03-5 计算固有频率的近似法.

第六章 多自由度系统固有频率和主振型的两种近似解法从多自由度问题的精确解的求解过程可知，求振系的固有频率及主振型是一项必不可少的过程，当自由度较少时，可直接求固有频率及主振型，但当自由度较多时，关于固有频率的求解就很复杂，如一个16自由度的振动问题，仅为展开频率方程的行列式，就需要进行720次计算，当然这些计算可借助计算机解决，但关于固有频率的近似计算及其计算思想，在实际应用及理论研究中仍具有一定的意义。

本章主要介绍求固有频率的两种方法：矩阵迭代法及传递矩阵法。

6-1矩阵迭代法矩阵迭代法适合于自由度较多的复杂系统，该法可以同时计算出系统的固有频率和相应的主振型，当自由度很多，但只要计算出低阶的几个频率时，矩阵迭代法很为适用，其大量的计算可由计算机完成。

在第五章已经介绍过，多自由度无阻尼系统的振动微分方程有两种形式，一种是用刚度矩阵建立的，其固有频率和主振型可由下式求，[]{}[]{}{}02=-A M p A K或写成[]{}[]{}A M p A K 2= （6-1）另一种是用柔度矩阵建立的，其固有频率和主振型可由下式求出{}[][]{}{}012=-A M R A p 或写成{}[][]{}A M R A p=21（6-2） 用[]1-M 前乘（6-1）式，得[]1-M []{}{}A p A K 2= （6-3）方程（6-2）（6-3）可写成如下统一的形式[]{}{}A A D λ= (6-4)（6-4）式称为特征值问题的标准形式，即矩阵迭代法的基本迭代公式。

式中[]D 称为动力矩阵，λ则是矩阵[]D 的特征值，当[]D 是按刚度矩阵形成时，即[][][]K M D 1-=，则λ表示固有频率的平方，λ＝p 2，而当[]D 是按柔度矩阵形成时，即[][][]K R D =，则λ表示固有频率的平方的倒数，λ＝1/p 2。

显然，任一阶固有频率和主振型都是（6-4）式的精确解。

下面介绍从（6-4）式出发进行迭代的基本过程：1) 某个经过基准化了的初始迭代向量{}1A （所谓基准化就是选取迭代向量的某个分量为基准值1），现选取{}1A ，使其第一个元素A 1，1为基准值1，并作[]{}1AD =运算，运算得到一个新的列阵{}1B ，再将{}1B 基准化，即将新的列阵{}1B 中的各元素均除以B 1，1，可得[]{}{}{}21,111A B B A D ==2) 与{}2A ，如果{}1A ≠{}2A ，则重复上述步骤，以[]D 乘{}2A ，得[]{}{}{}32,122A B B A D ==3) 比{}2A 与{}3A ，如果{}3A ≠{}2A ，则继续重复上述步骤，以[]D 乘{}3A ，…，直到第k 次迭代[]{}{}{}1,1+==k k k k A B B A D ，当式中{}k A ＝{}1+k A 时停止，这时，特征值1λ＝B 1，k ，而相应的特征向量就等于{}k A 。

第八节 计算固有频率的近似方法（教材6.16）在工程问题中，许多情况只需求出系统最低几阶固有频率。

在这种情况下，可以应用近似方法直接求出系统的固有频率。

一、 瑞利（Rayleigh ）法由振型正交性知，系统的第i 阶固有频率的平方为{}[]{}{}[]{}2(1,2,,)Tii i niT i i iu k u K i n M u M u ω=== （a ）式中 {}i u 是第i 阶振型向量。

Rayleigh 法是根据系统的条件，事先选取一个任意向量{}u 作为系统的第i 阶振型向量，代入式（a ），计算与此假定振型向量相应的频率的平方，用2R ω表示，即{}[]{}{}[]{}2TRTu k u u M u ω= （6-70） 上式右端称为Rayleigh 商，频率R ω称为Rayleigh 频率。

讨论：1. 从理论上讲，方程（6-70）适用于求系统的各阶固有频率。

但实际上，因为关于系统的高阶振型向量很难作出合理假设，所以上式往往只有用于估算系统的第一阶固有频率1n ω时才是切实可行的。

因此，若任选的振型向量{}u 恰好是系统的第一阶振型向量{}1u ，则Rayleigh 商就是对应的系统的第一阶固有频率1n ω，即1R n ωω=若所选的阵型{}u 不是系统的第一阶振型向量{}1u ，则Rayleigh 商是系统的第一阶固有频率1n ω的估值，即1R n ωω≈证：系统的n 个正则振型向量{}{}{}12,,,n ϕϕϕ是n 维空间的一个基。

则由线性代数知，该空间的任一向量都可由正则振型向量的线性组合来表示，即{}{}{}{}[]{}1212n n u c c c c ϕϕϕϕ=+++=式中12,,,c n c c 是任意常数。

把上式代入方程（6-70），得{}[][][]{}{}[][][]{}{}[]{}{}{}22222221122222122222222222211111222221111TTTRT T Tn n n nn n n n nn n n n n c k c c c c M c c c c c c c c c c c c c c c c c ωωωωωωωωωΦΦΛ==ΦΦ+++=++++++=+++ （b ）若任选的振型向量{}u 是系统的第一阶振型向量{}1u ，则 23=c 0n c c ===，故1R n ωω=若所选的阵型{}u 不是系统的第一阶振型向量{}1u ，但接近于系统的第一阶振型向量{}1u ，则1(2,3,,)ic c i n >=利用泰勒公式，由方程（b ），得2222222221122221111111n n nn R n n n n c c c c ωωωωωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫≈+-++-≈⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦2. 用Rayleigh 商估算系统的第一阶固有频率1n ω时，总是给出系统的第一阶固有频率1n ω的上限估值，即1R n ωω≥证：由方程（b ），得22222222222211111222221111n n nn n n R n n c c c c c c c c ωωωωωω+++=+++ ∵ 1(2,3,,)ni n i n ωω>=∴ 222222111(2,3,,)i n i i n c c i n c cωω>= 故上式的分式大于1，所以1R n ωω>例题: 图示系统，已知：123m m m m ===，123k k k k ===。

电机固有频率计算公式电机是现代生产和生活中不可或缺的设备。

在电机的设计和运行过程中，了解和计算电机的固有频率是非常重要的，它可以帮助我们确定电机的振动特性和运行稳定性。

本文将介绍电机固有频率的计算公式及其应用。

一、什么是电机固有频率？电机固有频率，也称为共振频率，是指当电机受到外界激励时，出现共振现象的频率。

在该频率下，电机的振动幅度会显著增加，导致电机失去平衡和稳定性。

因此，了解电机的固有频率对于设计和运行电机至关重要。

二、电机固有频率计算公式电机固有频率的计算公式基于电机的物理特性和参数。

以下是两个常用的计算公式：1. 电机固有频率的计算公式一：f = 1 / (2π√(k / m))其中，f表示电机的固有频率，k表示电机的刚度，m表示电机的质量。

2. 电机固有频率的计算公式二：f = 1 / (2π√(k' / m'))其中，f表示电机的固有频率，k'表示电机的等效刚度，m'表示电机的等效质量。

三、电机固有频率计算公式的应用电机固有频率的计算公式可以应用于以下几个方面：1. 电机设计：通过计算电机的固有频率，设计师可以确定电机的结构和参数，以确保电机在运行时不会出现共振现象，从而提高电机的稳定性和寿命。

2. 电机故障诊断：当电机发生故障时，通过测量电机的振动频率和比较与计算得到的固有频率，可以判断故障的类型和位置，有助于及时修复电机。

3. 电机维护和保养：通过定期测量电机的振动频率，并与计算得到的固有频率进行比较，可以及时发现电机的异常振动，采取相应的维护和保养措施，以延长电机的使用寿命。

四、案例分析以某电机为例，其刚度为10 N/m，质量为0.5 kg。

根据电机固有频率的计算公式一，可以计算该电机的固有频率：f = 1 / (2π√(10 / 0.5)) = 5.03 Hz根据计算结果可知，该电机的固有频率为5.03 Hz。

如果在操作该电机时频率接近或等于5.03 Hz，就需要注意可能会引起电机共振，从而导致电机运行不稳定甚至发生故障。

固有频率的计算方法
那什么是固有频率呢？简单说呀，就像是一个物体它自己天生就有的一种振动频率。

比如说，你拿个小弹簧，它在那晃悠的时候，就有个它自己特有的频率，这就是固有频率啦。

对于一些简单的系统，像单自由度弹簧 - 质量系统，计算固有频率就不是特别难哦。

这个系统里呀，固有频率和弹簧的劲度系数k还有质量m有关。

它的计算公式是ω = √(k / m)，这里的ω就是固有角频率啦。

你可以想象一下，弹簧硬邦邦的（k 大），质量又小，那它晃悠起来就会快快的，固有频率就高。

要是弹簧软软的，质量又很大，那晃悠起来就慢悠悠的，固有频率就低。

再说说弦振动的固有频率计算呢。

这就和弦的长度L、张力T还有线密度ρ有关啦。

它的频率公式是f = (n / 2L)×√(T / ρ)，这里的n是正整数，代表着振动的模式。

就好像弦在那弹奏的时候，不同的振动模式就有不同的固有频率，就像吉他弦，你按不同的地方，它发出的音高就不一样，这就是因为改变了弦的有效长度之类的，导致固有频率变了。

对于一些复杂的结构呢，计算就比较麻烦啦。

有时候得用到有限元分析这种高大上的方法。

不过原理也还是和那些简单系统有点联系的。

比如说一个复杂的机械结构，它可以看成是好多小的部分组成的，每个小部分都有点像咱们前面说的弹簧 - 质量系统。

然后通过一些复杂的数学计算和模拟，就能算出这个复杂结构的固有频率啦。

固有频率计算公式在我们的物理世界中，固有频率可是一个相当重要的概念，而与之紧密相连的就是固有频率的计算公式啦。

先来说说啥是固有频率。

想象一下，你有一个秋千，你轻轻推它一下，它就会按照一定的节奏来回摆动，这个节奏就是秋千的固有频率。

再比如一把吉他的弦，当你拨动它，它也会以一种特定的频率振动发声，这也是它的固有频率。

固有频率的计算公式呢，对于不同的物理系统会有所不同。

咱们先从最简单的弹簧振子说起。

弹簧振子的固有频率公式是f = 1 / (2π) ×√(k / m) ，这里的 f 就是固有频率，k 是弹簧的劲度系数，m 是振子的质量。

我给你讲讲我之前的一个经历。

有一次我在课堂上给学生们讲解这个公式，有个特别调皮的学生就问我：“老师，这公式有啥用啊？难道我以后去荡秋千还得算一算它的固有频率？”当时全班都哄堂大笑。

我笑着回答他：“你可别小瞧这个公式，虽然咱们平常荡秋千可能用不上，但在很多工程领域，比如桥梁设计、机械制造，那可是非常关键的。

”我接着给他举了个例子，“假如一座桥的固有频率和经过车辆产生的振动频率接近，那就可能发生共振，桥就有可能出危险啦。

”咱们再来说说单摆的固有频率。

单摆的固有频率公式是f = 1 / (2π)× √(g / l) ，这里的 g 是重力加速度，l 是单摆的摆长。

我记得有一次带着学生们去实验室做单摆实验。

大家都兴致勃勃地摆弄着器材，测量摆长，记录时间。

有个小组的同学怎么都测不准数据，急得满头大汗。

我走过去一看，原来是他们的摆长测量有误差，绳子没有拉直。

我帮他们纠正了错误，最后他们成功算出了单摆的固有频率，那种兴奋劲儿，别提多有成就感了。

在实际生活中，固有频率的应用可多了去了。

比如建筑物要避免与地震波的频率接近，不然在地震时就容易遭到严重破坏。

还有各种乐器的设计，通过调整琴弦的长度、粗细和张力，来改变固有频率，从而发出美妙的音乐。

总之，固有频率的计算公式虽然看起来有点复杂，但它在我们理解和解释物理现象，以及在实际的工程和技术应用中，都发挥着极其重要的作用。

第八节计算固有频率的近似方法固有频率是指一个物体在没有外部力作用下自然振动的频率。

在实际的物理系统中，计算固有频率往往需要进行繁琐的数学分析，但有时候我们可以使用一些近似方法来简化计算过程。

本文将介绍几种常用的计算固有频率的近似方法。

1.简化质点模型简化质点模型适用于质量均匀分布的物体，并且不考虑物体的形状和结构。

在这种情况下，我们可以将物体看作一个质点，只考虑它的质量和弹性系数。

根据胡克定律，固有频率可以表示为：f=1/(2π)*√(k/m)其中f为固有频率，k为弹性系数，m为质量。

这种方法通常适用于单自由度振动系统，如弹簧振子、单摆等。

2.近似几何模型近似几何模型适用于具有简单几何形状的物体，例如长方体、圆柱体等。

在这种情况下，我们可以使用几何特性来估计物体的固有频率。

具体方法如下：(1)将物体分解为连续的小元素，并计算每个小元素的固有频率；(2)将每个小元素的固有频率进行加权平均，得到整个物体的固有频率。

3.有限元法有限元法是一种常用的工程分析方法，适用于复杂的结构和形状。

它将物体离散为有限个小单元，然后应用力学方程计算每个小单元的振动情况。

最后，通过对所有小单元进行组合，得到整个物体的固有频率。

4.数值模拟方法数值模拟方法适用于复杂的物体，但要求对物体有较为准确的物理特性参数。

这种方法通常使用计算机程序对物体进行模拟，通过求解振动方程的数值解来估计固有频率。

数值模拟方法能够考虑物体的形状、结构等复杂特性，并且可以得到高精度的结果。

在实际工程和科学研究中，固有频率的计算往往需要综合运用上述方法，并根据具体情况选择合适的近似方法。

这些方法都有各自的优点和局限性，需要根据具体问题来灵活运用，并进行验证和修正。

此外，还需要注意的是，固有频率是一个理论模型，忽略了实际系统中的各种非理想因素，因此计算结果只是理论近似值，需要进行实验验证。

综上所述，计算固有频率的近似方法有简化质点模型、近似几何模型、有限元法和数值模拟方法等。

电机固有频率计算公式电机固有频率是指电机在无负载的情况下自然震动的频率。

它是电机结构的固有特性，也是电机正常运行的基础。

通过计算电机的固有频率，可以评估电机的稳定性和振动特性，为电机的设计和使用提供参考依据。

电机固有频率的计算公式如下：f = 1 / (2 * π * √(L * C))其中，f是电机的固有频率，L是电机的电感，C是电机的电容。

这个公式是根据电感和电容的物理特性推导出来的，可以用来计算电机的固有频率。

在实际应用中，计算电机固有频率需要先测量电机的电感和电容。

电感可以通过测量电机的绕组参数来得到，而电容可以通过测量电机的绝缘电阻和电容来获得。

测量完成后，将电感和电容的值代入公式中即可得到电机的固有频率。

电机的固有频率对于电机的设计和使用都有重要意义。

首先，电机的固有频率应该远远大于电机的工作频率，以确保电机在运行过程中不会发生共振现象。

共振会导致电机产生过大的振动和噪音，严重影响电机的稳定性和寿命。

其次，电机的固有频率也可以用来评估电机的振动特性。

对于需要较低振动和噪音的应用，需要选择固有频率较低的电机，以确保电机的稳定性和舒适性。

除了电机的固有频率，还有一些其他因素也会影响电机的振动特性。

例如，电机的质量分布、叶片的形状和数量、电机的支撑结构等都会对电机的振动产生影响。

因此，在进行电机设计和选择时，需要综合考虑这些因素，以获得最佳的振动性能。

电机的固有频率是评估电机稳定性和振动特性的重要指标。

通过计算电机的固有频率，可以为电机的设计和使用提供参考依据。

同时，还需要注意其他因素对电机振动的影响，以保证电机的稳定性和舒适性。

只有在综合考虑这些因素的基础上，才能选择和使用适合的电机，满足实际需求。

固有频率和功率谱密度的公式固有频率计算公式：Q=wL\R=2πfL\R(因为w=2πf)=1/wCR=1/2πfCR固有频率也称为自然频率。

1.定义与概念:固有频率是指物体在自由振动状态下的特定频率，也称为共振频率。

它是由物体的质量、刚度和几何形状决定的。

固有频率的计算涉及到一些基本的物理概念和公式。

2.简谐振动:固有频率的计算通常基于简谐振动的模型。

简谐振动是指物体在恢复力作用下，在一个平衡位置附近做来回振动的运动。

对于简谐振动，物体的位移随时间变化的关系可以用正弦或余弦函数表示。

3.基本公式:固有频率的计算公式可以用以下基本公式表示:f=1/2π*√(k/m)其中，f代表固有频率，k代表物体的弹性系数（刚度），m代表物体的质量。

这个公式表明，固有频率与物体的质量成反比，与物体的弹性系数成正比。

4.单自由度系统:上述公式适用于单自由度系统，即只含有一个振动自由度的系统。

对于复杂系统或多自由度系统，需要进行更复杂的计算，涉及到矩阵运算和特征值求解等方法。

5.不同物体的固有频率计算:不同形状、材料和结构的物体有不同的固有频率计算方法。

例如，对于弹簧的固有频率计算，可以使用胡克定律和弹簧的质量计算。

对于简谐振动的弦乐器，可以根据弦的长度、张力和质量线密度来计算固有频率。

对于悬臂梁的固有频率计算，可以使用欧拉-伯努利梁理论。

6.实际应用与影响因素:固有频率的计算在工程设计和物理实验中具有广泛的应用。

它可以用来设计合适的振动控制系统，评估结构的稳定性和安全性，以及研究物体的共振现象。

固有频率的计算受到物体的质量、刚度和几何形状的影响。

改变这些参数之一，可以显著改变物体的固有频率。