力学近似分析方法之Rayleigh

Rayleigh-Ritz 法势能驻值原理可以计算结构的稳定问题，但需用变分法，得到的结果是微分方程，还需求解微分方程才能得到临界荷载。

Rayleigh-Ritz 法是建立在势能驻值原理基础上的一个近似方法，用求解代数方程式代替求解微分方程式。

为避免求解微分方程，可以先假定体系在中性平衡时变形图形：∑==n i i i z y x a u 1),,(φ,∑==n i i i z y x b v 1),,(ψ,∑==ni i i z y x c w 1),,(η （1）式中, i i i c b a ,,是n 3个独立参数，叫做广义坐标；i i i ηψφ,,是n 3个连续函数，叫做坐标函数。

坐标函数可以任意假定（试解函数），但须满足几何边界条件而不一定满足力学边界条件。

这样体系在中性平衡时的位形取决于n 3个独立参数，一旦这n 3个独立参数确定了，位移也就确定。

无限自由度的连续体系便用n 3个有限自由度替代，n 越大，两者越接近。

将式（1）代入W U -=∏中，则∏是n 3个广义坐标或独立参数的函数，根据势能驻值原理，可得∑=∂∏∂+∂∏∂+∂∏∂=∏=n i i ii i i i c c b b a a 10)(δδδδ由于i i i c b a δδδ,,是微小的任意值，则 0=∂∏∂i a ，0,0=∂∏∂=∂∏∂i i c b （n i ,,2,1 =） （2）求解这n 3个代数方程，即得位移解y 。

当为线性屈曲问题时，令0=∆，即得cr P 。

例：求两端铰支轴心压杆的临界荷载设∑=+++==n i i i n n x f a x f a x f a x f a y 12211)()()()(122002121222)(2)(2F P F EI P dx f a P dx f a EI P W U l l n i i i n i i i -=⎰⎰∑'-∑=-=∏==由0=∂∏∂ka （n k ,2,1=），得 ⎰∑⎰='∑'-==l n i l k n i i i k i i dx f f a P dx f f a EI P 010120)()( （n k 2,1=） 或0])([10=∑''-⎰=n i k i l k i i dx f f EI f Pf a （n k 2,1=）（3）),2,1(n i a i =有非零解的条件是0212222111211==∆nn n n n n b b b b b b b b b（4） 式中，⎰''-=l iki k i ik dx f f EI f Pf b 0)( 上式关于P 的最小根就是临界荷载cr P .Reyleigh-Ritz 法与Timoshenko 能量法的异同由式（3）令0=∂∏∂i a 得021=∂∂-∂∂ii a F EI P a F 可见所得结果完全相同，但概念上不同。

一、rayleigh number的定义Rayleigh number是流体力学中的一个重要参数，用于描述流体的热对流稳定性。

它通常表示为Ra，其定义为：\[Ra = \frac{gβΔTl^3}{να}\]其中，g是重力加速度，β是流体的体积膨胀系数，ΔT是温度差，l是特征长度，ν是动力粘度，α是热扩散率。

Rayleigh number是一个无量纲的参数，用于描述流体内热对流的程度。

二、rayleigh number的意义1. Rayleigh number的大小决定了流体的热对流特性。

当Rayleigh number很小时，流体热对流不明显，流动主要由传导热决定；而当Rayleigh number很大时，热对流变得非常活跃，流体内产生对流，从而影响整个流体系统的热传递和动力学特性。

2. Rayleigh number也是流体稳定性的一个重要参数。

在地球大气对流层、地幔和外核等自然界中广泛存在着许多对流问题，通过计算Rayleigh number可以判断这些对流现象是否会发生。

3. 在工程中，Rayleigh number的大小也对流体传热性能具有重要影响。

通过控制Rayleigh number，可以有效地优化传热设备的设计和运行。

三、rayleigh number 的单位Rayleigh number是一个无量纲的参数，因此它没有具体的单位。

然而，为了明确计算过程中各物理量的单位，通常可以根据Rayleigh number的定义，将其单位表示出来。

1. Rayleigh number中包含的各物理量的单位分别是：- g（重力加速度）的单位是米每秒平方（m/s^2）；- β（体积膨胀系数）的单位是1/摄氏度（1/°C）；- ΔT（温度差）的单位是摄氏度（°C）；- l（特征长度）的单位是米（m）；- ν（动力粘度）的单位是平方米每秒（m^2/s）；- α（热扩散率）的单位是平方米每秒（m^2/s）。

第八节 计算固有频率的近似方法（教材6.16）在工程问题中，许多情况只需求出系统最低几阶固有频率。

在这种情况下，可以应用近似方法直接求出系统的固有频率。

一、 瑞利（Rayleigh ）法由振型正交性知，系统的第i 阶固有频率的平方为{}[]{}{}[]{}2(1,2,,)Tii i niT i i iu k u K i n M u M u ω=== （a ）式中 {}i u 是第i 阶振型向量。

Rayleigh 法是根据系统的条件，事先选取一个任意向量{}u 作为系统的第i 阶振型向量，代入式（a ），计算与此假定振型向量相应的频率的平方，用2R ω表示，即{}[]{}{}[]{}2TRTu k u u M u ω= （6-70） 上式右端称为Rayleigh 商，频率R ω称为Rayleigh 频率。

讨论：1. 从理论上讲，方程（6-70）适用于求系统的各阶固有频率。

但实际上，因为关于系统的高阶振型向量很难作出合理假设，所以上式往往只有用于估算系统的第一阶固有频率1n ω时才是切实可行的。

因此，若任选的振型向量{}u 恰好是系统的第一阶振型向量{}1u ，则Rayleigh 商就是对应的系统的第一阶固有频率1n ω，即1R n ωω=若所选的阵型{}u 不是系统的第一阶振型向量{}1u ，则Rayleigh 商是系统的第一阶固有频率1n ω的估值，即1R n ωω≈证：系统的n 个正则振型向量{}{}{}12,,,n ϕϕϕ是n 维空间的一个基。

则由线性代数知，该空间的任一向量都可由正则振型向量的线性组合来表示，即{}{}{}{}[]{}1212n n u c c c c ϕϕϕϕ=+++=式中12,,,c n c c 是任意常数。

把上式代入方程（6-70），得{}[][][]{}{}[][][]{}{}[]{}{}{}22222221122222122222222222211111222221111TTTRT T Tn n n nn n n n nn n n n n c k c c c c M c c c c c c c c c c c c c c c c c ωωωωωωωωωΦΦΛ==ΦΦ+++=++++++=+++ （b ）若任选的振型向量{}u 是系统的第一阶振型向量{}1u ，则 23=c 0n c c ===，故1R n ωω=若所选的阵型{}u 不是系统的第一阶振型向量{}1u ，但接近于系统的第一阶振型向量{}1u ，则1(2,3,,)ic c i n >=利用泰勒公式，由方程（b ），得2222222221122221111111n n nn R n n n n c c c c ωωωωωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫≈+-++-≈⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦2. 用Rayleigh 商估算系统的第一阶固有频率1n ω时，总是给出系统的第一阶固有频率1n ω的上限估值，即1R n ωω≥证：由方程（b ），得22222222222211111222221111n n nn n n R n n c c c c c c c c ωωωωωω+++=+++ ∵ 1(2,3,,)ni n i n ωω>=∴ 222222111(2,3,,)i n i i n c c i n c cωω>= 故上式的分式大于1，所以1R n ωω>例题: 图示系统，已知：123m m m m ===，123k k k k ===。

在8-2节指出广义弹性和几何刚度特性近似的计算弯曲构件临界屈服荷载，而这些刚度是根据所假设的屈曲形状导得的。

同时在哪里也已经说明由如此假设形状建立公式一般称作为Rayleigh 法。

现在将Rayleigh 法假设形状的概念进一步推广成计算构件震动的近似方法。

这个概念的实质是显然的，事实上由单自由度震动频率定义可得这里k 和m 分别为体系的刚度和质量。

直接用此式计算Rayleigh 法震动频率时，代入根据假设形状函数得到的广义刚度k*和广义质量m*即可。

虽然可以利用广义坐标的概念近似地确定任意结构的振动频率，但是Rayleigh 创设的另一个观点进行频率分析将是有益的。

Rayleigh 法的基本概念为能量守恒原理。

如果没有阻尼力消耗的话，在自由振动的体系中的能量应保持常量。

考察如图8-5a 所示的无阻尼弹簧-质量体系的自由振动运动。

如果适当选取时间坐标原点，位移可以表示为（图8-5b ）8-5用Rayleigh 法进行震动分析mk w =()218-)(x ϕ（8-22a ）而其速度为（图8-5c ）（8-22b ）这个体系的势能完全由弹簧的应变能表达：（8-23a ）此时质量的动能为（8-23b ）现在讨论时的情况：从图8-5[或由式（8-23）]清楚可见，此时动能为零，而势能达到他的最大值：（8-24a ）同样当时间时，势能为零而动能为最大（8-24b ）因此，如果振动体系中全部能量保持恒定（在无阻尼振动中必须如此），则显然最大动能必须等于最大势能，Vmax=Tmax ，也即由此可得wt v v sin 0=wt kv kv V 2202sin 2121==wt w v vcos 0= wt w mv v m T 22202cos 2121== w t 2/π=20max 21kv V =220max 21w mv T =220202121w mv kv =mkw =2w t /π=显然，所得的这个表达式和以前所述的一样，但现在它却是从最大应变能应等于最大动能的Rayleigh 概念而导得的。

Ritz法1.Raleigh法的原理Ritz里茨法是由Raleigh瑞利法发展而来的，学习里茨法需要先理解瑞利法。

1.瑞利法的计算步骤？（1）选取满足位移边界条件容许函数（容许函数可理解为假设的振型函数）；（2）利用容许函数计算最大动能和最大应变能；（3）利用最大动能和最大应变能计算最低阶自由振动频率。

2.为什么计算最大动能和最大应变能？根据能量守恒，对于变形体的自由振动，如果不考虑能量转化为温度等其他能量，那么自由振动的最大动能应该与最大应变能相等。

如最简单的质量块——弹簧系统，给定初始位移后释放，质量块会在一定范围内来回振荡。

有这样一个物理事实，在位移最大处速度为零，位移最大（即变形最大），此时动能为零，变形能最大；与之相反，位移为零（即没有变形），变形能为零，此时速度最大即动能最大。

因为能量守恒，只考虑动能和变形能时，最大动能等于最大变形能。

3. 计算最大动能和最大应变能后，如何计算频率？（1）如果使用瑞利法计算质量块——弹簧系统的自由振动频率，有该系统的应变势能可表示为212U kx ，动能可表示为212T mx。

（2）式中x 为质量块的位移，对于该线性系统，存在解析解形式如 sin x A t ，其中A 为振幅，ω为频率，φ为初相位。

（3）由解析解的形式可知最大位移x A ，求导一次得最大速度为xA 。

（4）将最大位移与最大速度，代入能量中得最大应变能与最大动能 2222max max 111,222U kA T m A mA ，观察频率存在的形式。

（5）提取出频率，满足以下关系2221212kA k m mA （6）瑞利法只能求一阶自由振动频率。

4. 计算频率后如何计算振型？（1）如果是瑞利法，假设的容许函数中一般不含有待定系数，则容许函数就是振型；（2）如是里茨法，容许函数中含有待定系数，求出频率后，得到的特征向量即为待定系数，特征向量代回容许函数就是振型。

2. Ritz 法因为瑞利法只能计算最低阶的自由振动频率，并且由于容许函数的选择一般不是精确的振型，不能完全满足所有边界条件，所及计算出的一阶自由振动频率会偏大。

2.1 相似原理原型/模型流动相似：几何、运动、动力相似相似准则：雷诺、弗雷德、欧拉准则2.2 模型实验模型律的选择及模型设计2.3 量纲分析基本量纲、导出量纲、无量纲量量纲分析法：Π 定理（Theorum ）、瑞利法（Rayleigh ）2.4 2.4 基本方程的无量纲化基本方程的无量纲化第 2 章 相似原理和量纲分析（ Similarity and Dimensional Analysis)2.2 模型实验2.2.1 模型律的选择为使模型与原型流动相似，除几何相似外，还要动力相似，即同时满足各独立准则。

事实上，很难达到独立准则同时满足。

一般情况下，只能按照近似相似进行模型实验，即满足主要作用力相似即可。

通常，不可压缩液体流动的独立准则为雷诺准则和弗汝准则。

因此，主要作用力则是黏滞力或重力。

若主要作用力是黏滞力，模型按雷诺模型律设计，即模型与原型之间只满足雷诺准则。

例如有压管流。

若主要作用力是重力，模型按弗汝德模型律设计，即模型与原型之间只满足弗汝德准则。

例如明渠流。

【例2】求水泵输出功率的表达式。

【解】水泵输出功率指单位时间水泵输出的能量。

（1）找出与水泵输出功率N有关的物理量，包括单位体积水的重量γ=ρg、流量Q、扬程H，于是有f（N, γ , Q, H）= 0（2）指数积关系式N= Kγa Q b H c（3）量纲式dim N = dim(γa Q b H c)（4）用基本量纲表示各物理量量纲ML2T-3 = (ML-2T-2)a(L3T-1)b(L)c （5）根据量纲和谐原理求量纲指数M： 1 = aL： 2 = -2a+3b+cT：-3 = -2a-b解方程得，a = 1，b = 1，c = 1。

（6）整理方程得N = KγQHK 为由实验确定的常数。

问题：由于基本量纲只有3个，故只能建立3 个方程求解量纲指数。

因此，用瑞利法求力学方程，相关的物理量不能超过4个，否则将会出现待定系数。

弹性梁运动刚化现象的Rayleigh法分析员超宗光华张启先摘要针对作定轴转动的弹性梁随着转动角速度的增加，其结构刚度随之增大——运动刚化的现象，用Rayleigh能量近似法简便地得出了水平面内作定轴转动之弹性梁基频的运动刚化修正系数。

对于柔度较大的弹性梁，主要由基频决定其振动性态。

因此，该分析结果不仅可直观地反映弹性结构运动刚化现象的变化规律，而且可直接应用于水平面内作定轴转动之弹性梁的实时控制。

关键词弹性机械臂运动刚化定轴转动固有频率中国图书资料分类法分类号TH113.22Rayleigh Method for Analyzing Motion Stiffing of Elastic BeamYun Chao Zong Guanghua Zhang Qixian(Beijing University of Aeronautics and Astronautics,Beijing,China)Abstract:In accordance with the phenomenon of motion stiffing that the stiffness is increased along with the increase of the angular velocity when the elastic beam is rotating around a fixed axis, Rayleigh energy approximation method is used for analysing the first-order natural frequency of the elastic beam rotating in the horizontal plane around a fixed axis. And then, a corrected coefficient of motion stiffing is obtained. Because the behavior of vibration is determined by the first-order natural frequency of the elastic beam with larger flexibility, the results not only show the rule of motion stiffing of elastic bodies, but also can be directly applied to the real-time control on the kind of elastic beams.Key words:elastic beam motion stiffing rotation around the fixed axis natural frequency弹性结构作定轴转动时，一方面绕旋转轴作刚性转动(大运动)，另一方面以任一瞬时刚体运动位置为平衡位置作弹性振动(小运动)，且小运动迭加在大运动之上。