双曲线标准方程第一课时

【自学导引】1．我们把平面内与两个定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．2．双曲线的标准方程有两种情形．(1)焦点在x 轴上，标准方程为)0,0(12222>>=-b a b y a x ，焦点F 1 (－c ，0)、F 2 (c ，0)，这里有c 2＝a 2＋b 2．(2)焦点在y 轴上，标准方程为)0,0(12222>>=-b a b x a y ，焦点F 1 (0，－c )、F 2 (0，c )，这里有c 2＝a 2＋b 2．【思考导学】1．双曲线的定义应注意差的绝对值和2a <|F 1F 2|．2．在双曲线的定义中，P 为动点．(1)若|PF 1|－|PF 2|＝2a 时，曲线只表示焦点F 2所对应的一支双曲线．(2)若|PF 1|－|PF 2|＝－2a 时，曲线只表示焦点F 1所对应的一支双曲线．(3)若|F 1F 2|＝2a 时，动点的轨迹不再是双曲线，而是以F 1、F 2为端点向外的两条射线．(4)若|F 1F 2|<2a 时，动点的轨迹不存在．3．判定双曲线的焦点在哪条轴上，不像椭圆比较x 2、y 2的分母的大小而是看x 2、y 2的系数的符号，焦点在系数为正的那条轴上．【典例剖析】［例1］已知双曲线的一个焦点坐标为F 1(0，－13)，双曲线上一点P 到两焦点距离之差的绝对值为24，求双曲线的标准方程．解：因为双曲线的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为2222b x a y -＝1(a ＞0，b ＞0) ∵2a ＝24，c ＝13，∴a ＝12，c ＝13，∴b 2＝c 2－a 2＝132－122＝25． 所以所求双曲线的标准方程为2514422x y -＝1． 点评：本例是运用待定系数法求双曲线的标准方程，即：求双曲线的标准方程就是求a 、b 的值．同时还考查了如何判断焦点所在的坐标轴及a 、b 、c 间的关系：c 2＝a 2＋b 2．［例2］在△MNG 中，已知NG ＝4．当动点M 满足条件sin G －sin N ＝21sin M 时，求动点M 的轨迹方程．解：以NG 所在的直线为x 轴，以线段NG 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系．∵sin G －sin N ＝21sin M∴由正弦定理，得|MN |－|MG |＝21×4∴由双曲线的定义知，点M 的轨迹是以N 、G 为焦点的双曲线的右支(除去与x 轴的交点)∴2c ＝4，2a ＝2，即c ＝2，a ＝1∴b 2＝c 2－a 2＝3．∴动点M 的轨迹方程为x 2－32y ＝1(x ＞0，且y ≠0)点评：求轨迹方程时，如果没有直角坐标系，应先建立适当的直角坐标系，动点M 的轨迹是双曲线的一支并且去掉一个点．这种情况一般在求得方程的后面给以说明，并把说明的内容加上括号． ［例3］已知双曲线的两个焦点坐标为F 1(－2，－2)、F 2(2，2)，双曲线上一点P 到F 1、F 2的距离的差的绝对值等于22，求双曲线的方程． 解：设P 点的坐标为(x ，y )∵|PF 1|＝22)2()2(+++y x ，|PF 2|＝22)2()2(-+-y x ，|PF 1|－|PF 2|＝±22， ∴22)2()2(+++y x －22)2()2(-+-y x ＝±22．将这个方程移项后，两边平方，得(x ＋2)2＋(y ＋2)2 ＝8±4222)2()2(-+-y x ＋(x －2)2＋(y －2)2，x ＋y －2＝±22)2()2(-+-y x ，两边再平方，得x 2＋y 2＋2＋2xy －22x －22y ＝x 2－22x ＋2＋y 2－22y ＋2，整理得xy ＝1为所求曲线的方程．点评：在初中我们知道函数y ＝x 1的图象是双曲线，为什么是双曲线并不清楚．通过本例知道y ＝x 1的图象满足双曲线的定义，因此它是双曲线．由于本例中的双曲线的焦点F 1(－2，－2)、F 2(2，2)不在坐标轴上，所以求得的双曲线方程不是标准方程．【随堂训练】1．在双曲线标准方程中，已知a ＝6，b ＝8，则其方程是( )A ．643622y x -＝1B ．366422y x -＝1C ．643622x y -＝1D ．643622y x -＝1或643622x y -＝1解析：∵双曲线的标准方程是2222b y a x -＝1或2222b x a y -＝1 ∴双曲线的方程是1643622=-y x 或643622x y -＝1．答案：D2．已知方程k y k x --+1122＝1表示双曲线，则k 的取值范围是( )A ．－1＜k ＜1B ．k ＞0C ．k ≥0D ．k ＞1或k ＜－1解析：∵方程k y k x --+1122＝1表示双曲线，∴(1＋k )(1－k )＞0∴－1＜k ＜1．答案：A3．双曲线k y m x --+112222＝1的焦距是( )A ．4B ．22C ．8D ．与m 有关解析：c 2＝a 2＋b 2＝m 2＋12＋(4－m 2)＝16，c ＝4，焦距2c ＝8．答案：C4．已知定点F 1(－2，0)，F 2(2，0)在满足下列条件的平面内动点P 的轨迹中，为双曲线的是( )A ．|PF 1|－|PF 2|＝±3B ．|PF 1|－|PF 2|＝±4C ．|PF 1|－|PF 2|＝±5D ．|PF 1|2－|PF 2|2＝±4答案：A5．k ＞9是方程4922-+-k y k x ＝1表示双曲线的________条件． 解析：当k ＞9时，9－k ＜0，k －4＞0．方程表示双曲线．当k ＜4时，9－k ＞0，k －4＜0．方程也表示双曲线．∴k ＞9是方程4922-+-k y kx ＝1表示双曲线的充分不必要条件． 答案：充分不必要6．已知双曲线16922y x -＝1上的一点P 到双曲线的一个焦点的距离为3，则点P 到另一个焦点的距离为________．解析：设双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，则||PF 1|－|PF 2||＝6．设|PF 2|＝3，由3＜5知P 在右支上．∴|PF 1|＝6＋3＝9．答案：9【强化训练】1．已知点F 1(－4，0)、F 2(4，0)，曲线上的动点P 到F 1、F 2的距离之差为6，则曲线的方程为( )A ．7922y x -＝1(x ＞0) B ．7922y x -＝1 C ．7922x y -＝1(y ＞0) D ．7922x y -＝1 解析：∵c ＝4，a ＝3，∴b 2＝c 2－a 2＝7．∴P 点的坐标应满足方程7922y x -＝1．∵|PF 1|－|PF 2|＝6．∴P 点的横坐标应大于0．答案：A2．在方程mx 2－my 2＝n 中，若mn ＜0，则方程的曲线是( )A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在x 轴上的双曲线C ．焦点在y 轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的双曲线解析：把方程mx 2－my 2＝n 写成标准方程m ny mn x 22-＝1 ∵mn ＜0，∴m n ＜0，－m n＞0．∴方程表示焦点在y 轴上的双曲线．答案：D3．双曲线91622y x -＝1上的点P 到点(5，0)的距离为15，则P 到点(－5，0)的距离是( ) A ．7B ．23C ．25或7D ．7或23解析：∵a 2＝16，b 2＝9，∴c 2＝25∴点(5，0)、(－5，0)是双曲线的焦点F 2、F 1．∵|PF 2|＝15，∴|PF 1|＝±8＋15即|PF 1|＝23或|PF 1|＝7．答案：D4．已知双曲线的方程为2222b y a x -＝1，点A 、B 在双曲线的右支上，线段AB 经过双曲线的右焦点F 2，|AB |＝m ，F 1为另一焦点，则△ABF 1的周长为( )A ．2a ＋2mB ．4a ＋2mC ．a ＋mD ．2a ＋4m解析：∵A 、B 在双曲线的右支上，∴|BF 1|－|BF 2|＝2a ，|AF 1|－|AF 2|＝2a ，∴|BF 1|＋|AF 1|－(|BF 2|＋|AF 2|)＝4a∴|BF 1|＋|AF 1|＝4a ＋m∴△ABF 1的周长为4a ＋m ＋m ＝4a ＋2m ．答案：B5．F 1、F 2是双曲线16922y x -＝1的两个焦点，P 在双曲线上且满足|PF 1|·|PF 2|＝32．则∠F 1PF 2＝_________解析：设∠F 1PF 2＝α，|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2． 在△F 1PF 2中，由余弦定理得(2c )2＝r 12＋r 22－2r 1r 2cos α，∴cos α＝21221221242)(r r c r r r r -+-＝641006436-+＝0∴α＝90°答案：90°6．已知双曲线42x －y 2＝1的两个焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线上且满足∠F 1PF 2＝90°．则△F 1PF 2的面积是________．解析：设P 为左支上的点，F 1为左焦点，|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2．则②－①2得r 1r 2＝2∴21PF F S ∆＝21r 1r 2＝1．答案：17．双曲线2x 2－y 2＝k 的焦距是6，求k 的值．解：把双曲线的方程写成标准形式，ky k x 222-＝1．当k ＞0时，a 2＝2k ，b 2＝k ，由题知2k＋k ＝9即k ＝6．当k ＜0时，a 2＝－k ，b 2＝－2k ，－k －2k＝9即k ＝－6综上所述k ＝±6为所求．8．已知定点A (3，0)和定圆C ：(x ＋3)2＋y 2＝16，动圆和圆C 相外切，并且过点A ，求动圆圆心P 的轨迹方程．解：设P 的坐标为(x ，y )∵圆C 与圆P 外切且过点A ，∴|PC |－|PA |＝4∵|AC |＝6＞4，∴点P 的轨迹是以C 、A 为焦点，2a ＝4的双曲线的右支．∵a ＝2，c ＝3，∴b 2＝c 2－a 2＝5．∴5422y x -＝1(x ＞0)为动圆圆心P 的轨迹方程．9．过双曲线2514422y x -＝1的一个焦点作x 轴的垂线，求垂线与双曲线的交点到两焦点的距离． 解：∵双曲线方程为2514422y x -＝1 ∴c ＝25144+＝13，于是焦点F 1(－13，0)、F 2(13，0)，设过点F 1的垂直于x 轴的直线l 交双曲线于A (－13，y )(y >0)． ∴144251144132522=-=y ，∴y ＝1225，即|AF 1|＝1225 又∵|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝24，∴|AF 2|＝24＋|AF 1|＝24＋1225＝12313故垂线与双曲线的交点到两焦点的距离为1225或12313．【学后反思】1．如果双曲线的焦点在坐标轴上，并且关于原点对称，那么双曲线的方程是标准的，否则是不标准的．求双曲线的标准方程就是求a 、b ，并且判断焦点所在的坐标轴．a 、b 、c 之间的关系是a 2＋b 2＝c 2．2．当P 满足0＜|PF 1|－|PF 2|＜|F 1F 2|时，点P 的轨迹是双曲线的一支；当0＜|PF 2|－|PF 1|＜|F 1F 2|时，点P 的轨迹是双曲线的另一支；当|PF 1|－|PF 2|＝±|F 1F 2|时，点P 的轨迹是两条射线，||PF 1|－|PF 2||不可能大于|F 1F 2|．3．已知|PF 1|求|PF 2|可以利用|PF 1|－|PF 2|＝±2a ．已知∠F 1PF 2时，往往利用余弦定理，并且对|PF 1|－|PF 2|＝±2a 进行平方．。

课 题：8．3双曲线及其标准方程（一）教学目的：1．使学生掌握双曲线的定义，熟记双曲线的标准方程，并能初步应用； 2．通过对双曲线标准方程的推导，提高学生求动点轨迹方程的能力； 3．使学生初步会按特定条件求双曲线的标准方程；4．使学生理解双曲线与椭圆的联系与区别以及特殊情况下的几何图形（射线、线段等）；5．培养学生发散思维的能力教学重点：双曲线的定义、标准方程及其简单应用教学难点：双曲线标准方程的推导及待定系数法解二元二次方程组 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：“双曲线及其标准方程”是在讲完了“圆的方程”、“椭圆及其标准方程”之后，学习又一类圆锥曲线知识，也是中学解析几何中学习的重要的内容之一，它在社会生产、日常生活和科学技术止有着广泛的应用，大纲明确要求学生必须熟练掌握本节教材仍是继续训练学生用坐标法解决方程与曲线有关问题的重要内容，对它的教学将帮助学生进一步熟悉和掌握求曲线方程的一般方法双曲线的定义和标准方程是本节的基本知识，所以必须掌握 而掌握好双 应用双曲线的有关知识解决数学问题和实际应用问题是培养学生基本技能和基本能力的必要环 坐标法是中学数学学习中必须掌握的一个重要方法，它充分体现了化归思想、数形结合思想，是用以解决实际问题的一个重要的数学工具 犹如前面学 双曲线和其方程分属于几何和代数这两个分立的体系，但是通过直角坐标系人们又将它们很好地结合在一起 因此我们要充分利用这节教材对学生进行好思想教育双曲线的标准方程，内容可分为二个课时，第一课时内容主要是双曲线的定义和标准方程以及课本中的例1；第二课时主要是课本中的例2、例3及几个变式例题 教学过程：一、复习引入： 1 椭圆定义：平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁（ 线段）两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（→圆）椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关2.椭圆标准方程：（1）2222=+b y a x （2）2222=+bx a y 其中22b c a +=二、讲解新课：1．双曲线的定义：平面内到两定点21,F F 的距离的差的绝对值为常数（小于21F F ）的动点的轨迹叫双曲线 即a MF MF 221=-这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距 概念中几个容易忽略的地方：“平面内”、“距离的差的绝对值”、“常数小于21F F ”在同样的差下，两定点间距离较长，则所画出的双曲线的开口较开阔（→两条平行线） 两定点间距离较短（大于定差），则所画出的双曲线的开口较狭窄（→两条射线） 双曲线的形状与两定点间距离、定差有关2．双曲线的标准方程：根据双曲线的定义推导双曲线的标准方程：推导标准方程的过程就是求曲 过程如下：（1）建系设点；（2）列式；（3）变换；（4）化简；（5）证明取过焦点21F F ，的直线为x 轴，线段21F F 的垂直平分线为y 轴设P （y x ,）为双曲线上的任意一点，双曲线的焦距是2c （0>c ）则 )0,(),0,(21c F c F -，又设M 与)0,(),0,(21c F c F -距离之差的绝对值等于2a （常数），a 22<{}a PF PF P P 221±=-=∴ 221)(y c x PF ++= 又，a y c x y c x 2)()(2222±=+--++∴，化简，得：)()(22222222a c a y a x a c -=--，由定义c a 22< 022>-∴a c令222b a c =-∴代入，得：222222b a y a x b =-，两边同除22b a 得：12222=-by a x ，此即为双曲线的标准方程它所表示的双曲线的焦点在x 轴上，焦点是)0,(),0,(21c F c F -， 其中222b ac +=若坐标系的选取不同，可得到双曲线的不同的方程，如焦点在y 轴上，则焦点是),0(),,0(21c F c F -，将y x ,互换，得到12222=-b x a y ，此也是双曲线的标准方程 3．双曲线的标准方程的特点：（1）双曲线的标准方程有焦点在x 轴上和焦点y 轴上两种：焦点在x 轴上时双曲线的标准方程为：12222=-b y a x (0>a ,0>b )；焦点在y 轴上时双曲线的标准方程为：12222=-bx a y (0>a ,0>b )(2)c b a ,,有关系式222b a c +=成立，且0,0,0>>>c b a其中a 与b 的大小关系:可以为a b a b a ><=,,4.焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母2x 、2y 项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴 而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即2x 项的系数是正的，那么焦点在x 轴上；2y 项的系数是正的，那么焦点在y 轴上三、讲解范例：例1 判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出三量c b a ,,的值①12422=-y x ②12222=-y x ③12422-=-y x ④369422=-x y （1232222=-x y ） 分析：双曲线标准方程的格式：平方差，2x 项的系数是正的，那么焦点在x 轴上，2x 项的分母是2a ；2y 项的系数是正的，那么焦点在y 轴上，2y 项的分母是2a解：①是双曲线，6,2,2===c b a ；② 是双曲线，2,2,2===c b a ； ③是双曲线，6,2,2===c b a ；④是双曲线，,2,3===c b a 例 2 已知双曲线两个焦点的坐标为)0,5()0,5(21F F ，-，双曲线上一点P 到)0,5()0,5(21F F ，-的距离之差的绝对值等于6，求双曲线标准方程解：因为双曲线的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为12222=-b y a x (0>a ,0>b ) ∵102,62==c a ∴5,3==c a ∴35222=-=b所求双曲线标准方程为116922=-y x 四、课堂练习：1．求a =4，b =3，焦点在x 轴上的双曲线的标准方程2．求a =25，经过点（2，-5），焦点在y 轴上的双曲线的标准方程3．证明：椭圆22525922=+y x 与双曲线151522=-y x 的焦点相同4．若方程1cos sin 22=+ααy x 表示焦点在y 轴上的双曲线，则角α所在象限是（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限5．设双曲线191622=-y x 上的点P 到点)0,5(的距离为15，则P 点到)0,5(-的距离是（ ）A ．7 B.23 C.5或23 D.7或23练习答案：1. 191622=-y x ; 2. 1162022=-x y ; 3. 22525922=+y x ⇒)0,4(192522±⇒=+F y x , 151522=-y x ⇒ )0,4(111522±⇒=-F y x ; 4. D.1cos sin 22=+ααy x 表示焦点在y 轴上的双曲线⇒Ⅳ∈⇒⎩⎨⎧><ααα0cos 0sin ,所以选D. 5. D. =⇒==-d a d 82|15|7或23 五、小结 ：双曲线的两类标准方程是)0,0(12222>>=-b a b y a x 焦点在x 轴上，)0,0(12222>>=-b a bx a y 焦点在y 轴上 c b a ,,有关系式222b a c +=成立，且,0,0>>>c b a 其中a 与b 的大小关系:可以为a b a b a ><=,,六、课后作业： 七、板书设计（略）八、课后记：。