类型四 [例4]
曲线的交点问题 已知直线 l： x＋ y＝ a及曲线 C： x2 ＋y2－ 4x
－ 4 ＝ 0. 则实数 a 取何值时分别有一个交点，两个交点，
无交点．
[分析] 联立方程组消y ↓ 讨论 Δ＝ 0， Δ>0， Δ<0的情况 ↓ 确定 a的取值范围
x+y＝a [解] 联立方程， 2 2 x ＋y - 4x- 4＝0 消去 y 得 2x2－(2a＋4)x＋a2－4＝0， 则Δ＝(2a＋4)2－8(a2－4) ＝－4a2＋16a＋48，
迁移体验 3 证明圆心为坐标原点，半径等于 5 的圆的方程是 x2＋y2＝25，并判断点 M1(3，－4)、 M2(－2 5，2)是否在这个圆上．
证明：(1)设 M(x0，y0)是圆上任意一点，因为点 M
2 2 2 到原点的距离等于 5，所以 x0 ＋ y2 ＝ 5 ，也就是 x ＋ y 0 0 0
第二章
圆锥曲线与方程
目标了然于胸，让讲台见证您的高瞻远瞩
德国著名天文学家开普勒发现的行星运动三大定律 揭示了行星运动的规律，其中的第一定律指出：太阳
系中的每一个行星都沿一个椭圆轨道环绕太阳运动，
而太阳则是该椭圆的一个焦点．
在本章中，我们将学习曲线与方程，椭圆、双曲线、 抛物线的标准方程与简单几何性质等内容．通过方程
，
Δ＝0 即 a2－4a－12＝0 得 a＝6 或 a＝－2，
此时有一解；
Δ>0即a2－4a－12<0得－2<a<6， 此时有两解．
当Δ<0即a2－4a－12>0得a<－2或a>6.
综上所述，当a＝－2或a＝6时有一个交点；
当－2<a<6时有两个交点；
当a<－2或a>6时无交点．
[点评] 1.两曲线的交点的个数的判断可以通过两 曲线的方程联立求解来实现．方程组有几组解，则曲
[解] 由对数的真数大于 0，得 x＋2y>0， 5 7 ∴A(0，－ 3)、C( ，－ )不符合要求； 3 4 将 B(0,4)代入方程检验，符合要求；将 D(4,0)代 入方程检验，不符合要求．故选 B.
[答案] B
[点评 ] 点与实数解建立了如下关系： C 上的点 1 (x0，y0) f(x，y)＝ 0 的解，因此，曲线上的点的 2 坐标都是这个方程的解，因此要判断点是否在曲线 上只需验证该点是否满足方程即可．
研究它们的简单性质，并用坐标法解决一些与圆锥曲
线有关的简单几何问题和实际问题，进一步感受数形 结合的基本思想，体会如何用数学的方法来研究运动 变化的世界，加深对用代数方程表示几何图形的简洁 美与对称美的认识．通过不同圆锥曲线间的对比，学
会类比的方法．
本章知识的学习重点是曲线与方程的概念，椭圆、 双曲线、抛物线的标准方程及其简单几何性质，坐标
)
C．x＝2 D．x＝±2
答案：D
3．(2011·福建高考)若a∈R，则“a＝2”是“(a－ 1)(a－2)＝0”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条
件
解析：当a＝2时，(a－1)(a－2)＝0成立；反之，当 (a－1)(a－2)＝0时，a＝2或a＝1，不一定有a＝2.故选 A. 答案：A
F x， y＝ 0 G x， y＝ 0
的解来得到．
尝试应用 1．“以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都是曲线
C上的点”是“曲线C的方程是f(x，y)＝0”的(
A．充分条件 B．必要条件
)
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：根据曲线和方程的对应关系判断． 答案：B
2．与y轴距离等于2的点的轨迹方程是( A．y＝2 B．y＝±2
2．判断点是否在曲线上，就是判断点的坐标是否 适合曲线的方程．
3．求曲线C1与C2的交点坐标就是求由C1与C2的方
程组成的方程组的解．
课时作业 8
＝ 25，即 (x0， y0)是方程 x2＋y2＝ 25 的解．
2 (2)设 (x0， y0)是方程 x2＋y2＝ 25 的解， 那么 x0 ＋y2 0＝ 2 25，两边开方取算术根，得 x0 ＋ y2 0＝ 5，即点 M(x0，
y0)到原点的距离等于 5，点 M(x0，y0)是这个圆上的点．
由(1)、 (2)可知， x2＋ y2＝ 25 是圆心为坐标原点， 半径等于 5 的圆的方程． 把点 M1(3，－ 4)的坐标代入方程 x2＋ y2＝ 25， 左右两边相等， (3，－ 4)是方程的解，所以点 M1 在这个圆上；把点 M2(－ 2 5 ， 2)的坐标代入方程 x2＋ y2＝25，左右两边不等，(－2 5，2)不是方程的 解，所以点 M2 不在这个圆上．
类型一 [例1]
曲线的方程、方程的曲线的概念 “曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0
的解”是“曲线C的方程是f(x，y)＝0”的________
条件． [分析] 由曲线的方程和方程的曲线的定义判定两 命题的关系．
[解] 若曲线C的方程是f(x，y)＝0则满足定义中 两条性质，故曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0
线就有几个交点．
2．若验证点是否在两曲线上，或点是否为两曲线 的交点，则只需将点的坐标代入两方程看是否是两方 程的解即可判断．
迁移体验 4 方程是( )
过曲线 x 2 ＋ y 2 ＝ 2 和 y ＝ x 2 交点的直线
A．y＝－1
C．y＝1
B．y＝－x
D．y＝x
2 2 x ＋ y ＝2 解析：联立方程 2 y ＝ x
程的曲线．
思考感悟 如果曲线 C 的方程是 f(x， y)＝ 0，那么点 P(x0， y0)在曲线 C 上的充要条件是什么？ 提示： 若点 P 在曲线上， 则 f(x0， y0)＝ 0； 若 f(x0， y0)＝ 0，则点 P 在曲线 C 上．∴点 P(x0，y0)在曲线 C 上的充要条件是 f(x0， y0)＝ 0.
的解，反之不满足性质(2)故应当是必要不充分条件．
[答案] 必要不充分
[点评] (1)曲线是方程的曲线，方程是曲线的方 程，必须满足定义中的两条性质，即“纯粹性”与
“完备性”，本例中只有“纯粹性”满足，而“完备
性”不满足，故极易做出判断．
(2)对于充要条件的判断，关键看两命题之间的 关系，即若 A⇒B，而 B⇒ / A 则 A 是 B 的充分不必 要条件，若 A⇒ / B 而 B⇒A，则 A 是 B 的必要不充 分条件，若 A⇒B 且 B⇒ A 则 A 是 B 的充要条件， 否则 A 是 B 的既不充分也不必要条件．
2．曲线的方程、方程的曲线的判定 (1)判定曲线 C的方程是否为 f(x， y)＝0，需从两个
方面进行
首先判定曲线 C上的点的坐标是否是 f ( x ， y ) ＝ 0的
解．
其次判定方程f(x，y)＝0的解是否都在曲线C上．
(2)已知两条曲线 C1 和 C2 的方程分别为 F(x， y) ＝ 0 ， G(x ， y) ＝ 0 ，则它们 的交点可以由方程组
答案：B
类型三
点与曲线的关系
[例 3] 方程(x－ 4y－12)[log2(x＋2y)－ 3]＝0 的 5 7 曲线经过点 A(0，－3)、 B(0,4)、 C( ，－ )、D(4,0) 3 4 中的 ( ) B．1 个 D．3 个
A．0 个 C．2 个
[分析] 方程表示的两条直线x－4y－12＝0和x＋ 2y－8＝0，但应注意对数的真数大于0，即x＋2y>0.
法的基本思想，直线与圆锥曲线的位置关系等．
本章知识的学习难点是求曲线的方程，椭圆、双曲 线、抛物线标准方程的推导与化简，双曲线的渐近线 以及数形结合的基本思想.
2.1
2．1.1
曲线与方程
曲线与方程
目标了然于胸，让讲台见证您的高瞻远瞩
1.了解曲线与方程的概念，能够推断曲线与方程的 对应关系．
2．会判定一个点是否在已知曲线上.
.
∴方程表示的图形是点 A(1，－1)．
[点评] 判断方程表示什么曲线，要对方程适当变 形，变形过程中一定要注意与原方程的等价性，否则
变形后的方程表示的曲线就不是原方程的曲线．另外，
变形的方法还有配方法、因式分解法等．
|x| 迁移体验 2 方程 y＝ 2 表示的曲线是( x
)
|x| 1 解析：方法 1：对于方程 y＝ 2 ，当 x>0 时，y＝ ， x x 1 图象在第一象限；当 x<0 时，y＝－ ，图象在第二象 x 限．故选 B. |x| 方法 2：因为 y＝ 2 ，x≠0 为偶函数，图象关于 y x 1 轴对称，故排除 A、 C.又 x>0 时，y＝ >0，故选 B. x
4．如果方程 ax2＋by2＝4 的曲线过 A(0，－2)， 1 B( ， 3)两点，则 a＝________，b＝________. 2
解析 ：分别将 A、 B 两点坐 标代入方 程得 4b＝ 4， a ＋ 3b＝ 4， 4
a＝ 4， 解得 b＝ 1.
答案：4
1
5．下列命题是否正确？若不正确，说明原因． (1)过点A(2,0)平行于y轴的直线l的方程是|x|＝2；
x－ 1≥ 0 x＋ y－ 1＝ 0
.
即 x＋ y－ 1＝ 0(x≥ 1)或 x＝ 1， 表示直线 x＝ 1 和射线 x＋ y－ 1＝ 0(x≥ 1)．
(2)方程左边配方得 2(x－1)2＋ (y＋1)2＝ 0， ∵2(x－1)2≥0，(y＋1)2≥0，
2 x－ 12＝ 0 ∴ 2 y ＋ 1 ＝0 x＝ 1 ，∴ y＝－ 1
由方程研究曲线 (1)方程(x＋ y－ 1) x－ 1＝0 表示什么曲
(2)方程 2x2＋ y2－ 4x＋ 2y＋ 3＝ 0 表示什么曲线？ [分析 ] 为了判断方程表示什么曲线，当给出的 方程不易看出是什么曲线时，需对原方程变形．
