应出运动的看法．。

曲线与方程高考试题汇编1.（2019北京理8）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C :x 2+y 2=1+x y 就是其中之一（如图）。

给出下列三个结论：① 曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ② 曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过2; ③ 曲线C 所围城的“心形”区域的面积小于3. 其中，所有正确结论的序号是 （A ）① （B ）② （C ）①② （D ）①②③2．（2019浙江15）已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方， 若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是_______.3．（2019江苏17）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1．已知DF 1=52． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标．4.（2019全国III 理21（1））已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积. 5.（2019北京理18）已知抛物线2:2C x py =-经过点(2，-1). (I) 求抛物线C 的方程及其准线方程； (II)设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =-1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ，求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两上定点.6.（2019全国II 理21）已知点A (−2,0)，B (2,0)，动点M (x ,y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i ）证明：PQG △是直角三角形； （ii ）求PQG △面积的最大值.7. （2019浙江21）如图，已知点(10)F ，为抛物线22(0)y px p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC △的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 右侧.记,AFG CQG △△的面积为12,S S .（1）求p 的值及抛物线的准线方程； （2）求12S S 的最小值及此时点G 的坐标. 8.（2019天津理18）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4，离心率为55. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上.若||||ON OF =（O 为原点），且OP MN ⊥，求直线PB 的斜率. 1．（2018江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1(3,)2，焦点12(3,0),(3,0)F F -，圆O 的直径为12F F ．yxOF 2F 1(1)求椭圆C 及圆O 的方程；(2)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △，求直线l 的方程． 2．（2017新课标Ⅱ）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =．（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．3．(2016年山东)平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b+=＞＞，抛物线E ：22x y =的焦点F 是C 的一个顶点.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M ． （i ）求证：点M 在定直线上；（ii ）直线l 与y 轴交于点G ，记PFG △的面积为1S ，PDM △的面积为2S ，求12S S的最大值及取得最大值时点P 的坐标．4．(2016年天津)设椭圆13222=+y ax (a >的右焦点为F ，右顶点为A ，已知 ||3||1||1FA eOA OF =+，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若HF BF ⊥，且MOA MAO ∠∠≤，求直线l 的斜率的取值范围．5．(2016年全国II)已知椭圆:E 2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于,A M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥． （Ⅰ）当4,||||t AM AN ==时，求AMN ∆的面积； （Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围．6．（2015湖北）一种作图工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动．．N 绕O 转动一周（D 不动时，N 也不动），M 处的笔尖画出的曲线记为C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．7．（2015江苏）如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心率为22，且右焦点F 到左准线l 的距离为3．（1）求椭圆的标准方程；（2）过F 的直线与椭圆交于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点,P C ，若2PC AB =，求直线AB 的方程．8．（2015四川）如图，椭圆E ：2222+1(0)x y a b a b=>>的离心率是22，过点(0,1)P 的动直线l 与椭圆相交于,A B 两点，当直线l 平行与x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为22． （1）求椭圆E 的方程；（2）在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得QA PAQB PB=恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．9．（2015北京）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为22，点()01P ，和点 ()A m n ，()0m ≠都在椭圆C 上，直线PA 交x 轴于点M ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标（用m ，n 表示）；（Ⅱ）设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N ．问：y 轴上是否存在点Q ，使得OQM ONQ ∠=∠？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．10．（2015浙江）已知椭圆2212x y +=上两个不同的点,A B 关于直线12y mx =+对称． （Ⅰ）求实数m 的取值范围；（Ⅱ）求AOB ∆面积的最大值（O 为坐标原点）．11．（2014广东）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为5,0)5（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若动点00(,)P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．12．（2014辽宁）圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图），双曲线22122:1x y C a b-=过点P．（1）求1C 的方程；（2）椭圆2C 过点P 且与1C 有相同的焦点，直线l 过2C 的右焦点且与2C 交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆心过点P ，求l 的方程．13．（2013四川）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点分别为1(10)F -，，210F （，），且椭圆C 经过点），3134(P ． （Ⅰ）求椭圆C 的离心率（Ⅱ）设过点），（20A 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，点Q 是MN 上的点，且 222112ANAMAQ+=，求点Q 的轨迹方程．14．（2012湖南）在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的点均在2C ：22(5)9x y -+=外，且对1C 上任意一点M ，M 到直线2x =-的距离等于该点与圆2C 上点的距离的最小值.（Ⅰ）求曲线1C 的方程；（Ⅱ）设00(,)P x y （3y ≠±）为圆2C 外一点，过P 作圆2C 的两条切线，分别与曲线1C 相交于点A ，B 和C ，D.证明：当P 在直线4x =-上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值．15．（2011天津）在平面直角坐标系xOy 中，点(,)P a b (0)a b >>为动点，12,F F 分别为椭圆22221x y a b+=的左右焦点．已知△12F PF 为等腰三角形． （Ⅰ）求椭圆的离心率e ；（Ⅱ）设直线2PF 与椭圆相交于,A B 两点，M 是直线2PF 上的点，满足2AM BM ⋅=-，求点M 的轨迹方程．16．（2009广东）已知曲线2:C y x =与直线:20l x y -+=交于两点(,)A A A x y 和(,)B B B x y ，且A B x x <．记曲线C 在点A 和点B 之间那一段L 与线段AB 所围成的平面区域（含边界）为D ．设点(,)P s t 是L 上的任一点，且点P 与点A 和点B 均不重合．（1）若点Q 是线段AB 的中点，试求线段PQ 的中点M 的轨迹方程；（2）若曲线22251:24025G x ax y y a -+-++=与D 有公共点，试求a 的最小值．。

高考数学解析几何专题第01讲曲线与方程知识与方法解析几何主要研究两方面的内容:一是根据条件求曲线的方程(即轨迹方程)，二是根据曲线方程,研究曲线的性质.1.求轨迹方程求曲线的轨迹方程是高考命题的热点,其一般步骤为:建(坐标系)、设(动点坐标)、限(限制条件,点满足的条件)、代(坐标代入)、化(化简整理),最后检验轨迹的纯粹性与完备性.即:①建系;②设点;③列式;④化简;⑤检验.求轨迹方程的常用方法:已知曲线类型——待定系数法未知曲线类型——①定义法:②直接法:③代入法;④交轨法;⑤参数法.2.研究曲线的性质主要是图形形状、对称性、范围、最值等.典型例题【例1】已知点集{(,)|}M x y xy =，则平面直角坐标系中区域M 的面积是（）A ．1B ．34+πC ．πD ．22+π【例2】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C:221||x y x y +=+就是其中之一(如图).给出下列三个结论:①曲线C 恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；②曲线C ;③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3.其中,所有正确结论的序号是()A.① B.② C.①②D.①②③【例3】在数学中有这样形状的曲线:22||||x y x y +=+.关于这种曲线，有以下结论：①曲线C 恰好经过9个整点（即横、纵坐标均为整数的点）;②曲线C 上任意两点之间的距离都不超过2;③曲线C 所围成的“花瓣”形状区域的面积大于5.其中正确的结论有（）A.①③B.②③C.①②D.①②③【例4】（多选题）双扭线最早于1694年被瑞士数学家雅各布·伯努利用来描述他所发现的曲线.在平面直角坐标系xOy 中，把到定点1(,0)F a -,2(,0)F a 距离之积等于2(0)a a >的点的轨迹称为双扭线C .已知点()00,P x y 是双扭线C 上一点，下列说法中正确的有（）A.双扭线C 关于原点O 中心对称;B.022a ay - ;C.双扭线C 上满足12PF PF =的点P 有两个;D.||PO .【例5】（多选题）在平面直角坐标系xOy 中，(,)P x y 为曲线22:422||4||C x y x y +=++上一点，则（）A ．曲线C 关于原点对称B ．[1x ∈--C ．曲线C 围成的区域面积小于18D ．P 到点10,2⎛⎫⎪⎝⎭的最近距离为32【例6】（多选题）数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美，对称美，和谐美的结合产物，曲线C ：22322()16x y x y +=恰好是四叶玫瑰线.给出下列结论正确的是（）A .曲线C 经过5个整点（即横，纵坐标均为整数的点）B .曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过2C .曲线C 围成区域的面积大于4πD .方程22322()16(0)x y x y xy +=>表示的曲线C 在第一象限和第三象限【例7】(双空题)曲线C 是平面内到定点0(1)A ，的距离与到定直线1x =-的距离之和为3的动点P 的轨迹．则曲线C 与y 轴交点的坐标是_______；又已知点()1B a ，(a 为常数)，那么PB PA +的最小值()d a =______．【例8】如图所示,直线1l 和2l 相交于点12,M l l ⊥,点1N l ∈,以A B 、端点的曲线段C 上任一点到2l 的距离与到点N 的距离相等，若AMN ∆是锐角三角形,3AM AN ==且||6BN =,建立适当的坐标系,求曲线C 的方程.【例9】已知双曲线2212x y -=的左、右顶点分别为12,A A ，点1121(,),(,)P x y Q x y -是双曲线上不同的两个动点，求直线1A P 与2A Q 交点的轨迹E 的方程.【例10】如图,设点A 和B 为抛物线22(0)y px p =>上除原点以外的两个动点,已知,OA OB OM AB ⊥⊥,则点M 的轨迹方程为（）A.2220x y px +-=(原点除外)B.2220x y py +-=（原点除外)C.2220x y px ++=(原点除外)D.2220x y py ++=(原点除外)强化训练1.如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线422x y +=围成的平面区域的直径为（）A.B.3C. D.42.由曲线2222x y x y +=+围成的图形面积为（）A.24π+B.28π+C.44π+ D.48π+3.如图，平面直角坐标系中，曲线（实线部分）的方程可以是（）A ．22(||1)(1)0x y x y --×-+=B 22(1)0x y -+=C ．(||1)0x y --D 0=4．方程1x -=所表示的曲线是()A.一个圆B.两个圆C.半个圆D.两个半圆5.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为22322()x y x y +=.给出下列四个结论：①曲线C 有四条对称轴；②曲线C 上的点到原点的最大距离为14；③曲线C 第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大为18；④四叶草面积小于4π.其中，所有正确结论的序号是（）A.①②B.①③C.①③④D.①②④6.曲线C 为：到两定点)0,2(-M 、)0,2(N 距离乘积为常数16的动点P 的轨迹.以下结论正确的个数为（）(1)曲线C 一定经过原点；(2)曲线C 关于x 轴、y 轴对称；(3)△MPN 的面积不大于8；(4)曲线C 在一个面积为64的矩形范围内.A.1 B.2 C.3 D.47.双曲线最早于1694年被瑞士数学家雅各布⋅伯努利用来描述他所发现的曲线.在平面直角坐标系xoy 中，把到定点1(,0)F a -，2(,0)F a 的距离之积等于2(0)a a >的点的轨迹称为双纽线C .已知点00(,)P x y 是双纽线C 上一点，下列说法中正确的有()①双纽线C 关于原点O 中心对称；②022a a y -≤≤；③双纽线C 上满足12||||PF PF =的点P 有两个；④||PO .A.①②B.①②④C.②③④D.①③8.已知点(A B ,动点P 满足APB θ∠=且2||||cos 12PA PB θ⋅⋅=,则点P 的轨迹方程为.9.设圆C 与两圆2222(4,(4x y x y ++=-+=中的一个内切,另一个外切.求C 的圆心轨迹L 的方程.10.已知椭圆22221(0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别是1(,0)F c -，2(,0)F c ，Q 是椭圆外的动点，满足1||2F Q a =，点P 是线段1F Q 与该椭圆的交点，点T 在线段2F Q 上，并且满足20PT TF ⋅= ，2||0TF ≠，求点T 的轨迹C 的方程.11.在平面直角坐标系xO y 中,抛物线2y x =上异于坐标原点O 的两不同动点、 A B 满足A O B O ^(如图所示）,求A O B D 的重心G （即三角形三条中线的交点）的轨迹方程.参考答案【例1】已知点集{(,)}M x y xy =，则平面直角坐标系中区域M 的面积是（）A ．1B ．34+πC ．πD ．22+π【答案】D【解析】由题意，当0xy ≤时，只需满足21x ≤，21y ≤；当0xy >xy 两侧平方，整理得221x y +≤，综上可得集合M 对应的图象，如图所示，所以其面积为2121121242S =创+创=+ππ．【例2】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C:221||x y x y +=+就是其中之一(如图).给出下列三个结论:①曲线C 恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；②曲线C ;③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3.其中,所有正确结论的序号是()A.① B.② C.①②D.①②③【答案】C【解析】由221||x y x y +=+得，22||1y x y x -=-，22||3124x x y ⎛⎫-=-⎪⎝⎭，23104x - ，243x ，所以x 可为的整数有0，1-，1，从而曲线C ：221||x y x y +=+恰好经过(0,1)，(0,1)-，(1,0)，(1,1)，(1,0)-，(1,1)-六个整点，结论①正确.由221||x y x y +=+得，222212x y x y +++，解得222x y +≤，所以曲线C 上任意一点结论②正确.如图所示，易知(0,1)A -，(1,0)B ，(1,1,)C ，(0,1)D ，四边形ABCD 的面积13111122ABCD S =⨯⨯+⨯=，很明显“心形”区域的面积大于2ABCD S ，即“心形”区域的面积大于3，说法③错误.【例3】在数学中有这样形状的曲线:22||||x y x y +=+.关于这种曲线，有以下结论：①曲线C 恰好经过9个整点（即横、纵坐标均为整数的点）;②曲线C 上任意两点之间的距离都不超过2;③曲线C 所围成的“花瓣”形状区域的面积大于5.其中正确的结论有（）A.①③B.②③C.①②D.①②③【答案】A 【解析】22222222111,(0,0)222111,(0,0)222111,(0,0)222111,(0,0)22200x y x y x y x y x y x y x y x y x y ⎧⎛⎫⎛⎫-+-=>>⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎪-++=>< ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎛⎫++-=<>⎨ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎪+++=<< ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪==⎪⎪⎩且如图，图象由四个圆的部分图像和原点组成，且四个圆都可过原点，①曲线C 中，1212,22x ⎡++∈-⎢⎣⎦，1212,22y ⎡+∈-⎢⎣⎦,经过的整点有:(0,0),(1,1),(1,0),(1,1)-,(1,1)-,(1,0)-,(1,1)--,(0,1),(0,1)-共9个，命题①正确;②如图，曲线上任意两点距离范围为(0,4)R ，即两点距离范围为(0,22)，命题②错误;③曲线C 所围成的“花瓣”形状区域可看成四个半圆和一个正方形组成，设它的面积为S ，2214(2)4252S R R ππ=⨯+=+>，命题(3)正确.故选：A.【例4】（多选题）双扭线最早于1694年被瑞士数学家雅各布·伯努利用来描述他所发现的曲线.在平面直角坐标系xOy 中，把到定点1(,0)F a -,2(,0)F a 距离之积等于2(0)a a >的点的轨迹称为双扭线C .已知点()00,P x y 是双扭线C 上一点，下列说法中正确的有（）A.双扭线C 关于原点O 中心对称;B.022a ay - ;C.双扭线C 上满足12PF PF =的点P 有两个;D.||PO 2a .【答案】ABD【解析】对A ，设动点(,)C x y ，由题意可得C 的轨迹方程为2222()()2x a y x a y a -+++.把(,)x y 关于原点对称的点(,)x y --代入轨迹方程，显然成立；对B ，因为()00,P x y ，故12121212011sin 22PF S PF PF F PF F F y Γ=⋅⋅∠=⋅△.又212PF PF a ⋅=，所以2120sin 2a F PF a y ∠=⋅，即012sin 22a a y F PF =∠ ，故022a ay -.故B 正确；对C ，若12PF PF =，则()00,P x y 在12F F 的中垂线即y 轴上．故此时00x =，代入2222()()2x a y x a y a -+++，可得00y =，即(0,0)P ，仅有一个，故C 错误；对D ，因为12POF POF ∠+∠=π，故12cos cos 0POF POF ∠+∠=，222222112212||||02||2||OP OF PF OP OF PF OP OF OP OF +-+-+=⋅⋅因为12OF OF a ==，212PF PF a ⋅=，故2222122||2OP a PF PF +=+.即()2221212||22OP a PF PF PF PF +=-+⋅，所以()22122||OP PF PF =-.又12122PF PF F F a -= ，当且仅当P ，1F ，2F 共线时取等号．故()222122||(2)OP PF PF a =- ，即22||2OP a，解得||2OP a ，故D 正确.故选：ABD .【例5】（多选题）在平面直角坐标系xOy 中，(,)P x y 为曲线22:422||4||C x y x y +=++上一点，则（）A ．曲线C 关于原点对称B ．[1x ∈--+C ．曲线C 围成的区域面积小于18D ．P 到点10,2⎛⎫⎪⎝⎭的最近距离为32【答案】ACD【解析】当0x >，0y >时，曲线22:4224C x y x y +=++即22(1)1142x y -⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，将2214x y +=中心平移到11,2⎛⎫⎪⎝⎭位于第一象限的部分；因为点(,)x y -，(,)x y -，(,)x y --都在曲线C 上，所以曲线C 图象关于x 轴，y 轴和原点对称，作出图象如图所示:对于选项A ：由图知曲线C 关于原点对称，故选择项A 正确；对于选项B ：令2214x y +=中令0y =得2x =，向右平移一个单位可得横坐标为3，根据对称性可知33x -≤≤，故选项B 不正确；对于选项C ：令2214x y +=中0x =可得1y =，向上平移12个单位可得纵坐标最大值为32，曲线C 39322⨯=，所以曲线C 围成的区域面积小于94182⨯=，故选项C 正确；对于选项D ：令22(1)1()142x y -+-=中0x =，可得122y =±，所以到点1(0,)2的最近D 正确；综上所述，选ACD .【例6】（多选题）数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美，对称美，和谐美的结合产物，曲线C ：22322()16x y x y +=恰好是四叶玫瑰线.给出下列结论正确的是（）A .曲线C 经过5个整点（即横，纵坐标均为整数的点）B .曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过2C .曲线C 围成区域的面积大于4πD .方程22322()16(0)x y x y xy +=>表示的曲线C 在第一象限和第三象限【答案】BD【解析】把2x =，2y =代入曲线C ，可知等号两边成立，所以曲线C 在第一象限过点(2,2)，由曲线的对称性可知，该点的位置是图中的点M对于A 选项，只需要考虑曲线在第一象限内经过的整点即可，把(1)1，，(1)2，和(2)1，代入曲线C 的方程验证可知，等号不成立，所以曲线C 在第一象限内不经过任何整点，再结合曲线的对称性可知，曲线C 只经过整点(0)0，，即A 错误；对于B 选项，因为222(0,0)x y xy x y +≥>>，所以222x y xy +≤，所以22222322222()()16164()4x y x y x y x y ++=≤⨯=+，所以224x y +≤，即B 正确．对于C 选项，以O 为圆点，2为半径的圆O 的面积为4π，显然曲线C 围成的区域的面积小于圆O 的面积，即C 错误；对于D 选项，因为0xy >，所以x 与y 同号，仅限与第一和三象限，即D 正确．故选：BD ．【例7】(双空题)曲线C 是平面内到定点0(1)A ，的距离与到定直线1x =-的距离之和为3的动点P 的轨迹．则曲线C 与y 轴交点的坐标是_______；又已知点()1B a ，(a 为常数)，那么PB PA +的最小值()d a =______．【答案】(0,3)222, 1.41,4, 1.41,1 <2, 1. a a a a a a a a -+≤-≥+-≤-⎨⎪--<<⎪⎩或【解析】(1)设点P 坐标)为()x y ，，因为动点P 到定点0(1)A ，的距离与到定直线1x =-的距离之和为3222(1)(1)x y x -++，当0x ＝时，代入求得3y =y 轴交点为(0,3).（2）当312x -≤≤-时，曲线C 可以化为21015y x =+当312x -<≤时，曲线C 可以化为223y x =-+，令1y ＝，则10151x ＋＝或231x －＋＝，解得14x ＝－．或1x ＝；①当 1.4a 或1a 时,PB PA BA +≥,所以22()||(1)122d a AB a a a ==-+=-+;②当11a -<<时当直线1y =与232312y x x ⎛⎫=-+-< ⎪⎝⎭相交时,交点P 满足PB PA +取得最小值因为抛物线准线方程为2x =,所以直线1y =与准线交点坐标为(2,1),此时()2d a a =-;③当 1.41a -<- 时当直线1y =与23101512y x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭相交时,交点P 满足PB PA +取得最小值此为抛物线准线方程为4x =所以直线1y =与准线交点坐标为(4,1)-,此时()4d a a =+.综上所述, 1.41,()4, 1.41,2,1 1.a a d a a a a a -=+-<≤-⎨⎪--<<⎪⎩或者 【例8】如图所示,直线1l 和2l 相交于点12,M l l ⊥,点1N l ∈,以A B 、端点的曲线段C 上任一点到2l 的距离与到点N 的距离相等，若AMN ∆是锐角三角形,3AM AN ==且||6BN =,建立适当的坐标系,求曲线C 的方程.【答案】28(14,0)y x x y = .【解析】解法1:已知曲线类型,-待定系数法1l 为x 轴,线段MN 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系如图所示,依题意知:曲线段C是以点N 为焦点,2l 为准线的抛物线的一段,其中A B 、分别为C 的端点.设曲线段C 的方程为22(0)(0)A B y px p x x x y =>≤≤>，，其中A x ，B x 分别为A 、B 横坐标，p MN =，∴(0)2p M -，(0)2pN ，，由AM ，=3AN 得：2()2172A A p x px ++= ①2()292A A px px -+= ②解由①、②组成的方程组得4A x p =，代入①并由0p >解得41A p x =⎧⎨=⎩或22Ap x =⎧⎨=⎩，因为AMN △是锐角三角形，∴2A px >，故应舍去22Ap x =⎧⎨=⎩，所以4p =，1A x =.由点B 在曲线段C 上，得42B px BN =-=，综上，得曲线段C 的方程为28(140)y x x y =≤≤>，.解法2：利用抛物线定义求标准方程以1l 为x 轴，线段MN 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系如图所示，依题意知：曲线段C 以点N 为焦点，2l 为准线的抛物线的一段，过点A 作1l ，2l 垂线，垂足分别为H 、1A ，由抛物线定义可知13AA AN ==，则1AH A M ====1HN ===，13MH AA ==，所以314MN MH HN =+=+，即4p =，故抛物线的方程为28y x =.由||3,||6AN BN ==，结合抛物线定义，得3,622A B p px x +=+=，所以1,4A B x x ==.综上，得曲线C 的方程为24,08(1)x y y x >=≤≤.【注】求曲线方程时，为了使得最终的结果具有简单的形式，需要建立适当的坐标系，一般要考虑两点:①图形的对称性;②使尽可能多的点落在坐标轴上.【例9】已知双曲线2212x y -=的左、右顶点分别为12,A A ，点1121(,),(,)P x y Q x y -是双曲线上不同的两个动点，求直线1A P 与2A Q 交点的轨迹E 的方程.【答案】221(02x y x +=≠且x ≠【解析】由题设知112||(x A A >，则有1:A P y x =+①，2:A Q y x =②解法1：联立①②解得交点坐标为11122,x y x x ==，即1122,x y x x ==③，则0,||x x ≠<，而点11(,)P x y 在双曲线上，所以221112x y -=，将③式带入上式，整理得所求轨迹E 的方程为221(02x y x +=≠且x ≠.解法1：设(,)M x y 是直线1A P 与2A Q 交点，①②两式相乘得222121(2)2y y x x -=--（3）而点11(,)P x y 在双曲线上，所以221112x y -=，即221112x y =-，代入（3）式整理得2212x y +=.因为,P Q 是双曲线上不同的两点，所以他们与点12,A A 均不重合，故点12,A A 不在轨迹E 上.过点(0,1)，以及2A 的直线l的防尘为0x +=，解方程组2212x x y ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩得0x y ==.所以直线l与双曲线只有唯一交点2A ，故轨迹E 不经过点(0,1)，同理轨迹E 也不经过点(0,1)-.综上，轨迹E 的方程为221(02x y x +=≠且x ≠.【注】用交轨法求曲线方程时，要特别注意变量的取值范图.【例10】如图,设点A 和B 为抛物线22(0)y px p =>上除原点以外的两个动点,已知,OA OB OM AB ⊥⊥,则点M 的轨迹方程为（）A.2220x y px +-=(原点除外)B.2220x y py +-=（原点除外)C.2220x y px ++=(原点除外)D.2220x y py ++=(原点除外)【答案】A【解析】当斜率存在时,设(,)M x y ,直线AB 的方程为y kx b =+,由OM AB ⊥得x k y=-,联立22y px =和y kx b =+,消去y 得222(22)0k x x kb p b +-+=,所以2122b x x k=,所以()()()22121212122pby y kx b kx b k x x kb x x b k=++=+++=,由OA OB ⊥得12120x x y y +=,所以2220b pbk k +=,所以2b kp =-,所以(2)y kx b k x p =+=-,把xk y=-代入得2220(0)x y px y +-=≠,当斜率不存在时,设直线AB 的方程为()()00000,,,,x x A x y B x y =-,由OM AB ⊥得点M 在x 轴上,即()0,0M x ,∵2200,0OA OB x y ⊥∴-=,又点()00,A x y 在抛物线上,故2002y px =,整理得02x p =,故点(2,0)M p ,满足方程2220x y px +-=,综上所述：动点M 的轨迹方程为2220x y px +-=（除原点外)故选：A .强化训练1.如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线422x y +=围成的平面区域的直径为（）A. B.3C. D.4【答案】B【解析】422x y +=的参数方程为：2x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）曲线是关于点(0,0)中心对称的图形，所以曲线422x y +=上点00(,)x y 到原点距离为直径长的一半，d ====当2cos 4θ=时，d 取得最大值为32，所以直径为3.2.由曲线2222x y x y +=+围成的图形面积为（）A.24π+ B.28π+ C.44π+ D.48π+【答案】D【解析】由题意，作出如图的图形，由曲线关于原点对称，当0x ≥，0y ≥时，解析式为22(1)(1)2x y -+-=，故可得此曲线所围成的图形由一个边长为2的半圆组成，所围成的面积是214842ππ+⨯⨯⨯=+，故选D .3.如图，平面直角坐标系中，曲线（实线部分）的方程可以是（）A ．22(||1)(1)0x y x y --×-+=B22(1)0x y -+=C．(||1)0x y --=D=【答案】C【解析】因为曲线表示折线段的一部分和双曲线，A 选项，等价于||10x y --=或2210x y -+=，表示折线||1y x =-的全部和双曲线，故错误；B 选项，等价于22||1010x y x y ì--ïí-+=ïî≥或||10x y --=，又||10x y --=表示折线||1y x =-的全部，故错误；C 选项，等价于22||1010x y x y ì--ïí-+ïî=≥或2210x y -+=，\22||1010x y x y ì--ïí-+ïî=≥表示折线||1y x =-在双曲线外部（包含有原点）的部分，2210x y -+=表示双曲线221x y -=，符合题中的图象，故C 正确；D 选项，等价于22||1010x y x y ì--ïí-+ïî=≥或22||1010x y x y ì--ïí-+ïî≥=，22||1010x y x y ì--ïí-+ïî=≥表示折线||1y x =-在双曲线外部（包含有原点）的部分，和22||1010x y x y ì--ïí-+ïî≥=表示双曲线在x 轴正文的部分，故错误．4.方程1x -=所表示的曲线是()A.一个圆B.两个圆C.半个圆D.两个半圆【答案】A【解析】1x -=⇒22(1)(1)x y +--＝１,表示一个圆,选A.5.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为22322()x y x y +=.给出下列四个结论：①曲线C 有四条对称轴；②曲线C 上的点到原点的最大距离为14；③曲线C 第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大为18；④四叶草面积小于4π.其中，所有正确结论的序号是（）A.①②B.①③C.①③④D.①②④【答案】C 【解析】①当x 变为－x 时，22322()x y x y +=不变，所以四叶草图象关于y 轴对称；当y 变为－y 时，22322()x y x y +=不变，所以四叶草图象关于x 轴对称；当y 变为x 时，22322()x y x y +=不变，所以四叶草图象关于y ＝x 轴对称；当y 变为－x 时，22322()x y x y +=不变，所以四叶草图象关于y ＝－x 轴对称；综上可知：有四条对称轴，故正确；②因为22322()x y x y +=，所以22222322()2x y x y x y ⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭，所以2214x y +≤，所以2212x y +≤，取等号时2218x y ==，所以最大距离为12，故错误；③设任意一点P （x ，y ），所以围成的矩形面积为xy ，因为22322()x y x y +=，所以222233()(2)x y x y xy =+≥，所以18xy ≤，取等号时42==y x ，所以围成矩形面积的最大值为81，故正确；④由②可知4122≤+y x ，所以四叶草包含在圆4122=+y x 的内部，因为圆的面积为：441ππ=⋅=S ，所以四叶草的面积小于4π，故正确.故选:C.6.曲线C 为：到两定点)0,2(-M 、)0,2(N 距离乘积为常数16的动点P 的轨迹.以下结论正确的个数为（）(1)曲线C 一定经过原点；(2)曲线C 关于x 轴、y 轴对称；(3)△MPN 的面积不大于8；(4)曲线C 在一个面积为64的矩形范围内.A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】设点P 的坐标为),(y x ，由题意可得16)2()2(2222=+-⋅++y x y x ，对于命题(1)，将原点坐标代入方程得16422≠=⨯，所以命题(1)错误；对于命题(2)，点P 关于x 轴、y 轴的对称点分别为),(1y x P -，),(2y x P -，∵16)2()2()()2()()2(22222222=+-⋅++=-+-⋅-++y x y x y x y x ∵16)2()2()2()2(22222222=++⋅+-=+--⋅++-y x y x y x y x 则点1P ,2P 都在曲线C 上，所以，曲线C 关于x 轴、y 轴对称，命题(2)正确；对于命题(3)，设a PM =，b PN =，θ=∠MPN ,则16=ab ，由余弦定理得21321623216216cos 2222=-≥-+=-+=ab b a ab b a θ，当且仅当4==b a 时等号成立，则θ为锐角，所以，23cos 1sin 2≤-=θθ，则△MPN 的面积为834231621sin 21<=⨯⨯≤=∆θab S MPN 命题(3)正确；对于命题(4)，4)2()2()2()2(162222222-=-⋅+≥+-⋅++=x x x y x y x ，可得164162≤-≤-x ，得202≤x ，解得5252≤≤-x ，由（3）知，11||||4||22MPN S MN y y ∆=⋅=⨯⨯≤，得||y ≤曲线C 在一个面积为64=<的矩形内，命题（4）正确.因此，正确的命题序号为（2）（3）（4）.故选C.7.双曲线最早于1694年被瑞士数学家雅各布⋅伯努利用来描述他所发现的曲线.在平面直角坐标系xoy 中，把到定点1(,0)F a -，2(,0)F a 的距离之积等于2(0)a a >的点的轨迹称为双纽线C .已知点00(,)P x y 是双纽线C 上一点，下列说法中正确的有()①双纽线C 关于原点O 中心对称；②022a a y -≤≤；③双纽线C 上满足12||||PF PF =的点P 有两个；④||PO .A.①②B.①②④C.②③④D.①③【答案】B【解析】对①，设动点(,)C x y ，由题可得C 的轨迹方程2a =，把(,)x y 关于原点对称的点(,)x y --代入轨迹方程显然成立.故①正确；对②因为00(,)P x y ，故12121212011||||sin ||||.22PF F S PF PF F PF F F y ∆=⋅∠=又212||||PF PF a ⋅=，所以2120sin 2||a F PF a y ∠=,即012||sin 22a ay F PF =∠≤，故022a ay-≤≤，②正确.对③，若12||||PF PF =，则00(,)P x y 在12F F 的中垂线即y 轴上.故此时00x =，代入2a =，可得00y =,即(0,0)P ,仅有一个.故③错误;对④,因为12POF POF π∠+∠=,故12cos cos 0POF POF ∠+∠=,即222222112212||||02||2||OP OF PF OP OF PF OP OF OP OF +-+-+=⋅⋅，因为21212,OF OF a PF PF a ==⋅=,故2222122||2OP a PF PF +=+.即()22212122||22OP a PF PF PF PF +=-+⋅,所以()22122||OP PF PF =-.又1212|2PF PF F F a -= ,当且仅当12,,P F F 共线时取等号.故()222122||(2)OP PF PF a =- ,即22||2OP a ,解得||OP .故④正确.故①②④正确.故选：B8.已知点(A B ,动点P 满足APB θ∠=且2||||cos 12PA PB θ⋅⋅=,则点P 的轨迹方程为.【答案】2213x y +=【解析】由已知得,1cos ||||12PA PB θ+⎛⎫⋅⋅= ⎪⎝⎭,即||||||||cos 2PA PB PA PB θ⋅+⋅⋅=由余弦定理得,222||||||2||||cos AB PA PB PA PB θ=+-⋅⋅,即228||||2(2||||)PA PB PA PB =+--⋅整理得2(||||)12,||||PA PB PA PB +=+=,故P 的轨迹是以,A B 为焦点的椭圆,其中1a c ==,故所求轨迹方程为2213x y +=.9.设圆C 与两圆2222(4,(4x y x y ++=+=中的一个内切,另一个外切.求C 的圆心轨迹L 的方程.【答案】2214x y -=【解析】（1）设(F '，F ，圆C 的半径为r ，则||2)(2)||||||4(CF r CF r +--==<'-，C ∴的圆心轨迹L 是以F '，F 为焦点的双曲线，2a =，c =，1b =，C ∴的圆心轨迹L 的方程为2214x y -=.10.已知椭圆22221(0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别是1(,0)F c -，2(,0)F c ，Q 是椭圆外的动点，满足1||2F Q a =，点P 是线段1F Q 与该椭圆的交点，点T 在线段2F Q 上，并且满足20PT TF ⋅= ，2||0TF ≠，求点T 的轨迹C 的方程.【答案】222x y a +=【解析】方法一：设点T 的坐标为(,)x y .当||0PT = 时，点(,0)T a 和点(,0)a -在轨迹上，当||0PT ≠ 且2||0TF ≠ 时，由20PT TF ⋅= ，得2PT TF ⊥ .又2||||PQ PF =，所以T 为线段2F Q 的中点.在12QF F ∆中，11||||2OT F Q a ==，所以有222x y a +=，综上所述，点T 的轨迹C 的方程是222x y a +=.方法二：设点T 的坐标为(,)x y ，当||0PT = 时，点(,0)T a 和点(,0)a -在轨迹上，当||0PT ≠且2||0TF ≠时，由20PT TF ⋅= ，得2PT TF ⊥ ，又2|||PQ PF =，所以T 为线段2F Q 的中点.设点Q的坐标为(),x y ⅱ,则22x c x y y ìï¢+ï=ïïíï¢ï=ïïïî,因则22x x c y y ìï¢=-ïíï¢=ïî(1)由12F Q a =uuu r,得()2224x c y a ¢¢++=(2)将(1)代入(2),可得222x y a +=.综上所述,点T 的轨迹C 的方程是222x y a +=.11.在平面直角坐标系xO y 中,抛物线2y x =上异于坐标原点O 的两不同动点、 A B 满足A O B O ^(如图所示）,求A O B D 的重心G （即三角形三条中线的交点）的轨迹方程.【答案】2233y x =+.【解析】设A O B D 的重心为()()1122(,),,,,G x y A x y B x y ,则121233x x x y y y ìï+ï=ïïï¼íï+ï=ïïïî(1)∵1O A O B O A O B k k ^\×=-,即12120,.(2)x x y y +=技又点,A B 在抛物线上,有221122,y x y x ==,代入（2）化简得121x x =-∴()()2222212121212111222(3)3333333y y y x x x x x x x x +轾==+=+-=´+=+犏犏臌.。