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Navier-Stokes方程的相似解
王昌逸;洪柳
【期刊名称】《力学进展》
【年(卷),期】2006(036)001
【摘要】综述了Navier-Stokes方程的相似解,表明几乎所有已知的非线性相似解都可以通过伸缩变换的方法得到.论述了相似解所需要满足的条件:定常解下,速度或与坐标成正比或与坐标成反比;非定常解的存在,还依赖于某些特殊的时间关系.【总页数】5页(P31-35)
【作者】王昌逸;洪柳
【作者单位】清华大学周培源应用数学研究中心,北京,100084;Department of Mathematics,Michigan State University,USA;清华大学周培源应用数学研究中心,北京,100084
【正文语种】中文
【中图分类】O3
【相关文献】
1.不可压Navier-Stokes方程组和MHD方程组解的正则性研究进展 [J], 葛玉丽;邵曙光
2.基于自相似解的粘性多方可压气体Navier-Stokes方程解的爆破研究 [J], 邓书显;陆楷章;饶明贵
3.Navier-Stokes/Navier-Stokes耦合方程的时间解耦局部并行方法 [J], 张蕊; 张翀; 李剑
4.Navier-Stokes方程的思想求解数学中非线性偏微分方程 [J], 胡斯毓
5.Navier-Stokes方程的脉动速度方程的最优动力系统建模和动力学分析 [J], 王金城;齐进;吴锤结
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带复常数的akns方程组的精确解带复常数的AKNS方程组是一类常见的非线性偏微分方程组，在计算物理学和数学物理学等领域中有重要的应用。
对于这类方程组，已经产生了许多研究和应用的成果，其精确解也已经被广泛讨论和研究。
本文将重点介绍带复常数的AKNS方程组的精确解。
一、AKNS方程组AKNS方程组是指下面的形式的非线性偏微分方程组：$$ i\partial_tq_j+\partial_{x_x}q_j+Aq_j+Bq_{j}^\ast+\sum_{k=1}^{ n}\phi_{jk}(q_k,q_{k}^\ast)=0, \quad j=1,\ldots,n. $$其中，$q_j(x,t)$是复函数，$A$，$B$和$\phi_{jk}(q_k,q_{k}^\ast)$是已知的复数常量。
$\partial_t$和$\partial_{x_x}$分别表示对时间和空间坐标求偏导。
AKNS方程组的精确解对于理解其物理和数学特性以及在实际应用中的运用具有重要的意义。
二、带复常数的AKNS方程组的精确解带复常数的AKNS方程组的精确解旨在求出一组时间和空间变量的解函数${q_j(x,t)}$，它们是完全由已知的初始条件${q_j(x,t_0)}$，其中$t_0$是初始时刻，和已知的参数$A,B,\phi_{jk}$，以及一些其他限制条件来确定的。
在文献中已经对带复常数的AKNS方程组的精确解进行了大量的研究。
在这里，我们仅介绍其中的一种求解方法，即Lax对角化方法。
Lax对角化方法的基本思路是将AKNS方程组转化为一个惯量系数为常数的线性偏微分方程组，然后应用已知的线性偏微分方程的解法来求解。
具体来说，我们可以通过引入一个有效的变换$U(x,t)$，解出矩阵微分方程组$\partial_t U=LU$，其中$L$是一个常数矩阵，且$U(x,t)$和$L$的形式取决于$A,B,\phi_{jk}$。
通过适当选择$U(x,t)$和$L$，可以确保矩阵微分方程组的解构成的矩阵$M(x,t)$满足下列关系：$$ M(x,t)^{-1}(\partial_x+L)M(x,t)=\text{diag}(\lambda_1,\ldots ,\lambda_n), $$其中，$\lambda_1,\ldots,\lambda_n$都是已知的复数。
fhn方程的一个近似解析解FitzHugh-Nagumo方程（称为FHN 方程）是一个描述神经元发放的通用的经典非线性积分微分方程系统。
它基于1963年由Richard FitzHugh和John Nagumo提出的简化模型，以模拟由外界输入触发的神经元发放，为研究异步活动提供了一个理论框架。
一、FHN 方程概述FHN 方程由两个微分方程组成，它们数学形式如下：$$\frac{dx}{dt}=x-\frac{x^3}{3}-y+I$$$$\frac{dy}{dt}=\epsilon(x+a-by)$$其中x和y分别是速率变量和状态变量，I为外界输入触发的神经元发放，ε，a和b是参数。
当满足如下不等式时可以有定态解：$$-2\left(1+\frac{a}{b}\right)<I<2\left(1-\frac{a}{b}\right)$$二、FHN 方程的近似解FHN 方程常作为一个简化模型，而不是一个原始模型，它的数值解可能使用隐式的Euler必然法或显式的Runge–Kutta法计算。
但是，即使当它用作原始模型时，一个简单的方程解也不存在。
这种情况下，FHN 方程可以得到一个近似解，它可以解决该方程。
它省去了较高水平的计算强度，这使得在实际工程问题中可以获得平滑、稳定的解。
（1）Taylor 展开法基于关键的FitzHugh-Nagumo方程状态和变量，以及参数的穷举，Taylor 展开法是一种简单的近似解方法。
它将方程展开成一组近似值，以减少解决计算量并改善解析方法效率。
基于这种方法，FHN 方程状态和参数的Taylor展开可以求出：$$x_n(t+\Delta t) \approx x_n(t) + \Delta t \{f(x_n,y_n)+ \frac{\partialf}{\partial x_n} \frac{\Delta t}{2}\left[f(x_n+\frac{\Delta t}{2},y_n)-f(x_n-\frac{\Delta t}{2},y_n)\right]\}$$$$y_n(t+\Delta t) = x_n(t) + \Delta t \{g(x_n,y_n)+ \frac{\partial g}{\partialx_n}\frac{\Delta t}{2} \left[ g(x_n+\frac{\Delta t}{2},y_n)-g(x_n-\frac{\Delta t}{2},y_n)\right]\}$$（2）Runge-Kutta法Runge-Kutta法在数值分析中是一种有效的近似解解法，它以一组数学公式的形式，迭代的估计微分方程的解。
用同伦分析法求MKdV-Burgers方程的近似解
王琳钰
【期刊名称】《东北石油大学学报》
【年(卷),期】2010(034)004
【摘要】用同伦分析法,构造一个同伦,它是一个含嵌入参数的方程,进而求得了MKdV-Burgers方程的二阶近似行波解.
【总页数】3页(P110-112)
【作者】王琳钰
【作者单位】东北石油大学,数学科学与技术学院,黑龙江,大庆,163318
【正文语种】中文
【中图分类】O151.1
【相关文献】
1.问中求思,思中获知——用二分法求方程的近似解学案 [J], 张利橙;刘云;崔锦;张应慧;
2.同伦摄动法求KdV方程和Burgers方程的近似解 [J], 斯琴;斯仁道尔吉
3.MKdV-Burgers方程衰减振荡解的近似解和误差估计 [J], 张卫国;徐晋;李想;赵岩
4.基于同伦分析法的一类KdV-Burgers方程的近似解 [J], 朋群芳;郭清伟
5.\"庖丁解牛\"\r意在素养\r——\"牛顿法:用导数方法求方程的近似解\"教学设计[J], 何承生
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kohn-sham方程Kohn-Sham方程是密度泛函理论(Density Functional Theory, DFT)的基本方程之一，在凝聚态物理和量子化学领域起着重要的作用。
密度泛函理论是一种处理复杂多体系统的量子力学方法，通过考虑系统电子的电子数密度来描述体系的性质。
Kohn-Sham方程的提出对于描述电子结构和物性有着关键性的意义。
Kohn-Sham方程由Walter Kohn和Luis Sham在1965年提出，他们基于Thomas-Fermi模型的基本思想，将复杂系统化简为一组非相互作用的电子组态。
该模型通过引入一个有效势能来代替真实系统中的电子-电子相互作用，使得问题可以简化为求解一组单电子的薛定谔方程。
Kohn-Sham方程的形式如下：\[-\frac{1}{2}\nabla^2\psi_i(\mathbf{r}) +V_{KS}(\mathbf{r})\psi_i(\mathbf{r}) =\epsilon_i\psi_i(\mathbf{r})\]其中，\(\psi_i(\mathbf{r})\)是Kohn-Sham方程的解即Kohn-Sham 波函数，\(V_{KS}(\mathbf{r})\)是该波函数对应的Kohn-Sham势能，\(\epsilon_i\)是能量本征值，代表第i个电子的能量。
Kohn-Sham方程中的Kohn-Sham势能\(V_{KS}(\mathbf{r})\)由交换-相关能和外势能两部分组成：\[V_{KS}(\mathbf{r}) = V_{ext}(\mathbf{r}) +V_{XC}(\mathbf{r})\]其中，\(V_{ext}(\mathbf{r})\)是外势能，描述的是电子与原子核之间的相互作用，\(V_{XC}(\mathbf{r})\)是交换-相关势能，包含了电子-电子相互作用的影响。
Kohn-Sham方程的求解需要设定一组基函数来展开Kohn-Sham波函数，通常采用平面波、基本组函数等。
homotopy analysis method什么是同伦分析方法（homotopy analysis method）。
同伦分析方法是一种数学分析和数值求解技术，旨在解决非线性微分方程和偏微分方程。
它是由以巴基斯坦为籍的数学家Shijun Liao于1993年首次提出的。
该方法结合了同伦分析和级数展开的思想，通过引入一个无因次化的“收缩参数”和一个适当的运算符，将原始方程转化为一个截断级数解，并通过逐次迭代来逼近精确解。
同伦分析方法的基本思想是通过选择适当的同伦协调函数来构造一个合适的线性算子，然后利用算子的性质来求解非线性方程。
同伦协调函数是一种与原始问题相关的函数形式，通过调整函数内的参数可以将其转化为原始问题的精确解。
同伦分析方法的关键在于选择合适的同伦协调函数，使其能够将原始问题与线性问题相联系。
同伦分析方法的求解步骤如下：第一步：选择适当的变量变换和求解的同伦协调函数。
同伦分析方法的第一步是通过适当的变量变换将原始方程转化为一个无量纲形式，并选择一个与原始问题相关的同伦协调函数。
同伦协调函数应具有简单形式，并且可以通过调整参数来逼近精确解。
第二步：构造一个适当的线性算子。
同伦分析方法的第二步是通过适当的线性算子将原始问题转化为一个线性问题。
这个线性算子必须满足一些特定的性质，例如线性性、非奇异性和逆变换性。
第三步：通过逐次迭代来求解线性问题。
同伦分析方法的第三步是通过逐次迭代来求解线性问题。
通过将同伦协调函数代入线性问题，然后进行迭代计算，可以逐步逼近精确解。
迭代的次数取决于所需的精度和计算资源。
第四步：通过调整收缩参数和参数调整法来改进解的精度。
同伦分析方法的第四步是通过调整收缩参数和参数调整法来改进解的精度。
收缩参数控制了线性问题和非线性问题之间的联系，调整收缩参数可以使方程的解更加接近精确解。
参数调整法是通过适当调整同伦协调函数内的参数来改进解的精度。
同伦分析方法的优点是可以在不引入近似方法的情况下求解复杂的非线性问题。
