生活中的抛物线

生活中的抛物线
生活就像一条抛物线，充满了起伏和曲折。

抛物线是一种美妙的几何形状，它
的曲线既优美又充满了力量和动感。

而我们的生活也是如此，充满了各种曲折和挑战，但同时也充满了美好和希望。

抛物线的起点往往是低谷，就像我们生活中的困难和挫折。

当我们面临困难时，我们可能会感到沮丧和无助，就像抛物线在起点处的低谷一样。

但正是这些困难和挫折，让我们变得更加坚强和成熟。

正如抛物线在低谷处聚集了力量一样，我们也可以通过克服困难来不断成长和进步。

随着抛物线的曲线向上延伸，我们的生活也会经历起伏和变化。

有时我们会经
历成功和快乐，有时我们会面临失败和挫折。

但无论是成功还是失败，都是我们生活中不可或缺的一部分。

正如抛物线的曲线一样，我们的人生也会经历各种起伏和变化，这些经历让我们变得更加丰富和多彩。

最终，抛物线的曲线会逐渐平缓并趋于稳定，就像我们生活中的平静和安宁。

当我们经历了种种起伏和变化之后，我们会逐渐找到自己的位置，并体会到生活的美好和平静。

正如抛物线最终趋于稳定一样，我们也会在生活中找到自己的平衡和安宁。

生活就像一条抛物线，充满了起伏和曲折，但同时也充满了美好和希望。

无论
我们面临怎样的困难和挑战，我们都可以像抛物线一样，充满力量和动感地前行，最终找到自己的平衡和安宁。

让我们珍惜生活中的每一刻，享受生活的起伏和变化，迎接生活中的美好和希望。

26.3 实践与探索第1课时现实生活中的抛物线1.(2020山西)竖直上抛物体离地面的高度h(m)与运动时间t(s)之间的关系可以近似地用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是物体抛出时离地面的高度,v0(m/s)是物体抛出时的速度.某人将一个小球从距地面1.5 m的高处以20 m/s的速度竖直向上抛出,小球达到的离地面的最大高度为( C )A.23.5 mB.22.5 mC.21.5 mD.20.5 m2.如图所示,从某建筑物10 m高的窗口A处用水管向外喷水,喷出的水成抛物线状(抛物线所在平面与墙面垂直).如果抛物线的最高点Mm,则水流落地点B离墙的距离OB是( B )离墙1 m,离地面403A.2 mB.3 mC.4 mD.5 m3.如图所示,池中心竖直水管的顶端安一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高,高度为3 m,水柱落地处离池中心3 m,水管的高为 2.25 m.4.如图所示是一个横截面为抛物线形状的拱桥,当水面宽4 m 时,拱顶(拱桥洞的最高点)离水面 2 m,水面下降 1 m 时,水面的宽度为 2√6 m.5.如图所示,杂技团进行杂技表演,演员从跷跷板右端A 处弹跳到人梯顶端椅子B 处,其身体(看成一点)的路线是抛物线y=-35x 2+3x+1的一部分.(1)求演员弹跳离地面的最大高度;(2)已知人梯高BC=3.4 m,在一次表演中,人梯到起跳点A 的水平距离是4 m,问这次表演是否成功?请说明理由. 解:(1)y=-35x 2+3x+1=-35(x-52)2+194,所以当x=52时,y 有最大值194.所以演员弹跳离地面的最大高度是194m.(2)能表演成功.理由如下: 当x=4时,y=-35×42+3×4+1=3.4,即点B(4,3.4)在抛物线y=-35x 2+3x+1上,所以能表演成功.6.已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式h=-t2+24t+1.则下列说法中正确的是( D )A.点火后9 s和点火后13 s的升空高度相同B.点火后24 s火箭落于地面C.点火后10 s的升空高度为139 mD.火箭升空的最大高度为145 m7.如图所示,排球运动员站在点O处练习发球,将球从点O正上方2 m 的A处发出,把球看成点,其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-k)2+h.已知球D与O点的水平距离为6 m时,达到最高2.6 m,球网与O点的水平距离为9 m,高度为2.43 m,球场的边界距O点的水平距离为18 m,则下列判断正确的是( C )A.球不会过球网B.球会过球网但不会出界C.球会过球网并会出界D.无法确定8.如图所示,一工厂车间门口由抛物线和矩形ABCO的三边组成,门的最大高度是4.9 m,AB=10 m,BC=2.4 m,若有一个高为4 m,宽为2 m的长方体形的大型设备要安装在车间,如果不考虑其他因素,设备的右侧离开门边超过多少米时,此设备运进车间时才不会碰门的顶部( D )A.1.7B.1.8C.1.9D.2.19.某游乐园有一个直径为16 m 的圆形喷水池,喷水池的周边有一圈喷水头,喷出的水柱为抛物线,在距水池中心3 m 处达到最高,高度为5 m,且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合.如图所示,以水平方向为x 轴,喷水池中心为原点建立平面直角坐标系. (1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式;(2)经检修评估,游乐园决定对喷水设施做如下设计改进:在喷出水柱的形状不变的前提下,把水池的直径扩大到32 m,各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物(高度不变)处汇合,请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度.解:(1)设水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y=a (x-3)2+5(a ≠0),将(8,0)代入y=a(x-3)2+5,得25a+5=0, 解得a=-15.所以y=-15(x-3)2+5(0<x<8).所以水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y=-15(x-3)2+5(0<x<8).(2)当x=0时,y=-15(0-3)2+5=165.设改造后抛物线(第一象限部分)函数表达式为y=-15x 2+bx+165.因为该函数图象经过点(16,0), 所以0=-15×162+16b+165,解得b=3.所以函数表达式为y=-15x 2+3x+165=-15(x-152)2+28920(0<x<16).所以扩建改造后喷水池水柱的最大高度为28920m.10.(拓展探究题)施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道,其高度为6 m,宽度OM 为12 m.现以O 点为原点,OM 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系(如图(1)所示).(1)求出这条抛物线的函数表达式,并写出自变量x 的取值范围; (2)隧道下的公路是双向行车道(正中间是一条宽1 m 的隔离带),其中的一条行车道能否行驶宽2.5 m,高5 m 的特种车辆?(3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB,使A,D 点在抛物线上,B,C 点在地面OM 线上(如图(2)所示).为了筹备材料,需求出“脚手架”三根木杆AB,AD,DC 的长度之和的最大值,请你帮施工队计算一下.解:(1)因为M(12,0),P(6,6), 所以设这条抛物线的函数表达式为 y=a(x-6)2+6.因为抛物线过O(0,0), 所以a(0-6)2+6=0. 解得a=-16.所以这条抛物线的函数表达式为 y=-16(x-6)2+6,即y=-16x 2+2x(0≤x ≤12).(2)当x=6-0.5-2.5=3(或x=6+0.5+2.5=9)时,y=4.5<5, 故不能行驶宽2.5 m,高5 m 的特种车辆. (3)设点A 的坐标为(m,-16m 2+2m),则OB=m,AB=DC=-16m 2+2m.根据抛物线的轴对称,可得OB=CM=m. 故BC=12-2m,即AD=12-2m. 令L=AB+AD+DC =-16m 2+2m+12-2m-16m 2+2m=-13m 2+2m+12 =-13(m-3)2+15,故当m=3,即OB=3 m 时,三根木杆AB,AD,DC 长度之和L 的最大值为 15 m.。

高考数学复习点拨：例析抛物线在生活中的应用例析抛物线在生活中的应用山东陈聪聪武振抛物线的几何特性在实际中应用广泛，解决此类问题的关键是建立恰当的直角坐标系，求出抛物线方程，充分利用抛物线的几何性质，通过方程解决实际问题.例1 一条隧道的横断面由抛物线弧及一个矩形的两边围成，尺寸如图（单位：m），一辆卡车空车时能通过此隧道，现载一集装箱，箱宽3m，车与箱共高 4.5m，此车能否通过隧道？说明理由.分析：先由题意建立坐标系.求出抛物线方程，将实际问题转化为抛物线的相关问题来解决.解：建立坐标系如图1，设矩形与抛物线的接点为A、B，则. 设抛物线方程为，将B点坐标代入得.∴抛物线方程为。

∵车与箱共高4.5m，∴集装箱上表面距抛物线型隧道拱顶0.5m .设抛物线上点D的坐标为.,故此车不能通过隧道.点评:涉及到与抛物线有关的桥的跨度、隧道高低问题，通常建立直角坐标系，利用抛物线的标准方程解决，注意建系后坐标的正负与其实际意义。

例2一个酒杯的轴截面是抛物线的一段弧，它的口宽是的，杯深20，在杯内放一玻璃球，玻璃球的半径r取何值时，才能使玻璃球触及杯底?分析：解决要点就是建立恰当坐标系，将实际问题转化为抛物线问题，再转化为代数问题.解：在酒杯轴截面内，玻璃球成了位于抛物线内的一个圆，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系如图2，则抛物线方程可设为，依题意得点在抛物线上，故抛物线的方程为，若玻璃球触及杯底，圆与x轴切于原点，这时圆心坐标为，在抛物线上任取一点,则，。

故当玻璃球的半径r取值范围为时，才能使玻璃球触及杯底.点评：本题关键将实际问题转化为抛物线问题，再转化为代数问题，利用二次函数求最值的方法使问题获解。

例3已知探照灯的轴截面是抛物线，如图所示，表示平行于对称轴轴的光线于抛物线上的点P、Q的反射情况，设点P的纵坐标为,取何值时，从入射点P到反射点Q的光线的路程最短？分析：关键就是利用抛物线的光学性质建立目标函数.解：由抛物线的光学性质，知光线PQ必过抛物线的焦点. 设P点的坐标为，则直线PQ的方程为：，即联立，解得，由图3可知，根据抛物线的定义得，当且仅当，即时等号成立.∴当从入射点P到反射点Q的光线的路程PQ最短.点评：从抛物线的焦点处发出的光线照到抛物线上，经反射后平行与抛物线的轴；反之，平行抛物线的光线照到抛物线上，经反射后通过焦点，这一光学性质被广泛应用于各种设计中。

抛物线在生活中的运用作者：魏仁柯来源：《文存阅刊》2017年第02期摘要：抛物线所涉及的领域极其宽广，甚至是人们日常生活中不可分割的一部分。

本文即以生活中的抛物线为例，探讨抛物线在人们日常生活中光学、科技和生产领域的实际应用。

关键词：抛物线；生活；数学；运用数学的应用范围十分广泛，这是数学最基本的特征之一。

在现实生活中存在着数不胜数的抛物线问题，只需要仔细观察就会发现抛物线无处不在，且深刻揭示出了现实生活中的多种现象[1]。

一、光学中的抛物线例1 右图中的物体是用以食物和水加热的太阳灶，其上部位置安装有能够旋转的反光镜，且这个反光镜的镜面是抛物形状，其中镜体的轴截面属于抛物线的组成部分，抛物线的焦点位置则是放置盛食物和水的容器的位置。

该容器是由多根长度相等的铁筋焊接而成的架子支撑，一般镜深达2m，镜口直径达12m，创建合理的坐标系，求出抛物线方程与抛物线焦点位置。

分析求抛物线方程的核心环节就是创建坐标系，通过坐标系可以就可求出方程。

解如右图，在反光镜轴截面的内部创建一个直角坐标系，促使抛物线的顶点和原点重合，并且x轴和镜口直径相互垂直。

根据已知条件可得A点的坐标为（2，6），设抛物线的方程为y2=2px （p>0）则36=2p×2，p=9，所以，抛物线的方程为y2=18x，焦点的坐标为F（9/2，0）二、科技中的抛物线例2 右图是一次运动会开幕式上火炬点燃时的平面直角坐标系示意图，从O、A这两个地面观测点分别所测得的火炬C这一目标点的仰角为α和β，其中OA=2米，tanα=3/5，tanβ=2/3，发射装置D点位居O点正上方的2米处，该点能够向目标点C发射出一个可以点燃火炬的火球，且该火球的运动轨迹为抛物线，当运行中的火球与地面距离达到20米的最大值时，相对应的水平距离则为12米，也就是图中的E点。

（1）试求火球的运行轨迹，即抛物线的函数解析式；（2）试说明根据（1）中火球的运行轨迹能够将目标C点燃。

二次函数在生活中的应用
二次函数是一种常见的数学函数，它在我们的生活和工作中有许多应用。

以下是二次函数在生活中的几个应用：
1. 抛物线运动
当一个物体以一定的初速度开始运动，并且受到重力的影响而向下运动时，它的运动轨迹就是一条抛物线。

这个运动过程可以用二次函数来描述。

例如，当你抛出一颗球时，它的高度会随着时间的推移而不断降低，形成一条抛物线。

2. 建筑设计
在建筑设计中，二次函数可以用来描述建筑物的结构和形状。

例如，在建造一座拱形桥时，设计师需要使用二次函数来确定桥的最高点和曲线的形状。

3. 经济学
在经济学中，二次函数可以用来描述成本和收益之间的关系。

例如，当一家企业决定生产某种产品时，它需要考虑生产成本和销售收益之间的平衡点，这个平衡点可以用二次函数来计算。

4. 电子技术
在电子技术中，二次函数可以用来描述电路中的电压和电流之间的关系。

例如，在设计一条放大电路时，工程师需要使用二次函数来确定电路的增益和频率响应。

总之，二次函数在我们的生活和工作中有许多应用，这些应用涉及到不同的领域，包括物理学、工程学、经济学和电子技术等。

熟练
掌握二次函数的概念和应用可以帮助我们更好地理解和解决实际问题。

定义抛物线【定义抛物线】“你有没有在扔东西的时候，好奇它的轨迹为什么是那样的？或者在看喷泉的时候，思考过喷出的水形成的弧线有什么规律？其实，这背后都藏着抛物线的身影。

”其实抛物线就是平面内到定点与定直线的距离相等的点的轨迹。

简单来说，想象你抛一个球，它在空中划过的那个曲线就是抛物线。

比如，篮球运动员投篮时，篮球所经过的路线就是一条抛物线。

关键点解析核心特征或要素抛物线有几个关键的要素。

首先是焦点，它就像是一个磁力中心，决定着抛物线的弯曲程度。

比如说手电筒发出的光，焦点就在灯泡那里，光线照出来的形状就是抛物线。

其次是准线，它和焦点相互配合，共同决定抛物线的形状。

就像一个指挥棒，引导着抛物线的走向。

容易混淆的概念抛物线和椭圆、双曲线容易让人混淆。

抛物线只有一个焦点和一条准线，而椭圆有两个焦点。

比如地球绕着太阳转的轨道接近椭圆，而不是抛物线。

双曲线则是由两个分支组成。

起源与发展抛物线的概念最早可以追溯到古希腊时期，数学家们就开始研究它。

随着数学的不断发展，抛物线在物理学、工程学等领域发挥了重要作用。

比如在桥梁设计中，抛物线形状的拱能够更好地分散压力；在卫星通信中，信号的传播路径也常常涉及抛物线的原理。

实际意义与应用在日常生活中，抛物线有着广泛的应用。

比如，喷泉的设计，让水喷出美丽的抛物线形状，增加观赏性。

在体育运动中，标枪、铅球的投掷轨迹也近似抛物线，运动员需要掌握抛物线的原理来取得更好的成绩。

在建筑领域，一些屋顶的设计也采用了抛物线的结构，既美观又实用。

总结与展望总之，抛物线就是那个隐藏在我们生活中各种现象背后的神秘曲线。

它不仅有着独特的数学之美，还在多个领域发挥着重要作用。

未来，随着科技的不断进步，抛物线的应用或许会更加广泛和深入，说不定我们能利用抛物线的原理创造出更多令人惊叹的发明！。

抛物线运动的轨迹方程抛物线运动的轨迹方程，这个话题听起来好像有点高大上，其实它就是在说我们生活中那些看似简单却充满奥妙的运动。

想象一下，你在公园里扔一个球，球在空中划出一个优美的弧线，最后稳稳落地。

这个过程就像是一场小型的物理秀，充满了变化和惊喜。

你扔得越高，球飞得越远，越像是在进行一场精彩的“飞球大赛”。

这个轨迹就可以用抛物线来描述。

说到抛物线，大家可能会想到数学课上那些复杂的公式，但实际上，它们跟我们生活的关系可大了去了。

我们来聊聊抛物线的公式吧，听起来是不是有点干巴巴的？抛物线的轨迹方程通常是这样的：y = ax^2 + bx + c。

别担心，这不是高深的黑暗料理，而是抛物线运动的基本原理。

这里的“y”代表高度，“x”代表水平距离，而“a”、“b”、“c”就像调料，不同的比例会影响到这个轨迹的样子。

举个简单的例子，当“a”是正数时，抛物线就像一只展翅飞翔的鸟儿，优雅地向上升起；而当“a”是负数时，它就像一颗失落的星星，朝着地面坠落。

想象一下，如果你在玩飞镖，那个飞镖在空中划出的轨迹，不就是抛物线的真实写照吗？有时候我们可能会觉得抛物线就像一条小河，弯弯曲曲，流向未知的远方。

要是你能把这些理论用在实际生活中，那真是妙不可言。

比如说，打篮球的时候，你需要把球投得既高又远，抛物线的运动轨迹就是你成功的关键。

如果你用力过猛，球可能会飞得很高但落得很远，正好对应了“适可而止”的道理。

这里面满是学问啊！再说说生活中的例子。

比如，你在游乐场玩过山车，过山车在空中划出那一瞬间，真是让人心跳加速。

上升、下降，那一系列的变化简直像是一场运动会。

要是你仔细观察，就会发现它的轨迹和抛物线有很多相似之处。

每一次起伏，都是在告诉我们：抛物线的美丽就在于它的起伏变化。

这种变化就像生活中的波折，虽然有时会让人心慌意乱，但最终都会平静下来，给人一种释然的感觉。

如果我们再来看看抛物线的实际应用，那简直是无处不在。

比如，建筑师设计的屋顶，很多时候就是抛物线形状，这样不仅美观，还能排水。