上课-2.1曲线与方程(三个课时)

定义: 一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看
作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点 与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下 的关系: (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么,这个方程叫做曲线的方程;
这条曲线叫做方程的曲线.
y
f(x,y)=0
2
2 2 2
2
∴ y x y 8 y 16 2 ∴ x 8 y 16 这就是所求的轨迹方程.
化简
2.1.2 求曲线的方程 （ 2）
复习回顾 求曲线（图形）的方程步骤： (1)建系设点：建立适当的坐标系,用有序实数 对（x,y）表示曲线上任意一点M的坐标； (2)列式:写出适合条件p的点M集合P={M|p(M)} (3)代换:用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0; (4)化简:化方程f(x,y)=0为最简形式；
2．平面解析几何研究的主要问题： （1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程； （2）通过方程，研究平面曲线的性质.
说明：本节主要讨论求解曲线方程的一般步骤.
问题 1. 设 A、B 两点的坐标是 (-1,-1)、(3,7), 求线段 AB 的垂直平分线的方程.
如何求曲线的方程?
法一:运用现成的结论──直线方程的知识来求. 1 7 (1) 解:∵ kAB 2 ,∴所求直线的斜率 k = 3 (1) 2 1 3 1 7 , ) 即(1,3) 又∵线段 AB 的中点坐标是 (
例1 :判断下列命题是否正确
(1)过点A（3，0）且垂直于x轴的直线的 方程为︱x︱=3 (2)到x轴距离等于1的点组成的直线方程 为y=1 (3)到两坐标轴的距离之积等于1的点的轨 迹方程为︱xy︱=1 解:(1)不正确，不具备完备性，应为x=3, (2)不正确,不具备纯粹性，应为y =±1. (3)正确.
归纳:
证明已知曲线的方程的方法（步骤）
第一步，设 M (x0,y0)是曲线C上任一点， 证明(x0,y0)是f(x,y)=0的解； 第二步，设(x0,y0)是 f(x,y)=0的解，证明 点 M (x0,y0)在曲线C上.
练习1:下列各题中，下图各曲线的曲线方程是 所列出的方程吗？为什么？ (1)曲线C为过点A(1，1)，B(-1，1)的折 线(如图(1))其方程为(x-y)(x+y)=0; 不是 (2)曲线C是顶点在原点的抛物线其方程 为x+ y =0; 不是 pass(3)曲线C是Ⅰ, Ⅱ象限内到x轴，y轴 的距离乘积为1的点集其方程为y= 。 是
M
x
(2)设点M1的坐标( x1 , y1 )是方程xy k的解， 即x1 y1 k ,即 x1 y1 k
而 x1 , y1 正是点M 1到纵轴、横轴的距离， 因此点M 1到两条直线的距离的积是常数k , 所以：点M 1是曲线上的点。
由(1), (2)可知，xy k是与两条坐标轴的距离 。 的积为常数k (k 0)的点的轨迹方程。
点M1到A、B的距离分别是
M 1 A ( x1 1)2 ( y1 1)2 (8 2 y1 )2 ( y1 1)2
2 5( y1 6 y1 13);
M 1 B ( x1 3) 2 ( y1 7 ) 2 ( 4 2 y1 ) 2 ( y1 7 ) 2
3x 2 y 0(1≤ x ≤ 5)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2.1.2求曲线的方程 （ 1）
复习回顾 1.复习曲线的方程和方程的曲线的概 念 2. 练习： (1) 设A(2,0)、B(0,2)， 能否说线段AB的方程为x+y-2=0? (2) 方程x2-y2=0表示的图形是_______ 3.证明已知曲线的方程的方法和步骤
点M
按某种规律运动
几何意义
曲线C
坐标(x, y)
x, y的制约条件 代数意义
“数形结合” 数学思想的 基础
方程f ( x, y) 0
1．解析几何与坐标法： 我们把借助于坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法. 在数学中，用坐标法研究几何图形的知识形成了一门叫 解析几何的学科.因此，解析几何是用代数方法研究几何 问题的一门数学学科.
x
说明:
0
1.曲线的方程—反映的是图形所满足的数量关系; 方程的曲线—反映的是数量关系所表示的图形.
2.“曲线上的点的坐标都是这个方程 的解” , 阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是 说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外.
（纯粹性）. 3.“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”, 阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏. （完备性）. 由曲线的方程的定义可知: 如果曲线C的方程是 f(x,y)=0，那么点P0(x0 ,y0) 在曲线C 上的 充要条件 是 f(x0, y0)=0
练习4:设圆M的方程为( x 3) ( y 2) 2 ,直线l 的方程为x+y-3=0, 点P的坐标为(2,1),那么( C )
2 2
A.点P在直线上，但不在圆上 B.点P在圆上，但不在直线上； C.点P既在圆上，也在直线上 D.点P既不在圆上，也不在直线上 练习5:已知方程 mx ny 4 0 的曲线经过 4 4 点 A(1,2), B(2,1) ,则 m =_____, n =______.
解：取直线l为x轴,过点A且垂直于直线l的直线为y轴, 建立坐标系xOy, 设点M(x,y)是曲线上任意一点， MB⊥x轴，垂足是B， 1）建系设点
MA MB 2
2
2)列式
2
B 因为曲线在x轴的上方，所以y＞0, 所以曲线的方程是
( x 0) ( y 2) y 2 3）代换 1 2 4)化简 y x 8
2.1 曲线与方程
2.1.1 曲线与方程
复习回顾:
我们研究了直线和圆的方程. 1.经过点P(0,b)和斜率为k的直线L的方程 为____________ 2.在平面直角坐标系中,平分第一、三象 x-y=0 限的直线方程是______________
y kx b
3.圆心为C(a,b) ,半径为r的圆C的方程
A(0, 2)
M
1 2 y x ( x 0) 8
5）审查
通过上述两个例题了解坐标法的解题方法， 明确建立适当的坐标系是求解曲线方程的基础； 同时，根据曲线上的点所要适合的条件列出等 式，是求曲线方程的重要环节，在这里常用到 一些基本公式，如两点间距离公式，点到直线 的距离公式，直线的斜率公式，中点公式等， 因此先要了解上述知识，必要时作适当复习.
2 2
5
5
课外练习: 1. “曲线 C 上的点的坐标都是方程 f ( x, y) =0 的解” 是“方程 f ( x, y) =0 是曲线 C 的方程”的（C ）条 件. (A)充分非必要 (B)必要非充分 (C)充要 (D)既非充分也非必要 2.△ABC 的顶点坐标分别为 A(4, 3) ， B(2, 1) ， C (5,7) ， 则 AB 边上的中线的方程为___________.
（2）以方程x-y =0的解为坐标的点都 在 l 上
∴说直线 l 的方程是 x y 0 ,或者说方程 x y 0 的直线是 l .
思考?
圆心为C(a,b) ,半径为r的圆C的方程为:
( x a ) ( y b) r
2 2
2
2 2 2 （2）方程 ( x a) ( y b) r 表示如图的圆
上一节，我们已经建立了曲线的方程.方程的 曲线的概念.利用这两个重要概念，就可以借助 于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某 种条件的点的集合或轨迹，用曲线上任意点的 坐标（x,y）所满足的方程f(x,y)=0表示曲线， 通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质. 这一节，我们就来学习这一方法.
2 5( y1 6 y1 13)
M1 A M1B ,
即点M1在线段AB的垂直平分线上. 由(1)、(2)可知方程①是线段AB的垂直平分线的方程.
这种求曲线的方程的方法叫：直接法
由上面的例子可以看出，求曲线（图形）的方 程，一般有下面几个步骤： (1)建系设点：建立适当的坐标系,用有序实数 对（x,y）表示曲线上任意一点M的坐标； (2)列式:写出适合条件p的点M集合P={M|p(M)} (3)代换:用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0; (4)化简:化方程f(x,y)=0为最简形式； (5)审查:说明以化简后的方程的解为坐标的点 都在曲线上.
.
( x 1)2 ( y 1)2 ( x 3)2 ( y 7)2
将上式两边平方，整理得： x+2y－7=0 ① 我们证明方程①是线段AB的垂直平 分线的方程. （1）由求方程的过程可知，垂直平 分线上每一点的坐标都是方程①解； （2）设点M1的坐标（x1,y1）是方程 ①的解，即: x+2y1－7=0 x1=7－2y1
课堂练习: 练习 1.已知点 M 与 x 轴的距离和点 M 与点 F(0,4) 的距离相等,求点 M 的轨迹方程.
解:设点 M 的坐标为(x,y) ∵点 M 与 x 轴的距离为 y ,
FM x ( y 4)
2 2
建立坐标系 设点的坐标
限(找几何条件) 代(把条件坐标化
∴ y = x ( y 4)
为_______________________.
( x a) ( y b) r
2 2
2
为什么?
思考?
条件 第一、三象限角平分线 l 点的横坐标与纵坐标相等 曲线 x=y（或x- y=0）方程
y
坐标系中,平分第一、三象限的直线方程是x-y=0？
l
0
x-y=0
x
含有关系：
（1）