数学生活中的抛物线

生活中的抛物线
生活就像一条抛物线，充满了起伏和曲折。

抛物线是一种美妙的几何形状，它
的曲线既优美又充满了力量和动感。

而我们的生活也是如此，充满了各种曲折和挑战，但同时也充满了美好和希望。

抛物线的起点往往是低谷，就像我们生活中的困难和挫折。

当我们面临困难时，我们可能会感到沮丧和无助，就像抛物线在起点处的低谷一样。

但正是这些困难和挫折，让我们变得更加坚强和成熟。

正如抛物线在低谷处聚集了力量一样，我们也可以通过克服困难来不断成长和进步。

随着抛物线的曲线向上延伸，我们的生活也会经历起伏和变化。

有时我们会经
历成功和快乐，有时我们会面临失败和挫折。

但无论是成功还是失败，都是我们生活中不可或缺的一部分。

正如抛物线的曲线一样，我们的人生也会经历各种起伏和变化，这些经历让我们变得更加丰富和多彩。

最终，抛物线的曲线会逐渐平缓并趋于稳定，就像我们生活中的平静和安宁。

当我们经历了种种起伏和变化之后，我们会逐渐找到自己的位置，并体会到生活的美好和平静。

正如抛物线最终趋于稳定一样，我们也会在生活中找到自己的平衡和安宁。

生活就像一条抛物线，充满了起伏和曲折，但同时也充满了美好和希望。

无论
我们面临怎样的困难和挑战，我们都可以像抛物线一样，充满力量和动感地前行，最终找到自己的平衡和安宁。

让我们珍惜生活中的每一刻，享受生活的起伏和变化，迎接生活中的美好和希望。

抛物线的应用于实际问题抛物线是一种经典的曲线，其在数学和物理领域有广泛的应用。

在实际问题中，抛物线的应用涉及到许多不同的领域，包括物理学、工程学、建筑学等。

以下将介绍一些抛物线在实际问题中的应用。

物理学在物理学中，抛物线经常用于描述物体在自由落体运动或抛体运动中的轨迹。

抛物线的特点使得它成为描述这些运动的理想模型。

例如，当一个物体从一定高度以一定的速度水平抛出时，其运动轨迹会形成一个抛物线。

这种模型可以帮助我们计算物体的飞行距离、落地点等重要信息。

工程学在工程学中，抛物线的应用也非常广泛。

例如，在建筑设计中，抛物线的形状经常用于设计门廊、拱桥等具有美观和稳定性要求的结构。

抛物线的特点使得其能够有效分散荷载并提供均匀的支撑力。

此外，数学上的抛物线方程也可以在工程设计中用于优化管道、路面等结构的设计。

建筑学在建筑学中，抛物线的应用同样十分重要。

抛物线的形状可以用于设计屋顶、拱门等建筑元素。

抛物线的特点使得其能够分散荷载并提供良好的结构稳定性。

此外，抛物线还被广泛应用于建筑中的照明设计。

利用抛物面反射的特性，可以将光线集中到一个焦点上，提高照明效果。

数学教育抛物线作为一个经典的数学曲线，也在数学教育中扮演重要的角色。

通过教学抛物线的基本概念和性质，可以培养学生的几何直观和空间想象能力。

此外，数学教育中的抛物线应用也包括了一些有趣的问题，如求解一个物体在一堵抛物线墙上的反射角度等。

抛物线作为一种具有特殊性质的曲线，其在实际问题中有着广泛的应用。

从物理学的运动轨迹到工程设计的结构稳定性，从建筑元素的美观性到教育教学的重要性，抛物线在多个领域中发挥着重要作用。

进一步研究抛物线的应用，有助于我们更好地理解和运用这一曲线的特性。

抛物线原理
抛物线是我们生活中常见的一种曲线，它具有许多有趣的数学性质和物理应用。

在本文中，我们将深入探讨抛物线的原理，包括其定义、性质和应用。

首先，让我们来了解一下抛物线的定义。

抛物线是平面上一种特殊的曲线，其
定义可以通过几何或代数的方法进行描述。

从几何的角度来看，抛物线可以被定义为一个平面上到定点的距离与到定直线的距离相等的点的集合。

而从代数的角度来看，抛物线可以用二次方程来表示，其一般形式为y=ax^2+bx+c。

无论是从几何还
是代数的角度，抛物线都具有独特的形态和性质。

接下来，让我们来探讨一下抛物线的性质。

抛物线具有许多重要的性质，其中
最著名的要数其焦点和直角。

焦点是抛物线上的一个特殊点，具有与定点和定直线的距离相等的性质。

而直角则是抛物线的切线与法线所形成的角，它在抛物线的顶点处达到最大值。

除此之外，抛物线还具有许多其他重要的性质，如对称性、焦距、离心率等，这些性质使得抛物线在数学和物理上都具有重要的应用价值。

最后，让我们来讨论一下抛物线的应用。

抛物线在现实生活中有许多重要的应用，其中最常见的要数物体的抛射运动。

当一个物体在重力作用下沿着抛物线轨迹运动时，我们就可以利用抛物线的性质来分析其运动规律。

此外，抛物线还广泛应用于天文学、工程学、建筑学等领域，其重要性不言而喻。

总之，抛物线作为一种重要的数学曲线，在数学和物理领域具有广泛的应用。

通过深入理解抛物线的定义、性质和应用，我们可以更好地理解和应用这一重要的数学概念，为我们的学习和工作带来更多的启发和帮助。

希望本文对您有所帮助，谢谢阅读！。

生活中的抛物线作者：陈亮来源：《初中生(三年级)》2008年第12期现实生活中蕴含着大量的抛物线问题，只要认真观察，我们可以用抛物线知识解释许多现实生活中的现象.一、体育中的抛物线例1 丁丁推铅球的出手高度为1.6m，铅球沿一条抛物线运动，如图l. 若抛物线的解析式为y＝－0.1（x－k）2＋2.5，求铅球的落点到丁丁的距离.解：由题意知，点（0，1.6）在抛物线y＝－0.1（x－k）2＋2.5上，∴ 1.6＝－0.1（0－k）2＋2.5.解得k＝3或k＝－3（舍去）.∴该抛物线的解析式为y＝－0.1（x－3）2＋2.5.当y＝0时，有－0.1（x－3）2＋2.5＝0.解得：x1＝8，x2＝－2（舍去）.∴铅球的落点到丁丁的距离为8m.评点：铅球被推出后沿抛物线运动，先利用出手点的坐标求出k的值，再求抛物线与x轴正半轴上的交点坐标，即得铅球落点到丁丁的距离. 在球类项目中还有投篮、足球射门、打高尔夫球等等都离不开抛物线的有关知识.二、生产中的抛物线例2 ?摇某农场为防风治沙，在一山坡上种植一片树苗，并安装了自动喷灌设备. 一瞬间，喷水头喷出的水流呈抛物线，如图2所示. 已知喷水头高出地面1.5米，喷水管与山坡所成的夹角∠BOA约为63°，水流最高点C的坐标为（2，3.5）.（1）求此水流抛物线的解析式；（2）求山坡所在的直线OA的解析式（解析式中的系数精确到0.1）；（3）计算水喷出后落在山坡上的最远距离OA（精确到0.1米）.简解：（1）易得抛物线的解析式为评点：喷水头喷出的水流呈抛物线形状，故计算水喷出后落在山坡上的最远距离OA就要用到抛物线的知识，求出抛物线和山坡线的解析式后就可求出点A的坐标，再由勾股定理求OA.三、科技中的抛物线（1）求火球运行的抛物线的解析式；（2）说明按（1）中轨迹运行的火球能否点燃目标C.分析：发射的火球所运行的轨迹为一抛物线，能否点燃火炬需经过精密的设计和严格的计算. 抛物线如经过点C，那么就能点燃，所以这里可先求出火球运行轨迹的抛物线. 它的解析式为y＝－（x－12）2＋20，然后求出点C的坐标为（20，12），再代入抛物线的解析式检验就可知道能否成功（结论是火球能点燃目标C）.四、经济中的抛物线例4 某公司推出了一种高效环保型除草剂，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程. 图4的二次函数图像（部分）反映了该公司年初以来累积利润s（万元）与时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s与t之间的关系）.根据图像提供的信息，解答下列问题：（1）公司从第几个月末开始扭亏为盈？（2）累积利润s与时间t之间的函数关系式.（3）求截止到几月末公司累积利润可达30万元？（4）求第8个月公司获利是多少元？解：（1）由图像可知公司从第4个月末开始扭亏为盈.（2）由图像可知抛物线的顶点坐标为（2，－2），故可设s＝a（t－2）2－2.∵图像过（0，0），16－10.5＝5.5.第8个月公司获利5.5万元.。

实际生活中的抛物线河北 刘兴宝根据新课标的要求，以考查学生数学应用意识和应用能力为目的，与现实生活息息相关的问题越来越多地受到关注，已成为中考出题的热点之一。

本文拟探讨一类与抛物线有关的具有现实背景的试题的解法，例1（07年，佛山市）隧道的截面由抛物线AED 和巨型ABCD 构成，矩形的长BC 为8m ，宽AB 是2m ，以BC 所在的直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，y 轴是抛物线的对称轴，顶点E 到坐标原点O 的距离为6m 。

求：（1）抛物线的解析式；（2）一辆货运卡车高4.5m ，宽2.4m,它能通过该隧道吗？（3）如果该隧道内设双行道，为了安全起见，在隧道正中间设有0.4m 的隔离带，则该辆货车还能通过该隧道吗？且过点A （﹣4，2），D （4，2）抛物线。

通过确定抛物线上点F 答案。

汽车可以从隧道的正中间走，则F为（1.2即可。

解：（1）设抛物线解析式为y=ax 2+bx+c 由题意得：16a+4b+c=2 a=﹣4116a －4b+c=2 解得： b=0 c=6 c=6 所以，y=﹣41x 2+6（2）货运卡车从隧道正中间走，如图，则点F 的横坐标为1.2，因此，当x=1.2时，y= ﹣41×1.22+6=﹣0.38+6=5.62＞4.5因此，这辆货运卡车能通过该隧道。

（3）隧道正中间如果设有0.4m 的隔离带，那么该货运卡车紧贴着隔离带靠右边形式时则点P 的横坐标为0.2+2.4=2.56y= ﹣41×2.62+6=﹣1.69+6=4.31xx例2（07年，甘肃省市白银市）“中山桥”是位于兰州市中心、横跨黄河之上的一座百年老桥．如图1，桥上有五个拱形桥架紧密相联，每个桥架的内部有一水平横梁和八个垂直于横梁的立柱，气势雄伟，素有“天下黄河第一桥”之称．如图2，一个拱形桥架可以近似看作是由等腰梯形AB D 8D 1 和其上方的抛物线D 1OD 8组成，建立如图所示的平面直角坐标系，已知AB ＝44m ，∠A ＝45°，AC 1=4 m ，C 1 C 2=5 m ，立柱C 2 D 2=5.55 m ，（1）求立柱C 1 D 1=________m ，横梁D 1D 8=________m ； （2）求抛物线D 1OD 8的解析式和桥架的拱高OH ．图1 图2分析：立柱C 1D 1易求是4m ，由图形对称性可知，AH=HB=21AB=21×44=22m ，AC 1=C 8B=4m ，则，C 1H=21C 1C 8=21（AB －AC 1－C 8B ）=21（44－4－4）=21×36=18所以，D 1点横坐标为﹣18，D 2点横坐标为﹣（18－5）=﹣13，这时可设D 1、D 2点纵坐标为y 1和y 2，由图形可知，∣y 1－y 2∣=∣5.55－4∣=1.55，这样把D 1、D 2点代入抛物线y=ax 2，便可建立方程，求出待定系数a 的值，从而求出抛物线D 1OD 8的解析式，进而求出桥架的拱高OH ．解：(1)由题意可知：∠A ＝45°，AC 1=4 m ，则C 1D 1=4，因为ABD 8D 1为等腰梯形，由对称性可以知道：AH=HB=21AB=21×44=22m ，AC 1=C 8B=4m ，C 1H=21C 1C 8=21（AB －AC 1－C 8B ）=21（44－4－4）=21×36=18，所以，D 8D 1= C 8C 1=36（m ），所以，D 1点横坐标为﹣18，D 2点横坐标为﹣（18－5）=﹣13，这时可设D 1、D 2点纵坐标为y 1和y 2，由图形可知，∣y 1－y 2∣=∣5.55－4∣=1.55，设抛物线的解析式为y=ax 2，当x=﹣18时，y 1=a （﹣18）2=324 a ；当x=﹣13时，y 2=a （﹣13）2=169 a 所以，∣y 1－y 2∣=324 a －169 a=1.55，所以，a=1001所以，抛物线的解析式为y=1001x 2，因此，当x=﹣18时，y=1001（﹣18）2=324 ×1001=3.24所以，桥架的拱高OH =3.24+4=7.24（m ）例3、（07年，柳城市）明珠大剧场座落在聊城东昌湖西岸，其上部为能够旋转的拱形钢结构，并且具有开启、闭合功能，全国独一无二，如图1．舞台顶部横剖面拱形可近似看作抛物线的一部分，其中舞台高度1.15米，台口高度13.5米，台口宽度29米，如图2．以E D 所在直线为x 轴，过拱顶A 点且垂直于E D 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．（1）求拱形抛物线的函数关系式；（2）舞台大幕悬挂在长度为20米的横梁MN 上，其下沿恰与舞台面接触，求大幕的高度（精确到0.01米）．分析：由题意得：OA=13.5+1.15=14.65，OD=229，则可得顶点A 的坐标为（0，14.65），C 点坐标为（229，1.15），这样抛物线的解析式便可以求出。

26．1 二次函数的图象与性质（1）[本课知识要点]会用描点法画出二次函数2ax y =的图象，概括出图象的特点及函数的性质． [MM 及创新思维]我们已经知道，一次函数12+=x y ，反比例函数xy 3=的图象分别是 、 ，那么二次函数2x y =的图象是什么呢？（1）描点法画函数2x y =的图象前，想一想，列表时如何合理选值？以什么数为中心？当x 取互为相反数的值时，y 的值如何？（2）观察函数2x y =的图象，你能得出什么结论？[实践与探索]例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并指出它们有何共同点？有何不同点？（1）22x y = （2）22x y -=解 列表分别描点、连线，画出这两个函数的图象，这两个函数的图象都是抛物线，如图26．2．1．共同点：都以y 轴为对称轴，顶点都在坐标原点．不同点：22x y =的图象开口向上，顶点是抛物线的最低点，在对称轴的左边，曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升．22x y -=的图象开口向下，顶点是抛物线的最高点，在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降．回顾与反思 在列表、描点时，要注意合理灵活地取值以及图形的对称性，因为图象是抛物线，因此，要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接． 例2．已知42)2(-++=k kx k y 是二次函数，且当0>x 时，y 随x 的增大而增大．（1）求k 的值；（2）求顶点坐标和对称轴．解 （1）由题意，得⎩⎨⎧>+=-+02242k k k ， 解得k=2．（2）二次函数为24x y =，则顶点坐标为（0，0），对称轴为y 轴．例3．已知正方形周长为Ccm ，面积为S cm 2． （1）求S 和C 之间的函数关系式，并画出图象； （2）根据图象，求出S=1 cm 2时，正方形的周长； （3）根据图象，求出C 取何值时，S ≥4 cm 2．分析 此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围；画图象时，自变量C 的取值应在取值范围内． 解 （1）由题意，得)0(1612>=C C S ． 列表：（2）根据图象得S=1 cm 2时，正方形的周长是4cm ． （3）根据图象得，当C ≥8cm 时，S ≥4 cm 2． 回顾与反思（1）此图象原点处为空心点．（2）横轴、纵轴字母应为题中的字母C 、S ，不要习惯地写成x 、y ． （3）在自变量取值范围内，图象为抛物线的一部分． [当堂课内练习]1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并分别写出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．（1）23x y = （2）23x y -= （3）231x y = 2．（1）函数232x y =的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ； （2）函数241x y -=的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ．3．已知等边三角形的边长为2x ，请将此三角形的面积S 表示成x 的函数，并画出图象的草图．[本课课外作业]A 组1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象． （1）24x y -= （2）241x y = 2．填空：（1）抛物线25x y -=，当x= 时，y 有最 值，是 ． （2）当m= 时，抛物线mmx m y --=2)1(开口向下．（3）已知函数1222)(--+=k k x k k y 是二次函数，它的图象开口 ，当x 时，y随x 的增大而增大． 3．已知抛物线102-+=k kkx y 中，当0>x 时，y 随x 的增大而增大．（1）求k 的值； （2）作出函数的图象（草图）．4．已知抛物线2ax y =经过点（1，3），求当y=9时，x 的值．B 组5．底面是边长为x 的正方形，高为0．5cm 的长方体的体积为ycm 3．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）画出函数的图象；（3）根据图象，求出y=8 cm 3时底面边长x 的值；（4）根据图象，求出x 取何值时，y ≥4．5 cm 3．6．二次函数2ax y =与直线32-=x y 交于点P （1，b ）．（1）求a 、b 的值；（2）写出二次函数的关系式，并指出x 取何值时，该函数的y 随x 的增大而减小． 1． 一个函数的图象是以原点为顶点，y 轴为对称轴的抛物线，且过M （-2，2）． （1）求出这个函数的关系式并画出函数图象；（2）写出抛物线上与点M 关于y 轴对称的点N 的坐标，并求出⊿MON 的面积． [本课学习体会]26．2 二次函数的图象与性质（2）[本课知识要点]会画出k ax y +=2这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质． [MM 及创新思维]同学们还记得一次函数x y 2=与12+=x y 的图象的关系吗？ ，你能由此推测二次函数2x y =与12+=x y 的图象之间的关系吗？ ，那么2x y =与22-=x y 的图象之间又有何关系？ ． [实践与探索]例1．在同一直角坐标系中，画出函数22x y =与222+=x y 的图象． 解 列表．描点、连线，画出这两个函数的图象，如图26．2．3所示．回顾与反思 当自变量x 取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？ 探索 观察这两个函数，它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有那些是相同的？又有哪些不同？你能由此说出函数22x y =与222-=x y 的图象之间的关系吗？例2．在同一直角坐标系中，画出函数12+-=x y 与12--=x y 的图象，并说明，通过怎样的平移，可以由抛物线12+-=x y 得到抛物线12--=x y ．可以看出，抛物线12--=x y 是由抛物线12+-=x y 向下平移两个单位得到的． 回顾与反思 抛物线12+-=x y 和抛物线12--=x y 分别是由抛物线2x y -=向上、向下平移一个单位得到的．探索 如果要得到抛物线42+-=x y ，应将抛物线12--=x y 作怎样的平移？ 例3．一条抛物线的开口方向、对称轴与221x y =相同，顶点纵坐标是-2，且抛物线经过点（1，1），求这条抛物线的函数关系式．解 由题意可得，所求函数开口向上，对称轴是y 轴，顶点坐标为（0，-2）， 因此所求函数关系式可看作)0(22>-=a ax y ， 又抛物线经过点（1，1）， 所以，2112-⋅=a ， 解得3=a ． 故所求函数关系式为232-=x y ．回顾与反思 k ax y +=2（a 、k 是常数，a ≠0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标归纳如下：1． 在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：221x y =， 2212+=x y ， 2212-=x y ． 观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置．你能说出抛物线k x y +=221的开口方向及对称轴、顶点的位置吗？ 2．抛物线9412-=x y 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它可以看作是由抛物线241x y =向 平移 个单位得到的．3．函数332+-=x y ，当x 时，函数值y 随x 的增大而减小．当x 时，函数取得最 值，最 值y= ． [本课课外作业]A 组1．已知函数231x y =， 3312+=x y ， 2312-=x y ． （1）分别画出它们的图象；（2）说出各个图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；（3）试说出函数5312+=x y 的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标． 2． 不画图象，说出函数3412+-=x y 的开口方向、对称轴和顶点坐标，并说明它是由函数241x y -=通过怎样的平移得到的． 3．若二次函数22+=ax y 的图象经过点（-2，10），求a 的值．这个函数有最大还是最小值？是多少？B 组4．在同一直角坐标系中b ax y +=2与)0,0(≠≠+=b a b ax y 的图象的大致位置是( )5．已知二次函数7)1(82-+--=k x k x y ，当k 为何值时，此二次函数以y 轴为对称轴？写出其函数关系式． [本课学习体会]26．2 二次函数的图象与性质（3）[本课知识要点]会画出2)(h x a y -=这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质． [MM 及创新思维]我们已经了解到，函数k ax y +=2的图象，可以由函数2ax y =的图象上下平移所得，那么函数2)2(21-=x y 的图象，是否也可以由函数221x y =平移而得呢？画图试一试，你能从中发现什么规律吗？[实践与探索]例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．221x y =，2)2(21+=x y ，2)2(21-=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标． 解 列表．描点、连线，画出这三个函数的图象，如图26．2．5所示． 它们的开口方向都向上；对称轴分别是y 轴、直线x= -2和直线x=2；顶点坐标分别是 （0，0），（-2，0），（2，0）． 回顾与反思 对于抛物线2)2(21+=x y ，当x 时，函数值y 随x 的增大而减小；当x 时，函数值y 随x 的增大而增大；当x 时，函数取得最 值，最 值y= ．探索 抛物线2)2(21+=x y 和抛物线2)2(21-=x y 分别是由抛物线221x y =向左、向右平移两个单位得到的．如果要得到抛物线2)4(21-=x y ，应将抛物线221x y =作怎样的平移？例2．不画出图象，你能说明抛物线23x y -=与2)2(3+-=x y 之间的关系吗?解 抛物线23x y -=的顶点坐标为（0，0）；抛物线2)2(3+-=x y 的顶点坐标为（-2，0）． 因此，抛物线23x y -=与2)2(3+-=x y 形状相同，开口方向都向下，对称轴分别是y 轴和直线2-=x ．抛物线2)2(3+-=x y 是由23x y -=向左平移2个单位而得的． 回顾与反思 2)(h x a y -=（a 、h 是常数，a ≠0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标归纳如下：[当堂课内练习]1．画图填空：抛物线2)1(-=x y 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它可以看作是由抛物线2x y =向 平移 个单位得到的． 2．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．22x y -=，2)3(2--=x y ，2)3(2+-=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．[本课课外作业]A 组1．已知函数221x y -=，2)1(21+-=x y ， 2)1(21--=x y ． （1）在同一直角坐标系中画出它们的图象；（2）分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； （3）分别讨论各个函数的性质．2．根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线221x y -=得到抛物线2)1(21+-=x y 和2)1(21--=x y ？3．函数2)1(3+-=x y ，当x 时，函数值y 随x 的增大而减小．当x 时，函数取得最 值，最 值y= ．4．不画出图象，请你说明抛物线25x y =与2)4(5-=x y 之间的关系．B 组5．将抛物线2ax y =向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为 -2，且新抛物线经过点 （1，3），求a 的值． [本课学习体会]26．2 二次函数的图象与性质（4）[本课知识要点]1．掌握把抛物线2ax y =平移至2)(h x a y -=+k 的规律；2．会画出2)(h x a y -=+k 这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质． [MM 及创新思维]由前面的知识，我们知道，函数22x y =的图象，向上平移2个单位，可以得到函数222+=x y 的图象；函数22x y =的图象，向右平移3个单位，可以得到函数2)3(2-=x y的图象，那么函数22x y =的图象，如何平移，才能得到函数2)3(22+-=x y 的图象呢？ [实践与探索]例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．221x y =，2)1(21-=x y ，2)1(212--=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．描点、连线，画出这三个函数的图象，如图26．2．6所示．它们的开口方向都向 ，对称轴分别为 、 、 ，顶点坐标分别为 、 、 ．请同学们完成填空，并观察三个图象之间的关系．回顾与反思 二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数2)(h x a y -=+k 中k 的值；左右平移，只影响h 的值，抛物线的形状不变，所以平移时，可根据顶点坐标的改变，确定平移前、后的函数关系式及平移的路径．此外，图象的平移与平移的顺序无关．探索 你能说出函数2)(h x a y -=+k （a 、h 、k 是常数，a ≠0）的图象的开口方向、对称例2．把抛物线c bx x y ++=2向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线2x y =，求b 、c 的值．分析 抛物线2x y =的顶点为（0，0），只要求出抛物线c bx x y ++=2的顶点，根据顶点坐标的改变，确定平移后的函数关系式，从而求出b 、c 的值．解 c bx x y ++=2c b b bx x +-++=442224)2(22b c b x -++=． 向上平移2个单位，得到24)2(22+-++=b c b x y ， 再向左平移4个单位，得到24)42(22+-+++=b c b x y ， 其顶点坐标是)24,42(2+---b c b ，而抛物线2x y =的顶点为（0，0），则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=--0240422b c b解得 ⎩⎨⎧=-=148c b探索 把抛物线c bx x y ++=2向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线2x y =，也就意味着把抛物线2x y =向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到抛物线c bx x y ++=2．那么，本题还可以用更简洁的方法来解，请你试一试． [当堂课内练习]1．将抛物线1)4(22--=x y 如何平移可得到抛物线22x y = （ ） A ．向左平移4个单位，再向上平移1个单位 B ．向左平移4个单位，再向下平移1个单位 C ．向右平移4个单位，再向上平移1个单位 D ．向右平移4个单位，再向下平移1个单位 2．把抛物线223x y -=向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得的抛物线的函数关系式为 ． 3．抛物线22121x x y -+=可由抛物线221x y -=向 平移 个单位，再向 平移 个单位而得到．[本课课外作业]A 组1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．23x y -=，2)2(3+-=x y ，1)2(32-+-=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．2．将抛物线522++-=x x y 先向下平移1个单位，再向左平移4个单位，求平移后的抛物线的函数关系式．3．将抛物线23212++-=x x y 如何平移，可得到抛物线32212++-=x x y ？ B 组4．把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线532+-=x x y ，则有 （ ）A ．b =3，c=7B ．b= -9，c= -15C ．b=3，c=3D ．b= -9，c=215．抛物线c bx x y ++-=23是由抛物线132+--=bx x y 向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到的，求b 、c 的值．6．将抛物线)0(2≠=a ax y 向左平移h 个单位，再向上平移k 个单位，其中h ＞0，k ＜0，求所得的抛物线的函数关系式．[本课学习体会]26．2 二次函数的图象与性质（5）[本课知识要点]1．能通过配方把二次函数c bx ax y ++=2化成2)(h x a y -=+k 的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标；2．会利用对称性画出二次函数的图象．[MM 及创新思维]我们已经发现，二次函数1)3(22+-=x y 的图象，可以由函数22x y =的图象先向 平移 个单位，再向 平移 个单位得到，因此，可以直接得出：函数1)3(22+-=x y 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ．那么，对于任意一个二次函数，如232-+-=x x y ，你能很容易地说出它的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出图象吗？[实践与探索]例1．通过配方，确定抛物线6422++-=x x y 的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图．解 6422++-=x x y[]8)1(261)1(26)112(26)2(22222+--=+---=+-+--=+--=x x x x x x 因此，抛物线开口向下，对称轴是直线x=1，顶点坐标为（1，8）．描点、连线，如图26．2．7所示．回顾与反思 （1）列表时选值，应以对称轴x=1为中心，函数值可由对称性得到，．（2）描点画图时，要根据已知抛物线的特点，一般先找出顶点，并用虚线画对称轴，然后再对称描点，最后用平滑曲线顺次连结各点．探索 对于二次函数c bx ax y ++=2，你能用配方法求出它的对称轴和顶点坐标吗？请你完成填空：对称轴 ，顶点坐标 ．例2．已知抛物线9)2(2++-=x a x y 的顶点在坐标轴上，求a 的值．分析 顶点在坐标轴上有两种可能：（1）顶点在x 轴上，则顶点的纵坐标等于0；（2）顶点在y 轴上，则顶点的横坐标等于0． 解 9)2(2++-=x a x y 4)2(9)22(22+-++-=a a x ， 则抛物线的顶点坐标是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+4)2(9,222a a ． 当顶点在x 轴上时，有 022=+-a ， 解得 2-=a ． 当顶点在y 轴上时，有 04)2(92=+-a ， 解得4=a 或8-=a ．所以，当抛物线9)2(2++-=x a x y 的顶点在坐标轴上时，a 有三个值，分别是 –2，4，8．[当堂课内练习]1．（1）二次函数x x y 22--=的对称轴是 ．（2）二次函数1222--=x x y 的图象的顶点是 ，当x 时，y 随x 的增大而减小．（3）抛物线642--=x ax y 的顶点横坐标是-2，则a = ．2．抛物线c x ax y ++=22的顶点是)1,31(-，则a 、c 的值是多少？[本课课外作业]A 组1．已知抛物线253212+-=x x y ，求出它的对称轴和顶点坐标，并画出函数的图象． 2．利用配方法，把下列函数写成2)(h x a y -=+k 的形式，并写出它们的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．（1）162++-=x x y（2）4322+-=x x y （3）nx x y +-=2 （4）q px x y ++=23．已知622)2(-++=k k x k y 是二次函数，且当0>x 时，y 随x 的增大而增大．（1）求k 的值；（2）求开口方向、顶点坐标和对称轴．B 组4．当0<a 时，求抛物线22212a ax x y +++=的顶点所在的象限．5. 已知抛物线h x x y +-=42的顶点A 在直线14--=x y 上，求抛物线的顶点坐标．[本课学习体会]26．2 二次函数的图象与性质（6）[本课知识要点]1．会通过配方求出二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的最大或最小值；2．在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值．[MM 及创新思维]在实际生活中，我们常常会碰到一些带有“最”字的问题，如问题：某商店将每件进价为80元的某种商品按每件100元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润．经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销售量可增加约10件．将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？ 在这个问题中，设每件商品降价x 元，该商品每天的利润为y 元，则可得函数关系式为二次函数2000100102++-=x x y ．那么，此问题可归结为：自变量x 为何值时函数y 取得最大值？你能解决吗?[实践与探索]例1．求下列函数的最大值或最小值．（1）5322--=x x y ； （2）432+--=x x y ．分析 由于函数5322--=x x y 和432+--=x x y 的自变量x 的取值范围是全体实数，所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值． 解 （1）二次函数5322--=x x y 中的二次项系数2＞0，因此抛物线5322--=x x y 有最低点，即函数有最小值．因为5322--=x x y =849)43(22--x ， 所以当43=x 时，函数5322--=x x y 有最小值是849-． （2）二次函数432+--=x x y 中的二次项系数-1＜0，因此抛物线432+--=x x y 有最高点，即函数有最大值．因为432+--=x x y =425)23(2++-x ， 所以当23-=x 时，函数432+--=x x y 有最大值是425． 回顾与反思 最大值或最小值的求法，第一步确定a 的符号，a ＞0有最小值，a ＜0有最大值；第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值．探索 试一试，当2．5≤x ≤3．5时，求二次函数322--=x x y 的最大值或最小值． 例2．某产品每件成本是120元，试销阶段每件产品的销售价x （元）与产品的日销售量y若日销售量y 是销售价x 的一次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销售价定为多少元？此时每日销售利润是多少？分析 日销售利润=日销售量×每件产品的利润，因此主要是正确表示出这两个量． 解 由表可知x+y=200，因此，所求的一次函数的关系式为200+-=x y ．设每日销售利润为s 元，则有1600)160()120(2+--=-=x x y s ．因为0120,0200≥-≥+-x x ，所以200120≤≤x ．所以，当每件产品的销售价定为160元时，销售利润最大，最大销售利润为1600元． 回顾与反思 解决实际问题时，应先分析问题中的数量关系，列出函数关系式，再研究所得的函数，得出结果．例3．如图26．2．8，在Rt ⊿ABC 中，∠C=90°，BC=4，AC=8，点D 在斜边AB 上，分别作DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，得四边形DECF ，设DE=x ，DF=y ．（1）用含y 的代数式表示AE ；（2）求y 与x 之间的函数关系式，并求出x 的取值范围；（3）设四边形DECF 的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系，并求出S 的最大值．解 （1）由题意可知，四边形DECF 为矩形，因此y DF AC AE -=-=8．（2）由DE ∥BC ，得AC AE BC DE =，即884y x -=， 所以，x y 28-=，x 的取值范围是40<<x ．（3）8)2(282)28(22+--=+-=-==x x x x x xy S ，所以，当x=2时，S 有最大值8．[当堂课内练习]1．对于二次函数m x x y +-=22，当x= 时，y 有最小值．2．已知二次函数b x a y +-=2)1(有最小值 –1，则a 与b 之间的大小关系是 （ ）A ．a ＜bB ．a=bC ．a ＞bD ．不能确定3．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40件，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？[本课课外作业]A 组1．求下列函数的最大值或最小值．（1）x x y 22--=； （2）1222+-=x x y ．2．已知二次函数m x x y +-=62的最小值为1，求m 的值．，3．心理学家发现，学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x （单位：分）之间满足函数关系：)300(436.21.02≤≤++-=x x x y ．y 值越大，表示接受能力越强．（1）x 在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x 在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？（2）第10分时，学生的接受能力是多少？（3）第几分时，学生的接受能力最强？B 组4．不论自变量x 取什么数，二次函数m x x y +-=622的函数值总是正值，求m 的取值范围．5．如图，有长为24m 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a 为10m ），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB 为x m ，面积为S m 2．（1）求S 与x 的函数关系式；（2）如果要围成面积为45 m 2的花圃，AB 的长是多少米？（3）能围成面积比45 m 2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．6．如图，矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，线段EF 在对角线AC上，EG ⊥AD ，FH ⊥BC ，垂足分别是G 、H ，且EG+FH=EF ．（1）求线段EF 的长；（2）设EG=x ，⊿AGE 与⊿CFH 的面积和为S ，写出S 关于x 的函数关系式及自变量x 的取值范围，并求出S 的最小值．[本课学习体会]26 . 2 二次函数的图象与性质（7）[本课知识要点]会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式．[MM 及创新思维]一般地，函数关系式中有几个独立的系数，那么就需要有相同个数的独立条件才能求出函数关系式．例如：我们在确定一次函数)0(≠+=k b kx y 的关系式时，通常需要两个独立的条件：确定反比例函数)0(≠=k x k y 的关系式时，通常只需要一个条件：如果要确定二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的关系式，又需要几个条件呢？[实践与探索]例1．某涵洞是抛物线形，它的截面如图26．2．9所示，现测得水面宽1．6m ，涵洞顶点O 到水面的距离为2．4m ，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？分析 如图，以AB 的垂直平分线为y 轴，以过点O 的y 轴的垂线为x 轴，建立了直角坐标系．这时，涵洞所在的抛物线的顶点在原点，对称轴是y 轴，开口向下，所以可设它的函数关系式是)0(2<=a ax y ．此时只需抛物线上的一个点就能求出抛物线的函数关系式．解 由题意，得点B 的坐标为（0．8，-2．4），又因为点B 在抛物线上，将它的坐标代入)0(2<=a ax y ，得 28.04.2⨯=-a所以 415-=a ．因此，函数关系式是2415x y -=． 例2．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．（1）已知二次函数的图象经过点A （0，-1）、B （1，0）、C （-1，2）；（2）已知抛物线的顶点为（1，-3），且与y 轴交于点（0，1）；（3）已知抛物线与x 轴交于点M （-3，0）、（5，0），且与y 轴交于点（0，-3）；（4）已知抛物线的顶点为（3，-2），且与x 轴两交点间的距离为4．分析 （1）根据二次函数的图象经过三个已知点，可设函数关系式为c bx ax y ++=2的形式；（2）根据已知抛物线的顶点坐标，可设函数关系式为3)1(2--=x a y ，再根据抛物线与y 轴的交点可求出a 的值；（3）根据抛物线与x 轴的两个交点的坐标，可设函数关系式为)5)(3(-+=x x a y ，再根据抛物线与y 轴的交点可求出a 的值；（4）根据已知抛物线的顶点坐标（3，-2），可设函数关系式为2)3(2--=x a y ，同时可知抛物线的对称轴为x=3，再由与x 轴两交点间的距离为4，可得抛物线与x 轴的两个交点为（1，0）和（5，0），任选一个代入2)3(2--=x a y ，即可求出a 的值．解 （1）设二次函数关系式为c bx ax y ++=2，由已知，这个函数的图象过（0，-1），可以得到c= -1．又由于其图象过点（1，0）、（-1，2）两点，可以得到 ⎩⎨⎧=-=+31b a b a 解这个方程组，得a=2，b= -1．所以，所求二次函数的关系式是1222--=x x y ．（2）因为抛物线的顶点为（1，-3），所以设二此函数的关系式为3)1(2--=x a y ， 又由于抛物线与y 轴交于点（0，1），可以得到 3)10(12--=a解得 4=a ．所以，所求二次函数的关系式是1843)1(422+-=--=x x x y ．（3）因为抛物线与x 轴交于点M （-3，0）、（5，0），所以设二此函数的关系式为)5)(3(-+=x x a y ．又由于抛物线与y 轴交于点（0，3），可以得到)50)(30(3-+=-a ．解得 51=a ． 所以，所求二次函数的关系式是35251)5)(3(512--=-+=x x x x y ． （4）根据前面的分析，本题已转化为与（2）相同的题型，请同学们自己完成．回顾与反思 确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则．二次函数的关系式可设如下三种形式：（1）一般式：)0(2≠++=a c bx ax y ，给出三点坐标可利用此式来求．（2）顶点式：)0()(2≠+-=a k h x a y ，给出两点，且其中一点为顶点时可利用此式来求．（3）交点式：)0)()((21≠--=a x x x x a y ，给出三点，其中两点为与x 轴的两个交点)0,(1x 、)0,(2x 时可利用此式来求．[当堂课内练习]1．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．（1）已知二次函数的图象经过点（0，2）、（1，1）、（3，5）；（2）已知抛物线的顶点为（-1，2），且过点（2，1）；（3）已知抛物线与x 轴交于点M （-1，0）、（2，0），且经过点（1，2）．2．二次函数图象的对称轴是x= -1，与y 轴交点的纵坐标是 –6，且经过点（2，10），求此二次函数的关系式．[本课课外作业]A 组1．已知二次函数c bx x y ++=2的图象经过点A （-1，12）、B （2，-3），（1）求该二次函数的关系式；（2）用配方法把（1）所得的函数关系式化成k h x a y +-=2)(的形式，并求出该抛物线的顶点坐标和对称轴．2．已知二次函数的图象与一次函数84-=x y 的图象有两个公共点P （2，m ）、Q （n ，-8），如果抛物线的对称轴是x= -1，求该二次函数的关系式．3．某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，如图所示，大门地面宽AB=4m ，顶部C 离地面高度为4．4m ．现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2．8m ，装货宽度为2．4m ．请判断这辆汽车能否顺利通过大门．4．已知二次函数c bx ax y ++=2，当x=3时，函数取得最大值10，且它的图象在x 轴上截得的弦长为4，试求二次函数的关系式．B 组5．已知二次函数c bx x y ++=2的图象经过（1，0）与（2，5）两点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)请你换掉题中的部分已知条件，重新设计一个求二次函数c bx x y ++=2解析式的题目，使所求得的二次函数与（1）的相同．6．抛物线n mx x y ++=22过点（2，4），且其顶点在直线12+=x y 上，求此二次函数的关系式．[本课学习体会]。

生活中的抛物线
时时留心，处处在意。

每每当我们走进公园或路过星级大酒店门口，总会看到美丽的喷泉，从喷头飞出的绚丽的水珠，在空中“走”过一条优美的曲线----二次函数的图像抛物线。

作为初中九年级的学生，我们所学的二次函数的一般形式：y=ax2 + bx + c﹙a、b、c 为常数，其中a≠0﹚,a的正负和大小决定着图像的开口方向和大小，c的正负决定着图像与y轴的交点是在正半轴还是负半轴，其对称轴是：x = ﹣b/2a ,顶点坐标：﹙﹣b/2a，4ac －b2/4a﹚.“她”的图像给人们以美感，在现实生活中也由具体的体现。

就我们“十佳宜居城市—信阳”来说，有让人引以为傲的美丽的彩虹桥。

尤其是在夜晚给来往的人群和司机们留下“心醉”的感觉。

做公交车从信阳到区平桥要抛物线形涵洞，洞口的大小和洞高的设计必须合理，否则影响车辆的通行。

我们看到的贵人的运动—高尔夫，绿茵场上美丽的小球飞出的轨迹，我们熟知的篮球上投篮时篮球运动的轨迹，更为熟知的“鲤鱼跳龙门”等等都是“她”惹下的美丽的“祸”。

勤劳的甘岸人民建立的一座座抛物线形的蔬菜大棚生产出自己的品牌菜—淮河翠，给自己带来了巨大的利益，也给他人带去了美味可口的到绿色蔬菜。

我爱彩虹桥，我爱蔬菜大棚，我爱抛物线。

这就是抛物线的魅力之所在。

学生：叶林园
辅导老师：袁志福
数学小论文
题目：生活中的抛物线
学生：叶林园
辅导老师：袁志福
单位：信阳市平桥区甘岸办事处中心校。