等价无穷小在求幂指函数极限中的应用

毕业论文题目：幂指函数极限的计算学院：数学与信息科学学院姓名：何晓岭指导教师：魏喜凤幂指函数极限的计算【摘要】函数极限是《数学分析》中的一个重点知识,也是微积分学的基础，因此，掌握好函数极限的求解方法是学好《数学分析》的关键. 而在函数极限的计算中，有关幂指函数极限计算的题目类型多、难度大且灵活多变.为此，首先给出了幂指函数的定义，其次讨论幂指函数确定式(B A型)和不确定式（00型、1∞型、0∞型）的极限问题，最后整理总结了幂指函数极限的计算方法,并通过实例说明这些方法的实用性.【关键词】幂指函数；极限；确定式；不确定式；计算方法The Calculation of the Power Exponent Function Limit【Abstract】The limit function is a key knowledge of mathematical analysis, and calculus based, therefore, it is important for the learning of mathematical analysis to master the methods of solving the limit of function .But in the calculation of the function limit, the subjects of calculation about power exponent function are various,difficult and flexible. so, we first give the definition of the exponential function, followed by a discussion of limit problem of power exponent function to determine the type and uncertain type, finally summarize the methods of power exponential function limit, and explain the practicability of these methods by actual examples.【Key Words】power exponent function; limit; determine type; uncertain type; methods to solve problem目录1 引言 (1)2 幂指函数的定义 (1)2.1指数函数 (1)2.2幂函数 (1)2.3幂指函数 (1)3 幂指函数的极限 (1)3.1确定式 (3)3.2不确定式 (3)4 幂指函数极限的计算方法 (3)4.1直接法 (3)4.2重要极限 (4)4.3对数解法 (5)4.4等价无穷小代换 (8)5 结论 (9)参考文献 (9)致谢 (11)1引言函数极限问题是《数学分析》中的一个重点知识，是微积分学的基础，因此，掌握好函数极限的求解方法是学习中的关键一环，使许多问题得以解决.其中，幂指函数极限的计算是难点，因为幂指函数的运算题目类型多，而且技巧性强、灵活多变，对于幂指函数求极限问题,许多学生不能对各种题型加以区分从而找不到快速正确的解题方法，影响做题的正确性.分析发现，这一问题的原因是许多学生对幂指函数的概念和定理理解不深刻，把幂指函数与幂函数、指数函数混为一谈，对题目中出现的题型及解题方法没有整理总结找到其中的解题技巧.因此，对幂指函数极限的计算问题，有必要给出幂指函数的定义、讨论幂指函数极限的类型并对解题方法进行整理总结，让更多的学习者很好地认识幂指函数，增强对求极限的多种技能技巧的理解和合理运用求极限技巧的能力，从而提高解题的正确性及效率，提高分析问题的能力和解决问题的能力.2 幂指函数的定义2.1指数函数一般地，形如函数(0,1)x y a a a 叫作指数函数，其中x 是自变量，定义域为R .2.2 幂函数一般地，形如函数()y x x R α=∈叫作幂函数，其中x 是自变量，定义域为(0,).2.3 幂指函数设()u x 、()v x 是定义在区域D 上的两个函数，形如()()v x y u x =的函数叫作区域D 上的幂指函数，其中()0u x >.以上给出指数函数、幂函数以及幂指函数的定义，目的是更好地理解幂指函数，不能将幂指函数与指数函数、幂函数混为一谈，幂指函数具有幂函数和指数函数的两重特性.3 幂指函数的极限对自变量0,x x x →→∞情形下的幂指函数()()v x y u x =的极限问题进行探讨：求幂指函数的极限时，因为()0u x >，可以把它改写为指数函数()()ln ()()v x v x u x y u x e ==，再由指数函数的连续性即知幂指函数的极限lim (()ln ())()()ln ()lim ()lim x x v x u x v x v x u x x x x x u x ee→→→==,其中假设所写出的极限存在.这样，就把求幂指函数的极限0()lim ()v x x x u x →转化为求极限0lim(()ln ())x x v x u x →.所以，很自然地考察lim ()x x u x →和0lim ()x x v x →，而对于极限0lim ()x x u x →和0lim ()x x v x →，若至少有一个不存在（不包括极限为无穷的情况），则幂指函数()()v x y u x =的极限问题极为复杂，且在实际问题中几乎不出现，没有其研究意义.因此，假设0lim ()0x x u x A →=≥, 0lim ()x x v x B →=(包括A 、B 为无穷的情形).下面，将给出讨论：（1）01,A B <<≠∞; 则0()lim ()v x B x x u x A →=.(2) 01,A B <<=∞; 则0()0,,lim (),,Bv x Bx x B A B u x B A B →⎧=+∞=+∞⎧⎪==⎨⎨+∞=-∞=-∞⎪⎩⎩. （3）1,A B =≠∞; 则0()lim ()11v x B B x x u x A →=== .（4）1,A B ==∞时，0()lim ()v x x x u x →是不确定式.（5）1,A B <<+∞≠∞; 则0()lim ()v x B x x u x A →=.（6）1,A B <<+∞=∞; 则0(),,lim ()0,,Bv x B x x B A B u x B A B →⎧+∞=+∞=+∞⎧⎪==⎨⎨=-∞=-∞⎪⎩⎩ . （7）,0A B =+∞=时, 0()lim ()v x x x u x →是不确定式.（8）,0A B =+∞<<+∞时, 0()lim ()v x B x x u x A →= .,0A B =+∞-∞<<时, 0()lim ()v x B x x u x A →=.(9) ,A B =+∞=+∞; 则0()lim ()v x B x x u x A →=+∞=.(10),A B =+∞=-∞; 则0()lim ()0v x B x x u x A →==.（11)0,0A B =<<+∞时，0()lim ()0v x B x x u x A →==.0,0A B =-∞<<时，0()lim ()v x B x x u x A →=+∞=.（12）0,A B ==+∞; 则0()lim ()00v x B x x u x A +∞→=== .（13）0,A B ==-∞; 则0()lim ()0v x B x x u x A -∞→==+∞=.（14）0,0A B ==时，0()lim ()v x x x u x →是不确定式 .上述情况（4）记作1∞ 型、（7）记作0∞ 型 、（14）记作00 型，1∞ 型、0∞ 型、00 型三种形式为幂指函数极限问题的不确定式，其余情况为幂指函数极限问题的确定式.自变量x →∞时，幂指函数的极限类型与0x x →的极限类型有相同的情况，就不再列出.注1 若A 为小于1的非负数，而B 为无穷时，则极限0()lim ()v x x x u x →并不是不确定式. 其中包括易误认为是不定式的0∞型，因为，当指数趋于无穷大时有00+∞=，而当指数趋于负无穷大时有0-∞=+∞ .注2 对于幂指函数()()v x y u x =的不确定式极限问题，它的底数部分()u x 与指数部分()v x 的极限过程是同步进行的，也就是说，它是一个整体的极限，而不能简单地理解为其底函数部分与指数函数部分分别单独求极限，更不能有求极限的先后次序.4 幂指函数极限的计算方法 4.1直接法直接法求极限主要用于幂指函数极限的确定式类型.当幂指函数的底数部分和指数部分二者的极限都存在，且底函数()u x 的极限大于零时，即当lim ()0x x u x A →=> ，0lim ()x x v x B →=（B 为正常极限）时，则利用指数函数的连续性得0lim ()()lim ()(lim ())x x v x v x B x x x x u x u x A →→→== .有一道求极限的问题121lim()3x x x x -→∞++ ，如果对底数部分和指数部分分别求极限11lim 1,lim 32x x x x x →∞→∞+-==∞+ ，则由1的任何次幂都等于1得121lim()113x x x x-∞→∞+==+的解法是错误的.错误之一在于对幂指函数底数和指数部分分别求极限，不理解只有当0lim ()0x x u x A →=>，0lim ()x x v x B →=（B 为正常极限）时，才可以用直接法求极限，错误之二在于认为不管幂的值α为多少都有11α=，其实，1的任何次幂都等于1指的是1的有限次幂.下面结合实例理解直接法求幂指函数的极限：例4.1.1 求极限01lim(2x x x→++.解 因为011lim022x x x →+=>+ ，01x →= 为正常极限 ,所以用直接法就得到极限011lim(22x x x →+=+.例4.1.2 求极限 11lim(2x x x→++.解 因为112lim023x x x →+=>+ ，112x x →→==为正常极限,所以用直接法就得到极限11lim(2x x x →+=+4.2重要极限利用重要极限求极限主要针对幂指函数极限问题的不确定式1∞型.（1）1lim(1)x x e x→∞+= （4.2.1）等价于同时成立以下两个极限：1lim (1)x x e x→+∞+=1lim (1)x x e x→-∞+=（2）将（4.2.1）可变型为：10lim(1)xx x e →+= （4.2.2）（3）在（4.2.1）的基础上可以用下列方法解决许多1∞型的不确定式问题，就是对于lim ()0,lim ()xaxaf xg x 的情况，有1lim(()())()()()()lim(1())lim[(1())]x af xg x g x f x f x g x xaxaf x f x e （4.2.3）于是只要计算lim(()())x af xg x → 即可.例4.2.1 求极限101lim()1x x x x→+- .解 这是一个1∞型不确定式极限，可用重要极限求解,将1()1x f x x +=- 化为2()11x f x x =+- ，则指数部分需出现12xx- ， 所以利用重要极限得1122210012lim()lim(1)11x x x x x x x xe x x-⋅-→→+=+=--. 例4.2.2 求极限2221lim()1x x x x →∞+- .解法1 将括号内的分子分母同时除以2x 后即可利用（4.2.1）如下求极限：22122222111lim()lim(1)(1)1x x x x x e e e x x x→∞→∞+=+-=⋅=- . 解法2 这是一个1∞型不确定式极限，用（4.2.3）的方法就得到222222lim212212lim()lim(1)11x x x x x x x x e e x x →∞-→∞→∞+=+==--. 4.3 对数解法对幂指函数()()(()0)v x y u x u x =>，等式两边可以同时取对数，便得到()ln ln(())()ln ()v x y u x v x u x == ,通过求ln y 的极限0lim ln lim(())ln ()x x x x y v x u x →→= ，便可以得到幂指函数的极限0lim ln ()ln lim ()lim x x yv x y x x x x u x e e →→→==.对数解法解决幂指函数极限的不确定式00型、1∞型、0∞型，这三种不确定式极限一般经过对数变换后，均可化为00型或∞∞型的不定式极限，我们在题目中解决不定式极限00型、∞∞型用到更多的方法是洛必达法则.我们在转化为00型或∞∞型不定式极限后利用洛必达法则求极限时，应注意以下几点内容：定理4.3.1【1】若函数()f x 和()g x 满足: （ⅰ）0lim ()0lim ()0x x x x f x g x →→=== ;（ⅱ）()f x 和()g x 在0x 的某空心邻域0()U x 内可导，且()0g x '≠ ; （ⅲ）0()lim()x x f x A g x →'=' (A 可为实数，也可为∞ ) 则 00()()limlim ()()x x x x f x f x A g x g x →→'==' 定理4.3.2【1】 若函数()f x 和()g x 满足： （ⅰ）0lim ()lim ()x x x x f x g x ++→→=∞==∞（ⅱ）()f x 和()g x 在0x 的右邻域0()U x + 内可导，且()0g x '≠ （ⅲ）0()lim()x x f x A g x →'=' (A 可为实数，也可为,±∞∞ ) 则 00()()lim lim ()()x x x x f x f x A g x g x ++→→'==' 以上以导数为工具研究不定式极限的方法称为洛必达法则. 注1 在定理4.3.1中，如果0()lim()x x f x g x →''仍是00型不定式极限，只要有可能，我们可再次利用洛必达法则，即考察极限0()lim()x x f x g x →''是否存在，这时()f x ' 和()g x ' 在0x 的某邻域须满足相应的条件【1】.定理4.3.2中，若有可能，也可再次利用洛必达法则.注2 由洛必达法则条件的充分性可得，若极限0()lim()x x f x g x →''不存在，并不能说明0()lim()x x f x g x → 存在，在利用洛必达法则求极限时若遇到此类情况，我们应另找其他的方法来求极限.注3 不能对任何比式极限都按洛必达法则求解，首先必须注意它是不是不定式极限，其次看是否满足洛必达法则的其他条件【1】.注4 在利用洛必达法则之后，如果题目变得越来越复杂，则说明题目不适合用洛必达法则求极限，我们应分析题目，寻找其他合适的方法.例4.3.1 求极限1ln 0lim (sin )kxx x ++→ （k 为常数）.解 这是一个00型不确定式极限， 令1ln (sin )kxy x +=，两边取对数，得1ln ln sin ln ln[(sin )]1ln k xk xy x x+==+ ,0ln sin lim 1ln x k x x +→+是∞∞型不定式极限，由 0000cos ln sin sin lim ln lim limlim cos 11ln sin x x x x k xk x x x y k x k x xx++++→→→→===⋅=+ ，（洛必达法则） 得到 0lim ln ln 1ln 0lim(sin )lim lim x k yyk xx x x x y e ee +→++++→→→====(0,k k ≠为常数).当0k =时上面所得的结果仍然成立.例4.3.2 求极限xx xx cos 110)sin (lim -→. 解 这是一个1∞型不确定式极限，令xxx y cos 11)sin (-=，两边取对数，得1sin ln ln 1cos x y x x =-，因为0x →时，2~cos 12x x -，所以 2000sin sin lnlnlimln limlim 1cos 2x x x x xx x y x x →→→==- , 20sin lnlim2x x x x → 是00型不定式极限，下一步可用洛必达法则， 由 2200x cos sin sin lnsin limlim 2x x x x x xx x x x x →→-⋅= 20xcosx sin limsin x x x x →-=30cos sin limx x x x x →-=20-sin lim 3x x xx →=13得到31cos 110)sin (lim --→=e xx xx .例4.3.3 求极限xx x x ln 12)1(lim +++∞→.解 这是一个0∞型不确定式极限，令1ln ()xy x =+ ，两边取对数，得1ln ln ln(xy x =+=,ln(lim ln x x x →+∞是∞∞型不定式极限由ln(limlim 1ln x x x xx→+∞→+∞+==，（洛必达法则） 得到1lim ln ln ln lim ()lim lim x yy xx x x x y e e e →+∞→+∞→+∞→+∞+====.4.4等价无穷小代换定理4.4【7】 设()u x 和()v x 为0x 去心邻域内的连续函数，()u x 、()v x 均是变化过程0x x →时的无穷小量并且()~()u x x α、()~()v x x β，则有()()lim ()lim ()v x x x x x x u x x βα→→=.推论1 设()u x 和()v x 为0x 去心邻域内的连续函数，()u x 是变化过程0x x →时的无穷小量并且()~()u x x α，则有0()()lim ()lim ()v x v x x x x x u x x α→→=.推论2 设()u x 和()v x 为0x 去心邻域内的连续函数，()v x 是变化过程0x x →时的无穷小量并且()~()v x x β，则有0()()lim ()lim ()v x x x x x x u x u x β→→= .例4.4.1 求极限x x x tan 0)(sin lim +→.解 0lim sin 0,lim tan 0x x x x ++→→== ，此问题为00 型不确定式极限， 因为x x x x ~tan ,~sinx 0时，+→，所以由定理4.4，tan 0lim(sin )lim x xx x x x ++→→=, 令x y x = ,两边取对数，得ln ln ln 1xy x x x==， 由00ln lim ln lim 01x x x x x x++→→== ,得到 0lim ln tan 00lim(sin )1x y x x x e e +→+→===. 例4.4.2 求极限sin 01lim ()x x x+→ . 解 001lim ,lim sin 0x x x x ++→→=+∞= ，此问题为0∞ 型不确定式极限， 因为0x +→时，sin ~x x ，所以由推论2，sin 0011lim()lim()x x x x x x++→→=, 令1()x y x= ，两边取对数，得ln ln ln 1xy x x x =-=- ,由 00ln lim ln lim 01x x xx x x++→→-=-= ,得到 sin 01lim ()x x x +→=1. 等价无穷小代换应用到幂指函数极限的计算时，通常会结合洛必达法则及对数法，使得计算快捷简便.注： 当0→x 时，有下列常用的一组等价无穷小：x x ~sin ； x x ~tan ； x x ~arcsin ； x x ~arctan ； x e x ~1-； x x ~)1ln(+；2~cos 12x x -； a x a x ln ~1-； n x x n ~11-+；x x αα~1)1(-+ .5 结论通过对幂指函数与指数函数、幂函数概念上的对比分析，对幂指函数极限类型的归纳总结以及对计算方法的整理分析，我们更好地认识了幂指函数，对其每一极限类型适用的计算方法也已经掌握，对以后的学习会有很大的帮助.但值得我们注意的是，在求解幂指函数的极限时，题目中不可能只会用到一种计算方法，计算过程中可能会用到几种方法，比如说例4.4.1、例4.4.2用到等价无穷小代换和对数解法，我们在求解时应该对每一步仔细分析，掌握计算的技巧,找到正确快速的解题方法.参考文献[1]华北师范大学数学系.数学分析(上册)[M].第三版.北京:高等教育出版社，2001：56-131.[2]邵剑,李大侃.高等数学专题梳理与解读[M].上海：同济大学出版社，2008：37-38.[3]沐定夷.谢惠民.吉米多维奇数学分析习题集学习指引（第一册）[M].北京:高等教育出版社，2010:116-118.[4]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社,2001.[5]冯加才.幂指函数的极限问题[J].焦作工学院学报，1999,18(5).[6]康佳鑫.浅谈应用洛必达法则求不定式极限[J].哈尔滨师范大学自然科学学报，2015,31(2).[7]陈茜，舒慧颖.浅谈幂指函数的极限问题[J].衡水学院学报，2011,13（4）.[8]钱吉林.数学分析题解精粹[M].第二版.湖北：湖北辞书出版社，2003.致谢这篇文章包含了许多老师和同学的宝贵建议，同时也有来自参考著作中的启示，如高等教育出版社出版的数学分析、冯加才老师的幂指函数的极限问题等，还要感谢我的指导老师——魏老师的亲切关怀和悉心指导，她严谨的科学态度、精益求精的工作作风，深深地感染和激励着我从课题的选择到论文的最终完成，魏老师都始终给予我细心的指导和不懈的支持，在此谨致以诚挚的谢意和崇高的敬意.。

幂指函数内部可以等价无穷小代换幂指函数是指形如$f(x)=a^x$的函数，其中$a>0$。

在幂指函数的求极限、求导数等运算中，我们可以使用无穷小代换来简化计算。

无穷小代换是一种常用的数学手段，它可以将一个数或者函数替换为一个无穷小，从而简化运算。

在幂指函数中，我们常用的无穷小代换有两个，即$\ln(1+x)$代换和$x^n$代换。

首先，考虑一个常用的无穷小代换$\ln(1+x)$代换。

我们知道，当$x$趋近于0时，$\ln(1+x)$的值非常接近于$x$。

因此，在计算幂指函数的极限时，我们可以将幂指函数替换成$\ln(1+x)$来进行计算。

例如，考虑求极限$\lim_{x\to 0}a^x$，其中$a>0$。

我们可以用$\ln(1+x)$代换来简化计算。

首先，我们将幂指函数表示为$\ln(a^x)$，然后再利用对数函数的特性，将其变形为$x\ln(a)$。

接下来，我们将$x$用$\ln(1+x)$来替换，得到$x=\ln(1+x)-\ln(1)$。

将其代入之前的公式中，我们得到：$\lim_{x\to 0}a^x = \lim_{x\to 0}a^{\ln(1+x)-\ln(1)}$再利用指数函数和对数函数的性质，我们可以将其变形为：$\lim_{x\to 0}a^x = \lim_{x\to 0}e^{x\ln(a)} = e^{\lim_{x\to 0}(x\ln(a))}$由于$\ln(a)$是一个常数，我们可以继续简化计算，得到：$\lim_{x\to 0}a^x = e^{\ln(a)\cdot \lim_{x\to 0}x} = e^0 = 1$因此，通过使用$\ln(1+x)$代换，我们可以将幂指函数的极限求解简化为指数函数的极限求解，从而得到最终的结果。

另外一个常用的无穷小代换是$x^n$代换。

在求导数或者进行其他计算中，我们可以将幂指函数中的指数用$x^n$来代替，从而简化计算。

泰勒公式及其应用等价无穷小在求函数极限中的应用及推广泰勒公式及其应用１ 引言泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆.作者通过阅读大量的参考文献,从中搜集了大量的习题,通过认真演算,其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献,并对这些应用方法做了系统的归纳和总结.由于本文的主要内容是介绍应用,所以,本文会以大量的例题进行讲解说明. ２ 预备知识定义2.1]1[ 若函数f 在0x 存在n 阶导数,则有()000()()(())!n n n f x x x o x x n +-+- （1）这里))((0n x x o -为佩亚诺型余项,称(1)f 在点0x 的泰勒公式.当0x =0时,（1）式变成)(!)0(!2)0(!1)0()0()()(2'''n nn x o x n f x f x f f x f +++++= ,称此式为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式.定义2.2]2[ 若函数 f 在0x 某邻域内为存在直至 1+n 阶的连续导数,则''()'20000000()()()()()()()...()()2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n =+-+-++-+ ,（2）这里()n R x 为拉格朗日余项(1)10()()()(1)!n n n f R x x x n ξ++=++,其中ξ在x 与0x 之间,称（2）为f 在0x 的泰勒公式.当0x =0时,（2）式变成''()'2(0)(0)()(0)(0)...()2!!n nn f f f x f f x x x R x n =+++++ 称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式.常见函数的展开式：12)!1(!!21+++++++=n xn xx n e n x x x e θ .)()!12()1(!5!3sin 221253++++-+-+-=n n n x o n x x x x x . 24622cos 1(1)()2!4!6!(2)!nnn x x x x x o x n =-+-++-+.)(1)1(32)1ln(1132++++-+-+-=+n n n x o n x x x x x . +-++=+2!2)1(1)1(x m m mx x m . 定理 2.1]3[(介值定理) 设函数 f 在闭区间 ],[b a 上连续,且 )()(b f a f ≠,若0μ为介于 )(a f 与)(b f 之间的任何实数,则至少存在一点0x ),(b a ∈,使得00)(μ=x f .3 泰勒公式的应用 3.1 利用泰勒公式求极限为了简化极限运算,有时可用某项的泰勒展开式来代替该项,使得原来函数的极限转化为类似多项式有理式的极限,就能简捷地求出.例3.1 求极限2240cos lim x x x e x -→-.分析：此为0型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将cos x 和22x e-分别用泰勒展开式代替,则可简化此比式.解 由244cos 1()2!4!x x x o x =-++,222242()21()22x x x e o x --=-++得 2444422111cos ()()()4!22!12x x ex o x x O x --=-+=-+⋅, 于是244244001()cos 112limlim 12x x x x O x x e x x -→→-+-==-. 例3.2极限1sin 2lim sin cos xx xx x x x xe →0---- .分析：此为00型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将cos x 和sinx, xe 分别用泰勒展开式代替,则可简化此比式.解： 由1sin 2xx x x e---=233331()())2626x x o o x x x x x ++++-1-x-(x-+=34333()()6126o o x xxx x ++=+,于是例3.3利用泰勒展开式再求极限。

Science &Technology Vision 科技视界1问题提出在大学高等数学中,对于幂指函数求极限的问题,共有两处提到,包括重要极限和洛必达法则。

但是,关于等价无穷小代换求幂指函数极限的问题大多都没有特别讲解。

一般得,只针对于分式型的函数如何用等价无穷小代换求极限做了讲解。

在教学过程中,有学生在一开始的学习中就遇到较为复杂的幂指函数求极限的问题,就不知道如何计算了。

课本中有一道极限求解题目,具体如下:lim x →0(1+tan x 1+sin x)1x这是一个典型的1∞型的幂指函数求极限问题。

大多数学生在这里第一反应就是用重要极限来求解,但此题用重要极限不太容易看出来。

如果了解等价无穷小的相关定理,那么这道题就迎刃而解了。

鉴于此种情况,本文在前人研究的基础上,总结了幂指函数的求极限的方法,着重提出了等价无穷小求解幂指函数极限的看法。

2幂指函数求极限的其他方法幂指函数的极限类型很多,有确定型和不定式之分。

对于确定型的幂指函数可以直接底数与指数求极限。

而对于不定式型的幂指函数,通常采用重要极限和洛必达法则两种方法。

2.1重要极限对1∞型的幂指函数极限问题,考虑利用重要极限lim x →∞(1+1x )x =e及其变形公式lim x →0(1+x )1x=e 求极限。

例1求极限lim x →0(cos x )csc 2x .解:lim x →0(cos x )csc 2x =lim x →0[1+(cos x -1)]1sin 2x=lim x →0[1+(cos x -1)]1cos x -1·cos x -1sin x=elim-12x x=e-122.2洛必达法则另外,对00型,∞0型,1∞型幂指函数的极限,可以通过将幂指函数化为对数恒等式y=e ln y 的形式,转换为00型或∞∞型不定式,然后再利用洛必达法则进行求解。

例2求极限lim x →∞(1+a x)x .解:lim x →∞(1+a x )x =lim x →∞ex ln(1+a x)=elimln(1+a x )1x因为lim x →∞(1+a x)=0,lim x →∞1x =0由洛必达法则,得:lim x →∞(1+a x)x=e lim[ln(1+a x )]′(1x)′=elim axx+a=ea3用等价无穷小代换求幂指函数的极限幂指函数00型,∞0型,1∞型这三种类型不定式的求极限问题,除了运用前两种方法外,还可以使用等价无穷小的代换。

泰勒公式及其应用等价无穷小在求函数极限中的应用及推广泰勒公式及其应用１ 引言泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆.作者通过阅读大量的参考文献,从中搜集了大量的习题,通过认真演算,其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献,并对这些应用方法做了系统的归纳和总结.由于本文的主要内容是介绍应用,所以,本文会以大量的例题进行讲解说明. ２ 预备知识定义2.1]1[ 若函数f 在0x 存在n 阶导数,则有'''200000()()()()()()1!2!f x f x f x f x x x x x =+-+-+()000()()(())!n n n f x x x o x x n +-+-（1）这里))((0n x x o -为佩亚诺型余项,称(1)f 在点0x 的泰勒公式.当0x =0时,（1）式变成)(!)0(!2)0(!1)0()0()()(2'''n nn x o x n f x f x f f x f +++++= ,称此式为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式.定义2.2]2[ 若函数 f 在0x 某邻域内为存在直至 1+n 阶的连续导数,则''()'20000000()()()()()()()...()()2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n =+-+-++-+ ,（2）这里()n R x 为拉格朗日余项(1)10()()()(1)!n n n f R x x x n ξ++=++,其中ξ在x 与0x 之间,称（2）为f 在0x 的泰勒公式.当0x =0时,（2）式变成''()'2(0)(0)()(0)(0)...()2!!n nn f f f x f f x x x R x n =+++++ 称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式.常见函数的展开式：12)!1(!!21+++++++=n xn xx n e n x x x e θ .)()!12()1(!5!3sin 221253++++-+-+-=n n n x o n x x x x x . 24622cos 1(1)()2!4!6!(2)!nnn x x x x x o x n =-+-++-+.)(1)1(32)1ln(1132++++-+-+-=+n n n x o n x x x x x . )(1112n n x o x x x x+++++=- +-++=+2!2)1(1)1(x m m mx x m . 定理 2.1]3[(介值定理) 设函数 f 在闭区间 ],[b a 上连续,且 )()(b f a f ≠,若0μ为介于 )(a f 与)(b f 之间的任何实数,则至少存在一点0x ),(b a ∈,使得00)(μ=x f .3 泰勒公式的应用 3.1 利用泰勒公式求极限为了简化极限运算,有时可用某项的泰勒展开式来代替该项,使得原来函数的极限转化为类似多项式有理式的极限,就能简捷地求出.例3.1 求极限2240cos lim x x x e x -→-.分析：此为0型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将cos x 和22x e-分别用泰勒展开式代替,则可简化此比式.解 由244cos 1()2!4!x x x o x =-++,222242()21()22x x x e o x --=-++得2444422111cos ()()()4!22!12x x ex o x x O x --=-+=-+⋅, 于是244244001()cos 112limlim 12x x x x O x x e x x -→→-+-==-. 例3.2极限1sin 2lim sin cos xx xx x x x xe →0---- .分析：此为00型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将cos x 和sinx, xe分别用泰勒展开式代替,则可简化此比式.解： 由1sin 2xx x x e---=233331()())2626x x o o x x x x x ++++-1-x-(x-+=34333()()6126o o x xxx x ++=+,3233sin cos ()(1())62x x x o x o x x x x -x =-+--+33()3o xx =+于是1sin 2lim sin cos xx x x x x x x e →0----3333()162()3o o x x x x +==+例3.3利用泰勒展开式再求极限 。

等价无穷小的幂指型代换证明要证明等价无穷小的幂指型代换，我们首先需要明确等价无穷小的定义。

设函数f(x)和g(x)在x→a时有极限lim(x→a)f(x)=0，lim(x→a)g(x)=0。

如果对于任意正数ε，存在另一个正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)|<ε|g(x)|，那么我们称f(x)是g(x)的等价无穷小，记作f(x)∼g(x) (x→a)。

现在我们来证明等价无穷小的幂指型代换。

设f(x)∼g(x)(x→a)，且lim(x→a)f(x)=0，lim(x→a)g(x)=0。

我们要证明对于任意正整数n，有lim(x→a)[1+f(x)]^{g(x)}=e^{lim(x→a)f(x)}。

首先，我们知道e^x的泰勒展开式为e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+...。

因此，当x趋近于0时，e^x趋近于1。

所以，当x→a时，e^{f(x)}趋近于e^{lim(x→a)f(x)}=e^0=1。

接下来，我们考虑(1+f(x))^{g(x)}。

我们可以将其写为e^{g(x)ln(1+f(x))}。

由于f(x)∼g(x) (x→a)，我们有ln(1+f(x))∼f(x)∼g(x) (x→a)。

因此，当x→a时，g(x)ln(1+f(x))趋近于g(x)f(x)。

根据等价无穷小的性质，我们知道lim(x→a)g(x)f(x)=lim(x→a)g(x)·lim(x→a)f(x)=0。

因此，根据极限的乘法法则，lim(x→a)e^{g(x)ln(1+f(x))}=e^{lim(x→a)g(x)·lim(x→a)f(x) }=e^0=1。

综上所述，我们得到了lim(x→a)[1+f(x)]^{g(x)}=e^{lim(x→a)f(x)}。

因此，我们证明了等价无穷小的幂指型代换。