空间角的计算(1)

空间角的计算(总2页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除2第五节 空间角的计算空间角，能比较集中反映空间想象能力的要求，历来为高考命题者垂青，几乎年年必考。

空间角是异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角总称。

空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转化为空间向量的坐标运算来解。

空间角的求法一般是：一找、二证、三计算。

例 1 已知四边形ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ABC ∠=，PA ⊥平面AC ，且2BC =，1PA AD AB ===，求异面直线PC 与BD 所成角的余弦值。

图形的画法位置转换一下呢？ 小结：求异面直线所成角的方法：变式 如图，点P 是边长为1的正方形ABED 所在平面外的一点，且PA ⊥平面ABED ，PA=1，又PB EM 21//，求异面直线PM 与BD 所成角的余弦值； 例2 如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 平面ABCD ，CD AB //，090=∠DAB ，1===DC AD PA ，2=AB ，M 为PB 的中点．求直线CM 与平面PAC 所成角的余弦值．小结：求斜线与平面所成角的方法：变式1 如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝2BC ，∠ABC ＝120°，E 为线段AB 的中线，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A′DE ，使平面A′DE ⊥平面BCD ，F 为线段A′C 的中点.求FM 与平面A′DE 所成角的大小。

变式 2 已知四边形ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ABC ∠=，PA⊥平面AC ，且2BC =，1PA AD AB ===，取PC 的中点M ，求直线DM 与平面PBD 所成角的正弦值。

例3 如图，点P 是边长为1的正方形ABED 所在平面外的一点，且PA ⊥平面ABED ，PA=1，PB EM 21//，且∠DME=90°，EMBPA MCBPADEMBPMA /F ED C BA3求平面PDM 与平面ABED 所成角的余弦值。

空间角的求法（一）异面直线所成的角：]2,0(平移法：平移其中一条或两条使之成为相交直线所成的角。

题型一 求异面直线所成的角例1：正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中， （1） 求AC 与D A 1所成角的大小；（2）若E 、F 分别为AB 、AD 的中点，求A 1C 1与EF 所成角的大小. 练习1.如图, 正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中, 异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为 ；异面直线A 1B 与DC 1所成角为 ；异面直线A 1B 与CC 1所成角为 。

2．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知DA=DC=4，DD 1=3求异面直线A 1B 与B 1C 所成角的余弦值。

3．如图，在四棱锥P —ABCD 中，PO ⊥底面ABCD ， O 为AD 中点,侧棱P A ＝PD =2,底面ABCD 为直角梯形，其中BC ∥AD ,AB ⊥AD , AD =2AB =2BC=2，. (1)求异面直线PB 与CD 所成角的余弦值；b ′Oba（二）直线和平面所成的角[0，2π] 定义法：（1）经过斜线上一点作面的垂线；（2）找出斜线在平面内的射影，从而找出线面角；（3）解直角三角形 题型二 求线面角例2：如图,正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求直线BC 1与平面ABCD 所成角的大小。

练习1：在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是BC 1的中点．求直线DE 与平面ABCD 所成角的θ大小（用三角函数值表示）．D1C1A1B1ABCDE（三）二面角[0,180]oo定义1（1）过二面角的棱上的一点O 分别在两个半平面内作棱的两条垂线,OA OB ，则AOB ∠叫做二面角l αβ--的平面角 定义2（2）一个平面垂直于二面角l αβ--的棱l ，且与两半平面交线分别为,,OA OB O 为垂足，则AOB ∠也是l αβ--的平面角二面角的平面角的特点：1） 角的顶点在棱上 ；2）角的两边分别在两个面内 ；3）角的边都要垂直于二面角的棱。

求空间角的方法-高考数学一题多解一、攻关方略空间角的探究是立体几何的一类重要题型.空间的角包括异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角，求空间角首先要把它转化为平面角（即降维策略的应用），然后用代数的方法、三角的方法求解，或者直接用向量的方法求解，异面直线所成角的范围是0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦，直线与平面所成角的范围是0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，二面角的范围是[]0,π.1.异面直线所成角的求解（1）平移法.在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线；也可在两条异面直线外空间选择“特殊点”，分别作两条两异面直线的平行线（单移或双移）.（2）补形法.把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，从而发现两条异面直线间的关系.（3）向量法.建立适当的空间直角坐标系，求出两异面直线所在向量的坐标，代入向量夹角公式即可求出.求异面直线AB 与CD 的夹角θ，cos AB CD AB CDθ⋅= .2.直线与平面所成角的求解（1）直接法.通过斜线上某个特殊点作出平面的重线段，连接垂足和斜足，找出线面角（斜线段和斜线段在平面上的射影所成的角），在直角三角形中求解.（2）向量法.建立适当的空间直角坐标系，求出平面的法向量的坐标和斜线段所在直线的向量坐标，代入向量夹角公式，求出法向量与斜线段所在直线的夹角θ，则直线与平面所成角为2πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭，求直线l 与平面α所成角θ，sin PM n PM nθ⋅=⋅ （其中n 为平面α的法向量，M 为l 与α的交点，P 为l 上不同于M 的任一点）.3.二面角的求解（通常通过平面角求解）（1）定义法.直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面中作棱的垂线，得出平面角，在相应的平面图形中计算.（2）三垂线法.已知二面角其中一个面内一点到另一个面的垂线，用三垂线定理或其逆定理作出平面角，在直角三角形中计算.（3）垂面法.已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线，所成的角即为平面角，二面角的平面角所在的平面与棱垂直.（4）射影法.利用面积射影公式：cos S S θ=射影截面，其中θ为平面角的大小.（5）向量法.建立适当的空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，然后代入向量夹角公式，求出两法向量的夹角θ，则两个平面的二面角的平面角为()πθ-或θ.求二面角θ，有1212cos n n n n θ⋅= （1n ，2n 分别为两个平面的法向量）对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法.真可谓：三维化二维紧扣定义，转化与归纳配合运用，求空间角妙据迭出，施向量法更添风采.【典例】如图30-5所示，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD .AD BC ∥，3AB AD AC ===，4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点.（1）证明：MN ∥平面PAB ；（2）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值.解题策略本题主要考查空间直线和平面平行关系的证明以及求直线与平面所成角的正弦值.第（1）问，可以利用线面平行的判定定理证明，也可以用纯向量法或向量坐标法证明；第（2）问，可以通过作出相应射影角求解，若结合等体积法求点A 到平面PMN 的距离也会对解题带来方便，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解直线与平面所成角的正弦值也是好方法.应指出的是：直线l 与平面α所成角θ与直线的方向向量d 和平面的法向量n 的夹角,d n 不是一回事，两者之间关系为sin cos ,d n θ= .第（1）问策略一立体几何方法：由线线平行⇒线面平行策略二纯向量法，即证明MN 向量与平面PAB 内两个不共线向量满足共面向量定理策略三向量坐标法，即证明MN 向量与平面PAB 的法向量垂直第（2）问策略一转化为求斜线AN 与其与平面PMN 内射影所成角策略二运用等体积法求点A 到平面PMN 的距离，再求线面角策略三运用向量坐标法求向量AN 与平面PMN 的法向量所成角的余弦值，即为AN 与平面PMN 所成角的正弦值（1）证法一（立体几何常规证法：先证线线平行，再推得线面平行）由已知得223AM AD ==，取BP 的中点T ，连接AT 、TN ，如图30-6所示.由N 为PC 的中点知TN BC ∥，122TN BC ==.又AD BC ∥，故TN AM ∥，四边形AMNT 为平行四边形，于是MN AT ∥.∵AT ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ，∴MN ∥平面PAB .证法二（纯向量法）如图30-6所示，由已知得223AM AD ==，N 为PC 的中点，以向量AB 、AD 、AP 为基底，有()12MN AN AM AP AC AM =-=+- ()12AP AB BC AM =++- ()1112222AP AB AM AM AP AB =++-=+ .∴MN 、AP 、AB 共面，又MN ⊄平面PAB ，∴MN ∥平面PAB .证法三（向量坐标法）取BC 中点E ，连接AE ，易证AE BC ⊥，即AE AD ⊥，AE A 为原点建立空间直角坐标系，如图30-7所示.则()0,0,0A ，()0,0,4P，)2,0B -，()0,2,0M，,1,22N ⎫⎪⎪⎝⎭，1,22MN ⎫=-⎪⎪⎝⎭ ，()0,0,4AP =，)2,0AB =- .可取平面PAB的法向量()n = ，则0MN n ⋅= ，MN n ⊥ .∴MN ∥平面PAB .（2）解法一（立体几何方法一：转化为求射影角）如图30-8所示，取BC 中点E ，连接AE 、CM ，易证AE BC ⊥，MC AE ∥，CM BC ⊥，CM ⊥平面PAD .作AG PM ⊥，垂足为点G ，易证AG ⊥平面PMC .连接NG ，则∠ANG 为AN 与平面PMN （即平面PMC ）所成的角.易求得52AN =，AG =，sin 25AG ANG AN ∠==.解法二（立体几何方法二：等积法求距离再求线面角）由已知图30-5，平面PMN 即平面PMC ，由P ANC A PMC V V --=易求得点A 到平面PMN 的距离h =设AN 与平面PMN （即平面PMC ）所成的角为θ，则sin h AN θ=.正方向，建立如图30-7所示的空间直角坐标系A xyz -，由题意知()0,0,4P ，()0,2,0M，)2,0C，,1,22N ⎫⎪⎪⎝⎭.()0,2,4PM =-，2PN ⎫=-⎪⎪⎝⎭，2AN ⎫=⎪⎪⎝⎭.设(),,n x y z = 为平面PMN 的法向量，则00n PM n PN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即240,20.y z x y z -=⎧+-=可取()0,2,1n = .于是cos 25n AN n AN n AN⋅⋅== .则直线AN 与平面PMN所成角的正弦值为25.【点评】第一种方法中使用纯几何方法，适合于没有学习空间向量之前的方法，有利用培养学生的集合论证和空间想象能力，第二种方法使用空间向量方法，两小题前后连贯，利用计算论证和求解，定为最优解法；方法三在几何法的基础上综合使用体积方法，计算较为简洁.【针对训练】1．在三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都相等，1160BAA CAA ∠=∠=︒，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为______.2．如图所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=︒，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD.(1)证明：PA BD ⊥；(2)若PD AD =，求二面角A PB C --的余弦值.3．如图所示，在几何体ABCDE 中，四边形ABCD 是矩形，AB ⊥平面BEC ，BE EC ⊥，2AB BE EC ===，G ，F 分别是线段BE ，DC 的中点.(1)求证：//GF 平面ADE ；(2)求平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值.4．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，且2PA AB ==，3AD =，E 是棱BC 上的动点，F 是线段PE 的中点.(1)求证：PB ⊥平面ADF ；(2)若直线DE 与平面ADF 所成的角为30°，求EC 的长.（2020·北京卷）5．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1BB 的中点.(1)求证：1//BC 平面1AD E ；(2)求直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值.（2022·浙江）6．如图，三棱台ABC —DEF 中，平面ACFD ⊥平面ABC ，45ACB ACD ∠=∠=︒，2DC BC =.(1)证明：EF DB ⊥；(2)求DF 与面DBC 所成角的正弦值.7．如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AE 为底面直径，AE AD =.ABC 是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，PO =.(1)证明：PA ⊥平面PBC ；(2)求二面角B PC E --的余弦值.8．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形，侧面11BB C C 是矩形，M ，N 分别为BC ，11B C 的中点，P 为AM 上一点，过11B C 和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F .(1)证明：1//AA MN ，且平面1A AMN ⊥平面11EB C F ；(2)设O 为111A B C △的中心，若//AO 平面11EB C F ，且AO AB =，求直线1B E 与平面1A AMN 所成角的正弦值.9．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别在棱11,DD BB 上，且12DE ED =，12BF FB =.(1)证明：点1C 在平面AEF 内；(2)若2AB =，1AD =，13AA =，求二面角1A EF A --的正弦值.10．如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD =，O 为BD 的中点.(1)证明：OA CD ⊥；(2)若OCD 是边长为1的等边三角形，点E 在棱AD 上，2DE EA =，且二面角E BC D --的大小为45︒，求三棱锥A BCD -的体积.参考答案：1．6【分析】解法一：先证明四边形11BB C C 为矩形，再由中位线定理得到异面直线1AB 与1BC 所成角等于EF 与BF 所成的角，由此利用余弦定理即可求得所求余弦值；解法二与解法三：利用补形法得到异面直线1AB 与1BC 所成角，再分别求得所需要的边，结合余弦定理即可求得所求余弦值；解法四：建立空间直角坐标系，求出各点坐标，从而利用向量夹角的坐标表示求得所求；解法五：由向量线性运算的几何意义得到1111BC BA AA AC =++ ，1111AB AAA B =+ ，从而利用数量积运算求得1BC ，1AB = ，111BC AB ⋅= ，由此可求得所求.【详解】解法一：（直接平移法）如图所示，作1A O ⊥底面ABC ，由1160BAA CAA ∠=∠=︒可知，AO 为∠BAC 的角平分线，且AO BC ⊥，BC ⊥面1AA O ，1BC AA ⊥，于是1BC BB ⊥，四边形11BB C C 为矩形，取AC 的中点E ，连接1B C 交1BC 于点F ，则F 为1B C 的中点，1111,22EF AB EF AB =//，所以异面直线1AB 与1BC 所成角等于EF 与BF 所成的角，即∠BFE 或其补角，设三棱柱的棱长为2，由题意即可得BE =112EF AB ==112BF BC ==于是222cos26BF EF BE BFE BF EF +-∠==⋅，故异面直线1AB 与1BC 解法二：（补形法一）在三棱柱111ABC A B C -的上底面补一个大小相同的三棱柱111222A B C A B C -，如图所示，连接12B C 、2AC 且2AC 交11A C 于D ，则12AB C ∠或其补角为异面直线1AB 与1BC 所成角，设1AB =，易得1AB ==121B C BC ==，22AC AD ===所以在12AB C △中，有22212cosAB C +-∠==.故异面直线1AB 与1BC 解法三：（补形法二）将三棱柱补为平行六面体，再放同样的一个平行六面体，如图所示，1C BE ∠就是异面直线1AB 与1BC 所成的角，设棱长为1，在1A AB △中，易求得1AB =，即BE ，在11A C E △中，易求1C E =1BC AA ⊥，则1BC CC ⊥，从而在1BCC中，求得1BC =在1BC E △中，由余弦定理得1cos 6C BE ∠=.解法四：（向量坐标法）如图所示，以A 为原点，过1A 作1A M ⊥平面ABC 于M ，则M 必在x轴上，且1cos A AM ∠=1sin A AM ∠=设棱长为1，则1A ⎛，1,02B ⎫⎪⎪⎝⎭，1,02C ⎫-⎪⎪⎝⎭，所以1112AB AA AB =+=，1112AC AA AC =+=- ，故11BC AC AB =-=-⎝ ，设异面直线1AB 与1BC 所成角为θ，则1111cos 6BC AB BC AB θ⋅== .解法五：（纯向量法）不妨设AB 长为1，因为1111BC BA AA AC =++ ，1111AB AA A B =+ ，所以()2211112BC BA AA AC =++= ，()2211113AB AA A B =+= ，则1BC =1AB = ，又因为()()111111111BC AB BA AA A C AA A B ⋅=++⋅+= ，设异面直线1AB 与1BC 所成角为θ，则1111cos 6BC AB BC AB θ⋅=故答案为：6.2．(1)证明见解析(2)7-【分析】（1）利用题设条件可证BD AD ⊥、BD PD ⊥，从而可得BD ⊥平面PAD ，故可证PA BD ⊥，我们也可以利用利用空间向量及其坐标运算来证明PA BD ⊥.（2）利用向量或建立空间直角坐标系可求二面角的余弦值，也可以利用定义构建二面角的平面角来求其余弦值，也可以利用补体将二面角转化为二面角Q PB A --的大小来进行计算.【详解】（1）证法一：∵60DAB ∠=︒，2AB AD =，由余弦定理得22222cos 603BD AD AB AD AB AD =+-⨯︒=，故BD =，从而222BD AD AB +=，故BD AD ⊥.又PD ⊥底面ABCD ，而BD ⊂底面ABCD ，可得BD PD ⊥，而,,AD PD D AD PD =⊂ 平面PAD ，∴BD ⊥平面PAD ，而PA ⊂平面PAD ，故PA BD ⊥.证法二：∵PD ⊥平面ABCD ，BD ⊂底面ABCD ，∴PD BD ⊥，0PD BD ⋅= .∴()()PA BD PD DA BD DA BD DA BA AD ⋅=+⋅=⋅=⋅+ 2222cos 0DA BA AD AD AB DAB AD AD AD =⋅-=⋅∠-=-= ，∴PA BD ⊥ ，即PA BD ⊥.证法三：作DE AB ⊥，垂足为E ，分别以DE 、DC 、DP 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示.令AD a =，则1,,022A a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，3,,022B a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()0,2,0C a .设()0,0,P z，由于1,,22PA a a z ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，3,,02DB a ⎫=⎪⎪⎝⎭ ，则221333,,,,002244PA DB a z a a a ⎫⎫⋅=--⋅=-=⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭，于是PA DB ⊥ ，即PA BD ⊥.（2）解法一：因为PD ⊥底面ABCD ，而BC ⊂底面ABCD ，故PD BC ⊥，由（1）中证明可得BD AD ⊥，而//BC AD ，故//BD BC ，因为,,BD PD D BD PD ⋂=⊂平面PDB ，故BC ⊥平面PDB ，而PB ⊂平面PDB ，故BC PB ⊥，而AM PB ⊥，平面APB ⋂平面PBC PB =,故二面角A PB C --的大小等于MA 与BC 所成角的大小，设为θ.设1PD AD ==，则2AB =，BD =∴2PB =，PA =.在PAB中，cos 4APB ∠==，而APB ∠为三角形内角，故sin 4APB ∠=，故42AM ==，142PM ==，故32BM =，在ADC △中，2222cos120527AC AD DC AD DC =+-⨯︒=+=，故AC =又()22AC AM MB BC =++ 222222AM MB BC AM MB AM BC MB BC=+++⋅+⋅+⋅2222cos AM MB BC AM BC θ=++- .∴797144θ=++，解得cos θ=∴二面角A PB C --的余弦值为解法二：以D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D xyz -，则()1,0,0A，()B，()C -，()0,0,1P.()AB =-，()1PB =- ，()1,0,0BC =- .设平面PAB 的一个法向量为(),,n x y z = ，则00n AB n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0,0.x z ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩，取1y =，则x z =，故n = .设平面PBC 的一个法向量为m，同理可求(0,1,m =-.cos ,m n == ，而二面角A PB C --的平面角为钝角，故二面角A PB C --的余弦值为7-.解法三：由解法一的计算可得BC ⊥平面PDB ，而BC ⊂平面PBC ，故平面PBC ⊥平面PDB ，即二面角D PB C --的大小为90︒.过A 作AM PB ⊥，垂足为M ，连接DM ，如图所示.由（1）中证明可得AD BD ⊥，而PD ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，故PD AD ⊥，PD BD D ⋂=，,PD BD ⊂平面PBD ，故AD ⊥平面PBD ，PB ⊂平面PBD ，故AD PB ⊥，而,,,AM PB AD AM A AD AM ^=Ì平面ADM ，故PB ⊥平面ADM ，但DM ⊂平面ADM ，故DM PB ^.∴AMD ∠是二面角A PB D --的平面角.设1PD AD ==，则2AB =，BD =2PB =.在Rt PBD △中，2PD DB DM PB ⨯==，在Rt ADM △中，2AM =.∴sin 7AD AMD AM ∠==，∴二面角A PB C --的余弦值为cos(90)sin AMD AMD ︒+∠=-∠=-.解法四：由解法一的计算可得BC ⊥平面PBD ，而PB ⊂平面PBD ，故BC PB ⊥.如图所示，过点B 在平面PAB 内作直线BE PB ⊥，交PA 的延长线于点E ，则∠EBC 是二面角A PB C --的平面角.设1PD =，由解法一的计算可得：1AD BC ==，2AB =，BD =AC =PA =，2PB AB ==，且cos 4APB ∠=，sin 4APB ∠=故tan BE BPAPB∠=，∴BE =PE =在Rt PDC 中，由勾股定理求得PC =，在PAC △中，因为222AC PA PC =+，故PA PC ⊥.故在Rt PEC 中，有EC ==在BEC 中，由余弦定理得cos7CBE ∠==-.∴二面角A PB C --的余弦值为7-.解法五：将四棱锥补成直四棱柱，如图所示，则二面角A PB C --的大小与二面角Q PB A --的大小互补.由解法一可得BC PB ⊥，而//PQ BC ，∴PQ PB ⊥.设点Q 到平面PAB 的距离为h ，则由Q PAB B AQP V V --=得1133PAB PQA hS BD S =⋅△△.设1PD =，则PA =，BD =2PB AB ==，12APB S =△211=22PQA S AD =△，∴h =于是二面角Q PB A --的正弦值为h PQ =.∴二面角A PB C --的余弦值为7-.3．(1)证明见解析；(2)23.【分析】（1）利用线面平行的判定定理即得；（2）利用射影法，结合条件求出AEF △及BEC 的面积进而即得；利用坐标法，求出平面BEC 和平面AEF 的法向量，由向量夹角的余弦值即得；利用直接法，延长BC 、AF 交于点Q ，作BR QE ⊥，交QE 的延长线于点R ，连接AR ，可得∠ARB 是二面角A EQ B --的平面角，结合条件即得．【详解】（1）将五面体ABCDE 置于正方体AMDN BECP -之中，如图所示，显然题设的条件全部满足，取AE 的中点H ，连接HG ，FG ，∵////HG AB CD ，即//HG DF ，又1HG DF ==，∴四边形HGFD 是平行四边形，∴//GF DH ，又∵DH ⊂平面ADE ，GF ⊄平面ADE ，∴//GF 平面ADE ；（2）解法一（射影法）：设平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的大小为θ，∵AB ⊥平面BCE ，FC ⊥平面BCE ，∴AEF △在平面BCE 上的射影为BEC ，易得AE =EF =3AF =，∴cos AEF ∠==sin AEF ∠=∴132AEF S =⨯=△，又∵12222BEC S =⨯⨯=△，∴2cos 3BEC AEF S S θ==△△.解法二（向量法）：如图，分别以射线BE 、BP 、BA 为x 、y 、z轴建立空间直角坐标系，∵正方体棱长为2，则()0,0,2A ，()2,0,0E ，()2,2,1F ，显然()0,0,2BA = 是平面BECP 的法向量，设平面AEF 的法向量为()2,,n x y = ，则n AE ⊥ ，即()()2,,2,0,20n AE x y ⋅=⋅-= ，解得2y =，则n AF ⊥ ，即()()2,,2,2,10n AF x y ⋅=⋅-= ，解得=1x -，∴()2,1,2n =- ，设所求锐二面角的大小为θ，则()()2,1,20,0,22cos 323n BA n BAθ-⋅⋅===⨯ .解法三（直接法）：如图，延长BC 、AF 交于点Q ，因为2BE=，BC CQ ==45EBQ ∠=︒，由余弦定理可得(222222cos 2224202EQ BE BQ BE BQ EBQ =+-⋅∠=+-⨯⨯=，即EQ =在BEQ 中，由正弦定理，得sin sin 45BQ EQ BEQ =∠︒，∴sin BEQ ∠=，显然90BEQ ∠>︒，作BR QE ⊥，交QE 的延长线于点R ，连接AR ，∴AB ⊥平面BCE ，QE ⊂平面BCE ，∴AB ⊥QE ，又BR QE ⊥，,AB BR B AB =⊂ 平面ABR ，BR ⊂平面ABR ，∴QE ⊥平面ABR ，AR ⊂平面ABR ，∴QE ⊥AR ，∴∠ARB 是二面角A EQ B --的平面角，设其大小为θ，在BER △中，2BR ==在Rt ABR 中，由勾股定理，得AR =∴2cos 3BR AR θ==.4．(1)证明见解析；(2)2.【分析】（1）方法一，取棱PB ，PC 的中点分别为M ，N ，利用线面垂直的判断定理可得AD ⊥平面PAB ，进而可得PB ⊥平面ADF ；方法二，利用坐标法，求出AD ，AF 向量和向量BP 的坐标表示，证明垂直即得；（2）方法一，作EH 垂直MN 于点H ，则30EDH ∠=︒，结合条件即得；方法二，利用坐标法，根据线面角的向量求法可得求出E 点坐标，即得.【详解】（1）方法一：分别取线段PB 、PC 的中点M 、N ，易知点M 、N 、F 共线，∵PA AB =，∴PB AM ⊥，又∵PA ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥AD ，又四边形ABCD 是矩形，AD AB ⊥，∵,PA AB A PA ⋂=⊂平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，∴AD ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，∴PB AD ⊥，又PB AM ⊥，,AD AM A AD =⊂ 平面ADF ，AM ⊂平面ADF ，因此PB ⊥平面ADF ；方法二，以A为原点建立空间直角坐标系，设()2,,0E t 、1,,12t F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()0,3,0AD = ，1,,12t AF ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，()2,0,2BP =- ，∴0BP AD ⋅= ，0BP AF ⋅= ，∴BP AD ⊥，BP AF ⊥，,AD AF A AD =⊂ 平面ADF ，AF ⊂平面ADF ，因此PB ⊥平面ADF ；（2）方法一：由于平面ADF 即为平面AMND ，且PB ⊥平面ADF ，PB ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面AMND ，又平面PBC ⋂平面AMND MN =，在平面PBC 内，作EH 垂直MN 于点H ，则EH ⊥平面AMND ，∴30EDH ∠=︒，∵EH BM ==∴ED =因此2CE =，即EC 的长为2；方法二：∵()2,3,0DE t =- ，平面ADF 的法向量为()2,0,2BP =- ，∴由12BP DE BP DE ⋅= ，解得1t =，∴2CE =，即EC 的长为2.5．(1)证明见解析；(2)23.【分析】（1）方法一，根据线面平行的判定定理即得；方法二，利用坐标法，可求出向量1BC 及平面1AD E 的法向量进而即得；（2）延长1CC 到F ，使得1C F BE =，连接EF ，交11B C 于G ，作11C H DG ⊥，垂足为H ，利用线面垂直的判定定理可得1D G ⊥平面1C FH ，进而可得可知∠1C FH 为直线1AA 与平面1AD G 所成的角，结合条件即得；利用坐标法，根据线面角的向量求法即得；利用等体积法，求出点到平面的距离进而即得.【详解】（1）[方法一]：几何法如下图所示：在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AB A B 且11AB A B =，1111//A B C D 且1111A B C D =，11//B C A D ∴且11AB C D =，所以，四边形11ABC D 为平行四边形，则11//BC AD ，1BC ⊄ 平面1AD E ，1AD ⊂平面1AD E ，1//BC ∴平面1AD E ；[方法二]：空间向量坐标法以点A 为坐标原点，AD 、AB 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则()0,0,0A 、()10,0,2A 、()12,0,2D 、()0,2,1E ，()12,0,2AD = ，()0,2,1AE = ，设平面1AD E 的法向量为(),,n x y z = ，由100n AD n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得22020x z y z +=⎧⎨+=⎩，令2z =-，则2x =，1y =，则()2,1,2n =- .又∵向量()12,0,2BC = ，()12201220BC n ⋅=⨯+⨯+⨯-= ，又1BC ⊄ 平面1AD E ，1//BC ∴平面1AD E ；（2）[方法一]：几何法延长1CC 到F ，使得1C F BE =，连接EF ，交11B C 于G ，又∵1//C F BE ，∴四边形1BEFC 为平行四边形，∴1//BC EF ，又∵11//BC AD ，∴1//AD EF ，所以平面1AD E 即平面1AD FE ，连接1D G ，作11C H DG ⊥，垂足为H ，连接FH ，∵1FC ⊥平面1111D C B A ，1D G ⊂平面1111D C B A ，∴11FC D G ⊥，又∵111FC C H C ⋂=，1FC ⊂平面1C FH ，1C H ⊂平面1C FH ，∴直线1D G ⊥平面1C FH ，又∵直线1D G ⊂平面1D GF ，∴平面1DGF ⊥平面1C FH ，∴1C 在平面1D GF 中的射影在直线FH 上，∴直线FH 为直线1FC 在平面1D GF 中的射影，∠1C FH 为直线1FC 与平面1D GF 所成的角，根据直线1//FC 直线1AA ，可知∠1C FH 为直线1AA 与平面1AD G 所成的角，设正方体的棱长为2，则111C G C F ==，1D G =∴1C H ，∴FH =∴112sin 3C H C FH FH ∠==，即直线1AA 与平面1ADE 所成角的正弦值为23.[方法二]：向量法由上知平面平面1AD E 的法向量()2,1,2n =- ，又∵()10,0,2AA = ，∴11142cos ,323n AA n AA n AA ⋅==-=-⨯⋅ ，∴直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值为23.[方法三]：几何法+体积法如图，设11B C 的中点为F ，延长111,,A B AE D F ，易证三线交于一点P，因为111,////BB AA EF AD ，所以直线1AA 与平面1AD E 所成的角，即直线1B E 与平面PEF 所成的角，设正方体的棱长为2，在PEF !中，易得PE PF EF =，可得32PEF S = ，设当1B 到平面PEF 的距离为1B H ，由11B PEF P B EF V V --=，得113111123232B H ⨯⋅=⨯⨯⨯⨯，整理得123B H =，所以1112sin 3B H B EH B E ∠==，所以直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值为23.[方法四]：纯体积法设正方体的棱长为2，点1A 到平面1AED 的距离为h ，在1AED △中，113AE AD D E ===，2221111cos 25D E AE AD AED D E AE +-∠===⋅，所以1sin AED ∠=13AED S = ，由1111E AA D A AED V V --=，得111111133AD A AED S A B S h ⋅=⋅ ，解得43h =，设直线1AA 与平面1AED 所成的角为θ，所以12sin 3h AA θ==.6．(1)证明见解析；【分析】（1）方法一,使用几何方法证明，作DH AC ⊥交AC 于H ，利用面面垂直的性质可得DH ⊥平面ABC ，然后利用线面垂直的判定定理可得EF ⊥平面BHD ，即得；方法二，利用坐标法即得；方法三，使用了两垂直角的三余弦定理得到60BCD ∠=︒，进而证明；（2）方法一使用几何做法，作HG BD ⊥于G ，由题可得HCG ∠即为所求角，结合条件即得；方法二使用空间坐标系方法，即得；方法三使用空间向量法；方法四使用三余弦定理法即得；方法五采用等体积转化法可得H 到平面DBC 的距离，进而即得.【详解】（1）[方法一]：几何证法作DH AC ⊥交AC 于H ，连接BH ，∵平面ADFC ⊥平面ABC ，而平面ADFC 平面ABC AC =，DH ⊂平面ADFC ，∴DH ⊥平面ABC ，而BC ⊂平面ABC ，即有DH BC ⊥，∵45ACB ACD ∠=∠=︒，∴2CD BC CH =⇒=，在CBH 中，22222cos 45BH CH BC CH BC BC =+-⋅︒=，即有222BH BC CH +=，∴BH BC ⊥.由棱台的定义可知，//EF BC ，所以DH EF ⊥，BH EF ⊥，而BH DH H = ，BH ⊂平面BHD ，DH ⊂平面BHD ，∴EF ⊥平面BHD ，而BD ⊂平面BHD ，∴EF DB ⊥；[方法二]：空间向量坐标系方法作DO AC ⊥交AC 于O ，∵平面ADFC ⊥平面ABC ，而平面ADFC 平面ABC AC =，DO ⊂平面ADFC ，∴DO ⊥平面ABC ，以O 为原点，建立空间直角坐标系如图所示，设OC =1，∵45ACB ACD ∠=∠=︒，2DC BC ==∴BC ()()110,0,1,0,1,0,,,022D C B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴11,,122BD ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，11,,022BC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以11·044BD BC =-= ，∴BC ⊥BD ，又∵棱台中//BC EF ，∴EF ⊥BD ；[方法三]：三余弦定理法∵平面ACFD ⊥平面ABC ，∴1cos cos cos cos 45cos 452BCD ACB ACD ∠=∠∠=︒︒=，∴60BCD ∠=︒，又∵DC =2BC ，∴90CBD ∠=︒，即CD BD ⊥，又∵//EF BC ，∴EF DB ⊥；（2）[方法一]：几何法因为//DF CH ，所以DF 与平面DBC 所成角即为与CH 平面DBC 所成角，作HG BD ⊥于G ，连接CG ，由（1）可知，BC ⊥平面BHD，因为平面BCD ⊥平面BHD ，而平面BCD 平面BHD BD =，HG ⊂平面BHD ，∴HG ⊥平面BCD ，即CH 在平面DBC 内的射影为CG ，所以HCG ∠即为所求角，在Rt HGC 中，设BC a =，则CH =，BH DH HG BD ⋅==，∴sin 3HG HCG CH ∠==，故DF 与平面DBC[方法二]：空间向量坐标系法设平面BCD 的法向量为(),,n x y z =r ，由（1）得11,,122BD ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，11,,022BC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴1102211022n BD x y z n BC x y ⎧⋅=--+=⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩，令1x =，则()1,1,1n = ，又()0,1,0OC =，cos ,3n OC == 由于//DF OC ，∴直线DF 与平面DBC[方法三]：空间向量法以{,,}CH CB CD为基底，不妨设22DC BC ==，则45,45,60DB CH HCB HCD DCB ==∠=∠=︒∠=︒︒(由（1）的结论可得），设平面DBC 的法向量为n xCH yCB zCD =++ ，则由00n CD n CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得2400x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩，取1z =，得32n CH CB CD =-++ ，设直线DF 与平面DBC 所成角为θ，则直线HC 与平面DBC 所成角也为θ，由公式得||sin ||||HC n HC n θ⋅=== [方法四]：三余弦定理法由45ACB ACD ∠=∠=︒，可知H 在平面DBC 的射影G 在DCB ∠的角平分线上，设直线DF 与平面DBC 所成角为θ，则HC 与平面DBC 所成角也为θ，由（1）的结论可得60BCD ∠=︒，由三余弦定理，得cos 45cos30cos θ=︒⋅︒，cos θ=，从而sin 3θ=.[方法五]：等体积法设H 到平面DBC 的距离为h ，设1DH =，则1,,22HC DC BC BD ====，设直线DF 与平面DBC 所成角为θ，由已知得HC 与平面DBC 所成角也为θ.由H DBC D HBC V V --=，1111601sin 451322322h ⨯︒⨯=⨯⨯⨯︒⨯，求得h所以3sin 1h HC θ===7．(1)证明见解析；.【分析】（1）方法一，利用勾股定理即及线面垂直的判定定理即得；方法二，利用坐标法即得；方法三，利用线面垂直，结合勾股定理可证出；方法四，利用空间基底法即得；（2）方法一，利用坐标法及面面角的向量求法即得；方法二，利用几何法，作出二面角，求解三角形进行求解二面角，即得；方法三，利用射影面积法求解二面角.【详解】（1）[方法一]：勾股运算法证明由题设，知DAE 为等边三角形，设1AE =，则DO =1122CO BO AE ===，所以64PO DO ==，4PC PB PA ====，又ABC 为等边三角形，则2sin 60BA OA = ，所以BA =，22234PA PB AB +==，则90APB ∠= ，所以PA PB ⊥，同理PA PC ⊥，又PC PB P = ，PC ⊂平面PBC ，PB ⊂平面PBC ，所以PA ⊥平面PBC ；[方法二]：空间直角坐标系法不妨设AB =4sin 60==︒=AB AE AD ，由圆锥性质知DO ⊥平面ABC ，所以===DO ==PO 因为O 是ABC 的外心，因此AE BC ⊥，在底面过O 作BC 的平行线与AB 的交点为W ，以O 为原点， OW 方向为x 轴正方向，OE 方向为y 轴正方向，OD 方向为z 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，则(0,2,0)A -，B ，(C ，(0,2,0)E ，P .所以(0,AP = ，(=- BP ，=- CP ，故0220⋅=-+= AP BP ，0220⋅=-+= AP CP ，所以AP BP ⊥，AP CP ⊥，又BP CP P = ，PC ⊂平面PBC ，PB ⊂平面PBC ，故AP ⊥平面PBC ；[方法三]：因为ABC 是底面圆O 的内接正三角形，且AE 为底面直径，所以AE BC ⊥，因为DO （即PO ）垂直于底面，BC 在底面内，所以PO BC ⊥，又因为PO ⊂平面PAE ，AE ⊂平面PAE ，PO AE O =I ，又PO ⊂平面PAE ，AE ⊂平面PAE ，所以BC ⊥平面PAE ，又因为PA ⊂平面PAE ，所以PA BC ⊥，设AE BC F = ，则F 为BC 的中点，连结PF ，设DO a =，且PO ，则2AF a =，2PA =，12PF a =.因此222+=PA PF AF ，从而PA PF ⊥，又因为PF BC F = ，PF ⊂平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以PA ⊥平面PBC ；[方法四]：空间基底向量法如图所示，圆锥底面圆O 半径为R ，连结DE ，AE AD DE ==，易得OD =，因为=PO ，所以=PO R ，以,,OA OB OD 为基底，OD ⊥平面ABC ，则=+=-+AP AO OP OA ，6=+=-+BP BO OP OB OD ，且212OA OB R ⋅=- ，0OA OD OB OD ⋅=⋅= ，所以66⎛⎫⎛⎫⋅=-+⋅-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭AP BP OA OB2106⋅--+=OA OB OA OB OD ，故0AP BP ⋅= ，所以AP BP ⊥，即AP BP ⊥，同理AP CP ⊥，又BP CP P = ，PC ⊂平面PBC ，PB ⊂平面PBC ，所以AP ⊥平面PBC ；（2）[方法一]：空间直角坐标系法过O 作ON ∥BC 交AB 于点N ，因为PO ⊥平面ABC ，以O 为坐标原点，OA 为x 轴，ON 为y轴建立如图所示的空间直角坐标系，则111(,0,0),(0,0,((,,0)244444E P B C ---，1(,444PC =--，1(,)444PB =--，1(,0,)24PE =- ，设平面PCB 的一个法向量为111(,,)n x y z =，由00n PC n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得11111100x x ⎧--=⎪⎨-+-=⎪⎩，令1x =，得111,0z y =-=，所以1)n =-，设平面PCE 的一个法向量为222(,,)m x y z =由00m PC m PE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得22222020x x ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩，令21x =，得223z y ==，所以m = ，故cos,5||||n mm nn m⋅==⋅，设二面角B PC E--的大小为θ，由题可知二面角为锐二面角，所以cos5θ=；[方法二]：几何法设=BC AE F，易知F是BC的中点，过F作//FG AP交PE于G，取PC的中点H，连接GH，则∥HF PB，由PA⊥平面PBC，得FG⊥平面PBC，PC⊂平面PBC，∴FG⊥PC，由（1）可得，222BC PB PC=+，得PB PC⊥，所以FH PC⊥，又,FH GF F FH=⊂平面GHF，GF⊂平面GHF，∴PC⊥平面GHF，GHÌ平面GHF，∴GH PC⊥，所以GHF∠是二面角B PC E--的平面角，设圆O的半径为r，则3sin602︒==AF AB r，2AE r=，12=EF r，13EFAF=，所以14=FG PA，1122==FH PB PA，12=FGFH，在Rt GFH中，1tan2∠==FGGHFFH，cos5∠=GHF，所以二面角B PC E--的余弦值为5.[方法三]：射影面积法如图所示，在PE上取点H，使14HE PE=，设BC AE N=，连结NH，由（1）知14NE AE=，所以∥NH PA，故NH ⊥平面PBC ，所以，点H 在面PBC 上的射影为N，故由射影面积法可知二面角B PC E --的余弦值为cos PCNPCHS θS = ，在PCE中，令=PC PE 1CE =，易知= PCE S ，所以34PCH PCE S S == ，又1328PCN PBC S S == ，故38cos 5PCN PCHS θS == ，所以二面角B PC E --.8．(1)证明见解析；【分析】（1）利用线面垂直的判定定理可得BC ⊥平面1A AMN ，根据线面平行的性质定理可得11//B C EF ，然后根据面面垂直的判定定理即得；（2）利用几何法，作出线面角，结合条件即得；利用向量法，利用线面角的向量求法即得.【详解】（1） ,M N 分别为BC ，11B C 的中点，1//MN BB ∴，又11//AA BB ，1//MN AA ∴，在ABC 中，M 为BC 中点，则BC AM ⊥，又 侧面11BB C C 为矩形，1BC BB ∴⊥，又1//MN BB ，∴MN BC ⊥，又MN AM M ⋂=，,MN AM ⊂平面1A AMN ，∴BC ⊥平面1A AMN ，又 11//B C BC ，且11B C ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，11//B C ∴平面ABC ，又 11B C ⊂平面11EB C F ，且平面11EB C F ⋂平面ABC EF =，11//B C EF ∴，//EF BC ∴，又BC ⊥ 平面1A AMN ，∴EF ⊥平面1A AMN ，又EF ⊂ 平面11EB C F ，∴平面11EB C F ⊥平面1A AMN ；（2）[方法一]：几何法如图，过O 作11B C 的平行线分别交1111,A B A C 于点11,E F ，连接11,,,AE AO AF NP ，由于//AO 平面11EB C F ，11//E F 平面11EB C F ，11= AO E F O ，AO ⊂平面11AE F ，11E F ⊂平面11AE F ，所以平面11//AE F 平面11EB C F ，又因平面11 AE F 平面111=AA B B AE ，平面11EB C F ⋂平面111=AA B B EB ，所以11//EB AE ，因为111B C A N ⊥，11B C MN ⊥，1A N MN N = ，1A N ⊂平面1AA NM ，MN ⊂平面1AA NM ，所以11B C ⊥平面1AA NM ，又因1111∥E F B C ，所以11⊥E F 平面1AA NM ，所以1AE 与平面1AA NM 所成的角为1∠E AO ，令2AB =，则11=NB ，由于O 为111A B C △的中心，故112233==OE NB ，在1Rt AE O 中，122,3===AO AB OE ，由勾股定理得1=AE所以111sin 10∠==E O E AO AE ，由于11//EB AE ，直线1B E 与平面1A AMN[方法二]：几何法因为//AO 平面11EFC B ，平面11 EFC B 平面1=AMNA NP ，AO ⊂平面1AMNA ，所以//AO NP ，因为//ON AP ，所以四边形OAPN 为平行四边形，由（1）知EF ⊥平面1AMNA ，则EF 为平面1AMNA 的垂线，所以1B E 在平面1AMNA 的射影为NP ，从而1B E 与NP 所成角的正弦值即为所求，在梯形11EFC B 中，设1EF =，过E 作11EG B C ⊥，垂足为G ，则3==PN EG ，在直角三角形1B EG 中，1sin ∠B EG即直线1B E 与平面1A AMN [方法三]：向量法由（1）知，11B C ⊥平面1A AMN ，则11B C为平面1A AMN 的法向量，因为//AO 平面11EB C F ，AO ⊂平面1A AMN ，且平面1A AMN ⋂平面11EB C F PN =，所以//AO PN ，由（1）知11//,AA MN AA MN =，即四边形APNO 为平行四边形，则==AO NP AB ，因为O 为正111A B C △的中心，故13==AP ON AM ，由面面平行的性质得111111,33=∥EF B C EF B C ，所以四边形11EFC B 为等腰梯形.由P ，N 为等腰梯形两底的中点，得11PN B C ⊥，则11110,⋅==++= PN B C EB EP PN NB 111111111623+-=-B C PN B C PN B C ，设直线1B E 与平面1A AMN 所成角为θ，AB a =，则211111113sin θ⋅== a EB B C EB B C 所以直线1B E 与平面1A AMN[方法四]：基底法不妨设2===AO AB AC ，则在直角1AAO中，13AA =.以向量1,,AA AB AC为基底，从而1,2π= AA AB ，1,2π= AA AC ，,3π= AB AC ，1111123=++=+ EB EA AA A B AB AA ，BC AC AB =-，则1= EB ||2BC = ，所以112()3⎛⎫⋅=+⋅-= ⎪⎝⎭EB BC AB AA AC AB 2224333⋅-=- AB AC AB ，由（1）知BC ⊥平面1A AMN ，所以向量BC为平面1A AMN 的法向量，设直线1B E 与平面1A AMN 所成角θ，则111sin cos ,10||θ⋅===EB BC EB BC EB BC ，故直线1B E 与平面1A AMN所成角的正弦值为sin 10θ=.9．(1)证明见解析；7.【分析】（1）方法一：通过证明直线1//C E AF ，根据平面的基本事实二的推论即可证出；方法二：利用空间向量基本定理证明；方法三：利用平面向量基本定理；方法四：利用平面的基本事实三通过证明三点共线说明点在平面内；方法五：利用平面的基本事实以及平行四边形的对角线和长方体的体对角线互相平分即可证出.（2）方法一：利用建立空间直角坐标系，由两个平面的法向量的夹角和二面角的关系求出；方法二：利用二面角的定义结合解三角形求出；方法三：利用和二面角公共棱垂直的两个向量夹角和二面角的关系即可求出；方法四：利用三面角的余弦公式即可求出.【详解】（1）［方法一］：利用平面基本事实的推论。

空间几何中的角度与距离计算在空间几何中，角度与距离的计算是非常重要的。

通过正确计算角度和距离，我们能够准确描述和分析物体的位置、运动以及相互关系。

本文将介绍空间几何中常用的角度计算方法和距离计算方法。

一、角度计算在空间几何中，角度是表示物体之间相对方向关系的重要指标。

常见的角度计算方法有以下几种：1. 余弦定理余弦定理是计算三角形内角的常用方法之一。

在空间几何中，如果已知三点的坐标，可以通过余弦定理计算出这三个点所形成的夹角。

余弦定理的公式如下：cos A = (b² + c² - a²) / (2bc)其中，A为夹角的大小，a、b、c为夹角对应的边长。

2. 矢量法矢量法是一种基于向量运算的角度计算方法。

通过将空间中的两个向量进行运算，可以得到它们之间的夹角。

常见的向量法角度计算包括点乘法和叉乘法。

（1）点乘法：两个向量的点乘结果等于它们的模长相乘再乘以它们之间的夹角的余弦值。

可以通过点乘法计算向量之间的夹角。

（2）叉乘法：两个向量的叉乘结果等于它们的模长相乘再乘以它们之间的夹角的正弦值。

可以通过叉乘法计算向量之间的夹角。

3. 三角函数在空间几何中，三角函数也是用于角度计算的常用方法之一。

通过正弦、余弦和正切等三角函数的运算，可以计算出角度的大小。

三角函数的计算方法需要先将坐标系进行转换，然后根据坐标的数值，利用相应的三角函数公式进行计算。

二、距离计算在空间几何中，距离是表示物体之间远近程度的重要指标。

常见的距离计算方法有以下几种：1. 欧几里得距离欧几里得距离是空间几何中最常用的距离计算方法。

对于二维或三维空间中的两个点，欧几里得距离可以通过计算它们在各坐标轴上的差值的平方和再开方的方式得到。

欧几里得距离的公式如下：d = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)² + (z₂-z₁)²]其中，d为距离，(x₁, y₁, z₁)和(x₂, y₂, z₂)分别为两个点的坐标。

立体几何中空间角的求法立体几何是高中数学的核心内容之一，在高考中占有很大的比重。

考查的知识点、题型等相对稳定，但对学生的空间概念、逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力要求较高，而且在2010年高考立体几何试题对转化与化归思想、数形结合思想、割补思想等数学思想的考查也体现的淋漓尽致，而高考对立体几何中空间角的考查一直是热点内容，更成为必考内容，空间角是立体几何中一个重要概念，它是空间图形的一个突出的量化指标，是空间图形位置关系的具体体现，故在历届高考试题中频繁出现，求解方法也多种多样，本文就是空间角常用的方法--传统法与空间向量法。

一、异面直线所成的角θ∈[ 0°，90°]（1）传统方法：平移转化法或补形法，使之成为两相交直线所成的角，放入三角形中利用余弦定理计算，若求得的角为钝角，则这个角的补角才为所求。

（2）空间向量法：设异面直线ab与cd所成的角为θ，则cos θ = cos〈，〉参考例题：例1，如图在四棱锥o-abcd中，底面abcd是边长为1的菱形，∠abc= ，oa⊥面abcd，oa=2，m为oa的中点，则异面直线ab与md所成角的大小为（）a. b. c. d. π解析：（法1）∵cd∥ab ∴∠mdc为异面直线ab与md所成的角（或其补角）在△abc中，ab=1，∠abc= ，bc=1 ，∴ac2=2-又oa⊥面abcd ∴rt△amc中，am2=1，∴mc2=3-又cd=1 md=∴在△mdc中，cos∠mdc= = ∴∠mdc=（法2）作ap⊥cd于p，分别以ab、ap、ao所在直线为x、y、z 轴建立空间直角坐标系。

则a（0，0，0）， b（1，0，0）， d（- ，，0），o（0，0，2）， m（0，0，1）设ab与md所成的角为θ，又 =（1，0，0） =（ - ，，-1）∴cosθ= = ∴θ=二、直线与平面所成的角θ∈[ 0°，90°]（1）传统方法：先找到（或作出）过斜线上一点垂直于平面的直线，斜足与垂足的连线就是斜线在平面内的射影，该斜线与射影的夹角就是所求的角，然后放入直角三角形中求解。

PCDBA 空间角的求法空间角，能比较集中反映空间想象能力的要求，历来为高考命题者垂青，几乎年年必考。

空间角是异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角总称。

空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转化为空间向量的坐标运算来解。

空间角的求法一般是：一找、二证、三计算。

异面直线所成的角的范围：090θ<≤ （一）平移法【例1】已知四边形ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ABC ∠=，PA ⊥平面AC ，且2BC =，1PA AD AB ===，求异面直线PC 与BD 所成角的余弦值的大小。

【解】过点C 作//CE BD 交AD 的延长线于E ，连结PE，则PC 与BD 所成的角为PCE ∠或它的补角。

CEBD ==PE=∴由余弦定理得 222cos 2PC CE PE PCE PC CE +-∠==⋅∴PC 与BD 所成角的余弦值为63 （二）补形法【变式练习】已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为8，侧棱长为6，D 为AC 中点。

求异面直线1AB与1BC 所成角的余弦值。

【答案】125A 1C 1CBAB 1 DCP二、直线与平面所成角直线与平面所成角的范围：090θ≤≤ 方法：射影转化法（关键是作垂线，找射影）【例2】如图，在三棱锥P ABC -中，90APB ∠=，60PAB ∠=，AB BC CA ==，点P 在平面ABC内的射影O 在AB 上，求直线PC 与平面ABC 所成的角的大小。

【解】连接OC ，由已知，OCP ∠为直线PC 与平面ABC 所成角设AB 的中点为D ，连接,PD CD 。

AB BC CA ==，所以CD AB ⊥90,60APB PAB ∠=∠=，所以PAD ∆为等边三角形。

不妨设2PA =，则1,3,4OD OP AB ===2223,13CD OC OD CD ∴==+=在Rt OCP ∆中，339tan 13OP OCP OC ∠===【变式练习1】如图，四棱锥S ABCD -中，//AB CD ，BC CD ⊥，侧面SAB 为等边三角形。

空间角求法湖南祁东育贤中学 周友良 421600衡阳县一中 刘亚明空间的角是空间图形的一个要素，在异面直线所成的角、线面角、二面角等知识点上，较好地考查了学生的逻辑推理能力以及化归的数学思想.●锦囊妙计空间角的计算步骤：一作、二证、三算1.异面直线所成的角 范围：0°＜θ≤90° 方法：①平移法；②补形法.2.直线与平面所成的角 范围：0°≤θ≤90° 方法：关键是作垂线，找射影.3.二面角方法：①定义法；②三垂线定理及其逆定理；③垂面法. 注：二面角的计算也可利用射影面积公式S ′=S cos θ来计算［例1］在棱长为a 的正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，E 、F 分别是BC 、A ′D ′的中点.(1)求证：四边形B ′EDF 是菱形；(2)求直线A ′C 与DE 所成的角；(3)求直线AD 与平面B ′EDF 所成的角； (4)求面B ′EDF 与面ABCD 所成的角. 命题意图：本题主要考查异面直线所成的角、线面角及二面角的一般求法，综合性较强，属★★★★★级题目.知识依托：平移法求异面直线所成的角，利用三垂线定理求作二面角的平面角.错解分析：对于第(1)问，若仅由B ′E =ED =DF =FB ′就断定B ′EDF 是菱形是错误的，因为存在着四边相等的空间四边形，必须证明B ′、E 、D 、F 四点共面.技巧与方法：求线面角关键是作垂线，找射影，求异面直线所成的角采用平移法.求二面角的大小也可应用面积射影法.(1)证明：如上图所示，由勾股定理，得B ′E =ED =DF =FB ′=25a ,下证B ′、E 、D 、F 四点共面，取AD 中点G ，连结A ′G 、EG ，由EG ABA ′B ′知，B ′EGA ′是平行四边形.∴B ′E ∥A ′G ,又A ′FD G ,∴A ′GDF 为平行四边形.∴A ′G ∥FD ，∴B ′、E 、D 、F 四点共面 故四边形B ′EDF 是菱形.(2)解：如图所示，在平面ABCD 内，过C 作CP ∥DE ，交直线AD 于P ，则∠A ′CP (或补角)为异面直线A ′C 与DE 所成的角. 在△A ′CP 中，易得A ′C =3a ，CP =DE =25a ,A ′P =213a 由余弦定理得cos A ′CP =1515故A ′C 与DE 所成角为arccos1515. (3)解：∵∠ADE =∠ADF ,∴AD 在平面B ′EDF 内的射影在∠EDF 的平分线上.如下图所示.又∵B ′EDF 为菱形，∴DB ′为∠EDF 的平分线， 故直线AD 与平面B ′EDF 所成的角为∠ADB ′ 在Rt △B ′AD 中，AD =2a ，AB ′=2a ,B ′D =2a 则cos ADB ′=33 故AD 与平面B ′EDF 所成的角是arccos33. (4)解：如图，连结EF 、B ′D ，交于O 点，显然O 为B ′D 的中点，从而O 为正方形ABCD —A ′B ′C ′D 的中心.作OH ⊥平面ABCD ，则H 为正方形ABCD 的中心，再作HM ⊥DE ，垂足为M ，连结OM ，则OM ⊥DE ， 故∠OMH 为二面角B ′—DE ′—A 的平面角.在Rt △DOE 中，OE =22a ,OD =23a ,斜边DE =25a , 则由面积关系得OM =1030=⋅DE OE OD a 在Rt △OHM 中，sin OMH =630=OM OH 故面B ′EDF 与面ABCD 所成的角为arcsin 630.。

高中数学中的立体几何空间角与空间距离计算方法立体几何是数学中的一个分支，其重点研究的是三维空间中点、线、面和体之间的关系。

在立体几何中，空间角和空间距离是非常关键的概念。

本文将详细探讨高中数学中的立体几何空间角与空间距离计算方法。

一、空间角的概念与计算方法1. 空间角的概念空间角指的是由两个非共面向量所张成的角度，在立体几何中具有重要的意义。

空间角的大小是依据两个向量的夹角计算得来的。

2. 空间角的计算方法在计算空间角时，我们首先需要求出两个向量的点积。

设向量a=(a1,a2,a3)和向量b=(b1,b2,b3)，则它们的点积为a*b=a1b1+a2b2+a3b3。

接下来，我们可以利用余弦定理来计算角度，即cosθ=(a*b)/(|a||b|)，其中|a|和|b|分别表示向量a和向量b的模长，θ表示向量a和向量b之间的夹角。

二、空间距离的概念与计算方法1. 空间距离的概念空间距离指的是三维空间中两个点之间的距离，也是立体几何中经常涉及到的一个概念。

2. 空间距离的计算方法我们可以借助勾股定理来计算空间距离。

设点A(x1,y1,z1)和点B(x2,y2,z2)是三维空间中的两个点，它们之间的距离为d，则d=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2)。

三、空间角和空间距离的应用空间角和空间距离在立体几何中的应用非常广泛，例如在计算棱台的侧面积、计算四面体内切圆半径、求解圆锥截面面积等问题中，我们都需要用到空间角和空间距离的知识。

比如，在计算棱台的侧面积时，我们需要首先求出两条棱所在的平面之间的空间角，然后根据棱长和计算出的角度，就可以快速计算出棱台的侧面积。

在计算四面体内切圆半径时，我们需要先计算出四面体各面的法线向量，然后根据法线向量计算面上的角度，最后用勾股定理求出四面体内切圆的半径。

在求解圆锥截面面积时，我们需要用到空间角和空间距离的知识，以找出圆锥截面的边界和计算截面的面积。

空间角的概念与计算在几何学中，角是一个基本的概念，用于描述物体之间的相对方向。

而空间角则是在三维空间中描述物体之间方向关系的重要指标。

本文将介绍空间角的概念及其计算方法。

一、空间角的概念空间角是用来描述三维空间中两个矢量之间的夹角关系。

在二维空间中，我们可以通过一条射线和一条直线之间的夹角来描述角度，而在三维空间中，空间角则需要考虑更多的因素。

具体而言，对于任意两个非零矢量a和b，它们之间的空间角被定义为它们的夹角θ，满足0 ≤ θ ≤ π。

其中，θ=0时表示a和b共线，θ=π/2时表示a和b正交，θ=π时表示a和b反向。

二、空间角的计算1. 余弦定理计算空间角余弦定理是空间角计算中常用的方法之一。

对于两个非零矢量a和b，它们之间的空间角θ满足以下关系：cosθ = (a·b) / (|a|·|b|)其中，·表示矢量的点积，|a|和|b|分别表示矢量a和b的模长。

通过求解上式，我们可以得到空间角θ的值。

2. 向量叉积计算空间角另一种常用的空间角计算方法是利用向量的叉积。

对于两个非零矢量a和b，它们之间的空间角θ满足以下关系：sinθ = |a×b| / (|a|·|b|)其中，×表示矢量的叉积。

通过求解上式，我们可以得到空间角θ的正弦值，进而计算出空间角的值。

三、实例演示下面通过一个实例来演示如何计算空间角。

假设有两个矢量a = (1, 2, 3)和b = (4, 5, 6)。

我们希望计算出它们之间的空间角θ。

首先，我们可以通过求解余弦定理来计算空间角的余弦值：cosθ = (1×4 + 2×5 + 3×6) / √(1² + 2² + 3²) × √(4² + 5² + 6²)= (4 + 10 + 18) / √14 × √77= 32 / √1078 ≈ 0.979然后，通过反余弦函数可以求得空间角的弧度值：θ = arccos(0.979) ≈ 0.199 rad最后，将弧度值转换为度数，即可得到空间角的度数表示：θ ≈ 0.199 × (180/π) ≈ 11.4°因此，矢量a和b之间的空间角约为11.4°。

空间角的计算方法当建立空间直角坐标系后，空间图形顶点的坐标容易得出且比较简单时，三类空间角的计算可利用空间向量来处理.但是，当用空间向量处理起来比较困难时，我们还要学会用其它方式来处理.三类空间角的计算有别于平面几何中计算，它要充分地“说理”.因为空间图形不可能像平面图形那样明确、直接，有时看起来是“锐角”或“钝角”的图形，实际上是直角.因此，在立体几何中实施角的计算时，要认真做好三步工作“作——证——算”.“作”——即作出符合要求的平面角；“证”——即证明所作平面角是所求的角；“算”——通过解三角形求出该平面角的大小.本单元我们重点讨论用常规方法，来处理三类空间角的计算问题.【异面直线所成的角】求两异面直线所成角的问题是立体几何中常见且重要的计算之一，其方法通常是在其中一条直线上取一个特殊点通过三角形中位线或平行四边形引另一条直线的平行线来实现平行移动，然后通过余弦定理或解直角三角形来求解；对不易平移的问题可通过补形的方式来求解，也可考虑利用三余弦公式求解.两异面直线所成角θ的取值范围为θ∈(0，π2]. 例1.在正四面体ABCD 中，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，求DE 和BF 所成角的余弦值. 解法1(平移).如图2.5—1.联结AE ，取AE 的中点M ，联结MF 、MB ， ∵ M 、F 分别为AE 、AD 的中点，∴ M F ∥DE ，故∠MFB 为DE 和BF 所成的角或补角. 设正四面体ABCD 的棱长为a ，则由平面几何知识易知BF=√3a 2，MF=√3a4. 在Rt ∆BEM 中，MB=.47)43()2(22a a a =+由余弦定理可得，.324323216716343cos 222=⋅⋅-+=∠aa aa a MFB 解法2(补形). 如图2.5—2.将原正四面体补形为三棱柱.取AC 1的中点M ，联结D 1M 、BM ，BD 1，易知F 是空间角的求法异面直线所成的角 ①利用中位线或平行四边形平移. ③三余弦公式. 直线与平面所成的角二面角①直接法. ②等积转换法. ③三余弦公式法.①直接法——利用三垂线定理或棱的垂面. ②利用等腰三角形底边上的中线. ③利用面积的射影定理.②补形.A BCDF E图2.5—1 M ABCDF E 图2.5—2C 1D 1MBD 1的中点，MD 1∥DE ，∴∠MD 1B 为DE 和BF 所成的角或补角. 设正四面体ABCD的棱长为a.易求得，MD 1=√3a 2，BD 1=√3a ，BM=√7a2(可由余弦定理求得).再由余弦定理可得 cos ∠MD 1B= 23.例2.如图2.5—3.在正方体ABCD—A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是BB 1与C 1C 的中点，设DM与A 1N 所成的角为θ，求cosθ的值. 解：在原正方体ABCD—A 1B 1C 1D 1的前面补一个相同的正方体，如图2.5—3.联结A 2M 、A 2D ，易知A 2M ∥A 1N ， ∴ ∠A 2MD 为DM 与A 1N 所成的角θ或补角. 设正方体棱长为a. ∵ DM=A 2M=√(√2a)2+(a2)2=3a 2，A 2D=a a a 5)2(22=+.由余弦定理可得cos ∠A 2MD = - 19. ∴ cosθ= 19.说明：①由于两异面直线所成角的取值范围为θ∈(0，π2]，所以cosθ不可能为负值，当计算得出角的余弦值为“—”时，应将最后结果改为“+”.这是因为在平移时，所得的平面角可能是两异面直线所成角的补角，而互为补角的两角的余弦值互为相反数.②当我们试图在原图形的表面或其中作“平移”较困难时，可考虑“补形”.一般补形方式为：①三棱锥补形为三棱柱；②三棱柱补形为四棱柱；③四棱柱可在某一个侧面或底面“拼”一个相同的四棱柱.三余弦公式：平面α的斜线a 与α内一直线b 相交成θ角，a 与α相交成ϕc 与b 相交成ϕ2角，则有θϕϕcos cos cos 21=证明：设点P 在平面α上的射影为O ，过点O 作O B ⊥b 于B ，连接PB ， 由三垂线定理知AB ⊥PB.如图2.5—4. ∴ θϕϕcos cos cos 21==⋅=APAB AOAB APAO .在此公式中，直线a 和b 可以是相交直线，也可以是异面直线. 我们不妨把ϕ1叫做线 面角，θ叫做线线角，ϕ2叫做线影角.很明显，线线角是这三个角中最大的一个角.例3.(1)如图2.5—5(1)，MA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，且MA=AB=a ，试求异面直线MB 与AC 所成的角.(2)如图2.5—5(2).在立体图形P -ABCD 中，底面ABCD 是一个直角梯形.∠BAD=900，AD//BC ，AB=BC=a ，AD=2a ，且PA ⊥底面ABCD ，PD 与底面成300角，AE ⊥PD 于D.求异面直线AE 与CD 所成角的余弦值.解:(1)由图2.5—5(1)可知，直线MB 在平面ABCD 内的射影为AB ，直线MB 与平面ABCD所成的角为450，直线AC 与直线MB 的射影AB 所成的角为450，所以直线AC 与直MB 所成的角为θ，满足cosθ=cos45°· cos45°= 12，∴ 直线AC 与MB 所成的角为600.ACDA 1B 1C 1D 1 NM BA 2 图2.5—3图2.5—4ϕ2ϕ1cba θP αO AB(2)如图2.5—5(2)，过E 作PA 的平行线EF 交AD 于F ，由PA ⊥底面ABCD 可知，直线AE 在平面ABCD 内的射影为AD ，直线AE 与平面ABCD 所成的角为∠DAE ，其大小为600，射影AD 与直线CD 所成的角为∠CDA ，其大小为450，∴ 直线AE 与直线CD 所成的角θ满足：cosθ=cos60°· cos45°= √24. 即AE 与CD 所成角的余弦值 √24.想一想①:1.正四面体SABC 的棱长为a ，E ，F 分别是SC 和AB 的中点． 求异面直线SA 和EF 所成角．2.如图2.5—6.A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱，∠BCA=900，点D 1、F 1 分别是A 1B 1、A 1C 1的中点，若BC=CA=CC 1，求BD 1与AF 1所成 角的余弦值.【直线与平面所成的角】直线与平面所成的角也是立体几何中常见且重要的计算问题之一.它一般可通过解Rt △ 来求解.其解法通常有①直接法；②三棱锥体积等积变形法；③三余弦公式法——此法主要用于解选填题，若用于解答题，则要给出三余弦公式的简略证明.例4.如图2.5—7.在正方体AC 1中.(1)求BC 1与平面ACC 1A 1所成的角.(2)求A 1B 1与平面A 1BC 1所成的角的余弦值.解:(1)联结BD 交AC 于O ，∵ BO ⊥AC ，BO ⊥A 1A ，由线面垂直的判定定理可得BO ⊥平面ACC 1A 1， ∴ ∠OC 1B 为BC 1与平面ACC 1A 1所成的角. 在Rt ∆BOC 1中，∵ sin ∠OC 1B=OB BC 1=12，且∠OC 1B 为锐角，∴ BC 1与平面ACC 1A 1所成的角为300. (2)法1.如图1.6—7. 联结BC 1、B 1C 交于点E. 易知BC 1⊥平面A 1B 1C.又∵ BC 1⊂平面A 1BC 1，∴ 平面A 1BC 1⊥平面A 1B 1C. 过B 1作B 1H ⊥A 1E 于H ，联结A 1H ，∵ 平面A 1BC 1∩平面A 1B 1C=AE, ∴ B 1H ⊥平面A 1BC 1,因此，∠B 1A 1E 是A 1B 1与平面A 1C 1B 所成的角. ∵ tan ∠B 1A 1E= B 1EA 1B 1=√22，∴ cos ∠B 1A 1E=√63.法2.过B 1作B 1H ⊥平面A 1BC 1于H ，联结A 1H ，∴∠B 1A 1H 是A 1B 1与平面A 1C 1B 所成的角.∵ △A 1BC 1是正三角形，且A 1B 1=B 1C 1=BB 1. ∴ 棱锥B 1—A 1BC 1是正三棱锥. 可得点H 是△A 1B 1C 1的外心.设A 1B 1=a,则A 1B=√2a ,得A 1H= √63a. ∴ cos ∠B 1A 1H=A 1H A 1B 1=√63，即所求角的余弦值为√63.说明：F 1 A B D 1C 1A 1B 1图2.5—6C 图2.5—7 PE DFA B C图2.5—5(2)图2.5—5(1) A B C D M1.当题设条件中或由已知可推出两个平面互相垂直时，要作出线面角， 可利用两平面垂直的性质，在一个平面内作交线的垂线即可.2.在求线面角时，很多时候垂线位置的确定，是很费“周折”的.而利用三棱锥体积等积变形可简化此不必要的麻烦. 其思路和原理如下：如图2.5—8.设PA 是平面α的斜线，PB 为平面α的垂线段，其长为h ，则θ为PA 与平面α所成的角.由于sin θ= hPA .一般地PA 之长往往是已知的，因此要求出sin θ就只需要求出点P 到平面α的距离h 即可.这里的h 值可通过三棱锥体积等积变形得到.例5.如图2.5—9所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是一直角梯形，∠BAD=900.AD ∥BC ，PA=AB=BC=a ，AD=2a ，PA ⊥底面ABCD. (1)求证：CD ⊥平面PAC.(2)求直线AD 与平面PCD 所成角的正弦值. 解:(1)在直角梯形ABCD 中，∵ ∠BAD=900，AD ∥BC ，AB=BC ， 取AD 的中点E ，联结CE ，知四边形ABCE 是正方形，又∵ AD=2a ，∴ CE=ED ，即∠ECD=450，∴ AC ⊥CD. ∵ PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂底面ABCD ，∴ CD ⊥PA ，又∵ PA∩AC=C ， PA 、AC ⊂平面PAC ，∴ CD ⊥平面PAC. (2)法1.设点A 到平面PCD 的距离为h ，直线AD 与平面PCD 所成角为θ，则有ADh =θsin .∵ .36,21312131a h CD AC PA CD PC h V V ACD P PCD A =⇒⨯⋅⋅⋅=⨯⋅⋅⋅⇒=，——又∵ AD=2a ，∴66sin ==AD h θ.即直线AD 与平面PCD 所成角的正弦值为66.法2.由(1)知，平面PAC ⊥平面PDC ，平面PA C ∩平面PDC=PC ，过点A 作AH ⊥PC 于H ，则AH ⊥平面PDC ，联结DH ，知∠ADH 为直线AD 与平面PCD 所成角. 在Rt △PAC 中，AC=,2a PA=a ，PC=,3a 由Rt △PAC 的面积等积变形得， AH=36a . 又∵ AD=2a ，∴ 66sin ==AD h θ.即AD 与面PCD 所成角的正弦值为66.【一个结论的应用】结论：若平面α的一条斜线PA 与平面α内∠BAC 的两边BA 、BC 所成的角相等，则PA 在平面α上的射影为∠BAC 的角平分线 .例6.(1)有一东西方向的河流，离河岸若干米处有一探照灯，照着岸边的某点B ，探照灯在点B 的东北方向.灯光与地面成600角，求灯光与岸边所成角的余弦值.(2)在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB ，C 1D 1的中点，求直线A 1B 1与平面A 1ECF 所成角的余弦值.解:(1)如图2.5—10(1).由已知，∠DBA=ϕ1=600， ∠ABC=ϕ2=450，∠DBC=θ，由三余弦公式得，cosθ=cos450·cos600= √24， ∴ 灯光与岸边所成角的余弦值为 √24.图2.5—9B P ACD EHPA θB 图2.5—8αD BCA东图2.5—10(1)ABC DB 1C 1D 1A 1FE图2.5—10(2)(2) 如图2.5—10(2).∵ A 1B 1与A 1E 、A 1F 所成角∠B 1A 1E=∠B 1A 1F ，∴ 直线A 1B 1在平面A 1ECF 上的射影为∠FA 1E 的平分线. 又由已知可推得四边形A 1ECF 为菱形，∴∠FA 1E 的平分线为A 1C. ∵ cos ∠B 1A 1E=sin ∠AA 1E= AEA1E=√55，由余弦定理可得cos ∠CA 1E=√155. 设直线A 1B 1与平面A 1ECF 所成的角为ϕ1，由三余弦公式得cos ϕ1= √33. ∴ 直线A 1B 1与平面A 1ECF 所成的角的余弦值为 √33.注：(2)也可以联结B 1C ，由上述分析知，直线A 1B 1与平面A 1ECF 所成角为∠B 1A 1C ，在Rt △A 1B 1C 中，易求得cos ∠B 1A 1C = √33.想一想②:1.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为AA 1、AB 的中点，则EF 与平面AA 1C 1C 所成的角为( ). 2.如图2.5—11.空间四边形PABC 中，PA 、PB 、PC 两两相互垂直， ∠PBA=450,∠PBC=600.则cos ∠ABC=( ).3.正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，若E 为棱AB 的中点，则直线C 1E 与平面ACC 1A 1所成角的正弦值为( ).4.求例5中PB 与平面PCD 所成角的正弦值.【二面角】二面角的计算是三类空间角计算中的难点，解决它的关键在于合理、有效地找出二面角的平面角，常用的方法有如下几种：1.直接法——⎪⎩⎪⎨⎧.)(中线作出平面角利用等腰三角形底边的面角；利用作棱的垂面作出平定理作出平面角；或逆利用三垂线 2.间接法——利用面积的射影定理. 对于无棱的二面角(只给出了两个半平面的一个公共点)，则要先确定棱的位置. 二面角的取值范围为θ∈[0，π].例7.(1)如图2.5—12(1). PC ⊥平面ABC ，AB ＝BC=CA ＝PC=a ，求二面角B －PA －C 的平面角的正切值.(2)如图2.5—12(2).已知二面角α－AB －β为1200，AC ⊂α，BD ⊂β，且AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，AB ＝AC ＝BD ＝a ，求CD 的长为.解:(1)法1(三垂线定理法).∵ PC ⊥平面ABC, ∴ 平面PAC ⊥平面ABC ，交线为AC.作BD ⊥AC 于点D ，据面面垂直性质定理知BD ⊥平面PAC ，作DE ⊥PA 于E ，连BE ，由三垂线定理，得BE ⊥PA ，从而∠BED 是二面角B －PA －C 的平面角.设PC ＝a ，依题意知三角形ABC 是边长为aPA BC图2.5—11 图2.5—12(1)P ABCDE图2.5—12(2)的正三角形，∴ D 是AC 的中点且BD=√32a ，∵ PC =CA=a ，∠PCA=900， ∴ ∠PAC ＝450. 在Rt △DEA 中，ED=ADsin450= √24a ， ∴ tan ∠BED= BD ED =√6， 即二面角B －PA －C 的平面角的正切值为√6. 法2.(面积的射影定理法).同法1，作BD ⊥AC 于点D ，可知BD ⊥平面PAC ，∴ 三角形ABP 在平面PAC 上的射影为三角形PDA.设所求二面角为θ，则cos θ=S∆PAD S ∆PBA . 由已知易求得PB=PA=√2a ， AB=a ，PC=PA=a ，∴ S ∆PDC =12S ∆PAC =14a 2，S ∆PAB =√74a 2，因此cos θ=S ∆PAD S ∆PBA= √77，从而可得二面角B －PA －C 的平面角的正切值为√6.(2)在平面β内，作AD′∥BD ，连DD′，则DD′∥AB. ∵ AC ⊥AB ，D′A ⊥AB ，∴ ∠D′AC 为二面角α－AB －β的平面角， 即∠D′AC ＝120°.∵ AB ＝AC ＝BD ＝a ，∴ CD′＝3a ，又AB ⊥平面ACD′，DD′∥AB ， ∴ DD′⊥平面ACD′，∴ DD′⊥D′C ，又 DD′＝a ，∴ CD ＝DD′2＋D′C 2＝2a.例8.(1)如图2.5—13(1).在600二面角M －a －N 内有一点P ，P 到平面M 、N 的距离分别为1和2，求点P 到直线a 的距离.(2)如图2.5—13(2).正方体AC 1的棱长为a ，求二面角D —A1B —C 的余弦值.解:(1)设PA 、PB 分别为点P 到平面M 、N 的距离，过PA 、PB 作平面α，分别交M 、N于AQ 、BQ.(相当于作棱的垂面). ∵ PA ⊥M ，a ⊂M ，∴ PA ⊥a. 同理，有PB ⊥a ， ∵ PA∩PB=P ，PA 、PB ⊂平面PAQB ， ∴ a ⊥平面PAQB 于Q.又 AQ 、BQ ⊂平面PAQB ，∴ a ⊥AQ ，a ⊥BQ. 即 ∠AQB 是二面角M －a －N 的平面角. ∴ ∠AQB ＝60°.联结PQ ，则PQ 是P 到a 的距离，在平面图形PAQB 中，有∠PAQ ＝∠PBQ=90°，∴ P 、A 、Q 、B 四点共圆，且PQ 是四边形PAQB 的外接圆的直径2R. 在△PAB 中，∵ PA=1，PB=2，∠BPA ＝120°，由余弦定理得，AB=√7. 由正弦定理：PQ=2R=.3212237sin ==∠APBAB(2)取A 1B 的中点E ，过点E 作EF ∥BC 交A 1C 与F ，联结DF 、DE.在正方体AC 1中易知 BC ⊥A 1B ，∵ EF ∥BC ∴ EF ⊥A 1B ，又∵A 1D=DB ，E 为A 1B 的中点，∴ EF ⊥A 1B ，因此∠DEF 为二面角D —A 1B —C 的平面角. ∵ DE= √32A 1B = √6a2，EF= BC 2=a2，DF=A 1C 2=√32a.由余弦定理可得，cos ∠DEF=√63.即二面角D —A1B —C 的余弦值为√63.想一想③:1.在正四面体ABCD 中，求相邻两个平面所成二面角的平面角的余弦值PN ABQMa 图2.5—13(1)A BC DA 1B 1C 1D 1图2.5—13(2) EF2.自二面角内的一点到两个平面的距离都是6cm ，两个垂足间的距离也是6cm ，求此二面角的度数.3.在四面体ABCD 中，AC=AB=BC=1，CD=BD=√132，AD=3.求二面角A—BC—D 的余弦值.例9.长方体ADCD—A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是正方形，过对角线AC 1的一个截面是锐角为α的菱形，若底面与截面AEC 1F 成θ角，求证：cos θ=tan α2.证法1:如图2.5—14.联结AC 、BD. ∵ 过对角线AC 1的一个截面是菱形，由长方体的特性知， BD ∥EF ，且EF=BD. 由线面平行的判定定理知BD ∥截面AEC 1F ，再由线面 平行的性质定理知BD ∥过点A 的直线l . 其中l 为平面ABCD 与截面AEC 1F 的交线，即下底面与截面所成二面角的棱为直线l .∵ AC 1⊥EF ，AC ⊥BD ，∴ AC ⊥l ，AC 1⊥l ，即∠C 1AC 为底面与截面AEC 1F 所成角，即 ∠C 1AC=θ，∵ cos θ= ACA 1C ，tan α2=EF AC 1=BD AC 1=ACAC 1，∴ cos θ=tan α2.证法2.设底面与截面AEC 1F 成θ角，由面积射影定理知，cosθ=S ∆BCDS ∆EC 1E=BD×AC EF×AC 1=AC AC 1. 下同法1.略.例10.如图2.5—15.在△ABC 中，AB ⊥BC ，S 为平面ABC 外的一点，SA ⊥平面ABC ，∠ACB ＝600，SA ＝AC ＝a.求二面角A －SC －B 的余弦值. 解: ∵ SA ⊥平面ABC ，SA 平面SAC ，∴ 平面SAC ⊥平面ABC. 过点B 作BD ⊥AC 于D ，平面SAC 平面∩ABC=AC ， ∴ BD ⊥平面SAC ，联结SD. 设二面角A －SC －B=θ， ∵ SA ＝AC ＝a ，∠ACB ＝600，BC ⊥SB ，∴ BC=a2，CD =BC 2=a4，SB=√7a2，∴ cos θ=S ∆SDC S ∆SBC=SA×CD SB×BC=√77. 即二面角A －SC －B的余弦值为√77.想一想④:如图2.5—16所示.在四棱锥P—ABCD 中，底面ABCD 是一直角梯形，∠BAD=900，AD ∥BC ，PA=AB=BC=a ，AD=2a ，PA ⊥底面ABCD. 求:(1)二面角P—CD—A 的余弦值.(2)平面PCD 与平面PAB 所成二面角的余弦值.【线面角、二面角的一个统一求法】如图2.5—17，设平面α的斜线PA 与平面α所成的角为θ，点P 到平面α的距离为h ，则 有， sin θ=hPA . 其中h 可利用三棱锥体积等积变形求得.图2.5—16BPA C DABCS图2.5—15D 图2.5—14 A BC A 1B 1C 1D 1DFE l如图2.5—18.在平面β内取一点P ，过点P 作PA ⊥平面α于A ，过点A 作AB ⊥l 于B ，联结PB ，由三垂线定理易知∠PBA =θ为二面角α—l —β的平面角(或补角)，设点P 到平面α的距离为h ，则有，sin θ=hPB . 其中h 可利用三棱锥体积等积变形求得，PB 为点P 到棱l 的距离，可通过三角形面积等积变形求得.这样一来，求线面角和二面角的问题可统一为，先利用三棱锥的体积等积变形求出点面距h ，再由已知或利用三角形面积等积变形求出点线距，从而易得所成角的正弦值.例11.如图2.5—19.在四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，PA=4，AC=2√3，BD=2.又点E 在侧棱PC 上，且PC ⊥平面BDE. (1)求线段CE 的长.(2)且二面角A —PD —C 的余弦值.解:(1)设AC ∩BD =O ，联结OE ，由已知条件易得PC=2√7.∵ PC ⊥平面BDE ，∴ OE ⊥PC.在Rt ∆PAC 和Rt∆OEC 中， cos ∠OCE=ECOC =ACPC ，⇒EC =3√77.(2)由已知可求得菱形的边长为2，PD=2√5. 设点A 到平面PDC 的距离为h ，点A 到二面角A —PD —C 的棱PD 距离为d ，二面角A —PD —C 的平面角(或补角)为θ，则sin θ=hd . 在∆PDC 中，S ∆PDC =12DP ×DC ×sin∠PDC =12DP ×DC ×√1−cos 2∠PDC =√19，∵ V A—PDC = V P—ADC ，可求得h=4√5719，又在∆PAD 中利用面积等积变形可得d=4√55， ∴ sin θ=hd =√15√19，∵ 二面角A —PD —C 是钝二面角，故二面角A —PD —C 的余弦值为-2√1919.例12.如图2.5—20.四棱锥P —ABCD 的底面是一个边长为4的菱形，其中∠ADC=600，顶点在底面上的射影恰好为AD 的中点E ，若PA=√7. (1)求直线PB 与平面PAD 所成角的正弦值.(2)求平面PBC 与平面PAD 所成二面角的余弦值.解:(1)设点B 到平面PAD 的距离为h ，直线PB 与平面PAD 所成角为θ，则sin θ=hPB ..∵ PE ⊥平面ABCD ，且E 为AD 的中点，由PA=√7，AD=4，∴ PE=√3. 又∵ V B—PAD = V P—BAD ，得 h =PE×S ∆ABDS ∆APD=2√3，在∆AEB 中，由余弦定理得EB=2√7，再由勾股定理得PB=√31， ∴ sin θ=hPB =2√3√31=2√9331. 即直线PB 与平面PAD 所成角的正弦值为2√9331. (2)设平面PBC 与平面PAD 所成二面角为α，点C 到平面PAD 的距离为h ，点C 到二面角的棱l 的距离为h 1，则 ，sin α=hh 1. ∵ BC ∥AD ，由线面平行的判定和性质知，平面PBC 与平面PAD 的交线l ∥BC ，∴ h 1为∆P CB 的底边BC 边上的高.由AD ⊥平面PEC ，知AD ⊥PC ，又∵ AD ∥BC ，∴ BC ⊥PC ，即h 1=PC.联结CE 、AC 由已知易得∆ACD 为αP A Bθh图2.5—17αP A h 图2.5—18Bθ βlP AEBCD l图2.5—20.PDECBA 图2.5—19.O正三角形，∴ PC=√PE 2+EC 2=√15，由BC ∥平面PAD 和(1)知h=2√3， ∴ sin α=h h 1=2√55，故平面PBC 与平面PAD 所成二面角的余弦值为2√55.例13.如图2.5—21，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面PAD ⊥ 底面ABCD ，且PA=PD=√22AD ，在线段AB 上是否存在一点G ，使二面角C —PD —G 的正弦值为2√23，说明理由. 解：取AD 的中点E ，联结PE 、CE ，∵ 侧面PAD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，且PA=PD= √22AD ， ∴ PD ⊥AB ，DP ⊥平面PAB ，从而可得，DP ⊥P G ，EC=√5， PC=√6， PA =PD =√2，PE =1.设AG=a ，点G 到平面PDC 的距离为h ，二面角C —PD —G 的平面角(或补角)为θ，则sin θ=h PG.由V G—PDC = V P—DGC ，得 h =S ∆DGCS ∆PDC=√2，又∵ PG=√2+a 2，∴ sin θ=hPG =√2√2+a 2=2√23，⇒a =12. 故存在点G 满足题设条件，且AG= 12.想一想⑤:在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点M 、N 、O 分别在棱CD 、BC 、CC 1上，且CM=CN=OC 1， 当OM 与平面ABCD 所成角的余弦值为√22时，求二面角N —MO —C 的余弦值.(请用多种方法)习题2.51.四面体ABCD 中，AC ⊥BD ，且AC ＝4，BD ＝3，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，则MN 和BD 所成角的正切值为( ).2.在四面体ABCD 中，AB ⊥BC ，AB ⊥BD ，BC ⊥CD ，且AB ＝BC ＝6，BD ＝8，E 是AD 中点，则BE 与CD 所成角的余弦值是( ).3.正三棱柱的九条棱都相等，M 、N 分别是BC 和A 1C 1的中点. 则MN 与CC 1所成角的余弦值是( ).4.不共面的三条射线OA 、O1B 、OC 两两成600的角，则OC 与平面AOB 所成角的余弦值为( ).5.正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，对角线BD 1=8，BD 1与侧面BC 1所成的角为30°，则BD 1和底面ABCD 所成的角为( ). A.30°. B.60°. C.45°. D.90°.6.设P 是边长为1的正△ABC 所在平面外一点，且PA=PB=PC= 23，那么PC 与平面ABC 所成的角为( ). A.30°. B.45°. C.60° D.90°.7.长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB=AA 1=2cm ，AD=1cm ，求异面直线A 1C 1与BD 1所成角的余弦值.(要求用三种不同的方法).8.已知ABCD 是正方形，PB 平面ABCD ，PB=AB=1，求二面角A —PD —C 的大小.9.如图2.5—22.空间三条射线CA 、CP 、CB ，∠PCA=∠PCB=60o ， ∠ACB=90o，求二面角B -PC -A 的余弦值.10.在四棱锥P -ABCD 中，ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AB ＝a ，求平面PBA 与PBα CAE F D图2.5—22 图2.5—21PDAB ECG平面PDC 所成二面角的大小.11.设M 为正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱CC 1的中点，求平面BMD 1与底面ABCD 所成的二面角的余弦值. 12.AC ⊂α，BD ⊂β，α与β所成的角为600，AC ⊥l 于C ，BD ⊥l 于B ，AC ＝3，BD ＝4，CD ＝2，求A 、B 两点间的距离.【参考答案】想一想①:1. 45°.2.1015.提示，法1.联结D 1F 1，过F 1作F 1M ∥BD 1角BC 与M.法2.在左侧面“拼”一个相同的三棱柱. 3..2222222cb a b a b a ++⋅+-利用三余弦公式，联结AC 、BD 交于O ，其中AC C 11∠=ϕ，COB ∠=2ϕ. 想一想②:1.300.提示，相当于求A 1B 平面AA 1C 1C 所成的角.2.√24.换个角度画图.由已知知CP ⊥平面PBA.∠ABC=θ,∠PBA=450=φ1,∠PBC=600=φ2.由三余弦公式可得.3.√26.直接法或等积变形. V E—ACC 1= V C 1—ACE . 4. √26.等积变形. V B—PCD = V P—BCD .想一想③:1.13.法1.过一个顶点作对面的垂线，由三垂线定理得到二面角的平面角，再求之. 法2.利用等腰三角形的特性作出二面角的平面角. 法3.利用面积的射影定理亦可求解. 2.1200.仿例8(1)作棱的垂面求解. 3.−√74. 利用等腰三角形的特性作出二面角的平面角.想一想④:(1) √63.法1.联结AC ，先证CD ⊥平面PAC.可知∠PCA 为平面角，再计算. 法2.利用面积的射影定理求.(cos θ=S∆ACD S ∆PCD).(2) √66.法1.延长DC 交AB 于点E ，则PE 为二面角的棱.再用直接法求之.法2. 利用面积的射影定理求. (cos θ=S∆PAB S ∆PCD).想一想⑤: √33. 习题2.51. 43.. 2. √75. 3.2√55. 4. √33.利用三余弦公式. 5.C. 6.A. 7. √558.1200.注意到∆PCD ≌∆PAD ，过点C 作CE ⊥PD,联结AE,则AE ⊥PD ，∴ ∠AEC 为二面角 A —PD —C 的平面角，利用直角三角形PCD 面积等积变形可求得CE=AE=√63下略.9.13.提示：在射线CP上取点D，作平面DEF ⊥CP.即棱的垂面.10.450.法1.∵ CD∥AB,由线面平行的判断和性质可推得二面角的棱为过点P且平行于AB的直线，又∵ AB⊥平面PAD，可知∠APD为二面角的平面角.法2.利用面积的射影定理. cosθ=S∆PABS∆PCD11.√63.利用面面平行的性质可知过三点B、M、D1的截面如图D2.5—1所示.此二面角的棱l为过点B且MN∥l∥AC的直线.也可用面积的射影定理求.12.√17.仿例7(2)的方法求解.A BCDA1B1C1D1图D2.5—1NM11。

空间角公式空间角公式是三维空间中两个向量之间的夹角，也称为向量夹角。

在三维空间中，向量的方向和大小都很重要，因此空间角公式是非常重要的数学工具。

空间角公式可以用余弦定理来表示。

假设有两个向量a和b，它们的夹角为θ，那么它们的余弦值可以表示为：cosθ = (a·b) / (|a|·|b|)其中，a·b表示向量a和向量b的点积，|a|和|b|分别表示向量a和向量b的模长。

这个公式可以用来计算任意两个向量之间的夹角。

空间角公式还可以用向量的坐标表示。

假设有两个向量a和b，它们的坐标分别为(a1, a2, a3)和(b1, b2, b3)，那么它们的夹角可以表示为：cosθ = (a1b1 + a2b2 + a3b3) / (sqrt(a1^2 + a2^2 + a3^2)·sqrt(b1^2 + b2^2 + b3^2))其中，sqrt表示平方根。

这个公式可以用来计算任意两个向量之间的夹角，只需要知道它们的坐标。

空间角公式在三维计算机图形学中有广泛的应用。

例如，在计算机游戏中，需要计算物体之间的碰撞，就需要用到空间角公式来计算它们之间的夹角。

在计算机辅助设计中，也需要用到空间角公式来计算物体之间的相对位置和方向。

除了空间角公式，还有一些其他的向量公式也非常重要。

例如，向量的叉积公式可以用来计算两个向量的垂直向量，向量的投影公式可以用来计算一个向量在另一个向量上的投影长度。

这些公式都是三维空间中向量计算的基础，对于理解和应用三维计算机图形学非常重要。

空间角公式是三维空间中向量计算的重要工具，它可以用来计算任意两个向量之间的夹角。

在三维计算机图形学中，空间角公式是非常重要的数学工具，它可以用来计算物体之间的相对位置和方向，对于计算机游戏和计算机辅助设计等领域都有广泛的应用。