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已知F1与E1为四等分点，求异面直线
DF1与BE1的夹角余弦值？
z
D1
F1
C1
A1
E1 B1
① 几何法
② 向量法
D A
x
C
B
y
cos DF1,BE1
15 17
cos DF1,E1B
15 17
质疑：空间向量的夹角与异面直线的夹角有什么
区别？
例1、如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为a,侧棱长为 2a 求AC1和CB1的夹角，
1）求AC1和CB1的夹角，
2）求AC1和面ABB1A1所成角的正弦值
2）直线与平面所成的角
步骤： 1、求出平面的法向量
2、求出直线的方向向量
C1
3、求以上两个向量的夹角，
（锐角）其余角为所求角 A1
B1
设平面ABB1B的法向量：n (1, y, z)
AA1 (0,0, 2a) AB (0, a, 0)
⑶.cos SA,OB SAOB 2 10 SA OB 5 2 5
所以直线SA与OB所成角余弦值为
10
5
z
S
O
Cy
B
2.如图，60°的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分 别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直AB，已知AB＝ 4，AC＝6，BD＝8，求CD的长.
C
B
A
D
练习：在例2中，长方体AC1的棱AB=BC=3，BB1=4，
C1
F1
D1
B1
A(1, 0, 0), B(0,1, 0),
1
11
F1( 2 , 0,1), D1( 2 , 2 ,1)
A1
C
所以：AF1
(
1 2
,
0,1),
BD1
(1 2
,
1 2
,1)
A
By
cos AF1, BD1
AF1 • BD1
x
1 1 4
30
| AF1 || BD1 |
5 3 10
42
l
3）角的边都要垂直于二面角的棱
B
范围:[0, ]
10
二面角的计算几何法：
1、找到或作出二面角的平面角 2、证明 1中的角就是所求的角 3、计算出此角的大小
一“作”二“证”三“计算”
16
练习
１.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，二面角C1-BD-C
的正切值是___2____.
三、面面角： 二面角的范围： [0, ]
z
点E是CC1的中点 。 求:二面角B1―A1C―C1的大小。 A1
D1
解：如图，建立空间直角坐标系，
B1
C1
由例2知面A1B1C的法向量为 n1 =（0，4，3）
下面我们来求面A1 C1C的法向量 n2
A
E D
设 n2 =（x，y，z），由于 A1C1=（3，3，0）, B
CC1 =（0，0，4） 于是n2 A1C1 0 n2 CC1 0
SA =（2，0，-1）；AB =（-1，1，0）；
OB =（1，1，0）；OS =（0，0，1）；
Cy
B
（2）设面SAB的法向量 n (x, y, z)
显然有 n AB, n SA
x y 0
2x
z
0
A
令x=1，则y=1，z=2；从而 n (1,1,2) x
z
S
O
Cy
B
sin cos OS, n OS n 2 6
O
B A
A
B
从一条直线出发的两个半平面所组成的图 形叫做二面角。 这条直线叫做二面角的棱。
这两个半平面叫做二面角的面。
3
表示方法：
B
∠AOB
O
二面角－AB－
A
A
C
B
l
B
A
二面角－ l－
D
二面角C－AB－ D
5
度量：以二面角的棱上任意一点为端点，在
两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这 两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
分析：求异面直线的夹角
解法步骤：1、写出异面直线的方向
向量的坐标。
Z
2、利用空间两个向量的
A1
夹角公式求出夹角。Fra bibliotekC1 B1
31
AC1 (
2
a, a, 2
2a)
CB1 (
3 a, 1 a, 22
2a)
cos
AC1, CB1
|
AC1 CB1 AC1 | | CB1 |
3 a2 2 3a2
1 2
A
D O
A
B1(2，2，2)，O(1，1，0)。
x
B1O MA 2 0 2 0，B1O MC 0 2 2 0
所以B1O MA ， B1O MC 即B1O MA ， B1O MC。又MA
所以B1O 平面MAC
MC C
C1 B1
y
C B
② 由①知 B1O 平面MAC
且B1O (1，1， 2)
30
所以 BD与1 A所F1成角的余弦值为 10
二、线面角 斜线与平面所成的角
平面的一条斜线 和它在这个平面内的射影 所成的锐角
A
O
B
当直线与平面垂直时，直
线与平面所成的角是90°
当直线在平面内或
与平面平行时， 直线与平面所成的角是0°
直线与平面所成的角
[ 0°, 90°]
斜线与平面所成的角
（ 0°, 90°） 异面直线所成的角
空间“角”问题
空间的角： 空间的角常见的有：线线角、线面角、面面角。
一、线线角：
异面直线所成角的范围：
0,
2
思考：
C
D
CD, AB 与的关系？
A D1
B
DC, AB 与的关系？
设直线CD的方向向量为a，AB的方向向量为b
a
b
a，b
|
a
a，b b
|
结论：
| cos a,b |
n n
AA1 AB
0 0
(1, (1,
y, y,
z z
) )
(0, (0,
0, a,
2a) 0) 0
0
z y
0 0
n (1, 0, 0)
AC1 (
3 a, 1 a, 22
2a)
A
cos
AC1, n
|
AC1 AC1 |
n | n
|
3 a2 2 3a2
1 2
所以AC1和面ABB1A1所成角的正弦值为
①向量法
n1，n2
n1，n2
n2
n1，n2
n2
n1，n2
n1
n1
l
l
cos cos n1, n2 cos cos n1, n2
注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角； 同进同出，二面角等于法向量夹角的补角
例4.已知正方体 ABCD A1B1C1D1的边长为2，
OS n 1 6 3
⑵.由⑴知面SAB的法向量 n1 =（1，1，2）
又∵OC⊥面AOS，∴OC 是面AOS的法向量，
令 n2 OC (0,1,0)
则有 cos n1, n2 n1 n2 n1 n2
1 6
A
由于所求二面角的大小等于 n1, n2
x
∴二面角B－AS－O的余弦值为
6
6
M A
EB=(－2a，2a，0)， … 5分
C
DM ·EB =a (－2a) +a ·2a +0=0 B y DM⊥EB，即DM⊥EB
E
…… 7分
x (Ⅱ)解:设平面MBD的法向量为n=(x，y，z)
DB=(0，2a，－2a)由n⊥DB， n⊥DM得
n n
DB = 2ay 2az DM = ax + ay
所以B1O是平面MAC的z 一个法向量
设平面B1MA的一个法向量为n (x，y，z) D1
由A(2，0，0)，M (0，0，1)，B1(2，2，2)得 MA (2，0，1)，MB1 (2，2，1)
A1 M
C1 B1
所以n MA 0，n MB1 0
即 22xx
0 2
z y
z
0
0
取z=2得x=1，y= - 2
= 3 2
0 az
=
0
y x
= +
z y
3 2
z
=
0
… 10分
取z=2得平面MBD的一非零法向量为n=(1，2，2)，
又平面BDA的法向量为 n1=(1，0，0)， … 11分
z D
cos <n，n1>
=
1+ 0 + 0
= 1.
C 12 + 22 + 22 12 + 02 + 02 3
M A
E x
∴AC1和CB1的夹角为：
x
3
C
D
y
B
练习：Rt ABC中，BCA 900,现将 ABC沿着平面ABC的法向量
平移到A1B1C1位置，已知 BC CA CC1，取A1B1、A1C1的中
取A1B1、A1C1的中点D1、F1，求BD1与AF1所成的角的余弦值.
解：如图所示，建立空间直角坐标
z
系 C,如xy图z 所示，设 则C：C1 1
所成角
AB,
n
的余角.
n
cos < AB, n >=
AB n
