例析抛物线在生活中的应用

第1篇一、教学背景抛物线是高中数学中重要的几何图形之一，它不仅具有丰富的几何性质，而且在实际生活中也有着广泛的应用。

为了提高学生对抛物线的认识和应用能力，我在教学过程中，结合教材内容，设计了一系列的实践应用活动。

以下是对这节课的教学反思。

二、教学目标1. 让学生了解抛物线的定义、性质和图形特点。

2. 培养学生运用抛物线知识解决实际问题的能力。

3. 培养学生的创新思维和团队合作精神。

三、教学过程1. 导入新课通过展示生活中常见的抛物线图形，如滑梯、抛物线桥等，激发学生的学习兴趣，引出抛物线的概念。

2. 探究抛物线的性质通过引导学生观察、分析，总结出抛物线的性质，如对称性、开口方向、顶点坐标等。

3. 实践应用（1）设计抛物线桥让学生分组讨论，设计一座抛物线桥，要求桥面平滑，连接两端的直线段。

在设计中，要考虑抛物线的开口方向、顶点坐标等因素。

（2）分析抛物线运动轨迹让学生观察篮球在空中的运动轨迹，分析其是否为抛物线，并解释原因。

4. 总结与反思引导学生总结本节课所学内容，回顾抛物线的性质和应用，并对自己的学习进行反思。

四、教学反思1. 教学方法本节课采用了启发式教学和合作学习的方式，让学生在探究、讨论中主动学习。

通过实践应用，使学生将理论知识与实际生活相结合，提高了学生的学习兴趣和积极性。

2. 教学内容教学内容贴近生活，具有实际意义。

通过设计抛物线桥、分析抛物线运动轨迹等活动，使学生更好地理解抛物线的性质和应用。

3. 学生参与度学生在课堂上的参与度较高，能够积极参与讨论和实践活动。

但在设计抛物线桥时，部分学生存在思维定势，未能充分发挥创新思维。

4. 教学效果通过本节课的学习，学生对抛物线的性质和应用有了更深入的认识，能够运用所学知识解决实际问题。

但在课堂实践活动中，部分学生的合作能力有待提高。

五、改进措施1. 加强学生创新思维的培养在实践活动设计中，鼓励学生从不同角度思考问题，提出更多有创意的设计方案。

例谈二次函数在实际生活中的应用作者：张岚秦婷马玲刘瑜来源：《大东方》2018年第02期摘要：二次函数作为一个非常重要的函数模型，贯穿于整个中学数学的教与学中，是数学研究中的重要的工具。

本文通过具体的实例进行分析和总结二次函数在实际生活中的应用。

关键词：二次函数；数学模型；应用1 二次函数的相关概念一般地，我们把形如的函数叫做一元二次函数，其图像是一条抛物线，且a决定函数图像的开口方向，a>0时，开口方向向上，a物线是轴对称图形，对称轴为直线。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P，其坐标为。

抛物线与x轴交点个数由一元二次方程根的个数决定，即由的符号决定。

当时，抛物线与x轴有2个交点；当时，抛物线与x轴只有1个交点；当时，抛物线与x轴没有交点。

2 二次函数在实际生活中的应用有关二次函数的应用问题按照是否需要建立平面直角坐标系可以分为两类，一类不需要建立平面直角坐标系，这类题目关键是要求出二次函数的解析式，例如求销售利润的最值问题，二次函数的解析式分为顶点式，一般式和交点式，要根据实际问题所给的条件选择合适的解析式，接着只需运用二次函数的主要性质：如单调性、奇偶性、对称性、最值等，必要时结合二次函数图形求解出函数模型。

另一类就是必须建立平面直角坐标系。

这类题呈现的方式主要是以抛物线为基础的实际问题，如拱桥问题、投掷问题等等。

首先要将拱桥抽象为抛物线，然后结合实际问题中的条件，建立坐标系求出抛物线的解析式。

平面直角坐标系选择的一般原则是使得得出的二次函数的解析式最简单，因此要学会巧妙地选择直角坐标系的位置。

综上可知不管是哪类二次函数模型题最终都是通过二次函数解析式来解决问题的。

2.1 在经济生活中的应用二次函数在经济生活中的应用，主要分为投资策略、销售定价、货物存放、消费住宿等不同方面，而这几个不同方面的问题有一个共通点，那就是利润的最大化问题。

不论是投资还是销售，利润问题都是我们最关注的问题。

抛物线优秀课程设计一、课程目标知识目标：1. 学生能理解抛物线的定义，掌握其标准方程及基本性质。

2. 学生能运用抛物线知识解决相关问题，如计算焦点、准线、对称轴等。

3. 学生了解抛物线在实际生活中的应用，如建筑设计、体育竞技等。

技能目标：1. 学生通过观察、分析、总结，提高空间想象能力和逻辑思维能力。

2. 学生能够熟练运用抛物线相关公式，解决实际问题。

3. 学生在小组合作中，提高沟通协调能力和团队协作能力。

情感态度价值观目标：1. 学生对抛物线知识产生兴趣，激发学习数学的热情。

2. 学生在学习过程中，培养勇于探索、克服困难的精神。

3. 学生通过抛物线知识的学习，认识到数学与生活的紧密联系，增强学以致用的意识。

分析课程性质、学生特点和教学要求，本课程目标具体、可衡量，旨在帮助学生掌握抛物线知识，提高解决问题的能力，培养空间想象力和逻辑思维，同时注重培养学生的情感态度价值观，使学生在学习过程中获得全面、和谐的发展。

后续教学设计和评估将围绕这些具体学习成果展开。

二、教学内容本章节教学内容围绕抛物线的相关知识展开，包括以下方面：1. 抛物线的定义及标准方程- 引导学生理解抛物线的概念，掌握其标准方程y²=4ax和x²=4ay。

- 分析抛物线的焦点、准线、对称轴等基本性质。

2. 抛物线的图形及性质- 通过图形展示，让学生直观了解抛物线的图形特点，如开口方向、对称性等。

- 探讨抛物线与x轴、y轴的交点、顶点、对称轴等性质。

3. 抛物线的应用- 介绍抛物线在实际生活中的应用，如建筑设计、体育竞技等。

- 分析具体问题，让学生学会运用抛物线知识解决实际问题。

4. 综合练习与拓展- 设计不同难度的练习题，巩固学生对抛物线知识的掌握。

- 拓展抛物线相关的高级性质和复杂问题，提高学生的思维深度。

教学内容按照以下进度安排：1. 第1课时：抛物线的定义及标准方程2. 第2课时：抛物线的图形及性质3. 第3课时：抛物线的应用4. 第4课时：综合练习与拓展教学内容与教材章节关联，以人教版数学九年级下册教材为例，涉及第十七章“圆锥曲线与方程”中的抛物线相关内容。

抛物线的几个常见结论及其应用抛物线中有一些常见、常用的结论，了解这些结论后在做选择题、填空题时可迅速解答相关问题，在做解答题时也可迅速打开思路。

结论一：若AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦（过焦点的弦），且11(,)A x y ，22(,)B x y ，则：2124p x x =，212y y p =-。

证明：因为焦点坐标为F(2p,0),当AB 不垂直于x 轴时，可设直线AB 的方程为： ()2p y k x =-，由2()22p y k x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩得: 2220ky py kp --= ∴212y y p =-，2242121222244y y p p x x p p p =⋅==。

当AB ⊥x 轴时，直线AB 方程为2p x =，则1y p =，2y p =-，∴212y y p =-，同上也有：2124p x x =。

例：已知直线AB 是过抛物线22(0)y px p =>焦点F ，求证：11AF BF+为定值。

证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由抛物线的定义知：12p AF x =+，22pBF x =+，又AF +BF =AB ，所以1x +2x =AB -p ，且由结论一知：2124p x x =。

则：212121211()()()2224AF BF AB AB p p AF BF AF BF x x x x x x ++===⋅+++++ =222()424AB p p p p AB p =+-+（常数） 结论二：（1）若AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦，且直线AB 的倾斜角为α，则22sin P AB α=（α≠0）。

（2）焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦）最短。

证明：（1）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，设直线AB:()2p y k x =- 由2()22p y k x y px ⎧=-⎪⎨⎪=⎩得:,2220ky py kp --= ∴122p y y k+=，212y y p =-，∴12AB y -==222222(1)2(1tan )2tan sin p k p P k ααα++===。

高考数学复习点拨：例析抛物线在生活中的应用例析抛物线在生活中的应用山东陈聪聪武振抛物线的几何特性在实际中应用广泛，解决此类问题的关键是建立恰当的直角坐标系，求出抛物线方程，充分利用抛物线的几何性质，通过方程解决实际问题.例1 一条隧道的横断面由抛物线弧及一个矩形的两边围成，尺寸如图（单位：m），一辆卡车空车时能通过此隧道，现载一集装箱，箱宽3m，车与箱共高 4.5m，此车能否通过隧道？说明理由.分析：先由题意建立坐标系.求出抛物线方程，将实际问题转化为抛物线的相关问题来解决.解：建立坐标系如图1，设矩形与抛物线的接点为A、B，则. 设抛物线方程为，将B点坐标代入得.∴抛物线方程为。

∵车与箱共高4.5m，∴集装箱上表面距抛物线型隧道拱顶0.5m .设抛物线上点D的坐标为.,故此车不能通过隧道.点评:涉及到与抛物线有关的桥的跨度、隧道高低问题，通常建立直角坐标系，利用抛物线的标准方程解决，注意建系后坐标的正负与其实际意义。

例2一个酒杯的轴截面是抛物线的一段弧，它的口宽是的，杯深20，在杯内放一玻璃球，玻璃球的半径r取何值时，才能使玻璃球触及杯底?分析：解决要点就是建立恰当坐标系，将实际问题转化为抛物线问题，再转化为代数问题.解：在酒杯轴截面内，玻璃球成了位于抛物线内的一个圆，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系如图2，则抛物线方程可设为，依题意得点在抛物线上，故抛物线的方程为，若玻璃球触及杯底，圆与x轴切于原点，这时圆心坐标为，在抛物线上任取一点,则，。

故当玻璃球的半径r取值范围为时，才能使玻璃球触及杯底.点评：本题关键将实际问题转化为抛物线问题，再转化为代数问题，利用二次函数求最值的方法使问题获解。

例3已知探照灯的轴截面是抛物线，如图所示，表示平行于对称轴轴的光线于抛物线上的点P、Q的反射情况，设点P的纵坐标为,取何值时，从入射点P到反射点Q的光线的路程最短？分析：关键就是利用抛物线的光学性质建立目标函数.解：由抛物线的光学性质，知光线PQ必过抛物线的焦点. 设P点的坐标为，则直线PQ的方程为：，即联立，解得，由图3可知，根据抛物线的定义得，当且仅当，即时等号成立.∴当从入射点P到反射点Q的光线的路程PQ最短.点评：从抛物线的焦点处发出的光线照到抛物线上，经反射后平行与抛物线的轴；反之，平行抛物线的光线照到抛物线上，经反射后通过焦点，这一光学性质被广泛应用于各种设计中。

26．1 二次函数的图象与性质（1）[本课知识要点]会用描点法画出二次函数2ax y =的图象，概括出图象的特点及函数的性质． [MM 及创新思维]我们已经知道，一次函数12+=x y ，反比例函数xy 3=的图象分别是 、 ，那么二次函数2x y =的图象是什么呢？（1）描点法画函数2x y =的图象前，想一想，列表时如何合理选值？以什么数为中心？当x 取互为相反数的值时，y 的值如何？（2）观察函数2x y =的图象，你能得出什么结论？[实践与探索]例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并指出它们有何共同点？有何不同点？（1）22x y = （2）22x y -=解 列表分别描点、连线，画出这两个函数的图象，这两个函数的图象都是抛物线，如图26．2．1．共同点：都以y 轴为对称轴，顶点都在坐标原点．不同点：22x y =的图象开口向上，顶点是抛物线的最低点，在对称轴的左边，曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升．22x y -=的图象开口向下，顶点是抛物线的最高点，在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降．回顾与反思 在列表、描点时，要注意合理灵活地取值以及图形的对称性，因为图象是抛物线，因此，要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接． 例2．已知42)2(-++=k kx k y 是二次函数，且当0>x 时，y 随x 的增大而增大．（1）求k 的值；（2）求顶点坐标和对称轴．解 （1）由题意，得⎩⎨⎧>+=-+02242k k k ， 解得k=2．（2）二次函数为24x y =，则顶点坐标为（0，0），对称轴为y 轴．例3．已知正方形周长为Ccm ，面积为S cm 2． （1）求S 和C 之间的函数关系式，并画出图象； （2）根据图象，求出S=1 cm 2时，正方形的周长； （3）根据图象，求出C 取何值时，S ≥4 cm 2．分析 此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围；画图象时，自变量C 的取值应在取值范围内． 解 （1）由题意，得)0(1612>=C C S ． 列表：（2）根据图象得S=1 cm 2时，正方形的周长是4cm ． （3）根据图象得，当C ≥8cm 时，S ≥4 cm 2． 回顾与反思（1）此图象原点处为空心点．（2）横轴、纵轴字母应为题中的字母C 、S ，不要习惯地写成x 、y ． （3）在自变量取值范围内，图象为抛物线的一部分． [当堂课内练习]1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并分别写出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．（1）23x y = （2）23x y -= （3）231x y = 2．（1）函数232x y =的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ； （2）函数241x y -=的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ．3．已知等边三角形的边长为2x ，请将此三角形的面积S 表示成x 的函数，并画出图象的草图．[本课课外作业]A 组1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象． （1）24x y -= （2）241x y = 2．填空：（1）抛物线25x y -=，当x= 时，y 有最 值，是 ． （2）当m= 时，抛物线mmx m y --=2)1(开口向下．（3）已知函数1222)(--+=k k x k k y 是二次函数，它的图象开口 ，当x 时，y随x 的增大而增大． 3．已知抛物线102-+=k kkx y 中，当0>x 时，y 随x 的增大而增大．（1）求k 的值； （2）作出函数的图象（草图）．4．已知抛物线2ax y =经过点（1，3），求当y=9时，x 的值．B 组5．底面是边长为x 的正方形，高为0．5cm 的长方体的体积为ycm 3．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）画出函数的图象；（3）根据图象，求出y=8 cm 3时底面边长x 的值；（4）根据图象，求出x 取何值时，y ≥4．5 cm 3．6．二次函数2ax y =与直线32-=x y 交于点P （1，b ）．（1）求a 、b 的值；（2）写出二次函数的关系式，并指出x 取何值时，该函数的y 随x 的增大而减小． 1． 一个函数的图象是以原点为顶点，y 轴为对称轴的抛物线，且过M （-2，2）． （1）求出这个函数的关系式并画出函数图象；（2）写出抛物线上与点M 关于y 轴对称的点N 的坐标，并求出⊿MON 的面积． [本课学习体会]26．2 二次函数的图象与性质（2）[本课知识要点]会画出k ax y +=2这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质． [MM 及创新思维]同学们还记得一次函数x y 2=与12+=x y 的图象的关系吗？ ，你能由此推测二次函数2x y =与12+=x y 的图象之间的关系吗？ ，那么2x y =与22-=x y 的图象之间又有何关系？ ． [实践与探索]例1．在同一直角坐标系中，画出函数22x y =与222+=x y 的图象． 解 列表．描点、连线，画出这两个函数的图象，如图26．2．3所示．回顾与反思 当自变量x 取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？ 探索 观察这两个函数，它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有那些是相同的？又有哪些不同？你能由此说出函数22x y =与222-=x y 的图象之间的关系吗？例2．在同一直角坐标系中，画出函数12+-=x y 与12--=x y 的图象，并说明，通过怎样的平移，可以由抛物线12+-=x y 得到抛物线12--=x y ．可以看出，抛物线12--=x y 是由抛物线12+-=x y 向下平移两个单位得到的． 回顾与反思 抛物线12+-=x y 和抛物线12--=x y 分别是由抛物线2x y -=向上、向下平移一个单位得到的．探索 如果要得到抛物线42+-=x y ，应将抛物线12--=x y 作怎样的平移？ 例3．一条抛物线的开口方向、对称轴与221x y =相同，顶点纵坐标是-2，且抛物线经过点（1，1），求这条抛物线的函数关系式．解 由题意可得，所求函数开口向上，对称轴是y 轴，顶点坐标为（0，-2）， 因此所求函数关系式可看作)0(22>-=a ax y ， 又抛物线经过点（1，1）， 所以，2112-⋅=a ， 解得3=a ． 故所求函数关系式为232-=x y ．回顾与反思 k ax y +=2（a 、k 是常数，a ≠0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标归纳如下：1． 在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：221x y =， 2212+=x y ， 2212-=x y ． 观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置．你能说出抛物线k x y +=221的开口方向及对称轴、顶点的位置吗？ 2．抛物线9412-=x y 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它可以看作是由抛物线241x y =向 平移 个单位得到的．3．函数332+-=x y ，当x 时，函数值y 随x 的增大而减小．当x 时，函数取得最 值，最 值y= ． [本课课外作业]A 组1．已知函数231x y =， 3312+=x y ， 2312-=x y ． （1）分别画出它们的图象；（2）说出各个图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；（3）试说出函数5312+=x y 的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标． 2． 不画图象，说出函数3412+-=x y 的开口方向、对称轴和顶点坐标，并说明它是由函数241x y -=通过怎样的平移得到的． 3．若二次函数22+=ax y 的图象经过点（-2，10），求a 的值．这个函数有最大还是最小值？是多少？B 组4．在同一直角坐标系中b ax y +=2与)0,0(≠≠+=b a b ax y 的图象的大致位置是( )5．已知二次函数7)1(82-+--=k x k x y ，当k 为何值时，此二次函数以y 轴为对称轴？写出其函数关系式． [本课学习体会]26．2 二次函数的图象与性质（3）[本课知识要点]会画出2)(h x a y -=这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质． [MM 及创新思维]我们已经了解到，函数k ax y +=2的图象，可以由函数2ax y =的图象上下平移所得，那么函数2)2(21-=x y 的图象，是否也可以由函数221x y =平移而得呢？画图试一试，你能从中发现什么规律吗？[实践与探索]例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．221x y =，2)2(21+=x y ，2)2(21-=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标． 解 列表．描点、连线，画出这三个函数的图象，如图26．2．5所示． 它们的开口方向都向上；对称轴分别是y 轴、直线x= -2和直线x=2；顶点坐标分别是 （0，0），（-2，0），（2，0）． 回顾与反思 对于抛物线2)2(21+=x y ，当x 时，函数值y 随x 的增大而减小；当x 时，函数值y 随x 的增大而增大；当x 时，函数取得最 值，最 值y= ．探索 抛物线2)2(21+=x y 和抛物线2)2(21-=x y 分别是由抛物线221x y =向左、向右平移两个单位得到的．如果要得到抛物线2)4(21-=x y ，应将抛物线221x y =作怎样的平移？例2．不画出图象，你能说明抛物线23x y -=与2)2(3+-=x y 之间的关系吗?解 抛物线23x y -=的顶点坐标为（0，0）；抛物线2)2(3+-=x y 的顶点坐标为（-2，0）． 因此，抛物线23x y -=与2)2(3+-=x y 形状相同，开口方向都向下，对称轴分别是y 轴和直线2-=x ．抛物线2)2(3+-=x y 是由23x y -=向左平移2个单位而得的． 回顾与反思 2)(h x a y -=（a 、h 是常数，a ≠0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标归纳如下：[当堂课内练习]1．画图填空：抛物线2)1(-=x y 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它可以看作是由抛物线2x y =向 平移 个单位得到的． 2．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．22x y -=，2)3(2--=x y ，2)3(2+-=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．[本课课外作业]A 组1．已知函数221x y -=，2)1(21+-=x y ， 2)1(21--=x y ． （1）在同一直角坐标系中画出它们的图象；（2）分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； （3）分别讨论各个函数的性质．2．根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线221x y -=得到抛物线2)1(21+-=x y 和2)1(21--=x y ？3．函数2)1(3+-=x y ，当x 时，函数值y 随x 的增大而减小．当x 时，函数取得最 值，最 值y= ．4．不画出图象，请你说明抛物线25x y =与2)4(5-=x y 之间的关系．B 组5．将抛物线2ax y =向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为 -2，且新抛物线经过点 （1，3），求a 的值． [本课学习体会]26．2 二次函数的图象与性质（4）[本课知识要点]1．掌握把抛物线2ax y =平移至2)(h x a y -=+k 的规律；2．会画出2)(h x a y -=+k 这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质． [MM 及创新思维]由前面的知识，我们知道，函数22x y =的图象，向上平移2个单位，可以得到函数222+=x y 的图象；函数22x y =的图象，向右平移3个单位，可以得到函数2)3(2-=x y的图象，那么函数22x y =的图象，如何平移，才能得到函数2)3(22+-=x y 的图象呢？ [实践与探索]例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．221x y =，2)1(21-=x y ，2)1(212--=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．描点、连线，画出这三个函数的图象，如图26．2．6所示．它们的开口方向都向 ，对称轴分别为 、 、 ，顶点坐标分别为 、 、 ．请同学们完成填空，并观察三个图象之间的关系．回顾与反思 二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数2)(h x a y -=+k 中k 的值；左右平移，只影响h 的值，抛物线的形状不变，所以平移时，可根据顶点坐标的改变，确定平移前、后的函数关系式及平移的路径．此外，图象的平移与平移的顺序无关．探索 你能说出函数2)(h x a y -=+k （a 、h 、k 是常数，a ≠0）的图象的开口方向、对称例2．把抛物线c bx x y ++=2向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线2x y =，求b 、c 的值．分析 抛物线2x y =的顶点为（0，0），只要求出抛物线c bx x y ++=2的顶点，根据顶点坐标的改变，确定平移后的函数关系式，从而求出b 、c 的值．解 c bx x y ++=2c b b bx x +-++=442224)2(22b c b x -++=． 向上平移2个单位，得到24)2(22+-++=b c b x y ， 再向左平移4个单位，得到24)42(22+-+++=b c b x y ， 其顶点坐标是)24,42(2+---b c b ，而抛物线2x y =的顶点为（0，0），则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=--0240422b c b解得 ⎩⎨⎧=-=148c b探索 把抛物线c bx x y ++=2向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线2x y =，也就意味着把抛物线2x y =向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到抛物线c bx x y ++=2．那么，本题还可以用更简洁的方法来解，请你试一试． [当堂课内练习]1．将抛物线1)4(22--=x y 如何平移可得到抛物线22x y = （ ） A ．向左平移4个单位，再向上平移1个单位 B ．向左平移4个单位，再向下平移1个单位 C ．向右平移4个单位，再向上平移1个单位 D ．向右平移4个单位，再向下平移1个单位 2．把抛物线223x y -=向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得的抛物线的函数关系式为 ． 3．抛物线22121x x y -+=可由抛物线221x y -=向 平移 个单位，再向 平移 个单位而得到．[本课课外作业]A 组1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．23x y -=，2)2(3+-=x y ，1)2(32-+-=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．2．将抛物线522++-=x x y 先向下平移1个单位，再向左平移4个单位，求平移后的抛物线的函数关系式．3．将抛物线23212++-=x x y 如何平移，可得到抛物线32212++-=x x y ？ B 组4．把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线532+-=x x y ，则有 （ ）A ．b =3，c=7B ．b= -9，c= -15C ．b=3，c=3D ．b= -9，c=215．抛物线c bx x y ++-=23是由抛物线132+--=bx x y 向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到的，求b 、c 的值．6．将抛物线)0(2≠=a ax y 向左平移h 个单位，再向上平移k 个单位，其中h ＞0，k ＜0，求所得的抛物线的函数关系式．[本课学习体会]26．2 二次函数的图象与性质（5）[本课知识要点]1．能通过配方把二次函数c bx ax y ++=2化成2)(h x a y -=+k 的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标；2．会利用对称性画出二次函数的图象．[MM 及创新思维]我们已经发现，二次函数1)3(22+-=x y 的图象，可以由函数22x y =的图象先向 平移 个单位，再向 平移 个单位得到，因此，可以直接得出：函数1)3(22+-=x y 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ．那么，对于任意一个二次函数，如232-+-=x x y ，你能很容易地说出它的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出图象吗？[实践与探索]例1．通过配方，确定抛物线6422++-=x x y 的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图．解 6422++-=x x y[]8)1(261)1(26)112(26)2(22222+--=+---=+-+--=+--=x x x x x x 因此，抛物线开口向下，对称轴是直线x=1，顶点坐标为（1，8）．描点、连线，如图26．2．7所示．回顾与反思 （1）列表时选值，应以对称轴x=1为中心，函数值可由对称性得到，．（2）描点画图时，要根据已知抛物线的特点，一般先找出顶点，并用虚线画对称轴，然后再对称描点，最后用平滑曲线顺次连结各点．探索 对于二次函数c bx ax y ++=2，你能用配方法求出它的对称轴和顶点坐标吗？请你完成填空：对称轴 ，顶点坐标 ．例2．已知抛物线9)2(2++-=x a x y 的顶点在坐标轴上，求a 的值．分析 顶点在坐标轴上有两种可能：（1）顶点在x 轴上，则顶点的纵坐标等于0；（2）顶点在y 轴上，则顶点的横坐标等于0． 解 9)2(2++-=x a x y 4)2(9)22(22+-++-=a a x ， 则抛物线的顶点坐标是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+4)2(9,222a a ． 当顶点在x 轴上时，有 022=+-a ， 解得 2-=a ． 当顶点在y 轴上时，有 04)2(92=+-a ， 解得4=a 或8-=a ．所以，当抛物线9)2(2++-=x a x y 的顶点在坐标轴上时，a 有三个值，分别是 –2，4，8．[当堂课内练习]1．（1）二次函数x x y 22--=的对称轴是 ．（2）二次函数1222--=x x y 的图象的顶点是 ，当x 时，y 随x 的增大而减小．（3）抛物线642--=x ax y 的顶点横坐标是-2，则a = ．2．抛物线c x ax y ++=22的顶点是)1,31(-，则a 、c 的值是多少？[本课课外作业]A 组1．已知抛物线253212+-=x x y ，求出它的对称轴和顶点坐标，并画出函数的图象． 2．利用配方法，把下列函数写成2)(h x a y -=+k 的形式，并写出它们的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．（1）162++-=x x y（2）4322+-=x x y （3）nx x y +-=2 （4）q px x y ++=23．已知622)2(-++=k k x k y 是二次函数，且当0>x 时，y 随x 的增大而增大．（1）求k 的值；（2）求开口方向、顶点坐标和对称轴．B 组4．当0<a 时，求抛物线22212a ax x y +++=的顶点所在的象限．5. 已知抛物线h x x y +-=42的顶点A 在直线14--=x y 上，求抛物线的顶点坐标．[本课学习体会]26．2 二次函数的图象与性质（6）[本课知识要点]1．会通过配方求出二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的最大或最小值；2．在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值．[MM 及创新思维]在实际生活中，我们常常会碰到一些带有“最”字的问题，如问题：某商店将每件进价为80元的某种商品按每件100元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润．经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销售量可增加约10件．将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？ 在这个问题中，设每件商品降价x 元，该商品每天的利润为y 元，则可得函数关系式为二次函数2000100102++-=x x y ．那么，此问题可归结为：自变量x 为何值时函数y 取得最大值？你能解决吗?[实践与探索]例1．求下列函数的最大值或最小值．（1）5322--=x x y ； （2）432+--=x x y ．分析 由于函数5322--=x x y 和432+--=x x y 的自变量x 的取值范围是全体实数，所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值． 解 （1）二次函数5322--=x x y 中的二次项系数2＞0，因此抛物线5322--=x x y 有最低点，即函数有最小值．因为5322--=x x y =849)43(22--x ， 所以当43=x 时，函数5322--=x x y 有最小值是849-． （2）二次函数432+--=x x y 中的二次项系数-1＜0，因此抛物线432+--=x x y 有最高点，即函数有最大值．因为432+--=x x y =425)23(2++-x ， 所以当23-=x 时，函数432+--=x x y 有最大值是425． 回顾与反思 最大值或最小值的求法，第一步确定a 的符号，a ＞0有最小值，a ＜0有最大值；第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值．探索 试一试，当2．5≤x ≤3．5时，求二次函数322--=x x y 的最大值或最小值． 例2．某产品每件成本是120元，试销阶段每件产品的销售价x （元）与产品的日销售量y若日销售量y 是销售价x 的一次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销售价定为多少元？此时每日销售利润是多少？分析 日销售利润=日销售量×每件产品的利润，因此主要是正确表示出这两个量． 解 由表可知x+y=200，因此，所求的一次函数的关系式为200+-=x y ．设每日销售利润为s 元，则有1600)160()120(2+--=-=x x y s ．因为0120,0200≥-≥+-x x ，所以200120≤≤x ．所以，当每件产品的销售价定为160元时，销售利润最大，最大销售利润为1600元． 回顾与反思 解决实际问题时，应先分析问题中的数量关系，列出函数关系式，再研究所得的函数，得出结果．例3．如图26．2．8，在Rt ⊿ABC 中，∠C=90°，BC=4，AC=8，点D 在斜边AB 上，分别作DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，得四边形DECF ，设DE=x ，DF=y ．（1）用含y 的代数式表示AE ；（2）求y 与x 之间的函数关系式，并求出x 的取值范围；（3）设四边形DECF 的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系，并求出S 的最大值．解 （1）由题意可知，四边形DECF 为矩形，因此y DF AC AE -=-=8．（2）由DE ∥BC ，得AC AE BC DE =，即884y x -=， 所以，x y 28-=，x 的取值范围是40<<x ．（3）8)2(282)28(22+--=+-=-==x x x x x xy S ，所以，当x=2时，S 有最大值8．[当堂课内练习]1．对于二次函数m x x y +-=22，当x= 时，y 有最小值．2．已知二次函数b x a y +-=2)1(有最小值 –1，则a 与b 之间的大小关系是 （ ）A ．a ＜bB ．a=bC ．a ＞bD ．不能确定3．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40件，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？[本课课外作业]A 组1．求下列函数的最大值或最小值．（1）x x y 22--=； （2）1222+-=x x y ．2．已知二次函数m x x y +-=62的最小值为1，求m 的值．，3．心理学家发现，学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x （单位：分）之间满足函数关系：)300(436.21.02≤≤++-=x x x y ．y 值越大，表示接受能力越强．（1）x 在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x 在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？（2）第10分时，学生的接受能力是多少？（3）第几分时，学生的接受能力最强？B 组4．不论自变量x 取什么数，二次函数m x x y +-=622的函数值总是正值，求m 的取值范围．5．如图，有长为24m 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a 为10m ），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB 为x m ，面积为S m 2．（1）求S 与x 的函数关系式；（2）如果要围成面积为45 m 2的花圃，AB 的长是多少米？（3）能围成面积比45 m 2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．6．如图，矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，线段EF 在对角线AC上，EG ⊥AD ，FH ⊥BC ，垂足分别是G 、H ，且EG+FH=EF ．（1）求线段EF 的长；（2）设EG=x ，⊿AGE 与⊿CFH 的面积和为S ，写出S 关于x 的函数关系式及自变量x 的取值范围，并求出S 的最小值．[本课学习体会]26 . 2 二次函数的图象与性质（7）[本课知识要点]会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式．[MM 及创新思维]一般地，函数关系式中有几个独立的系数，那么就需要有相同个数的独立条件才能求出函数关系式．例如：我们在确定一次函数)0(≠+=k b kx y 的关系式时，通常需要两个独立的条件：确定反比例函数)0(≠=k x k y 的关系式时，通常只需要一个条件：如果要确定二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的关系式，又需要几个条件呢？[实践与探索]例1．某涵洞是抛物线形，它的截面如图26．2．9所示，现测得水面宽1．6m ，涵洞顶点O 到水面的距离为2．4m ，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？分析 如图，以AB 的垂直平分线为y 轴，以过点O 的y 轴的垂线为x 轴，建立了直角坐标系．这时，涵洞所在的抛物线的顶点在原点，对称轴是y 轴，开口向下，所以可设它的函数关系式是)0(2<=a ax y ．此时只需抛物线上的一个点就能求出抛物线的函数关系式．解 由题意，得点B 的坐标为（0．8，-2．4），又因为点B 在抛物线上，将它的坐标代入)0(2<=a ax y ，得 28.04.2⨯=-a所以 415-=a ．因此，函数关系式是2415x y -=． 例2．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．（1）已知二次函数的图象经过点A （0，-1）、B （1，0）、C （-1，2）；（2）已知抛物线的顶点为（1，-3），且与y 轴交于点（0，1）；（3）已知抛物线与x 轴交于点M （-3，0）、（5，0），且与y 轴交于点（0，-3）；（4）已知抛物线的顶点为（3，-2），且与x 轴两交点间的距离为4．分析 （1）根据二次函数的图象经过三个已知点，可设函数关系式为c bx ax y ++=2的形式；（2）根据已知抛物线的顶点坐标，可设函数关系式为3)1(2--=x a y ，再根据抛物线与y 轴的交点可求出a 的值；（3）根据抛物线与x 轴的两个交点的坐标，可设函数关系式为)5)(3(-+=x x a y ，再根据抛物线与y 轴的交点可求出a 的值；（4）根据已知抛物线的顶点坐标（3，-2），可设函数关系式为2)3(2--=x a y ，同时可知抛物线的对称轴为x=3，再由与x 轴两交点间的距离为4，可得抛物线与x 轴的两个交点为（1，0）和（5，0），任选一个代入2)3(2--=x a y ，即可求出a 的值．解 （1）设二次函数关系式为c bx ax y ++=2，由已知，这个函数的图象过（0，-1），可以得到c= -1．又由于其图象过点（1，0）、（-1，2）两点，可以得到 ⎩⎨⎧=-=+31b a b a 解这个方程组，得a=2，b= -1．所以，所求二次函数的关系式是1222--=x x y ．（2）因为抛物线的顶点为（1，-3），所以设二此函数的关系式为3)1(2--=x a y ， 又由于抛物线与y 轴交于点（0，1），可以得到 3)10(12--=a解得 4=a ．所以，所求二次函数的关系式是1843)1(422+-=--=x x x y ．（3）因为抛物线与x 轴交于点M （-3，0）、（5，0），所以设二此函数的关系式为)5)(3(-+=x x a y ．又由于抛物线与y 轴交于点（0，3），可以得到)50)(30(3-+=-a ．解得 51=a ． 所以，所求二次函数的关系式是35251)5)(3(512--=-+=x x x x y ． （4）根据前面的分析，本题已转化为与（2）相同的题型，请同学们自己完成．回顾与反思 确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则．二次函数的关系式可设如下三种形式：（1）一般式：)0(2≠++=a c bx ax y ，给出三点坐标可利用此式来求．（2）顶点式：)0()(2≠+-=a k h x a y ，给出两点，且其中一点为顶点时可利用此式来求．（3）交点式：)0)()((21≠--=a x x x x a y ，给出三点，其中两点为与x 轴的两个交点)0,(1x 、)0,(2x 时可利用此式来求．[当堂课内练习]1．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．（1）已知二次函数的图象经过点（0，2）、（1，1）、（3，5）；（2）已知抛物线的顶点为（-1，2），且过点（2，1）；（3）已知抛物线与x 轴交于点M （-1，0）、（2，0），且经过点（1，2）．2．二次函数图象的对称轴是x= -1，与y 轴交点的纵坐标是 –6，且经过点（2，10），求此二次函数的关系式．[本课课外作业]A 组1．已知二次函数c bx x y ++=2的图象经过点A （-1，12）、B （2，-3），（1）求该二次函数的关系式；（2）用配方法把（1）所得的函数关系式化成k h x a y +-=2)(的形式，并求出该抛物线的顶点坐标和对称轴．2．已知二次函数的图象与一次函数84-=x y 的图象有两个公共点P （2，m ）、Q （n ，-8），如果抛物线的对称轴是x= -1，求该二次函数的关系式．3．某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，如图所示，大门地面宽AB=4m ，顶部C 离地面高度为4．4m ．现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2．8m ，装货宽度为2．4m ．请判断这辆汽车能否顺利通过大门．4．已知二次函数c bx ax y ++=2，当x=3时，函数取得最大值10，且它的图象在x 轴上截得的弦长为4，试求二次函数的关系式．B 组5．已知二次函数c bx x y ++=2的图象经过（1，0）与（2，5）两点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)请你换掉题中的部分已知条件，重新设计一个求二次函数c bx x y ++=2解析式的题目，使所求得的二次函数与（1）的相同．6．抛物线n mx x y ++=22过点（2，4），且其顶点在直线12+=x y 上，求此二次函数的关系式．[本课学习体会]。