2015年高中数学 2.2.2向量减法运算及其几何意义课时跟踪检测 新人教A版必修4

2.2.2 向量减法运算及其几何意义A 级：基础巩固练一、选择题1．下列运算中正确的是( ) A.OA →－OB →＝AB →B.AB →－CD →＝DB →C.OA →－OB →＝BA →D.AB →－AB →＝0 答案 C解析 根据向量减法的几何意义，知OA →－OB →＝BA →，所以C 正确，A 错误；B 显然错误；对于D ，AB →－AB →应该等于0，而不是0.2．下列说法错误的是( )A ．若OD →＋OE →＝OM →，则OM →－OE →＝OD →B ．若OD →＋OE →＝OM →，则OM →＋DO →＝OE →C ．若OD →＋OE →＝OM →，则OD →－EO →＝OM →D ．若OD →＋OE →＝OM →，则DO →＋EO →＝OM →答案 D解析 由向量的减法就是向量加法的逆运算可知，A ，B ，C 都正确．由相反向量定量知，共OD →＋OE →＝OM →，则DO →＋EO →＝－OD →－OE →＝－(OD →＋OE →)＝－OM →，故D 错误．3．有下列不等式或等式： ①|a |－|b |＜|a ＋b |＜|a |＋|b |； ②|a |－|b |＝|a ＋b |＝|a |＋|b |； ③|a |－|b |＝|a ＋b |＜|a |＋|b |； ④|a |－|b |＜|a ＋b |＝|a |＋|b |. 其中，一定不成立的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 A解析 ①当a 与b 不共线时成立；②当a ＝b ＝0，或b ＝0，a ≠0时成立；③当a 与b 共线，方向相反，且|a |≥|b |时成立；④当a 与b 共线，且方向相同时成立．4.AC →可以写成：①AO →＋OC →；②AO →－OC →；③OA →－OC →；④OC →－OA →，其中正确的是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ 答案 D解析 由向量的加法及减法定义可知①④符合．5．边长为1的正三角形ABC 中，|AB →－BC →|的值为( ) A ．1 B ．2 C.32D. 3 答案 D解析 如图所示，延长CB 到点D ，使BD ＝1，连接AD ，则AB →－BC →＝AB →＋CB →＝AB →＋BD →＝AD →.在△ABD 中，AB ＝BD ＝1，∠ABD ＝120°，易求AD ＝3，∴|AB →－BC →|＝ 3.二、填空题6．对于非零向量a ，b ，当且仅当________时，有|a －b |＝||a |－|b ||. 答案 a 与b 同向解析 当a ，b 不同向时，根据向量减法的几何意义，知一定有|a －b |>||a |－|b ||，所以只有两向量共线且同向时，才有|a －b |＝||a |－|b ||.7．如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 与BD 交于O 点，则BA →－BC →－OA →＋OD →＋DA →＝________.答案 CA →解析 BA →－BC →－OA →＋OD →＋DA →＝CA →＋AD →＋DA →＝CA →.8．如图，已知ABCDEF 是一正六边形，O 是它的中心，其中OB →＝b ，OC →＝c ，则EF →等于________．答案 b －c解析 EF →＝OA →＝CB →＝OB →－OC →＝b －c . 三、解答题9．如图，已知a ，b 不共线，求作向量a －b ，－a －b.解 如图(1)，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝OA →－OB →＝a －b .如图(2)，在平面内任取一点O ，作OA →＝－a ，OB →＝b ，则BA →＝OA →－OB →＝－a －b .10．设O 是△ABC 内一点，且OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，若以线段OA ，OB 为邻边作平行四边形，第四个顶点为D ，再以OC ，OD 为邻边作平行四边形，其第四个顶点为H .试用a ，b ，c 表示DC →，OH →，BH →.解 由题意可知四边形OADB 为平行四边形， ∴OD →＝OA →＋OB →＝a ＋b ， ∴DC →＝OC →－OD →＝c －(a ＋b )＝c －a －b . 又四边形ODHC 为平行四边形， ∴OH →＝OC →＋OD →＝c ＋a ＋b ， ∴BH →＝OH →－OB →＝a ＋b ＋c －b ＝a ＋c .B 级：能力提升练1．设平面向量a 1，a 2，a 3满足a 1－a 2＋a 3＝0，如果平面向量b 1，b 2，b 3满足|b i |＝2|a i |，且a i 顺时针旋转30°后与b i 同向，其中i ＝1,2,3，则b 1－b 2＋b 3＝________.答案 0解析 将a i 顺时针旋转30°后得a i ′，则a 1′－a 2′＋a 3′＝0.又∵b i 与a i ′同向，且|b i |＝2|a i |，∴b 1－b 2＋b 3＝0.2．已知△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，M 是斜边AB 的中点，CM →＝a ，CA →＝b .求证：(1)|a －b |＝|a |； (2)|a ＋(a －b )|＝|b |.证明 因为△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，所以CA ＝CB .又M 是斜边AB 的中点，所以CM ＝AM ＝BM .(1)因为CM →－CA →＝AM →，又|AM →|＝|CM →|， 所以|a －b |＝|a |.(2)因为M 是斜边AB 的中点，所以AM →＝MB →，所以a ＋(a －b )＝CM →＋(CM →－CA →)＝CM →＋AM →＝CM →＋MB →＝CB →，因为|CA →|＝|CB →|， 所以|a ＋(a －b )|＝|b |.。

高中数学人教新课标A版必修4 第二章平面向量 2.2.2 向量减法运算及其几何意义同步练习A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分）在△ABC中，=c，=b．若点D满足=2，则=（）A . +B . -C . -D . +2. （2分）在平行四边形ABCD中，若，则四边形ABCD一定是（）A . 矩形B . 菱形C . 正方形D . 等腰梯形3. （2分）在中，已知，点P时AB的垂直平分线l上任意一点，则（）A . 4B . -4C . 8D . -84. （2分） (2017高一下·上饶期中) 下列算式中不正确的是（）A .B .C .D .5. （2分）下列各式中不能化简为的是（）A . +（ + ）B . （ + ）+（﹣）C . ﹣ +D . + ﹣6. （2分）在中，若，则是（）A . 直角三角形B . 锐角三角形C . 钝角三角形D . 等边三角形7. （2分）已知D为△ABC的边AB上的一点，且 = +λ• ，则实数λ的值为（）A .B . -C .D . -8. （2分） (2018高二上·扶余月考) 在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若，= ， = .则下列向量中与相等的向量是（）A .B .C .D .二、填空题 (共3题；共3分)9. （1分）(2018·衡阳模拟) 如图，在正方形中，，点为的中点，点为的中点，则的值是________10. （1分）已知、是非零向量，若| ﹣ |=| |﹣| |，则，应满足条件________．11. （1分）设正六边形ABCDEF，，则 =________．三、解答题 (共3题；共17分)12. （10分） (2018高一下·宁夏期末) 如图所示，在平面直角坐标系中，锐角和钝角的顶点都在坐标原点，始边都与轴的正半轴重合，终边分别与单位圆交于，两点.（1）若，两点的纵坐标分别为，，求的值；（2）已知点是单位圆上的一点，且，求和的夹角的值.13. （5分）已知平面向量、不平行，=+2，实数x，y满足2x+（5﹣y）=（3y+2）+3x，求x，y的值．14. （2分）化简下列各式：（1） =________；（2） =________．参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共3题；共3分)9-1、10-1、11-1、三、解答题 (共3题；共17分)12-1、12-2、13-1、14-1、14-2、。

课时跟踪检测（十七）向量减法运算及其几何意义层级一学业水平达标1．在三角形ABC中，u u u rBC＝a，u u u rCA＝b，则u u u rAB＝()A．a－b B．b－a C．a＋b D．－a－b解析：选D u u u rAB＝uuu rCB－u u u rCA＝－u u u rBC－u u u rCA＝－a－b.2．在△ABC中，|u u u rAB|＝|u u u rBC|＝|u u u rCA|＝1，则|u u u rBC－u u u rAC|的值为()A．0 B．1 C. 3 D．2解析：选B|u u u rBC－u u u rAC|＝|u u u rBC＋u u u rCA|＝|u u u rBA|＝1.3．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是()A．u u u rEF＝u u u rOF＋u u u rOE B．u u u rEF＝u u u rOF－u u u rOEC．u u u rEF＝－u u u rOF＋u u u rOE D．u u u rEF＝－u u u rOF－u u u rOE解析：选B u u u rEF＝u u u rEO＋u u u rOF＝u u u rOF－u u u rOE.故选B.4．已知一点O到▱ABCD的3个顶点A，B，C的向量分别是a，b，c，则向量u u u r OD等于()A．a＋b＋c B．a－b＋cC．a＋b－c D．a－b－c解析：选B如图，点O到平行四边形的三个顶点A，B，C的向量分别是a，b，c，结合图形有u u u rOD＝uuu rOA＋u u u rAD＝uuu rOA＋u u u rBC＝uuu rOA＋u u u rOC－uuu rOB＝a－b＋c.5．下列各式能化简为u u u rAD的个数是()①(u u u rAB－u u u rDC)－uuu rCB②u u u rAD－(uuu rCD＋u u u rDC)③－(uuu rCD＋u u u u rMC)－(u u u rDA＋u u u u rDM)④－u u u u rBM－u u u rDA＋u u u u rMBA．1 B．2C．3 D．4解析：选C①中，(u u u rAB－u u u rDC)－uuu rCB＝u u u rAB＋uuu rCD＋u u u rBC＝u u u rAB＋u u u rBD＝u u u rAD；②中，u u u rAD－(uuu rCD＋u u u rDC)＝u u u rAD－0＝u u u rAD；③中，－(uuu rCD＋u u u u rMC)－(u u u rDA＋u u u u rDM)＝－u u u u rMD－u u u rDA－u u u u rDM＝u u u u rDM＋u u u rAD－u u u u rDM＝u u u rAD；④中，－u u u u rBM－u u u rDA＋u u u u rMB＝u u u u rMB＋u u u rAD＋u u u u rMB＝u u u rAD＋2u u u u rMB.6．下列四个等式：①a＋b＝b＋a；②－(－a)＝a；③u u u rAB＋u u u rBC＋u u u rCA＝0；④a＋(－a)＝0，其中正确的是______(填序号)．解析：由向量的运算律及相反向量的性质可知①②④是正确的，③符合向量的加法法则，也是正确的．答案：①②③④7．若a，b为相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝__________，|a－b|＝________.解析：若a，b为相反向量，则a＋b＝0，∴|a＋b|＝0，又a＝－b，∴|a|＝|－b|＝1，∵a与－b共线，∴|a－b|＝2.答案：0 28．在△ABC中，D是BC的中点，设u u u rAB＝c，u u u rAC＝b，u u u rBD＝a，u u u rAD＝d，则d－a＝______，d＋a＝______.解析：根据题意画出图形，如图所示，则d－a＝u u u rAD－u u u rBD＝u u u rAD＋u u u rDB＝u u u rAB＝c；d＋a＝u u u rAD＋u u u rBD＝u u u rAD＋u u u rDC＝u u u rAC＝b.答案：c b 9．化简：(1)u u u u rMN－u u u u rMP＋uuu rNQ－uuu rPQ；(2)u u u rBD＋u u u rDC＋u u u rAB－u u u rAC.解：(1)u u u u rMN－u u u u rMP＋uuu rNQ－uuu rPQ＝(u u u u rMN＋uuu rNQ)－(u u u u rMP＋uuu rPQ)＝u u u u rMQ－u u u u rMQ＝0.(2)u u u rBD＋u u u rDC＋u u u rAB－u u u rAC＝(u u u rBD＋u u u rDC)＋(u u u rAB－u u u rAC)＝u u u rBC＋uuu rCB＝0.10．设O是△ABC内一点，且uuu rOA＝a，uuu rOB＝b，u u u rOC＝c，若以线段OA，OB为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以OC，OD为邻边作平行四边形，其第四个顶点为H.试用a，b，c表示u u u rDC，u u u u rOH，u u u u rBH.解：由题意可知四边形OADB为平行四边形，∴u u u rOD＝uuu rOA＋uuu rOB＝a＋b，∴u u u rDC＝u u u rOC－u u u rOD＝c－(a＋b)＝c－a－b.又四边形ODHC为平行四边形，∴u u u u rOH＝u u u rOC＋u u u rOD＝c＋a＋b，∴u u u u rBH＝u u u u rOH－uuu rOB＝a＋b＋c－b＝a＋c.层级二应试能力达标1．已知uuu rOA＝a，uuu rOB＝b，u u u rOC＝c，u u u rOD＝d，且四边形ABCD为平行四边形，则()A．a＋b＋c＋d＝0B．a－b＋c－d＝0 C．a＋b－c－d＝0 D．a－b－c＋d＝0 解析：选B如图，a－b＝uuu rOA－uuu rOB＝u u u rBA，c－d＝u u u rOC－u u u rOD＝u u u rDC，又四边形ABCD为平行四边形，则u u u rBA＝uuu rCD，即u u u rBA－uuu rCD＝0，所以u u u rBA＋u u u rDC＝0，即a－b＋c－d＝0.故选B.2．平面上有三点A，B，C，设m＝u u u rAB＋u u u rBC，n＝u u u rAB－u u u rBC，若m，n的长度恰好相等，则有()A．A，B，C三点必在同一直线上B．△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角C．△ABC必为直角三角形且∠B＝90°D．△ABC必为等腰直角三角形解析：选C∵|m|＝|n|，u u u rAB＋u u u rBC＝u u u rAB－uuu rCB，u u u rAB－u u u rBC＝u u u rAB＋uuu rCB，∴|u u u r AB －uuu r CB |＝|u u u r AB ＋uuu r CB |，如图．即▱ABCD 的对角线相等，∴▱ABCD 是矩形，∴∠B ＝90°，选C.3．在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，|u u u r AB |＝2，则|u u u r BC ＋u u u r DC |＝( ) A. 3B ．2 3 C. 2 D ．2 2解析：选B 如图，设菱形对角线交点为O ，∵u u u r BC ＋u u u r DC ＝u u u r AD ＋u u u r DC ＝u u u r AC ，∠DAB ＝60°，∴△ABD 为等边三角形．又∵AB ＝2，∴OB ＝1.在Rt △AOB 中，|u u u r AO |＝|AB ―→|2－|OB ―→|2＝3，∴|u u u r AC |＝2|u u u r AO |＝2 3.4．已知△ABC 为等腰直角三角形，且∠A ＝90°，给出下列结论： (1)|u u u r AB －u u u r AC |＝|u u u r AB ＋u u u r AC |； (2)|u u u r BC －u u u r BA |＝|uuu r CB －u u u r CA |； (3)|u u u r AB －uuu r CB |＝|u u u r AC －u u u r BC |； (4)|u u u r AB －u u u r AC |2＝|u u u r BC －u u u r AC |2＋|uuu r CB －u u u r AB |2.其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D 如图，以AB ，AC 为邻边作平行四边形ABDC ，则它是正方形，根据向量加减法的几何意义可知题中四个结论都正确．5.如图，已知ABCDEF 是一正六边形，O 是它的中心，其中uuu r OB ＝b ，u u u r OC ＝c ，则u u u r EF 等于________． 解析：u u u r EF ＝uuu r OA ＝uuu r CB ＝uuu r OB －u u u r OC ＝b －c .答案：b －c6．对于向量a ，b ，当且仅当____________________________________________时，有|a －b |＝||a |－|b ||.解析：当a ，b 不同向时，根据向量减法的几何意义，知一定有|a －b |＞||a |－|b ||，所以只有两向量共线且同向时，才有|a －b |＝||a |－|b ||.答案：a 与b 同向7.如图，已知uuu r OA ＝a ，uuu r OB ＝b ，u u u r OC ＝c ，u u u r OD ＝d ，u u u r OE ＝e ，u u u r OF ＝f ，试用a ，b ，c ，d ，e ，f 表示以下向量： (1)u u u r AC ；(2)u u u r AD ；(3)u u u r DF ＋u u u r FE ＋u u u r ED . 解：(1)u u u r AC ＝u u u r OC －uuu r OA ＝c －a .(2)u u u r AD ＝u u u r AO ＋u u u r OD ＝－uuu r OA ＋u u u r OD ＝－a ＋d .(3)u u u r DF ＋u u u r FE ＋u u u r ED ＝u u u r DO ＋u u u r OF ＋u u u r FO ＋u u u r OE ＋u u u r EO ＋u u u r OD ＝0.8.如图所示，已知正方形ABCD 的边长等于1，u u u r AB ＝a ，u u u r BC ＝b ，u u u r AC＝c ，试作出下列向量，并分别求出其长度：(1)a ＋b ＋c .(2)a －b ＋c .解：(1)由已知得a ＋b ＝u u u r AB ＋u u u r BC ＝u u u r AC ＝c ，所以延长AC 到E ，使|uuu r CE |＝|u u u r AC |.则a ＋b ＋c ＝u u u r AE ，且|u u u r AE |＝2 2.所以|a ＋b ＋c |＝2 2.(2)作u u u r BF ＝u u u r AC ，连接CF ，则u u u r DB ＋u u u r BF ＝u u u r DF ，而u u u r DB ＝u u u r AB －u u u r AD ＝a －b ，所以a －b ＋c ＝u u u r DB ＋u u u r BF ＝u u u r DF ，且|u u u r DF |＝2，所以|a －b ＋c |＝2.。

第二章平面向量2.2 平面向量的线性运算 2.2.2 向量减法运算及其几何意义课后篇巩固探究1.四边形ABCD 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,则四边形ABCD 是( )A.平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故四边形是平行四边形.根据向量加法和减法的几何意义可知,该平行四边形的对角线相等,故为矩形.2.已知ABCDEF 是一个正六边形,O 是它的中心,其中OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c,则EF ⃗⃗⃗⃗ =( )A.a+bB.b-aC.c-bD.b-c=CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b-c.3.下列不能化简为PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 的是( ) A.QC ⃗⃗⃗⃗⃗ −QP ⃗⃗⃗⃗⃗ +CQ⃗⃗⃗⃗⃗ B.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BQ⃗⃗⃗⃗⃗ ) C.(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗ )+(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −QC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) D.PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −BQ ⃗⃗⃗⃗⃗项中,PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ −BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ≠PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故选D.4.如图,点D,E,F 分别是△ABC 的边AB,BC,CA 的中点,则 ( )A.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗ =0B.BD ⃗⃗⃗⃗⃗ −CE ⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0C.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗ −CF ⃗⃗⃗⃗ =0D.BD ⃗⃗⃗⃗⃗ −BE ⃗⃗⃗⃗⃗ −FC⃗⃗⃗⃗ =0AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF⃗⃗⃗⃗⃗ +FA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以A 项正确.5.平面上有三点A,B,C,设m=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,若m,n 的长度恰好相等,则有( )A.A,B,C 三点必在同一条直线上B.△ABC 必为等腰三角形,且∠B 为顶角C.△ABC 必为直角三角形,且∠B=90°D.△ABC 必为等腰直角三角形,因为m,n 的长度相等,所以|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,即|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BD⃗⃗⃗⃗⃗ |, 所以ABCD 是矩形,故△ABC 是直角三角形,且∠B=90°.6.若四边形ABCD 为正方形,且边长为2,则|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |= .AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )|=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2.7.如图,已知O 为平行四边形ABCD 内一点,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c,则OD ⃗⃗⃗⃗⃗ = .AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC⃗⃗⃗⃗⃗ , 则OD ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+c-b.8.如图,在正六边形ABCDEF 中,与OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量有 . ①CF ⃗⃗⃗⃗ ;②AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ;③BE⃗⃗⃗⃗⃗ ; ④DE ⃗⃗⃗⃗⃗ −FE ⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ;⑤CE ⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ; ⑥CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ;⑦AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE⃗⃗⃗⃗⃗ .ACDF 是平行四边形,所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CF ⃗⃗⃗⃗ ,DE ⃗⃗⃗⃗⃗ −FE ⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EF ⃗⃗⃗⃗ =CF ⃗⃗⃗⃗ ,CE ⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗ =BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =DA ⃗⃗⃗⃗⃗ .因为四边形ABDE 是平行四边形, 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ .综上知与OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量是①④.9.已知向量a,b 满足|a|=1,|b|=2,|a-b|=2,则|a+b|的值为 .,在平面内任取一点A,作AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AB⃗⃗⃗⃗⃗ =b,以AD,AB 为邻边作▱ABCD, 则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+b,BD⃗⃗⃗⃗⃗ =a-b. 由题意,知|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1.过点B 作BE ⊥AD 于点E,过点C 作CF ⊥AB 交AB 的延长线于点F. 因为AB=BD=2,所以AE=ED=12AD=12.在Rt △ABE 中,cos ∠EAB=AEAB=14.易知∠CBF=∠EAB,所以cos ∠CBF=14. 所以BF=BC·cos∠CBF=1×14=14.所以CF=√154. 所以AF=AB+BF=2+14=94.在Rt △AFC 中,AC=√AF 2+CF 2=√8116+1516=√6,所以|a+b|=√6.√6 10.如图,在四边形ABCD 中,对角线AC,BD 交于点O,且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,cos ∠DAB=12,求|DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |与|CD⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |.OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DO ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴四边形ABCD 为平行四边形. 又|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1, ∴▱ABCD 为菱形.∵cos ∠DAB=12,∠DAB ∈(0,π),∴∠DAB=π3,∴△ABD 为正三角形.∴|DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|AO ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3, |CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1. 11.如图,在▱ABCD 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b.(1)当a,b 满足什么条件时,a+b 与a-b 所在的直线互相垂直? (2)a+b 与a-b 有可能为相等向量吗?为什么?AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+b,DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =a-b.若a+b 与a-b 所在的直线互相垂直,则AC ⊥BD. 因为当|a|=|b|时,四边形ABCD 为菱形,此时AC ⊥BD, 故当a,b 满足|a|=|b|时,a+b 与a-b 所在的直线互相垂直. (2)不可能.因为▱ABCD 的两对角线不可能平行,所以a+b 与a-b 不可能为共线向量,更不可能为相等向量.。

高中数学人教新课标A版必修4 第二章平面向量 2.2.2 向量减法运算及其几何意义同步测试共 14 题一、选择题1、若是平面上不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（）A. B.C. D.2、在平行四边形中，等于（）A. B.C. D.3、如图，已知是一正六边形，是它的中心，其中，，，则等于（）A. B.C. D.4、已知向量是单位向量，点是的中点，点为任意一点，则等于（）A. B.C. D.5、如图，在四边形中，设，，，则等于（）A. B.C. D.6、下列各式：①；②；③；④ .其中结果为零向量的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个7、若是△内一点，，则是△的（）A.垂心B.重心C.内心D.外心8、平面内有三点，设，，若，则有（）A.三点必在同一直线上B.△必为等腰三角形且为顶角C.△必为直角三角形且D.△必为等腰直角三角形二、填空题9、若菱形的边长为，则 ________．10、梯形中，，与交于点，则 ________．11、已知，，则的取值范围是________．三、解答题12、化简：(1)；(2) .13、已知△为等腰直角三角形，，为斜边的中点，， .求证：(1)；(2) .14、如图所示，为△的外心，为垂心，求证： .参考答案一、选择题1、【答案】B【解析】【解答】由向量的减法知，故答案为：B.【分析】根据题意利用向量的减法运算法则两个向量相减，首先两个向量要有相同的起点，差向量由第二个向量的终点指向第一个向量的终点。

2、【答案】D【解析】【解答】，又，故答案为：D.【分析】根据题意利用向量的减法运算法则两个向量相减，首先两个向量要有相同的起点，差向量由第二个向量的终点指向第一个向量的终点即可得出结果。

3、【答案】D【解析】【解答】．故答案为：D【分析】根据题意结合向量相等的定义以及向量的减法运算法则即可得出结论。

4、【答案】A【解析】【解答】由于，，故答案为：A.【分析】根据题意利用向量减法的运算法则两个向量相减，首先两个向量要有相同的起点，差向量由第二个向量的终点指向第一个向量的终点即可得出结果。

【优化指导】2015年高中数学 2.2.2向量减法运算及其几何意义课时跟踪检测 新人教A 版必修41．四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BC →＝c ，则DC →＝( )A ．a －b ＋cB ．b －(a ＋c )C ．a ＋b ＋cD ．b －a ＋c解析：DC →＝DA →＋AB →＋BC →＝－AD →＋AB →＋BC →＝a －b ＋c . 答案：A2．如图在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是( )A.AB →＝DC →B.AD →＋AB →＝AC →C.AB →－AD →＝BD →D.AD →＋CB →＝0解析：AB →－AD →＝DB →，故C 项错． 答案：C3．已知a ，b ，c 是非零向量，则(a ＋c )＋b ，b ＋(a ＋c )，b ＋(c ＋a )，c ＋(a ＋b )，c ＋(b ＋a )中，与向量a ＋b ＋c 相等的个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．2 解析：依据向量加法的交换律及结合律，每个向量式均与a ＋b ＋c 相等，故选A. 答案：A4.如图，AB →＋BC →－AD →等于( ) A.AD →B.DC →C.DB →D.AB →解析：AB →＋BC →－AD →＝AB →－AD →＋BC →＝DB →＋BC →＝DC →. 答案：B5．若a ，b 为非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则( ) A ．a ∥b ，且a 与b 方向相同 B ．a ，b 是共线向量 C ．a ＝－bD ．a ，b 无论什么关系均可解析：当a 与b 不共线时，一定有|a ＋b |＜|a |＋|b |；当a 与b 共线且同向时，有|a ＋b |＝|a |＋|b |.选A.答案：A6.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 与BD 交于O 点，则BA →－BC →－OA →＋OD →＋DA →＝________.解析：由题图知BA →－BC →－OA →＋OD →＋DA →＝CA →－OA →＋OA →＝CA →. 答案：CA →7．已知菱形ABCD 边长都是2，求向量AB →－CB →＋CD →的模． 解：如图，∵AB →－CB →＋CD →＝AB →＋BC →＋CD →＝AD →， ∴|AB →－CB →＋CD →|＝|AD →|＝2.8．平面内有四边形ABCD 和点O ，若OA →＋OC →＝OB →＋OD →，则四边形ABCD 的形状是( ) A ．梯形 B ．平行四边形 C ．矩形D ．菱形解析：因为OA →＋OC →＝OB →＋OD →，所以OA →－OB →＝OD →－OC →，即BA →＝CD →.又A ，B ，C ，D 四点不共线，所以|BA →|＝|CD →|，且BA ∥CD .故四边形ABCD 为平行四边形．答案：B9．若O 是△ABC 内一点，OA →＋OB →＋OC →＝0，则O 是△ABC 的( ) A ．内心 B ．外心 C ．重心D ．垂心解析：如下图，以OB →，OC →为邻边作平行四边形OBDC ，则OD →＝OB →＋OC →，又OA →＋OB →＋OC →＝0.∴OB →＋OC →＝－OA →.∴OD →＝－OA →.∴A ，O ，D 三点共线．设OD 与BC 的交点为E ，则E 是BC 的中点，∴AE 是△ABC 的中线．同理可证BO ，CO 都在△ABC 的中线上，∴O 是△ABC 的重心． 答案：C10．给出以下五个命题： ①|a |＝|b |，则a ＝b ；②任一非零向量的方向都是唯一的； ③|a |－|b |＜|a ＋b |；④若|a |－|b |＝|a |＋|b |，则b ＝0；⑤已知A ，B ，C 是平面上任意三点，则AB →＋BC →＋CA →＝0. 其中正确的命题是________．(填序号)解析：由|a |＝|b |，得不到a ＝b ，因为两个向量相等需要模相等，方向相同，故①不正确；若b ＝0，|a |－|b |＝|a ＋b |，故③不正确，其他均正确． 答案：②④⑤11．在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，先用a ，b 表示向量AC →和DB →，并回答：当a ，b 分别满足什么条件时，四边形ABCD 为矩形、菱形、正方形？解：由向量加法的平行四边形法则，得AC →＝a ＋b ，DB →＝AB →－AD →＝a －b .当a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |时，平行四边形的两条对角线相等，四边形ABCD 为矩形； 当a ，b 满足|a |＝|b |时，平行四边形的两条邻边相等，四边形ABCD 为菱形； 当a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |且|a |＝|b |时，四边形ABCD 为正方形．12．已知△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，M 为斜边AB 的中点，CM →＝a ，CA →＝b .求证：(1)|a －b |＝|a |； (2)|a ＋(a －b )|＝|b |.证明：如图，在等腰Rt △ ABC 中，由M 是斜边AB 的中点，有|CM →|＝|AM →|，|CA →|＝|CB →|.(1)在△ACM 中，AM →＝CM →－CA →＝a －b . 于是由|AM →|＝|CM →|，得|a －b |＝|a |. (2)在△MCB 中，MB →＝AM →＝a －b ， 所以CB →＝MB →－MC →＝a －b ＋a ＝a ＋(a －b )． 从而由|CB →|＝|CA →|， 得|a ＋(a －b )|＝|b |.13．三个大小相同的力a ，b ，c 作用在同一物体P 上，使物体P 沿a 方向做匀速运动，设PA →＝a ，PB →＝b ，PC →＝c ，判断△ABC 的形状．解：由题意得|a |＝|b |＝|c |，由于合力作用后做匀速运动，故合力为0，即a ＋b ＋c ＝0.所以a ＋c ＝－b .如图，作平行四边形APCD 为菱形．PD →＝a ＋c ＝－b .所以∠APC ＝120°.同理：∠APB ＝∠BPC ＝120°. 又因为|a |＝|b |＝|c |， 所以△ABC 为等边三角形．1．向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，－AB →＝BA →就可以把减法转化为加法．即：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．如a －b ＝a ＋(－b )．2．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减数”．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆．3．以平行四边形ABCD 的两邻边AB 、AD 分别表示向量AB →＝a ，AD →＝b ，则两条对角线表示的向量为AC →＝a ＋b ，BD →＝b －a ，DB →＝a －b ，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并记住．。

解析：由向量加法的三角形法则知 肚--：厂* W 故①正确.答案:Dc.PQ 高中数学第二章平面向量222向量减法运算及其几何意义课后习题新人教A 版必修41. （2016 •广东揭阳惠来一中检测 ）化简-空■■:的结果是（）A.0B.2丿C.-2JD.2 解析：根据平面向量的加法与减法运算法则 I I I I I II I,得BC + AB ― AC =(4艮 + )_沖£ = AC - AC =0.答案:A 2. Af 可以写成：①AO + 0C ；②山° - 0C ；③OA - 0C ；曲£ 一 0A .其中正确的是（） A.①②B.②③C.③④D.①④由向量减法的三角形法则知]AC = OC~OA,故④正确.3. （2016 •陕西渭南阶段性测试 IAB + BC |+| AB — AD1=(A.4B.2解析：T 正方形ABCD 勺边长为 1,答案:D4.如图，P, 0是厶ABC 勺边BC 上的两点，A.0B. BPD.）已知正方形 ABCD 勺边长为1,则|C.D.2I Ii i i r解析：眉B + AQ =（片E -ZP ）+（Kf -百Q ）字B += Q£-BP =o .答案:A 5.化简以下各式： I r I i i i .①AB + BC + CA ；②i4£? - AC 4- BD - CD ］；③百二 0D 、+ AD . 结果为零向量的个数是（ ）A.1B.2C.3D.0I IIII I解析：①：厂-；.-；「 J l"=0;I i i I i i I i ~~I I i T i②_ U 亠■":广-：：「=（■：'）-（■：■■（：）=」） -1.=0；III③0A-OD + AD =（0M + AD ）_OD = 0D- OD =0答案:C6. _______________________________________________________________________ 已知 °^=a, °^=b,若| °州=12, | °坷=5,且/ AOB=0° ,则 | a - b | 的值为 _________________________________答案:137.如图，在厶ABC 中 ,若D 是边BC 的中点，E 是边AB 上一点，II II II II I|解析:BE - DC + ED 二 BE + CD + ED = BE + ED + CD = BD + CD 因为BD 4- C D =° 所以 ；:;丄-厂 4 二 / '=0 答案:0B.2D.0 I E + BC + CA = AC + CA = AC~解析：OAOBAB 构成了一个直角三角形 J ab 2 = J122 + 52,则 | a - b |=13.B8.如图，已知O为平行四边形ABC□内一点，°A=a,°E=b,°C=c,贝2。

§2.2.2 向量减法运算及其几何意义 【知识梳理、双基再现】1、相反向量：规定与a __________________________的向量，叫做a 的相反向量，记作_____________，向量a 与a -互为相反向量，于是___________________________。

任一向量与其相反向量的和是___________，即+-=-+()_______________,()__a a a a 2、向量的减法 我们定义，减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量，即+ab 是互为相反的向量，那么a =______________，b =_________________，+a b =________________________。

3、向量减法的几何意义： 已知a ，b ，在平面内任取一点O ，作==,OA a OB b ，则__________=-a b ，即-a b 可以表示为从向量_________________的终点指向向量_____________的终点的向量，如果向量a 的终点，到b 的终点作向量那么得向量是__________________【小试身手、轻松过关】1、在菱形ABCD 中，下列各式中不成立的是（ ）A ．-=AC AB BC B ．-=AD BD ABC ．-=BD AC BC D ．-=BD CD BC2、下列各式中结果为O 的有（ ）①++AB BC CA ②+++OA OC BO CO③-+-AB AC BD CD ④+-+MN NQ MP QPA ．①②B ．①③C ．①③④D ．①②③3、下列四式中可以化简为AB 的是（ ）①+AC CB ②-AC CB ③+OA OB ④-OB OAA ．①④B ．①②C ．②③D ．③④4、在下面各式中，不能化简为AD 的是（ ）A ．++()AB CD BC B ．+++()()AD MB BC CMC ．+-MB AD BM D ．-+OC OA CD【基础训练、锋芒初显】5、在△ABC 中，向量BC 可表示为（ ）①-AB AC ②-AC AB ③+BA AC ④-BA CAA ．①②③B ．①③④C ．②③④D ．①②④6、已知ABCDEF 是一个正六边形，O 是它的中心，其中===,,OA a OB b OC c 则EF =（ ）A ．a b +B ．b a -C ．-c bD ．-b c7、当C 是线段AB 的中点，则AC BC +=（ ）A ．AB B ．BAC ．ACD ．O8、在平行四边形ABCD 中，BC CD AD +-等于（ ）A ．BAB ．BDC ．ACD ．AB 【举一反三、能力拓展】9、化简：AB DA BD BC CA ++--=_______________。

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2.2.2 向量减法运算及其几何意义课时目标1。

理解向量减法的法则及其几何意义。

2.能运用法则及其几何意义，正确作出两个向量的差．向量的减法（1)定义:a－b＝a＋（－b）,即减去一个向量相当于加上这个向量的__________．（2)作法:在平面内任取一点O，作错误!＝a，错误!＝b，则向量a－b＝________。

如图所示．（3)几何意义：如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为________，被减向量的终点为________的向量．例如：错误!－错误!＝________。

一、选择题1。

在如图四边形ABCD中，设错误!＝a，错误!＝b,错误!＝c,则错误!等于( ）A．a－b＋cB．b－（a＋c)C．a＋b＋cD．b－a＋c2．化简错误!－错误!＋错误!＋错误!的结果等于( )A。

错误! B.错误! C.错误! D.错误!3．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（)A。

错误!＝错误!＋错误! B。

错误!＝错误!－错误!C。

错误!＝－错误!＋错误! D.错误!＝－错误!－错误!4．在平行四边形ABCD中，｜错误!＋错误!|＝｜错误!－错误!｜，则有( ）A. 错误!＝0B. 错误!＝0或错误!＝0C．ABCD是矩形 D．ABCD是菱形5．若|错误!｜＝5，|错误!|＝8，则|错误!|的取值范围是( )A．［3,8］ B．（3,8）C．[3,13］ D．(3，13)6．边长为1的正三角形ABC中,｜错误!－错误!|的值为( )A．题号123456答案7。

课时跟踪检测（三） 向量的减法运算A 级——学考合格性考试达标练1．设b 是a 的相反向量，则下列说法错误的是( )A ．a 与b 的长度必相等B ．a ∥bC ．a 与b 一定不相等D ．a 是b 的相反向量解析：选C 根据相反向量的定义可知，C 错误，因为0与0互为相反向量，但0与0相等．故选C.2.如图，AB ―→＋BC ―→－AD ―→等于( )A.AD ―→B.DC ―→C.DB ―→D.AB ―→解析：选B AB ―→＋BC ―→－AD ―→＝AB ―→－AD ―→＋BC ―→＝DB ―→＋BC ―→＝DC ―→.故选B.3．[多选]下列结果为零向量的是( )A.AB ―→－(BC ―→＋CA ―→)B.AB ―→－AC ―→＋BD ―→－CD ―→C.OA ―→－OD ―→＋AD ―→D.NO ―→＋OP ―→＋MN ―→－MP ―→解析：选BCD A 项，AB ―→－(BC ―→＋CA ―→)＝AB ―→－BA ―→＝2AB ―→；B 项，AB ―→－AC ―→＋BD ―→－CD ―→＝CB ―→＋BC ―→＝0；C 项，OA ―→－OD ―→＋AD ―→＝DA ―→＋AD ―→＝0；D 项，NO ―→＋OP ―→＋MN ―→－MP ―→＝NP ―→＋PN ―→＝0.故选B 、C 、D.4．已知O 是平面上一点，OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ，OD ―→＝d ，且四边形ABCD 为平行四边形，则( )A ．a ＋b ＋c ＋d ＝0B ．a －b ＋c －d ＝0C ．a ＋b －c －d ＝0D ．a －b －c ＋d ＝0解析：选B 易知OB ―→－OA ―→＝AB ―→，OC ―→－OD ―→＝DC ―→，而在平行四边形ABCD 中有AB ―→＝DC ―→，所以OB ―→－OA ―→＝OC ―→－OD ―→，即b －a ＝c －d ，也即a －b ＋c －d ＝0.故选B.5．边长为1的正三角形ABC 中，|AB ―→－BC ―→|的值为( )A ．1B ．2 C.32 D. 3解析：选D 如图延长AB 到D .使AB ＝BD .∴AB ―→＝BD ―→∴|AB ―→－BC ―→|＝|BD ―→－BC ―→|＝|CD ―→|因△ABC 为边长为1的正三角形．∴∠ABC ＝60°，∴∠D ＝∠BCD ＝30°，∴△ABD 为直角三角形，∴|DC ―→|＝|AD ―→|2－|AC ―→|2＝3，∴|AB ―→－BC ―→|＝ 3.故选D.6．下列四个等式：①a ＋b ＝b ＋a ；②－(－a )＝a ；③AB ―→＋BC ―→＋CA ―→＝0；④a ＋(－a )＝0.其中正确的是______(填序号)．解析：由向量的运算律及相反向量的性质可知①②④是正确的，③符合向量的加法法则，也是正确的．答案：①②③④7.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 与BD 交于O 点，则BA ―→－BC ―→－OA ―→＋OD ―→＋DA ―→＝________.解析：由题图知BA ―→－BC ―→－OA ―→＋OD ―→＋DA ―→＝CA ―→－OA ―→＋OA ―→＝CA ―→.答案：CA ―→8．若a ，b 为相反向量，且|a |＝1，|b |＝1，则|a ＋b |＝________，|a －b |＝________. 解析：若a ，b 为相反向量，则a ＋b ＝0，∴|a ＋b |＝0，又a ＝－b ，∴|a |＝|－b |＝1，∵a 与b 共线，∴|a －b |＝2.答案：0 29．已知菱形ABCD 的边长为2，求向量AB ―→－CB ―→＋CD ―→的模．解：如图，∵AB ―→－CB ―→＋CD ―→＝AB ―→＋BC ―→＋CD ―→＝AD ―→，∴|AB ―→－CB ―→＋CD ―→|＝|AD ―→|＝2.10．如图，已知向量a 和向量b ，用三角形法则作出a －b ＋a .解：作法：作向量OA ―→＝a ，向量OB ―→＝b ，则向量BA ―→＝a －b .如图所示；作向量AC ―→＝a ，则BC ―→＝a －b ＋a .B 级——面向全国卷高考高分练1.在如图所示的四边形ABCD 中，设AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，BC ―→＝c ，则DC ―→＝( )A ．a －b ＋cB ．b －(a ＋c )C ．a ＋b ＋cD ．b －a ＋c解析：选A DC ―→＝－AD ―→＋AB ―→＋BC ―→＝－b ＋a ＋c ＝a －b ＋c .故选A.2．在平面上有A ，B ，C 三点，设m ＝AB ―→＋BC ―→，n ＝AB ―→－BC ―→，若m 与n 的长度恰好相等，则有( )A ．A ，B ，C 三点必在一条直线上B ．△ABC 必为等腰三角形且∠B 为顶角C ．△ABC 必为直角三角形且∠B 为直角D ．△ABC 必为等腰直角三角形解析：选C 以BA ―→，BC ―→为邻边作平行四边形，则m ＝AB ―→＋BC―→＝AC ―→，n ＝AB ―→－BC ―→＝AB ―→－AD ―→＝DB ―→，由m ，n 的长度相等可知，两对角线相等，因此平行四边形一定是矩形．故选C.3．已知向量|a |＝2，|b |＝4，且a ，b 不是方向相反的向量，则|a －b |的取值范围是( )A ．(2,6)B ．[2,6)C ．(2,6]D ．[2,6]解析：选B 由已知必有||a |－|b ||≤|a －b |＜|a |＋|b |，则所求的取值范围是[2, 6)．故选B.4．若O 是△ABC 内一点，OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＝0，则O 是△ABC 的( )A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心解析：选C 如图，以OB ―→，OC ―→为邻边作平行四边形OBDC ，则OD ―→＝OB ―→＋OC ―→. 又OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＝0，∴OB ―→＋OC ―→＝－OA ―→，∴OD ―→＝－OA ―→，∴A ，O ，D 三点共线．设OD 与BC 的交点为E ，则E 是BC 的中点，∴AE 是△ABC 的中线．同理可证BO ，CO 都在△ABC 的中线上，∴O 是△ABC 的重心．故选C.5.如图，在△ABC 中，若D 是边BC 的中点，E 是边AB 上一点，则BE ―→－DC ―→＋ED ―→＝________.解析：BE ―→－DC ―→＋ED ―→＝BE ―→＋ED ―→＋CD ―→＝BD ―→＋CD ―→，因为BD ―→＋CD ―→＝0，所以BE ―→－DC ―→＋ED ―→＝0.答案：06．设平面向量a 1，a 2，a 3满足a 1－a 2＋a 3＝0，如果平面向量b 1，b 2，b 3满足|b i |＝2|a i |，且a i 顺时针旋转30°后与b i 同向，其中i ＝1,2,3，则b 1－b 2＋b 3＝________.解析：将a i 顺时针旋转30°后得a i ′，则a 1′－a 2′＋a 3′＝0.又∵b i 与a i ′同向，且|b i |＝2|a i |，∴b 1－b 2＋b 3＝0.答案：07.如图，在▱ABCD 中，AB ―→＝a ，AD ―→＝b .(1)当a ，b 满足什么条件时，a ＋b 与a －b 所在的直线互相垂直？(2)a ＋b 与a －b 有可能为相等向量吗？为什么？解：(1)AC ―→＝AB ―→＋AD ―→＝a ＋b ，DB ―→＝AB ―→－AD ―→＝a －b .若a ＋b 与a －b 所在的直线互相垂直，则AC ⊥BD .因为当|a |＝|b |时，四边形ABCD 为菱形，此时AC ⊥BD ，故当a ，b 满足|a |＝|b |时，a ＋b 与a －b 所在的直线互相垂直．(2)不可能．因为▱ABCD 的两对角线不可能平行，所以a ＋b 与a －b 不可能为共线向量，更不可能为相等向量．C 级——拓展探索性题目应用练三个大小相同的力a ，b ，c 作用在同一物体P 上，使物体P 沿a 方向做匀速运动，设P A―→＝a ，PB ―→＝b ，PC ―→＝c ，判断△ABC 的形状．解：由题意得|a |＝|b |＝|c |，由于合力作用后做匀速运动，故合力为0，即a ＋b ＋c ＝0.所以a ＋c ＝－b .如图，作平行四边形APCD 为菱形．PD ―→＝a ＋c ＝－b ，所以∠APC ＝120°.同理∠APB ＝∠BPC ＝120°.又因为|a |＝|b |＝|c |，所以△ABC 为等边三角形．。