曲线和方程时

常用曲线和曲面的方程及其性质曲线和曲面在三维空间中是常见的数学对象。

它们的方程可以通过几何性质描述它们的性质。

本文将介绍一些常用的曲线和曲面方程及其性质。

一、曲线方程1. 直线方程直线是一种最基本的曲线，它的方程可以写成一般式和斜截式两种形式。

一般式：$Ax+By+C=0$；斜截式：$y=kx+b$，其中$k$是直线的斜率，$b$是截距。

直线的斜率表示的是直线倾斜的程度，斜率越大表示直线越陡峭。

斜率等于零表示直线水平，而无限大则表示直线垂直于$x$轴。

2. 圆的方程圆是一种具有球面对称性质的曲线，它的方程可以写成两种形式：标准式和一般式。

标准式：$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，其中$(a,b)$为圆心坐标，$r$为半径长度。

一般式：$x^2+y^2+Ax+By+C=0$，其中$A,B,C$是常数。

圆的标准式方程可以通过圆心和半径来描述圆的几何性质；而一般式方程则可以通过求圆的中心和半径来转化为标准式方程。

3. 椭圆的方程椭圆是一种内离于两个焦点的平面曲线，它的方程可以写成一般式和标准式两种形式。

标准式：$\frac{(x-a)^2}{a^2}+\frac{(y-b)^2}{b^2}=1$，其中$(a,b)$为椭圆中心坐标，$a$是横轴半径，$b$是纵轴半径。

一般式：$Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0$，其中$A,B,C,D,E$是常数。

椭圆的标准式方程中的$a$和$b$决定了椭圆的形状和大小。

当$a=b$时，椭圆变成了圆。

4. 抛物线的方程抛物线是一种开口朝上或朝下的U形曲线，它的方程可以写成两种形式：标准式和一般式。

标准式：$y=ax^2$，其中$a$是抛物线的参数。

一般式：$Ax^2+By+C=0$，其中$A,B,C$是常数。

抛物线的标准式方程中的参数$a$可以决定抛物线的开口方向，当$a>0$时开口向上，$a<0$时则开口向下。

5. 双曲线的方程双曲线是一种形状类似于抛物线的曲线，但它却有两个分支。

求曲线方程的几种常用方法求曲线的方程，是学习解析几何的基础，求曲线的方程常用的方法主要有：1．直接法：就是课本中主要介绍的方法。

若命题中所求曲线上的动点与已知条件能直接发生关系，这时，设曲线上动点坐标为（,x y ）后，就可根据命题中的已知条件，研究动点形成的几何特征，在此基础上运用几何或代数的基本公式、定理等列出含有,x y 的关系式。

从而得到轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称作直接法。

例1：在直角△ABC 中，斜边是定长2a (0)a >，求直角顶点C 的轨迹方程。

解法一：由于未给定坐标系，为此，首先建立直角坐标系，取AB 所在的直线为x 轴，AB 的有中点O 为坐标原点，过O 与AB 垂直的直线为y 轴(如图)．则A (,0)a -，B (,0)a 。

设动点C 为(,)x y ，∵222||||||AC BC AB +=，∴2224a +=，即222x y a +=．由于C 点到达A 、B 位置时直角三角形ABC 不存在，轨迹中应除去A 、B 两点， 故所求方程为222x y a +=（x a ≠±）。

解法二：如解法一建立直角坐标系，设A (,0)a -，B (,0)a ，C (,)x y∵1AC BC k k =-， （1） ∴1y y x a x a =-+- ， （2）化简得：222x y a += ， （3）由于在x a ≠±时方程（2）与（3）不等价，故所求轨迹方程为222x y a +=（x a ≠±）。

解法三：如解法一建立直角坐标系，设A (,0)a -，B (,0)a ，且设动点C (,)x y 。

∵1||||2COAB =， a =，即222x y a +=。

轨迹中应除去A 、B 两点(理由同解法一)，故所求轨迹方程为222x y a +=（x a ≠±）。

说明：利用这种方法求曲线方程的一般方法步骤：(1)建立适当的直角坐标系，用(,)x y 表示曲线上任意点M 的坐标；(2)写出适合条件p 的点M 的集合{|()}p M p m =；(3)用坐标表示()p m ，列出方程(,)0f x y =；(4)化简方程(,)0f x y =为最简形式；(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点（此步骤经常省略，但一定要注意所求的方程中所表示的点是否都表示曲线上的点，要注意那些特殊的点。

第8讲 曲线与方程[学生用书P192]1．曲线与方程在平面直角坐标系中，如果某曲线C (看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解． (2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上．那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线． 2．曲线的交点设曲线C 1的方程为F 1(x ，y )＝0，曲线C 2的方程为F 2(x ，y )＝0，则C 1，C 2的交点坐标即为方程组⎩⎨⎧F 1（x ，y ）＝0，F 2（x ，y ）＝0的实数解，若此方程组无解，则两曲线无交点．3．求动点的轨迹方程的一般步骤 (1)建系——建立适当的坐标系． (2)设点——设轨迹上的任一点P (x ，y )． (3)列式——列出动点P 所满足的关系式．(4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于x ，y 的方程式，并化简．(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程． 常用结论1．“曲线C 是方程f (x ，y )＝0的曲线”是“曲线C 上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”的充分不必要条件．2．曲线的交点与方程组的关系(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；(2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点．一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“f(x0，y0)＝0”是“点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上”的充要条件．()(2)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线．()(3)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的．()(4)方程y＝x与x＝y2表示同一曲线．()(5)y＝kx与x＝1k y表示同一直线．()答案：(1)√(2)×(3)×(4)×(5)×二、易错纠偏常见误区|Ｋ(1)混淆“轨迹”与“轨迹方程”出错；(2)忽视轨迹方程的“完备性”与“纯粹性”．1．(1)平面内与两定点A(2，2)，B(0，0)距离的比值为2的点的轨迹是________．(2)设动圆M与y轴相切且与圆C：x2＋y2－2x＝0相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_________________________________________________．解析：(1)设动点坐标为(x，y)，则（x－2）2＋（y－2）2x2＋y2＝2，整理得3x2＋3y2＋4x＋4y－8＝0，所以满足条件的点的轨迹是圆．(2)若动圆在y轴右侧，则动圆圆心到定点C(1，0)与到定直线x＝－1的距＝1，所以其方程为y2＝4x(x＞0)；若动圆在y轴离相等，其轨迹是抛物线，且p2左侧，则圆心轨迹是x轴负半轴，其方程为y＝0(x＜0)．故动圆圆心M的轨迹方程为y2＝4x(x＞0)或y＝0(x＜0)．答案：(1)圆(2)y2＝4x(x＞0)或y＝0(x＜0)2．已知A(－2，0)，B(1，0)两点，动点P不在x轴上，且满足∠APO＝∠BPO，其中O为原点，则P点的轨迹方程是________．解析：由角的平分线性质定理得|P A|＝2|PB|，设P(x，y)，则（x＋2）2＋y2＝2（x－1）2＋y2，整理得(x－2)2＋y2＝4(y≠0)．答案：(x－2)2＋y2＝4(y≠0)3．已知⊙O的方程为x2＋y2＝4，过M(4，0)的直线与⊙O交于A，B两点，则弦AB的中点P的轨迹方程为________．解析：根据垂径定理知：OP⊥PM，所以P点的轨迹是以OM为直径的圆且在⊙O内的部分．以OM为直径的圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，它与⊙O的交点为(1，±3)．结合图形可知所求轨迹方程为(x－2)2＋y2＝4(0≤x＜1)．答案：(x－2)2＋y2＝4(0≤x＜1)[学生用书P192]直接法求轨迹方程(师生共研)已知△ABC的三个顶点分别为A(－1，0)，B(2，3)，C(1，22)，定点P (1，1)．(1)求△ABC 外接圆的标准方程；(2)若过定点P 的直线与△ABC 的外接圆交于E ，F 两点，求弦EF 中点的轨迹方程．【解】 (1)由题意得AC 的中点坐标为(0，2)，AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，k AC ＝2，k AB ＝1，故AC 中垂线的斜率为－22，AB 中垂线的斜率为－1，则AC的中垂线的方程为y －2＝－22x ，AB 的中垂线的方程为y －32＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12.由⎩⎪⎨⎪⎧y －32＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，y －2＝－22x ， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0.所以△ABC 的外接圆圆心为(2，0)，半径r ＝2＋1＝3，故△ABC 外接圆的标准方程为(x －2)2＋y 2＝9.(2)设弦EF 的中点为M (x ，y )，△ABC 外接圆的圆心为N ，则N (2，0)， 由MN ⊥MP ，得NM →·PM →＝0， 所以(x －2，y )·(x －1，y －1)＝0， 整理得x 2＋y 2－3x －y ＋2＝0，所以弦EF 中点的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝12.(1)若曲线上的动点满足的条件是一些几何量的等量关系，则可用直接法，其一般步骤是：设点→列式→化简→检验．求动点的轨迹方程时要注意检验，即除去多余的点，补上遗漏的点．(2)若是只求轨迹方程，则把方程求出，把变量的限制条件附加上即可；若是求轨迹，则要说明轨迹是什么图形．已知坐标平面上动点M (x ，y )与两个定点P (26，1)，Q (2，1)，且|MP |＝5|MQ |.(1)求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；(2)记(1)中轨迹为C ，若过点N (－2，3)的直线l 被C 所截得的线段长度为8，求直线l 的方程．解：(1)由|MP |＝5|MQ |，得（x －26）2＋（y －1）2＝5（x －2）2＋（y －1）2，化简得x 2＋y 2－2x －2y －23＝0，所以点M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －1)2＝25，轨迹是以(1，1)为圆心，5为半径的圆．(2)当直线l 的斜率不存在时，l ：x ＝－2，此时所截得的线段长度为2×52－32＝8，所以l ：x ＝－2符合题意．当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y －3＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＋3＝0， 圆心(1，1)到l 的距离d ＝|3k ＋2|k 2＋1，由题意，得⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|3k ＋2|k 2＋12＋42＝52，解得k ＝512， 所以直线l 的方程为512x －y ＋236＝0， 即5x －12y ＋46＝0.综上，直线l 的方程为x ＝－2或5x －12y ＋46＝0.定义法求轨迹方程(师生共研)已知圆C 与两圆x 2＋(y ＋4)2＝1，x 2＋(y －2)2＝1外切，圆C 的圆心轨迹为L ，设L 上的点与点M (x ，y )的距离的最小值为m ，点F (0，1)与点M (x ，y )的距离为n .(1)求圆C 的圆心轨迹L 的方程；(2)求满足条件m ＝n 的点M 的轨迹Q 的方程．【解】 (1)两圆半径都为1，两圆圆心分别为C 1(0，－4)，C 2(0，2)，由题意得|CC 1|＝|CC 2|，可知圆心C 的轨迹是线段C 1C 2的垂直平分线，C 1C 2的中点为(0，－1)，直线C 1C 2的斜率不存在，所以圆C 的圆心轨迹L 的方程为y ＝－1.(2)因为m ＝n ，所以M (x ，y )到直线y ＝－1的距离与到点F (0，1)的距离相等，故点M 的轨迹Q 是以y ＝－1为准线，点F (0，1)为焦点，顶点在原点的抛物线，而p2＝1，即p ＝2，所以，轨迹Q 的方程是x 2＝4y .定义法求轨迹方程(1)在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程．(2)利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x 或y 进行限制．1．已知△ABC 的顶点B (0，0)，C (5，0)，AB 边上的中线长|CD |＝3，则顶点A 的轨迹方程为__________________．解析：设A (x ，y )，由题意可知D ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2.又因为|CD |＝3，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝9，即(x －10)2＋y 2＝36，由于A ，B ，C 三点不共线，所以点A 不能落在x 轴上，即y ≠0，所以点A 的轨迹方程为(x －10)2＋y 2＝36(y ≠0)．答案：(x －10)2＋y 2＝36(y ≠0)2．如图，已知△ABC 的两顶点坐标A (－1，0)，B (1，0)，圆E 是△ABC 的内切圆，在边AC ，BC ，AB 上的切点分别为P ，Q ，R ，|CP |＝1(从圆外一点到圆的两条切线段长相等)，动点C 的轨迹为曲线M ，求曲线M 的方程．解：由题知|CA |＋|CB |＝|CP |＋|CQ |＋|AP |＋|BQ |＝2|CP |＋|AB |＝4＞|AB |， 所以曲线M 是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(挖去与x 轴的交点)．设曲线M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0，y ≠0)，则a 2＝4，b 2＝a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＝3，所以曲线M 的方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)．相关点法(代入法)求轨迹方程(师生共研)如图所示，抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)与圆O ：x 2＋y 2＝8相交于A ，B 两点，且点A 的横坐标为2.过劣弧AB 上动点P (x 0，y 0)作圆O 的切线交抛物线E 于C ，D 两点，分别以C ，D 为切点作抛物线E 的切线l 1，l 2，l 1与l 2相交于点M .(1)求p 的值；(2)求动点M 的轨迹方程．【解】 (1)由点A 的横坐标为2，可得点A 的坐标为(2，2)，代入y 2＝2px (p >0)，解得p ＝1. (2)由(1)知抛物线E ：y 2＝2x .设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 212，y 1，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 222，y 2，y 1≠0，y 2≠0，切线l 1的斜率为k ，则切线l 1：y －y 1＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 212，代入y 2＝2x ，得ky 2－2y ＋2y 1－ky 21＝0，由Δ＝0，解得k ＝1y 1， 所以l 1的方程为y ＝1y 1x ＋y 12，同理l 2的方程为y ＝1y 2x ＋y 22.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1y 1x ＋y 12，y ＝1y 2x ＋y 22，解得⎩⎨⎧x ＝y 1·y 22，y ＝y 1＋y 22.易知CD 的方程为x 0x ＋y 0y ＝8，其中x 0，y 0满足x 20＋y 20＝8，x 0∈[2，2 2 ]， 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，x 0x ＋y 0y ＝8，得x 0y 2＋2y 0y －16＝0， 则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2y 0x 0，y 1·y 2＝－16x 0，代入⎩⎨⎧x ＝y 1·y 22，y ＝y 1＋y 22，可得M (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8x 0，y ＝－y 0x 0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－8x ，y 0＝8yx ，代入x 20＋y 20＝8，并化简，得x 28－y 2＝1，考虑到x 0∈[2，22]，知x ∈[－4，－22]，所以动点M 的轨迹方程为x 28－y 2＝1，x ∈[－4，－22]．1.如图，已知P 是椭圆x 24＋y 2＝1上一点，PM ⊥x 轴于点M .若PN →＝λNM →. (1)求N 点的轨迹方程；(2)当N 点的轨迹为圆时，求λ的值．解：(1)设点P ，点N 的坐标分别为P (x 1，y 1)，N (x ，y )， 则M 的坐标为(x 1，0)，且x ＝x 1， 所以PN →＝(x －x 1，y －y 1)＝(0，y －y 1)， NM →＝(x 1－x ，－y )＝(0，－y )， 由PN →＝λNM →得(0，y －y 1)＝λ(0，－y )． 所以y －y 1＝－λy ，即y 1＝(1＋λ)y .因为P (x 1，y 1)在椭圆x 24＋y 2＝1上， 则x 214＋y 21＝1，所以x 24＋(1＋λ)2y 2＝1， 故x 24＋(1＋λ)2y 2＝1为所求的N 点的轨迹方程． (2)要使点N 的轨迹为圆，则(1＋λ)2＝14，解得λ＝－12或λ＝－32.故当λ＝－12或λ＝－32时，N 点的轨迹是圆．2．已知曲线E ：ax 2＋by 2＝1(a ＞0，b ＞0)，经过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫33，0的直线l 与曲线E 交于点A ，B ，且MB →＝－2MA →.若点B 的坐标为(0，2)，求曲线E 的方程．解：设A (x 0，y 0)，因为B (0，2)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫33，0，故MB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，2，MA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－33，y 0.由于MB →＝－2MA →，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－33，y 0.所以x 0＝32，y 0＝－1，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－1.因为A ，B 都在曲线E 上，所以⎩⎨⎧a ·02＋b ·22＝1，a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋b ·（－1）2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝14. 所以曲线E 的方程为x 2＋y24＝1.[学生用书P407(单独成册)][A 级 基础练]1．方程(x －y )2＋(xy －1)2＝0表示的曲线是( ) A ．一条直线和一条双曲线 B ．两条双曲线 C ．两个点D ．以上答案都不对解析：选C.(x －y )2＋(xy －1)2＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，xy －1＝0.故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1.2．(2020·新高考卷Ⅰ改编)已知曲线C ：mx 2＋ny 2＝1.以下结论正确的个数是( )①若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上；②若m ＝n >0，则C 是圆，其半径为n ；③若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y ＝± －mn x ；④若m＝0，n >0，则C 是两条直线．A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.对于①，因为m ＞n ＞0，所以0＜1m ＜1n ，方程mx 2＋ny 2＝1可变形为x 21m ＋y 21n ＝1，所以该方程表示焦点在y 轴上的椭圆，正确；对于②，因为m＝n ＞0，所以方程mx 2＋ny 2＝1可变形为x 2＋y 2＝1n ，该方程表示半径为1n 的圆，错误；对于③，因为mn ＜0，所以该方程表示双曲线，令mx 2＋ny 2＝0⇒y ＝± －mn x ，正确；对于④，因为m ＝0，n ＞0，所以方程mx 2＋ny 2＝1变形为ny 2＝1⇒y ＝±1n ，该方程表示两条直线，正确．3.如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，A (1，0)，B (1，1)，C (0，1)，映射f 将xOy 平面上的点P (x ，y )对应到另一个平面直角坐标系uO ′v 上的点P ′(2xy ，x 2－y 2)，则当点P 沿着折线A -B -C 运动时，在映射f 的作用下，动点P ′的轨迹是( )解析：选D.当P 沿AB 运动时，x ＝1，设P ′(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2y ，y ′＝1－y 2(0≤y ≤1)，故y ′＝1－x ′24(0≤x ′≤2，0≤y ′≤1)．当P 沿BC 运动时，y ＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝x 2－1(0≤x ≤1)，所以y ′＝x ′24－1(0≤x ′≤2，－1≤y ′≤0)，由此可知P ′的轨迹如D 项图象所示，故选D.4．已知两点M (－2，0)，N (2，0)，点P 为坐标平面内的动点，满足|MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝0，则动点P (x ，y )的轨迹方程为( )A ．y 2＝－8xB ．y 2＝8xC ．y 2＝－4xD ．y 2＝4x解析：选A.设P (x ，y )．因为M (－2，0)，N (2，0)，所以MN →＝(4，0)，|MN →|＝4，MP →＝(x ＋2，y )，NP →＝(x －2，y )，由|MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝0，得4（x ＋2）2＋y 2＋4(x －2)＝0，化简整理得y 2＝－8x .故选A.5．动点M 在圆x 2＋y 2＝25上移动，过点M 作x 轴的垂线段MD ，D 为垂足，则线段MD 中点的轨迹方程是( )A.4x 225＋y 225＝1 B ．x 225＋4y 225＝1 C.4x 225－y 225＝1D.x 225－4y 225＝1解析：选B.如图，设线段MD 的中点为P (x ，y )，M (x 0，y 0)，D (x 0，0)，因为P 是MD 的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ，y 0＝2y .又M 在圆x 2＋y 2＝25上，所以x 20＋y 20＝25，即x 2＋4y 2＝25，x 225＋4y 225＝1，所以线段MD 的中点P 的轨迹方程是x 225＋4y 225＝1.故选B.6．设D 为椭圆y 25＋x 2＝1上任意一点，A (0，－2)，B (0，2)，延长AD 至点P ，使得|PD |＝|BD |，则点P 的轨迹方程为________．解析：设点P 坐标为(x ，y )．因为D 为椭圆y 25＋x 2＝1上任意一点，且A ，B 为椭圆的焦点，所以|DA |＋|DB |＝2 5.又|PD |＝|BD |，所以|P A |＝|PD |＋|DA |＝|DA |＋|DB |＝25，所以x 2＋（y ＋2）2＝25，所以x 2＋(y ＋2)2＝20，所以点P 的轨迹方程为x 2＋(y ＋2)2＝20.答案：x 2＋(y ＋2)2＝207．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A (1，0)，B (2，2)，若点C 满足OC →＝OA →＋t (OB →－OA →)，其中t ∈R ，则点C 的轨迹方程是________．解析：设C (x ，y )，则OC →＝(x ，y )，OA →＋t (OB →－OA →)＝(1＋t ，2t )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t ，消去参数t ，得点C 的轨迹方程为y ＝2x －2.答案：y ＝2x －28．△ABC 的顶点A (－5，0)，B (5，0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是________．解析：如图，△ABC 与内切圆的切点分别为G ，E ，F .则|AG |＝|AE |＝8，|BF |＝|BG |＝2，|CE |＝|CF |， 所以|CA |－|CB |＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，轨迹方程为x 29－y 216＝1(x >3)．答案：x 29－y 216＝1(x >3)9．如图所示，已知圆A ：(x ＋2)2＋y 2＝1与点B (2，0)，分别求出满足下列条件的动点P 的轨迹方程．(1)△P AB 的周长为10；(2)圆P 与圆A 外切，且过B 点(P 为动圆圆心)；(3)圆P 与圆A 外切，且与直线x ＝1相切(P 为动圆圆心)．解：(1)根据题意，知|PA |＋|PB |＋|AB |＝10，即|P A |＋|PB |＝6>4＝|AB |，故P 点的轨迹是椭圆，且2a ＝6，2c ＝4，即a ＝3，c ＝2，b ＝ 5.因此其轨迹方程为x 29＋y 25＝1(y ≠0)．(2)设圆P 的半径为r ，则|P A |＝r ＋1，|PB |＝r ， 因此|P A |－|PB |＝1.由双曲线的定义知，P 点的轨迹为双曲线的右支，且2a ＝1，2c ＝4，即a ＝12，c ＝2，b ＝152，因此其轨迹方程为4x 2－415y 2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≥12. (3)依题意，知动点P 到定点A 的距离等于到定直线x ＝2的距离，故其轨迹为抛物线，且开口向左，p ＝4.因此其轨迹方程为y 2＝－8x .10．已知动圆P 恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，且与直线x ＝－14相切．(1)求动圆P 圆心的轨迹M 的方程；(2)在正方形ABCD 中，AB 边在直线y ＝x ＋4上，另外C ，D 两点在轨迹M 上，求该正方形的面积．解：(1)由题意得动圆P 的圆心到点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0的距离与它到直线x ＝－14的距离相等，所以圆心P 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0为焦点，直线x ＝－14为准线的抛物线，且p ＝12，所以动圆P 圆心的轨迹M 的方程为y 2＝x . (2)由题意设CD 边所在直线方程为y ＝x ＋t . 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋t ，y 2＝x ，消去y ，整理得x 2＋(2t －1)x ＋t 2＝0.因为直线CD 和抛物线交于两点，所以Δ＝(2t －1)2－4t 2＝1－4t ＞0，解得t ＜14. 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝1－2t ，x 1x 2＝t 2. 所以|CD |＝2[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝2[（1－2t ）2－4t 2]＝2（1－4t ）.又直线AB 与直线CD 之间的距离为|AD |＝|t －4|2，|AD |＝|CD |，所以2（1－4t ）＝|t －4|2，解得t ＝－2或t ＝－6，经检验t ＝－2和t ＝－6都满足Δ＞0. 所以正方形边长|AD |＝32或|AD |＝52， 所以正方形ABCD 的面积S ＝18或S ＝50.[B 级 综合练]11．设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点．若BP →＝2P A →，且OQ →·AB →＝1，则点P 的轨迹方程是( )A.32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0) B.32x 2－3y 2＝1(x ＞0，y ＞0) C ．3x 2－32y 2＝1(x ＞0，y ＞0) D ．3x 2＋32y 2＝1(x ＞0，y ＞0)解析：选A.设A (a ，0)，B (0，b )，a ＞0，b ＞0.由BP →＝2P A →，得(x ，y －b )＝2(a －x ，－y )，即a ＝32x ＞0，b ＝3y ＞0.点Q (－x ，y )，故由OQ →·AB →＝1，得(－x ，y )·(－a ，b )＝1，即ax ＋by ＝1.将a ＝32x ，b ＝3y 代入ax ＋by ＝1，得所求的轨迹方程为32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0)．12．若曲线C 上存在点M ，使M 到平面内两点A (－5，0)，B (5，0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C 为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是( )A ．x ＋y ＝5B ．x 2＋y 2＝9 C.x 225＋y 29＝1D ．x 2＝16y解析：选B.因为M 到平面内两点A (－5，0)，B (5，0)距离之差的绝对值为8，所以M 的轨迹是以A (－5，0)，B (5，0)为焦点的双曲线，方程为x 216－y 29＝1.A 项，直线x ＋y ＝5过点(5，0)，满足题意，为“好曲线”；B 项，x 2＋y 2＝9的圆心为(0，0)，半径为3，与M 的轨迹没有交点，不满足题意；C 项，x 225＋y 29＝1的右顶点为(5，0)，满足题意，为“好曲线”；D 项，方程代入x 216－y 29＝1，可得y －y 29＝1，即y 2－9y ＋9＝0，所以Δ＞0，满足题意，为“好曲线”．13．(2021·四川成都石室中学模拟)已知两定点F 1(－1，0)，F 2(1，0)和一动点P ，给出下列结论：①若|PF 1|＋|PF 2|＝2，则点P 的轨迹是椭圆； ②若|PF 1|－|PF 2|＝1，则点P 的轨迹是双曲线； ③若|PF 1||PF 2|＝λ(λ＞0，且λ≠1)，则点P 的轨迹是圆；④若|PF 1|·|PF 2|＝a 2(a ≠0)，则点P 的轨迹关于原点对称；⑤若直线PF 1与PF 2的斜率之积为m (m ≠0)，则点P 的轨迹是椭圆(除长轴两端点)．其中正确的是________．(填序号)解析：对于①，由于|PF 1|＋|PF 2|＝2＝|F 1F 2|，所以点P 的轨迹是线段F 1F 2，故①不正确．对于②，由于|PF 1|－|PF 2|＝1，故点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的右支，故②不正确．对于③，设P (x ，y )，由题意得（x ＋1）2＋y 2（x －1）2＋y 2＝λ，整理得(1－λ2)x 2＋(1－λ2)y 2＋(2＋2λ2)x ＋1－λ2＝0.因为λ＞0，且λ≠1，所以x 2＋y 2＋（2＋2λ2）1－λ2x ＋1－λ21－λ2＝0，所以点P 的轨迹是圆，故③正确．对于④，设P (x ，y )，则|PF 1|·|PF 2|＝（x ＋1）2＋y 2·（x －1）2＋y 2＝a 2.又点P (x ，y )关于原点的对称点为P ′(－x ，－y )，因为（－x ＋1）2＋（－y ）2·（－x －1）2＋（－y ）2＝（x ＋1）2＋y 2·（x －1）2＋y 2＝a 2，所以点P ′(－x ，－y )也在曲线（x ＋1）2＋y 2·（x －1）2＋y 2＝a 2上，即点P 的轨迹关于原点对称，故④正确．对于⑤，设P (x ，y )，则k PF 1＝y x ＋1，k PF 2＝y x －1，由题意得k PF 1·k PF 2＝y x ＋1·yx －1＝y 2x 2－1＝m (m ≠0)，整理得x 2－y 2m ＝1，此方程不一定表示椭圆，故⑤不正确． 综上，正确结论的序号是③④. 答案：③④14．如图，已知椭圆C ：x 218＋y 29＝1的短轴端点分别为B 1，B 2，点M 是椭圆C 上的动点，且不与B 1，B 2重合，点N 满足NB 1⊥MB 1，NB 2⊥MB 2.(1)求动点N 的轨迹方程；(2)求四边形MB 2NB 1面积的最大值．解：(1)方法一：设N (x ，y )，M (x 0，y 0)(x 0≠0)． 由题知B 1(0，－3)，B 2(0，3)， 所以k MB 1＝y 0＋3x 0，k MB 2＝y 0－3x 0.因为MB 1⊥NB 1，MB 2⊥NB 2， 所以直线NB 1：y ＋3＝－x 0y 0＋3x ，①直线NB 2：y －3＝－x 0y 0－3x ，② ①×②得y 2－9＝x 20y 20－9x 2.又因为x 2018＋y 209＝1，所以y 2－9＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 209y 20－9x 2＝－2x 2，整理得动点N 的轨迹方程为y 29＋x 292＝1(x ≠0)．方法二：设N (x ，y )，M (x 0，y 0)(x 0≠0)． 由题知B 1(0，－3)，B 2(0，3)， 所以k MB 1＝y 0＋3x 0，k MB 2＝y 0－3x 0.因为MB 1⊥NB 1，MB 2⊥NB 2， 所以直线NB 1：y ＋3＝－x 0y 0＋3x ，①直线NB 2：y －3＝－x 0y 0－3x ，② 联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y 20－9x 0，y ＝－y 0.又x 2018＋y 209＝1，所以x ＝－x 02，故⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－2x ，y 0＝－y ，代入x 2018＋y 209＝1，得y 29＋x 292＝1. 所以动点N 的轨迹方程为y 29＋x 292＝1(x ≠0)．方法三：设直线MB 1：y ＝kx －3(k ≠0)， 则直线NB 1：y ＝－1k x －3，①直线MB 1与椭圆C ：x 218＋y 29＝1的交点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12k 2k 2＋1，6k 2－32k 2＋1. 则直线MB 2的斜率为k MB 2＝6k 2－32k 2＋1－312k 2k 2＋1＝－12k .所以直线NB 2：y ＝2kx ＋3.②由①②得点N 的轨迹方程为y 29＋x 292＝1(x ≠0)．(2)由(1)方法三得直线NB 1：y ＝－1k x －3，① 直线NB 2：y ＝2kx ＋3，②联立①②解得x ＝－6k2k 2＋1，即x N ＝－6k2k 2＋1，故四边形MB 2NB 1的面积S ＝12|B 1B 2|(|x M |＋|x N |)＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫12|k |2k 2＋1＋6|k |2k 2＋1＝54|k |2k 2＋1＝542|k |＋1|k |≤2722，当且仅当|k |＝22时，S 取得最大值2722.[C 级 提升练]15．在平面直角坐标系xOy 中取两个定点A 1(－6，0)，A 2(6，0)，再取两个动点N 1(0，m )，N 2(0，n )，且mn ＝2.(1)求直线A 1N 1与A 2N 2的交点M 的轨迹C 的方程；(2)过R (3，0)的直线与轨迹C 交于P ，Q 两点，过点P 作PN ⊥x 轴且与轨迹C 交于另一点N ，F 为轨迹C 的右焦点，若RP →＝λRQ →(λ＞1)，求证：NF →＝λFQ →.解：(1)依题意知，直线A 1N 1的方程为y ＝m6(x ＋6)，①直线A 2N 2的方程为y ＝－n6(x －6)，②设M (x ，y )是直线A 1N 1与A 2N 2的交点，①×②得y 2＝－mn6(x 2－6)，又mn ＝2，整理得x 26＋y 22＝1.故点M 的轨迹C 的方程为x 26＋y 22＝1.(2)证明：设过点R 的直线l ：x ＝ty ＋3，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则N (x 1，－y 1)，由⎩⎨⎧x ＝ty ＋3，x 26＋y 22＝1，消去x ，得(t 2＋3)y 2＋6ty ＋3＝0，(*) 所以y 1＋y 2＝－6t t 2＋3，y 1y 2＝3t 2＋3.由RP →＝λRQ →，得(x 1－3，y 1)＝λ(x 2－3，y 2)，故x 1－3＝λ(x 2－3)，y 1＝λy 2， 由(1)得F (2，0)，要证NF →＝λFQ →，即证(2－x 1，y 1)＝λ(x 2－2，y 2)， 只需证2－x 1＝λ(x 2－2)，只需证x 1－3x 2－3＝－x 1－2x 2－2，即证2x 1x 2－5(x 1＋x 2)＋12＝0，又x 1x 2＝(ty 1＋3)(ty 2＋3)＝t 2y 1y 2＋3t (y 1＋y 2)＋9，x 1＋x 2＝ty 1＋3＋ty 2＋3＝t (y 1＋y 2)＋6，所以2t 2y 1y 2＋6t (y 1＋y 2)＋18－5t (y 1＋y 2)－30＋12＝0，即2t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＝0，而2t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＝2t 2·3t 2＋3－t ·6tt 2＋3＝0成立，得证．。

is曲线和lm方程
IS曲线和LM曲线是宏观经济学中描述货币市场和商品市场的两条曲线，常用于分析和解释货币政策对经济的影响。

IS曲线代表商品市场的均衡，它描述了货币供应量（M）与利率（r）之间的关系。

在IS曲线上，货币供应量等于货币需求量，即M=L=L1(Y)+L2(r)。

其中，L1(Y)表示与收入Y相关的货币需求，L2(r)表示与利率r相关的货币需求。

IS曲线的斜率取决于货币需求的利率弹性和投资的利率敏感性。

如果货币需求的利率弹性越大，IS曲线越陡峭；如果投资的利率敏感性越大，IS曲线越平缓。

LM曲线代表货币市场的均衡，它描述了货币供应量（M）与价格水平（P）之间的关系。

在LM曲线上，货币供应量等于货币需求量，即M=L=M1(P)+M2(r)。

其中，M1(P)表示与价格水平P相关的货币需求，M2(r)表示与利率r相关的货币需求。

LM曲线的斜率取决于货币需求的物价弹性和货币的流通速度。

如果货币需求的物价弹性越大，LM曲线越陡峭；如果货币的流通速度越快，LM曲线越平缓。

IS-LM模型是宏观经济学的核心模型之一，它通过IS曲线和LM曲线的交点来确定经济的均衡状态，从而分析和解释货币政策对经济的影响。

当货币政策改变时，IS曲线和LM曲线的位置会发生变化，导致均衡状态发生变化。

平面曲线的基本性质与方程平面曲线是几何学中研究的一个重要概念，它可以由一系列方程或参数方程来描述。

平面曲线的基本性质包括曲线的类型、对称性和方程的解析形式等。

在本文中，将介绍平面曲线的基本性质与方程，以便更好地理解和应用这一概念。

1. 曲线的类型平面曲线可以分为直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等不同类型。

直线是最简单的曲线，其方程可以用一次函数来表示。

圆是由到定点距离等于半径的点构成的曲线，其方程为(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a，b)为圆心坐标，r为半径。

椭圆是圆在平面上的投影，其方程为(x-a)²/a²+(y-b)²/b²=1，其中(a，b)为椭圆中心坐标。

双曲线的方程为(x-a)²/a²-(y-b)²/b²=1，其中(a，b)为双曲线中心坐标。

抛物线的方程为y=ax²+bx+c，其中a≠0。

2. 对称性平面曲线可以具有对称性，即关于某条轴或点对称。

直线、圆和椭圆都可以具有轴对称性，而双曲线和抛物线不具有轴对称性。

对于方程为f(x, y)=0的曲线，其对称性可由方程的特性决定。

3. 曲线的方程平面曲线的方程可以通过给定的条件或特征来推导。

例如，对于给定的点和斜率，可以使用点斜式方程来表示直线。

若已知两个点，可以使用两点式方程表示直线。

圆的方程可以通过圆心和半径来确定。

椭圆和双曲线的方程可以通过焦点、顶点和离心率等特征来确定。

抛物线的方程可以通过焦点和直线方程来确定。

4. 曲线的参数方程除了用方程来描述曲线，还可以使用参数方程来表示。

参数方程由参数t的函数形式构成，将参数t代入方程中，可以得到曲线上对应点的坐标。

例如，对于直线，可以使用参数方程 x = at + b, y = ct + d 来表示，其中a、b、c、d为常数。

参数方程可以更灵活地描述曲线的变化和特征。

通过研究平面曲线的基本性质与方程，我们可以更好地理解其几何特征和数学表达形式。

平面曲线的基本性质与方程平面曲线在数学中扮演着重要的角色，它们是我们研究几何学、物理学和其他许多学科的基础。

本文将探讨平面曲线的基本性质以及它们的方程表示。

1. 基本性质平面曲线可以是直线、圆、椭圆、抛物线或双曲线等多种形状。

无论其形状如何，平面曲线都具有一些基本的性质：1.1 曲线的长度曲线的长度是指曲线上一点到另一点的实际距离。

对于直线而言，我们可以利用两点之间的距离来计算曲线的长度。

对于其他类型的曲线，我们可以使用微积分的方法对曲线进行参数化，并计算参数范围内的弧长来得到曲线的长度。

1.2 曲线的斜率曲线的斜率描述了曲线在任意一点的变化率。

对于直线而言，我们可以用斜率来衡量其陡峭程度。

对于其他类型的曲线，我们可以使用微积分的方法来计算曲线的切线斜率。

1.3 曲线的曲率曲线的曲率描述了曲线在某一点的弯曲程度。

对于直线而言，曲率为零，因为直线没有弯曲。

而对于其他类型的曲线，我们可以使用微积分的方法计算曲线的曲率。

2. 曲线的方程表示方程是描述曲线的数学表达式。

不同类型的曲线有其特定的方程表示方法：2.1 直线的方程直线的方程可以使用斜率截距法、两点法或一般式等形式表示。

其中，斜率截距法表达式为y = mx + b，其中m为直线的斜率，b为直线与y轴的截距。

2.2 圆的方程圆的方程可以使用标准方程、一般方程或参数方程来表示。

其中，标准方程为(x - a)² + (y - b)² = r²，表示圆心坐标为(a, b)，半径为r的圆。

2.3 椭圆、抛物线和双曲线的方程椭圆、抛物线和双曲线的方程可以使用一般方程或参数方程来表示。

这些方程涉及到二次方程、一次方程和双曲函数等数学工具。

3. 典型问题解析通过分析曲线的方程，我们可以解决许多典型问题，如求曲线的长度、计算切线方程和求曲率等。

3.1 求曲线的长度通过对曲线进行参数化，我们可以利用微积分的方法计算曲线的弧长。

根据参数范围进行积分运算，即可得到曲线的长度。

曲线和方程的概念【知识要点】定义 一般地，如果曲线C 与方程0),(=y x F 之间有以下两个关系：(1)曲线C 上的点的坐标都是方程0),(=y x F 的解；(2)以方程0),(=y x F 的解为坐标的点都在曲线C 上. 我们就把0),(=y x F 叫做曲线C 的方程，曲线C 叫做方程0),(=y x F 的曲线.注意：要建立曲线与方程间的对应关系，仅有条件“曲线C 上的点的坐标都是方程0),(=y x F 的解”是不够的，因为可能有满足方程0),(=y x F 的点不在曲线C 上；仅有条件“以方程0),(=y x F 的解为坐标的点都在曲线C 上”也是不够的，因为曲线C 上可能有不满足方程0),(=y x F 的点.只有同时具备这两个条件时，才能说方程0),(=y x F 是曲线C 的方程，曲线C 是方程0),(=y x F 的曲线.求曲线的方程【知识要点】1 求曲线的方程的步骤：①建立适当的直角坐标系(如果已给出，本步骤省略).②设曲线上任意一点的坐标为),(y x ，写出已知点的坐标，设出相关点的坐标.③根据曲线上点所适合的条件，写出等式.④用坐标表示这个等式(方程)，并化简.⑤证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点(在本教材不作要求).(6)检验，该说明的要说明.2 求曲线方程的常用方法：定义法、直接法、代入法、参数法等.(1)定义法：根据题意可以得出或推出动点的轨迹是直线或圆或椭圆或双曲线或抛物线.根据所学知识可以写出或求出轨迹方程.若方程形式知道，往往用待定系数法求.(2)直接法：根据题设条件直接写出动点的坐标),(y x 所满足的关系式，即方程0),(=y x F .(3)相关点法(代入法)：是所求轨迹上的动点),(y x P 随着另一个已知曲线上的动点),(11y x M 的运动而运动时，一般用代入法求动点P 的轨迹方程.其方法是根据题设条件求得两动点坐标),(y x 与),(11y x 之间的关系式，从中解出),(),,(11y x g y y x f x ==，由于),(11y x M 在已知曲线上，故),(11y x M 满足已知曲线方程，将11,y x 的表达式代入已知曲线方程，从而求得动点P 的轨迹方程.(4)参数法：根据题意得出动点P 的坐标y x ,用其他点的坐标或长度、角、斜率、时间等参数来表示.常用到的公式有两点间的距离公式、中点坐标公式、斜率公式、夹角公式、点到直线的距离公式.曲线的交点【知识要点】1 要求两条曲线的交点的坐标，只需解由这两条曲线的方程所组成的方程组.如果方程组没有实数解，那么这两个方程的曲线就没有交点.反过来，曲线有没有交点也可用来说明方程组有没有实数解.即可用几何图形的性质说明代数方程(组)有没有实数解.2 一般地，斜率为k 的直线b kx y l +=:与曲线C 相交于两点),(),,(2211y x B y x A ，则 ]4))[(1())(1()()(2122122212221221x x x x k x x k y y x x AB -++=-+=-+-=. 或]4))[(11())(11(2122122212y y y y k y y k AB -++=-+=.。

求曲线方程的六种常用方法本文介绍了求解曲线方程的六种常用方法，分别是：1. 寻找基本解析式：通过观察曲线的形状和特征，找到与之相对应的基本解析式。

基本解析式可以是各种函数的特定形式，比如直线的解析式是 y = kx + b，圆的解析式是 (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 等。

2. 根据已知条件确定系数：如果已知曲线通过某些特定点，或者满足某些特定条件，可以根据这些已知条件来确定方程中的系数。

例如，如果已知曲线通过点 (x1, y1)，可以将这个点的 x 值和 y 值代入方程，然后解方程组得到系数的值。

3. 利用对称性：对于某些曲线，可以利用其对称性来求解方程。

比如，若曲线关于 y 轴对称，则它的方程可以写为一个只包含 x 的函数；若曲线关于原点对称，则它的方程可以写为一个只包含 x^2和 y^2 的函数。

4. 使用切线和法线方程：对于曲线上的一点，可以求出该点处的切线和法线方程，从而得到曲线的方程。

切线方程可通过求导得到，法线方程可以通过求切线方程斜率的倒数得到。

5. 运用参数方程：对于某些曲线，如果能够表示为参数方程的形式，那么可以通过求解参数方程中的参数来得到曲线的方程。

参数方程常用于描述曲线的运动或变化，如抛物线的参数方程为 x =at^2，y = 2at。

6. 通过描点法：对于一些复杂的曲线，可以通过描点法来逼近曲线的方程。

具体做法是在平面上选择一些点，然后将这些点的坐标代入方程，确保曲线经过这些点，进而逐步调整方程的系数，使得曲线更加贴合这些点，最终求得曲线的方程。

综上所述，求解曲线方程的六种常用方法包括寻找基本解析式、确定系数、利用对称性、使用切线和法线方程、运用参数方程以及通过描点法。

在具体应用中，选择合适的方法取决于曲线的特征和已知条件。

希望本文对您求解曲线方程有所帮助。

注意：本文介绍的方法仅供参考，具体问题具体分析，使用时需根据实际情况做出决策，谨慎使用。

求曲线方程的六种常用方法1. 解析法解析法是求解曲线方程最常用的方法之一。

通过观察曲线上的特点、关系和性质，可以得出方程的解析表达式。

这种方法通常适用于简单的曲线，如直线、抛物线和圆等。

2. 描述法描述法是一种通过描述曲线的特征和属性来确定曲线方程的方法。

通过描述曲线的形状、位置和特点，可以推导出方程的表达式。

例如，通过描述曲线的对称性、斜率和截距等，可以确定直线的方程。

3. 坐标法坐标法是一种通过确定曲线上的一些点的坐标，并利用这些点之间的关系来求解曲线方程的方法。

通过选择合适的点，建立坐标系，并利用点的坐标与曲线方程之间的关系，可以推导出方程的表达式。

例如，通过选择直线上两个点的坐标，可以确定直线的斜率和截距，从而求解直线的方程。

4. 几何法几何法是一种通过利用几何性质和定理来求解曲线方程的方法。

通过观察和应用几何性质，可以得出曲线的方程。

例如，通过利用直角三角形的性质，可以求解直线的方程。

5. 数值法数值法是一种通过取一些离散点的数值，并利用这些数值来求解曲线方程的方法。

通过选择合适的点，确定它们的坐标和相应的函数值，并利用这些数值进行插值或拟合，可以得出曲线的方程。

数值法适用于曲线较复杂或难以用解析表达式表示的情况。

6. 近似法近似法是一种通过近似计算来求解曲线方程的方法。

通过将复杂的曲线近似为简单的曲线，如直线或二次曲线，可以进行简化的计算，从而得出曲线的近似方程。

这种方法通常适用于复杂曲线的近似表示，例如使用泰勒级数进行近似计算。

以上是求曲线方程的六种常用方法。

根据曲线的特点和需要，选择合适的方法可以更便捷地求解曲线方程。

曲线与方程知识点总结一、直线的方程1. 斜截式方程直线的斜率k为非零常数，截距b为任意实数，直线方程可表示为：y = kx + b2. 截距式方程过点A(a,b)且与x轴、y轴交点分别为A，B的直线方程为：\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 13. 两点式方程经过两点A(x1,y1)和B(x2,y2)的直线方程为：\frac{y-y1}{y2-y1} = \frac{x-x1}{x2-x1}4. 四个参数式方程经过点A(x1,y1)且斜率为k的直线方程为：(y-y1) = k(x-x1)5. 我国教科书通常在中学阶段只讲解前三种方程的形式，但四个参数式方程在高等数学的微积分、解析几何等课程中非常常见。

6. 平面直角直线方程通常可写为y = kx + b，其中k为直线的斜率，b为截距。

二、曲线的方程1. 平面曲线方程：对于任一平面曲线，通常可以写成y=f(x)的形式。

其中，f(x)是x的函数，描述了y与x 的关系。

2. 参数式方程：有时，平面曲线不方便用y=f(x)的形式描述，而可以使用参数式方程。

参数式方程是一对函数x(t)，y(t)关于参数t的表达式。

3. 极坐标方程：在极坐标系中，平面曲线可以写成r=f(θ)的形式。

其中，r是极径，θ是极角。

三、曲线的性质1. 曲线的对称性：关于x轴对称、y轴对称、原点对称、关于直线y=x对称等。

2. 曲线的周期性：函数f(x)具有周期T的性质，如果满足f(x+T) = f(x)。

曲线在点(x,f(x))和点(x+T,f(x))上有相同的函数值。

3. 曲线的单调性：函数f(x)在区间I上单调递增或单调递减。

4. 曲线的凹凸性：函数f(x)在区间I上凹函数或凸函数。

5. 曲线的渐近线：直线y=kx+b与曲线f(x)有以下情形：a) f(x)在正无穷大的地方与y=kx+b趋近同一数值。

b) f(x)在正无穷大的地方与y=kx+b趋近无穷大。

c) f(x)在正无穷大的地方与y=kx+b有交点但同时趋于正无穷大和负无穷大。

第八节 曲线与方程轨迹与轨迹方程了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系．知识点 曲线与方程 1．曲线与方程一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程f (x ，y )＝0的实数解建立了如下关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫作曲线的方程，这条曲线叫作方程的曲线．2．求动点轨迹方程的一般步骤(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x ，y )表示曲线上任意一点M 的坐标． (2)写出适合条件p 的点M 的集合P ＝{M |p (M )}． (3)用坐标表示条件p (M )，列出方程f (x ，y )＝0. (4)化方程f (x ，y )＝0为最简形式．(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上． 3．曲线的交点设曲线C 1的方程为F 1(x ，y )＝0，曲线C 2的方程为F 2(x ，y )＝0，则C 1，C 2的交点坐标即为方程组⎩⎪⎨⎪⎧F 1(x ，y )＝0，F 2(x ，y )＝0的实数解．若此方程组无解，则两曲线无交点．易误提醒 (1)曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，前者指曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程(包括范围)．(2)求轨迹方程时易忽视轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响．[自测练习]1．方程(a －1)x －y ＋2a ＋1＝0(a ∈R )所表示的直线( ) A ．恒过定点(－2,3) B ．恒过定点(2,3) C ．恒过点(－2,3)和点(2,3)D ．都是平行直线解析：把点(－2,3)和点(2,3)的坐标代入方程(a －1)x －y ＋2a ＋1＝0.验证知(－2,3)适合方程，而(2,3)不一定适合方程，故选A.答案：A2．平面上有三个点A (－2，y )，B ⎝⎛⎭⎫0，y 2，C (x ，y )，若AB →⊥BC →，则动点C 的轨迹方程为____________．解析：AB →＝⎝⎛⎭⎫2，－y 2，BC →＝⎝⎛⎭⎫x ，y 2，由AB →⊥BC →，得AB →·BC →＝0，即2x ＋⎝⎛⎭⎫－y 2·y 2＝0，∴动点C 的轨迹方程为y 2＝8x .答案：y 2＝8x3．已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，若抛物线过点A (－1,0)，B (1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是________．解析：设抛物线焦点为F ，过A ，B ，O 作准线的垂线AA 1，BB 1，OO 1，则|AA 1|＋|BB 1|＝2|OO 1|＝4，由抛物线定义得|AA 1|＋|BB 1|＝|F A |＋|FB |，∴|F A |＋|FB |＝4，故F 点的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)． 答案：x 24＋y 23＝1(y ≠0)考点一 直接法求轨迹方程|1．(2016·津南一模)平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝λ1OA →＋λ2OB →(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是( )A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线解析：设C (x ，y )，因为OC →＝λ1OA →＋λ2OB →，所以(x ，y )＝λ1(3,1)＋λ2(－1,3)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ1－λ2，y ＝λ1＋3λ2，解得⎩⎨⎧λ1＝y ＋3x10，λ2＝3y －x10，又λ1＋λ2＝1，所以y ＋3x 10＋3y －x10＝1，即x ＋2y ＝5，所以点C 的轨迹为直线，故选A.答案：A2．(2016·南昌模拟)方程(x 2＋y 2－2x )x ＋y －3＝0表示的曲线是( )A ．一个圆和一条直线B ．一个圆和一条射线C ．一个圆D ．一条直线解析：本题考查曲线与方程、数形结合思想．依题意，题中的方程等价于①x ＋y －3＝0或②⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x 2＋y 2－2x ＝0.注意到圆x 2＋y 2－2x ＝0上的点均位于直线x ＋y －3＝0的左下方区域，即圆x 2＋y 2－2x ＝0上的点均不满足x ＋y －3≥0，②不表示任何图形，因此题中的方程表示的曲线是直线x ＋y －3＝0，故选D.答案：D3．在直角坐标平面xOy 中，过定点(0,1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点．若动点P (x ，y )满足OP →＝OA →＋OB →，则点P 的轨迹方程为________．解析：设AB 的中点为M ，则OM →＝12OP →，M ⎝⎛⎭⎫x 2，y 2.又因为OM ⊥AB ，AB →的方向向量为⎝⎛⎭⎫x 2，y 2－1，OM →＝⎝⎛⎭⎫x 2，y 2，所以⎝⎛⎭⎫x 2，y 2－1·⎝⎛⎭⎫x 2，y 2＝0，x 2＋y (y －2)＝0，即x 2＋(y －1)2＝1. 答案：x 2＋(y －1)2＝1直接法求轨迹方程的常见类型(1)题目给出等量关系，求轨迹方程．可直接代入即可得出方程．(2)题中未明确给出等量关系，求轨迹方程．可利用已知条件寻找等量关系，得出方程．考点二 定义法求轨迹方程|已知点F (1,0)，圆E ：(x ＋1)2＋y 2＝8，点P 是圆E 上任意一点，线段PF 的垂直平分线和半径PE 相交于Q .(1)求动点Q 的轨迹Γ的方程；(2)若直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝1相切，并与(1)中轨迹Γ交于不同的两点A ，B ，当OA →·OB →＝λ，且满足23≤λ≤34时，求△AOB 面积S 的取值范围．[解] (1)连接QF (图略)．∵|QE |＋|QF |＝|QE |＋|QP |＝|PE |＝22(22>|EF |＝2)，∴点Q 的轨迹是以E (－1,0)，F (1,0)为焦点，长轴长2a ＝22的椭圆，即动点Q 的轨迹Γ的方程为x 22＋y 2＝1. (2)依题结合图形(图略)知直线l 的斜率不可能为零，所以设直线l 的方程为x ＝my ＋n (m ∈R )．∵直线l 即x －my －n ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相切，∴|n |m 2＋1＝1，得n 2＝m 2＋1. 又∵点A ，B 的坐标(x 1，y 1)，(x 2，y 2)满足：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋n ，x 2＋2y 2－2＝0， 消去x 并整理，得(m 2＋2)y 2＋2mny ＋n 2－2＝0.由一元二次方程根与系数的关系，得y 1＋y 2＝－2mnm 2＋2，y 1y 2＝n 2－2m 2＋2.其判别式Δ＝4m 2n 2－4(m 2＋2)(n 2－2)＝8(m 2－n 2＋2)＝8， 又由求根公式得y 1,2＝－2mn ±Δ2(m 2＋2).∵λ＝OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(my 1＋n )(my 2＋n )＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2＋mn (y 1＋y 2)＋n 2＝3n 2－2m 2－2m 2＋2＝m 2＋1m 2＋2.S △AOB ＝12|OA →||OB →|sin ∠AOB ＝12OA →2·OB →2－(OA →·OB →)2＝12|x 1y 2－x 2y 1|＝12|(my 1＋n )y 2－(my 2＋n )y 1|＝12|n (y 2－y 1)|＝12|n |·Δm 2＋2＝2·m 2＋1(m 2＋2)2＝2·m 2＋1m 2＋2·1m 2＋2∵m 2＋1m 2＋2＋1m 2＋2＝1，且λ＝m 2＋1m 2＋2∈⎣⎡⎦⎤23，34， ∴S △AOB ＝2·λ·(1－λ)∈⎣⎡⎦⎤64，23.定义法求轨迹方程的思路(1)运用圆锥曲线的定义求轨迹方程，可从曲线定义出发直接写出方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出方程．(2)定义法和待定系数法适用于已知轨迹是什么曲线，其方程是什么形式的方程的情况．利用条件把待定系数求出来，使问题得解．1．已知动圆过定点F (0,2)，且与定直线l ：y ＝－2相切． (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)若AB 是轨迹C 的动弦，且AB 过点F (0,2)，分别以A ，B 为切点作轨迹C 的切线，设两切线交点为Q ，求证：AQ ⊥BQ .解：(1)依题意，圆心的轨迹是以F (0,2)为焦点，l ：y ＝－2为准线的抛物线，因为抛物线焦点到准线的距离等于4，所以圆心的轨迹方程是x 2＝8y .(2)证明：因为直线AB 与x 轴不垂直，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，y ＝18x 2，得x 2－8kx －16＝0. 所以x 1＋x 2＝8k ，x 1x 2＝－16.抛物线方程为y ＝18x 2，求导得y ′＝14x .所以过抛物线上A ，B 两点的切线斜率分别是k 1＝14x 1，k 2＝14x 2，k 1·k 2＝14x 1·14x 2＝116x 1·x 2＝－1.所以AQ ⊥BQ .考点三 代入法求轨迹方程|在圆O ：x 2＋y 2＝4上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足．设M 为线段PD 的中点．(1)当点P 在圆O 上运动时，求点M 的轨迹E 的方程；(2)若圆O 在点P 处的切线与x 轴交于点N ，试判断直线MN 与轨迹E 的位置关系． [解] (1)设M (x ，y )，则P (x,2y )．∵点P 在圆x 2＋y 2＝4上，∴x 2＋(2y )2＝4，即点M 的轨迹E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)当直线PN 的斜率不存在时，直线MN 的方程为x ＝2或x ＝－2.显然与轨迹E 相切． 当直线PN 的斜率存在时，设PN 的方程为y ＝kx ＋t (k ≠0)． ∵直线PN 与圆O 相切，∴|t |k 2＋1＝2，即t 2－4k 2－4＝0. 又∵直线MN 的斜率为k 2，点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫－t k ，0，∴直线MN 的方程为y ＝k2⎝⎛⎭⎫x ＋t k ， 即y ＝12(kx ＋t )．由⎩⎨⎧y ＝12(kx ＋t )，x24＋y 2＝1，得(1＋k 2)x 2＋2ktx ＋t 2－4＝0.∵Δ＝(2kt )2－4(1＋k 2)(t 2－4)＝－4(t 2－4k 2－4)＝0，∴直线MN 与轨迹E 相切． 综上可知，直线MN 与轨迹E 相切．代入法求轨迹方程的四个步骤(1)设出所求动点坐标P (x ，y )．(2)寻求与所求动点P (x ，y )与已知动点Q (x ′，y ′)的关系． (3)建立P ，Q 两坐标的关系表示出x ′，y ′. (4)将x ′，y ′代入已知曲线方程中化简求解．2．已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左，右焦点，点P 为椭圆C 上的动点，则△PF 1F 2的重心G 的轨迹方程为( )A.x 236＋y 227＝1(y ≠0) B.4x 29＋y 2＝1(y ≠0) C.9x 24＋3y 2＝1(y ≠0) D ．x 2＋4y 23＝1(y ≠0)解析：依题意知F 1(－1,0)，F 2(1,0)，设P (x 0，y 0)，G (x ，y )，则由三角形重心坐标关系可得⎩⎨⎧x ＝x 0－1＋13，y ＝y 03.即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x ，y 0＝3y .代入x 204＋y 203＝1得重心G 的轨迹方程为9x 24＋3y 2＝1(y ≠0)．答案：C27.分类讨论思想在由方程讨论曲线类型中的应用【典例】 已知两个定点A 1(－2,0)，A 2(2,0)，动点M 满足直线MA 1与MA 2的斜率之积是定值m4(m ≠0)．求动点M 的轨迹方程，并指出随m 变化时方程所表示的曲线C 的形状．[思路点拨] 依题直接写出方程后，结合方程结构特征分类判断曲线类型，注意分类标准的确定．[解] 设动点M (x ，y )，依题意有y x －2·y x ＋2＝m4(m ≠0)，整理得x 24－y 2m＝1(x ≠±2)，即为动点M 的轨迹方程．当m >0时，轨迹是焦点在x 轴上的双曲线；当m ∈(－4,0)时，轨迹是焦点在x 轴上的椭圆； 当m ＝－4时，轨迹是圆；当m ∈(－∞，－4)时，轨迹是焦点在y 轴上的椭圆．且点A 1(－2,0)，A 2(2,0)不在曲线上．[方法点评] 由曲线方程讨论曲线类型时，常用到分类讨论思想，其分类的标准有两类： (1)二次项系数为0的值． (2)二次项系数相等的值．[跟踪练习] 在同一坐标系中，方程a 2x 2＋b 2y 2＝1与ax ＋by 2＝0(a >b >0)表示的曲线大致是( )解析：a >b >0得1b 2>1a 2>0，方程a 2x 2＋b 2y 2＝1，即x 21a 2＋y 21b 2＝1表示的是焦点在y 轴上的椭圆；方程ax ＋by 2＝0，即y 2＝－ab x 表示的是焦点在x 轴的负半轴上的抛物线上，结合各选项知，选D.答案：DA 组 考点能力演练1．“点M 在曲线y 2＝4x 上”是“点M 的坐标满足方程2x ＋y ＝0”的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件解析：点M 的坐标满足方程2x ＋y ＝0，则点M 在曲线y 2＝4x 上，是必要条件；但当y >0时，点M 在曲线y 2＝4x 上，点M 的坐标不满足方程2x ＋y ＝0，不是充分条件．2．若M ，N 为两个定点，且|MN |＝6，动点P 满足PM →·PN →＝0，则P 点的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线D ．抛物线解析：∵PM →·PN →＝0，∴PM ⊥PN . ∴点P 的轨迹是以线段MN 为直径的圆． 答案：A3．(2016·梅州质检)动圆M 经过双曲线x 2－y 23＝1的左焦点且与直线x ＝2相切，则圆心M 的轨迹方程是( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x解析：双曲线x 2－y 23＝1的左焦点F (－2,0)，动圆M 经过F 且与直线x ＝2相切，则圆心M 到点F 的距离和到直线x ＝2的距离相等，由抛物线的定义知轨迹是抛物线，其方程为y 2＝－8x .答案：B4．(2016·沈阳质检)已知点O (0,0)，A (1，－2)，动点P 满足|P A |＝3|PO |，则P 点的轨迹方程是( )A ．8x 2＋8y 2＋2x －4y －5＝0B ．8x 2＋8y 2－2x －4y －5＝0C ．8x 2＋8y 2＋2x ＋4y －5＝0D ．8x 2＋8y 2－2x ＋4y －5＝0解析：设P 点的坐标为(x ，y )，则(x －1)2＋(y ＋2)2＝3x 2＋y 2，整理得8x 2＋8y 2＋2x －4y －5＝0，故选A.答案：A5．若曲线C 上存在点M ，使M 到平面内两点A (－5,0)，B (5,0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C 为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是( )A ．x ＋y ＝5B ．x 2＋y 2＝9 C.x 225＋y 29＝1 D ．x 2＝16y解析：M 点的轨迹是双曲线x 216－y 29＝1，依题意，是“好曲线”的曲线与M 点的轨迹必有公共点．四个选项中，只有圆x 2＋y 2＝9与M 点的轨迹没有公共点，其他三个曲线与M 点的轨迹都有公共点，所以圆x 2＋y 2＝9不是“好曲线”．6．(2016·聊城一模)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A (1,0)，B (2,2)，若点C 满足OC →＝OA →＋t (OB →－OA →)，其中t ∈R ，则点C 的轨迹方程是_____________________________．解析：设C (x ，y )，则OC →＝(x ，y )，OA →＋t (OB →－OA →)＝(1＋t,2t )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t ，消去参数t 得点C 的轨迹方程为y ＝2x －2.答案：y ＝2x －27．已知F 是抛物线y ＝14x 2的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段PF 中点的轨迹方程是________．解析：本题考查曲线的方程．因为抛物线x 2＝4y 的焦点F (0,1)，设线段PF 的中点坐标是(x ，y )，则P (2x,2y －1)在抛物线x 2＝4y 上，所以(2x )2＝4(2y －1)，化简得x 2＝2y －1.答案：x 2＝2y －18．已知动点P (x ，y )与两定点M (－1,0)，N (1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)．则动点P 的轨迹C 的方程为________．解析：由题设知直线PM 与PN 的斜率存在且均不为零，所以k PM ·k PN ＝y x ＋1·yx －1＝λ， 整理得x 2－y 2λ＝1(λ≠0，x ≠±1)．即动点P 的轨迹C 的方程为x 2－y 2λ＝1(λ≠0，x ≠±1)．答案：x 2－y 2λ＝1(λ≠0，x ≠±1)9．在直角坐标系xOy 中，动点P 与定点F (1,0)的距离和它到定直线x ＝2的距离之比是22. (1)求动点P 的轨迹Γ的方程； (2)设曲线Γ上的三点A (x 1，y 1)，B ⎝⎛⎭⎫1，22，C (x 2，y 2)与点F 的距离成等差数列，线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k .解：(1)设P (x ，y )．由已知，得(x －1)2＋y 2|x －2|＝22，两边同时平方，化简得x 22＋y 2＝1，故动点P 的轨迹Γ的方程是x 22＋y 2＝1.(2)由已知得|AF |＝22(2－x 1)，|BF |＝22×(2－1)， |CF |＝22(2－x 2)，因为2|BF |＝|AF |＋|CF |，所以22(2－x 1)＋22(2－x 2)＝2×22×(2－1)， 所以x 1＋x 2＝2.①故线段AC 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫1，y 1＋y 22，其垂直平分线的方程为y －y 1＋y 22＝－x 1－x 2y 1－y 2(x －1)．②因为A ，C 在椭圆上，所以代入椭圆，两式相减， 把①代入化简，得－x 1－x 2y 1－y 2＝y 1＋y 2.③把③代入②，令y ＝0，得x ＝12，所以点T 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，0.所以直线BT 的斜率k ＝22－01－12＝ 2.10．在平面直角坐标系xOy 中，动点P (x ，y )到F (0,1)的距离比到直线y ＝－2的距离小1.(1)求动点P 的轨迹W 的方程；(2)过点E (0，－4)的直线与轨迹W 交于两点A ，B ，点D 是点E 关于x 轴的对称点，点A 关于y 轴的对称点为A 1，证明：A 1，D ，B 三点共线．解：(1)由题意可得动点P (x ，y )到定点F (0,1)的距离和到定直线y ＝－1的距离相等，所以动点P 的轨迹是以F (0,1)为焦点，以y ＝－1为准线的抛物线．所以动点P 的轨迹W 的方程为x 2＝4y .(2)证明：设直线l 的方程为y ＝kx －4，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A 1(－x 1，y 1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －4，x 2＝4y ，消去y ，整理得x 2－4kx ＋16＝0. 则Δ＝16k 2－64>0，即|k |>2. x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝16.直线A 1B ：y －y 2＝y 2－y 1x 2＋x 1(x －x 2)，所以y ＝y 2－y 1x 2＋x 1(x －x 2)＋y 2，即y ＝x 22－x 214(x 1＋x 2)(x －x 2)＋14x 22，整理得y ＝x 2－x 14x －x 22－x 1x 24＋14x 22，即y ＝x 2－x 14x ＋x 1x 24.直线A 1B 的方程为y ＝x 2－x 14x ＋4，显然直线A 1B 过点D (0,4)．所以A 1，D ，B 三点共线． B 组 高考题型专练1．(2014·高考广东卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点为(5，0)，离心率为53. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动点P (x 0，y 0)为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．解：(1)依题意知c ＝5，c a ＝53，∴a ＝3，b 2＝a 2－c 2＝4，∴椭圆C 的标准方程为x 29＋y 24＝1. (2)若过点P (x 0，y 0)的切线的斜率不存在或者斜率为零，则易知点P 的坐标为(3,2)或(3，－2)或(－3，2)或(－3，－2)．若过点P (x 0，y 0)的切线的斜率存在且不为0，设切点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，切线P A 的斜率为k ，∵P A ⊥PB ，则切线PB 的斜率为－1k. 切线P A 的方程为y －y 0＝k (x －x 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －y 0＝k (x －x 0)x 29＋y 24＝1得4x 2＋9[k (x －x 0)＋y 0]2＝36，即(4＋9k 2)x 2＋18k (y 0－kx 0)x ＋9(y 0－kx 0)2－36＝0，∵切线P A 与椭圆相切， ∴Δ＝[18k (y 0－kx 0)]2－4(4＋9k 2)[9(y 0－kx 0)2－36]＝0，化简得4＋9k 2－k 2x 20＋2kx 0y 0－y 20＝0.①同理，切线PB 的方程为y －y 0＝－1k (x －x 0)，与椭圆方程x 29＋y 24＝1联立可得，4＋9k 2－x 20k 2－2x 0y 0k－y 20＝0，即4k 2＋9－x 20－2kx 0y 0－k 2y 20＝0.② 由①＋②得13(1＋k 2)－(1＋k 2)(x 20＋y 20)＝0，即(1＋k 2)(x 20＋y 20－13)＝0，∵1＋k 2≠0，∴x 20＋y 20－13＝0，即x 20＋y 20＝13.经检验可知点(3,2)，(3，－2)，(－3,2)，(－3，－2)均满足x 20＋y 20＝13，故点P (x 0，y 0)的轨迹方程为x 2＋y 2＝13.2．(2015·高考广东卷)已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B .(1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3)是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．解：(1)C 1：(x －3)2＋y 2＝4，圆心C 1(3,0)．(2)由垂径定理知，C 1M ⊥AB ，故点M 在以OC 1为直径的圆上，即⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝94. 故线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程是⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝94在圆C 1：(x －3)2＋y 2＝4内部的部分，即⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝94⎝⎛⎭⎫53<x ≤3. (3)联立⎩⎨⎧x ＝53，⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝94，解得⎩⎨⎧ x ＝53，y ＝±253. 不妨设其交点为P 1⎝⎛⎭⎫53，253，P 2⎝⎛⎭⎫53，－253， 设直线L ：y ＝k (x －4)所过定点为P (4,0)， 则kPP 1＝－257，kPP 2＝257. 当直线L 与圆C 相切时，⎪⎪⎪⎪32－k －4k ||k 2＋1＝32，解得k ＝±34. 故当k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－34∪⎝⎛⎭⎫－257，257∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34时，直线L 与曲线C 只有一个交点．。

曲线和方程|曲线与方程有什么关系教学目标（1）了解用坐标法研究几何问题的方法，了解解析几何的基本问题．（2）理解曲线的方程、方程的曲线的概念，能根据曲线的已知条件求出曲线的方程，了解两条曲线交点的概念．（3）通过曲线方程概念的教学，培养学生数与形相互联系、对立统一的辩证唯物主义观点．（4）通过求曲线方程的教学，培养学生的转化能力和全面分析问题的能力，帮助学生理解解析几何的思想方法．（5）进一步理解数形结合的思想方法．教学建议教材分析（1）知识结构曲线与方程是在初中轨迹概念和本章直线方程概念之后的解析几何的基本概念，在充分讨论曲线方程概念后，介绍了坐标法和解析几何的思想，以及解析几何的基本问题，即由曲线的已知条件，求曲线方程；通过方程，研究曲线的性质．曲线方程的概念和求曲线方程的问题又有内在的逻辑顺序．前者回答什么是曲线方程，后者解决如何求出曲线方程．至于用曲线方程研究曲线性质则更在其后，本节不予研究．因此，本节涉及曲线方程概念和求曲线方程两大基本问题．（2）重点、难点分析①本节内容教学的重点是使学生理解曲线方程概念和掌握求曲线方程方法，以及领悟坐标法和解析几何的思想．②本节的难点是曲线方程的概念和求曲线方程的方法．教法建议（1）曲线方程的概念是解析几何的核心概念，也是基础概念，教学中应从直线方程概念和轨迹概念入手，通过简单的实例引出曲线的点集与方程的解集之间的对应关系，说明曲线与方程的对应关系．曲线与方程对应关系的基础是点与坐标的对应关系．注意强调曲线方程的完备性和纯粹性．（2）可以结合已经学过的直线方程的知识帮助学生领会坐标法和解析几何的思想，学习解析几何的意义和要解决的问题，为学习求曲线的方程做好逻辑上的和心理上的准备．（3）无论是判断、证明，还是求解曲线的方程，都要紧扣曲线方程的概念，即始终以是否满足概念中的两条为准则．（4）从集合与对应的观点可以看得更清楚：设表示曲线上适合某种条件的点的集合；表示二元方程的解对应的点的坐标的集合．可以用集合相等的概念来定义“曲线的方程”和“方程的曲线”，即（5）在学习求曲线方程的方法时，应从具体实例出发，引导学生从曲线的几何条件，一步步地、自然而然地过渡到代数方程(曲线的方程)，这个过渡是一个从几何向代数不断转化的过程，在这个过程中提醒学生注意转化是否为等价的，这将决定第五步如何做．同时教师不要生硬地给出或总结出求解步骤，应在充分分析实例的基础上让学生自然地获得．教学中对课本例2的解法分析很重要．这五个步骤的实质是将产生曲线的几何条件逐步转化为代数方程，即文字语言中的几何条件数学符号语言中的等式数学符号语言中含动点坐标，的代数方程简化了的，的代数方程由此可见，曲线方程就是产生曲线的几何条件的一种表现形式，这个形式的特点是“含动点坐标的代数方程．”（6）求曲线方程的问题是解析几何中一个基本的问题和长期的任务，不是一下子就彻底解决的，求解的方法是在不断的学习中掌握的，教学中要把握好“度”．教学设计示例课题：求曲线的方程（第一课时）教学目标：（1）了解坐标法和解析几何的意义，了解解析几何的基本问题．（2）进一步理解曲线的方程和方程的曲线．（3）初步掌握求曲线方程的方法．（4）通过本节内容的教学，培养学生分析问题和转化的能力．教学重点、难点：求曲线的方程．教学用具：计算机．教学方法：启发引导法，讨论法．教学过程（）：【引入】1．提问：什么是曲线的方程和方程的曲线．学生思考并回答．教师强调．2．坐标法和解析几何的意义、基本问题．对于一个几何问题，在建立坐标系的基础上，用坐标表示点；用方程表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质，这一研究几何问题的方法称为坐标法，这门科学称为解析几何．解析几何的两大基本问题就是：（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程．（2）通过方程，研究平面曲线的性质．事实上，在前边所学的直线方程的理论中也有这样两个基本问题．而且要先研究如何求出曲线方程，再研究如何用方程研究曲线．本节课就初步研究曲线方程的求法．【问题】如何根据已知条件，求出曲线的方程．【实例分析】例1：设、两点的坐标是、（3，7），求线段的垂直平分线的方程．首先由学生分析：根据直线方程的知识，运用点斜式即可解决．解法一：易求线段的中点坐标为（1，3），由斜率关系可求得l的斜率为于是有即l的方程为①分析、引导：上述问题是我们早就学过的，用点斜式就可解决．可是，你们是否想过①恰好就是所求的吗？或者说①就是直线的方程？根据是什么，有证明吗？（通过教师引导，是学生意识到这是以前没有解决的问题，应该证明，证明的依据就是定义中的两条）．证明：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解．设是线段的垂直平分线上任意一点，则即将上式两边平方，整理得这说明点的坐标是方程的解．（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．设点的坐标是方程①的任意一解，则到、的距离分别为所以，即点在直线上．综合（1）、（2），①是所求直线的方程．至此，证明完毕．回顾上述内容我们会发现一个有趣的现象：在证明（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解中，设是线段的垂直平分线上任意一点，最后得到式子，如果去掉脚标，这不就是所求方程吗？可见，这个证明过程就表明一种求解过程，下面试试看：解法二：设是线段的垂直平分线上任意一点，也就是点属于集合由两点间的距离公式，点所适合的条件可表示为将上式两边平方，整理得果然成功，当然也不要忘了证明，即验证两条是否都满足．显然，求解过程就说明第一条是正确的（从这一点看，解法二也比解法一优越一些）；至于第二条上边已证．这样我们就有两种求解方程的方法，而且解法二不借助直线方程的理论，又非常自然，还体现了曲线方程定义中点集与对应的思想．因此是个好方法．让我们用这个方法试解如下问题：例2：点与两条互相垂直的直线的距离的积是常数求点的轨迹方程．分析：这是一个纯粹的几何问题，连坐标系都没有．所以首先要建立坐标系，显然用已知中两条互相垂直的直线作坐标轴，建立直角坐标系．然后仿照例1中的解法进行求解．求解过程略．【概括总结】通过学生讨论，师生共同总结：分析上面两个例题的求解过程，我们总结一下求解曲线方程的大体步骤：首先应有坐标系；其次设曲线上任意一点；然后写出表示曲线的点集；再代入坐标；最后整理出方程，并证明或修正．说得更准确一点就是：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对例如表示曲线上任意一点的坐标；（2）写出适合条件的点的集合；（3）用坐标表示条件，列出方程；（4）化方程为最简形式；（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．一般情况下，求解过程已表明曲线上的点的坐标都是方程的解；如果求解过程中的转化都是等价的，那么逆推回去就说明以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．所以，通常情况下证明可省略，不过特殊情况要说明．上述五个步骤可简记为：建系设点；写出集合；列方程；化简；修正．下面再看一个问题：例3：已知一条曲线在轴的上方，它上面的每一点到点的距离减去它到轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程．【动画演示】用几何画板演示曲线生成的过程和形状，在运动变化的过程中寻找关系．解：设点是曲线上任意一点，轴，垂足是（如图2），那么点属于集合由距离公式，点适合的条件可表示为①将①式移项后再两边平方，得化简得由题意，曲线在轴的上方，所以，虽然原点的坐标（0，0）是这个方程的解，但不属于已知曲线，所以曲线的方程应为，它是关于轴对称的抛物线，但不包括抛物线的顶点，如图2中所示．【练习巩固】题目：在正三角形内有一动点，已知到三个顶点的距离分别为、、，且有，求点轨迹方程．分析、略解：首先应建立坐标系，以正三角形一边所在的直线为一个坐标轴，这条边的垂直平分线为另一个轴，建立直角坐标系比较简单，如图3所示．设、的坐标为、，则的坐标为，的坐标为．根据条件，代入坐标可得化简得①由于题目中要求点在三角形内，所以，在结合①式可进一步求出、的范围，最后曲线方程可表示为【小结】师生共同总结：（1）解析几何研究研究问题的方法是什么？（2）如何求曲线的方程？（3）请对求解曲线方程的五个步骤进行评价．各步骤的作用，哪步重要，哪步应注意什么？【作业】课本第72页练习1，2，3；【板书设计】§7．6 求曲线的方程坐标法：解析几何：基本问题：（1）（2）例1：例2：求曲线方程的步骤：例3练习：小结：作业：。

曲线与曲面的参数方程曲线与曲面是数学中非常重要的概念，我们在生活中也可以发现许多物体的形状都可以用曲线与曲面来描述。

这篇文章将介绍曲线与曲面的参数方程，为大家解答这个问题。

一、曲线的参数方程曲线是指在平面或空间中的一条连续的线，因为曲线有弯曲和曲度的特性，所以需要用一种方法来描述它的特性。

参数方程就是一种常用的描述曲线特性的方法。

曲线的参数方程可以用一组参数来表示曲线上的每个点的位置，通常可以表示为：$$\begin{cases}x=f(t) \\ y=g(t)\end{cases}$$这就是二维平面曲线的参数方程，其中 $t$ 是参数，$f(t)$ 和$g(t)$ 是随参数 $t$ 的变化而改变的函数。

例如，坐标系上的圆可以用以下参数方程来表示：$$\begin{cases}x=r\cos t \\ y=r\sin t \end{cases}$$其中 $r$ 是圆的半径，$t$ 的取值范围是 $0\leq t<2\pi $。

当$t=0$ 时，表示圆的起点，当 $t=2\pi$ 时，表示圆的终点。

因为$t$ 是参数，所以可以用不同的参数方程来描述同一个曲线，例如：$$\begin{cases}x=r\cos \omega t \\ y=r\sin \omega t \end{cases}$$其中 $\omega$ 是常数，这也是描述圆的参数方程，只不过经过了缩放，并且运动速度变快了。

同样，空间中的曲线也可以用参数方程来表示，通常可以表示为：$$\begin{cases}x=f(t) \\ y=g(t) \\ z=h(t) \end{cases}$$这就是三维空间中曲线的参数方程，其中 $t$ 是参数，$f(t)$、$g(t)$ 和 $h(t)$ 是随参数 $t$ 的变化而改变的函数。

例如，直线的参数方程可以表示为：$$\begin{cases}x=x_0+at \\ y=y_0+bt \\ z=z_0+ct \end{cases}$$其中 $(x_0,y_0,z_0)$ 是直线上的一个点，$(a,b,c)$ 是直线的方向向量。

高考数学曲线知识点高考数学中的曲线部分是一个重要的知识点，占据了相当大的比例。

掌握曲线的相关知识是学生顺利应对高考数学考试的基础。

本文将从曲线的定义、常见类型和特性，以及解决曲线问题的方法等方面进行论述，帮助读者全面了解和掌握高考数学曲线的相关知识。

一、曲线的定义在数学中，曲线是世界上各种规律运动的变化形式之一。

曲线可以用函数关系、参数方程或者极坐标方程来表示。

其中，函数关系最为常见。

曲线的定义涉及到曲线的方程、图像以及性质，需要综合运用代数、几何等数学知识来进行分析和求解。

二、常见曲线类型及特性（1）直线直线是最简单的一种曲线类型，其方程为y = kx + b。

其中，k代表斜率，b代表截距。

直线的图像是一条无限延伸的直线段。

直线的斜率可以通过求斜率公式或者利用两点坐标计算得出。

（2）抛物线抛物线是一类重要的曲线类型，其方程通常为y = ax^2 + bx + c。

其中，a、b、c是常数，且a不等于0。

抛物线的图像是一个开口方向为上或下的弧线。

抛物线的特点是对称性，即关于曲线的顶点存在对称轴。

（3）圆圆是一种特殊的曲线，其方程为(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2。

其中，(a,b)代表圆心坐标，r代表半径长度。

圆的特点是任意一点到圆心的距离都相等。

利用圆的特性，可以进行相关的圆的性质题目的求解。

（4）椭圆椭圆是一种有趣的曲线类型，其方程为(x - a)^2 / h^2 + (y - b)^2 /k^2 = 1或(x - a)^2 / k^2 + (y - b)^2 / h^2 = 1。

其中，(a,b)代表椭圆的中心坐标，h、k分别代表椭圆在x轴、y轴上的半轴长度。

椭圆的特点是离心率小于1，且椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于常数。

（5）双曲线双曲线是一种特殊的曲线，其方程为(x - a)^2 / h^2 - (y - b)^2 / k^2 = 1或(x - a)^2 / k^2 - (y - b)^2 / h^2 = 1。

曲线方程总结知识点一、曲线方程的基本概念1.曲线的定义曲线是平面上一点的有序集合，它可以用各种方程来描述。

曲线可以是直线、圆、椭圆、双曲线等各种形状，它们可以由不同的方程来表示。

2.曲线方程的定义曲线方程是描述曲线的数学方程，它可以是点的坐标与未知数之间的关系式，用来确定曲线上的点的位置。

不同的曲线有不同的方程形式，如y=ax+b为一元一次方程描述的直线、x²+y²=r²为圆的方程等。

3. 曲线方程的代数类型曲线方程可以是代数方程，如y=ax²+bx+c为二次曲线的方程，也可以是参数方程，如x=at²,y=2at描述的抛物线的参数方程。

不同种类的曲线方程都有其特定的表达形式和求解方法。

二、常见曲线方程1. 一元一次方程一元一次方程是形如y=ax+b的方程，描述了直线的斜率和截距。

斜率a决定了直线的倾斜程度，截距b表示直线与y轴的交点。

2. 二次曲线方程二次曲线方程是形如y=ax²+bx+c的方程，描述了抛物线的形状。

抛物线的开口方向由二次项的系数a决定，正值开口向上，负值开口向下；顶点的横坐标为-x轴的坐标，其纵坐标为常数项c。

3. 圆的方程圆的方程是形如x²+y²=r²的方程，描述了圆的形状。

圆心在原点的圆方程是x²+y²=r²，圆心在(h,k)的圆方程为(x-h)²+(y-k)²=r²，其中(h,k)为圆心坐标，r为半径。

4. 椭圆的方程椭圆的方程是形如(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1的方程，描述了椭圆的形状。

其中(h,k)为椭圆的中心坐标，a为x轴半轴长，b为y轴半轴长。

5. 双曲线的方程双曲线方程是形如(x-h)²/a²-(y-k)²/b²=1的方程，描述了双曲线的形状。