沪教版(上海)数学高二下册-1两条直线的位置关系课件
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沪教版高中数学高二下册：11.3 两条直线的位置关系 课件(共22张PPT)
两条直线的位置关系
回顾 在同一平面内，两直线的位置关系有几种情形？ 划分不同情形的依据是什么？
二元一次方程组
aa12xx
b1 y c1 0 b2 y c2 0
的解有几种情况？
一、两条直线位置关系的系数判别法 (充要条件)
已知两条直线方程为
l1 : a1x b1 y c1 0
记 D a1
l1
:
2x
6
y
4
0,
l2
:
y
2 3
1 3
x
例2.已知m R ，判断下列两条直线的位置关系.
(1) l1 : x m2 y 6 0,l2 : (m 2)x 3my 2m 0
解：整理得
x
m2
y
6
(m 2)x 3my 2m
1 m2
D
m(m 1)(m 3)
m 2 3m
6 m2
Dx 2m
解：设所求直线方程为 ax by 0 (a2 b2 0)
根据夹角公式 cos 60o | a 1 b ( 3) | a2 b2 4
两边平方后化简得：b2 3ab
当 b 0 时，所求直线为 x 0
当b 3a 时，所求直线为 x 3y 0
因此所求直线方程为 x 0 或 x 3y 0
当 m 0, 1,3 时，直线 l1, l2 相交； 当 m 3 时，直线 l1, l2 重合； 当 m 1, 0 时，直线 l1, l2平行.
例2.已知m R ，判断下列两条直线的位置关系. (2) l1 : y 1 k1(x 3),l2 : y 1 k2 (x 3)
二、两条直线位置关系的系数判别法 (充分条件) 已知两条直线方程为
课堂练习 1.利用夹角公式，求下列各组直线的夹角.
回顾 在同一平面内，两直线的位置关系有几种情形？ 划分不同情形的依据是什么？
二元一次方程组
aa12xx
b1 y c1 0 b2 y c2 0
的解有几种情况？
一、两条直线位置关系的系数判别法 (充要条件)
已知两条直线方程为
l1 : a1x b1 y c1 0
记 D a1
l1
:
2x
6
y
4
0,
l2
:
y
2 3
1 3
x
例2.已知m R ，判断下列两条直线的位置关系.
(1) l1 : x m2 y 6 0,l2 : (m 2)x 3my 2m 0
解：整理得
x
m2
y
6
(m 2)x 3my 2m
1 m2
D
m(m 1)(m 3)
m 2 3m
6 m2
Dx 2m
解：设所求直线方程为 ax by 0 (a2 b2 0)
根据夹角公式 cos 60o | a 1 b ( 3) | a2 b2 4
两边平方后化简得：b2 3ab
当 b 0 时，所求直线为 x 0
当b 3a 时，所求直线为 x 3y 0
因此所求直线方程为 x 0 或 x 3y 0
当 m 0, 1,3 时，直线 l1, l2 相交； 当 m 3 时，直线 l1, l2 重合； 当 m 1, 0 时，直线 l1, l2平行.
例2.已知m R ，判断下列两条直线的位置关系. (2) l1 : y 1 k1(x 3),l2 : y 1 k2 (x 3)
二、两条直线位置关系的系数判别法 (充分条件) 已知两条直线方程为
课堂练习 1.利用夹角公式，求下列各组直线的夹角.
沪教版高中数学高二下册：11.3 两条直线的位置关系-两条直线的夹角 课件(共13张PPT)
？
努力，未来老婆的婚纱都是租的。只有你的笑才能 无尽黑暗中找到光明。我受过的伤都是我的勋章。 而不世故，是最善良的成熟。愿你早日领教过这世 的恶意，然后开启爱他吗谁谁的快意人生。第二名 着你是头号输家——科比·布莱恩特。当你感觉累 你正在走上坡路。如果每个人都理解你，那你得普 么样。赚钱的速度一定要超过父母变老的速度。不 现以前的自己是个傻逼的过程，就是成长。脾气永 大于本事。你那能叫活着么？你那“你如今的气质 着你走过的路，读过的书，和爱过的人。”素质是 问题，和未成年没关系。总会有人是第一，那为什 是我？你可以没钱没颜，但你不可以不努力。如果 取得了成功，一定是昨天我拼上了全部努力。阳光 孩子风雨里做个大人。枯木逢春犹再发，人无两度 世界那么大，我要赚钱带父母去看看人情世故要看
11.3 两条直线的夹角
我们已经学习了两直线的位置关系有 平行、重合和相交。当两条直线相交时， 用什么“量”来描述两条直线的相对位置 关系呢？
1、两条直线的夹角的定义
问题
2、求两条直线的夹角
系数确定直线的方程，方程确定直线及其位置， 所以可以利用方程系数来计算夹角。
例1
例2
例3
努力，未来老婆的婚纱都是租的。只有你的笑才能 无尽黑暗中找到光明。我受过的伤都是我的勋章。 而不世故，是最善良的成熟。愿你早日领教过这世 的恶意，然后开启爱他吗谁谁的快意人生。第二名 着你是头号输家——科比·布莱恩特。当你感觉累 你正在走上坡路。如果每个人都理解你，那你得普 么样。赚钱的速度一定要超过父母变老的速度。不 现以前的自己是个傻逼的过程，就是成长。脾气永 大于本事。你那能叫活着么？你那“你如今的气质 着你走过的路，读过的书，和爱过的人。”素质是 问题，和未成年没关系。总会有人是第一，那为什 是我？你可以没钱没颜，但你不可以不努力。如果 取得了成功，一定是昨天我拼上了全部努力。阳光 孩子风雨里做个大人。枯木逢春犹再发，人无两度 世界那么大，我要赚钱带父母去看看人情世故要看
11.3 两条直线的夹角
我们已经学习了两直线的位置关系有 平行、重合和相交。当两条直线相交时， 用什么“量”来描述两条直线的相对位置 关系呢？
1、两条直线的夹角的定义
问题
2、求两条直线的夹角
系数确定直线的方程，方程确定直线及其位置， 所以可以利用方程系数来计算夹角。
例1
例2
例3
高中数学沪教版高二下册：11.3《两条直线的位置关系》课件
x
1. 在解等腰三角形的有关问题时，常用到两直线 的夹角公式。
2. 利用夹角公式时要注意根据图像选择符合要求 的直线。
1. 必做题：练习册11.3A组/5,6,12, B组/4 2. 思考题：在利用夹角公式解等腰三角形的相
关问题时，如何判断解的个数？ 3. 选做题：设平行四边形ABCD的三顶点A、B、
C的坐标分别为(5，12)，(0，0)，(3，4)直 线l与直线BA、BC分别交于E、F，△BEF是 以EF为底边的等腰三角形，如果直线l平分
平行四边形ABCD的面积，试求直线l的方程。
2| 2
|ab| 2 a2 b2 l2
y
l3
2a2 5ab 2b2 0 a 2b或2a b.
l1
2
当2a=b时，l3与l1平行， 故舍去。
2
1
O
x
直线l3方程为2xy+4=0.
2. 如图，正方形ABCD的对角线AC在直线 x+2y1=0上，且顶点A(5,3)，B(m,0)(m>5)， 求顶点B，C，D的坐标。 解：设AB直线方程为a(x+5)+b(y3)=0,
•C(5,5)
A arccos 16 17 . 85
A(•2,1)
O
B(•6,2)
x
例2 已知等腰直角三角形的直角顶点是C(4,1)， 斜边所在直线方程是3xy=0，求两直角边所 在直线方程。
分析：两腰所在直线与斜边所在直线夹角为450。
解：设两腰所在直线方程为a(x4)+b(y+1)=0. ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴腰所在直线与底边所在直线夹角为450.
1. 等腰三角形的一腰所在直线l1方程为x2y1=0，底 边所在直线方程是l2:x+y1=0，点(2,0)在另一腰上， 求这条腰所在直线l3的方程。
两条直线的位置关系ppt
判定方法
斜率相等且截距相等
如果两条直线的斜率和截距都相等， 则它们重合。
平行且距离为零
如果两条直线平行且它们之间的距离 为零，则它们重合。
性质
重合直线具有相同的 方向和倾斜角。
重合直线的方程可以 表示为相同的线性方 程或点斜式方程。
重合直线上的任意两 点都位于同一直线上， 且该直线与其它直线 无交点。
交点唯一性
在同一平面内，任意两条直线要么相交于一点，要么平行或 重合，不存在第三种情况。
因此，两条直线的交点是唯一的，也就是说，两条相交的直 线只能有一个交点。
03
两条直线重合
定义
两条直线重合是指两条直线完全重合，没有距离，且在平 面内无限延伸。
重合直线具有相同的斜率、截距和方向，它们在平面内占 据相同的点集。
02
两条直线相交
定义
两条直线相交是指两条直线在同一平 面内有一个公共点。
当两条直线在平面内只有一个公共点 时，我们称这两条直线为相交线。
交点求法
交点的求法可以通过联立两直线的方程来求解。
具体来说，设两条直线的方程分别为 $y = k_1x + b_1$ 和 $y = k_2x + b_2$，联 立这两个方程即可求出交点的坐标。
两条直线的位置关系
• 两条直线平行 • 两条直线相交 • 两条直线重合 • 两条直线的斜率关系
目录
01
两条直线平行
定义
01
两条直线平行是指两条直线在同 一平面内，且不相交。
02
平行线是具有相同方向或相反方 向的直线，它们之间没有交点。
判定方法
01
02
03
同位角相等
如果两条直线被第三条直 线所截，且同位角相等， 则这两条直线平行。
沪教版高中数学高二下册：11.3 两条直线的位置关系 课件 (共14张PPT)
(1) 平行 垂直
(2) 平行 垂直
首 页
(3) 平行 垂直 不平行也不垂直
上
页 第2题：求过点A(2，3)，且分别适合下列条件的直线方程：
下 (1)平行于直线2x+y－5=0；
页 (2)垂直于直线x－y－2=0；
小 结
答案：（1）2x+y－7=0
结
（2）x+y－5=0
束
四、本节小结
(1)斜率存在的不重合的两直线平行的等价条件；
11.3 两条直线的位置关系
首 页
上 页
下 页
小 结
结 束
一、引入 平面内两直线的位置关系如何？
平行
相交
重合
动
画
首
y l1 l2
l2 y
l1
y l1 l2
页
o
o
o
上
x
x
x
页
下 页
小
两直线平行的充要条件是什么？
结
结 束
垂直呢？
二、新课教授
(一)特殊情况下的两直线平行与垂直
当两条直线中有一条直线没有斜率时：
2.两条直线垂直的情形
若l1 l2的斜率存在且分别是k1，k2， 则l1的方向向量 a =(1,k1)
l2的方向向量是 b =(1,k2)
X1x2+y1y2=0
∴l1⊥l2
a ·b =0
首
1×1＋k1k2=0
页
上
k1k2=－1
页
下 页
故如果两条直线的斜率为k1k2，那么，这两条直线垂直
小 结
的充要条件是k1k2=－1
下 页
可设所求直线方程为2x+3y+m=0
《两条直线的位置关系》课件(共40张PPT)【推荐】
知识点四 垂直及垂线的画法
1.垂直的相关定义
定义
符号语言
图例
垂直
拓展延伸
知识点四 垂直及垂线的画法
1.垂直的相关定义
垂直 拓展延伸
定义
符号语言
图例
两条直线相交所成 如图，∠AOC＝ 的四个角中有一个 90°或∠BOC＝ 角为90°时，这两 90°或∠AOD＝ 条直线互相垂直其 90°或∠BOD＝ 中一条直线是另一 90° AB⊥CD 条直线的垂线，它 们的交点叫垂足
1.垂线段
定义
图形
识记
连接直线 l 外一点
线段AO是直线 l
垂 A与直线 l 上各点
的垂线段.
线 的线段中，与直线l
线段AO的长度
段 垂直的线段叫做点
叫做点A到直线
A到直线 l的垂线段
l 的距离
拓展 （1）垂线是直线，垂线段是线段
延伸 （2）斜线段有无数条，但垂线段只有一条
2.性质 内容
性质一
拓展 延伸
题型二 与互余或互补有关的计 算
例2 如图所示，∠AOB与∠BOD互为余角，OB是∠AOC 的平分线，∠AOB＝25°，求∠CODB的度数.
题型二 与互余或互补有关的计 算
例2 如图所示，∠AOB与∠BOD互为余角，OB是∠AOC 的平分线，∠AOB＝25°，求∠CODB的度数.
解析 因为OB是∠AOC的平分线，∠AOB＝25°，所以 ∠BOC＝∠AOB＝25°，因为∠AOB与∠BOD互为余角， 所以∠BOD＝90°-∠AOB＝90°-25°＝65°，所以 ∠COD＝∠BOD-∠BOC＝65°-25°＝40°.
题型三 垂线段性质的运用
例3 如图所示，村庄A、村庄B分别要 从河流L引水入庄，各需修筑一条水渠， 请你画出修筑水渠的最短路线图.
2.1两条直线的位置关系(1)PPT课件
∴∠1=∠2 由此你能得到什么结论？
同角的补角相等
2021
A A
C
4
⌒
⌒2
O
⌒
3
⌒
D1
D
图B
16
问题引领，探究新知
问题：∠1与∠3互为补角， ∠2与∠4互为补角，若 ∠3=∠4，请问， ∠1∠2有怎样的大小关系？
∵∠1+ ∠3=180° ∠2+ ∠4=180 °
∴∠1=180 °— ∠3 ∠2=180°— ∠4
34
小组合作交流，解决下列问题：在图2中 A
问题1：哪些角互为余角？ 问题2：∠3与∠4有什么关系？为什么？
问题3：你能得到什么结论？
NB
图2
2021
19
如图2，ON与DC交于点O， D
O
C
∠DON=∠CON=900，∠1=∠2
12
小组合作交流，解决下列问题：在图2中
34
问题1：哪些角互为余角？
问题2：∠3与∠4有什么关系？为什么？ A N
如果两个角的和是 900，那么称这两个
角互为余角.
如果两个角的和是 1800，那么称这两个 角互为补角.
2021
13
火眼 金睛
1.请找出下列图中哪两个角互为余角？ 哪两个角互为补角？
2021
14
火眼 金睛
2.判断：下列说法正确的有 ② 。（填序号） ①若∠1+∠2+∠3=180º，则∠1、∠2、∠3互补 ②若∠A=40º26′，则∠A的余角=49º34′ ③一个角的补角必为钝角.
A
C
2
4
⌒
⌒
O
⌒
3
⌒
1
D
同角的补角相等
2021
A A
C
4
⌒
⌒2
O
⌒
3
⌒
D1
D
图B
16
问题引领，探究新知
问题：∠1与∠3互为补角， ∠2与∠4互为补角，若 ∠3=∠4，请问， ∠1∠2有怎样的大小关系？
∵∠1+ ∠3=180° ∠2+ ∠4=180 °
∴∠1=180 °— ∠3 ∠2=180°— ∠4
34
小组合作交流，解决下列问题：在图2中 A
问题1：哪些角互为余角？ 问题2：∠3与∠4有什么关系？为什么？
问题3：你能得到什么结论？
NB
图2
2021
19
如图2，ON与DC交于点O， D
O
C
∠DON=∠CON=900，∠1=∠2
12
小组合作交流，解决下列问题：在图2中
34
问题1：哪些角互为余角？
问题2：∠3与∠4有什么关系？为什么？ A N
如果两个角的和是 900，那么称这两个
角互为余角.
如果两个角的和是 1800，那么称这两个 角互为补角.
2021
13
火眼 金睛
1.请找出下列图中哪两个角互为余角？ 哪两个角互为补角？
2021
14
火眼 金睛
2.判断：下列说法正确的有 ② 。（填序号） ①若∠1+∠2+∠3=180º，则∠1、∠2、∠3互补 ②若∠A=40º26′，则∠A的余角=49º34′ ③一个角的补角必为钝角.
A
C
2
4
⌒
⌒
O
⌒
3
⌒
1
D
高中数学沪教版(上海)高二下册 1两条直线的位置关系精品课件
册第 十一章1 1.3两 条直线 的位置 关系课 件
布置作业： 阅读课本中本节内容，进行复习和反思 完成教材P70/1~4
高中数学沪教版（上海）高二下册第 十一章1 1.3两 条直线 的位置 关系课 件
Dx D Dy D
此时直线l1
,l2相交于一点，交点坐标是（
Dx D
，Dy ） D
(2)D 0，即a1b2＝a2b1时 :
1 Dx , Dy中至少有一个不为0，方程组（）无解
此时直线l1 ,l2没有公共点，即两直线平行
2 Dx ＝Dy＝0，方程组（）有无穷多解
此时直线l1 ,l2重合
高中数学沪教版（上海）高二下册第 十一章1 1.3两 条直线 的位置 关系课 件
点评：注意先化成直线的一般式方程
高中数学沪教版（上海）高二下册第 十一章1 1.3两 条直线 的位置 关系课 件
高中数学沪教版（上海）高二下册第 十一章1 1.3两 条直线 的位置 关系课 件
例2.已知两条直线
l1 : (t 1)x 2 y t 0,l2 : x ty t 4 0
当t为何值时，直线 l1 与 l2 （1）平行？（2）垂直？
解：对应方程组
kk21xx
y y
3k1 3k2
1 1
0 0
考虑方程组的系数行列式 D k2 k1 , Dx 3(k1 k2 ) , Dy k2 k1 6k1k2
1 当D 0,即k1 k2时，直线l1与l2相交 2 当D＝0,即k1＝k2时，Dx 6k1, Dy 6k12
所以, 当k1＝k2＝0时，直线l1与l2重合 当k1＝k2 0时，直线l1与l2相交
Dx
c1 c2
b1 , b2
Dy
a1 a2
布置作业： 阅读课本中本节内容，进行复习和反思 完成教材P70/1~4
高中数学沪教版（上海）高二下册第 十一章1 1.3两 条直线 的位置 关系课 件
Dx D Dy D
此时直线l1
,l2相交于一点，交点坐标是（
Dx D
，Dy ） D
(2)D 0，即a1b2＝a2b1时 :
1 Dx , Dy中至少有一个不为0，方程组（）无解
此时直线l1 ,l2没有公共点，即两直线平行
2 Dx ＝Dy＝0，方程组（）有无穷多解
此时直线l1 ,l2重合
高中数学沪教版（上海）高二下册第 十一章1 1.3两 条直线 的位置 关系课 件
点评：注意先化成直线的一般式方程
高中数学沪教版（上海）高二下册第 十一章1 1.3两 条直线 的位置 关系课 件
高中数学沪教版（上海）高二下册第 十一章1 1.3两 条直线 的位置 关系课 件
例2.已知两条直线
l1 : (t 1)x 2 y t 0,l2 : x ty t 4 0
当t为何值时，直线 l1 与 l2 （1）平行？（2）垂直？
解：对应方程组
kk21xx
y y
3k1 3k2
1 1
0 0
考虑方程组的系数行列式 D k2 k1 , Dx 3(k1 k2 ) , Dy k2 k1 6k1k2
1 当D 0,即k1 k2时，直线l1与l2相交 2 当D＝0,即k1＝k2时，Dx 6k1, Dy 6k12
所以, 当k1＝k2＝0时，直线l1与l2重合 当k1＝k2 0时，直线l1与l2相交
Dx
c1 c2
b1 , b2
Dy
a1 a2
沪教版上海数学高二下册-1两条直线的夹角ppt课件[1]
![沪教版上海数学高二下册-1两条直线的夹角ppt课件[1]](https://img.taocdn.com/s1/m/86888beff12d2af90342e65d.png)
1
1
1
1
a1,
b 1
不全为零
l : a x b y c 0 a b2, 2 不全为零
2
2
2
2
例 果1相、交判，断则两求条出直交线点的坐位标置I。m关Na系og，e 如
l1
:
3x
2
y
6
0,
l 2
:
9x
4
y
7
0
练一练:判断下列各组直线的位置关
系，如果相交，则求出交点坐标。
No
(1)
l 1
:
3x
例２、讨论下列各组直线间的位置关系
D a b a b 练一练:判断下列各组直线的位置关系，如果相交，则求出交点坐标。
(1)习题册 P6 11.
1 2 例1、判断两条直线的位置关系，如果相交，则求出交点坐标。
练一练:判断下列各组直线的位置关系，如果相交，则求出交点坐标。
21
例２、讨论下列各组直线间的位置关系
两条直线的位置关系
填表格 几何元素及关系
点A
直线l
代数表示
A(x0, y0)
l : ax by c 0 (a, b不全为0)
填表格 几何元素及关系
点A
直线l
点A在直线l上
代数表示
A(x0, y0)
l : ax by c 0 (a, b不全为0）
填表格 几何元素及关系
点A
直线l
点A在直线l上
代数表示
A(x0, y0)
l : ax by c 0(1) (a, b不全为0)
点A的坐标（x , y )是方程 00
（1）的解
填表格 几何元素及关系
点A
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3
x 3 y 1 0 或 x 2
沪教版（上海）数学高二下册-1 两条直线的位置关系 课件
沪教版（上海）数学高二下册-1 两条直线的位置关系 课件
例3 等腰三角形一腰所在直线 l1：x 2 y 2 0, 底边
所在直线 l2：x y 1 0，点 2, 0 在另一腰上, 求这
条腰所在直线 l3 的方程.
O
12
x
21
O
21
x
2 1
(1)
1 2
1 2
(2)
2 1
沪教版（上海）数学高二下册-1 两条直线的位置关系 课件
沪教版（上海）数学高二下册-1 两条直线的位置关系 课件
说明: 若两条直线中有一条直线的斜率不存在, 如图示,那么l1 与l2的夹角可直接求得. 例：直线 l1：x 2 l2：x 3 y 4 0, 则 l1 与l2 的 夹角是 _________ . y
P x0, y0
l2 : a2 x b2 y c2 0
O
x
(1) 两直线的交点
y
l1：l1 x, y 0
结论：
P x0 , y0 l1
l2
l1 l2
( (
x0 x0
, ,
y0 ) y0 )
0 0
P x0, y0 l2 : l2 x, y 0
O
x
结论：直线l1与 l2的交点个数与方程组（*）解的个 数相同，即直线l1与 l2的交点情况等价于方程 组（*）解的情况.
的必要条件.
若直线 l1：y k1 x b1 l2：y k2 x b2 1 当k1 k2 时 l1 与 l2 相交 2 当k1 k2 时 l1 与 l2 平行或重合 特别地 当k1 k2 1时 l1 l2
3. 两直线夹角
（1） 两直线所成角
1与2
两条直线l1和l2相交构成四个角, 它们是两对对顶角,
d1 n1
d2
n2
x
l2
结论： 若l1与l2的法向量分别为 n1 a1 , b1 n2 a2 , b2
l1与l2的夹角为，则cos
n1 n2 n1 n2
a1a2 b1b2
a12 b12 a22 b22
（4） 两直线夹角正切公式
若 l1与 l2的夹角为，斜率为k1 和k2
则l1与l2 的法向量分别为 n1 k1, 1 n2 k2, 1
d1 b1 , a1 d2 b2 , a2 O
l1
d1 n1
d2
n2
x
l2
若l1与l1的夹角为，而向量d1 与d2的夹角为
或
y
cos cos
cos cos d1 d2 d1 d2 d1 d2 d1 d2
a1a2 b1b2
O
a12 b12 a22 b22
l1
y
Dy D
即直线l1与
l2相交于一点，其交点坐标是
Dx D
，Dy D
特别地: 当 l1 l2 时 a1a2 b1b2 0 2 当 D 0, Dx 0或 Dy 0时
方程组（*）无解 即直线 l1// l2
3 当 D Dx Dy 0 时
方程组（*）有无穷多解 即直线l1与 l2重合 结论：D=0 即a1b2-a2b1=0 是直线l1与 l2平行或重合
设直角坐标系上两条直线的方程分别为： l1：a1 x b1 y c1 0 l2：a2 x b2 y c2 0
点P x0, y0 是直线l1 与l2 公共点
x0 , y0 是方程组
a1 a2
x x
b1 b2
y y
c1 c2
0 0
* 的解
y l1：a1 x b1 y c1 0
解：
1 k
1 1
k
1 1
2
1 1 1
2
y
l2
l3
O
l1
k2
x
l3 : 2x y 4 0
沪教版（上海）数学高二下册-1 两条直线的位置关系 课件
沪教版（上海）数学高二下册-1 两条直线的位置关系 课件
练习
1. 求经过两直线l1 : x 2 y 4 0 和 l2 : x y 2 0 的交点 P,且与直线l3 : 3x 4 y 5 0 垂直的直线l的 方程.
cos n1 n2
k1k2 1
n1 n2
k12 1 k22 1
tan k1 k2
1 k1k2
沪教版（上海）数学高二下册-1 两条直线的位置关系 课件
tan k2 k1
y l2
1 k1 k2
l1
l1
l2
y
l2
l1
tan k1 k2
1 k1 k2
l2 l1
21
两条直线的位置关系
1. 点与直线位置关系
点P x0, y0 在直线l：ax by c 0上
ax0 by0 c 0
反之，点P x0, y0 不在直线l：ax by c 0上
ax0 by0 c 0
存在点到直线的最短距离
2. 直线与直线位置关系
在同一平面上的直线之间，有相交、平行、重合三种 位置关系，那么这三种位置关系反映在直线方程关系上如 何呢？
(2)两直线的位置关系
设直角坐标系上两条直线的方程分别为：
l1：a1 x b1 y c1 0 l2：a2 x b2 y c2 0
D a1 b1 a2 b2
Dx
c1 c2
b1 b2
Dy
a1 a2
c1 c2
1 当 D 0 即a1b2 a2b1 0 时
方程组（*）有唯一解
x
Dx D
l1到 l2的角— 把直线l1按逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角
1
l1
2
l2
l2到l1的角
注意 : 在概念中l1, l2是有顺序的. l1到l2的角0,
（2） 两直线夹角 l1与 l2夹角— 两直线相交时其中所成的锐角（或直角） 规定： 如果两条直线平行或重合时，它们的夹角为0
l1与l2的夹角
0，2
当直线l1
l2时,
直线l1和l2的夹角是
2
1
l1
2
l2
（3） 两直线夹角公式
设两条直线l1与l2的方程分别为： l1：a1 x b1 y c1 0 l2：aLeabharlann x b2 y c2 0y
则 l1 和l2 的法向量分别为
n1 a1 , b1 n2 a2 , b2
而 l1 和l2 的方向向量分别为
l1
1
2
O
x
l2
沪教版（上海）数学高二下册-1 两条直线的位置关系 课件
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例1 求直线 l1 : y 2x 3与l2 : y 3x 4 的夹角.
4
例2 已知直线 l 经过点P 2, 3 ,且和直线 x 3 y 2 0
的夹角为 , 求直线l的方程.
x 3 y 1 0 或 x 2
沪教版（上海）数学高二下册-1 两条直线的位置关系 课件
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例3 等腰三角形一腰所在直线 l1：x 2 y 2 0, 底边
所在直线 l2：x y 1 0，点 2, 0 在另一腰上, 求这
条腰所在直线 l3 的方程.
O
12
x
21
O
21
x
2 1
(1)
1 2
1 2
(2)
2 1
沪教版（上海）数学高二下册-1 两条直线的位置关系 课件
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说明: 若两条直线中有一条直线的斜率不存在, 如图示,那么l1 与l2的夹角可直接求得. 例：直线 l1：x 2 l2：x 3 y 4 0, 则 l1 与l2 的 夹角是 _________ . y
P x0, y0
l2 : a2 x b2 y c2 0
O
x
(1) 两直线的交点
y
l1：l1 x, y 0
结论：
P x0 , y0 l1
l2
l1 l2
( (
x0 x0
, ,
y0 ) y0 )
0 0
P x0, y0 l2 : l2 x, y 0
O
x
结论：直线l1与 l2的交点个数与方程组（*）解的个 数相同，即直线l1与 l2的交点情况等价于方程 组（*）解的情况.
的必要条件.
若直线 l1：y k1 x b1 l2：y k2 x b2 1 当k1 k2 时 l1 与 l2 相交 2 当k1 k2 时 l1 与 l2 平行或重合 特别地 当k1 k2 1时 l1 l2
3. 两直线夹角
（1） 两直线所成角
1与2
两条直线l1和l2相交构成四个角, 它们是两对对顶角,
d1 n1
d2
n2
x
l2
结论： 若l1与l2的法向量分别为 n1 a1 , b1 n2 a2 , b2
l1与l2的夹角为，则cos
n1 n2 n1 n2
a1a2 b1b2
a12 b12 a22 b22
（4） 两直线夹角正切公式
若 l1与 l2的夹角为，斜率为k1 和k2
则l1与l2 的法向量分别为 n1 k1, 1 n2 k2, 1
d1 b1 , a1 d2 b2 , a2 O
l1
d1 n1
d2
n2
x
l2
若l1与l1的夹角为，而向量d1 与d2的夹角为
或
y
cos cos
cos cos d1 d2 d1 d2 d1 d2 d1 d2
a1a2 b1b2
O
a12 b12 a22 b22
l1
y
Dy D
即直线l1与
l2相交于一点，其交点坐标是
Dx D
，Dy D
特别地: 当 l1 l2 时 a1a2 b1b2 0 2 当 D 0, Dx 0或 Dy 0时
方程组（*）无解 即直线 l1// l2
3 当 D Dx Dy 0 时
方程组（*）有无穷多解 即直线l1与 l2重合 结论：D=0 即a1b2-a2b1=0 是直线l1与 l2平行或重合
设直角坐标系上两条直线的方程分别为： l1：a1 x b1 y c1 0 l2：a2 x b2 y c2 0
点P x0, y0 是直线l1 与l2 公共点
x0 , y0 是方程组
a1 a2
x x
b1 b2
y y
c1 c2
0 0
* 的解
y l1：a1 x b1 y c1 0
解：
1 k
1 1
k
1 1
2
1 1 1
2
y
l2
l3
O
l1
k2
x
l3 : 2x y 4 0
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练习
1. 求经过两直线l1 : x 2 y 4 0 和 l2 : x y 2 0 的交点 P,且与直线l3 : 3x 4 y 5 0 垂直的直线l的 方程.
cos n1 n2
k1k2 1
n1 n2
k12 1 k22 1
tan k1 k2
1 k1k2
沪教版（上海）数学高二下册-1 两条直线的位置关系 课件
tan k2 k1
y l2
1 k1 k2
l1
l1
l2
y
l2
l1
tan k1 k2
1 k1 k2
l2 l1
21
两条直线的位置关系
1. 点与直线位置关系
点P x0, y0 在直线l：ax by c 0上
ax0 by0 c 0
反之，点P x0, y0 不在直线l：ax by c 0上
ax0 by0 c 0
存在点到直线的最短距离
2. 直线与直线位置关系
在同一平面上的直线之间，有相交、平行、重合三种 位置关系，那么这三种位置关系反映在直线方程关系上如 何呢？
(2)两直线的位置关系
设直角坐标系上两条直线的方程分别为：
l1：a1 x b1 y c1 0 l2：a2 x b2 y c2 0
D a1 b1 a2 b2
Dx
c1 c2
b1 b2
Dy
a1 a2
c1 c2
1 当 D 0 即a1b2 a2b1 0 时
方程组（*）有唯一解
x
Dx D
l1到 l2的角— 把直线l1按逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角
1
l1
2
l2
l2到l1的角
注意 : 在概念中l1, l2是有顺序的. l1到l2的角0,
（2） 两直线夹角 l1与 l2夹角— 两直线相交时其中所成的锐角（或直角） 规定： 如果两条直线平行或重合时，它们的夹角为0
l1与l2的夹角
0，2
当直线l1
l2时,
直线l1和l2的夹角是
2
1
l1
2
l2
（3） 两直线夹角公式
设两条直线l1与l2的方程分别为： l1：a1 x b1 y c1 0 l2：aLeabharlann x b2 y c2 0y
则 l1 和l2 的法向量分别为
n1 a1 , b1 n2 a2 , b2
而 l1 和l2 的方向向量分别为
l1
1
2
O
x
l2
沪教版（上海）数学高二下册-1 两条直线的位置关系 课件
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例1 求直线 l1 : y 2x 3与l2 : y 3x 4 的夹角.
4
例2 已知直线 l 经过点P 2, 3 ,且和直线 x 3 y 2 0
的夹角为 , 求直线l的方程.