2018_2019学年高中数学第三章推理与证明1.1归纳推理学案北师大版选修1_2

3.1.1归纳推理学习目标：1.通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理这种基本的分析问题法，认识归纳推理的基本方法与步骤，并把它们用于对问题的发现与解决中去。

2.归纳推理是从特殊到一般的推理方法，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。

教学重点：了解合情推理的含义，能利用归纳法进行简单的推理。

教学难点：用归纳进行推理，做出猜想。

学习过程：一、课堂引入：从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理。

见书上的三个推理案例，回答几个推理各有什么特点？都是由“前提”和“结论”两部分组成，但是推理的结构形式上表现出不同的特点，据此可分为合情推理与演绎推理二、新课讲解：1、蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。

蛇，鳄鱼，海龟，蜥蜴都是爬行动物，所有的爬行动物都是用肺呼吸的。

2、三角形的内角和是180︒，凸四边形的内角和是360︒，凸五边形的内角和是540︒由此我们猜想：凸边形的内角和是(2)180n-⨯︒3、221222221,,,331332333+++<<<+++L，由此我们猜想：a a mb b m+<+（,,a b m均为正实数）这种由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概栝出一般结论的推理,称为归纳推理.(简称：归纳) 归纳推理的一般步骤：⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳整理；⑵ 提出带有规律性的结论，即猜想；⑶ 检验猜想。

三、例题讲解：例1 通过观察下列等式，猜想一个一般性结论，并证明结论的真假。

23130sin 75sin 15sin 222=++οοο；23145sin 85sin 25sin 222=++οοο； 23150sin 90sin 30sin 222=++οοο；23180sin 120sin 60sin 222=++οοο。

3.1归纳与类比归纳推理教材依据“归纳推理”是北京师范大学出版社出版地普通中学课程标准实验教科书数学（选修1—2）第三章第一节地内容•教学目标：1. 知识与技能目标：理解归纳推理地原理，并能运用解决一些简单地问题2. 过程与方法目标：通过自主、合作与探究实现“一切以学生为中心”地理念3. 情感、态度与价值观：感受数学地人文价值，提高学生地学习兴趣，使其体会到数学学习地美感.教学重点：归纳推理地原理教学难点：归纳推理地具体应用.教法学法：自主、合作探究教学教学准备：多媒体电脑、课件、空间多面体模型等教学过程：1. 创设情景：1 •情景㈠：苹果落地地故事，正是基于这个发现，牛顿大胆地猜想，然后小心求证，终于发现了伟大地“万有引力定理”思考：整个过程对你有什么启发？教师：“科学离不开生活，离不开观察，也离不开猜想和证明”.2 •情景㈡：陈景润和他在“歌德巴赫猜想”证明中地伟大成就：任何一个大于4地偶数都可以写成两个奇素数之和.如：6= 3+3, 8= 3+5, 10= 5+5, 12 = 5+7, 14= 7+7, 16 = 5+11,…，1000 = 29+ 971, 1002 = 139+ 863,……2. 探求研究：探究1.学生根据自备地多面体进行观察，统计多面体地面数、顶点数和棱数；（学生实验与教师课件演示结合）探究2•观察、猜想它们之间是否有稳定地数量关系？探究3•整理所得结论，并尝试证明；若得证，则改写成定理，否则修改猜想，进一步尝3E 棱柱=E 棱台3E 棱锥,F 棱柱=F 棱台=F 棱锥+ 1 , F+V-E=2等等，其中“ F+V-E=2'为“欧拉2公式”.3. 概念讲解结合情景问题和探究过程所得，教师引导学生完成归纳推理地概念及分析 定义：根据一类事物地部分事物具有某种属性 ，推断该类事物地每一个都具有这种属性 地推理，或者由个别事实概括出一般结论地推理，称为归纳推理（简称归纳）.说明：⑴归纳推理地作用：发现新事实，获得新结论；（2）归纳推理地一般步骤：试验、观察T 概括、推广T 猜测一般性结论T 证明；⑶归纳推理地结论不一定成立4. 例题解析至 n N * ,猜想这个数列地通项公式?In22 2 2,a 4 ,a 545 6时,往往统一分子（或分母）,再寻找另一部分地变化规律 •例2、（拓展）问：如果面积是一定地，什么样地平面图形周长最小？试猜测结论 教师：设定任务一：常见多边形面积一定时，计算其周长;任务二：归纳、猜想一般性结论 .试证明•@令0 O教师指导，合作交流，归纳：V棱柱V棱台=2V棱锥—2 ,例1: 在数列 a n 中， a 1 1,a n1解析: 先由学生计算：a 22 2®归纳：2 ( a n (n n 1*N )说明（学生完成）：⑴有整数和分数时,往往将整数化为分数；⑵当分子分母都在变化面积 一疋 时，---- > 圆地周长导电”，你能最小6.课时小结（师生共同） 1什么是归纳推理？ 2归纳推理地一般步骤：试验、观察T 概括、推广T 猜测一般性结论T 证明 布置作业: （补充）：已知a n 的前n 项和S n 与a n 满足：& 1 试归纳出其通项公式亦拓展延伸:1. 工匠鲁班类比带齿地草叶和蝗虫地牙齿，发明了锯；2. 科学家对火星进行研究，发现火星与地球有许多类似地特征：⑴火星也绕太阳运行，绕轴自转地行星；⑵有大气层,在一年中也有季节变更;⑶火星上大部分时间地温度适合地球上某些已知生物地生存等等；边形 3 46 8最小 周长4. 56 4 3. 72 3. 642 •观察下列式子，归纳结论:13 12 , 13 23 9 (1 2)2 ,13 233313 23 33 43 100 (12 34)2问:13 23 33 L n 33.右图中5个图形及相应点地个数地变化规律，试猜测第n 个图形中有 占； 八(1) (2) (3)4.已知数列 a n 中，a 1 1,且aa n（n N ），试归纳这个数列地通项公式 a n答案：1.金属导电;2 . 1323 33n 3 (1 2 3n)2 ；3. n 2 n 1； 4 • a n 1 (n nN ).纳出什么结论?科学家猜想；火星上也可能有生命存在•说明：以上两练习使用地是类比推理•目地是知识上承上启下，把本节知识延伸，既拓宽了学生视野，也为下一节“类比推理”地教学作了铺垫教后反思：⑴要实现数学新知识地建构学习，教师要创设适当地情境，情境应符合实际•包括生活场景地实际，数学教学内容地实际，学生知识状况地实际，学生思维发展地实际等等•⑵学生通过“经历”，“体会”，“感受”，最后形成概念地过程学习，充分体现了以学生为本地现代教育观；同时练习和作业地分层设计尽量满足多样化地学习需求做到因材施教，促进全体地参与.附：板书设计。

1．2 类比推理类比推理三角形有下面两个性质：(1)三角形的两边之和大于第三边； (2)三角形的面积等于高与底乘积的12.问题1：你能由三角形的这两个性质推测空间四面体的性质吗？试写出来． 提示：(1)四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积； (2)四面体的体积等于底面积与高乘积的13.问题2：由三角形的性质推测四面体的性质体现了什么？提示：由一类事物的特征推断另一类事物的类似特征，即由特殊到特殊．定义特征由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，把这种推理过程称为类比推理. 类比推理是两类事物特征之间的推理.合情推理合情推理的含义(1)合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式．(2)归纳推理和类比推理是最常见的合情推理．1．类比推理是从人们已经掌握了的事物特征，推测正在被研究中的事物的特征．所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠；2．类比推理以旧的知识作为基础，推测新的结果，具有发现功能．平面图形与空间几何体的类比[例1] (1)圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦； (2)与圆心距离相等的两弦长相等； (3)圆的周长C ＝πd (d 是直径)； (4)圆的面积S ＝πr 2.[思路点拨] 先找出相似的性质再类比，一般是点类比线、线类比面、面积类比体积． [精解详析] 圆与球有下列相似的性质：(1)圆是平面上到一定点的距离等于定长的所有点构成的集合；球面是空间中到一定点的距离等于定长的所有点构成的集合．(2)圆是平面内封闭的曲线所围成的对称图形；球是空间中封闭的曲面所围成的对称图形．通过与圆的有关性质类比，可以推测球的有关性质.圆球圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦 球心与截面(不经过球心的小圆面)圆心的连线垂直于截面与圆心距离相等的两条弦长相等与球心距离相等的两个截面的面积相等圆的周长C ＝πd 球的表面积S ＝πd 2圆的面积S ＝πr 2球的体积V ＝43πr 3[一点通] 解决此类问题，从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手，将平面几何的相关结论类比到立体几何中，相关类比点如下：平面图形 立体图形 点 点、线 直线 直线、平面 边长 棱长、面积面积 体积 三角形 四面体 线线角 面面角 平行四边形平行六面体圆球1．下面类比结论错误的是( )A ．由“若△ABC 一边长为a ，此边上的高为h ，则此三角形的面积S ＝12ah ”类比得出“若一个扇形的弧长为l ，半径为R ，则此扇形的面积S ＝12lR ”B ．由“平行于同一条直线的两条直线平行”类比得出“平行于同一个平面的两个平面平行”C ．由“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行”类比得出“在空间中，垂直于同一个平面的两个平面平行”D ．由“三角形的两边之和大于第三边”类比得出“凸四边形的三边之和大于第四边” 解析：选C 只有C 中结论错误，因为两个平面还有可能相交．2.如图所示，在△ABC 中，射影定理可表示为a ＝b ·cos C ＋c ·cos B ，其中a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．解：如图所示，在四面体P ­ABC 中，S 1，S 2，S 3，S 分别表示△PAB ，△PBC ，△PCA ，△ABC 的面积，α，β，γ依次表示平面PAB ，平面PBC ，平面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小．我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S ＝S 1·cos α＋S 2·cos β＋S 3·cos γ.定义、定理与性质的类比[例2][精解详析] ①两实数相加后，结果是一个实数，两向量相加后，结果仍是向量； ②从运算律的角度考虑，它们都满足交换律和结合律， 即：a ＋b ＝b ＋a ，a ＋b ＝b ＋a ，(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )，(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )； ③从逆运算的角度考虑，二者都有逆运算，即减法运算， 即a ＋x ＝0与a ＋x ＝0都有唯一解，x ＝－a 与x ＝－a ；④在实数加法中，任意实数与0相加都不改变大小，即a ＋0＝a .在向量加法中，任意向量与零向量相加，既不改变该向量的大小，也不改变该向量的方向，即a ＋0＝a .[一点通] 运用类比推理常常先要寻找合适的类比对象，本例中实数加法的对象为实数，向量加法的对象为向量，且都满足交换律与结合律，都存在逆运算，而且实数0与零向量0分别在实数加法和向量加法中占有特殊的地位．因此我们可以从这四个方面进行类比．3．试根据等式的性质猜想不等式的性质并填写下表.等式不等式a ＝b ⇒a ＋c ＝b＋c① a ＝b ⇒ac ＝bc ② a ＝b ⇒a 2＝b 2③答案：①a >b ⇒a ＋c >③a >b >0⇒a 2>b 2(说明：“>”也可改为“<”)4．已知等差数列{a n }的公差为d ，a m ，a n 是{a n }的任意两项(n ≠m )，则d ＝a n －a mn －m，类比上述性质，已知等比数列{b n }的公比为q ，b n ，b m 是{b n }的任意两项(n ≠m )，则q ＝________.解析：∵a n ＝a m qn －m，∴q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a n a m 1n －m.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫a n a m 1n －m1．类比推理先要寻找合适的类比对象，如果类比的两类对象的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的结论就越可靠．2．归纳推理与类比推理都是合情推理．归纳推理是从特殊过渡到一般的思想方法，类比推理是由此及彼和由彼及此的联想方法，归纳和类比离不开观察、分析、对比、联想，许多数学知识都是通过归纳与类比发现的．1．下列哪个平面图形与空间图形中的平行六面体作为类比对象较合适( ) A ．三角形 B ．梯形 C ．平行四边形D ．矩形解析：选C 从构成几何图形的几何元素的数目、位置关系、度量等方面考虑，用平行四边形作为平行六面体的类比对象较为合适．2．设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c；类比这个结论可知：四面体P ­ABC 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球的半径为r ，四面体P ­ABC 的体积为V ，则r ＝( )A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4B.2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4C.3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4 D.4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4解析：选C 设内切球的球心为O ，所以可将四面体P ­ABC 分为四个小的三棱锥，即O ­ABC ，O ­PAB ，O ­PAC ，O ­PBC ，而四个小三棱锥的底面积分别是四面体P ­ABC 的四个面的面积，高是内切球的半径，所以V ＝13S 1r ＋13S 2r ＋13S 3r ＋13S 4r ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r ，∴r ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4.3．已知{b n }为等比数列，b 5＝2，则b 1b 2b 3…b 9＝29.若{a n }为等差数列，a 5＝2，则{a n }的类似结论为( )A ．a 1a 2a 3…a 9＝29B ．a 1＋a 2＋…＋a 9＝29C ．a 1a 2…a 9＝2×9D ．a 1＋a 2＋…＋a 9＝2×9解析：选D 类比等比数列{b n }中b 1b 2b 3…b 9＝b 95，可得在等差数列{a n }中a 1＋a 2＋…＋a 9＝9a 5＝9×2.4．类比三角形中的性质： ①两边之和大于第三边； ②中位线长等于底边长的一半； ③三内角平分线交于一点． 可得四面体的对应性质：①任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；②过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于该顶点所对的面面积的14；③四面体的六个二面角的平分面交于一点． 其中类比推理方法正确的有( ) A ．① B ．①② C ．①②③D ．都不对解析：选C 以上类比推理方法都正确，需注意的是类比推理得到的结论是否正确与类比推理方法是否正确并不等价，方法正确结论也不一定正确．5．在△ABC 中，D 为BC 的中点，则AD ―→＝12()AB ―→＋AC ―→ ，将命题类比到四面体中去，得到一个命题为：______________________________________.．解析：平面中线段的中点类比到空间为四面体中面的重心，顶点与中点的连线类比顶点和重心的连线．答案：在四面体A ­BCD 中，G 是△BCD 的重心，则AG ―→＝13()AB ―→＋AC ―→＋AD ―→ 6．运用下面的原理解决一些相关图形的面积问题：如果与一条固定直线平行的直线被甲、乙两个封闭的图形所截得的线段的比都为k ，那么甲的面积是乙的面积的k 倍．你可以从给出的简单图形①②中体会这个原理．现在图③中的两个曲线方程分别是x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b＞0)与x 2＋y 2＝a 2，运用上面的原理，图③中椭圆的面积为__________．解析：由于椭圆与圆截y 轴所得线段之比为b a， 即k ＝b a，所以椭圆面积S ＝πa 2·b a＝πab . 答案：πab7．在Rt △ABC 中，若∠C ＝90°，则cos 2A ＋cos 2B ＝1，在空间中，给出四面体性质的猜想．解：如图，在Rt △ABC 中，cos 2A ＋cos 2B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＝a 2＋b2c 2＝1.于是把结论类比到四面体P ­A ′B ′C ′中，我们猜想，三棱锥P ­A ′B ′C ′中，若三个侧面PA ′B ′，PB ′C ′，PC ′A ′两两互相垂直，且分别与底面所成的角为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.8．在公比为4的等比数列{b n }中，若T n 是数列{b n }的前n 项积，则T 20T 10，T 30T 20，T 40T 30也成等比数列，且公比为4100；类比上述结论，相应地在公差为3的等差数列{a n }中，若S n 是{a n }的前n 项和．(1)写出相应的结论，判断该结论是否正确，并加以证明； (2)写出该结论一个更为一般的情形(不必证明)．解：(1)在公差为3的等差数列{a n }中，若S n 是{a n }的前n 项和，则数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也是等差数列，且公差为300.该结论是正确的．证明如下：∵等差数列{a n }的公差d ＝3， ∴(S 30－S 20)－(S 20－S 10)＝(a 21＋a 22＋…＋a 30)－(a 11＋a 12＋…＋a 20) ＝10d ＋10d ＋…＋10d ＝100d ＝300，10个同理可得：(S 40－S 30)－(S 30－S 20)＝300，所以数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30是等差数列，且公差为300. (2)在公差为d 的等差数列{a n }中， 若S n 是{a n }的前n 项和， 则对于任意k ∈N ＋， 数列S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，S 4k －S 3k 也成等差数列，且公差为k 2d .9．先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：已知a 1，a 2∈R ，a 1＋a 2＝1，求证a 21＋a 22≥12.证明：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2， 则f (x )＝2x 2－2(a 1＋a 2)x ＋a 21＋a 22＝2x 2－2x ＋a 21＋a 22. 因为对一切x ∈R ，恒有f (x )≥0，所以Δ＝4－8(a 21＋a 22)≤0，所以a 21＋a 22≥12.(1)若a 1，a 2，…，a n ∈R ，a 1＋a 2＋…＋a n ＝1，请写出上述结论的推广式； (2)类比上述证法，对你推广的结论加以证明． 解：(1)若a 1，a 2，…，a n ∈R ，a 1＋a 2＋…＋a n ＝1， 求证：a 21＋a 22＋…＋a 2n ≥1n.(2)证明：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＋…＋(x －a n )2，则f (x )＝nx 2－2(a 1＋a 2＋…＋a n )x ＋a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝nx 2－2x ＋a 21＋a 22＋…＋a 2n . 因为对一切x ∈R ，恒有f (x )≥0， 所以Δ＝4－4n (a 21＋a 22＋…＋a 2n )≤0.。

1.2 类比推理一、教学目标1.知识与技能：（1）结合已学过的数学实例，了解类比推理的含义；（2）能利用类比进行简单的推理；（3）体会并认识类比推理在数学发现和生活中的作用。

2.方法与过程：递进的了解、体会类比推理的思维过程；体验类比法在探究活动中：类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。

3.情感态度与价值观：体会类比法在数学发现中的基本作用：即通过类比，发现新问题、新结论；通过类比，发现解决问题的新方法。

培养分析问题的能力、学会解决问题的方法；增强探索问题的信心、收获论证成功的喜悦；体验数学发现的乐趣、领略数学方法的魅力！同时培养学生学数学、用数学，完善数学的正确数学意识。

二、教学重点：了解类比推理的含义，能利用类比进行简单的推理。

教学难点：培养学生“发现—猜想—证明”的推理能力。

三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）复习：归纳推理的概念：根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都具有这种属性。

我们将这种推理方式称为归纳推理。

注意：利用归纳推理得出的结论不一定是正确的。

1.归纳推理的要点：由部分到整体、由个别到一般；2.典型例子方法归纳。

（二）引入新课：据科学史上的记载，光波概念的提出者，荷兰物理学家、数学家赫尔斯坦•惠更斯曾将光和声这两类现象进行比较，发现它们具有一系列相同的性质：如直线传播、有反射和干扰等。

又已知声是由一种周期运动所引起的、呈波动的状态，由此，惠更斯作出推理，光也可能有呈波动状态的属性，从而提出了光波这一科学概念。

惠更斯在这里运用的推理就是类比推理。

（三）例题探析例1：已知：“正三角形内一点到三边的距离之和是一个定值”，将空间与平面进行类比，空间中什么样的图形可以对应三角形？在对应图形中有与上述定理相应的结论吗？解：将空间与平面类比，正三角形对应正四面体，三角形的边对应四面体的面。

得到猜测：正四面体内一点到四个面距离之和是一个定值。

第三章章末小结 问题1:推理一般包括　合情推理　和　演绎推理　,它们都是日常学习和生活中经常应用的思维方法,合情推理包括　归纳推理　和　类比推理　,具有猜测和发现新结论、探索和提供解决问题的思路和方向的作用;演绎推理则具有证明结论,整理和构建知识体系的作用,是公理体系中的基本推理方法.问题2:　三段论　是演绎推理的主要形式,三段论的公式包括三个判断:第一个判断是　大前提　,它提供了一个一般性的原理;第二个判断是　小前提　,它指出了一种特殊情况,这两个判断联合起来,提示了一般原理和特殊情况的内在联系,从而产生了第三个判断——　结论　.问题3:　分析法　和　综合法　是直接证明中最基本的两种证明方法,也是解决数学问题时常用的思维方式;　反证法　是间接证明的一种基本方法,也是解决某些“疑难”问题的有力工具.问题4:解答证明题时,要注意是采用直接证明还是间接证明.直接证明时,　综合法　和　分析法　往往可以结合起来使用.综合法的使用是“　由因索果　”,分析法证明问题是“　执果索因　”,它们是两种思路截然相反的证明方法,分析法便于寻找解题思路,而综合法便于叙述,因此往往联合使用.分析法要注意叙述的形式:要证A,只要证明B,B应是A成立的充分条件.题型1:与数列结合的推理问题在数列{a n}中,a1=1,a n+1=,n∈N+,猜想这个数列的通项公式是什么?这个猜想正确吗?说明理由.【方法指导】先写出数列的前几项,寻找项与项数之间的关系,再作出猜想,最后证明.【解析】在数列{a n}中,a1=1,a2==,a3===,a4==,…,所以猜想{a n}的通项公式a n=.这个猜想是正确的.证明如下:因为a1=1,a n+1=,所以==+,即-=,所以数列{}是以=1为首项,为公差的等差数列,所以=1+(n-1)=n+,所以数列{a n}的通项公式a n=.【小结】归纳推理的常见形式:一是“具有共同特征型”,二是“递推型”,三是“循环型”(周期性),本题是根据数列的前几项,猜测数列的通项公式,属于第一类型;这种猜测不一定正确,需进一步证明.题型2:与立体几何结合的推理问题在△ABC中,若∠C=90°,AC=b,BC=a,则△ABC的外接圆半径r=,把上面的结论推广到空间,写出相类似的结论.【方法指导】得出类比结论四面体与三角形对应立体几何中的平面与平面几何中的直线对应寻找类比对象【解析】取空间中有三条侧棱两两垂直的四面体A-BCD,且AB=a,AC=b,AD=c,可以将四面体补成一个长方体,则对角线长即为外接球的直径,即2R=,即R=,则此三棱锥的外接球的半径R=.【小结】此题考查的是平面到空间的类比推广.解答这类题目不能只满足结论形式上的相似,还必须是真命题,结论的推导还是要从平面结论下手,一般在推导空间的结论时要用到平面的结论,或利用类似平面结论推导的方法,如等面积类比等体积,直线类比平面,等等.题型3:与三角结合的证明问题证明:=-.【方法指导】要证明=成立,可证AD=BC,因此在证明本题时,可以先将右侧进行通分,然后证明其对应的“AD=BC”成立.【解析】(法一)分析法要证原式成立,即证=成立;(1)当cos α=sin α时,上式显然成立,故原式成立;(2)当cos α≠sinα时,即证2(1+sin α)(1+cos α)=(1+sin α+cos α)2,即证2+2sin α+2cos α+2sin αcos α=1+sin2α+cos2α+2sin α+2cos α+2sin αcos α,即证1=sin2α+cos2α成立,显然成立,故原式成立.(法二)综合法∵1=sin2α+cos2α,∴2+2sin α+2cos α+2sin αcos α=1+sin2α+cos2α+2sin α+2cos α+2sin αcos α,∴2(1+sin α)(1+cos α)=(1+sin α+cos α)2,∴=,故原式成立.【小结】方法一用了分析法,思路清晰、简洁;方法二利用的是综合法,它建立在方法一的基础上,描述简洁.题型4:用反证法证明问题用反证法证明:若函数f(x)在区间[a,b]上是增函数,那么方程f(x)=0在区间[a,b]上至多只有一个实数根.【方法指导】得出正确结论化简推出矛盾假设结论不成立用反证法证明【解析】假设方程f(x)=0在区间[a,b]上至少有两个根,设α,β为其中的两个实根,因为α≠β,不妨设α>β,又因为函数f(x)在区间[a,b]上是增函数,所以f(α)>f(β).这与假设f(α)=f(β)=0矛盾,所以方程f(x)=0在区间[a,b]上至多只有一个实数根.【小结】(1)当遇到否定性、唯一性、无限性、至多、至少等类型问题时,常用反证法.(2)用反证法证明的步骤:①否定结论⇒A⇒B⇒C.②而C不合理③因此结论成立.1.(2012年·全国卷)正方形ABCD的边长为1,点E在边AB上,点F在边BC上,AE=BF=.动点P 从E出发沿直线向F运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,当点P第一次碰到E时,P与正方形的边碰撞的次数为( ).A.8B.6C.4D.3【解析】结合已知中的点E,F的位置,进行推理可知在反射的过程中,直线是平行的,那么利用平行关系,作图(如下),可以得到回到E点时,需要碰撞6次即可.【答案】B2.(2013年·湖北卷)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数,如三角形数1,3,6,10,…第n个三角形数为=n2+n.记第n个k边形数为N(n,k)(k≥3),以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式:三角形数 N(n,3)=n2+n,正方形数 N(n,4)=n2,五边形数 N(n,5)=n2-n,六边形数 N(n,6)=2n2-n,……可以推测N(n,k)的表达式,由此计算N(10,24)= .【解析】首先将三、四、五、六边形数中第n个数的表达式分别通分,化成分母统一为2的形式如下:三角形数:N(n,3)=n2+n==,正方形数:N(n,4)=n2=,五边形数:N(n,5)=-n=,六边形数:N(n,6)=2n2-n=,……根据以上规律总结,推测:N(n,k)=.故N(10,24)==1000.【答案】1000一、选择题1.下面几种推理是合情推理的是( ).①由正三角形的性质类比出正三棱锥的有关性质;②由正方形、矩形的内角和是360°,归纳出所有四边形的内角和都是360°;③三角形内角和是180°,四边形内角和是360°,五边形内角和是540°,由此得出凸n边形内角和是(n-2)·180°;④小李某次数学模块考试成绩是90分,由此推出小李的全班同学这次数学模块考试的成绩都是90分.A.①②B.①②③C.①②④D.②③④【解析】本题主要考查对合情推理(归纳推、类比推理)的判断.①是类比推理,②③是归纳推理,故选B.【答案】B2.下图是今年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形,照引规律闪烁,下一个呈现出来的图形是( ).【解析】本题考查学生对图形变化规律的归纳,由图可知该五角星对角上亮的两盏花灯依次按逆时针方向亮一盏,故下一个呈现出来的图形是A中所示的图形,故选A.【答案】A3.在证明命题“对于任意角θ,cos4θ-sin4θ=cos 2θ”的过程:“cos4θ-sin4θ=(cos2θ+sin2θ)(cos2θ-sin2θ) =cos2θ-sin2θ=cos 2θ”中应用了( ).A.分析法B.综合法C.分析法和综合法D.间接证法【答案】B4.已知a,b,c∈R,a+b+c=0,abc>0,T=++,则( ).A.T>0B.T<0C.T=0D.无法判断T的正负【解析】∵a+b+c=0,∴(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=0,即2ab+2bc+2ac=-(a2+b2+c2)<0,∵abc>0,∴上述不等式两边同乘以,得T=++=-<0,故选B.【答案】B5.《论语·学路》篇中说:“名不正,则言不顺;言不顺,则事不成;事不成,则礼乐不兴;礼乐不兴,则刑罚不中;刑罚不中,则民无所措手足.”所以,名不正,则民无所措手足.上述推理用的是( ).A.类比推理B.归纳推理C.演绎推理D.一次三段论【解析】本题考查应用三段论解决问题.对于复杂的论证,总是采用一连串的三段论,把前一个三段论的结论作为下一个三段论的前提.本题是一个复合三段论,从“名不正”推出“民无所措手足”,连续运用五次三段论,属演绎推理形式,故选C.【答案】C6.若f(n)=1+++…+(n∈N+),则当n=2时,f(n)=( ).A.1+B.C.1++++D.以上答案均不对【解析】当n=2时,2n+1=5,所以加到.【答案】C　7.某纺织厂的一个车间有技术工人m(m∈N+)名,编号分别为1、2、3、…、m,有n(n∈N+)台织布机,编号分别为1、2、3、…、n,定义记号a ij:若第i名工人操作了第j号织布机,规定a ij=1,否则a ij=0.则等式a41+a42+a43+…+a4n=3的实际意义是( ).A.第4名工人操作了3台织布机B.第4名工人操作了n台织布机C.第3名工人操作了4台织布机D.第3名工人操作了n台织布机【解析】本题考查学生阅读理解,归纳推理的能力.根据即时定义,a41+a42+a43+…+a4n=3中的第一下标4表示第4名工人进行操作,第二下标1、2、…、n表示第1号织布机、第2号织布机、…、第n号织布机,根据规定可知这名工人操作了3台织布机,故选A.【答案】A8.若函数y=f(x)的定义域为D,若对任意的x1,x2∈D都有|f(x1)-f(x2)|<1,则称函数y=f(x)为“Storm”函数.那么下列函数是“Storm”函数的是( ).A.f(x)=x2(x∈[-1,2])B.f(x)=x3(x∈[0,1])C.f(x)=-2x+1(x∈[-1,0])D.f(x)=(x∈[1,3])【解析】根据定义知|f(x1)-f(x2)|小于等于函数f(x)的最大值与最小值之差的绝对值,故若判断一个函数是否是“Storm”函数,只需看这个函数的最值之差的绝对值是否小于1即可.在D选项中,因为f(x)=在x∈[1,3]上是减函数,所以m=f(3)=,M=f(1)=1,所以|M-m|=|1-|=<1,所以该函数是“Storm”函数.【答案】D9.一个正方形被分成九个相等的小正方形,将中间的一个正方形挖去,如图(1);再将剩余的每个正方形都分成九个相等的小正方形,并将中间的一个挖去,如图(2);如此继续下去,则截止到第n个图共挖去小正方形( ).A.(8n-1)个B.(8n+1)个C.(8n-1)个D.(8n+1)个【解析】本题主要考查通过观察进行归纳,并猜想出结论的过程.第1个图挖去1个,截止到第2个图共挖去(1+8)个,截止到第3个图共挖去(1+8+82)个,…,截止到第n个图共挖去1+8+82+…+8n-1=个,故选C.【答案】C10.把数列{2n+1}依次按第一个括号中有一个数,第二个括号中有两个数,第三个括号中有三个数,第四个括号中有四个数,第五个括号中有一个数,…,循环分为(3),(5,7),(9,11,13),(15,17,19,21),(23),(25,27),(29,31,33),(35,37,39,41),(43),…则第104个括号内各数之和为( ).A.2036B.2048C.2060D.2072【解析】从第1个括号到第104个括号,总共有26个循环,每个循环共有1+2+3+4=10个数字,∴从第一个括号到第104个括号共有260个数字,第104个括号内各数之和为(2×257+1)+(2×258+1)+(2×259+1)+(2×260+1)=2072.【答案】D二、填空题11.一切奇数都不能被2整除,2100+1是奇数,所以2100+1不能被2整除,其演绎推理的“三段论”的大前提为 .【解析】由演绎推理三段论可得.【答案】一切奇数都不能被2整除12.类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质,可推出空间中下列结论:①垂直于同一条直线的两条直线互相平行,②垂直于同一个平面的两个平面互相平行,③垂直于同一条直线的两个平面互相平行,④垂直于同一个平面的两条直线互相平行.其中正确的结论的序号是 .【解析】本题主要考查用类比推理判断空间中直线与平面的位置关系.因为垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交、异面,故①不正确,应排除A、D;因为垂直于同一个平面的两个平面可能平行或相交,故②不正确,应排除B,易知③④均正确.【答案】③④13.已知f(n)=1+++…+(n∈N+),计算得f(2)=,f(4)>2,f(8)>,f(16)>3,f(32)>,由此推测:当n≥2时,有 .【答案】f(2n)>14.若<<0,则下列四个结论:①|a|>|b|,②a+b<ab,③+>2,④<2a-b.其中正确的是 .【解析】∵<<0,∴b<a<0,∴-b>-a>0,∴|b|>|a|,故①错误.∵b<a<0,显然②正确.又∵>0,>0,且≠,∴③正确.又∵-(2a-b)=-2a+b==<0,∴<2a-b,∴④正确.【答案】②③④15.设O是△ABC内一点,△ABC三边上的高分别为h A,h B,h C,O到三边的距离依次为l a,l b,l c,则++=1,类比到空间,O是四面体ABCD内一点,四顶点到对面的距离分别为h A,h B,h C,h D,O到这四个面的距离依次为l a,l b,l c,l d,则有 .【答案】+++=1三、解答题16.有10只猴子共分了56个香蕉,每只猴子至少分到1个香蕉,最多分到10个香蕉,试证:至少有两只猴子分到同样多的香蕉.【解析】假设10只猴子分到的香蕉都不一样多,∵每只猴子最少分到一个香蕉,至多分到10个香蕉,∴只能是分别分到1,2,3,…,10个香蕉.共分了1+2+3+…+10=55(个),这与共分了56个香蕉相矛盾,故至少有两只猴子分得同样多的香蕉.17.已知函数f(x)=a x+(a>1).(1)求证:函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数;(2)用反证法证明:方程f(x)=0没有负数根.【解析】(1)任取-1<x1<x2,则f(x1)-f(x2)=+-(+)=(-1)+=(-1)+,∵-1<x1<x2,∴x1-x2<0.又a>1,∴<1,且>0,x1+1>0,x2+1>0,∴(-1)+<0,即f(x1)<f(x2),∴函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.(2)设存在x0<0(x0≠-1)满足f(x0)=0,则=-,且0<<1,∴0<<1,解得<x0<2.与假设x0<0矛盾,故方程f(x)=0没有负数根.18.已知a,b,c是全不相等的正实数,求证:++>3.【解析】∵a,b,c全不相等,∴与,与,与全不相等,∴+>2,+>2,+>2.三式相加得+++++>6,∴(+-1)+(+-1)+(+-1)>3,即++>3.19.如图,已知PA⊥矩形ABCD所在平面,M,N分别是AB,PC的中点.求证:(1)MN∥平面PAD,(2)MN⊥CD.【解析】(1)取PD的中点E,连接AE,NE.∵N,E分别为PC,PD的中点,∴EN为△PCD的中位线,∴EN￿CD,AM=AB,又四边形ABCD为矩形,∴CD∥AB,且CD=AB.∴EN∥AM,且EN=AM.∴四边形AENM为平行四边形,∴MN∥AE,又MN⊄平面PAD,AE⊂平面PAD,∴MN∥平面PAD.(2)PA⊥矩形ABCD所在平面,∴CD⊥PA,又CD⊥AD,PA∩AD=A,∴CD⊥平面PAD,又AE⊂平面PAD,∴AE⊥CD.又∵MN∥AE,∴MN⊥CD.20.已知:sin230°+sin290°+sin2150°=,sin25°+sin265°+sin2125°=.通过观察上述两等式的规律,请你写出一般性的命题: =(*)并给出(*)式的证明.【解析】一般性命题:sin2α+sin2(α+60°)+sin2(α+120°)=.下面证明此命题:左边=++=-[cos 2α+cos(2α+120°)+cos(2α+240°)]=-(cos 2α+cos 2αcos 120°-sin 2αsin 120°+cos 2α·cos 240°-sin 2αsin 240°)=-(cos 2α-cos 2α-sin 2α-cos 2α+sin 2α)==右边.即命题得证.21.在数列{a n}中,a1=1,a2=1,a n+1=λa n+a n-1.(1)若λ=-,b n=a n+1-αa n,数列{b n}是公比为β的等比数列,求α和β的值.(2)若λ=1,基于事实:如果d是a和b的公约数,那么d一定是a-b的约数.研讨是否存在正整数k和n,使得ka n+2+a n与ka n+3+a n+1有大于1的公约数.如果存在,求出k和n;如果不存在,请说明理由.【解析】(1)∵{b n}是公比的β的等比数列,∴b n=βb n-1,∴a n+1-αa n=β(a n-αa n-1),即a n+1=(α+β)a n-αβa n-1.又a n+1=-a n+a n-1,∴23∴α、β是方程x2+x-1=0的两根.∴或(2)假设存在正整数k,n,使得ka n+2+a n与ka n+3+a n+1有大于1的公约数d,则d也是(ka n+3+a n+1)-(ka n+2+a n),即k(a n+3-a n+2)+(a n+1-a n)的约数.依题设a n+3-a n+2=a n+1,a n+1-a n=a n-1,∴d是ka n+1+a n-1的约数,从而d是ka n+2+a n与ka n+1+a n-1的公约数.同理可得d是ka n+a n-2的约数,依此类推,d是ka4+a2与ka3+a1的约数.∵a1=1,a2=1,∴a3=2,a4=3.于是ka4+a2=3k+1,ka3+a1=2k+1.又∵(3k+1)-(2k+1)=k,∴d是k和2k+1的约数,∴d是(2k+1)-k,即(k+1)的约数.从而d是(k+1)-k即1的约数,这与d>1矛盾.故不存在k,n,使ka n+2+a n与ka n+3+a n+1有大于1的公约数.。

3.1.1归纳推理学习目标：1.通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理这种基本的分析问题法，认识归纳推理的基本方法与步骤，并把它们用于对问题的发现与解决中去。

2.归纳推理是从特殊到一般的推理方法，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。

教学重点：了解合情推理的含义，能利用归纳法进行简单的推理。

教学难点：用归纳进行推理，做出猜想。

学习过程：一、课堂引入：从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理。

见书上的三个推理案例，回答几个推理各有什么特点？都是由“前提”和“结论”两部分组成，但是推理的结构形式上表现出不同的特点，据此可分为合情推理与演绎推理二、新课讲解：1、蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。

蛇，鳄鱼，海龟，蜥蜴都是爬行动物，所有的爬行动物都是用肺呼吸的。

2、三角形的内角和是180︒，凸四边形的内角和是360︒，凸五边形的内角和是540︒由此我们猜想：凸边形的内角和是(2)180n-⨯︒3、221222221,,,331332333+++<<<+++，由此我们猜想：a a mb b m+<+（,,a b m均为正实数）这种由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概栝出一般结论的推理,称为归纳推理.(简称：归纳) 归纳推理的一般步骤：⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳整理；⑵ 提出带有规律性的结论，即猜想；⑶ 检验猜想。

三、例题讲解：例1 通过观察下列等式，猜想一个一般性结论，并证明结论的真假。

23130sin 75sin 15sin 222=++ ；23145sin 85sin 25sin 222=++ ； 23150sin 90sin 30sin 222=++ ；23180sin 120sin 60sin 222=++ 。

学习资料§1归纳与类比1．1归纳推理授课提示:对应学生用书第16页［自主梳理］一、推理推理一般包括______推理和________推理．二、归纳推理的定义根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中________都有这种属性．我们将这种推理方式称为归纳推理．三、归纳推理的特征归纳推理是由部分到________，由个别到________的推理．[双基自测]1．数列1，5,10,16,23,31，x，50,…中的x等于（）A．38B．39C．40D．412．如图所示，探索以下规律：根据规律，从2 015到2 017,箭头的方向依次为(）A．↓→B．→↑C．↑→D．→↓3．1＋3＝4＝22,1＋3＋5＝9＝32,1＋3＋5＋7＝16＝42,1＋3＋5＋7＋9＝25＝52，…。

由上述具体事实可得结论:________________。

[自主梳理]一、合情演绎二、每一个事物三、整体一般［双基自测]1．C前6项从第2项起每一项与前一项的差分别为4,5,6,7,8，由此可得x＝31＋9＝40。

2．D观察规律可得周期T＝4，因此2 015到2 017的箭头与3到5的一致，故选D.3．1＋3＋…＋（2n＋1）＝(n＋1）2(n∈N＋)．利用归纳推理,第n个等式的左边应为1＋3＋…＋（2n＋1)，右边应为（n＋1)2。

授课提示：对应学生用书第16页探究一数式中的归纳推理［例1］(1）观察下列各式：a＋b＝1,a2＋b2＝3,a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11,…，则a10＋b10＝(）A．28B．76C．123D．199（2)已知函数y＝f（x)，对任意的两个实数x1，x2都有f（x1＋x2）＝f（x1)·f(x2）成立,且f(0)≠0，则f（－2 012)·f（－2 011）·…·f(2 011)·f(2 012）的值是（）A．0 B．1C．2 011×2 012 D．2 0122[解析］（1）观察各等式的右边，它们分别为1，3,4，7，11，…,发现从第3项开始，每一项就是它的前两项之和，故等式的右边依次为1，3,4，7,11，18，29，47，76，123，…，故a10＋b10＝123.（2)当x1＝x2＝0时，f(0）＝f(0)·f(0），又因为f（0）≠0，所以f(0)＝1，于是有f（－x＋x)＝f(－x)·f（x）＝f（0）＝1.所以f（－2 012)·f(2 012)＝1，f（－2 011）·f（2 011）＝1，…，f（－1）·f(1)＝1，f(0）＝1，把上面式子等号两边分别相乘，即可得f(－2 012）·f（－2 011)·…·f(2 011）·f(2 012)＝f(－2 012＋2 012）·…·f(－2 011＋2 011)·…·f(－1＋1）·f(0)＝1.[答案］（1)C(2)B利用归纳推理解决问题的注意事项:归纳推理是一种思维工具，解决这类问题要熟悉有关的知识，要正确运用从特殊到一般的数学思想，常常借助前n项的共性来推出一般性的命题．本题(2)在求解时，运用了从特殊到一般的方法,先找特殊情况f(0)＝1，再归纳出一般结论f（－x）·f(x)＝1.1．观察下列等式：13＋23＝32，13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为________．解析：由前三个式子可以得出如下规律：每个式子等号的左边是从1开始的连续正整数的立方和，且个数依次多1，等号的右边是一个正整数的平方，后一个正整数依次比前一个大3，4,…。