向量减法及几何意义

向量减法运算及其⼏何意义,向量的数乘运算及其⼏何意义教案§2.2.2向量减法运算及其⼏何意义⼀．知识点梳理1．⽤“相反向量”定义向量的减法：1?“相反向量”的定义：与a 长度相同、⽅向相反的向量记作 -a2?规定：零向量的相反向量仍是零向量，且-(-a ) = a 。

任⼀向量与它的相反向量的和是零向量即a + (-a ) = 0。

如果a 、b 互为相反向量，则a = -b , b = -a , a + b = 0 3?向量减法的定义：向量a 加上b 的相反向量，叫做a 与b 的差即：a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法2．⽤加法的逆运算定义向量的减法：若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b3减法的三⾓形法则：在平⾯内取⼀点O ，作OA = a , OB = b , 那么连接两个向量的终点并指向被减向量⽅向的向量就是两个向量的差向量. 即a - b 可以表⽰为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量注意：1?AB 表⽰a - b 强调：差向量“箭头”指向被减数.4.向量减法运算的记忆⼝决：共起点，连终点，⽅向指向被减数（⽅向由后指前）5.向量减法与向量加法的⽐较：（1）加法：⾸尾相连，从头指尾（前向量的头指向后向量的尾）（2）减法：共起点，连终点，⽅向指向被减数 6.向量减法的字母公式：CB AC AB =-⼆．例题讲解例1.已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a -b 、c -d解：在平⾯上取⼀点O ，作OA = a , OB = b , OC = c , OD = d ,作BA, DC, 则BA= a-b, DC= c-d例2.已知，在平⾏四边形ABCD中，aAD=，⽤a，b表⽰向量AC、AB=，bDB解：由平⾏四边形法则得： D CAC= a + b,DB= ADAB- = a-b bA aB 例3.若|AB|=8,|AC|=5,则|BC|的取值范围是( )A.[3,8]B.(3,8)C.[3,13]D.(3,13)解析:BC=AC-AB.(1)当AB、AC同向时,|BC|=8-5=3;(2)当AB、AC反向时,|BC|=8+5=13;(3)当AB、AC不共线时,3<|BC|<13.综上,可知3≤|BC|≤13.答案:C点评:此题可直接应⽤重要性质||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|求解.三．课堂练习1. 如下图所⽰，已知⼀点O到ABCD的3个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c,则向量OD等于( )A.a+b+cB.a-b+cC.a+b-cD.a-b-c解析:如图5,点O到平⾏四边形的三个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c,结合图形有OD=OA+AD=OA+BC=OA+OC-OB=a-b+c.答案:B2 判断题:(1)若⾮零向量a与b的⽅向相同或相反,则a+b的⽅向必与a、b之⼀的⽅向相同.(2)△ABC中,必有AB+BC+CA=0.(3)若AB+BC+CA=0,则A、B、C三点是⼀个三⾓形的三顶点.(4)|a+b|≥|a-b|.解:(1)a与b⽅向相同,则a+b的⽅向与a和b⽅向都相同;若a与b⽅向相反,则有可能a与b互为相反向量,此时a+b=0的⽅向不确定,说与a、b之⼀⽅向相同不妥.(2)由向量加法法则AB+BC=AC,AC与CA是互为相反向量,所以有上述结论.(3)因为当A、B、C三点共线时也有AB+BC+AC=0,⽽此时构不成三⾓形.(4)当a与b不共线时,|a+b|与|a-b|分别表⽰以a和b为邻边的平⾏四边形的两条对⾓线的长,其⼤⼩不定.当a 、b 为⾮零向量共线时,同向则有|a +b |>|a -b |,异向则有|a +b |<|a -b |; 当a 、b 中有零向量时,|a +b |=|a -b |. 综上所述,只有(2)正确.四.内容⼩结本节我们学习的内容如下： 1.相反向量的概念 2.向量减法的定义 3.向量减法的运算法则§2.2.2向量的数乘运算及其⼏何意义教学⽬标：1.向量的数乘运算的概念 2.向量的数乘运算法则 3.向量的数乘运算的⼏何意义 4.平⾯向量基本定理教学重点：1.向量的数乘运算法则 2.向量的数乘运算的⼏何意义教学难点：平⾯向量基本定理的理解与运⽤⼀．知识点梳理1.向量的数乘运算定义：规定⼀个实数λ与向量a 的积是⼀个向量，这种运算叫做向量的数乘运算记作λa. 它的长度和⽅向规定如下：（1）|λa|=|λ||a|. （2）0λ>时，λa 的⽅向与a 的⽅向相同；当0λ<时，λa 的⽅向与a的⽅向相反；特别地，当0λ=或0a = 时，0λa =.2.运算律：设a 、b为任意向量，λ、µ为任意实数，则有：（1）()λµa λa µa +=+ ；（2）()()λµa λµa = ；（3）()λa b λa λb +=+.通常将（2）称为结合律，（1）（3）称为分配律。

向量的减法运算及其几何意义向量是数学中非常重要的概念之一，它不仅仅在数学领域中有着广泛的应用，还在物理、工程等其他领域中也有着重要的地位。

在向量的运算中，减法运算是一种基本的运算方式，它不仅可以用于计算向量的大小和方向，还可以用于解决一些实际问题。

本文将介绍向量的减法运算及其几何意义。

一、向量的基本概念向量是用来表示有大小和方向的量的，通常用箭头表示。

比如，我们可以用一条箭头来表示速度、力、位移等物理量。

在数学中，向量通常用一个有序数组表示，如：$vec{a} = (a_{1}, a_{2}, a_{3})$其中，$a_{1}$、$a_{2}$、$a_{3}$分别表示向量在$x$、$y$、$z$三个方向上的分量。

向量的大小用$|vec{a}|$表示，即：$|vec{a}| = sqrt{a_{1}^2 + a_{2}^2 + a_{3}^2}$ 向量的方向用一个与向量长度相等的单位向量$hat{a}$表示，即： $hat{a} = frac{vec{a}}{|vec{a}|}$二、向量的减法运算向量的减法运算是指将一个向量从另一个向量中减去，得到一个新的向量。

假设有两个向量$vec{a}$和$vec{b}$，它们的减法运算可以表示为：$vec{a} - vec{b} = (a_{1} - b_{1}, a_{2} - b_{2}, a_{3} - b_{3})$这个式子的意思是，将$vec{b}$的每个分量从$vec{a}$的对应分量中减去，得到一个新的向量。

比如，如果有两个向量$vec{a} = (1, 2, 3)$和$vec{b} = (4, 5, 6)$，则它们的减法运算为：$vec{a} - vec{b} = (1 - 4, 2 - 5, 3 - 6) = (-3, -3, -3)$ 这个结果表示，从$vec{a}$中减去$vec{b}$得到的新向量为$(-3, -3, -3)$。

三、向量减法的几何意义向量减法的几何意义是指，将一个向量从另一个向量中减去所得到的向量在几何上表示的意义。

向量减法运算的几何意义
向量减法的几何意义是共起点，连终点，方向指着被减量。

向量是将几何问题转化为代数问题的桥梁，向量的加减则是用代数方法进行几何运算，三角形定则解决向量加法的方法：将各个向量依次首尾顺次相接，结果为第一个向量的起点指向最后一个向量的终点。

平行四边形定则解决向量减法的方法，将两个向量平移至公共起点，以向量的两条边作平行四边形，结果由减向量的终点指向被减向量的终点，平行四边形定则只适用于两个非零非共线向量的加减。

向量减法的内容
向量减法法则是三角形法则，同样将两向量的始点，就是没箭头的那个点放在一起，将两个终点连接，就是差，差向量方向指向被减向量，向量加法法则就是平行四边形法则，两个加数作为平行四边形相邻的两边，则和是两向量的公共顶点与对点相连的对角线。

在数学中，向量也称为欧几里得向量，几何向量，矢量，指具有大小和方向的量。

它可以形象化地表示为带箭头的线段，箭头所指，代表向量的方向，线段长度，代表向量的大小，与向量对应的量叫做数量，物理学中称标量，数量或标量只有大小，没有方向。

向量加减运算及几何意义一、向量加法的定义和运算规则向量加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。

设有两个向量A和A，它们的加法可以表示为：A=A+A其中，A表示两个向量相加得到的新向量。

向量加法的运算规则如下：1.交换律：A+A=A+A2.结合律：(A+A)+A=A+(A+A)3.零向量：对于任意向量A，都有A+A=A，其中A表示零向量。

二、向量减法的定义和运算规则向量减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。

设有两个向量A和A，它们的减法可以表示为：A=A-A其中，A表示将向量A从向量A中减去得到的新向量。

向量减法的运算规则如下：1.减法的定义：A-A=A+(-A)，其中-A表示向量A的负向量。

2.减法与加法的关系：A-A=A+(-A)=-(A-A)三、向量加减运算的几何意义1.位移：设有两个向量A和A，A表示物体的起始位置，A表示物体的终止位置。

向量加法A=A+A表示物体从起始位置到终止位置的位移向量。

2.速度：速度是位移随时间的变化率，可以用向量表示。

设有两个位移向量A和A，A表示物体在起始时刻的位置，A表示物体在终止时刻的位置。

则速度向量A=A-A表示物体在起始时刻到终止时刻的平均速度向量。

3.加速度：加速度是速度随时间的变化率，也可以用向量表示。

设有三个速度向量A、A和A，A表示物体在起始时刻的速度，A表示物体在中间时刻的速度，A表示物体在终止时刻的速度。

则加速度向量A=(A-A)/t表示物体在起始时刻到终止时刻的平均加速度向量，其中t表示时间间隔。

4.平行四边形法则：设有两个向量A和A，它们的和向量A=A+A可以用平行四边形法则来表示。

将向量A和A的起点放在一起，将它们的终点连接起来，得到一个平行四边形，那么向量A就是该平行四边形的对角线向量。

总结：向量加减运算的几何意义主要体现在描述物体的位移、速度和加速度等几何特征上。

它们可以帮助我们理解物体在空间中的运动规律，并且可以通过向量的加减运算得到物体的位移、速度和加速度等重要信息。

平面向量向量减法运算及其几何意义
平面向量的减法运算是指将一个向量减去另一个向量，即将一个向量
从另一个向量的起点处移至终点处的操作。

设有平面上的两个向量u和v，其起点坐标分别为A和B，终点坐标
分别为C和D。

则用向量表示的字母表示如下：
向量u：AB→= vec(AB)
向量v：CD→= vec(CD)
平面向量减法运算定义为：用终点坐标表示的第二个向量反向平移至
起点坐标表示的第一个向量上。

即向量差u-v定义为：AE→= vec(AE), 其中E为D向量反向平移到
B点得到的点。

几何意义上来说，平面向量减法运算的结果是一个新的向量，它表示
了以第一个向量作为起点、第二个向量作为终点的向量。

为了更好地理解平面向量减法运算及其几何意义，可以从以下两个方
面加以说明：
1.矢量相加示意图：
首先，在平面上绘制向量u和v的起点A和C，终点B和D，并连接
AB和CD。

然后，选择一个与向量v等长，且与向量AB平行的向量，将其
起点放在D点，连接BD。

最后，将向量BD平行平移至A点，得到向量AE，即为u-v的结果。

2.减法与加法的关系：
平面向量减法运算可以理解为向量加法的逆运算。

也就是说，若u-v=AB→，则有u=v+AB→。

换句话说，当我们需要求u-v时，可以通过已知向量v和向量AB的终点坐标C，按照向量加法的定义，将向量v平移至C点得到向量CD→，然后连接AC，即可得到u=AC→。

总结起来，平面向量减法运算的几何意义是将第二个向量反向平移至第一个向量的起点处，得到一个新的向量。

在表示和操作上，减法与加法有着密切的关系。

向量减法运算及其几何意义汇总向量减法是数学中一种常见的运算方式，用于计算两个向量之间的差值。

它在几何上有重要的意义，可以表示位移、速度、加速度等物理量。

下面将详细介绍向量减法的定义、计算方法以及其几何意义。

1.向量减法的定义向量减法是指通过对两个向量进行相应元素之间的减法运算，得到一个新的向量。

设有两个向量A和A，它们的减法记作A-A，等于将向量A取反后与向量A进行加法运算。

即：A-A=A+(-A)2.向量减法的计算方法向量的减法通过对应分量的相减来完成。

设有两个向量A=(A1,A2,A3)和A=(A1,A2,A3)，则向量减法的计算公式为：A-A=(A1-A1,A2-A2,A3-A3)例如，对于向量A=(3,4,5)和A=(1,2,3)，它们的减法运算结果为：A-A=(3-1,4-2,5-3)=(2,2,2)3.向量减法的几何意义向量减法在几何上有重要的意义，可以表示位移、速度、加速度等物理量。

下面分别介绍它们的几何意义：3.1位移位移可以用向量来表示，通过一个点从起始位置到达终点位置的位移向量。

向量减法可以用来计算两个位置之间的位移向量。

设有两个位置A 和A，它们的坐标表示分别为A(A1,A1,A1)和A(A2,A2,A2)，则A-A即为A到A的位移向量。

例如，若A(1,2,3)为起始位置，A(4,6,8)为终点位置，则位移向量A-A=(4-1,6-2,8-3)=(3,4,5)。

3.2速度速度是定义为单位时间内位移的向量，可以用向量来表示。

当物体从位置A移动到位置A时，所产生的平均速度向量为A-A，即终点位置向量减去起始位置向量。

通过向量减法可以计算得到物体在单位时间内的平均速度向量。

例如，若物体从A(1,2,3)移动到A(4,6,8)，所产生的平均速度向量为A-A=(4-1,6-2,8-3)=(3,4,5)。

3.3加速度加速度是定义为单位时间内速度的改变率，也可以用向量来表示。

当物体从位置A移动到位置A时，速度变化的向量为终点速度向量减去起始速度向量。

向量的减法运算及其几何意义设有两个向量A和B，分别表示为A=(a1,a2,a3)和B=(b1,b2,b3)。

则A减去B的结果为一个新的向量C，表示为C=(a1-b1,a2-b2,a3-b3)。

例如，考虑向量A=(3,2)和B=(4,1)。

要计算A减去B，我们将A的分量减去B的分量，得到C=(3-4,2-1)=(-1,1)。

几何上，向量的减法运算可以通过向量的几何表示进行解释。

向量可以用箭头来表示，箭头的方向表示向量的方向，箭头的长度则表示向量的大小。

要进行向量的减法，在数学坐标系上，我们先将第一个向量A的起点放置在坐标原点，然后将A的尖端移动到相应的位置。

然后，我们将第二个向量B的起点放置在A的尖端，将B的尖端移动到相应的位置。

最后，连接A的起点和B的尖端，我们得到的向量就是A减去B的结果。

例如，在数学坐标系中，考虑向量A=(3,2)和B=(4,1)。

首先，将A 的起点放在原点，将A的尖端移动到坐标(3,2)的位置。

然后，将B的起点放在A的尖端，将B的尖端移动到坐标(4,1)的位置。

最后，连接A的起点和B的尖端，我们得到的向量就是A减去B的结果，即向量C=(-1,1)。

1.平移：向量的减法就好比是将一个向量平移一段距离再固定终点。

例如，在上述示例中，向量A减去向量B后得到向量C，可以看作是将向量A从原来的位置平移了一段距离再固定终点。

2.相反方向：向量的减法还可以理解为两个向量的相反方向的叠加。

当一个向量与另一个向量做减法时，可以将其中一个向量旋转180度，然后将它与另一个向量相加。

这个运算结果的向量方向与两个向量相反，且长度等于两个向量的差的长度。

3.差向量：向量的减法得到的结果称为差向量，它表示由一个向量指向另一个向量的方向和大小。

差向量的起点与被减去的向量的起点一致，终点与减去的向量的终点一致。

向量的减法在几何学、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。

在几何学中，向量的减法常用于表示点的位移、距离、速度和加速度等概念。