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在现代科学和工程领域中，精确的数值计算是不可或缺的。
然而，由于计算机和其他数值计算工具的限制，我们通常无法得到完全精确的结果。
因此，我们需要研究和应用近似算法来解决这个问题。
数值计算是一种通过计算机算法来进行数学运算的方法。
它可以用于解决各种实际问题，如求解方程、求解微分方程、计算积分等。
然而，由于浮点数格式的限制，我们无法得到真正精确的结果。
因此，我们需要通过近似算法来获得尽可能接近精确解的近似值。
近似算法是通过一系列近似计算步骤来获得数学问题的近似解。
这些算法通常基于数值分析理论和计算方法，结合数值计算工具如计算机软件和计算设备来实现。
但是，近似算法并不是简单地取得一种近似值，而是尽量保持结果的准确性和可靠性。
其中一个常用的近似算法是数值积分算法，用于近似计算函数的定积分。
在这个算法中，我们将定义域划分成小的区间，并在每个区间上进行近似计算，然后将这些小的计算结果相加，得到整个函数的近似积分值。
这个算法可以通过增加划分的区间数来提高计算精度。
另一个常见的近似算法是数值解微分方程的算法。
微分方程是描述自然现象的数学模型，但很多情况下无法解析地求解。
因此，我们需要通过数值方法来近似计算方程的解。
其中一个常用的近似算法是欧拉法，它通过离散化时间步长来进行近似计算，并使用函数的导数来对下一个时间步的函数值进行估计。
除了这些特定的近似算法，还有一些通用的数值计算技巧和工具可以用于各种数学问题的近似计算。
例如，泰勒级数展开可以将函数在某一点的值近似表示为一系列项的和，用来计算函数的近似值。
而二分法和牛顿法则是用于求解方程的常用数值方法，通过逐步逼近解来获得近似结果。
尽管近似算法在数学计算中起到了重要的作用，但我们必须注意它们的局限性。
由于各种数值计算的误差和舍入误差的累积，近似解可能不会完全精确。
因此，在使用近似算法进行数值计算时，我们需要在结果的准确性和计算的效率之间做出权衡，并根据实际需求选择合适的方法。
2近似计算的精度
在数学中，近似计算是指通过一系列逼近方法来得到一个与精确值相近的估计值。
近似计算的精度是指这个估计值与真实值之间的差异程度，即近似值的准确程度。
下面将介绍两种常见的近似计算方法及其精度。
1.泰勒级数展开：泰勒级数展开是一种用无穷级数逼近一个函数的方法。
具体来说，对于一个光滑函数f(x)，可以通过泰勒级数展开将其近似为无穷级数的前N项之和。
泰勒级数展开的精度随着N的增加而提高，当N趋于无穷大时，泰勒级数展开可以无限接近原函数。
2.数值积分：数值积分是一种通过将函数分割成小区间，然后在每个小区间上进行数值近似计算的方法。
常见的数值积分方法包括梯形法则、辛普森法则和复合数值积分法。
数值积分的精度取决于分割区间的数量和数值近似方法的选择，通常情况下，分割区间越多，精度越高。
需要注意的是，近似计算的精度与所使用的方法和算法密切相关。
不同的问题和情境可能需要不同的近似计算方法来得到所需精度的结果。
此外，近似计算的精度也取决于问题本身的特性，一些问题可能需要更高的精度，而另一些问题可能对精度的要求相对较低。
总结起来，近似计算的精度是通过使用逼近方法和数值近似方法来得到一个与真实值相近的估计值。
精度的提高取决于所选择的方法和算法，并且可能需要在问题本身的特性以及所需的精度要求下进行调整和优化。
瑞利里兹法和伽辽金法的区别瑞利里兹法和伽辽金法是两种非常常用的数值求解微分方程的方法，它们都是以不同的方式离散化微分方程，通过数值求解得到近似解。
瑞利里兹法和伽辽金法的区别一，基本思路不同。
瑞利里兹法是将微分方程转化为代数方程组，通过求解代数方程组得到数值解；而伽辽金法是通过将微分方程分割成许多小区域，在每个小区域内对微分方程进行逼近求解。
瑞利里兹法和伽辽金法的区别二，离散化方法不同。
瑞利里兹法使用谱方法（spectral method）将微分方程离散化，即将所求解的函数用一组基函数进行展开，通过选定一组合适的基函数，可以使得所展开的函数可以在一定的误差内逼近被求解的函数。
而伽辽金法使用有限元方法（finite element method）将微分方程离散化，即将有限区域内的微分方程分割成无限多个小区域，然后在每个小区域内通过适当的逼近方法进行求解，最后将所有小区域的解拼接起来得到整个求解区域的解。
瑞利里兹法和伽辽金法的区别三，对边界条件的处理不同。
在瑞利里兹法中，边界条件可以方便地表达为函数值或导数值的给定，因为瑞利里兹法中采用的是谱方法，因此可以非常精确地求解边界条件所要求的展开系数。
而在伽辽金法中，边界条件需要被分配到每个小区域的边界上，因此需要将边界条件显式地引入到逼近方法中。
瑞利里兹法和伽辽金法的区别四，处理耗散性和色散性不同。
在瑞利里兹法中，由于其采用谱方法，可以非常好地处理微分方程的耗散基本，但对于色散特性会存在一定的困难；而伽辽金法中，采用的有限元方法可以较好地处理方程的色散特性，但对于耗散现象的处理相对较为困难。
总之，瑞利里兹法和伽辽金法都有着其优势和局限性，要根据具体求解问题的性质采用合适的离散化方法，以获得更精确和高效的数值解。
数学中的数值分析与近似算法数值分析是数学的一个分支，研究如何以数值的形式解决实际问题。
它广泛应用于科学、工程领域以及金融和经济学等各个领域。
数值分析的核心是近似算法，通过近似计算来获得问题的数值解。
本文将介绍数值分析及其在近似算法中的应用。
一、数值分析的基本概念数值分析是研究如何使用计算机对数学问题进行数值计算的科学。
其基本概念包括数值解、精度、稳定性和收敛性等。
1. 数值解：数值解是通过计算机进行近似计算得到的数学问题解。
由于实际问题通常很难或不可能精确求解，因此数值解在实际应用中具有重要意义。
2. 精度：精度是数值解与真实解之间的差距。
通常用相对误差和绝对误差来衡量。
相对误差是指数值解与真实解之差与真实解的比值，而绝对误差是指数值解与真实解之差的绝对值。
3. 稳定性：稳定性是指数值算法在输入数据中存在小扰动时，输出结果的变化情况。
一个数值算法是稳定的，当且仅当很小的输入扰动只引起相对较小的输出扰动。
4. 收敛性：收敛性是指数值解逐渐趋近于真实解的性质。
一个数值算法是收敛的，当以足够的步骤进行计算时，数值解可以逐渐接近真实解。
二、最小二乘法及其应用最小二乘法是数值分析中常用的一种近似算法。
它通过最小化误差的平方和来拟合数据。
最小二乘法在很多领域都有广泛的应用。
以线性回归为例，通过最小二乘法可以拟合出一个最佳的直线，使得散点与拟合直线之间的误差最小。
这在经济学中的回归分析、工程中的数据拟合等领域都非常常见。
三、插值与外推插值和外推是数值分析中用于估计数据或函数值的常见技术。
1. 插值：插值是指通过已知的数据点，构造出一个函数使得函数在这些点上的值与已知数据点的值完全一致。
常用的插值方法包括线性插值、拉格朗日插值和样条插值等。
2. 外推：外推是指通过已知的数据点，构造出一个函数使得函数在已知数据点的值之外的点上的值能够接近真实解。
外推在数值计算中常用于提高数值算法的稳定性和精度。
插值和外推在信号处理、图像处理等领域具有广泛应用。
第二章 数值积分和Monte Carlo 方法 第一节 数值积分 ()ba S f x dx =⎰ 令 10,,k k n h x x x a x b +=-==， 则()()()110(),''()k kn k k k k k k k k x x S f x dxf x f x x f f f x f f x +-=='=+-+==∑⎰()x fa k xb x零阶近似()()h f x f k O +=()()()∑∑-=-=O +=O +=110n k k n k k h f h h f h S一阶近似()()()21h hf f x x f x f kk k k O +--+=+ ∵()()⎰+=---=-++1212212122k kx x k k k kk k h x x x x x dx x x∴()()∑-=+O +⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅=102121n k k k k h h f f h f S()()∑-=+O ++=102121n k k k h f f h 从直观看，用()112k k f f ++近似()f x 比只用k f 或1k f +好。
这方法也称Trapezoid 方法。
这样的数值积分方法的优点：● 简单直观，误差可以控制缺点：● “平均主义”，在()0≈x f 的区域，()k f x x ∆对S 贡献很小，但消耗同等的机时。
在多自由度系统这弱点尤为特出。
问题： 直观地看，零级近似和一级近似的差别在哪？ 习题： 编程序数值计算高斯积分。
第二节 Monte Carlo 方法 如何用随机方法求积分？例如，可用‘抛石子’方法。
但这方法不比简单的数值积分有效。
1．简单抽样的Monte Carlo 方法均匀地随机地选取[b a ,]中{}k M x 个点，显然，(11()Mkk S f x M==+O ∑当M 足够大，当然可以得到足够好的积分值。
问题：为什么误差是(1/O ？答 ：不妨把这看成一个M 次测量的实验，假设每次测量都是独立的，由涨落理论，误差应为(1/O 。
数学中的数值分析近似计算与误差分析的数学方法近似计算和误差分析是数值分析中的重要部分，它们在解决实际问题和验证数学理论的过程中起着关键的作用。
本文将介绍数值分析中常用的近似计算方法和误差分析方法。
一、近似计算方法近似计算方法是数值分析中常用的技术，用于求解无法直接得到精确解的数学问题。
下面将介绍几种常见的近似计算方法。
1.1 泰勒级数展开法泰勒级数展开法是一种常用的近似计算方法，它基于泰勒公式，通过对函数进行级数展开来逼近函数的近似值。
泰勒级数展开法在数学物理问题中得到广泛应用，尤其在求解微分方程和积分问题时表现出很好的效果。
1.2 插值法插值法是一种通过已知数据点建立一个函数，使得该函数通过这些数据点，从而在未知数据点处获得近似值的方法。
常见的插值方法有拉格朗日插值和牛顿插值，它们在数值逼近和函数逼近的问题中起着重要作用。
1.3 数值积分法数值积分法是一种近似计算定积分的方法，通过将积分区间划分成若干小区间，然后采用数值求和的方法来近似计算积分结果。
数值积分法有梯形法则、辛普森法则等多种形式，可以用于求解一维和多维积分问题。
二、误差分析方法误差分析是数值分析中的重要内容，用于分析近似计算所引入的误差以及影响问题解的因素。
下面将介绍几种常用的误差分析方法。
2.1 绝对误差和相对误差绝对误差和相对误差是常用的误差表示方法。
绝对误差是近似值与精确值之间的差值，而相对误差则是绝对误差与精确值之间的比值。
这两种误差表示方法能够客观地评估近似计算的准确性。
2.2 截断误差和舍入误差截断误差和舍入误差是数值计算中常见的误差类型。
截断误差来源于近似计算公式中的截断项，而舍入误差是由计算机对浮点数进行舍入所引入的误差。
对于复杂的数值计算问题，需要综合考虑截断误差和舍入误差的影响。
2.3 稳定性和条件数稳定性和条件数是评估数值算法性能的重要指标。
稳定性评估算法对输入数据扰动的敏感性，而条件数则是评估问题本身对输入扰动的敏感性。
伽略金近似方法与数值方法的比较分析(II)张敏1 段钰锋2 许彬1 张钧波1 王志永11南京理工大学动力工程学院，南京(210094)2东南大学洁净煤发电和燃烧技术教育部重点实验室，南京(210096)E-mail ：mz2455@摘 要：在介绍伽略金近似方法基本概念的基础上，在结构化网格中，对稳态/非稳态热传导问题，同时进行数值解、精确解和近似解的计算。
通过比较计算结果，得到了令人满足的一致性。
这些充分证明伽略金近似方法的可靠性和实用性。
关键词：伽略金近似方法，数值方法，精确解在求解偏微分方程的众多方法中，伽略金近似方法是行之有效的方法之一。
伽略金近似方法中，权函数的构造和选取是一个十分关键的问题。
在此，我们给出两个热传导算例，针对权函数的选取，给出近似解，并将其同数值解与精确解进行比较分析，为今后采用伽略金近似方法求解该类问题提供有价值的参考和帮助[1-6]。
1. 基本概念和方程对于一个非稳态热传导问题，我们可以用下式来描述，()()()()211,,,T T r t A r T r t g r t tk α∂∇++∂=R内,t>0(1.1a) ()(),,s s T HT r t f r t S n∂+=∂处，t>0(1.1b) ()T F r =t=0,R内（1.1c ）或者有，()[]21(,)()(,)(,)01(,),LT r t A r T r t g r t kT r t T r t tα∇++−=∂=∂区域R内(1.2a)()(),s i i s iT H T f r n B T r t ∂+=∂=⎡⎤⎣⎦i 边界s 处(1.2b)式中T 为温度，L 是线性微分算子，B 是线性边值条件算子。
选取近似试探解,)T r t 为如下形式，01,)()()()ni j j T r t r c r f t R ψφ==+∑区域内(1.3)式中，试探函数()0r ψ为满足边界条件方程(1.2)的非齐次部分，而试探函数()j r φ满足齐次部分，即[]()0s B f r ψ=(1.4a) 01,2,,j B j n φ⎡⎤==⎣⎦K(1.4b)显然方程（1.3）中试探解满足问题全部边界条件，但它并不一定满足微分方程（1.1）。
若将试探解代入微分方程（1.1）就会有余量，因为只有近似试探解是精确解时，余量才为零。
对于选定的试探函数有几个可调参数组成，通过对参数j c 的调整，可使余量尽可能的小，则由此得到的解，对精确解而言可认为是一种很好的近似。
为了确定未知系数j c ，伽略金法要求，在问题所讨论的区域内，余量的加权平均为零，即()()()()()01,()01,2,,n i R nj j i Rj L T r t w r dV L r c r f t r dV i nψφφ=⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎡⎤=+==⎢⎥⎣⎦∫∑∫ K (1.5)式中，()i r φ为权函数。
通过上面关系式会得到一组用于确定n 个系数12,,,n c c c K 的代数方程。
由方程式（1.5）所示的表达式可作如下解释：它等价于表达式n L T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦与试探函数系()j r φ的全部函数正交。
权函数（()1,2,,i r i n φ=K ）可认为在区域R 内是完备的。
这样，如若把属于这个完备系的全部权函数i φ都包括进去，则方程式（1.5）成立的必要条件对应着问题的精确解。
然而在伽略金法中，方程式（1.5）考虑的只是这个函数系中的有限个数，因此，最终的解将是近似的。
请注意，试探函数系()j r φ和权函数()i r φ是相同正交函数系。
下面我们用一个稳态算例和一个非稳态算例予以说明。
2. 一维稳态热传导算例分析在一维有限区域内，两侧边界为零度，区域内有非常数的内热源。
稳态导热方程和边界条件数学描述为，2201d T AT Bx dxx ++=<<(2.1a) 001T x x ===和(2.1b)式中A 和B 是常数(A=B=1)，用伽略金方法可得，()21200i x d T AT Bx x dx dx φ=⎡⎤++⋅=⎢⎥⎣⎦∫%% (2.2)设单项式试探解为,()()111(1)T x c x c x x φ==−% (2.3)方程式(2.2)中权函数为，()()21i x x x x x φ=−=−(2.4)显然，试探/权函数()x φ满足方程（2.1b ）所示的边界条件。
把上两式代入方程式（2.2）有，[]121102(1)()0x cAc x x Bx x x dx =−+−+⋅−⋅=∫(2.5)积分有，13423101453410(/3/4)/3(/4/5/3)/40c Ax Ax x Bx c Ax Ax x Bx ⎡⎤−−+⎣⎦⎡⎤−−−+=⎣⎦ (2.6)因此得，()1541/1018B c A ==−(2.7)由此得到单项式试探解为，()()()()51141/1018B Tx x x x x A =−=−−%(2.8)该问题的精确解为,()1/21/2sin sin sin sin1B A x xT x x x A A =−=−⎡⎤⎢⎥⎣⎦（） (2.9)此算例与参考文献[6]中，用里兹方法求得的结果完全相同，由于篇幅所限，在此我们就不赘述。
3. 一维非稳态热传导算例分析一块平板，01x ≤≤，初始温度为()()20,1T x t T x =−；在时间0t >时，0x =处的边界维持绝热，1x =处的边界温度维持零度。
现用伽略金法求平板内温度分布(),Tx t %的近似解，并与精确解(),T x t 作比较。
该问题的数学描述为，()22,101,0T x t Tx t t x α∂∂=<<>∂∂ （3.1a ）00,0T x t x ∂==>∂ （3.1b ）01,0T x t ==>（3.1c ）()2010,01T T x t x =−=≤≤（3.1d ）将伽略金法用于式（3.1a ），对x 求积分得到，()212010i x TT x dx x t φα=⎡⎤∂∂−=⎢⎥∂∂⎣⎦∫%% （3.2）选单项式试探解为，()()()()21010,1)T x t T f t x T f t x φ==−%（ （3.3）方程式(3.2/3.3)中，试探/权函数为，()21i x x φ=−（3.4）函数()f t 仍是待定的。
显然，上所选的试探解满足问题的初始条件及两个边界条件。
积分式(3.2)有，1220002(1)/(1)0x T f x T f x dx α=′−−−⋅−⋅=⎡⎤⎣⎦∫ (3.5a) 1335002(/3)(2/3/5)/(2)0T x x f x x x f α′⎡⎤−−+−+=⎣⎦（3.5b ）稍作运算之后可得()f t 的微分方程为，()()5002df t f t t dt α+=>（3.6）()10f t t ==（3.7）()f t 的解为，()()5/2t f t e α−=（3.8）且单项式近似解(),Tx t %为， ()()()5/220,/1t T x t T x e α−=−% （3.9）此问题的精确解可求得，()()2031,/41cos n ntn n nT x t T e x αβββ∞−==−∑ （3.10）式中，()212n n πβ+=(3.11)表1对近似解与精确解作了比较。
由表1可见，即便是单项式近似解，它与精确解也相当一致。
要得到更为完善的近似解，可选更高阶的试探解，其形式可为，()()()01,nni i t T x t T f t x φ==∑% (3.12)其中，函数()i t φ满足问题的边界条件，而函数()i f t ()()01if =可从常微分方程中求得，而该常微分方程是由对变量x 作偏积分的伽略金法中得到。
表1 近似解与精确解的比较()/100T T T −×⎡⎤⎣⎦%x0.01t α⋅=0.1t α⋅=1t α⋅=0.20.6+1 +2-1 +5.5+4.4 +3.1我们在进行数值计算时，物性参数如下（单位为国际标准单位），001000.511w p T T k C ρ=====（3.13）图1为三个不同时刻温度变化的曲线，图2为三个不同位置温度随时间变化的曲线。
图3为t=0.18s 时刻，精确解与数值解的比较结果，图中背景云图为数值解，虚线为精确解。
图4为t=0.18s 时刻，近似解与数值解的比较结果，图中背景云图为数值解，虚线为近似解。
图5为t=0.18s 时刻，近似解与精确解的比较结果，图中背景云图为精确解，虚线为近似解。
从图中可以看出数值解、精确解吻合的比较好，近似解与数值解和精确解相比，存在一定的误差。
如果采用其他的权函数构造，可能会得到更理想的近似解。
图1 不同位置的温度场分布图图2 不同时刻的温度场分布图图3 时刻(t=0.18s)数值解和精确解温度场分布 图4 时刻(t=0.18s)数值解和近似解温度场分布图4 时刻(t=0.18s)精确解和近似解温度场分布4.结束语本文介绍了热传导问题的伽略金近似方法。
通过两个具体的算例，对精确解、数值解和近似解进行比较分析。
从这些分析比较中，我们不难看出，数值传热计算和伽略金近似方法的优越性和它巨大的发展潜力。
参考文献[1]M．N．奥齐西克著，俞昌铭译．热传导[M]．北京：高等教育出版社，1984.[2]Patankar, S.V., Numerical Heat Transfer and Fluid Flow. New York, Hemisphere Publishing, 1981.[3]陶文铨. 数值传热学. 西安: 西安交通大学出版社, 1988.[4]Zhang, M., Modeling of Radiative Heat Transfer and Diffusion Processes Using Unstructured Grid. PhD.Dissertation, 2000, Tennessee Technological University, USA.[5]张敏John C. Chai 张钧波刘少培许彬，伽略金近似方法与数值方法的比较分析，中国科技论文在线，2007.10。
[6]张敏 John C. Chai 许彬张钧波，里兹(Ritz)近似方法与数值方法的比较分析，中国科技论文在线，2007.10。
Analysis and Comparison of Galerkin Approximating Method and Numerical Computation (II) Min Zhang1，Yufeng Duan 2，Bin Xu 1，Junbo Zhang 1，Zhiyong Wang11School of Power Engineering, Nanjing University of Science & Technology，Nanjing (210094) 2Key Laboratory of Clean Coal Power Generation and Combustion Technology of the Ministry of Education，Southeast University，Nanjing (210096)AbstractIn introducing the basic conception of Galerkin method. The unsteady state heat conduction equations were solved and calculated using the finite volume method in structured meshes for numerical, exact and approximate solutions. Comparing with these calculation results, there is a good agreement between them. These proved that Galerkin approximating method is believable and practical. Keywords：Galerkin approximate method，numerical simulating method，exact solution。
