上海市17区县高三数学一模分类汇编 专题十七 二项式定理 文

上海市17区县高三数学一模试题分类汇编 专题三 解析几何理2013年2月（杨浦区2013届高三一模 理科）17．若1F 、2F 为双曲线C :1422=-y x 的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，∠21PF F =︒60，则P 到x 轴的距离为 ………（ ）)(A 55．)(B 155．)(C 2155．)(D 1520． 17．)(B ；（青浦区2013届高三一模）15．设双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的虚轴长为2，焦距为32，则双曲线的渐近线方程为………………………………………………（ D ）．A . x y 2±=.B x y 2±=C . x y 21±=D . x y 22±= （嘉定区2013届高三一模 理科）9．点M 是曲线1212+=x y 上的一个动点，且点M 为线段OP 的中点，则动点P 的轨迹方程为__________________． 9．2412+=x y （崇明县2013届高三一模）17、等轴双曲线C ：222x y a -=与抛物线216y x =的准线交于,A B 两点，43AB =，则双曲线C 的实轴长等于……………………………………………………………………（ ） A ．2B ．22C ．4D ．817、C（黄浦区2013届高三一模 理科）13．已知F 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 是双曲线C 的中心，直线y =mx 是双曲线C 的一条渐近线．以线段OF 为边作正三角形MOF ，若点M 在双曲线C 上，则m 的值为． 13．323+（松江区2013届高三一模 理科）7．抛物线的焦点为椭圆14522=+y x 的右焦点，顶点在椭圆的中心，则抛物线方程为 ▲ 7．24y x =（虹口区2013届高三一模）14、设点P 在曲线22+=x y 上，点Q 在曲线2-=x y 上，则PQ 的最小值等于． 14、427； （松江区2013届高三一模 理科）14．定义变换T 将平面内的点(,)(0,0)P x y x y ≥≥变换到平面内的点Q ． 若曲线0:1(0,0)42x yC x y +=≥≥经变换T 后得到曲线1C ，曲线1C 经变换T 后得到曲线2C ，依次类推，曲线1n C -经变换T 后得到曲线n C ，当*n N ∈时，记曲线n C 与x 、y 轴正半轴的交点为(,0)n n A a 和(0,)n n B b ．某同学研究后认为曲线n C 具有如下性质： ①对任意的*n N ∈，曲线n C 都关于原点对称； ②对任意的*n N ∈，曲线n C 恒过点(0,2)；③对任意的*n N ∈，曲线n C 均在矩形n n n OA D B （含边界）的内部，其中n D 的坐标为(,)n n n D a b ；④记矩形n n n OA D B 的面积为n S ，则lim 1n n S →∞=其中所有正确结论的序号是 ▲ ． 14． ③④（杨浦区2013届高三一模 理科）3．抛物线x y 42=的焦点到准线的距离为. 3．2； （黄浦区2013届高三一模 理科）11．已知抛物线22(0)y px p =>上一点(1,)M m 到其焦点F 的距离为5，该抛物线的顶点到直线MF 的距离为d ，则d 的值为．11．165；（奉贤区2013届高三一模）13、（文）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，AB =；则C 的实轴长为____________．文4（青浦区2013届高三一模）3．抛物线22x y =的焦点坐标是____)81,0(．（奉贤区2013届高三一模）14、（文）椭圆()01342222>=+a ay a x 的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点A 、B ，当FAB ∆的周长最大时，FAB ∆的面积是____________．文23a（杨浦区2013届高三一模 理科）5．若直线l :012=--x y ，则该直线l 的倾斜角是.5．2arctan ；（金山区2013届高三一模）11．双曲线C ：x 2–y 2= a 2的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2=16x 的准线交于A 、B 两点，34||=AB ，则双曲线C 的方程为__________．11．14422=-y x（虹口区2013届高三一模）4、双曲线1322=-y x 的两条渐近线的夹角大小等于． 4、3π；（嘉定区2013届高三一模 理科）21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知椭圆C ：12222=+b y a x （0>>b a ）经过)1,1(与⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,26两点，过原点的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，椭圆C 上一点M 满足||||MB MA =．（1）求椭圆C 的方程；（2）求证：222||2||1||1OM OB OA ++为定值．21．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）OABMxy（1）将)1,1(与⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,26代入椭圆C 的方程，得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+143231112222b ab a ，…………（2分） 解得32=a ，232=b ．…………（5分）所以椭圆C 的方程为132322=+y x ．…………（6分） （2）由||||MB MA =，知M 在线段AB 的垂直平分线上，由椭圆的对称性知A 、B 关于原点对称．①若点A 、B 在椭圆的短轴顶点上，则点M 在椭圆的长轴顶点上，此时2112211||2||1||122222222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=++b a a b b OM OB OA ．……（1分） 同理，若点A 、B 在椭圆的长轴顶点上，则点M 在椭圆的短轴顶点上，此时2112211||2||1||122222222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=++b ab a a OM OB OA ．……（2分） ②若点A 、B 、M 不是椭圆的顶点，设直线l 的方程为kx y =（0≠k ）， 则直线OM 的方程为x ky 1-=．设),(11y x A ，),(22y x M ， 由⎪⎩⎪⎨⎧=+=132322y x kx y ，解得221213k x +=，2221213k k y +=，……（4分） 所以2221212221)1(3||||k k y x OB OA ++=+==，同理可得2222)1(3||kk OM ++=， 所以2)1(3)2(2)1(321)1(321||2||1||1222222222=++++++++=++k k k k k k OM OB OA ．……（7分） 综上，222||2||1||1OM OB OA ++为定值2．…………（8分）（黄浦区2013届高三一模 理科）22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小OABMxy题满分6分．给定椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，称圆心在原点O 、半径是22a b +的圆为椭圆C的“准圆”．已知椭圆C 的一个焦点为(2,0)F ，其短轴的一个端点到点F 的距离为3． （1）求椭圆C 和其“准圆”的方程；（2）若点A 是椭圆C 的“准圆”与x 轴正半轴的交点，,B D 是椭圆C 上的两相异点，且BD x ⊥轴，求AB AD ⋅的取值范围；（3）在椭圆C 的“准圆”上任取一点P ，过点P 作直线12,l l ，使得12,l l 与椭圆C 都只有一个交点，试判断12,l l 是否垂直？并说明理由．22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．解：（1）由题意知2c =，且223a b c =+=，可得1b =，故椭圆C 的方程为2213x y +=，其“准圆”方程为224x y +=． ………………4分（2）由题意，可设(,),(,)B m n D m n -(33)m -<<，则有2213m n +=，又A 点坐标为(2,0)，故(2,),(2,)AB m n AD m n =-=--，故2222(2)44(1)3m AB AD m n m m ⋅=--=-+--2244343()332m m m =-+=-, …………………………8分 又33m -，故243()[0,743)32m -∈+，所以AB AD ⋅的取值范围是[0,743)+． …………………………10分 （3）设(,)P s t ，则224s t +=．当3s =±1t =±，则12,l l 其中之一斜率不存在，另一斜率为0，显然有12l l ⊥． 当3s ≠±(,)P s t 且与椭圆有一个公共点的直线l 的斜率为k ， 则l 的方程为()y t k x s -=-，代入椭圆C 方程可得223[()]3x kx t ks ++-=，即222(31)6()3()30k x k t ks x t ks ++-+--=，由222236()4(31)[3()3]0k t ks k t ks ∆=--+--=， …………………………13分 可得222(3)210s k stk t -++-=，其中230s -≠， 设12,l l 的斜率分别为12,k k ，则12,k k 是上述方程的两个根，故22122211(4)133t s k k s s ---===---，即12l l ⊥．PMOyx综上可知，对于椭圆C 上的任意点P ，都有12l l ⊥． ………………………………16分（虹口区2013届高三一模）21、（本题满分14分）已知圆:O 422=+y x ． （1）直线1l ：0323=-+y x 与圆O 相交于A 、B 两点，求AB ； （2）如图，设),(11y x M 、),(22y x P 是圆O 上的两个动点，点M 关于原点的对称点为1M ，点M 关于x 轴的对称点为2M ，如果直线1PM 、2PM 与y 轴分别交于),0(m 和),0(n ，问n m ⋅是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由．21、（14分）解：（1）圆心)0,0(O 到直线0323=-+y x 的距离3=d ．圆的半径2=r ，∴2222=-=d r AB ．………………4分 （2）),(11y x M ，),(22y x P ，则),(111y x M --，),(112y x M -，42121=+y x ，42222=+y x ．………………8分1PM ：))(())((212212y y x x x x y y -+=-+，得121221x x y x y x m +-=．2PM ：))(())((212212y y x x x x y y --=-+，得121221x x y x y x n ---=．…………12分∴4)4()4(212222212122212222212122=----=--=⋅x x x x x x x x y x y x n m ………………14分[来源:学科网]（金山区2013届高三一模）22．（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1、F 2，线段OF 1、OF 2的中点分别为B 1、B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形．过Ｂ1作直线l 交椭圆于P 、Q两点．(1) 求该椭圆的标准方程；(2) 若22QB PB ⊥，求直线l 的方程；(3) 设直线l 与圆O ：x 2+y 2=8相交于M 、N 两点，令|MN |的长度为t ，若t ∈[4,，求△B 2PQ 的面积S 的取值范围．22．解：（1）设所求椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a by a x ,右焦点为)0,(2c F .因△AB 1B 2是直角三角形，又|AB 1|=|AB 2|，故∠B 1AB 2=90º，得c =2b …………1分在Rt △AB 1B 2中，1224AB B S b ∆==，从而20222=+=c b a .………………3分因此所求椭圆的标准方程为：221204x y +=…………………………………………4分 (2)由(1)知1(2,0),(2,0)B B -,由题意知直线l 的倾斜角不为0,故可设直线l 的方程为：2x my =-,代入椭圆方程得()2254160m y my +--=,…………………………6分设P (x 1, y 1)、Q (x 2, y 2)，则y 1、y 2是上面方程的两根，因此12245my y m +=+， 516221+-=⋅m y y ，又()()2112222,,2,B P x y B Q x y =-=-，所以 212122)2)(2(y y x x Q B P B +--=⋅2216645m m -=-+………………………………8分 由21PB QB ⊥，得22B P B Q ⋅=0，即216640m -=，解得2m =±；所以满足条件的直线有两条,其方程分别为：x +2y +2=0和x –2y +2=0……………………10分(3) 当斜率不存在时，直线:l 2-=x ，此时4||=MN ，5516=S ………………11分 当斜率存在时，设直线:l )2(+=x k y ，则圆心O 到直线的距离1|2|2+=k k d ，因此t=721482||22≤+-=k k MN ，得312≥k ………………………………………13分。

专题十六 函数方程汇编2013年3月（浦东新区2013届高三一模 文科）2．已知二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的增广矩阵是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-311111，则此方程组的解是2.1x y =⎧⎨=⎩ （杨浦区2013届高三一模 文科）11.若函数1)23(log )(+-=xa x f (1,0≠>a a )的图像过定点P ,点Q 在曲线022=--y x 上运动,则线段PQ 中点M 轨迹方程是 ．11.x x y 222-=（虹口区2013届高三一模）15、若i -2是关于x 的实系数方程02=++b ax x 的一根，则该方程两根的模的和为（ ）.A 5 .B 52 .C 5 .D 1015、B ；（金山区2013届高三一模）18．给定方程：1()sin 102xx +-=，下列命题中：(1) 该方程没有小于0的实数解；(2) 该方程有无数个实数解；(3) 该方程在(–∞，0)内有且只有一个实数解；(4) 若x 0是该方程的实数解，则x 0>–1．则正确命题的个数是 （ ）(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 18．C（青浦区2013届高三一模）14．设R y x ∈,且满足⎪⎩⎪⎨⎧=-+--=+++4)1(2013)1(4)4(2013)4(315315y y x x ，则=+y x ,_____3- ．（嘉定区2013届高三一模 文科）18．在平面直角坐标系内，设),(11y x M 、),(22y x N 为不同的两点，直线l 的方程为0=++c by ax ，c by ax ++=111δ，c by ax ++=222δ．有四个命题：①若021>δδ，则点M 、N 一定在直线l 的同侧；②若021<δδ，则点M 、N 一定在直线l 的两侧；③若021=+δδ，则点M 、N 一定在直线l 的两侧；④若2221δδ>，则点M 到直线l 的距离大于点N 到直线l 的距离．上述命题中，全部真命题的序号是……………………（ ） A ．① ② ③ B ．① ② ④ C ．② ③ ④ D ．① ② ③ ④18．B（杨浦区2013届高三一模 文科）9. 若直线l 过点()1,1-，且与圆221x y +=相切，则直线l 的方程为 ．9.1=x 或1=y ； （闵行区2013届高三一模 文科）（文）已知函数2cos ,11()21,||1xx f x x x π⎧-≤≤⎪=⎨⎪->⎩，则关于x 的方程2()3()20f x f x -+=的实根的个数是___ _． 13文5；（静安区2013届高三一模 文科）23．（文）（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．已知x x f 21log )(=，当点),(y x M 在)(x f y =的图像上运动时，点),2(ny x N -在函数)(x g y n =的图像上运动（*N n ∈）． （1）求)(x g y n =的表达式；（2）若方程)2()(21a x g x g +-=有实根，求实数a 的取值范围； （3）设)(2)(x g n n x H =，函数)()()(11x g x H x F +=（b x a ≤≤<0）的值域为]22log ,22[log 4252++a b ，求实数a ，b 的值．23（文）解：（1）由⎩⎨⎧-==)2(),(x g ny x f y n 得x n x nf x g n 21log )()2(==-，所以)2(log )(21+=x n x g n ，（2->x ）． ····················· 4分 （2）)(log 2)2(log 2121a x x +=+，即a x x +=+2（02>+x ） ······· 6分2++-=x x a ，令02>+=x t ，所以4922≤++-=t t a ，当47-=x 时，49=a ．即实数a 的取值范围是]49,(-∞ ························ 10分 （3）因为nx n n x x H )2(12)()2(log 21+==+，所以)2(log 21)(21+++=x x x F ． )(x F 在),2(+∞-上是减函数．······················· 12分 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=22log)(22log )(5242b b F a a F 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++++=+++22log )2(log 2122log )2(log 2152214221b b b a a a ，所以⎩⎨⎧==3,2b a ·· 16分。

专题十三 向量
2013年2月
（嘉定区2013届高三一模 理科）16．以下说法错误的是………………………（ ）
A．直角坐标平面内直线的倾斜角的取值范围是
B．直角坐标平面内两条直线夹角的取值范围是
C．平面内两个非零向量的夹角的取值范围是
D．空间两条直线所成角的取值范围是
16．C
（嘉定区2013届高三一模 理科）12．已知、是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是
___________． 12．
（虹口区2013届高三一模）2、已知向量，，，，如果，则实数
． 2、2；
（奉贤区2013届高三一模）10、（文）已知向量则的最大值为_________． 文
（金山区2013届高三一模）5．已知，，若，则实数_______．52
（浦东新区2013届高三一模 理科）12．已知向量与向量，，，、的夹角为，当时，
的最大值为 .
（长宁区2013届高三一模）12、 （理）设，若恒成立，则k的最大值为
（文）已知向量==,若，则的最小值为 ，（文）
（崇明县2013届高三一模）12、在平面直角坐标系中，，将向量按逆时针旋转后得向量则点的坐标是.
12、
（奉贤区2013届高三一模）4、设直线：的方向向量是，直线2 ：的法向量是，若与平行，则_________．4．
（杨浦区2013届高三一模 理科）4. 若线性方程组的增广矩阵为，则该线性方程组的解是 ．4. （向量表示也可）；。

专题八 数列 2013年2月 （杨浦区2013届高三一模 理科）18. 已知数列是各项均为正数且公比不等于的等比数列（）. 对于函数，若数列为等差数列，则称函数为“保比差数列函数”. 现有定义在上的如下函数：， ， ， ，则为“保比差数列函数”的所有序号为 ………（ ） ②． ③④． ②④． ②③④ ． 18. ．2013届高三一模 理科）17．若，，，的方差为，则，，，的方差为 （ ） （黄浦区2013届高三一模 理科）3. 若数列的通项公式为，则 ．； （虹口区2013届高三一模）18、数列满足，其中，设，则等于( )． 18、C； （杨浦区2013届高三一模 理科）8. 设数列()是等差数列.若和是方程的两根，则数列的前 项的和______________．8. 2013； 2013届高三一模）17、（理）已知是等差数列的前n项和，且，有下列个命题．；．中，最大；．的的个数有11个；．2013届高三一模）17、（文）已知是等差数列的前n项和，且， ） A．均为的最大值. B．；．；．；2013届高三一模）10．三所学校共有高三学生1500人，且三所学校的高三学生人数成等差数列，在一联考后，准备用分层抽样的方法从所有高三学生中抽取容量为120的样本，进行成绩分析，则应从校学生中抽取_________人． 10 （松江区2013届高三一模 理科）5．的前项和，则 ▲ ．．2013届高三一模）14、（理）设函数，是公差为的等差数列，，则 ．14．理 （浦东新区2013届高三一模 理科）7．等差数列中，，则该数列的前项和 . （浦东新区2013届高三一模 理科）14．共有种排列（），其中满足“对所有 都有”的不同排列有 种. （嘉定区2013届高三一模 理科）13．观察下列算式： ， ， ， ， … … … … 若某数按上述规律展开后，发现等式右边含有“”这个数，则_______．13． （嘉定区2013届高三一模 理科）5．在等差数列中，，从第项开始为正数， 则公差的取值范围是__________________． 5． （嘉定区2013届高三一模 理科）4．一组数据，，，，的平均数是，则这组数据的方差是_________． 4． （金山区2013届高三一模）14．若实数成等差数列，点1, 0)在动直线上的射影为，点，则线段长度的最小值是 ． 14． 2013届高三一模）9、在等比数列中，已知，，则 ． 9、； （青浦区2013届高三一模）8．若三个互不相等的实数成等差数列，适当交换这三个数的位置后变成一个等比数列，则此等比数列的公比为 （写出一个即可）．． （奉贤区2013届高三一模）6、设无穷等比数列的前n项和为Sn，首项是，若Sn＝，，则公比的取值范围是． 6． （崇明县2013届高三一模）13、数列满足，则的前项和. 13、1830 （虹口区2013届高三一模）12、等差数列的前项和为，若，，则 ．12、10； （长宁区2013届高三一模）7、从数列中可以找出无限项构成一个新的等比数列，使得该新数列的各项和为，则此数列的通项公式为 7、 （宝山区201的通项公式是，则=_______. （崇明县2013届高三一模）9、数列的通项公式是前项和为，则. 9、 （长宁区2013届高三一模）3、已知口袋里装有同样大小、同样质量的个小球，其中个白球、个黑球，则从口袋中任意摸出个球恰好是白黑的概率为 . （结果精确到） 3、 （宝山区20115.现有8个人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人两两不相邻的排法的种数为……（ C）满分分，第3小题满分分已知数列，且、、成等比数列． （）求数列的通项公式；对任意，都有成立，求的值．，求证：数列中的任意一项总可以表示成其他两项之积． 22．（）是递增的等差数列，设公差为 、、成等比数列，∴ 及得 ……………………………3分 ∴ ……………………………4分 （2）∵， 对都成立 当时，得 ……………………………5分 当时，由①，及② ①－②得，得 …………7分 ∴ ……………8分 ∴ …………10分 （3）对于给定的，若存在，使得 ………11分 ∵，只需， …………………12分 即，即 即， 取，则 …………………14分 ∴对数列中的任意一项，都存在和 使得 ………………………16分 （浦东新区2013届高三一模 理科）22．（本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分） 定义数列，如果存在常数，使对任意正整数，总有成立， 那么我们称数列为“摆动数列”． （1）设，（），，判断数列、是否为“摆动数列”， 并说明理由； （2）已知“摆动数列”满足，，求常数的值； （3）设，且数列的前项和为，求证：数列是“摆动数列”， 并求出常数的取值范围. 解：（1）假设数列是“摆动数列”， 即存在常数，总有对任意成立， 不妨取时则，取时则，显然常数不存在， 所以数列不是“摆动数列”； ……………………………………………2分 由，于是对任意成立，其中. 所以数列是“摆动数列”. ………………………………………………4分 （2）由数列为“摆动数列”， ， 即存在常数，使对任意正整数，总有成立； 即有成立.则，………………6分 所以.……………………………………7分 同理.…………………………………………8分 所以，解得即.…9分 同理，解得；即. 综上.……………11分 （3）证明：由，…………………………………13分 显然存在，使对任意正整数，总有成立， 所以数列是“摆动数列”； …………………………………………………14分 当为奇数时递减，所以，只要即可 当为偶数时递增，，只要即可 综上，的取值范围是.………………………………………16分 （取中的任意一个值，并给予证明均给分） 如取时， . 因为，，存在，使成立. 所以数列是“摆动数列”. 在△ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c，且A, B, C成等差数列． （1）若且，求的值； （2）若，求的取值范围． A、B、C成等差数列，∴ 又,∴， …………………………2分 由得，，∴① ………………………4分 又由余弦定理得 ∴，∴ ② ………………………6分 由①、②得， ……………………………………8分 （2）由（1）得，∴，即， 故=……………………………10分=， …………………………12分 由且，可得，∴， 即，∴的取值范围为． …………………………14分 （青浦区2013届高三一模）20．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 已知数列满足． （1）设证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 解：（） 为等差数列．又，． ． （2）设，则 3． ． ． ． （金山区2013届高三一模）23．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 已知数列满足，λ≠0且λ≠1，n∈N*)，为数列的前项和 (1) 若，求的值； 2) 求数列的通项公式； 3) 当时，数列中是否存在三项构成等差数列，若存在，求出；若不存在，请说明理由23．解：令，得到，令，得到。

专题四 立体几何2013年2月（黄浦区2013届高三一模 理科）15．在四边形ABCD 中，AB DC =，且AC ·BD ＝0，则四边形ABCD 是 （ ）A ．菱形B ．矩形C ．直角梯形D ．等腰梯形15．A（嘉定区2013届高三一模 理科）10．在△ABC 中，已知41tan =A ，53tan =B ，且△ABC 最大边的长为17，则△ABC 最小边的长为____________．10．2（浦东新区2013届高三一模 理科）13．动点P 在边长为1的正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上从B 向1D 移动，点P 作垂直于面11BB D D 的直线与正方体表面交于,M N ，,BP x MN y ==，则函数()y f x =的解析式为,0,32,x x y x x ⎧⎡∈⎪⎢⎪⎣⎦=⎨⎪∈⎪⎝⎩或|3622|2x --]3,0[∈x 给分.（虹口区2013届高三一模）16、已知1l 、2l 、3l 是空间三条不同的直线，下列命题中正确的是（ ）.A 如果21l l ⊥ ，32//l l ．则31l l ⊥． .B 如果21//l l ，32//l l ．则1l 、2l 、3l 共面． .C 如果21l l ⊥ ，32l l ⊥．则31l l ⊥． .D 如果1l 、2l 、3l 共点．则1l 、2l 、3l 共面．16、A ；（青浦区2013届高三一模）6．若圆柱的侧面展开图是一个正方形，则它的母线长和底面半径的比值是 π2 ．（奉贤区2013届高三一模）13、（理）在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点111()P x y ，与222()P x y ，的“非常距离”给出如下定义：若1212||||x x y y --≥，则点1P 与点2P 的“非常距离”为12||x x -， 若1212||||x x y y -<-，则点1P 与点2P 的“非常距离”为12||y y -．已知C 是直线334y x =+上的一个动点，点D 的坐标是（0，1），则点C 与点D 的“非常距离”的最小值是_________．13． 理78（杨浦区2013届高三一模 理科）7. 若圆椎的母线cm 10=l ,母线与旋转轴的夹角030=α,则该圆椎的侧面积为2cm . 7. π50（浦东新区2013届高三一模 理科）9．若一个圆锥的轴截面是边长为4cm 的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为 8π 2cm .（嘉定区2013届高三一模 理科）8．一个圆锥的侧面展开图是一个半径为R 的半圆，则这个圆锥的体积是________． 8．2433R π（金山区2013届高三一模）9．若直线l ：y=kx 经过点)32cos ,32(sin ππP ，则直线l 的倾斜角为α = ． 9．56π（杨浦区2013届高三一模 理科）14．在平面直角坐标系xOy 中，直线m x y 23+=与圆222n y x =+相切，其中、m n ∈*N ，10≤-<n m ．若函数()n m x f x -=+1的零点()1,0+∈k k x ，Z k ∈, 则=k ________．14． 0；（青浦区2013届高三一模）13．正六边形111111F E D C B A 的边长为1，它的6条对角线又围成了一个正六边形222222F E D C B A ，如此继续下去，则所有这些六边形的面积和是439 ．（（青浦区2013届高三一模）5．已知：正三棱柱的底面正三角形边长为2，侧棱长为3，则它的体积=V 33 ．（虹口区2013届高三一模）10、在A B C ∆中，32=AB ，2=AC 且︒=∠30B ，则AB C ∆的面积等于 ． 10、32或3；（崇明县2013届高三一模）3、过点(1,1)P -，且与直线:10l x y -+=垂直的直线方程是 . 3、+=0x y（长宁区2013届高三一模）17、已知m ，n 是两条不同直线，βα,是两个不同平面，下列命题中的假命题的是（ ）A.βαβα//,,则若⊥⊥m mB.αα⊥⊥n m n m 则若,,//C.n m n m //,,//则若=βααD.βαβα⊥⊂⊥则若,,m m17、C（宝山区2013届期末）12.已知半径为R 的球的球面上有三个点，其中任意两点间的球面距离都等于3Rπ，且经过这三个点的小圆周长为4π，则R= ．（青浦区2013届高三一模）11．已知01c o ss i n 2=-+θθa a 与01cos sin 2=-+θθb b (b a ≠)．直线MN 过点),(2a a M 与点),(2b b N ，则坐标原点到直线MN 的距离是 1 ．（长宁区2013届高三一模）11、（理）我们知道，在平面中，如果一个凸多边形有内切圆，那么凸多边形的面积S 、周长c 与内切圆半径r 之间的关系为cr S 21=。

第十七章排列组合与二项式定理．乘法原理和加法原理基础练习．个应届高中毕业生报考三所重点院校，每人报一所且只能报一所院校，则共有种不同的报名方法．解：每位学生可以有种报考重点院校的方式，由乘法原理可得：．．在所有三位数中，有且只有两个数字相同的三位数有个．解：（）百位和十位一样，有种，（）百位和个位一样，有种，（）十位和个位一样，有种，一共种．．由，，，，，组成的没有重复数字的六位奇数的个数是．解：首先末尾必须排奇数，其次最高位不排，则．．从到这个数字中选个数字组成没有重复数字的四位数，按下列要求分别求符合条件的个数．①四位数中奇数的个数．②四位数中偶数的个数．③四位数中能被整除的个数．④四位数中大于的个数．⑤四位数中小于的个数．解：①．②按首位是否为零分类，．③．④．⑤．．从，，，这四个数字中，任取两个分别作为分数的分子和分母．有几个是真分数?几个是假分数?解：（）按照分母可以取，，分类，则．（）按照分母可以取，，分类，．．已知，，且方程是表示中心在原点的双曲线，则表示不同的双曲线最多有多少条?解：，则分，和，，则．能力提高．在一张平面上画了条互不重合的直线，，…，始终遵循垂直、平行交替的规则进行：,,，…．这条互不重合的直线的交点共有多少个?解：．．个学生各写一张贺卡放在一起，然后每人从中各取一张，但不能取自己写的那一张贺卡，则不同的取法共有多少种?解：由于先让一人甲去拿一种有种方法，假设甲拿的是乙写的贺卡，接下来让乙去拿，乙此时也有种方法，剩下两人中必定有一人自己写的贺卡还没有发出去．这样两人只有一种拿法，，故答案为．．一天要排语文、数学、英语、生物、体育、班会六节课（上午四节，下午二节），要求上午第一节不排体育，数学课排在上午，班会课排在下午，有多少种不同排课方法?解：数学课排第一节，班会课排在下午，然后再排体育，则，数学课不排第一节，先排数学，再排班会，再排体育课，则，则有种不同排课方法．．如果一个三位正整数形如“”满足且，则称这样的三位数为凸数，求这样的凸数的个数．解：对进行分类讨论，由题意，当中间数是时，首位可取，个位可取，，故总的种数有，当中间数为时，首位可取，，个位可取，，，故总的种数共有，…，当中间数为时，首位可取，，…，，个位可取，，，…，，故总的种数共有，故所有凸数个数为，故答案为：．．排列基础练习．解方程：①．②．解：①将排列写为分数形式，则，②．．个人站成一排，要求甲，乙之间必须站个人，则共有多少种不同的站法?解：甲，乙之间选个人，然后把这个人视为一个整体，则．．一场晚会有个唱歌节目和个舞蹈节目．个舞蹈节目在节目单中的先后顺序固定，可排出多少种不同的节目单?解：个舞蹈节目无先后顺序，则一共种，个舞蹈节目在节目单中的先后顺序固定，则有种．．一铁路线上原有”个车站．为适应客运需要，新增加了个车站，客运车票因此增加了种．问现有多少个车站?（来回的车票不同）解：，，则．．位男生和位女生围成一个圆圈，如果男女相问表演舞蹈，有多少种排法?解：．．颗不同珍珠与颗不同的玛瑙相隔串成一串项链，有多少种不同的串法?解：（项链可以翻转）．．有个队比赛，采取淘汰制，在赛前抽签时，实际上可得到多少种不同的安排法?解：．能力提高．年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王名志愿者中选派人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余人均能从事这四项工作，求不同的选派方案数．解：由题意知本题需要分类，若小张或小赵入选，则有选法；若小张、小赵都人选，则有选法，。

专题一 函数2013年2月（松江区2013届高三一模 理科）18．设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意x R ∈，都有(2)(2),f x f x -=+且当[2,0]x ∈-时，1()()12x f x =-．若在区间(2,6]-内关于x 的方程()log (2)0(1)a f x x a -+=>恰有3个不同的实数根，则实数a 的取值范围是A ．(1,2)B ．(2,)+∞C ．D ．2)18．D（浦东新区2013届高三一模 理科）16．已知函数241)(+=x x f ，若函数1()4y f x m =+-为奇函数，则实数m 为 （ C ） ()A 12-()B 0 ()C 12()D 1 （黄浦区2013届高三一模 理科）17．若()f x 是R 上的奇函数，且()f x 在[0,)+∞上单调递增，则下列结论：①|()|y f x =是 偶函数；②对任意的R x ∈都有()|()|0f x f x -+=；③()y f x =-在(,0]-∞上单调递增； ④()()y f x f x =-在(,0]-∞上单调递增．其中正确结论的个数为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 17．B（青浦区2013届高三一模）18．已知函数)(x f 是定义在R 上的单调增函数且为奇函数，数列{}n a 是等差数列，01007>a ，则)()()()()(20132012321a f a f a f a f a f +++++ 的值………………………………（ A ）．A .恒为正数.B 恒为负数 C .恒为0 D .可正可负（浦东新区2013届高三一模 理科）18．定义域为[],a b 的函数()y f x =图象的两个端点为,A B ，向量(1)ON OA OB λλ=+-，(,)M x y 是()f x 图象上任意一点，其中[](1),0,1x a b λλλ=+-∈. 若不等式MN k ≤恒成立，则称函数()f x 在[],a b 上满足“k范围线性近似”，其中最小的正实数k 称为该函数的线性近似阀值．下列定义在[]1,2上函数中，线性近似阀值最小的是 （ D ）()A 2y x = ()B 2y x =()C sin 3y x π= ()D 1y x x=- （松江区2013届高三一模 理科）11．给出四个函数：①xx x f 1)(+=，②xx x g -+=33)(，③3)(x x u =，④x x v sin )(=，其中满足条件：对任意实数x 及任意正数m ，都有()()0f x f x -+=及()()f x m f x +>的函数为 ▲ ．（写出所有满足条件的函数的序号）11．③（松江区2013届高三一模 理科）15．过点(1,0)且与直线220x y --=平行的直线方程是 A ．210x y +-= B ．210x y -+= C ．220x y +-= D ．210x y --= 15．D（杨浦区2013届高三一模 理科）9. 下列函数：① xx f 3)(=, ②3)(x x f =, ③x x f 1ln)(= ， ④2cos )(xx f π= ⑤1)(2+-=x x f 中,既是偶函数，又是在区间()∞+,0上单调递减函数为 （写出符合要求的所有函数的序号）. 9.③⑤；（（虹口区2013届高三一模）17、定义域为R 的函数c x b ax x f ++=2)()0(≠a 有四 个单调区间，则实数c b a ,,满足（ ）.A 0042>>-a ac b 且 .B 042>-ac b .C 02>-a b .D 02<-ab17、C ；（奉贤区2013届高三一模）18、定义域是一切实数的函数()x f y =，其图像是连续不断的，且存在常数λ(R λ∈)使得()()0f x f x λλ++=对任意实数x 都成立，则称()f x 是一个“λ—伴随函数”． 有下列关于“λ—伴随函数”的结论：①()0f x =是常数函数中唯一一个“λ—伴随函数”； ②“12—伴随函数”至少有一个零点．；③2()f x x =是一个“λ—伴随函数”；其中正确结论的个数是 （ ）A ．B ．2个；C ．3个；D ．0个； 18（奉贤区2013届高三一模）16、已知函数sin (0)y ax b a =+>的图像如左图所示，则函数log ()a y x b =+的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．16．（虹口区2013届高三一模）11、已知正实数x 、y 满足xy y x =+2，则y x +2的最小值等于 ．11、9；（奉贤区2013届高三一模）11、（理）设函数()f x 的反函数是()1fx -，且()11--x f 过点()2,1，则()1y f x =-经过点 ． 11．理()0,3（金山区2013届高三一模）1．函数f (x )=3x –2的反函数f –1(x )=________．1．23x +(定义域不写不扣分)（黄浦区2013届高三一模 理科）9．已知函数⎩⎨⎧=xx x f 3log )(2)0()0(≤>x x ，且函数()()F x f x x a =+-有且仅有两个零点，则实数a 的取值范围是 ．9．(,1]-∞；（浦东新区2013届高三一模 理科）3．函数)2(log 2-=x y 的定义域为 ),3[+∞ .（嘉定区2013届高三一模 理科）14．设m 、R ∈n ，定义在区间],[n m 上的函数|)|4(log )(2x x f -=的值域是]2,0[，若关于t 的方程0121||=++⎪⎭⎫⎝⎛m t （R ∈t ）有实数解，则n m +的取值范围是___________． 14．)2,1[（青浦区2013届高三一模）2．函数)2(log 1)(2≥+=x x x f 的反函数)2(2)(11≥=--x x fx ．（松江区2013届高三一模 理科）3．若函数()23xf x =+的图像与()g x 的图像关于直线y x =对称，则(5)g ＝ ▲ ．3． 1（奉贤区2013届高三一模）11、（文）若函数21()log ()f x x a x =+-在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21内有零点，则实数a 的取值范围是___．文⎥⎦⎤⎢⎣⎡252log ,1（浦东新区2013届高三一模 理科）5．函数1y =+0≥x ）的反函数是 2(1)y x =-（1≥x ） .（黄浦区2013届高三一模 理科）12．已知函数()x f x a =(0a >且1a ≠)满足(2)(3)f f >，若y =1()f x -是()y f x =的反函数，则关于x 的不等式11(1)1f x -->的解集是 ．12．1(1,)1a-； （金山区2013届高三一模）13．若函数y=f (x ) (x ∈R)满足：f (x +2)=f (x )，且x ∈[–1, 1]时，f (x ) = | x |，函数y=g (x )是定义在R 上的奇函数，且x ∈(0, +∞)时，g (x ) = log 3 x ，则函数y=f (x )的图像与函数y=g (x )的图像的交点个数为_______． 13．4（奉贤区2013届高三一模）7、设函数()()()a x x xx f sin 1-+=为奇函数，则=a ．7．Z k k ∈+,22ππ（嘉定区2013届高三一模 理科）18．设函数)(x f y =是定义在R 上以1为周期的函数，若函数x x f x g 2)()(-=在区间]3,2[上的值域为]6,2[-，则)(x g 在区间]12,12[-上的值域为……………………（ ）A ．]6,2[-B ．]28,24[-C ．]32,22[-D ．]34,20[- 18．D（虹口区2013届高三一模）13、设定义在R 上的函数)(x f 是最小正周期为π2的偶函数，当],0[π∈x 时，1)(0<<x f ，且在]2,0[π上单调递减，在],2[ππ上单调递增，则函数x x f y sin )(-=在]10,10[ππ-上的零点个数为 ． 13、20；（杨浦区2013届高三一模 理科）1. 若函数()xx f 3=的反函数为()x f1-，则()=-11f．1. 0；（奉贤区2013届高三一模）9、（理）已知函数sin ,0,()(1),0,x x f x f x x π≤⎧=⎨->⎩那么)65(f 的值为 ．9．理21-（青浦区2013届高三一模）12．已知⎩⎨⎧≥<+-=1,1,1)2()(x ax x a x f x满足对任意21x x ≠都有0)()(2121>--x x x f x f 成立，那么a 的取值范围是_____⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,23 ．（奉贤区2013届高三一模）9、（文）已知函数2log ,0,()2,0.x x x f x x >⎧=⎨≤⎩ 若1()2f a =，则a =_________． 文1-=a 或2（崇明县2013届高三一模）5、已知1()y f x -=是函数2()2f x x =+(0)x ≤的反函数，则1(3)f -=. 5、1-（宝山区2013届期末）7.将函数sin ()cos xf x x的图像按向量n (a,0)=-（0a >）平移，所得图像对应的函数为偶函数，则a 的最小值为 . π65（崇明县2013届高三一模）14、已知()(2)(3)f x m x m x m =-++,()22x g x =-，若同时满足条件：①对于任意x R ∈，()0f x <或()0g x <成立； ②存在(,4)x ∈-∞-，使得()()0f x g x ⋅<成立．则m 的取值范围是. 14、(-4,-2)（奉贤区2013届高三一模）1、关于x 的方程()R n m n mx x ∈=++,02的一个根是i 23+-，则=m _________．1．;6=m（长宁区2013届高三一模）2、记函数()y f x =的反函数为1().y f x -=如果函数()y f x =的图像过点)2,1(,那么函数1()1y fx -=+的图像过点.__________ 2、)2,2(（奉贤区2013届高三一模）5、已知,0,0>>y x 且,111=+yx 若m y x >+恒成立，则实数m 的取值范围是_________．5．4<m（宝山区2013届期末）8.设函数)(x f 是定义在R 上周期为3的奇函数，且2)1(=-f ，则(2011)(2012)f f += _．0（长宁区2013届高三一模）5、设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22x f x x b =++（b 为常数），则(1)f -= 5、4-（宝山区2013届期末）14.设),(),,(2211y x B y x A 是平面直角坐标系上的两点，定义点A 到点B 的曼哈顿距离1212(,)L A B x x y y =-+-. 若点A(-1,1),B 在2y x =上，则(,)L A B 的最小值为 ．74（长宁区2013届高三一模）13、（理）已知函数),()(2R b a b ax x x f ∈++-=的值域为]0,(-∞，若关于x 的不等式1)(->c x f 的解集为)1,4(+-m m ，则实数c 的值为._________ 13、（理）421-，（宝山区2013届期末）18.已知21,[1,0),()1,[0,1],x x f x x x +∈-⎧=⎨+∈⎩则下列函数的图像错误的是……………………（ D ）(A))1(-x f 的图像 (B))(x f -的图像 (C)|)(|x f 的图像 (D)|)(|x f 的图像（崇明县2013届高三一模）15、设函数()sin ,f x x =x R ∈，则下列结论错误的是………………………………………（ ） A ．()f x 的值域为[0,1] B ．()f x 是偶函数 C ．()f x 不是周期函数 D ．()f x 不是单调函数 15、C（长宁区2013届高三一模）18、（理）函数sin xy x =，(,0)(0,)x ππ∈-的图象可能是下列图象中的 （ ）18、C（黄浦区2013届高三一模 理科）23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分．对于函数()y f x =与常数,a b ，若(2)()f x af x b =+恒成立，则称(,)a b 为函数)(x f 的一个“P 数对”；若(2)()f x af x b ≥+恒成立，则称(,)a b 为函数)(x f 的一个“类P 数对”．设函数)(x f 的定义域为R +，且(1)3f =．（1）若(1,1)是()f x 的一个“P 数对”，求(2)(*)N n f n ∈；（2）若(2,0)-是()f x 的一个“P 数对”，且当[1,2)x ∈时()f x =23k x --，求()f x 在区间[1,2)n (*)N n ∈上的最大值与最小值；（3）若()f x 是增函数，且(2,2)-是()f x 的一个“类P 数对”，试比较下列各组中两个式子的大小，并说明理由．①(2)n f -与2n -+2(*)N n ∈；②()f x 与22x +((0,1])x ∈．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分．解：（1）由题意知(2)()1f x f x =+恒成立，令2(*)N k x k =∈， 可得1(2)(2)1k k f f +=+，∴{(2)}k f 是公差为1的等差数列，故0(2)(2)n f f n =+，又0(2)3f =，故(2)3n f n =+． ………………………………3分 （2）当[1,2)x ∈时，()|23|f x k x =--，令1x =，可得(1)13f k =-=，解得4k =，即[1,2)x ∈时，()4|23|f x x =--， ………………………4分 故()f x 在[1,2)上的取值范围是[3,4]． 又(2,0)-是()f x 的一个“P 数对”，故(2)2()f x f x =-恒成立， 当1[2,2)k k x -∈(*)N k ∈时，1[1,2)2k x -∈，()2()4()24x x f x f f =-==…11(2)()2k k xf --=-， …………………6分故k 为奇数时，()f x 在1[2,2)k k -上的取值范围是11[32,2]k k -+⨯；当k 为偶数时，()f x 在1[2,2)k k -上的取值范围是11[2,32]k k +---⨯． …………………8分 所以当1n =时，()f x 在[1,2)n 上的最大值为4，最小值为3；当n 为不小于3的奇数时，()f x 在[1,2)n 上的最大值为12n +，最小值为2n -；当n 为不小于2的偶数时，()f x 在[1,2)n 上的最大值为2n ，最小值为12n +-．………10分 （3）由(2,2)-是()f x 的一个“类P 数对”，可知(2)2()2f x f x ≥-恒成立，即1()(2)12f x f x ≤+恒成立，令12k x =(*)N k ∈，可得1111()()1222k k f f -≤+， 即1111()2[()2]222k k f f --≤-对一切*N k ∈恒成立，所以1211111()2[()2][()2]22242n n n f f f ---≤-≤-≤…≤11[(1)2]22n n f -=，故(2)22n n f --≤+(*)N n ∈． …………………………………14分 若(0,1]x ∈，则必存在*N n ∈，使得111(,]22n n x -∈， 由()f x 是增函数，故1111()()222n n f x f --≤≤+， 又1112222222n n x -+>⨯+=+，故有()22f x x <+．…………………………………18分（金山区2013届高三一模）21．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）已知函数]2,0(,2)(2∈+-=x xa x x x f ，其中常数a > 0．(1) 当a = 4时，证明函数f (x )在]2,0(上是减函数； (2) 求函数f (x )的最小值．21．解：(1) 当4=a 时，24)(-+=xx x f ，…………………………………………1分 任取0<x 1<x 2≤2，则f (x 1)–f (x 2)=121244x x x x +--212121)4)((x x x x x x --=………………3分 因为0<x 1<x 2≤2，所以f (x 1)–f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)………………………………………5分 所以函数f (x )在]2,0(上是减函数；………………………………………………………6分 (2)2)(-+=xax x f 22-≥a ，……………………………………………………7分 当且仅当a x =时等号成立，…………………………………………………………8分当20≤<a ，即40≤<a 时，)(x f 的最小值为22-a ，………………………10分当2>a ，即4>a 时，)(x f 在]2,0(上单调递减，…………………………………11分 所以当2=x 时，)(x f 取得最小值为2a，………………………………………………13分综上所述：⎪⎩⎪⎨⎧>≤<-=.42,4022)(mina a a a x f ………………………………………14分（浦东新区2013届高三一模 理科）23．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分10分）设函数12,02()12(1),12x x T x x x ⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩（1）求函数⎪⎭⎫ ⎝⎛=)2sin(x T y π和⎪⎭⎫⎝⎛=)(2sin x T y π的解析式； （2）是否存在非负实数a ，使得()()aT x T a x =恒成立，若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由；（3）定义1()(())n n T x T T x +=，且1()()T x T x = ()n N *∈ ① 当10,2n x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()n y T x =的解析式； 已知下面正确的命题：当11,22n n i i x -+⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦(121)n i N i *∈≤≤-，时，都有-1()()2n n n i T x T x =-恒成立.② 对于给定的正整数m ，若方程()m T x k x =恰有2m个不同的实数根，确定k 的取值范围； 若将这些根从小到大排列组成数列{}n x ()12m n ≤≤，求数列{}n x 所有2m项的和.解：（1）函数152sin 44+4+4+2233sin()21522sin 4+4+233x x k k k k k Zy T x x x k k k Zπππ⎧⎛⎫⎡⎫⎛⎤∈∈ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎭⎝⎦⎡⎤==⎨⎢⎥⎣⎦⎛⎫⎡⎤⎪-∈∈ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦⎩，，，函数()()()[]1sin 20,22sin ()=sin 0,121sin 2-2,122x x y T x x x x x ππππ⎧⎡⎫∈⎪⎪⎢⎪⎣⎭⎛⎫==∈⎨⎪⎝⎭⎡⎤⎪∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩ ……4分（2）12,02()12(1),12ax x y aT x a x x ⎧≤<⎪⎪==⎨⎪-≤≤⎪⎩，12,02()12(1),12ax ax y T ax ax ax ⎧≤<⎪⎪==⎨⎪-≤≤⎪⎩……6分 当0a =时，则有(())()0a T x T ax ==恒成立.当0a >时，当且仅当1=a 时有(())()()a T x T ax T x ==恒成立.综上可知当0a =或1a =时，(())()a T x T ax =恒成立；………………………8分（3）① 当10,2n x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，对于任意的正整数11j N i n *∈≤≤-，，都有1022jx ≤≤故有2112()(2)(2)(2)(2)2j n n n n n n j y T x T x T x T x T x x ----========…13分② 由①可知当10,2n x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，有()2n n T x x =，根据命题的结论可得， 当1202,,2222nn n n x ⎡⎤⎡⎤∈⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦时，有110102,,22222n n n n n x -⎡⎤⎡⎤-∈⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 故有1111()()=2()2222n nn n n n T x T x x x --=--=-+. 因此同理归纳得到，当1,22nn i i x +⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦(021)n i N i ∈≤≤-，时， 211()(1)(2)=2221ninn nx i i T x x i x i i ⎧-⎪=---+⎨-++⎪⎩，是偶数，是奇数……………………15分 对于给定的正整数m ，1,22mm i i x +⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦(021)m i N i ∈≤≤-，时， 解方程()mT x kx =得，()121(1)2(1)2i m i i x k++--=--， 要使方程()m T x kx =在[]0,1x ∈上恰有2m个不同的实数根，对于任意021mi N i ∈≤≤-，，必须()121(1)122(1)22i m m im i ii k ++--+<<--恒成立， 解得2(0,)21mmk ∈-, 若将这些根从小到大排列组成数列{}n x ，由此可得()121(1)2(1)2n nm nn x k+-+-=+- ()12mn N i *∈≤≤，.……………………17分 故数列{}n x 所有2m项的和为：12212m m S x x x x -=+++024(22)246222m m m m k k ++++-++++=+-+122(42)4m m m k k --=-.……18分 （长宁区2013届高三一模）19、（本题满分12分）已知(2cos 23sin ,1),(cos ,)m x x n x y =+=-，满足0m n ⋅=．（1）将y 表示为x 的函数()f x ，并求()f x 的最小正周期；（2）（理）已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 对应的边长，若3)2A(=f ，且2a =，求b c +的取值范围．19、解（1）由0m n ⋅=得22cos cos 0x x x y +-= …………3分即22cos cos cos 2212sin(2)16y x x x x x x π=+=++=++所以()2sin(2)16f x x π=++，其最小正周期为π． …………6分（2）（理）因为()32Af =，则2,62k Z A k πππ+=∈+.因为A 为三角形内角，所以3A π=…………9分法一：由正弦定理得B sin 334b =，C sin 334c =， )6sin(4)32sin(334sin 334sin 334sin 334ππ+=-+=+=+B B B C B c b ，]1,21()6sin(∈+∴πB ，]4,2(∈+∴c b ， 所以b c +的取值范围为(2,4] …………12分 法二：3cos2222πbc c b a -+=，因此bc c b 3)(42-+=，因为4)(2c b bc +≤，所以4)()(422c b c b +-+≥，16)(2≤+c b ，4≤+∴c b .又2>+c b ，所以b c +的取值范围为(2,4] …………12分（文）（2）65626,30ππππ≤+≤∴≤≤x x ,因此)62sin(π+x 的最小值为21，…………9分由)(x f a <恒成立，得2)]([min =<x f a ，所以实数a 的取值范围是)2,(-∞. ………12分（宝山区2013届期末）21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知函数2()log (424)x x f x b =+⋅+，()g x x =. （1）当5b =-时，求()f x 的定义域；（2）若()()f x g x >恒成立，求b 的取值范围．解：（1）由45240x x -⋅+>………………………………………………3分 解得()f x 的定义域为(,0)(2,)-∞⋃+∞．………………………6分 （2）由()()f x g x >得4242x x x b +⋅+>，即4122x xb ⎛⎫>-+⎪⎝⎭……………………9分 令4()122x xh x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，则()3h x ≤-，………………………………………………12分 ∴ 当3b >-时，()()f x g x >恒成立．………………………………………………14分（长宁区2013届高三一模）22． (本小题满分18分) （理）已知函数 ()f x =。

专题十三 线性方程与矩阵
汇编2013年3月
（松江区2013届高三一模 文科）3．若行列式,021
421
=-x 则=x ▲ ．3． 2 （黄浦区2013届高三一模 文科）17．若矩阵12341234a a a a b b b b ⎛⎫
⎪⎝⎭
满足下列条件：①每行中的四个数所构成的集合均为{1,2,3,4}； ②四列中有且只有两列的上下两数是相同的．则这样的不同矩阵的个数为 （ ）
A ．24
B ．48
C ．144
D ．288 17．C
（宝山区2013届期末）2.已知⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-15231321X ，则二阶矩阵X= ．1021-⎛⎫ ⎪--⎝⎭ （奉贤区2013届高三一模）8、关于x 、y 的二元线性方程组⎩
⎨⎧=-=+252y nx my x 的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛110301，则二阶行列式12-n m = . 8．1- （金山区2013届高三一模）8．已知矩阵A =1234⎛⎫
⎪⎝⎭，矩阵B =4231⎛⎫ ⎪⎝⎭，计算：
AB = ． 8．1042410⎛⎫ ⎪⎝⎭
青浦区2013届高三一模）4．若=642
53
122
2
c b a 222222C c B b A a ++，则2C 化简后的最后
结果等于_____2 ．
（杨浦区2013届高三一模 文科）4. 若线性方程组的增广矩阵为⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛211321，则该线性方
程组的解是 ．4. ⎩⎨⎧==11y x （向量表示也可）；。

专题五 解析几何汇编2013年3月)(A． )(B)(C ． )(D 17．)(B ；（普陀区2013届高三一模 文科）16. 【文科】双曲线17922=-+-λλy x （97<<λ）的焦点坐标为…………………………（ ） （A ）)0,4(±. （B ）)0,2(±. （C ）)4,0(±. （D ）)2,0(±.（黄浦区2013届高三一模 文科）5．若双曲线2221(0)4x y b b-=>的一条渐近线过点P (1, 2)，则b 的值为_________． 5．4（静安区2013届高三一模 文科）7．（文）设圆过双曲线116922=-y x 右支的顶点和焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是 . 7．（文）316（青浦区2013届高三一模）15．设双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的虚轴长为2，焦距为32，则双曲线的渐近线方程为………………………………………………（ D ）．A . x y 2±= .B x y 2±=C . x y 21±= D . x y 22±= （黄浦区2013届高三一模 文科）13．已知抛物线22(0)y px p =>上一点(1,)M m (m >0)到其焦点F 的距离为5，该抛物线的顶点在直线MF 上的射影为点P ，则点P 的坐标为 ．13．6448(,)2525； （闵行区2013届高三一模 文科）4．已知抛物线24y x =的焦点与圆2240x y mx ++-=的圆心重合，则m 的值是 . 4．2-；（静安区2013届高三一模 文科）4．（文）设圆过双曲线116922=-y x 的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是 . 4．（文）3（闸北区2013届高三一模 文科）7．已知点P 在抛物线24y x =上，那么点P 到点(21)Q -，的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为 ．7．114⎛⎫- ⎪⎝⎭，； （崇明县2013届高三一模）17、等轴双曲线C ：222x y a -=与抛物线216y x =的准线交于,A B 两点，43AB =，则双曲线C 的实轴长等于……………………………………………………………………（ ）A ．2B ．22C ．4D ．817、C（虹口区2013届高三一模）14、设点P 在曲线22+=x y 上，点Q 在曲线2-=x y 上，则PQ 的最小值等于 ． 14、427； （松江区2013届高三一模 文科）7．抛物线的焦点为椭圆14522=+y x 的右焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为 ▲ ．7． 24y x =（奉贤区2013届高三一模）13、（文）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，43AB =C 的实轴长为____________．文4（闸北区2013届高三一模 文科）4．设双曲线221916x y -=的右顶点为A ，右焦点为F ．过点F 且与双曲线的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线交于点B ，则AFB ∆的面积为 ．4．310；PMy（青浦区2013届高三一模）3．抛物线22x y =的焦点坐标是____)81,0( ．（奉贤区2013届高三一模）14、（文）椭圆()01342222>=+a ay a x 的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点A 、B ，当FAB ∆的周长最大时，FAB ∆的面积是____________．文23a（普陀区2013届高三一模 文科）12.【文科】若1F 、2F 是椭圆2214x y +=的左、右两个焦点，M 是椭圆上的动点，则2111MF MF +的最小值为 . 12.1 （金山区2013届高三一模）11．双曲线C ：x 2– y 2= a 2的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2=16x 的准线交于A 、B 两点，34||=AB ，则双曲线C 的方程为__________．11．14422=-y x （杨浦区2013届高三一模 文科）3．抛物线x y 42=的焦点到准线的距离为 . 3．2；（虹口区2013届高三一模）4、双曲线1322=-y x 的两条渐近线的夹角大小等于 ． 4、3π；（虹口区2013届高三一模）21、（本题满分14分）已知圆:O 422=+y x ．（1）直线1l ：0323=-+y x 与圆O 相交于A 、B 两点，求AB ； （2）如图，设),(11y x M 、),(22y x P 是圆O 上的两个动点，点M 关于原点的对称点为1M ，点M 关于x 轴的对称点为2M ，如果直线1PM 、2PM 与y 轴分别交于),0(m 和),0(n ，问n m ⋅是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由．21、（14分）解：（1）圆心)0,0(O 到直线0323=-+y x 的距离3=d ．圆的半径2=r ，∴2222=-=d r AB ．………………4分 （2）),(11y x M ，),(22y x P ，则),(111y x M --，),(112y x M -，42121=+y x ，42222=+y x ．………………8分1PM ：))(())((212212y y x x x x y y -+=-+，得121221x x y x y x m +-=．2PM ：))(())((212212y y x x x x y y --=-+，得121221x x y x y x n ---=．…………12分∴4)4()4(212222212122212222212122=----=--=⋅x x x x x x x x y x y x n m ………………14分（金山区2013届高三一模）22．（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1、F 2，线段OF 1、OF 2的中点分别为B 1、B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形．过Ｂ1作直线l 交椭圆于P 、Q 两点． (1) 求该椭圆的标准方程；(2) 若22QB PB ⊥，求直线l 的方程；(3) 设直线l 与圆O ：x 2+y 2=8相交于M 、N 两点，令|MN |的长度为t ，若t ∈[4,27]，求△B 2PQ 的面积S 的取值范围．22．解：（1）设所求椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a by a x ,右焦点为)0,(2c F .因△AB 1B 2是直角三角形，又|AB 1|=|AB 2|，故∠B 1AB 2=90º，得c =2b …………1分 在Rt △AB 1B 2中，1224AB B S b ∆==，从而20222=+=c b a .………………3分因此所求椭圆的标准方程为：221204x y += …………………………………………4分 (2)由(1)知1(2,0),(2,0)B B -,由题意知直线l 的倾斜角不为0,故可设直线l 的方程为：2x my =-,代入椭圆方程得()2254160m y my +--=,…………………………6分设P (x 1, y 1)、Q (x 2, y 2)，则y 1、y 2是上面方程的两根，因此12245my y m +=+，516221+-=⋅m y y ，又()()2112222,,2,B P x y B Q x y =-=-，所以 212122)2)(2(y y x x Q B P B +--=⋅2216645m m -=-+………………………………8分 由21PB QB ⊥，得22B P B Q ⋅=0，即216640m -=，解得2m =±；所以满足条件的直线有两条,其方程分别为：x +2y +2=0和x –2y +2=0……………………10分 (3) 当斜率不存在时，直线:l 2-=x ，此时4||=MN ，5516=S ………………11分 当斜率存在时，设直线:l )2(+=x k y ，则圆心O 到直线的距离1|2|2+=k k d ，因此t=721482||22≤+-=k k MN ，得312≥k ………………………………………13分联立方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++=,1420),2(22yx x k y 得0164)51(222=--+k ky y k ，由韦达定理知， 22212215116,514k k y y k k y y +-=+=+，所以222421)51(454||k k k y y ++=-，因此1214||2S y y =⋅⋅-=设28153u k u =+≥，，所以S =，所以)5516,35[∈S …15分 综上所述：△B 2PQ 的面积]5516,35[∈S ……………………………………………16分（宝山区2013届期末）22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分． 设抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，经过点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点． (1)若2p =，求线段AF 中点M 的轨迹方程；(2) 若直线AB 的方向向量为(1,2)n =，当焦点为1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭时，求OAB ∆的面积； (3) 若M 是抛物线C 准线上的点，求证：直线MA 、MF 、MB 的斜率成等差数列． 解：(1) 设00(,)A x y ，(,)M x y ，焦点(1,0)F ，则由题意00122x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即00212x x y y =-⎧⎨=⎩……………………………………2分所求的轨迹方程为244(21)y x =-，即221y x =-…………………………4分 (2) 22y x =，12(,0)F ，直线12()212y x x =-=-，……………………5分由2221y x y x ⎧=⎨=-⎩得，210y y --=， 2511212=-+=y y kAB ……………………………………………7分d =……………………………………………8分4521==∆AB d S OAB ……………………………………………9分 (3)显然直线MA 、MB 、MF 的斜率都存在，分别设为123k 、k 、k ． 点A 、B 、M 的坐标为11222pA(x ,y )、B(x ,y )、M(-,m)． 设直线AB ：2p y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，代入抛物线得2220p y y p k--=，……………………11分 所以212y y p =-，……………………………………………12分 又2112y px =，2222y px =，因而()22211112222y p p x y p p p +=+=+，()24222212211222222y p p p p p x y p p py y +=+=+=+ 因而()()()22121112122222111222222p y m p y m y y m y m m k k p p p p y p p y p x x ⎛⎫-- ⎪---⎝⎭+=+=+=-++++……………14分 而30222m mk p p p -==-⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故1232k k k +=．……………………………………………16分（崇明县2013届高三一模）23、（本题18分，第(1)小题6分；第(2)小题12分）如图，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>> 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，过1F 的直线交椭圆于,A B 两点，2ABF ∆的周长为8，且12AF F ∆面积最大时，12AF F ∆为正三角形． （1）求椭圆E 的方程；（2）设动直线:l y kx m =+与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线4x =相交于点Q ．试探究：① 以PQ 为直径的圆与x 轴的位置关系？② 在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出M 的坐标；若不存在，说明理由．23、解：（1）当三角形面积最大时，为正三角形，所以,,=,=A （0b ）a 2c 4a 8 yxAOF 1 F 222=4,=3b ∴a ，椭圆E 的方程为22+=143x y（2）①由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得方程222(43)84120k x kmx m +++-=由直线与椭圆相切得220,0,430.m k m ≠∆=⇒-+=求得43(,)k P m m -，(4,4)Q k m +，PQ 中点到x 轴距离 223(2)22m d k m=++ 2222212()(1)0(4302)2kPQ d k m m k m-=->-+=⇒≠。