高二数学下：13.6《实系数一元二次方程》教案(2)(沪教版)

沪教版高中数学高二下册第十三章13.6.1实系数一元二次方程教案13.6.1实系数一元二次方程教学目标：通过用比较的方法讨论在复数集内解实系数一元二次方程的问题，完整掌握实系数一元二次方程的解，完善实系数一元二次方程的基本理论。

会在复数集内对二次及简单的三次、四次多项式进行分解因式。

教学重点与难点：理解在复数范围内，实系数一元二次方程总有两个根，并掌握根的求法。

当时，实系数一元二次方程有两个共轭的虚根。

教学过程：动动手：试在复数集中解下列方程：想一想：1、以上方程的解在复数集中有几种不同的情况？2、是什么在影响方程的解？4、你能归纳出方程在复数集中解的不同情况吗？活动一小结：1、以上结论的使用条件__实系数一元二次方程。

2、实系数一元二次方程的根在复数集中共有三种不同情况：两个不等实根、两个相等实根和一对共轭虚根。

3、代数基本定理：在复数域里，任何一元n次方程至少严格证明。

有一个根。

据此退出，在复数范围里一元n次方程有且仅有n个根（k重根作k个根计）。

1797年高斯首先给出。

活动一的小结1、若关于x的一元二次方程有虚根，则实数k的取值范围是____________。

2、判断下列命题的真假：（1）在复数范围内，方程总有两个根。

（2）若是方程的一个根，则是方程的另一个根。

（3）若是方程的一个根，则这个方程的另一个根是。

活动二测一测，你掌握了吗？例1：在复数集中解下列一元二次方程：例2：在复数集中分解因式：活动三例题讲解本节课总结：1、实系数一元二次方程的根的三种情况，注意本结论的使用条件。

2、会对二次多项式、简单的高次多项式在复数集中进行分解因式。

3、遇到新问题时，善于联想、比较、类比、化归、归纳等方法，总能找到解决之路。

课后思考思考：若是实系数一元二次方程的一个根，求方程的另一个根及的值。

活动四总结。

《一元二次方程》数学教案8篇作为一位兢兢业业的人民教师，通常需要准备好一份教案，编写教案有利于我们弄通教材内容，进而选择科学、恰当的教学方法。

那么什么样的教案才是好的呢？这里作者为大家分享了8篇《一元二次方程》数学教案，希望在一元二次方程教案的写作这方面对您有一定的启发与帮助。

元二次方程教案篇一一、教材分析：1、教材所处的地位：此前学生已经学习了应用一元一次方程与二元一次方程组来解决实际问题。

本节仍是进一步讨论如何建立和利用一元二次方程模型来解决实际问题，只是在问题中数量关系的复杂程度上又有了新的发展。

2、教学目标要求：（1）能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型；（2）能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理；（3）经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述；（4）通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用。

3、教学重点和难点：重点：列一元二次方程解与面积有关问题的应用题。

难点：发现问题中的等量关系。

二．教法、学法分析：1、本节课的设计中除了探究3教师参与多一些外，其余时间都坚持以学生为主体，充分发挥学生的主观能动性。

教学过程中，教师只注重点、引、激、评，注重学生探究能力的培养。

还课堂给学生，让学生去亲身体验知识的产生过程，拓展学生的创造性思维。

同时，注意加强对学生的启发和引导，鼓励培养学生们大胆猜想，小心求证的科学研究的思想。

2、本节内容学习的关键所在，是如何寻求、抓准问题中的数量关系，从而准确列出方程来解答。

因此课堂上从审题，找到等量关系，列方程等一系列活动都由生生交流，兵教兵从而达到发展学生思维能力和自学能力的目的，发掘学生的创新精神。

三．教学流程分析：本节课是新授课，根据学生的知识结构，整个课堂教学流程大致可分为：活动1复习回顾解决课前参与活动2封面设计问题的探究活动3草坪规划问题的延伸活动4课堂回眸这有名程体现了知识发生、形成和发展的过程，让学生体会到观察、猜想、归纳、验证的思想和数形结合的思想。

高二年级数学-寒假教案-实系数一元二次方程上次课巩固1. 设iy i i x -+-=+1231 (x ∈R ，y ∈R )，则x =__________；y =__________。

2. 若n i i )11(+-是实数，则最小的正整数n =____________。

3. 已知z=1＋i ，122+-++z z b az z =1－i ，求实数a 、b 的值。

4. 设()1f z z =-，123z i =+，25z i =-，试求)(21z z f -和)11(21z z f +。

5.已知z 是复数，2z i +、2z i-均为实数(i 为虚数单位)，且复数2()z ai +在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围。

一、实系数一元二次方程的解实系数一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0），有： （1）当△=b 2﹣4ac>0时，方程有两个不相等的实数根：x=a ac b b 242-±-； （2）当△=b 2﹣4ac=0时，方程有两个相等的实数根：x=ab 2-；（3）当△=b 2﹣4ac<0时，方程有两个不相等的实数根：x=a b 2-±a b ac 242-i 。

例1、 已知方程x 2﹣3x+5m=0（m ∈R ），求方程的解。

二、共轭虚根定理1． 当△<0时，方程的两个根是互为共轭虚数，称为共轭虚根，即若x=z 是方程的一个根，则x=z 一定是方程的另一根。

【注意】上述结论仅适用于实系数一元二次方程，不适用于复系数一元二次方程2. 根与系数的关系（韦达定理）若实系数方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根为α，β（α、β∈C ），则 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+a c a b αββα 例2、 若1+i 是实系数一元二次方程x 2+px+q=0的一个根，求方程的另一个根以及p 、q 的值。

例3、 已知x 1、x 2是实系数方程x 2+x+p=0的两个根，且满足|x 1﹣x 2|=3，求实数p 的值。

13.6（2）实系数一元二次方程一、教学内容分析本节课是“实系数一元二次方程”的第二节课，上一节课主要讨论了实系数一元二次方程在复数集中解的情况.学生会在复数集中解实系数一元二次方程；会在复数范围内对二次三项式进行因式分解；能理解实系数一元二次方程有虚数根时的根与系数的关系，并会进行简单应用.本节课将通过练习巩固以上知识，并检验学生对以上知识的掌握程度.课本中的例题3是“实系数一元二次方程”这一节的重点和难点，本节课将引导学生进行重点探究.二、教学目标设计进一步掌握在复数集中解实系数一元二次方程和对二次三项式进行因式分解；掌握实系数一元二次方程有虚数根时的根与系数的关系及其应用.三、教学重点及难点对实系数一元二次方程有虚数根时的根与系数关系的灵活应用.四、教学用具准备电脑、实物投影仪五、教学流程设计六、教学过程设计课堂小结并布置作业复习旧知巩固练习例题精析课堂练习（一）复习旧知上一节课我们主要学习了哪些内容？我们一起来回顾一下.1.实系数一元二次方程20axbx c 在复数集C 中解的情况：（1）当240b ac 时，原方程有两个不相等的实数根242bb ac xa；（2）当240bac 时，原方程有两个相等的实数根2b xa；（3）当240bac 时，原方程有一对共轭虚根21422b ac bx i aa，22422b ac bx i a a.2、二次三项式2axbx c 在复数范围内分解因式：212()()axbx c a xx x x .3、实系数一元二次方程20axbx c 的韦达定理：12bx x a，12c x x a. 特别地，当240bac 时，12x x 和为一对共轭虚根，即21x x —，∴2121||x x x ，1212Re x x x .[说明]以上三点可以让学生回答，而第3点中的“2121||x x x ，1212Re x x x ”可以让学生在老师的引导下发现.（二）巩固练习1.已知1-i 是实系数一元二次方程20xpx q 的一个根，则p q = .2.若两个数之和为2，两个数之积为3，则这两个数分别为.3.在复数集中分解因式：2321xx = .4.若方程220()xax a R 有虚数根z ，则|z|= .参考答案：1. -4 2.12i 和12i3.12123()()3333x i x i 4.2（三）例题精析例1、已知方程210()xpx pR 的两根为1x 、2x ，若121x x ，求实数p 的值.分析：要求实数p 的值，即要利用已知条件121x x ，从而应考虑1x 、2x 为实根还是虚根，因此，应对0和0讨论.解：（见课本P92例3）[说明]对于△<0的情形，也可考虑设1(,)x a bi a bR ，则2x a bi ，由1221x x bi得12b，又由2221211||x x x a b，得32a，所以1223p x x a .设问①：若将题设中的“两根”改为“两虚根”，则如何作答？设问②：我们知道：当1x 、2x 为实数时，2212121212()()4x x x x x x x x ，而当1x 、2x 为虚数时，上式是否仍然成立？请说明理由.[说明]可以给点时间让学生思考和讨论.因为当z 为虚数时，22zz,所以当1x 、2x 为虚数时，上式不成立.可以适当修改为2221212121212|||()||()4|x x x x x x x x x x (*)该结论显然成立.设问③：大家尝试一下，能否利用上述结论(*)来解答本例？因为2222121212121()()44x x x x x x x x p，所以3p 或5p .[说明]在已知12x x 的值时，利用结论(*)可以避免对0与0的讨论.设问④：本例删除已知条件“121x x ”后，请用m 来表示12x x .将例1的“两根之差的绝对值”改为“两根的绝对值之和”，可以有以下例题. 例2、已知关于x 的方程222440xax aa ()a R 的两根为、，且3，求实数a 的值.解：2244(44)16(1)aaa a .当0，即1a 时，、为实数，且2244(2)0aa a ，所以23a，又1a，所以32a. 当0，即1a时，、为一对共轭虚数，所以23得294，所以94，所以29444a a 得72a 或12a ，因为1a，所以12a. 故32a或12a . [说明]（1）前面有例1的分析与探讨，例题2可考虑让学生自己完成.（2）提醒学生注意：对0与0的讨论.（3）例2删除已知条件“3”后，也可用a 来表示.例3、已知关于x 的方程2(12)2(1)0axi x a i ()a R 有实数根，求实数a 的值.解：设x 0是原方程的两个根，则20(12)2(1)0axi x a i ，即20(2)(22)0axx a x a i ，所以20020220ax x a x a，解该方程组得0a或3a.[说明]补充例3主要是考虑到练习册第58页习题13．6 B 组第5题与例3属同一类问题，可以视情况选用.若时间允许，例3还可以考虑在求出a 的值后，解该方程.（四）课堂练习1.若、是方程270xx 的两个根，则2= .2.见课本P93练习13.6（2）T4.[说明]练习第1题可以直接用求根公式，也可以使用结论(*).其答案是27.（五）课堂小结本节课是在复习与巩固上节课主要内容“实系数一元二次方程解的情况和韦达定理”的基础上，通过例题1和例题2，进一步探讨实系数一元二次方程有虚数根时的韦达定理的应用，应灵活利用2121||c x x x a，1212Re b x x x a.注意分类讨论这一数学思想的应用，例题1和例题2都对0与0（即实根与虚根）进行了讨论，但合理利用以下等式：2221212121212|||()||()4|x x x x x x x x x x ，可以避免分类讨论.（六）课后作业1．书面作业：练习册P55 习题13．6 A 组 T6.8. P57 习题13．6 B 组 T4.5.2．思考题：（补充题及备选题）（1）若方程22810()xx a a R 有一个虚根的模为5，则实数a 的值为 . （2）已知关于x 的方程220()xx m m R 的两根为、，求. （3）已知关于x 的方程2(2)20()xki x ki kR 有实根，求实数k 的值，并解方程.参考答案：（1）9（2）2,0121,02,1m m m m mk时，原方程的两根为2,22i；（3）当22k时，原方程的两根为2,22i.当22[说明]补充的思考题，可作为学有余力的同学的能力训练题，也可作为教师的备选题．。

一元二次方程的教案（必备3篇）1.一元二次方程的教案第1篇一、教学目标知识与技能（1）理解一元二次方程的意义。

（2）能熟练地把一元二次方程整理成一般形式并能指出它的二次项系数，一次项系数及常数项。

过程与方法在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化成数学模型（一元二次方程）的过程中，使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识。

情感、态度与价值观通过探索建立一元二次方程模型的过程，使学生积极参与数学学习活动，增进对方程的认识，发展分析问题、解决问题的能力。

二、教材分析：教学重点难点重点：经历建立一元二次方程模型的过程，掌握一元二次方程的一般形式。

难点：准确理解一元二次方程的意义。

三、教学方法创设情境——主体探究——合作交流——应用提高四、学案（1）预学检测3x-5=0是什么方程？一元一次方程的定义是怎样的？其一般形式是怎样的？五、教学过程（一）创设情境、导入新（1）自学本P2—P3并完成书本（2）请学生分别回答书本内容再（二）主体探究、合作交流（1）观察下列方程：（35-2x）2=9004x2-9=03y2-5y=7它们有什么共同点？它们分别含有几个未知数？它们的左边分别是未知数的几次几项式？（2）一元二次方程的概念与一般形式？如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边是只含一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫作一元二次方程，它的一般形式是ax2+bx+c=0（a、b、c是已知数a≠0），其中，a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数和常数项，如x2-x=56(三)应用迁移、巩固提高例1：根据一元二次方程定义，判断下列方程是否为一元二次方程？为什么？x2-x=13x(x-1)=5(x+2)x2=(x-1)2例2：将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项。

解：去括号得3x2-3x=5x+10移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式3x2-8x-10=0其中二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10.学生练习：书本P4练习（四）总结反思拓展升华总结1.一元二次方程的定义是怎样的？2.一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0），一元二次方程的项及系数都是根据一般式定义的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的。

《一元二次方程》优秀教案（精选5篇）《一元二次方程》优秀教案1学习目标1、一元二次方程的求根公式的推导2、会用求根公式解一元二次方程.3、通过运用公式法解一元二次方程的训练，提高学生的运算能力，养成良好的运算习惯学习重、难点重点：一元二次方程的求根公式.难点：求根公式的条件：b2 -4ac≥0学习过程：一、自学质疑：1、用配方法解方程：2x2-7x+3=0.2、用配方解一元二次方程的步骤是什么?3、用配方法解一元二次方程，计算比较麻烦，能否研究出一种更好的方法，迅速求得一元二次方程的实数根呢?二、交流展示：刚才我们已经利用配方法求解了一元二次方程，那你能否利用配方法的基本步骤解方程ax2+bx+c=0(a≠0)呢?三、互动探究：一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2-4ac≥0时，它的根是用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法由此我们可以看到：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根是由方程的系数a、b、c确定的.因此，在解一元二次方程时，先将方程化为一般形式，然后在b2-4ac≥0的前提条件下，把各项系数a、b、c的值代入，就可以求得方程的根.注：(1)把方程化为一般形式后，在确定a、b、c时，需注意符号.(2)在运用求根公式求解时，应先计算b2-4ac的值;当b2-4ac≥0时，可以用公式求出两个不相等的实数解;当b2-4ac<0时，方程没有实数解.就不必再代入公式计算了.四、精讲点拨：例1、课本例题总结:其一般步骤是：(1)把方程化为一般形式，进而确定a、b，c的值.(注意符号)(2)求出b2-4ac的值.(先判别方程是否有根)(3)在b2-4ac≥0的前提下，把a、b、c的直代入求根公式，求出的值，最后写出方程的根.例2、解方程：(1)2x2-7x+3=0 (2) x2-7x-1=0(3) 2x2-9x+8=0 (4) 9x2+6x+1=0五、纠正反馈：做书上第P90练习。

沪教版数学高二下春季班第二讲课题 复数的方根与实系数一元二次方程单元第十三章 学科数学年级十一学习 目标1．掌握待定系数法求解复数的平方根和立方根；掌握1的立方根的相关性质，并能利用其进行化简与求值2．掌握实系数一元二次方程的解法，并会结合根的情况加以讨论3．理解复数模的几何意义，熟悉常见几何图形的复数表达式 重点 1．方根的求解与化简求值；2．实系数一元二次方程的解法与根的情况分析． 难点 实系数一元二次方程的解法与根的情况分析一、复数的平方根与立方根 1．复数的平方根的定义若复数1z ，2z 满足212z z =，则称1z 是2z 的平方根．2．复数的平方根的求法2()(,,,)a bi c di a b c c +=+∈R即利用复数相等，把复数平方根问题转化为实数方程组来求． 教学安排版块 时长1 知识梳理 302 例题解析 603 巩固训练 204 师生总结 10 5课后练习30复数的方根与实系数一元二次方程知识梳理3．复数的平方根的性质复数(0)z z ≠总有两个平方根1z ，2z ，且120z z +=（见图1）． 4．复数的立方根的定义类似的，若复数1z ，2z 满足312z z =，则称1z 是2z 的立方根．5．1的立方根 设复数1322i ω=-+，则21,,ωω都是1的立方根． 6．ω的性质 ①210ωω++=， ②31ω=， ③21322i ωω==--． 可运用这些性质化简相关问题（见图2）． 7．其他有用结论2(1)2i i -=-，2(1)2i i +=二、实系数一元二次方程实系数一元二次方程20(,,,0)ax bx c a b c a ++=∈≠R 中的24b ac ∆=-为根的判别式，那么（1）0∆>⇔方程有两个不相等的实根242b b aca-±-；（2）0∆=⇔方程有两个相等的实根2b a-； （3）0∆<⇔方程有两个共轭虚根242b ac b ia-±-，在（3）的情况下，方程的根与系数关系（韦达定理）仍然成立． 求解复数集上的方程的方法：（1）设(,)z x yi x y =+∈R 化归为实数方程来解决（化归思想）．（2）把z 看成一个未知数（而不是实部和虚部两个未知数），用复数的性质来变形（整体思想）． （3）对二次方程，直接用一元二次方程的求根公式（公式法）． 图1图2三、常见几何图形的复数表达式 复数1z ，2z 为定值，且12z z ≠．（1）线段12Z Z 的中垂线方程：12||||z z z z -=-； （2）以1Z 为圆心，半径为r 的圆方程：1||z z r -=； （3）以1Z 、2Z 为焦点，长轴长为2(0)a a >的椭圆方程：12||||2z z z z a -+-=（其中12||2z z a -<）； （4）以1Z 、2Z 为焦点，实轴长为2(0)a a >的双曲线方程：12||||||2z z z z a ---=（其中12||2z z a ->）．1、复数的平方根与立方根 【例1】求4-及86i -的平方根．【难度】★【答案】4-的平方根为2i 或2i -；86i -的平方根为3i -或3i -+ 【例2】计算：（1）615212(13)(13)112(1)22i i i i i ---⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；（2）50820028223(22)112313i i i i i i ⎛⎫-+++-++ ⎪ ⎪ ⎪-+-⎝⎭⎝⎭． 例题解析【注意】 （1）在复数集C 中的一元二次方程的求根公式和韦达定理仍适用，但根的判别式仅 在实数集上有效； （2）实系数一元二次方程在复数集中一定有根，若是虚根则一定成对出现； （3）齐二次实系数二次方程2211220(,,)az bz z cz a b c R ++=∈，将等式两端除以2z 后，将得到一个关于12zz 得实系数一元二次方程；（不作要求） （4）虚系数一元二次方程20(0ax bx c a a b c ++=≠，，，至少有一个为虚数）①判别式判断实根情况失效； ②虚根成对出现的性质失效； 如220x ix --=，虽然70∆=>，但该方程并无实根，不过韦达定理仍适用.【难度】★★【答案】（1）513；（2）247+【例3】记122ω=-+，求1ωω+，221ωω+． 【难度】★★ 【答案】11ωω+=-，2211ωω+=-【例4】已知等比数列123,,,,n z z z z L ，其中11z =，2z x yi =+，3z y xi =+（,,0x y x ∈>R ）． （1）求,x y 的值；（2）试求使1230n z z z z ++++=L 的最小正整数n ；（3）对（2）中的正整数n ，求123n z z z z g g gL g 的值． 【难度】★★【答案】（1）12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；（2）12n =；（3）1-．【巩固训练】1．复数34i +的平方根是 ．【难度】★ 【答案】(2)i ±+2．计算：（11996= ． （2）151512(1)(1)(1)i -=-+ ． 【难度】★ 【答案】（1）122-；（2）03．已知ω满足等式210ωω++=．（1）计算4(1)ωω++；304050ωωω++；224(1)(1)ωωωω-+-+；（2）求证：对任意复数u ，有恒等式33233(1)()()3(1)u u u u ωω+++++=+； （3）计算：21n n ωω++，*n ∈N ． 【难度】★★【答案】（1）1-；0；4；（2）略；（3）*2**33()1031()032()n n n k k n k k n k k ωω⎧=∈⎪++==-∈⎨⎪=-∈⎩N N N2、复数中的代数式和方程【例5】在复数范围内分解因式：2223x x ++ 【难度】★【答案】222223244x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-++=-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2x x ⎛=+- ⎝⎭⎝⎭【例6】复数z 满足方程210z z ++=，求()41z z ++的值 【难度】★★【答案】由210z z ++=得，211022z w z w w w ==-+=∴++=或 所以原式()()4428211w w ww w w w w =++=-+=+=+=-【巩固训练】1．若虚数z 满足327z =，则32315z z z +++的值为 ． 【难度】★★ 【答案】332．1≠ω，13=ω，求32302ωωω+++Λ的值.【难度】★★【答案】122i ω=-+时，原式=15-；122ω=--时，原式；3、实系数一元二次方程【例7】已知方程2350()x x m m -+=∈R ，求方程的解．【难度】★【答案】920m ∆=-当0∆>时，即920m <时，32x ±=；当0∆=时，即920m =时，32x =；当0∆<时，即920m >时，32i x ±=．【例8】已知βα,是实系数一元二次方程02=++c bx ax 的两个虚根，且2αβ∈R ，求βα的值．【难度】★★【答案】∵2αβ∈R ，∴2222ααβαββαβ=⇒=，即330αβ-=∴12αβ=-± 【例9】已知12,x x 是实系数方程20x x p ++=的两个根，且满足12||3x x -=，求实数p 的值． 【难度】★★ 【答案】14p ∆=-，（1）当0∆≥时，即14p ≤时，12,x x 是实根，∴12||3x x -==，即32p =⇒=-；（2）当0∆<时，即14p >时，12,x x 是共轭虚根，设1(,)x a bi a b =+∈R ，则2x a bi =-， ∴123|||2|2||32x x bi b b -===⇒=±，由1221x x a +==-，得12a =-．从而21215||2p x x x ===．综上，2p =-或52．【例10】已知,αβ是实系数一元二次方程230x mx -+=的两个根，求||||αβ+的值．【难度】★★【答案】212m ∆=-，（1）当0∆≥时，即m ≥m ≤-30αβ=>，∴||||||||m αβαβ+=+=；（2）当0∆<时，即m -<<||||2||αβα+===【例11】已知复数12,z z 满足1||2z =，2||1z =，12||2z z -=，求12z z ． 【难度】★★【答案】212121211121222||()()4z z z z z z z z z z z z z z -=--=⋅-⋅-⋅+⋅=， ∴12121z z z z ⋅+⋅=， ∴122211211z zz z z z z z ⋅⋅+⋅⋅=， ∴122141z zz z +=． 令12z t z =，则141t t+=， ∴240t t -+=，∴122t i =±，即1212z z =．【例12】（1）方程20()x px k p -+=∈R 有一个根为12i +，求实数k 的值； （2）方程240x x k -+=有一个根为12i +，求k 的值． 【难度】★【答案】（1）由题意：另一个根为12i -，∴(12)(12)5k i i =+-=； （2）由题意2(12)4(12)074i i k k i +-++=⇒=+．【例12】关于x 的方程2(2i)i 0x a b x a b --+-=有实根，且一个根的模是2，求实数a 、b 的值． 【难度】★★【答案】设()t t ∈R 是方程的一实根，则2(2)()i 0t at a bt b -++-=．则220,0t at a bt b ⎧-+=⎨-=⎩．（1）当0b =时，此方程为220x ax a -+=．①有实根，0∆≥即1a ≥或0a ≤． 当根为2时，440a a -+=．得43a =．当根为2-时，440a a ++=．得45a =-． ②有一对共轭虚根即01a <<．模为2，即有4a =（舍）．（2）当0b ≠时，则1t =，此时1a =．又因为模为2，所以b =所以4,30a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩或4,50a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩或1,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩1,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩【巩固训练】1．下列命题在复数集中是否正确？为什么？（1）若,,a b c ∈R ，0a ≠，且240b ac -≥，则方程20ax bx c ++=有两个实数根； （2）若,,a b c ∈R ，0a ≠，且12,x x 是方程20ax bx c ++=的两个根，则12b x x a +=-，12c x x a=； （3）若,,a b c ∈R ，0a ≠，且12,x x 是方程20ax bx c ++=的两个根，则221212||()x x x x -=-；（4）若,,a b c ∈R ，0a ≠，且α是方程20ax bx c ++=的根，则α也是方程的根． 【难度】★★【答案】（1）、（2）、（4）正确，（3）不正确2．若12,x x 为方程270x x -+=的两个根，则212||x x -= ．【难度】★★ 【答案】273．已知,0x y ≠且022=++y xy x ，求20092009()()x y x y x y+++的值. 【难度】★★【答案】14．关于x 的方程222(31)10x m x m --++=的两根为αβ、，且||||3αβ+=，求实数m 的值． 【难度】★★【答案】53m =-或m =5．设αβ、为方程220x x t ++=，（t ∈R ）的两个根，()||||f t αβ=+，（1）求()f t 的解析式；（2）证明关于t 的方程()f t m =，当2m >时恰有两个不等的根，且两根之和为定值． 【难度】★★【答案】（1）0()2,010t f t t t ⎧<⎪=<≤⎨⎪<⎩．．．（2）证明：函数()y f t =的图像关于直线12t =对称（证略） 当(1,)t ∈+∞时，()f t 为增函数，且()(2,)f t ∈+∞； 当(,0)t ∈-∞时，()f t 为减函数，且()(2,)f t ∈+∞．所以当2m >，方程()f t m =在区间(1,)+∞上有唯一解1t ，在区间(,0)-∞上也有唯一解2t ， 则121212t t +=⨯=．4、复数方程综合问题【例13】关于x 的二次方程2120x z x z m +++=中，1z ，2z ，m 都是复数，且21241620z z i -=+，设这个方程的两个根α、β满足||αβ-=||m 的最大值和最小值． 【难度】★★【答案】根据韦达定理有12z z mαβαβ+=-⎧⎨=+⎩∵22212()()444z z m αβαβαβ-=+-=-- ∴2212|()||4(4)|28m z z αβ-=--=．∴2121|(4)|74m z z --=，即|(45)|7m i -+=， 这表明复数m 在以(4,5)C 为圆心，7为半径的圆周上，∴max ||7m =，min ||7m =当5001,150log 22m t m t >⎧⎪<<⎨<-⎪⎩即2log 215050m t -<<．【例14】已知22016220160122016(1)x x a a x a x a x ++=++++g g g ，试求0362016a a a a ++++g g g 的值。

《一元二次方程》优秀教案（精选5篇）《一元二次方程》优秀教案1教学目标：1、经历抽象一元二次方程概念的过程，进一步体会是刻画现实世界的有效数学模型2、理解什么是一元二次方程及一元二次方程的一般形式。

3、能将一元二次方程转化为一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项。

教学重点1、一元二次方程及其它有关的概念。

2、利用实际问题建立一元二次方程的数学模型。

教学难点1、建立一元二次方程实际问题的数学模型．2、把一元二次方程化为一般形式教学方法：指导自学，自主探究课时：第一课时教学过程：（学生通过导学提纲，了解本节课自己应该掌握的内容）一、自主探索：（学生通过自学，经历思考、讨论、分析的过程，最终形成一元二次方程及其有关概念）1、请认真完成课本P39—40议一议以上的内容；化简上述三个方程.。

2、你发现上述三个方程有什么共同特点？你能把这些特点用一个方程概括出来吗？3、请同学看课本40页，理解记忆一元二次方程的概念及有关概念你觉得理解这个概念要掌握哪几个要点？你还掌握了什么？二、学以致用：（通过练习，加深学生对一元二次方程及其有关概念的理解与把握）１、下列哪些是一元二次方程？哪些不是？①②③④x2+2x-3=1+x2 ⑤ax2+bx+c=02、判断下列方程是不是关于x的一元二次方程，如果是，写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。

（1）3-6x2=0(2)3x(x+2)=4(x-1)+7(3)(2x+3)2=(x+1)(4x-1)3、若关于x的方程(k－3)x2＋2x－1＝0是一元二次方程，则k的值是多少？4、关于x的方程(k2－1)x2＋2(k+1)x＋2k＋2＝0,在什么条件下它是一元二次方程?在什么条件下它是一元一次方程?5、以－2、3、0三个数作为一个一元二次方程的系数和常数项，请你写出满足条件的不同的一元二次方程？三、反思：（学生，进一步加深本节课所学内容）这节课你学到了什么？四、自查自省：（通过当堂小测，及时发现问题，及时应对）1、下列方程中是一元二次方程的有（）Ａ、1个B、2个 C、3个D、4个（1）（2）（3）（4）（5）（6）2、将方程－5x2+1=6x化为一般形式为____________________.其二次项是_________，系数为_______，一次项系数为______，常数项为______。

实系数一元二次方程一、教材分析《实系数一元二次方程》是沪教版高二年级第二学期课本第十三章第六节的内容，是学生学习了一元二次方程解法之后，全面掌握了复数的相关知识点的基础上来研究如何在复数范围内求解实系数一元二次方程.二、学情分析从学生的思维特点和认知结构来看，本节内容是在前面学习了复数的运算后，对初中已学过的一元二次方程的求根公式和韦达定理的推广和完善.复数的平方根是解方程的关键. 本班是西藏班，学生的数学底子薄，数学思维能力有所欠缺，认知结构不太健全， 因而在这节课的学习中，教师要适当加以引导，降低问题的难度，让每一个学生都能够积极、主动的参与，成为课堂的主体，从而轻松的完成学习任务.三、教学目标1、知识与技能：（1）理解在复数范围内，实系数一元二次方程总有两个根，并掌握根的求法；（2）当240b ac ∆=−<时，实系数一元二次方程总有两个共轭的虚根；（3）实系数一元二次方程有虚根时，根与系数关系的初步应用.2、过程与方法：类比一元二次方程的解法探究在复数范围内实系数一元二次方程的解法，培养学生分析、观察、概括的能力及方法迁移的能力，形成应用数学知识的意识，提高分析问题和解决问题的能力.3、情感、态度与价值观：培养学生自主探究意识，合作精神，采用类比法的教学方式，变未知为已知，引导学生自主探索，激发学生学习积极性，提高学生思维能力.四、教学重难点重点：在复数集中解实系数一元二次方程；难点：在复数集中解实系数一元二次方程.五、教学方法讲授法、类比法、讲练结合法六、教学过程（一）复习引入1、（1）一元二次方程20(0)ax bx c a b c R a ++=∈≠、、且的求根公式：240b ac ∆=−>，方程有两个不相等的实数根22b x a a=−±； 240b ac ∆=−=，方程有两个相等的实数根2b x a=−； 240b ac ∆=−<，方程没有实数根.（2）根与系数的关系： 12b x x a +=−，12c x x a⋅= 2、课前练习：（1）复数集中1−的平方根是 ；（2）解方程：210x x ++=（二）探究新知1、实系数一元二次方程在复数集C 中解的情况：设一元二次方程20(0)ax bx c a b c R a ++=∈≠、、且.因为0a ≠，所以原方程可变形为2b c x x a a+=−， 配方得 22()()22b b c x a a a+=−， 即 2224()24b b ac x a a−+=. （1）当240b ac ∆=−>时，原方程有两个不相等的实数根；22b x a a=−±； （2）当240b ac ∆=−=时，原方程有两个相等的实数根； 2b x a =−； （3）当240b ac ∆=−<时，22404b ac a−<，原方程没有实数根.由复数的平方根知，2244b ac a −的平方根为2i a±，即 22b x i a a+=±， 此时原方程有两个不相等的虚数根22b x i a a=−±.（一对共轭虚数根） 注：实系数一元二次方程在复数范围内必有两个解：当0∆≥时，有两个实根；当0∆<时，有一对共轭虚根.思考：已知一个实系数一元二次方程有一个虚根是3+i ，你能直接写出这个方程的另一个根吗？为什么？问题：当0∆<时，实系数一元二次方程有虚根时，是否依然满足韦达定理？2、根与系数的关系：12b x x a +=−，12c x x a⋅= （三）例题讲解例1、在复数集中解方程：210x x ++=.例2、已知32i −是关于x 的方程220x px q ++=的一个根，求实数p q 、的值.（四）课堂练习在复数范围内解下列一元二次方程：（1）2480.++=x x−+=（2）2230.x x（五）课堂小结1．本节课学习了哪些内容？2．通过这节课学习，你会解决哪些新问题？（六）板书设计课题：实系数一元二次方程1、实系数一元二次方程在复数集C中解的情况：例1：例2：2、根与系数的关系：练习：（七）作业布置1．必做题：练习册P59 T1、T2、T3、T5；2．选做题：一课一练；七、教学反思1、本节课由复习引入，带着问题，利用复数的平方根，展开本节课的探究，符合学生的认知特点；2、例题设计紧扣教学内容，讲练结合，加深学生对所学知识的理解和巩固；3、本节课公式推导虽是已学内容，但对于我校学生，计算难度稍大，留给学生思考和计算时间稍有欠缺.。