力学近似分析方法之逐次渐近法

逐次渐近法在用能量法进行计算时,必须先假设变形曲线,而且所假设的变形曲线对计算结果的误差有决定性的影响。

究竟如何选取变形曲线才能接近于精确解呢?逐次渐近法提供了一种较好的办法。

此外,对于精确解为未知或比较复杂的情况,用渐近法能提供临界荷载的上限和下限,可以估计近似解的精确度,通过逐次渐近计算便可得到所需的精确度。

用渐近法计算临界荷载时,先取任一满足几何边界条件的曲线作为初始变形曲线,杆件的弯矩可以轴力P 与挠度来表示, 将其代入微分方程, 用重积分法或其他方法得到变形曲线的表达式, 从而得到一个临界荷载值。

如果原设定的变形曲线刚好是正确的, 则求解微分方程所得的变形曲线与原先所设的曲线必定相同, 而如果选择的初始曲线是近似的,则积分后得到的变形曲线与原曲线将有区别。

换句话说, 原先设定的变形形式不是实际的屈曲平衡形式。

为了寻求新的变形形式,可以第一次计算所得的曲线为基础作为真实挠度曲线的一个新的近似解。

重复上述计算, 又得到一个新的变形曲线, 求得另一临界荷载近似值, 它比前一个临界荷载近似值更接近于精确值。

继续进行计算, 直到假设的与计算的变形形式相差很小为止, 这时相应的临界荷载就将接近于精确解了。

现以图1a 所示的间端饺支等截面压杆为例来说明。

其屈曲时的平衡微分方程为''EIv Pv =- （1）积分两次后, 得到其弹性曲线表达式为00()()x x P v x v x dxdx EI =-⎰⎰ （2）以实际的变形曲线表达式()v x 及临界荷载P 代入式（2）的右边,按式（2）算得的()v x 与实际的变形曲线必然相同。

但若右边代入的为近似变形曲线0()v x , 则按上式算得的1()v x 与0()v x 就会有区别,不过1()v x 比0()v x 更接近于实际变形曲线。

若又以1()v x 代入式（2）的右边进行积分,则又可得到一个新的变形曲线2()v x 。

由2()v x 又可求得3()v x 等等，依此类推。

简述逐次逼近法的工作原理
逐次逼近法是一种数值计算方法，用于求解近似解的近似值。

其主要工作原理如下：
1. 初始化：选择一个初始值作为近似解的初始近似值。

2. 迭代过程：根据某种规则进行迭代，每次迭代都会产生一个较接近真实解的近似值。

3. 收敛判断：判断近似解是否足够接近真实解。

如果接近程度满足预定的收敛准则，则输出近似解；否则返回第2步进行下一次迭代。

4. 输出结果：输出满足收敛准则的近似解作为最终结果。

逐次逼近法的核心思想是不断迭代，通过每一次迭代对近似解进行修正，逐渐接近真实解。

在迭代过程中，常用的方法有不动点迭代法、Newton-Raphson迭代法等等。

这些方法在每一步迭代中通过一定的数学计算方式来更新近似解，并不断逼近真实解。

逐次逼近法的优点是易于实现和理解，适用于一些求解复杂方程或函数的数值解问题。

然而，它的收敛速度可能很慢，对于某些问题可能无法得到满意的解。

因此，在应用中需要根据具体问题选择合适的迭代方法，以提高计算效率和准确性。

第八章渐进法和力矩分配法超静定结构的计算方法: 力法(六)、位移法（七）力法计算步骤1、选取基本体系2、列力法方程3、计算系数及自由项4、解方程5、作内力图位移法计算步骤1、设基本未知量2、列杆端弯矩方程3、列位移法方程4、解方程5、求杆端弯矩6、做内力图为避免解力法和位移法方程，引入一种近似的计算方法，这种方法是位移法的延伸，在计算过程中进行力矩的分配与传递。

渐近法有力矩分配法、无剪力分配法等，它们都是位移法的变体，其共同的特点是避免了组成和解算典型方程，也不需要计算结点位移，而是以逐次渐近的方法来计算杆端弯矩，计算结果的精度随计算轮次的增加而提高，最后收敛于精确解。

力矩分配法适用于连续梁和无结点线位移的刚架；无剪力分配法适用于刚架中除杆端无相对线位移的杆件外，其余杆件都是剪力静定杆件的情况，它是力矩分配法的一种特殊的形式。

对于一般有结点线位移的刚架，可用力矩分配法和位移法联合求解。

§8.1 力矩分配法的基本概念力矩分配法：理论基础：位移法；计算对象：杆端弯矩；计算方法：逐渐逼近的方法；适用范围：连续梁和无侧移刚架。

基本概念转动刚度S分配系数μ传递系数 C力矩分配法中符号规定力矩分配法的理论基础是位移法，故力矩分配法中对杆端转角、弯矩及固端弯矩的正负号规定与位移法相同，即都假设对杆端顺时针旋转为正号、对结点或附加刚臂逆时针旋转为正号。

一、转动刚度S：表示杆端对转动的抵抗能力。

在数值等于使杆端产生单位转角时需要施加的力矩。

转动刚度SAB 与杆的线刚度i （材料的性质、横截面的形状和尺寸、杆长）及远端支承有关，而与近端支承无关。

二、分配系数设A 点有力矩M ，求M AB 、M AC 和M AD如用位移法求解：A AB A AB AB S i M θθ==4A AC A AC AC S i M θθ==A AD A AD AD S i M θθ==30=∑AM A AD AC ABS S SM θ)(++=∑=++=AAD AC AB A SMS S S M θ所以有M SS M AABAB ∑=M S S M AAC AC ∑= M S S M AAD AD ∑=M M Aj Aj ⋅=μ ∑=AAjAj SS μ 1=∑μ三、传递系数=远端弯矩/近端弯矩M AB = 4 i ABθAM BA = 2 i ABθA在结点上的外力矩按各杆分配系数分配给各杆近端截面，各杆远端弯矩分别等于各杆近端弯矩乘以传递系数。

结构力学渐进法原理的应用1. 什么是结构力学渐进法？结构力学渐进法是一种力学分析方法，用于求解复杂结构的静力学和强度问题。

它基于结构的几何特性，将结构分为许多子结构，然后将这些子结构进行逐步分析，最终得到整个结构的静力学和强度解。

2. 渐进法的基本原理渐进法的基本原理是将一个结构划分为多个子结构，每个子结构都是由更小的部分组成。

然后通过逐步分析和计算这些子结构的静力学和强度问题，最后将结果汇总得到整个结构的解。

3. 渐进法的应用领域渐进法在结构力学中的应用非常广泛，主要包括以下几个方面：•结构设计：通过对结构进行逐步分析，可以优化结构的力学性能，减轻结构的重量，提高结构的强度。

•结构优化：渐进法可以用于优化结构的几何形状，减少结构的应力集中，提高结构的稳定性。

•结构分析：渐进法可以用于求解结构的静力学问题，例如计算结构的应力分布、变形等。

•结构材料选择：渐进法可以用于评估不同材料的力学性能，选择合适的材料。

•结构损伤评估：渐进法可以用于评估受损结构的剩余强度，确定结构的维修和加固方案。

4. 渐进法的优点和局限性渐进法具有以下优点：•分析精度高：通过逐步分析子结构，可以得到准确的结构解。

•计算效率高：渐进法将结构分解为多个子结构，可以并行计算，提高计算效率。

•设计灵活性强：渐进法可以应用于各种结构类型和复杂度的问题，具有很强的适应性。

然而，渐进法也存在一些局限性：•对结构划分的依赖：渐进法的准确性和效率高度依赖于对结构的合理划分。

•计算工作量大：对于大规模的结构，渐进法的计算工作量较大。

•不适用于某些特殊情况：某些结构问题可能不适合使用渐进法进行分析，例如存在较大的非线性行为的结构。

5. 渐进法的应用案例以下是一些渐进法在工程实践中的应用案例：•飞机机翼设计：利用渐进法可以对飞机机翼进行逐步分析，优化翼型和结构布局，提高机翼的强度和稳定性。

•桥梁结构设计：通过渐进法可以对桥梁结构进行逐步分析，优化结构的刚度和承载能力，提高桥梁的安全性和使用寿命。

第三章 逐次逼近法1.11、一元迭代法x n+1=φ(x n )收敛条件为：1）映内性x ∈[a,b]，φ(x) ∈[a,b] 2）压缩性∣φ(x) -φ(y)∣≤L ∣x-y ∣其中L ＜1，此时φ为压缩算子，在不断的迭代中，就可以得到最终的不动点集。

由微分中值定理，如果∣φ’∣≤L ＜1，显然它一定满足压缩性条件。

2、多元迭代法x n+1=φ(x n )收敛条件为：1）映内性x n ∈Ω，φ(x n ) ∈Ω 2）压缩性ρ（▽φ）＜1，其中▽φ为x n 处的梯度矩阵，此时φ为压缩算子，在不断的迭代中，就可以得到最终的不动点集。

3、当φ(x )= Bx+f 时，收敛条件为，ρ（B ）＜1，此时x n+1= Bx n +f ，在不断的迭代中，就可以得到线性方程组的解。

4、线性方程组的迭代解法，先作矩阵变换 U L D A --= Jacobi 迭代公式的矩阵形式 f Bx b D x U L D x n n n +=++=--+111)(Gauss-Seidel 迭代公式的矩阵形式 f Bx b L D Ux L D x n n n +=-+-=--+111)()( 超松弛迭代法公式的矩阵形式f Bx b L D x U D L D x k k k +=-++--=--+ωωωωω111)(])1[()(三种迭代方法当1)(<B ρ时都收敛。

5、线性方程组的迭代解法，如果A 严格对角占优，则Jacob 法和Gauss-Seidel 法都收敛。

6、线性方程组的迭代解法，如果A 不可约对角占优，则Gauss-Seidel 法收敛。

7、Newton 迭代法，单根为二阶收敛 2211'''21lim)(2)(lim---∞→+∞→--=-==--k k k k k k k k x x x x f f c x x ξξαα8、Newton 法迭代时，遇到重根，迭代变成线性收敛，如果知道重数m ， )()('1k k k k x f x f m x x -=+仍为二阶收敛 9、弦割法)()())((111--+---=k k k k k k k x f x f x x x f x x 的收敛阶为1.618，分半法的收敛速度为（b-a ）/2n-110、Aitken 加速公式11211112)(),(),(+----+-+--+---+---===k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x ϕϕ1.2 典型例题分析1、证明如果A 严格对角占优，则Jacob 法和Gauss-Seidel 法都收敛。