《求曲线的方程》教学设计

2.3 双曲线2.3.1 双曲线及其标准方程（杨军君）一、教学目标（一）学习目标1．理解并掌握双曲线的定义，了解双曲线的焦点、焦距；2．掌握双曲线的标准方程，能够根据双曲线的标准方程确定焦点的位置．（二）学习重点1．双曲线的定义；2．双曲线的标准方程．（三）学习难点1．由双曲线的标准方程确定焦点位置；2．根据条件求双曲线的标准方程．二、教学设计（一）预习任务设计1．预习任务写一写：（1）定义：平面内与两个定点12,F F 的距离差的绝对值 等于常数 2a ，小于|F 1F 2| 的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的 焦点 ，两定点间距离叫做 焦距 ．（2）双曲线的标准方程：焦点在x 轴上：22221(0,0)x y a b a b-=>>． 焦点在y 轴上：22221(0,0)y x a b a b-=>>． 2．预习自测1．下面语句正确的个数是（ ）①平面内到点12(0,4),(0,4)F F -的距离之差等于6的点的轨迹是双曲线． ②双曲线标准方程中,,a b c 的关系是222a b c +=．③双曲线2213y x -=的焦点在y 轴上． A ．0B ．1C ．2D ．3答案：B（二）课堂设计探究一：结合实例，认识双曲线●活动① 回顾旧知，实验探索 前面我们学习了椭圆，椭圆是如何定义的？平面内与两个定点12,F F 的距离的和等于常数122(2||)a a F F >的点的轨迹叫做椭圆．若将椭圆定义中的“距离之和”改为“距离之差”．即平面内与两个定点21,F F 的距离的差等于非零常数的点的轨迹是什么?我们不妨通过画图来探究，借助于拉链来说明作图方法．（如图）取一条拉链，拉开它的一部分，在拉链拉开的两边上各选择一点，分别固定在纸板上的点F 1 ，F 2处，取拉头处为M 点，由于拉链两段是等长的，则221FF MF MF =-，把笔尖放在点M 处，随着拉链的拉开或闭拢，M 点到F 1，F 2的距离的差为常数．这样的动点M 的轨迹是什么呢？【学生活动】请一位同学上黑板演示(用两段绳子来模拟拉链，进行作图)，其他同学观察、思考．画出一条曲线（如图1），这条曲线就是满足下面条件的点的集合：12{|||||}P M MF MF =-=常数如果使点M 到F 2的距离减去到点F 1的距离所得的差等于同一个常数，就得到另一条曲线（图2）．这条曲线是满足下面条件的点的集合：。

《抛物线及其标准方程》教学设计一、设置情景，导入新课可由教师用预先制作的教具向学生演示这种画法（具体操作见课本第115页），给一定的时间让学生以四人小组为单位，合作完成曲线的作图，并请同学们解释这个画法的原理。

得到如下图形：这条曲线是什么？我们以前见过吗？【设计意图】引导学生求该曲线的方程，复习求曲线方程的步骤，强化解析几何“用方程研究曲线”的思想。

【学生活动设计】①请同学们增大点F 到直尺L 的距离，重复刚才的实验，比较一下，曲线有什么变化？再缩小这个距离试一试。

②这说明了什么？【设计意图】学生实验有了初步结论后，可利用几何画板演示随着距离逐渐增大，曲线的开口由小变大的过程，设KF P =，体会参数P 的重要性。

二、以下由学生自主建系，求出该曲线的方程。

【学生活动设计】以原来的四人小组为单位，讨论建系方案，一段时间后，各组交流，对可行的方案进行验证。

大致有如下几种建系方案，本着自愿的原则，由各小组选择一种进行方程的推导。

请三位同学上来板演。

①以K 为原点，定直线所在的直线为 Y 轴建立平面直角坐标系，此时可得 曲线方程为：222y pxp =- (p ＞0)②以F 为原点，过F 且垂直于定直线L 的直线为x 轴，此时可得方程：222y px p =+ (p ＞0)③以垂线段KF 的中点为原点，KF 所在的直线为x 轴，此时可得方程：22y px = (p ＞0)【探究结论】方案3所得出的方程比较简洁，把它叫做该曲线的标准方程。

再次明确参数P 的几何意义。

与椭圆、双曲线的标准方程对比，这种曲线并非椭圆、双曲线的一部份。

如果仍以KF 的中点为原点，KF 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系，求出该曲线的方程。

此时可得方程22xpy =【探究结论】此方程即为初中学过的二次函数2212y x ax p==，由此得出该曲线是抛物线。

三、【定义】平面内与一个定点F 和一条定直线L 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。

求曲线的方程教案教案名称：求曲线的方程课时安排：2课时教学目标：1.理解曲线方程的概念，掌握求曲线方程的基本方法。

2.能够根据给定的条件或图形，求出曲线的方程。

3.培养学生的观察能力、逻辑思维能力和解决问题的能力。

教学重点：1.曲线方程的概念和求法。

2.如何根据条件或图形确定曲线的方程。

教学难点：1.对曲线方程概念的理解。

2.求曲线方程的方法和技巧。

教学准备：1.教学课件或黑板。

2.练习题。

教学过程：第一课时一、导入（5分钟）1.引导学生回顾已学的直线方程、圆的方程等，为引入曲线方程的概念做铺垫。

2.提问：除了直线和圆，还有哪些常见的曲线？它们有什么特点？二、新课讲解（25分钟）1.讲解曲线方程的概念：曲线方程是描述曲线形状和位置关系的数学表达式。

2.介绍求曲线方程的基本方法：a.直接法：根据曲线的定义或性质，直接列出方程。

b.转换法：将曲线转换为已知类型的曲线，求出方程后再转换回去。

c.几何法：利用几何图形的性质和关系，推导出曲线的方程。

3.示例讲解：a.求抛物线y=ax^2+bx+c的方程。

b.求椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的方程。

三、课堂练习（15分钟）1.让学生独立完成练习题，巩固求曲线方程的方法。

2.老师巡回指导，解答学生疑问。

四、总结与拓展（5分钟）1.总结求曲线方程的方法和步骤。

2.提问：在实际问题中，如何确定曲线的类型和方程？第二课时一、复习导入（5分钟）1.复习上节课的内容，让学生回顾求曲线方程的方法。

2.提问：在实际问题中，如何确定曲线的类型和方程？二、新课讲解（25分钟）1.讲解如何根据条件或图形确定曲线的方程：a.观察图形，找出曲线的特点和规律。

b.利用已知条件，列出方程。

c.利用曲线的性质，推导出方程。

2.示例讲解：a.已知抛物线过点(1,2)且焦点为(0,1)，求抛物线的方程。

b.已知椭圆的长轴为10，短轴为6，求椭圆的方程。

三、课堂练习（15分钟）1.让学生独立完成练习题，巩固根据条件或图形求曲线方程的方法。

课题：2.1.1曲线与方程（第1课时）(人教A版普通高中课程标准实验教科书数学选修2—1第二章第一节)一、内容和内容解析1．教学内容《曲线与方程》共分两小节，第一小节主要内容是曲线的方程、方程的曲线的概念；第二小节内容是如何求曲线的方程．本课时为第一小节内容．2．地位与作用本小节内容揭示了几何中的“形”与代数中的“数”相统一的关系，体现了解析几何这门课的基本思想——数形结合思想，对解析几何教学有着指导性的意义．其中，对曲线的方程和方程的曲线从概念上进行明确界定，是解析几何中数与形互化的理论基础和操作依据．《曲线与方程》作为《圆锥曲线与方程》的第一节，一方面，该部分内容是建立在学生学习了直线的方程和圆的方程的基础上对曲线与方程关系认识的一次飞跃；另一方面，它也为下一步学习圆锥曲线方程奠定了模型的基础．因此，它在高中解析几何学习中起着承前启后的关键作用．二、目标和目标解析本课时的教学目标是结合已学曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步理解数形结合的基本思想．具体目标如下：1．通过探究“以方程的解为坐标的点”汇集的图形，感知并归纳概括曲线与方程的对应关系；2．初步理解方程的曲线与曲线的方程的含义；3．通过经历曲线与方程的对应关系的探究过程，发展抽象概括的能力；4．能使用曲线的方程（方程的曲线）的概念判断曲线与方程的对应关系，继续理解数形结合思想．三、教学问题诊断分析1．问题诊断学生已经对“用方程表示直线、圆”有着感性的认知基础，能够根据直线的方程、圆的方程作对应的图形，并对数形结合思想有初步的了解．但是从直线与方程、圆与方程到曲线与方程的对应关系是一次从感性认识到理性认识的“飞跃”，由于大多数学生对“生活中其他的曲线是否能用、如何使用方程表示”这些问题还未曾有过思考，加之曲线的方程（方程的曲线）这一组概念有着较高的抽象性，所以预计在本课的学习中，学生可能出现以下困难：（1）作图探究结束后，学生独立地归纳概括并写出曲线的方程（方程的曲线）的概念时不规范，不全面；（2）难以理解“曲线上的点的坐标都是方程的解”和“以方程的解为坐标的点都在曲线上”这两句话在揭示“曲线与方程”的关系时各自所起的作用．2．重难点重点：曲线的方程（方程的曲线）的概念难点：曲线的方程（方程的曲线）概念的生成和理解3.突出重点、突破难点的策略本节课的教学，根据“问题引导，任务驱动”的设计思路，遵循概念学习的规律，使学生在过程中感受数形结合，从特殊到一般，化归与转化的数学思想．具体表现在：（1）用蕴含数学文化的广告创设情境，并将“章头图”、“章导言”融入其中，产生认知冲突，感悟学习曲线与方程的必要性；（2）让学生经历“作图—存异—质疑—寻因”的探究过程，感知方程的变化带来曲线的变化，曲线的差异导致方程的差异，再通过“独立书写—交流讨论—互动修正”生成概念；（3）学生自主举例，辨析概念，联系已学知识，完成对概念的“结构化”．四、教学支持条件分析1．学情分析本课授课对象是成都石室中学高二理科实验班的学生，数学基础扎实，思维较活跃，具有较为丰富的探究活动经验，但在抽象概括能力和语言的规范表达上还有待进一步提升．2．教学策略与教法、学法本课采取“探究—发现”教学模式．教师的教法注重活动的安排和问题的引导，通过问题引导学生从特殊到一般进行探索发现，并归纳概括．学生的学法注重独立探究、合作交流、归纳建构．教具：多媒体PPT课件，平板电脑，三角板，彩色粉笔学具：教材、草稿本、三角板、圆规、铅笔五、教学过程设计结合教材知识内容和教学目标，本课的教学环节及时间分配如下：教学内容师生活动（预设）设计说明一、创设情景，引入概念师：不知大家有没有看过下面【阶段小结】教师引导下，学生交流自己对定义的认识．台上给大家讲解．生14：错误．两条都不满足．师：进一步分析不符合要求的点或者是方程的解，请你举例说明．生14：通过图象我们发现曲线是分布在第一、三象限，而方程的曲线在第一、二象限．师：能否用定义加以说明？生14：如点（-4,-1）在曲线上，但不是方程F的解；（-4,1）的坐标是方程的解，以它为坐标的点不在曲线上．师：其实，要解决曲线与方程的关系的判断，除了教材上定义之外，还有其他的一些表述，请你在学习定义的基础上谈谈自己对曲线与方程关系的判断方法．生15：（预设）检查曲线上的点和方程的解之间的关系．师：不错，但注意准确性．应该是曲线上的每一个点和方程的每一个解的关系．生16：（预设）看曲线上是否有不是方程的解为坐标的点，看曲线是否包括了方程的所有解为坐标的点．师：很好，这种判断方法相当于是看曲线是否纯粹地列出了方程的解为坐标的点，无多余的点，而方程的解是否完备地通过曲线体现了，没有漏掉解．通过对概念的应用，将学生对曲线的方程（方程的曲线）这一概念的多角度理解进行梳理，引导学生在说出自己对曲线与方程关系的理解的基础上对概念再认识．四、课堂检测，课外延伸【课堂检测】请将以下四个方程和右边的图形用连段连接起来：||0x y-=师：接下来请看课堂检测．请将以下四个方程和四个曲线配对，并简要说明理由．生17：观察方程中解的正负和曲线上点的坐标的正负，可以筛选答案．师：不错．如果我们要用概念检验曲线和方程之间的关系，该如何分析呢？比如第一个方程和第一幅图．课堂检测的作用是检测学生在对定义的理解是否深入，应用是否灵活．||0x y-=220x y-=x y-=【课外延伸】1．查阅资料了解数学家对圆锥曲线的研究历史，并了解笛卡尔在其中所做出的贡献．2．广告创意使用到的笛卡尔的爱情传说中，关于(1sin)r aθ=-与心形曲线的关系涉及到了极坐标系，我们将会在《选修4-4》中学习．生17：第一支曲线上的部分点的坐标不是第一个方程的解，所以方程不是曲线的方程．师：大家想知道本课之初视频背后的故事吗？生（齐）：想．（播放视频）师：广告创意使用到的笛卡尔的爱情传说中，关于(1sin)r aθ=-与心形曲线的关系涉及到了极坐标系，我们将会在《选修4-4》中学习．学生根据范围直接进行配对，体现了其对曲线与方程关系掌握的灵活性．《曲线与方程》衔接了直线、圆与圆锥曲线，了解圆锥曲线的发展历史，更有利于激发学生使用方程研究圆锥曲线的兴趣，更加积极地学习解析几何一眼就问题的方法．对于笛卡尔的爱情传说，学生一定是很有兴趣的，其中涉及到的极坐标系作为本课最后的一个说明即拓展了学生视野，也将高中解析几何的直线与方程、圆与方程、圆锥曲线与方程、坐标系与参数方程四个部分都出现在了本课中．附：板书设计六、目标检测设计在本节课的教学中，为了达成教学目标，我注意了教学环节的设计与教学目标的达成相呼应，做到目标确定环节，在环节中实现目标，具体如下：本课的教学目标达成情况如下：此外，课堂中我还设计了以下目标检测环节： 1.课堂检测请将以下四个方程和图形用连段连接起来：||0x y -= ||0x y -= 220x y -=0x y -=2.课外延伸（1）查阅资料了解数学家对圆锥曲线的研究历史，并了解笛卡尔和坐标系在其中所做出的贡献．（2）广告创意使用到的笛卡尔的爱情传说中关于(1sin)=-与心形曲线的关r aθ系，便是曲线与方程对应关系的体现，它涉及到了极坐标系，我们将会在《选修4-4》坐标系与参数方程中学习．设计意图:课堂检测的目的是检测教学效果．再次感受方程的不同导致曲线的不同之间，曲线的差异对应方程的差异，理解数形结合思想．学会使用概念对曲线与方程的关系进行界定．《中国学生发展核心素养》总体框架中谈到，“文化是人存在的根和魂”，文化基础包括“人文底蕴”、“科学精神”，本课内容承载着这两个要素，曲线与方程的关系体现了解析几何核心思想，而解析几何是近代数学的里程碑．课外延伸旨在通过让学生自主查阅资料拓展视野，了解数学史，感受数学文化，发展数学核心素养．结尾部分让学生了解笛卡尔的信件便使用了“曲线与方程的对应关系”这一知识，激发学生兴趣，并不经意地提及了坐标系及参数方程这一解析几何的板块．《曲线与方程》教学设计说明本课时作为《圆锥曲线与方程》的第一节课，主要内容是曲线的方程（方程的曲线）的概念．学生已经对“用方程表示直线、圆”有着感性的认知基础，能够根据直线的方程、圆的方程作对应的图形，并对数形结合思想有初步的了解．结合以上情况，我制定了本堂课的目标就是结合实例了解曲线与方程的对应关系，感悟数形结合思想.对本课的设计，我作以下说明：1．关于设计定位．如果将曲线的方程（方程的曲线）这一概念直接呈现给学生，然后进行对应练习，学生很可能只会机械记忆判断曲线与方程对应关系的两个条件，无法理解他们在揭示这种关系时各自所起的作用．我在设计这堂课时始终坚持两条思路．一条是以曲线的方程（方程的曲线）这一组概念的知识技能为目标的“明线”，一条是以经历一个完整的“从典型事例中抽象出新的数学概念”体验过程为目标的“暗线”．让数学思想方法似甘露一样浸润学生心田．2．遵循概念学习的规律．曲线与方程的概念的获得应该符合学生的认知规律，在情景中认识到研究“曲线与方程的关系”的必要性，在对典型丰富的事例的探究过程中，归纳概括出特征、性质，并将自然语言逐步转化为数学语言．因此遵循概念教学的规律，设计了“感知概念——形成概念——辨析概念——应用概念”的教学过程．3．实现教材中本章“章头图”、“章导言”的教育价值和作用．作为《圆锥曲线与方程》的第一课时，适当对本章学习内容进行展望是很有必要的，本课的创设情境部分很好的整合了“章头图”、“章导言”与本节内容，产生认知冲动，很好的实现了“章头图”、“章导言”的教育价值和作用．4．浸润数学文化、渗透数学思想、鼓励数学阅读、发展核心素养．文化基础是核心素养的重要内容，包括“人文底蕴”和“科学精神”两个方面，如何在数学学习过程中根据恰当素材进行人文情怀的塑造，是每一位数学教育工作者应该重视的内容．本课的内容体现了解析几何的基本数学思想——数形结合思想，是解析几何的核心概念，课堂中适度安排数学史、数学文化相关内容能够让学生体会数学发展的过程，发展数学素养．5．关于多媒体技术的使用教学中平板电脑充当投影仪的作用，但较传统投影仪有着记录学生活动过程，节约展示时间的优势．因此，根据需要适当选择媒体辅助可以更好的实现教学目的．。

《双曲线的标准方程》-教学设计课题:《双曲线的标准方程》一、教学目标【知识与技能】（1）通过画双曲线和分析具体实例，使学生认识双曲线，理解双曲线的定义；（2）会推导双曲线的标准方程, 能根据条件，求双曲线的标准方程.【过程与方法】学生在自主探究、合作交流等活动中提高分析解决问题的能力，提高运算能力,培养观察、类比、分类讨论等数学思想方法.【情感、态度与价值观】通过运用所学知识分析和解决实际问题，体会数学的应用价值.二、教学过程1 以课前思维导学为基础，感悟概念【课前自主学习任务单】【学习目标】（1）通过实例，认识双曲线，并理解双曲线的定义；（2）会推导双曲线的标准方程, 能根据条件，求双曲线的标准方程;（3）在自主探究、合作交流等活动中提高分析解决问题的能力,增强主动学习的意识.【学法指导】圆、椭圆、双曲线、抛物线等各种美妙线方程息息相关，特别是椭圆和双曲线，有人称之为“情侣曲线”，有很多相似之处，我们可类比椭圆的研究方法研究双曲线. 特别要重视椭圆和双曲线的相同点和不同点.【自主学习任务】动手实践：双曲线是常见的图形，怎样可以得到双曲线呢？小组合作，探寻画出双曲线的方法.自主探索： 导航定位技术在军事、科技、民生等领域有重要作用.有一种定位原理是：F 1、F 2 是两个导航台， 一辆汽车M 上装有定位仪，能接收从导航台发来的无线电信号，因为车M 到导航台的距离不等，因此两处同时发出的信号到达车M 上的时间就有先后，于是定位仪可读出从F 1、F 2发来的信号到达M 上的时间差，就可以知道M 离开各导航台的距离差.假设两个导航台F 1、F 2 距离为10km ，车M 在行驶中，定位仪显示，F 1发来的信号到达时间始终比F 2发来的信号晚5210s -⨯，已知无线电波在空气中传播的速度是5310/km s ⨯.（1）在这个过程中，哪些量是定量？（2）动点M 满足什么条件？思考： 若令F 1、F 2距离为2c ，点P 到F 1、F 2的距离差为2(022)a a c <<，请你求出点P 所在的曲线方程.（提示：类比椭圆标准方程的推导过程）设计意图：课前思维导学任务单包含了两个具体任务。

高中物理曲线运动方程教案
主题：高中物理曲线运动方程
目标：通过本节课的学习，学生将能够理解曲线运动的概念并掌握相关的方程。

一、引入：
1. 展示一个曲线运动的视频，并让学生描述视频中物体的运动轨迹。

2. 引导学生思考，曲线运动与直线运动有何区别？
二、概念讲解：
1. 定义曲线运动：指物体在运动过程中，其轨迹不是直线而是曲线的运动。

2. 讲解曲线运动的相关概念：速度、加速度、曲率等。

3. 引入曲线运动的方程：曲线运动的速度和加速度的关系。

三、方程推导：
1. 推导出曲线运动的速度方程：v(t) = v₀ + at
2. 推导出曲线运动的位移方程：s(t) = s₀ + v₀t + 1/2at²
3. 推导出曲线运动的加速度方程：a(t) = dv/dt = d²s/dt²
四、实例演练：
1. 给出一个曲线运动的实例，让学生带入方程计算速度、加速度和位移。

2. 让学生分组进行讨论，共同解决问题。

五、思考问题：
1. 如何根据已知的速度方程，推导出加速度方程？
2. 曲线运动的加速度是如何影响速度和位移的？
六、课堂小结：
1. 总结本节课所学内容，强调曲线运动方程的重要性。

2. 鼓励学生多多练习，深化对曲线运动方程的理解。

以上是一份高中物理曲线运动方程教案范本，希望对您有所帮助。

祝您教学顺利！。

2.1曲线与方程教学设计教案第一篇：2.1曲线与方程教学设计教案教学准备1. 教学目标[1]了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系 [2]初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的涵义 [3]强化“形”与“数”一致并相互转化的思想2. 教学重点/难点教学重点：理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的涵义教学难点：利用定义验证曲线是方程的曲线，方程式曲线的方程3. 教学用具多媒体设备4. 标签教学过程教学过程设计1 复习引入【师】在本节课之前，我们研究过直线的各种方程，建立了二元一次方程与直线的对应关系：在平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用一个二元一次方程表示，同时任何一个二元一次方程也表示着一条直线，请思考下面问题：【板演/PPT】思考1 直线y＝x上任一点M到两坐标轴距离相等吗？思考2 到两坐标轴距离相等的点都在直线y＝x上，对吗？思考3 到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么？为什么？【生】学生思考交流 2 新知介绍[1]结合具体实例，引入曲线方程和方程曲线概念【师】：引导学生发言总结【板演/PPT】答 y＝±x. 理由：在直角坐标系中，到两坐标轴距离相等的点M的坐标(x0，y0)满足y0＝x0或y0＝－x0，即(x0，y0)是方程y＝±x的解；反之，如果(x0，y0)是方程y＝x或y＝－x的解，那么以(x0，y0)为坐标的点到两坐标轴距离相等．【师】思考下面问题：思考4 曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解，能否说f(x，y)＝0是曲线C的方程？思考5 判断下列命题是否正确．(1)以坐标原点为圆心，半径为r的圆的方程是y＝(2)过点A(2,0)平行于y轴的直线l的方程为|x|＝2. 【生】思考总结【板演/PPT】解 (1)不正确．设(x0，y0)是方程y＝x02＋y02＝r2.两边开平方取算术平方根，得的解，则y0＝，即；＝r即点(x0，y0)到原点的距离等于r，点(x0，y0)是这个圆上的点．因此满足以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．但是，以原点为圆心、半径为r的圆上的一点如点在圆上，却不是y＝的解，这就不满足曲线上的点的坐标都，是方程的解．所以，以原点为圆心，半径为r的圆的方程不是y＝而应是y＝±. (2)①、直线上的点的坐标都满足方程︱x︱=2②、满足方程︱x︱=2的点不一定在直线上结论：过A（2，0）平行于y轴的直线的方程不是︱x︱=2 【师】引导学生交流思想总结曲线方程的概念【板演/PPT】曲线的方程、方程的曲线一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．【师】引导学生深入理解定义，从充要条件来理解这个定义【板演/PPT】定义中的两个条件是判定一个方程是否为所定曲线的方程，一条曲线是否为所定方程的曲线的依据，缺一不可．从逻辑知识来看：第一个条件表示f(x，y)＝0是曲线C的方程的必要条件，第二个条件表示f(x，y)＝0是曲线C的方程的充分条件．因此，在判断或证明f(x，y)＝0为曲线C的方程时，必须注意两个条件同时成立．【板演/PPT】从集合角度理解为：定义的实质是平面曲线的点集{M|p(M)}和方程f(x，y)＝0的解集{(x，y)|f(x，y)＝0}之间的一一对应关系．由曲线和方程的这一对应关系，既可以通过方程研究曲线的性质，又可以求曲线的方程 [2]概念应用【师】下面我们看屏幕上的例题【板演/PPT】例1：若命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是正确的，则下列命题为真命题的是( )．A．不是曲线C上的点的坐标，一定不满足方程f(x，y)＝0 B．坐标满足方程f(x，y)＝0的点均在曲线C上 C．曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线D．不是方程f(x，y)＝0的解，一定不是曲线C上的点. 【师】从定义入手，考虑充要条件【生】思考回答【板书/PPT】解析∵题设命题只说明“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”，并未指出“以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都是曲线C上的点”，∴A，B，C都是假命题，如曲线C：平面直角坐标系一、三象限角平分线上的点，与方程f(x，y)＝x2－y2＝0，满足题设条件，但却不满足选项A，B，C的结论，根据逆否命题是原命题的等价命题知，D是正确的．【师】规律方法(1)判断方程是否是曲线的方程，要从两个方面着手，一是检验点的坐标是否适合方程，二是检验以方程的解为坐标的点是否在曲线上．从而建立方程的解与曲线上点的坐标的一一对应关系．(2)定义中的两个条件是判定一个方程是否为指定曲线的方程，一条曲线是否为所给定方程的曲线的准则，缺一不可．因此，在证明f(x，y)＝0为曲线C的方程时，必须证明两个条件同时成立．【师】为了深刻的理解方程与曲线，我们来看下列一个问题【板书/PPT】[例2] 下列方程表示如图所示的直线，对吗？为什么？不对请改正．【生】分析各个方程所表示的曲线是否与图中图象符合【板书/PPT】解：不对，应为y=x 【师】引导学生反思总结【板书/PPT】反思与感悟判断方程表示什么曲线，必要时要对方程适当变形，变形过程中一定要注意与原方程等价，否则变形后的方程表示的曲线就不是原方程的曲线．【板书/PPT】【师】引导学生思考【板书/PPT】方法点拨 (1)判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是否是方程的解，是否适合方程．若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上．解：带入验证知P点在此方程所表示的曲线上，Q点不在。

一、教学目标1. 让学生掌握求曲线方程的基本方法。

2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

3. 提高学生对函数与方程的理解，培养学生的逻辑思维能力。

二、教学内容1. 曲线的概念及其分类。

2. 求曲线方程的方法：(1) 直接法：根据曲线的几何性质，直接列出方程。

(2) 参数法：利用参数表示曲线上的点，列出参数方程，再消去参数得到普通方程。

(3) 转换法：通过坐标变换，将曲线转换为易于求解的方程。

3. 常见曲线的方程及其性质。

三、教学重点与难点1. 教学重点：求曲线方程的方法及其应用。

2. 教学难点：参数法求曲线方程，坐标变换法求曲线方程。

四、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生思考曲线的方程求解过程。

2. 利用数形结合的方法，让学生直观地理解曲线方程的求解。

3. 开展小组讨论，培养学生的合作能力。

五、教学过程1. 引入：通过实例介绍曲线的概念，引导学生关注曲线的方程。

2. 讲解：讲解求曲线方程的直接法、参数法、转换法。

3. 练习：让学生运用所学方法求解实际问题，巩固知识。

4. 拓展：介绍常见曲线的方程及其性质，提高学生的应用能力。

5. 总结：对本节课的内容进行总结，布置作业。

六、教学评价1. 评价学生对曲线方程求解方法的掌握程度。

2. 评价学生运用数学知识解决实际问题的能力。

3. 评价学生对函数与方程的理解和逻辑思维能力。

七、教学案例1. 案例一：求圆的方程问题：给出圆的直径或圆心坐标，求圆的方程。

2. 案例二：求椭圆的方程问题：给出椭圆的长半轴、短半轴和焦距，求椭圆的方程。

八、教学策略1. 针对不同学生的学习情况，采用差异化教学策略，给予学生个性化的指导。

2. 利用多媒体教学资源，为学生提供丰富的学习材料，提高学生的学习兴趣。

3. 鼓励学生积极参与课堂讨论，培养学生的表达能力和思维能力。

九、教学反思1. 反思教学内容：是否全面讲解求曲线方程的方法，是否涵盖常见曲线的方程及其性质。

2.6.2 求曲线的方程（1）教学目标：1．教学知识点．根据已知条件求平面曲线方程的基本步骤.2．能力训练要求．（1）会根据已知条件求一些简单的平面曲线方程.（2）会判断曲线和方程的关系.3．德育渗透目标．（1）提高学生的分析问题能力.（2）提高学生的解决问题能力.（3）培养学生的数学修养.（4）增强学生的数学素质.教学重点：求曲线方程的步骤：（1）依据题目特点，恰当选择坐标系；（2）用M（x，y)表示所求曲线上任意一点的坐标；（3）用坐标表示条件，列出方程F(x，y)＝0；（4）化方程F(x，y)＝0为最简形式；（5）证明化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.教学难点：依据题目特点，恰当选择坐标系及考查曲线方程的点的纯粹性、完备性.教学方法：启发引导法．启发引导学生利用曲线的方程、方程的曲线两个基本概念，借助坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标（x，y)所满足的方程f(x，y)＝0.表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.教具准备：PPT课件．教学过程：一、课题导入［师］上节课，咱们一起探讨了曲线的方程和方程的曲线的关系，下面请一位同学叙述一下，大家一起来回顾.［生］（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形）.二、讲授新课不难发现，利用这两个重要概念，就可以借助于坐标系，用坐标表示点，把满足某种条件的点的集合或轨迹看成曲线，即用曲线上点的坐标（x，y)所满足的方程f(x，y)＝0表示曲线．那么我们就可以通过研究方程的性质间接地研究曲线的性质.而且，我们把这种借助坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法.当今，在数学中，用坐标法研究几何图形的知识已形成了一门学科，它就是解析几何.所以说，解析几何是用代数方法研究几何问题的一门数学学科.它主要研究的是：（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；（2）通过方程，研究平面曲线的性质.［师］下面我们首先讨论求曲线的方程.例1设A，B两点的坐标是（-1，-1），（3，7），求线段AB的垂直平分线的方程.分析线段AB的垂直平分线上的任一点M应满足条件：MA＝MB解：（1）设M（x，y）是线段AB的垂直平分线上任意一点，则MA＝MB，即2222)7()3()1()1(-+-=+++y x y x整理得，x ＋2y －7＝0 ①由此可知，垂直平分线上每一点的坐标都是方程①的解； （2）设点M 1的坐标(x 1，y )是方程①的解， 即x 1＋2y 1－7＝0，x 1＝7－2y 1 ， 点M 1到A ，B 的距离分别是，221112221111(1)(1)(82)(1)5(613);M A x y y y y y =+++=-++=-+221112221111(3)(7)(42)(7)5(613).M B x y y y y y =-+-=-+-=-+∴M 1A ＝M 1B ，即点M 1在线段AB 的垂直平分线上. 由（1）、（2）可知，方程①是线段AB 的垂直平分线的方程.例2 已知一条直线l 和它上方的一个点F ，点F 到l 的距离是2，一条曲线也在l 的上方，它上面的每一点到F 的距离减去到l 的距离的差都是2，建立适当的坐标系，求这条曲线的方程.三、课堂练习已知点M 与x 轴的距离和点M 与点F (0，4)的距离相等，求点M 的轨迹方程.解 设点M 的坐标为（x ，y )，则点M 属于集合：P ＝{M ｜｜y ｜=｜MF ｜} 即｜y ｜=22)4(-+y x 整理得：x 2－8y ＋16＝0.（1）由求方程的过程可知，曲线上的点的坐标都是方程①的解； （2）过点M 1的坐标（x 1，y 1)是方程①的解， 那么，x 12－8y 1＋16＝0 即x 12＋(y 12－8y 1＋16)＝y 122121)4(-+y x ＝｜y 1｜而｜y 1｜正是点M 1到x 轴的距离，2121)4(-+y x 正是点M 1到点F （0，4）的距离.因此点M 1到x 轴的距离和点M 1与点F （0，4）的距离相等.由（1）、（2）可知，x 2－8y ＋16＝0是到x 轴的距离和到点F （0，4）距离相等的点的轨迹方程.例3 如图，已知点C 的坐标是(2 ， 2) ，过点C 的直线CA 与x 轴交于点A ，过点C 且与直线CA 垂直的直线CB 与y 轴交于点B ，设点M 是线段AB 的中点，求点M 的轨迹方程.例4 已知直角坐标平面上点Q (2，0) 和圆O : 122=+y x ，动点M 到圆O 的切线长与|MQ |的比等于常数 ()0>λλ，求动点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？例5 求抛物线()()R m m x m x y ∈-+++=11222 的顶点的轨迹方程． 四、课时小结通过本节学习，要掌握求曲线（图形）的方程，一般有下面几个步骤： （1）建立适当的坐标系，用有序实数对例如（x ，y ）表示曲线上任意一点M 的坐标；（2）写出适合条件P 的点M 的集合P ＝{M ｜P (M )}； （3）用坐标表示条件P （M ），列出方程f (x ，y )=0； （4）化方程f (x ，y )＝0为最简形式；xyoCBA⋅M(,)x y 0xyMNQ（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤（5）可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明.另外，根据情况，也可省略步骤（2），直接列出曲线方程.五、课后作业1．完成学案作业．2．预习提纲：（1）怎样求一些较复杂的曲线的方程？（2）怎样通过曲线的方程求两条曲线的交点？。

高中高二数学教案：曲线和方程曲线和方程教学目标（1）了解用坐标法研究几何问题的方法，了解解析几何的基本问题．（2）理解曲线的方程、方程的曲线的概念，能根据曲线的已知条件求出曲线的方程，了解两条曲线交点的概念．（3）通过曲线方程概念的教学，培养学生数与形相互联系、对立统一的辩证唯物主义观点．（4）通过求曲线方程的教学，培养学生的转化能力和全面分析问题的能力，帮助学生理解解析几何的思想方法．（5）进一步理解数形结合的思想方法．教学建议教材分析（1）知识结构曲线与方程是在初中轨迹概念和本章直线方程概念之后的解析几何的基本概念，在充分讨论曲线方程概念后，介绍了坐标法和解析几何的思想，以及解析几何的基本问题，即由曲线的已知条件，求曲线方程；通过方程，研究曲线的性质．曲线方程的概念和求曲线方程的问题又有内在的逻辑顺序．前者回答什么是曲线方程，后者解决如何求出曲线方程．至于用曲线方程研究曲线性质则更在其后，本节不予研究．因此，本节涉及曲线方程概念和求曲线方程两大基本问题．（2）重点、难点分析①本节内容教学的重点是使学生理解曲线方程概念和掌握求曲线方程方法，以及领悟坐标法和解析几何的思想．②本节的难点是曲线方程的概念和求曲线方程的方法．教法建议（1）曲线方程的概念是解析几何的核心概念，也是基础概念，教学中应从直线方程概念和轨迹概念入手，通过简单的实例引出曲线的点集与方程的解集之间的对应关系，说明曲线与方程的对应关系．曲线与方程对应关系的基础是点与坐标的对应关系．注意强调曲线方程的完备性和纯粹性．（2）可以结合已经学过的直线方程的知识帮助学生领会坐标法和解析几何的思想，学习解析几何的意义和要解决的问题，为学习求曲线的方程做好逻辑上的和心理上的准备．（3）无论是判断、证明，还是求解曲线的方程，都要紧扣曲线方程的概念，即始终以是否满足概念中的两条为准则．（4）从集合与对应的观点可以看得更清楚：设表示曲线上适合某种条件的点的集合；表示二元方程的解对应的点的坐标的集合．可以用集合相等的概念来定义“曲线的方程”和“方程的曲线”，即（5）在学习求曲线方程的方法时，应从具体实例出发，引导学生从曲线的几何条件，一步步地、自然而然地过渡到代数方程(曲线的方程)，这个过渡是一个从几何向代数不断转化的过程，在这个过程中提醒学生注意转化是否为等价的，这将决定第五步如何做．同时教师不要生硬地给出或总结出求解步骤，应在充分分析实例的基础上让学生自然地获得．教学中对课本例2的解法分析很重要．这五个步骤的实质是将产生曲线的几何条件逐步转化为代数方程，即文字语言中的几何条件数学符号语言中的等式数学符号语言中含动点坐标，的代数方程简化了的，的代数方程由此可见，曲线方程就是产生曲线的几何条件的一种表现形式，这个形式的特点是“含动点坐标的代数方程．”（6）求曲线方程的问题是解析几何中一个基本的问题和长期的任务，不是一下子就彻底解决的，求解的方法是在不断的学习中掌握的，教学中要把握好“度”．教学设计示例课题：求曲线的方程（第一课时）教学目标：（1）了解坐标法和解析几何的意义，了解解析几何的基本问题．（2）进一步理解曲线的方程和方程的曲线．（3）初步掌握求曲线方程的方法．（4）通过本节内容的教学，培养学生分析问题和转化的能力．教学重点、难点：求曲线的方程．教学用具：计算机．教学方法：启发引导法，讨论法．教学过程：【引入】1．提问：什么是曲线的方程和方程的曲线．学生思考并回答．教师强调．2．坐标法和解析几何的意义、基本问题．对于一个几何问题，在建立坐标系的基础上，用坐标表示点；用方程表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质，这一研究几何问题的方法称为坐标法，这门科学称为解析几何．解析几何的两大基本问题就是：（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程．（2）通过方程，研究平面曲线的性质．事实上，在前边所学的直线方程的理论中也有这样两个基本问题．而且要先研究如何求出曲线方程，再研究如何用方程研究曲线．本节课就初步研究曲线方程的求法．【问题】如何根据已知条件，求出曲线的方程．【实例分析】例1：设、两点的坐标是、（3，7），求线段的垂直平分线的方程．首先由学生分析：根据直线方程的知识，运用点斜式即可解决．解法一：易求线段的中点坐标为（1，3），由斜率关系可求得l的斜率为于是有即l的方程为①分析、引导：上述问题是我们早就学过的，用点斜式就可解决．可是，你们是否想过①恰好就是所求的吗？或者说①就是直线的方程？根据是什么，有证明吗？（通过教师引导，是学生意识到这是以前没有解决的问题，应该证明，证明的依据就是定义中的两条）．证明：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解．设是线段的垂直平分线上任意一点，则即将上式两边平方，整理得这说明点的坐标是方程的解．（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．设点的坐标是方程①的任意一解，则到、的距离分别为所以，即点在直线上．综合（1）、（2），①是所求直线的方程．至此，证明完毕．回顾上述内容我们会发现一个有趣的现象：在证明（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解中，设是线段的垂直平分线上任意一点，最后得到式子，如果去掉脚标，这不就是所求方程吗？可见，这个证明过程就表明一种求解过程，下面试试看：解法二：设是线段的垂直平分线上任意一点，也就是点属于集合由两点间的距离公式，点所适合的条件可表示为将上式两边平方，整理得果然成功，当然也不要忘了证明，即验证两条是否都满足．显然，求解过程就说明第一条是正确的（从这一点看，解法二也比解法一优越一些）；至于第二条上边已证．这样我们就有两种求解方程的方法，而且解法二不借助直线方程的理论，又非常自然，还体现了曲线方程定义中点集与对应的思想．因此是个好方法．让我们用这个方法试解如下问题：例2：点与两条互相垂直的直线的距离的积是常数求点的轨迹方程．分析：这是一个纯粹的几何问题，连坐标系都没有．所以首先要建立坐标系，显然用已知中两条互相垂直的直线作坐标轴，建立直角坐标系．然后仿照例1中的解法进行求解．求解过程略．【概括总结】通过学生讨论，师生共同总结：分析上面两个例题的求解过程，我们总结一下求解曲线方程的大体步骤：首先应有坐标系；其次设曲线上任意一点；然后写出表示曲线的点集；再代入坐标；最后整理出方程，并证明或修正．说得更准确一点就是：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对例如表示曲线上任意一点的坐标；（2）写出适合条件的点的集合；（3）用坐标表示条件，列出方程；（4）化方程为最简形式；（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．一般情况下，求解过程已表明曲线上的点的坐标都是方程的解；如果求解过程中的转化都是等价的，那么逆推回去就说明以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．所以，通常情况下证明可省略，不过特殊情况要说明．上述五个步骤可简记为：建系设点；写出集合；列方程；化简；修正．下面再看一个问题：例3：已知一条曲线在轴的上方，它上面的每一点到点的距离减去它到轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程．【动画演示】用几何画板演示曲线生成的过程和形状，在运动变化的过程中寻找关系．解：设点是曲线上任意一点，轴，垂足是（如图2），那么点属于集合由距离公式，点适合的条件可表示为①将①式移项后再两边平方，得化简得由题意，曲线在轴的上方，所以，虽然原点的坐标（0，0）是这个方程的解，但不属于已知曲线，所以曲线的方程应为，它是关于轴对称的抛物线，但不包括抛物线的顶点，如图2中所示．【练习巩固】题目：在正三角形内有一动点，已知到三个顶点的距离分别为、、，且有，求点轨迹方程．分析、略解：首先应建立坐标系，以正三角形一边所在的直线为一个坐标轴，这条边的垂直平分线为另一个轴，建立直角坐标系比较简单，如图3所示．设、的坐标为、，则的坐标为，的坐标为．根据条件，代入坐标可得化简得①由于题目中要求点在三角形内，所以，在结合①式可进一步求出、的范围，最后曲线方程可表示为【小结】师生共同总结：（1）解析几何研究研究问题的方法是什么？（2）如何求曲线的方程？（3）请对求解曲线方程的五个步骤进行评价．各步骤的作用，哪步重要，哪步应注意什么？【作业】课本第72页练习1，2，3；。

双曲线及其标准方程教学设计(教案)一、教学目标：1. 让学生理解双曲线的定义及其性质。

2. 让学生掌握双曲线的标准方程及其求法。

3. 培养学生运用双曲线解决实际问题的能力。

二、教学内容：1. 双曲线的定义与性质2. 双曲线的标准方程3. 双曲线方程的求法4. 双曲线在实际问题中的应用三、教学重点与难点：1. 教学重点：双曲线的定义、性质、标准方程及其求法。

2. 教学难点：双曲线方程的求法及其应用。

四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生探索双曲线的性质与标准方程。

2. 利用数形结合法，让学生直观地理解双曲线的特点。

3. 运用实例分析法，培养学生解决实际问题的能力。

五、教学过程：1. 导入新课：简要介绍双曲线的起源和发展，激发学生的学习兴趣。

2. 自主学习：让学生通过阅读教材，了解双曲线的定义与性质。

3. 课堂讲解：讲解双曲线的标准方程及其求法，引导学生掌握关键步骤。

4. 例题分析：分析典型例题，让学生学会运用双曲线方程解决实际问题。

5. 巩固练习：布置适量练习题，让学生巩固所学知识。

6. 课堂小结：总结本节课的主要内容，提醒学生注意双曲线在实际问题中的应用。

7. 课后作业：布置作业，让学生进一步巩固双曲线及其标准方程的知识。

六、教学评价：1. 评价学生对双曲线定义和性质的理解程度。

2. 评价学生是否能熟练掌握双曲线的标准方程及其求法。

3. 评价学生是否能运用双曲线方程解决实际问题。

七、教学资源：1. 教材：双曲线及其标准方程相关章节。

2. 课件：双曲线图像、性质和标准方程的示例。

3. 练习题：涵盖双曲线定义、性质、标准方程及应用的题目。

八、教学进度安排：1. 第一课时：介绍双曲线定义与性质。

2. 第二课时：讲解双曲线的标准方程及其求法。

3. 第三课时：例题分析与实际应用。

4. 第四课时：巩固练习与课堂小结。

九、教学反思：1. 反思教学方法是否有效，学生是否能积极参与。

2. 反思教学内容是否适合学生的认知水平。

《双曲线的标准方程》教学设计《双曲线的标准方程》教学设计学校教学目的知识与技能：理解双曲线的定义，掌握双曲线的标准方程.过程与方法：通过定义及标准方程的探究，使学生掌握类比、数形结合等思想方法的运用，进步学生观察问题、探究问题、归纳问题的才能.培养学生的核心素养。

情感态度价值观：学生亲历双曲线及其标准方程的获得过程，体会数学的严谨性，培养学生对待知识的科学态度，勇于探究和创新的精神。

教材分析^p1、教材的地位与作用本节课选自人教b版高中数学选修2-1第二章第三节。

双曲线是继椭圆之后学习的又一种圆锥曲线，它是解析几何的重要内容之一.与椭圆相比，双曲线知识更加丰富、方法更加灵敏，才能要求更高.学习双曲线不仅是对椭圆知识和方法的稳固、深化和进步.为进一步学习抛物线，奠定良好的根底.双曲线是一种重要的模型，在日常消费、生活和科学技术上应用广泛。

因此，本节课非常重要，不仅知识上具有承前启后的作用，而且还具备现实意义。

2.设计理念新课标提出在数学教学中，应该培养学生的数学抽象、数学建模、数学逻辑、逻辑推理、直观想象、数据分析^p 六大核心素养。

所以本节课课前我利用班级优化大师推送微课视频和习题，让学生预习并做简单课前测试，学生发现问题带着困惑走进课堂，更有针对性地进展学习。

课上我借助微视频多媒体技术进展引入，创造问题情境，让学生们在实际问题中抽象出数学模型，培养学生的数学抽象和建模才能。

学习者分析^p本节课之前学生已经学习了直线、圆和椭圆，对曲线和方程的思想有一定的理解，对坐标法解决问题有了认识，根本掌握了求曲线方程的一般方法，能对含有两个根式的方程进展化简，能利用数形结合、类比推理的思想方法研究圆锥曲线.高二学生有一定的分析^p 问题、解决问题的才能，具备小组交流合作协同学习才能.教学重难点教学重点：理解双曲线的定义，掌握双曲线的标准方程.教学难点：双曲线标准方程的推导.核心素养数学抽象、数学建模、数据分析^p教法分析^p问题驱动式、小组合作教学资希沃白板5、手机授课助手、几何画板工具、微课、平板电脑教学环节教学内容师生活动设计意图复习引人首先引导学生回忆椭圆定义，同时在屏幕上给出相应的定义，以利于下一问题中进展比照.接着由学生讨论：假设把椭圆定义中的“与两定点的间隔之和”改为“间隔之差”，轨迹又是什么图形呢？引发知识冲突，由和到差，促进学生考虑，激发他们的求知欲望．动手实验探索新知1、利用拉链来画双曲线.老师拿出拉链和两名学生黑板演示实验作图，将拉链的一边截去一局部，将两端用图钉固定在两定点F1得两边同除以得令()代人得其中指出：这个方程叫做双曲线的标准方程.它表示的双曲线焦点在轴上，强调.最后引导学生考虑：以上是焦点在轴上的情况，对于焦点在轴上的情形呢？联想到椭圆在两种建系方法下方程形式的区别，学生很快得出：可以通过、的互换，得到焦点在轴上的标准方程.问题1、双曲线的两个标准方程一样点、不同点？问题2、双曲线与椭圆的标准方程的异同点？学生小组合作探究推导双曲线的标准方程。

双曲线及其标准方程教学设计(教案)第一章：双曲线的概念引入1.1 教学目标：(1) 使学生了解双曲线的起源和发展历程。

(2) 通过实例让学生感受双曲线的几何性质。

1.2 教学内容：(2) 双曲线的历史：介绍双曲线在数学、天文学和物理学等领域的应用，让学生了解双曲线的重要性。

(3) 双曲线的图形展示：利用多媒体展示双曲线的图形，让学生感受双曲线的美丽和神秘。

1.3 教学方法：(1) 实例分析：通过具体的例子，让学生感受双曲线的特点。

(3) 多媒体展示：利用多媒体展示双曲线的图形，增强学生的直观感受。

第二章：双曲线的标准方程2.1 教学目标：(1) 使学生掌握双曲线的标准方程及其实际应用。

(2) 培养学生利用双曲线标准方程解决实际问题的能力。

2.2 教学内容：(1) 双曲线的标准方程：介绍双曲线标准方程的推导过程，让学生理解并掌握双曲线标准方程。

(2) 双曲线标准方程的应用：通过实例，让学生了解双曲线标准方程在实际问题中的应用。

2.3 教学方法：(1) 讲解与演示：教师讲解双曲线标准方程的推导过程，利用图形演示双曲线标准方程的特点。

(2) 实例分析：让学生通过解决实际问题，掌握双曲线标准方程的应用。

(3) 练习与讨论：让学生在课堂上练习双曲线标准方程的计算，分组讨论解决问题。

第三章：双曲线的性质3.1 教学目标：(1) 使学生了解双曲线的基本性质。

(2) 培养学生利用双曲线性质解决实际问题的能力。

3.2 教学内容：(1) 双曲线的性质：介绍双曲线的几何性质，如渐近线、离心率等。

(2) 性质的应用：通过实例，让学生了解双曲线性质在实际问题中的应用。

3.3 教学方法：(1) 讲解与演示：教师讲解双曲线的性质，利用图形演示性质的特点。

(2) 实例分析：让学生通过解决实际问题，掌握双曲线性质的应用。

(3) 练习与讨论：让学生在课堂上练习双曲线性质的计算，分组讨论解决问题。

第四章：双曲线方程的求解4.1 教学目标：(1) 使学生掌握求解双曲线方程的方法。

问题驱动教学——曲线和方程的教学设计
洪晔
【期刊名称】《数学学习与研究：教研版》
【年(卷),期】2008(000)010
【摘要】&lt;正&gt;教学设计理念根据二期课改的要求,概念教学不仅要突出学生对数学知识的掌握和数学能力的培养,还要关心和改善学生的学习方式,更要重视学生对数学情感、态度方面的发展.倡导"以问题为主线,展现本节知识的获得过程.通过解决问题,获得本节所包含的新的数学知识,
【总页数】2页(P80-80,82)
【作者】洪晔
【作者单位】上海市控江中学
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.用问题驱动数学教学--“解分式方程”教学设计 [J], 张丽
2.“超前尝试、同伴成长”课堂教学设计的案例研究——“双曲线的定义及其标准方程”的教学设计和实录 [J], 华志远
3.现代教育理念与教学设计——曲线与方程的教学设计和思考 [J], 李春光;
4.通过问题驱动收获自然的数学教学——高三数学复习课《曲线与方程》教学设计与评析 [J], 文尚平; 徐华
5.问题驱动理念下的高中数学概念课教学设计探析——以《曲线与方程》课为例[J], 尹丽文
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