2.2.2 向量的减法运算及其几何意义

《向量的减法运算》教学设计方案（第一课时）一、教学目标1. 理解向量的减法运算概念。

2. 掌握向量的减法运算规则和方法。

3. 能够正确进行向量的减法运算。

二、教学重难点1. 教学重点：理解向量的减法运算概念，掌握规则和方法。

2. 教学难点：正确进行向量的减法运算，特别是遇到复杂情况时的处理。

三、教学准备1. 准备教学用PPT，包括图片、案例等，以帮助学生理解。

2. 准备相关数学工具，如笔、纸以及向量图。

3. 设计一些练习题，供学生实践和巩固。

4. 确定互动的教学方式，如小组讨论、个人练习等。

5. 解释清楚向量的概念和加减法运算的规则，为教学打下基础。

四、教学过程：（一）导入1. 复习向量加法的概念及几何意义。

2. 引入向量减法的概念及几何意义，说明向量的减法可以转化为减法的反向加法。

（二）新课探究探究1：用几何方式进行向量减法运算探究2：用代数方式进行向量减法运算教师举例，让学生感受两种运算方式的优劣，从而选择合适的运算方式。

（三）例题分析通过例题分析，让学生掌握向量减法的具体运算方法，并能够解决相关问题。

（四）课堂练习设计一些与本节课内容相关的练习题，让学生进行练习，以检验学生对本节课内容的掌握情况。

（五）小结对本节课的内容进行总结，强调本节课的重点和难点，并引导学生思考向量的减法在实际问题中的应用。

（六）作业布置布置一些与本节课内容相关的作业，以帮助学生进一步巩固和提高对本节课内容的掌握程度。

（七）教学反思对本节课的教学效果进行反思，总结教学中的优点和不足，为今后的教学提供参考。

教学设计方案（第二课时）一、教学目标1. 理解向量减法的定义。

2. 掌握向量减法的运算法则，能进行简单的向量减法运算。

3. 培养观察、比较、分析、归纳和解决问题的能力。

二、教学重难点教学重点：掌握向量减法的运算法则，能进行简单的向量减法运算。

教学难点：理解向量减法运算法则。

三、教学准备1. 准备教学用PPT，包含教学图片、视频等素材。

2.2.2向量的减法运算及其几何意义学习目标：1.了解相反向量的概念；2.掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；3.通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，理解事物间可以相互转化的辩证思想.教案重点：向量减法的概念和向量减法的作图法.教案难点：减法运算时方向的确定.教案思路：一、复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则，向量加法的运算定律：例：在四边形中，.二、新课1．用“相反向量”定义向量的减法<1）“相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量.记作-a。

易知-(-a> = a.<2）规定：零向量的相反向量仍是零向量. 。

任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (-a> = 0如果a、b互为相反向量，则 a = -b， b = -a，a + b = 0<3）向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a 与b的差.即：a-b = a + (-b> 求两个向量差的运算叫做向量的减法.2．用加法的逆运算定义向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算：若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a-b3．求作差向量：已知向量a、b，求作向量a-bA作法：在平面内取一点O，作= a，= b 则= a-b即a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.注意：1︒表示a-b. 强调：差向量“箭头”指向被减向量。

b5E2RGbCAP2︒用“相反向量”定义法作差向量，a-b = a +(-b>4．探究：OABaBb-bBa+abO abBaba-b１） 如果从向量a 的终点指向向量b 的终点作向量，那么所得向量是２）若a∥b，如何作出a -b ？ 三、例题：例1、已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a -b 、c -d. 例2、平行四边形中，a，b ， 用a、b 表示向量、.p1EanqFDPw 变式一：当a ， b 满足什么条件时，a+b 与a -b 垂直？ 变式二：当a ， b 满足什么条件时，|a+b| = |a -b|？ 变式三：a+b 与a -b 可能是相等向量吗？A OOB C5． 练习：1。

2.2.2 向量减法运算及其几何意义课时目标 1.理解向量减法的法则及其几何意义.2.能运用法则及其几何意义，正确作出两个向量的差．向量的减法(1)定义：a －b ＝a ＋(－b )，即减去一个向量相当于加上这个向量的__________．(2)作法：在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则向量a －b ＝________.如图所示．(3)几何意义：如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为________，被减向量的终点为________的向量．例如：OA →－OB →＝________.一、选择题1. 在如图四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BC →＝c ，则DC →等于( )A ．a －b ＋cB ．b －(a ＋c )C ．a ＋b ＋cD ．b －a ＋c2．化简OP →－QP →＋PS →＋SP →的结果等于( ) A.QP → B.OQ → C.SP → D.SQ →3．若O ，E ，F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( ) A.EF →＝OF →＋OE → B.EF →＝OF →－OE → C.EF →＝－OF →＋OE → D.EF →＝－OF →－OE →4．在平行四边形ABCD 中，|AB →＋AD →|＝|AB →－AD →|，则有( ) A. AD →＝0 B. AB →＝0或AD →＝0 C ．ABCD 是矩形 D ．ABCD 是菱形5．若|AB →|＝5，|AC →|＝8，则|BC →|的取值范围是( ) A ．[3,8] B ．(3,8) C ．[3,13] D ．(3,13)6．边长为1的正三角形ABC 中，|AB →－BC →|的值为( )A ．1B ．2 C.3D. 3题 号 1 2 3 4 5 6 答 案7. 如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 与BD 交于O 点，则BA →－BC →－OA →＋OD →＋DA →＝________.8．化简(AB →－CD →)－(AC →－BD →)的结果是________．9. 如图所示，已知O 到平行四边形的三个顶点A 、B 、C 的向量分别为a ，b ，c ，则OD →＝____________(用a ，b ，c 表示)．10．已知非零向量a ，b 满足|a |＝7＋1，|b |＝7－1，且|a －b |＝4，则 |a ＋b |＝________.三、解答题11. 如图所示，O 是平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 的交点，设AB →＝a ，DA →＝b ，OC →＝c ，求证：b ＋c －a ＝OA →.12. 如图所示，已知正方形ABCD 的边长等于1，AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ，试作出下列向量并分别求出其长度，(1)a ＋b ＋c ； (2)a －b ＋c .能力提升13．在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，先用a ，b 表示向量AC →和DB →，并回答：当a ，b 分别满足什么条件时，四边形ABCD 为矩形、菱形、正方形？14．如图所示，O 为△ABC 的外心，H 为垂心，求证：OH →＝OA →＋OB →＋OC →.1．向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，－AB →＝BA →就可以把减法转化为加法．即：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．如a －b ＝a ＋(－b )． 2．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减数”．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆．3．以向量AB →＝a 、AD →＝b 为邻边作平行四边形ABCD ，则两条对角线的向量为AC →＝a ＋b ，BD →＝b －a ，DB →＝a －b ，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并记住．2．2.2 向量减法运算及其几何意义答案知识梳理(1)相反向量 (2)BA → (3)始点 终点 BA →作业设计1．A 2.B 3.B4．C [AB →＋AD →与AB →－AD →分别是平行四边形ABCD 的两条对角线，且|AB →＋AD →|＝|AB →－AD →|， ∴ABCD 是矩形．]5．C [∵|BC →|＝|AC →－AB →|且 ||AC →|－|AB →||≤|AC →－AB →|≤|A C →|＋|AB →|.∴3≤|AC →－AB →|≤13.∴3≤|BC →|≤13.] 6．D [如图所示，延长CB 到点D ，使BD ＝1，连结AD ，则AB →－BC →＝AB →＋CB →＝AB →＋BD →＝AD →.在△ABD 中，AB ＝BD ＝1，∠ABD ＝120°，易求AD ＝3， ∴|AB →－BC →|＝ 3.] 7.CA → 8．0解析 方法一 (AB →－CD →)－(AC →－BD →) ＝AB →－CD →－AC →＋BD → ＝AB →＋DC →＋CA →＋BD → ＝(AB →＋BD →)＋(DC →＋CA →) ＝AD →＋DA →＝0.方法二 (AB →－CD →)－(AC →－BD →) ＝AB →－CD →－AC →＋BD → ＝(AB →－AC →)＋(DC →－DB →) ＝CB →＋BC →＝0. 9．a －b ＋c解析 OD →＝OA →＋AD →＝OA →＋BC →＝OA →＋OC →－OB →＝a ＋c －b ＝a －b ＋c . 10．4解析 如图所示．设O A →＝a ，O B →＝b ，则|B A →|＝|a －b |. 以OA 与OB 为邻边作平行四边形OACB ，则|O C →|＝|a ＋b |.由于(7＋1)2＋(7－1)2＝42. 故|O A →|2＋|O B →|2＝|B A →|2，所以△OAB 是∠AOB 为90°的直角三角形， 从而OA ⊥OB ，所以▱OACB 是矩形，根据矩形的对角线相等有|O C →|＝|B A →|＝4， 即|a ＋b |＝4.11．证明 方法一 ∵b ＋c ＝DA →＋OC →＝OC →＋CB →＝OB →， OA →＋a ＝OA →＋AB →＝OB →，∴b ＋c ＝OA →＋a ，即b ＋c －a ＝OA →.方法二 ∵c －a ＝OC →－AB →＝OC →－DC →＝OD →， OD →＝OA →＋AD →＝OA →－b ，∴c －a ＝OA →－b ，即b ＋c －a ＝OA →.12．解 (1)由已知得a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →，又AC →＝c ，∴延长AC 到E ， 使|CE →|＝|AC →|.则a ＋b ＋c ＝AE →，且|AE →|＝2 2. ∴|a ＋b ＋c |＝2 2.(2)作BF →＝AC →，连接CF ， 则DB →＋BF →＝DF →， 而DB →＝AB →－AD →＝a －BC →＝a －b ，∴a －b ＋c ＝DB →＋BF →＝DF →且|DF →|＝2. ∴|a －b ＋c |＝2.13．解 由向量加法的平行四边形法则，得AC →＝a ＋b ， DB →＝AB →－AD →＝a －b .则有：当a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |时，平行四边形两条对角线相等，四边形ABCD 为矩形； 当a ，b 满足|a |＝|b |时，平行四边形的两条邻边相等，四边形ABCD 为菱形； 当a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |且|a |＝|b |时，四边形ABCD 为正方形．14．证明 作直径BD ，连接DA 、DC ，则OB →＝－OD →， DA ⊥AB ，AH ⊥BC ，CH ⊥AB ，CD ⊥BC .∴CH ∥DA ，AH ∥DC ，故四边形AHCD 是平行四边形． ∴AH →＝DC →，又DC →＝OC →－OD →＝OC →＋OB →，∴OH →＝OA →＋AH →＝OA →＋DC →＝OA →＋OB →＋OC →.。

第二章 2.2.2 向量的减法运算及其几何意义教学目的：⑴了解相反向量的概念；⑵掌握向量的减法，会作两个向量的减向量 教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图. 教学难点：对向量减法定义的理解 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入：1.向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法几何中向量加法是用几何作图来定义的，一般有两种方法，即向量加法的三角形法则（“首尾相接，首尾连”）和平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）熟记：=+及封闭图形的加法。

2.特殊情况：共线向量的加法用三角形法则：abba +ba +AABC C )2()3(对于零向量与任一向量a ，有 a a a =+=+003.≤|a +b |≤|a |+|b |当向量a 与b 不共线时，a +b 的方向不同向，且|+|<||+||;当与同向时，则+、、同向，且|+|=||+||,当与反向时，若||>||,则+的方向与相同，且|+|=||-||;若||<||,则a +b 的方向与b 相同，且|a +b|=|b |-|a |.4.“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n 个向量连加如：封闭图形的向量和为零向量。

注意：非0 5.熟记：=+6．向量加法的交换律：可以证明：+=+ 7．向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c )8．回答速度、位移、力等向量的量须讲清大小和方向。

回顾讨论：用向量加法证明：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形证明：如图所示，设O 是四边形ABCD 两条对角线的交点，且OA=OC ，OB=OC ，即AO =OC ,BO =OD .因为AD =AO +OD =OC +BO =BO +OC =BC且A 、D 、B 、C 不在同一直线上，故四边形ABCD 是平等四边形。

二、讲解新课： 向量的减法：1．用“相反向量”定义向量的减法：1︒“相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量记作 -a 2︒规定：零向量的相反向量仍是零向量-(-a ) = a任一向量与它的相反向量的和是零向量a + (-a ) = 0如果a 、b 互为相反向量，则a = -b , b = -a , a + b = 03︒向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差 即：a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法 2．为加法的逆运算 3．求作差向量：用“相反向量”定义法作差向量，a - b = a + (-b )可简化为：减法的三角形法则作法：在平面内取一点O ，作= a , = b , 则= a - b即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量注意：1︒表示a - b 强调：差向量“箭头”指向被减向量，熟记：CB AC AB =-2︒ a ∥b ∥c a - b = a + (-b ) a - b三、讲解范例：例1．（P86例3）已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a -b 、c -d .a -bABB’ a -ba ab bO A OBa -bBA O-b解：在平面上取一点O ，作OA = a ， OB = b ， OC = c ， OD = d ， 作， ， 则= a -b ， = c -d例2．（P86例4）平行四边形ABCD 中，=a ，=b ，用a 、b 表示向量AC 、DB . 解：由平行四边形法则得：= a + b ， = - = a -b记忆：AB AD DB -=箭头指向被减向量实际上a - b 是平行四边形的另一条对角线练习：P87 1、2（教师讲解）并(1):0(2):()()()0AB AC BD CDCB BD CD CD CD OA OC BO COOA BO OC CO OA OB BA-+-=+-=-=+++=+++=-+=化简解原式化简解原式 回顾例2并探究1：当a ， b 满足什么条件时，a +b 与a -b 垂直？（|a | = |b |） 探究2：当a ， b 满足什么条件时，|a +b | = |a -b |？（a ， b 互相垂直） 探究3：a +b 与a -b 可能是相等向量吗？当且仅当0b =时成立.探究4：证明：b a b a b a +≤±≤-,并说明什么时候取等号？当a 、b不共线时，由三角形两边之和大于第三边，而两边之差小于第三边得b a +=<=+b a -=->=+ ABCbad cDOA BD C即b a b a b a +<+<-探究5：)2+=例3,,120||||3||||o AB a AD b DAB a b a b a b如图已知向量，，且，求和==∠===+-||||3||||||||12060||3|O OAB AD ABCD AD AB AC a b DB a bAC a b DB a b DAB DAC ADC AC AOD OD ===+=-=+=-∠=∠=∆=∆解：以、为邻边作平行四边形，由于，故此四边形为菱形由向量的加减法知 ，故，因为，所以所以是正三角形，则由于菱形对角线互相垂直平分,所以是直角三角形，|||sin 603||3o AD a b ===+=所以，由)2++=+，得||a b -=备用1：例4 如右图所示，P 、Q 是三角形ABC 的边BC 上两点，且BP=QC ，求证：+=+AQ证明：)()()(=+=-+-=+-+∴-=∴=QC BP所以+=+AQ备用2：如图三角形ABC 外接圆的圆心为O ，三条高线的交点为H ，连结BO 并延长交外接圆于D ，求证：（1）=+（2）=++证明：1）因为=-所以=-=+ 2）因为BD 是直径，所以︒=∠=∠90BCD BAD ，所以AE //CD ，AD//CH所以四边形AHCD 为平等四边形，所以=AH DC ，所以=+=+=++方法二：OH OA AH =+四.小结：向量减法的定义、作图法|五.作业：P91 A组第4⑷⑸⑹⑺、6、7、8、11、题；作业本：P34 2.2.2。

高中数学 2.2.2向量的减法运算及其几何意义导学案新人教A版必修4学习目标1. 通过实例，掌握向量减法的运算，并理解其几何意义；2. 能运用向量减法的几何意义解决一些问题.教学重点会用向量减法的三角形法则作两个向量的差向量.教学难点三角形不等式学习过程一、课前准备（预习教材P85—P87）复习：求作两个向量和的方法有法则和法则.二、新课导学※探索新知探究：向量减法——三角形法则问题1：我们知道，在数的运算中，减去一个数等于加上这个数的相反数，向量的减法是否也有类似的法则？如何理解向量的减法呢？1、相反向量：与a的向量，叫做a的相反向量，记作a .零向量的相反向量仍是 .问题2：任一向量a与其相反向量a-的和是什么？如果a、b是互为相反的向量，那么a=，b=，a b+= .1、向量的减法：我们定义，减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量，即，a b是互为相反的向量，那么a=，b=_________，a b=____________。

+问题3：请同学们利用相反向量的概念，思考()a b+-的作图方法.※典型例题例1、阅读并讨论P86例3和例4变式：如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是( ) A. AB→＝DC→ B. AD→＋AB→＝AC→C. AB→－AD→＝BD→D. AD→＋CB→＝0例2、在△ABC中，O是重心，D、E、F分别是BC、AC、AB的中点，化简下列两式：⑴CB CE BA-+；⑵OE OA EA-+.变式：化简AB FE DC++.三、小结反思1、向量减法的含义；2、求两向量的差；3、两向量a与b的差ba-起点，终点和指向。

※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1、化简下列各式：①AB AC DB--；②AB BC AD DB+--.2、在平行四边形ABCD中，BC CD AD+-等于（）A．BA B．BD C．AC D．AB3、下列各式中结果为O的有（）①++AB BC CA②+++OA OC BO CO③-+-AB AC BD CD④+-+MN NQ MP QPA．①② B．①③C．①③④ D．①②③4、下列四式中可以化简为AB的是（）①+AC CBAC CB②-③+OA OB④-OB OAA．①④ B．①② C．②③ D．③④5、已知ABCDEF是一个正六边形，O是它的中心，其中OA a OB b OC c则EF=（）,,===A ．a b +B ．b a -C ．-c bD ．-b c课后作业1、化简：AB DA BD BC CA ++--=_______________。