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重叠问题---趣味数学
例：某小学二（1）班人人都参加课外活动，有20人参加数学兴趣班，有25人参加作文兴趣班，其中5人两项都参加，问二（1）班共有多少人？
动脑筋：图中左圈中表示数学兴趣班的人数，右圈表示作文兴趣班的人数，两圈重叠的部份（即图中阴影部份），表示两项都参加的人数。
从图中可以看出，两项都参加的5人被算了2次，重复了。
所以要从两组共有的人数中减去重复的5人。
列式如下：
20+25=45（人）45-5=40（人）
答：二（1）班共有40人。
我会啦！
1、二（2）班同学人人都订阅报纸，订《数学报》的有38人，订
《中国儿童报》的有30人，其中8人这两种都订，问二（2）
班共有多少人？
2、老师出了两组题给全班45名同学做，做对第一组有38人，做
对第二组的有42人，两组题全做对的有多少名同学？
数独-----九宫格。
2022-2023学年小学三年级思维拓展举一反三精编讲义专题09 重叠问题知识精讲专题简析：三（1）班准备给参加班级绘画比赛的16位同学和参加朗读比赛的12位同学每人发一份纪念品，当中队长玲玲将28份纪念品发下去时，却多出5份，这是怎么回事？对了，因为有5位同学既参加了绘画比赛，又参加了朗读比赛，所以奖品就多出了5份。
数学中，我们将这样的问题称为重叠问题。
解答重叠问题要用到数学中的一个重要原理——包含与排除原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
解答重叠问题的应用题，必须从条件入手进行认真的分析，有时还要画出图示，借助图形进行思考，找出哪些是重复的，重复了几次？明确求的是哪一部分，从而找出解答方法。
典例分析【典例分析01】六一儿童节，学校门口挂了一行彩旗。
小张从前数起，红旗是第8面；从后数起，红旗是第10面。
这行彩旗共多少面？【思路引导】根据题意，画出下图：8面10面面从图上可以看出，从前数起红旗是第8面，从后数起是第10面，这样红旗就数了两次，重复了一次，所以这行彩旗共有8＋10－1=17面。
【典例分析02】同学们排队做操，每行人数同样多。
小明的位置从左数起是第4个，从右数起是第3个，从前数起是第5个，从后数起是第6个。
做操的同学共有多少个？【思路引导】根据题意，画出下图：由图可看出：小明的位置从左数第4个，右数第3个，说明横行有4＋3－1=6个人；从前数第5个，从后数第6个，说明竖行有5＋6－1=10人，所以做操的同学共有：6×10=60人。
【典例分析03】 把两块一样长的木板像下图这样钉在一起成了一块木板。
如果这块钉在一起的木板长120厘米，中间重叠部分是16厘米，这两块木板各长多少厘米？【思路引导】把等长的两块木板的一端钉起来，钉在一起的长度就是重叠部分，重叠的部分是16厘米，所以这两块木板的总长度是120＋16=136厘米，每块木板的长度是136÷2=68厘米。
第十八周重叠问题专题简析：三（1）班准备给参加班级绘画比赛的16位同学和参加朗读比赛的12位同学每人发一份纪念品，当中队长玲玲将28份纪念品发下去时，却多出5份，这是怎么回事？对了，因为有5位同学既参加了绘画比赛，又参加了朗读比赛，所以奖品就多出了5份。
数学中，我们将这样的问题称为重叠问题。
解答重叠问题要用到数学中的一个重要原理——包含与排除原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
解答重叠问题的应用题，必须从条件入手进行认真的分析，有时还要画出图示，借助图形进行思考，找出哪些是重复的，重复了几次？明确求的是哪一部分，从而找出解答方法。
例题1 六一儿童节，学校门口挂了一行彩旗。
小张从前数起，红旗是第8面；从后数起，红旗是第10面。
这行彩旗共多少面？思路导航：根据题意，画出下图：面10面8面从图上可以看出，从前数起红旗是第8面，从后数起是第10面，这样红旗就数了两次，重复了一次，所以这行彩旗共有8＋10－1=17面。
练习一1，小朋友排队做操，小明从前数起排在第4个，从后数起排在第7个。
这队小朋友共有多少人？2，学校组织看文艺演出，冬冬的座位从左数起是第12个，从右数起是第21个。
这一行座位有多少个？3，同学们排队去参观展览，无论从前数还是从后起起，李华都排在第8个。
这一排共有多少个同学？例题2 同学们排队做操，每行人数同样多。
小明的位置从左数起是第4个，从右数起是第3个，从前数起是第5个，从后数起是第6个。
做操的同学共有多少个？思路导航：根据题意，画出下图：右左后前由图可看出：小明的位置从左数第4个，右数第3个，说明横行有4＋3－1=6个人；从前数第5个，从后数第6个，说明竖行有5＋6－1=10人，所以做操的同学共有：6×10=60人。
练习二1，同学们排队跳舞，每行、每列人数同样多。
小红的位置无论从前数从后数，从左数还是从右数起都是第4个。
跳舞的共有多少人？2，为庆祝“六一”，同学们排成每行人数相同的鲜花队，小华的位置从左数第2个，从右数第4个；从前数第3个，从后数第5个。
一年级重叠问题今天，我们学了《统计》这一课，老师教我们如何画简单统计图，并从统计图中发现问题。
老师让我们从盒子里拿出自己喜欢颜色的珠子，我拿的是红珠子。
然后，老师让我们把珠子按照顺序排列起来，排完之后我们便开始画条形统计图。
我拿出纸和笔，开始认真地画起来。
画完之后，老师让我们在小组内互相看一看，并讨论发现了什么问题。
我们小组的人都没有发现什么问题，所以老师让我们从网上找了一些条形统计图并观察，看看能发现什么问题。
我们找了一个关于中国人口增长的条形统计图，从图上我们可以看到中国人口增长的速度非常快。
老师问我们：“你们发现了什么？”我们异口同声地说：“中国人口增长的速度非常快！”老师问：“你们知道中国人口增长速度为什么那么快吗？”我们都不约而同地摇摇头。
老师说：“其实，中国人口增长速度过快是一个大问题。
在1994年的时候，中国人口已经超过了十二亿，这其中大部分是老人。
过快的人口增长，不仅给中国造成了巨大的负担，而且还加速了世界人口的增长速度。
如果我们不控制自己的人口增长速度，那么我们的地球将无法承受这么多的人口。
所以，我们每个人都应该自觉遵守计划生育的各项规定。
”听了老师的这番话，我明白了中国人口增长过快是一个大问题，我们应该自觉遵守计划生育的各项规定。
在一年级数学教学中，解决问题是学生学习的重要目标之一。
解决问题不仅可以帮助学生掌握数学基础知识，还可以培养他们的思维能力和解决问题的能力。
因此，教师应该注重一年级数学解决问题的教育，帮助学生掌握解决问题的基本方法和技巧。
在解决问题之前，学生需要先读懂题目。
因此，培养学生的审题能力是解决问题的第一步。
教师可以引导学生先仔细读题，然后用自己的话复述题目，再根据题目中的信息进行分类和比较，最后引导学生根据已有的知识经验进行思考和解决。
例如，在解决“小红有5个苹果，小明有3个苹果，他们两个人一共有多少个苹果？”这个问题时，教师可以引导学生理解题目中的信息，并用自己的话复述题目，再引导学生思考如何进行计算，最后得出答案。
小学三年级逻辑思维第十八讲重叠问题【一】25个小朋友排队，从左边数起小林是第12个，从右边数小刚是第9个。
小林和小刚之间隔着几个小朋友？练习1、同学们排队做操，一排有18个小朋友，从前面数起青青是第6个，从后面数起兰兰是第7个。
青青和兰兰之间有多少个小朋友？2、有30个工人排成一行，其中有两个工人戴帽子，从左往右数，第7个戴红帽子，从右往左数，第8个戴蓝帽子。
戴帽子的两个工人中间有几个人？【二】一群小朋友排成一队，从前往后数，小乐是第7个，从后往前数，小乐是第8个。
这群小朋友有多少个？练习1、13个小朋友站成一队，小明站在从前面数第8个，那么从后面数他排在第几个？2、鱼妈妈带着一群鱼宝宝在水中散步，不管从前往后数，还是从后往前数，鱼妈妈都是第5个。
鱼妈妈一共带了多少个鱼宝宝散步呢？【三】三年级组同学参加“六一”节团体操表演，每组排人数同样多，每竖排人数也同样多。
小微的位置从左数是第10人，从右数第8人，从前数第9人，从后数第7人。
参加表演的三年级同学有多少人？练习1、庆祝“六一”，同学们排成方形的鲜花队，无论从前、从后数，还是从左、从右数，李丽都在第4个。
鲜花队共有多少人？2、一共有360名学生做操，小林站在右起第6列，左起第13列。
如果每行人数同样多，小林前面7人，他后面有多少人？【四】把两块一样长的木板，钉在一起，成了一块长木板。
如果这块钉在一起的长木板长45厘米，中间重叠部分是5厘米。
这两块木板各长多少厘米？练习1、把长38厘米和53厘米的两根铁条焊接成一根铁条。
已知焊接部分长4厘米，焊接后这根铁条有多长？2、把两条一样长的彩带扎在一起，形成一条更长的彩带。
这条彩带长27厘米，扎的部分每条彩带都用了3厘米。
原来这两条彩带各长多少厘米？【五】三年级科技活动组共有63人。
在一次定时科技活动比赛中，剪贴好一辆汽车模型的同学有42人，装配好一架飞机模型的同学有34人，每个同学都至少完成了一项活动。
容斥原理之重叠问题（一）1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题 A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．教学目标 例题精讲知识要点 1．先包含——A B +重叠部分A B 计算了2次，多加了1次；2．再排除——A B A B +-把多加了1次的重叠部分A B 减去． 图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，大圆表示C 的元素的个数．1．先包含：A B C ++ 重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++--- 重叠部分A B C 重叠了3次，但是在进行A B C ++- A B B C A C --计算时都被减掉了． 3．再包含：A B C A B B C A C A B C ++---+．两量重叠问题【例 1】小明喜欢：踢足球、上网、游泳、音乐、语文、数学；小英喜欢：数学、英语、音乐、陶艺、跳绳。
重叠问题一、知识要点三（1）班准备给参加班级绘画比赛的16位同学和参加朗读比赛的12位同学每人发一份纪念品，当中队长玲玲将28份纪念品发下去时，却多出5份，这是怎么回事？对了，因为有5位同学既参加了绘画比赛，又参加了朗读比赛，所以奖品就多出了5份。
数学中，我们将这样的问题称为重叠问题。
解答重叠问题要用到数学中的一个重要原理——包含与排除原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
解答重叠问题的应用题，必须从条件入手进行认真的分析，有时还要画出图示，借助图形进行思考，找出哪些是重复的，重复了几次？明确求的是哪一部分，从而找出解答方法。
二、精讲精练【例题1】六一儿童节，学校门口挂了一行彩旗。
小张从前数起，红旗是第8面；从后数起，红旗是第10面。
这行彩旗共多少面？【思路导航】根据题意，画出下图：从图上可以看出，从前数起红旗是第8面，从后数起是第10面，这样红旗就数了两次，重复了一次，所以这行彩旗共有8＋10－1=17面。
练习1：1.小朋友排队做操，小明从前数起排在第4个，从后数起排在第7个。
这队小朋友共有多少人？2.学校组织看文艺演出，冬冬的座位从左数起是第12个，从右数起是第21个。
这一行座位有多少个？3.同学们排队去参观展览，无论从前数还是从后起起，李华都排在第8个。
这一排共有多少个同学？【例题2】同学们排队做操，每行人数同样多。
小明的位置从左数起是第4个，从右数起是第3个，从前数起是第5个，从后数起是第6个。
做操的同学共有多少个？【思路导航】根据题意，画出下图：由图可看出：小明的位置从左数第4个，右数第3个，说明横行有4＋3－1=6个人；从前数第5个，从后数第6个，说明竖行有5＋6－1=10人，所以做操的同学共有：6×10=60人。
练习2：1.同学们排队跳舞，每行、每列人数同样多。
小红的位置无论从前数从后数，从左数还是从右数起都是第4个。
跳舞的共有多少人？2.为庆祝“六一”，同学们排成每行人数相同的鲜花队，小华的位置从左数第2个，从右数第4个；从前数第3个，从后数第5个。
