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Bezier 曲线什么是 Bezier 曲线？Bezier 曲线是一种数学曲线，由法国工程师 Pierre Bézier 于20世纪50年代发明。
它是计算机图形学中最基本和最常用的曲线之一。
由于其简单性和灵活性，Bezier 曲线被广泛应用于计算机图形、工业设计、动画制作等领域。
Bezier 曲线的特点Bezier 曲线由一系列控制点确定，并通过调整这些控制点的位置和参数来定义曲线的形状。
以下是 Bezier 曲线的一些特点：1.可调节性：调整控制点的位置和参数可以改变曲线的形状、弯曲程度和速度。
2.平滑性：Bezier 曲线能够平滑连接控制点，使得曲线在控制点之间呈连续曲率。
3.参数化形状：Bezier 曲线可以通过调整参数来生成无限多种形状，从简单的直线到复杂的曲线。
4.逼近性：Bezier 曲线可以用来逼近其他复杂的曲线，如圆弧、椭圆等。
Bezier 曲线的数学表达Bezier 曲线是通过插值和多项式生成的数学曲线。
根据控制点的个数，可以确定 Bezier 曲线的阶数。
一般情况下，Bezier 曲线的阶数等于控制点数减1。
对于一维的 Bezier 曲线，它可由以下公式表示：Bezier 1DBezier 1D其中，n 为阶数，t 为参数，Pi 为控制点，Bi, n(t) 为 Bezier 基函数。
对于二维的 Bezier 曲线，它可由以下公式表示：Bezier 2DBezier 2D其中，n 为阶数，t 为参数，Pi 为控制点，Bi, n(t) 为 Bezier 基函数。
Bezier 曲线的应用Bezier 曲线的应用非常广泛，以下是一些常见的应用场景：1.计算机图形学：Bezier 曲线可以用来绘制平滑的曲线和曲面，用于构建2D和3D图形。
2.工业设计：Bezier 曲线可以用来设计平滑的汽车车身、家具等产品。
3.动画制作：Bezier 曲线可以用来定义动画路径，使得动画流畅而自然。
任课教师：李陶深教授tshli@任课教师：李陶深教授tshli@12 曲线的基本概念Bézier 曲线5曲线与曲面的概述 4 3 6 B 样条曲线NURBS 曲线 常用的曲面Bézier曲线是由法国雷诺汽车公司工程师的Pierre Bézier在1971年发明的一种构造样条曲线和曲面的方法, 用来进行雷诺汽车的车身设计, 现在Bézier曲线曲面广泛应用在计算机图形学中的外形设计, 以及字体表示中.◆Bé◆在折线的各顶点中，只有第一点和最后一点在曲线上且作为曲线的起始处和终止处，其他的点用于控制曲线的形状及阶次。
◆曲线的形状趋向于多边形折线的形状，要修改曲线，只要修改折线的各顶点就可以了。
多边形折线又称的控制多边形，其顶点称为控制点。
6.3 Bézier 曲线—曲线的定义Bézier 曲线是由一组控制顶点和Bernstein 基函数混合(blending)得到的曲线.()[],0(), 0,1n i i n i t B t t ==∈∑C P 其中, P i (i =0,1,…,n)称为控制顶点; 顺序连接控制顶点生成控制多边形.()()[],1,0,1n i i i i n n B t C t t t -=-∈为Bernstein 基函数.Bézier 曲线的次数, 就是Bernstein 基函数的次数; Bézier 曲线的阶数, 就是控制顶点的个数. 阶数为次数加1.6.3 Bézier曲线—定义（2）给定空间n+1个点的位置矢量P i（i=0，1，2，…，n），则n次Bézier曲线上各点坐标的插值公式定义为：B i,n(t)是n次Bernstein基函数P i构成该Bézier曲线的特征多边形6.3 Bézier曲线—曲线的定义（3）Bézier曲线曲线的形状趋于特征多边形的形状①正性②权性由二项式定理可知：③对称性: 若保持原全部顶点的位置不变, 只是把次序颠倒过来, 则新的Bézier曲线形状不变, 但方向相反。
贝塞尔曲线：贝塞尔曲线又称贝兹曲线或贝济埃曲线，一般的矢量图形软件通过它来精确画出曲线，贝兹曲线由线段与节点组成，节点是可拖动的支点，线段像可伸缩的皮筋，我们在绘图工具上看到的钢笔工具就是来做这种矢量曲线的。
当然在一些比较成熟的位图软件中也有贝塞尔曲线工具，如PhotoShop等。
在Flash4中还没有完整的曲线工具，而在Flash5里面已经提供出贝塞尔曲线工具。
贝塞尔曲线是应用于二维图形应用程序的数学曲线。
曲线的定义有四个点：起始点、终止点（也称锚点）以及两个相互分离的中间点。
滑动两个中间点，贝塞尔曲线的形状会发生变化。
十九世纪六十年代晚期，Pierre Bézier应用数学方法为雷诺公司的汽车制造业描绘出了贝塞尔曲线。
贝塞尔曲线就是这样的一条曲线，它是依据四个位置任意的点坐标绘制出的一条光滑曲线。
在历史上，研究贝塞尔曲线的人最初是按照已知曲线参数方程来确定四个点的思路设计出这种矢量曲线绘制法。
贝塞尔曲线的有趣之处更在于它的“皮筋效应”~也就是说，随着点有规律地移动，曲线将产生皮筋伸引一样的变换，带来视觉上的冲击。
19世纪70年代，法国数学家Pierre Bézier第一个研究了这种矢量绘制曲线的方法，并给出了详细的计算公式，因此按照这样的公式绘制出来的曲线就用他的姓氏来命名~是为贝塞尔曲线。
【作用】由于用计算机画图大部分时间是操作鼠标来掌握线条的路径，与手绘的感觉和效果有很大的差别。
即使是一位精明的画师能轻松绘出各种图形，拿到鼠标想随心所欲的画图也不是一件容易的事。
这一点是计算机万万不能代替手工的工作，所以到目前为止人们只能颇感无奈。
使用贝塞尔工具画图很大程度上弥补了这一缺憾。
【发现者】“贝赛尔曲线”是由法国数学家Pierre Bézier所发现，由此为计算机矢量图形学奠定了基础。
它的主要意义在于无论是直线或曲线都能在数学上予以描述。
【贝赛尔工具】“贝赛尔”工具在photoshop中叫“钢笔工具”；在CorelDraw中翻译成“贝赛尔工具”；而在Fireworks中叫“画笔”。
Bezier曲线、B样条曲线和NURBS曲线0.概述1. 贝塞尔曲线（Bezier Curve）：贝塞尔曲线由一组控制点和控制点上的权重组成。
贝塞尔曲线的阶数由控制点的数量决定，阶数为n的贝塞尔曲线需要n+1个控制点。
贝塞尔曲线具有局部控制的特性，即曲线上的一段由相邻的几个控制点决定，不受其他控制点的影响。
贝塞尔曲线的计算相对简单，但在变形过程中可能会出现形状扭曲的问题。
2. B样条（B-Spline）： B样条曲线是一种基于分段多项式的曲线表示方法。
与贝塞尔曲线不同，B样条曲线的每个控制点都有一个关联的基函数。
这些基函数决定了曲线上每一点的形状。
B样条曲线的阶数可以是任意的，较高阶的B样条曲线能够更灵活地描述复杂的曲线形状。
B样条曲线具有良好的局部控制性和平滑性，可以很好地避免贝塞尔曲线的形状扭曲问题。
3. NURBS曲线（Non-Uniform Rational B-Spline Curve）：NURBS曲线是对B样条曲线的扩展，它引入了有理权重的概念。
NURBS曲线的每个控制点都有一个关联的权重，这些权重可以调节曲线上各个点的影响程度。
NURBS曲线能够表示更复杂的曲线形状，如圆弧和椭圆等。
总的来说Bezier曲线中的每个控制点都会影响整个曲线的形状，而B样条中的控制点只会影响整个曲线的一部分，显然B样条提供了更多的灵活性；Bezier和B样条都是多项式参数曲线，不能表示一些基本的曲线，比如圆，所以引入了NURBS，即非均匀有理B样条来解决这个问题；贝塞尔曲线适用于简单的曲线形状设计，B样条曲线具有更好的局部控制和平滑性，适用于复杂曲线的建模而NURBS曲线在B样条的基础上引入了有理权重，可以更准确地描述各种曲线形状Bezier曲线是B样条的一个特例，而B样条又是NURBS的一个特例1.Bezier曲线1.1 贝塞尔曲线的历史:贝塞尔曲线于 1962 年，由法国工程师皮埃尔·贝济埃（PierreBézier）所广泛发表，他运用贝塞尔曲线来为汽车的主体进行设计,贝塞尔曲线最初由保尔·德·卡斯特里奥于1959年运用德卡斯特里奥算法开发，以稳定数值的方法求出贝塞尔曲线。
AE中贝塞尔曲线在Adobe After Effects（AE）中，贝塞尔曲线是一个非常重要的概念，它用于创建和编辑动画和运动路径。
在这篇文章中，我们将来详细介绍AE中的贝塞尔曲线。
一、贝塞尔曲线的基本概念贝塞尔曲线是一种数学曲线，由法国数学家Pierre Bézier创建。
它被广泛应用于计算机图形学、计算机动画和计算机视觉等领域。
在AE中，贝塞尔曲线用于定义物体的运动路径、形状和动画。
二、贝塞尔曲线的构成贝塞尔曲线由一系列点组成，这些点被称为控制点。
每个控制点都有两个“把手”，一个在控制点的左边，一个在右边。
通过调整控制点的位置和把手的角度和长度，可以改变贝塞尔曲线的形状。
三、贝塞尔曲线的类型在AE中，有两种类型的贝塞尔曲线：Bezier曲线和B-spline曲线。
1. Bezier曲线：Bezier曲线是最常用的贝塞尔曲线类型。
它由两个端点和两个控制点组成。
这两个控制点定义了曲线的形状，而两个端点则确定了曲线的起点和终点。
在AE中，Bezier曲线通常用于创建动画和运动路径。
2. B-spline曲线：B-spline曲线是一种更复杂的贝塞尔曲线类型。
它由多个控制点组成，这些控制点可以沿着曲线移动，从而改变曲线的形状。
B-spline曲线在处理复杂形状和动画时非常有用。
四、如何创建和编辑贝塞尔曲线1. 创建贝塞尔曲线：在AE中，可以通过以下步骤创建贝塞尔曲线：a. 选择一个图层或物体，然后按下“Ctrl”键并单击时间轴中的空白区域。
这将创建一个新的空对象。
b. 在时间轴中选择空对象，然后按下“Ctrl”键并单击时间轴中的空白区域。
这将创建一个新的贝塞尔曲线。
c. 在时间轴中选择贝塞尔曲线，然后使用“Ctrl”键拖动控制点以调整曲线的形状。
2. 编辑贝塞尔曲线：在AE中，可以使用以下方法编辑贝塞尔曲线：a. 拖动控制点：选择控制点并拖动它们可以改变曲线的形状。
当鼠标放在控制点的把手上时，会出现一个红色线条，表示可以调整把手的角度和长度。
bezier曲线表达式
贝塞尔曲线（Bezier Curve）是一种常用的数学曲线，用于计算机图形学和动画制作等领域。
贝塞尔曲线可以使用参数形式表示，也可以使用矢量表示。
贝塞尔曲线的矢量表示形式是：P(t) = ∑_{i=0}^{n} B_{i,n}(t) * P_i其中，P(t)表示曲线上的点，B_{i,n}(t)是贝塞尔基函数，P_i 是控制点。
n表示控制点的个数，t是一个参数，取值范围是[0,1]。
对于2次贝塞尔曲线，其基函数为：B_{0,2}(t) = 1-t^2, B_{1,2}(t) = 2t*(1-t), B_{2,2}(t) = t^2在参数t=0时，曲线起点为P_0；在参数t=1时，曲线终点为P_2。
对于3次贝塞尔曲线，其基函数为：B_{0,3}(t) = 1-t^3, B_{1,3}(t) = 3t*(1-t)^2, B_{2,3}(t) = 3t^2*(1-t), B_{3,3}(t) = t^3在参数t=0时，曲线起点为P_0；在参数t=1时，曲线终点为P_3。
对于更高次的贝塞尔曲线，其基函数可以递推得到。
此外，贝塞尔曲线的参数形式表示为：C(t) = ∑_{i=0}^{n} C_i * t^i其中，C_i是控制点，t是一个参数，取值范围是[0,1]。
该公式可用于绘制贝塞尔曲线。
1Bezier曲线绘制算法的实现林小青, 冯琦（西北工业大学，中国西安710129）摘要：首先阐述了Bezier曲线的原理及算法，进而研究了在Visual C++6.0环境下开发基于OpenGL绘制Bezier 曲线的函数实现。
该实现方法简单快捷，并且可以实现高阶Bezier曲线。
实例说明设计效果良好。
关键字：Bezier曲线，程序开发，Visual C++，OpenGL中图分类号：TP311.11 文献标识码：AOpenGL-based synthetic vision research and simplifiedimplementationLIN Xiao-qing，FENG Qi（Northwestern Polytechnical University, xi’an 710129, China）Abstract: This synthetic vision system by studying the composition and the basic principles, introducesthe data acquisition, 3D modeling, texture mapping and other key technologies in 3D graphics, and implemented a simple OpenGL-based applications. Experimental results show that the shape of the realistic modeling results, the resolution obviously, is an efficient and practical modeling. In this paper,the idea of the real terrain simulation has important reference value.Key words: synthetic vision; texture mapping; DEM0 引言Bezier曲线是由法国雷诺汽车公司的工程师贝齐尔在上世纪60年代提出的，该方法采用折线组成的多边形来定义一条曲线，设计者先用折线多边形描绘出这条曲线的大致轮廓，再用Bezier曲线表达式产生一条光滑的曲线。
由于采用一组独特的多项式基函数，使得它具有许多优良的特性，在诸多形式的参数多项式曲线中独树一帜，一经问世，就受到工业界和计算机辅助几何设计研究者的广泛重视。
Bezier曲线在实践应用中表现出强大的生命力，被广泛应用于逆向工程等领域的曲线、曲面构造中，成为计算机图形学中最基本、最重要的内容之一[1]。
Bezier曲线也是B样条曲线拓扩的基础。
1 Bezier曲线的算法1.1 Bezier曲线的描述Bezier曲线有不同的数学定义形式。
如德卡斯特里奥递归算法、波恩斯坦基表示形式等，其中用控制顶点定义的波恩斯坦基表示形式容易理解，应用广泛，因此程序开发采用Bezier曲线的波恩斯坦基表示形式：()(),nk k nkP u p B u==∑, 01u≤≤（1）其中，给出1n+个曲线的控制顶点(),,k k k kp x y z=，()0,1,,k n=，其维数可以是任意的。
如果点kp()0,1,,k n=的维数是2，则Bezier曲线位于平面上；如果点kp()0,1,,k n=的维数是3，则曲线()P u是三维Bezier曲线。
()1,2,3,n n=称为Bezier曲线的次数，2 (),k n B u ()0,1,,k n = 称为Bernstein 基函数。
Bernstein 基函数的定义式为：()()(),,1n kk k n B u C n k u u -=- （2）其中，参数(),C n k 是二项式系数：()()!,!!n C n k k n k =- （3）其中，符号！表示阶乘，参数u 可以是任意的实数，()1,2,3,n n = 称为Bernstein 基函数的次数，0,1,,k n = ，并且规定001=，()0!1=。
根据二项式定理，Bernstein 基函数实际上是1的1个划分，即，(),01nk nk B u ==∑向量方程（1）表示单个曲线坐标三个参数方程的集合：()()()()()(),0,0,0nk k n k nk k n k n k k n k x u x B u y u y B u z u z B u ===⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩∑∑∑（4）多数情况下，Bezier 曲线是一个阶数比控制点数少1的多项式：三点生成一个抛物线，四点生成一个三次曲线，以此类推。
图中给出了xy 平面（z=0）上不同数量控制点生成的Bezier 曲线。
（a ）（b ）（c ）图 由三个、四个和五个控制点生成的二维Bezier 曲线连续的二项式系数可以用递归计算来得到：()()1,,1n k C n k C n k k-+=- 且n k ≥。
Bezier 混合函数也符合递归关系：()()()(),,11,11k n k n k n B u u B u uB u ---=-+，1n k >≥其中，,k k kB u =且()0,1kk B u =-。
1.2 三次Bezier 曲线三次Bezier 曲线不仅设计方便，同时避免了高阶多项式的复杂计算。
三次Bezier 曲线由四个控制点生成，将3n =代入式（2），得到三次Bezier 曲线的四个基函数为：()30,31B u =-()21,331B u u =-()22,331B u u =- 33,3B u =写成矩阵形式为：3()0132231B p p P u uuu M p p ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤=∙∙⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中，Bezier 矩阵为1331363033001000B M --⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦2基于OpenGL 绘制Bezier 曲线的实例使用OpenGL 的函数可显示Bezier 样条和B 样条，以及样条曲面的修剪曲线。
核心库包括Bezier 函数，而OpenGL 实用库（GLU ）包括B 样条和修剪曲线函数。
Bezier 函数常用硬件实现，而GLU 函数提供一个调用OpenGL 画点和画线子程序的B 样条接口[2]。
2.1 OpenGL 的Bezier 样条曲线函数从（1）式可知，计算Bezier 曲线上的点，可用Bezier 曲线方程。
已知控制点的坐标，只要t 取0到1之间不同的值，就可以求出Bezier 曲线上的很多点，然后将这些点相连，Bezier 曲线也就绘制出来了。
下列OpenGL 函数用来指定参数并激活Bezier 曲线的显示子程序：glMap1*(GL_MAP1_VERTEX_3,uMin,uMax,stri de,nPts,*ctrlPts);glEnable(GL_MAP1_VERTEX_3); 而使该子程序无效的函数是glDisable(GL_MAP1_VERTEX_3);glMap2*的后缀f 或d 用来指定数据类型是浮点数或双精度浮点数。
参数uMin 和uMax 分别用于设置u 的定义域,尽管Bezier 曲线中这两个值一般分别设置为0和1.0。
Bezier 曲线中控制点的坐标在数组ctrlPts 中列出，该数组元素的数量在参数nPts 中以正整数给出。
参数stride 赋以正整数位移量，用来指出在数组ctrlPts 中一个坐标位置的开始到下一个坐标位置开始的数据值的数量。
在设定Bezier 参数并激活曲线的生产子程序后，要计算沿样条路径的位置并显示计算出的曲线。
沿曲线路径的位置用下列函数计算：glEvalCoord1*(uValue);其中，参数uValue 赋以从uMin 到uMax 之间的某个区间值。
该函数的后缀可以为f 或d ，也可以为v 表示该值在一个数组中给出。
函数glEvalCoord1使用等式（1）及下列参数值计算坐标位置：uValue uMinu uMax uMin-=-该公式将uValue 映射到0至1.0的区间内。
当glEvalCoord1处理曲线参数u 的值时，生成一个glVertex3函数。
为了得到一条Bezier 曲线，需重复引用glEvalCoord1函数并使用uMin 到uMax 之间的选定数值来生成曲线路径上的一组点。
使用直线段连接这些点，就可以利用一条折线逼近该样条曲线。
2.2 生成均匀分布参数值glMapGrid1*(n,u1,u2); glEvalMesh1(mode,n1,n2);glMapGrid1的后缀可以是f 或d 。
参数n 指定从u1到u2之间均匀划分的整数量。
参数mode 赋以GL_POINT 或GL_LINE ，取决于是否使用离散的点（点状曲线）或直线段来显示曲线。
使用glMapGrid1和glEvalMesh1这两个函数，可将曲线分割成一些段且为每段按其曲率指定参数间隔。
因此，比较弯曲的段可赋以较多的分隔，而较平坦的曲线部分则可赋以较少的分隔。
3 结果作为OpenGL 的Bezier 曲线子程序示例，下列程序使用四个控制点来生成二维三次Bezier 曲线。
44结论Bezier曲线算法是一种直观、易于调整、高效率的曲线拟合方法，它广泛使用在二维和空间图形中。
这种方法能使设计师在工程设计中比较直观地意识到所给条件与设计出的曲线之间的联系，能方便地控制输入参数（控制点）以改变曲线的形状。
但是如何快速、准确地绘制曲线仍是一个问题。
本文描述了Bezier 曲线的算法，讨论了基于OpenGL的二维三次Bezier 曲线的两种实现方法，还给出了绘制曲线的OpenGL 程序算法。
用户只需要设定相应的参数便可以绘制出想要的Bezier曲线，使用方便，操作简单，对于高阶Bezier曲线也可实现。
参考文献：[1]顾兰智，方忆湘等.Bezier曲线绘制程序的开发[J].电脑开发应用，2008，（9）.[2]（美）赫恩（Hearn,D.）,（美）巴克（Baker,M.P.）著；蔡士杰，宋继强，蔡敏译，计算机图形学.北京：电子工业出版社，2010.7[3]OpenGL高级编程与可视化系统开发.系统开发篇/和平鸽工作室编著.北京：中国水利水电出版社，2002 [4]（美）史奈德(Schneider,P.J.)等著；周长发译.计算机图形学集合工具算法详解.北京：电子工业出版社，2005.1[5]（美）希尔(HILL,F.S.)著；罗霄等译.计算机图形学—用OpenGL实现.北京：清华大学出版社，2006.5 [6]周其焕，主飞行显示器的演变和发展趋势[J].中国民航飞行学院学报，2004，(2).[7]王立伟，汪健甄，国外军用飞机平视显示器的发展[J].红外与激光工程，2007，(S2).[8]程金陵，徐世宁，严林芳，民用飞机驾驶舱综合显示系统的发展趋势[J].//民用飞机设计与研究，2009,(4).[9]张伟，合成视景系统的机遇与挑战[J].//民用飞机设计与研究,2010,(3).。
