数学人教B选修2-2章末测试 第一章导数及其应用B 含答案

第一章导数及其应用测试题一、 选择题1．设 y1 x 2（ ）．，则 y'sin xA ．2x sin x (1x 2 ) cos x2x sin x(1 x 2 ) cos xsin 2xB ．sin2x2x sin x (1x 2 )2x sin x(1 x 2 )C ．sin xD ．sin x2．设 f ( x)ln x21 ，则 f ' (2) （ ）．42C ．1 D ．3A ．B ．55553．已知 f (3)2, f ' (3)2 ，则 lim2x3 f ( x) 的值为（ ）．x3x 3A ． 4B ． 0C ． 8D ．不存在4．曲线 yx 3 在点( 2,8) 处的切线方程为（）．A ． y6x 12 B ． C ． y8x10D ． y 12x 16y2x 325．已知函数 f ( x) ax 3 bx 2cx d 的图象与 x 轴有三个不一样交点(0,0), ( x 1,0) ，(x 2 ,0) ，且 f (x) 在 x1， x 2 时获得极值，则 x 1 x 2 的值为（）A ． 4B ． 5C ． 6D ．不确立6．在 R 上的可导函数 f ( x)1 x 3 1 ax2 2bx c ，当 x (0,1) 获得极大值， 当 x (1,2)32获得极小值，则 b2的取值范围是（）．a 1A ． (1,1)B ． (1,1)C ．( 1,1)D ． ( 1,1)422 42 27．函数 f ( x)1 e x (sin x cos x) 在区间 [0, ] 的值域为（ ）．22A ．[1 , 1e 2 ]B ． (1 , 1e 2 )C ． [1, e 2 ]D ． (1, e2)2 22 2aa2x 2dx （）．8．积分aA．1a2 B．1a 2 C．a2 D ．2 a24 29．由双曲线x 2 y 21，直线 y b, y b 围成的图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体a 2 b2积为（）A．8ab2 B．8a2b C．4a2b D．4ab2 3 3 3 310．由抛物线y2 2x 与直线 y x 4 所围成的图形的面积是（）．A ．1838 16D．16 B．C．3 311．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则其表面积最小时，底面边长为（）．Ａ． 3 V Ｂ．3 2V Ｃ．34V D．23V二、填空题13．曲线y x3在点 (a, a 3 )( a 0) 处的切线与 x 轴、直线 x a 所围成的三角形的面积为1，则 a _________ 。

学业分层测评(建议用时：分钟)[学业达标]一、选择题．下列结论正确的是( )．若＝，则′＝．若＝，则′＝－．若＝，则′＝－．若＝，则′＝【解析】∵( )′＝－，∴不正确；∵( )′＝，∴不正确；∵()′＝，∴不正确．【答案】．(·济南高二检测)在曲线()＝上切线的倾斜角为π的点的坐标为( ) 【导学号：】．() ．(－，－)．(－) ．()或(－，－)【解析】切线的斜率＝π＝－，设切点为(，)，则′()＝－，又′()＝－，∴－＝－，∴＝或－，∴切点坐标为()或(－，－)．故选.【答案】．对任意的，有′()＝，()＝－，则此函数解析式为( )．()＝．()＝－．()＝＋．()＝－【解析】由′()＝知()中含有项，然后将＝代入选项中验证可得，选.【答案】．(·北京高二检测)已知曲线＝在点()处的切线方程为＝＋，则－＝( ) ．．－．．－【解析】∵′＝，∴点()处的切线斜率＝′()＝.∴切线方程为－＝(－)，即＝－，∴＝，＝－，∴－＝.【答案】．若()＝，′(α)＝，则下列α的值中满足条件的是( )π π【解析】∵()＝，∴′()＝.又∵′(α)＝α＝，∴α＝π±(∈)．当＝时，α＝.【答案】二、填空题．(·菏泽高二检测)已知()＝，()＝，若′()－′()＝，则＝.【解析】因为()＝，()＝，所以′()＝，′()＝且>，′()－′()＝－＝，即－－＝，解得＝或＝－(舍去)．故＝.【答案】．直线＝＋是曲线＝ (＞)的一条切线，则实数＝.【解析】设切点坐标为(，)，则＝.∵′＝( )′＝，由题意知＝，∴＝，＝.由＝×＋，得＝－.【答案】－．(·南京高二检测)已知函数＝()的图象在(，())处的切线方程是＝＋，则()＋′()＝. 【导学号：】。

1 B .23C .1D .‒1解析：原等式可化f'(x 0)=-1.为‒lim Δx →0f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx =‒f '(x 0)=1,因此答案：D 2∫42 1xdx =( )2ln 2B.2ln 2C.-ln 2D.ln 2解析：4-ln 2=ln 2.∫42 1x dx =ln x |42=ln 答案：D3A.f (4A.-x+y+∴切线方程为y-1=x-2,即-x+y+1=0.答案：A5函数f (x )=x 3-2x+3的图象在x=1处的切线与圆x 2+y 2=8的位置关系是( )A.相切相交且过圆心相交但不过圆心相离解析：函数f (x )的图象在x=1处的切线方程为x-y+1=0,圆心到此切线的距离.=22<22,所以此切线与圆相交但不过圆心6A.27A.-1解析：f'(x)=3x2+2ax+a+6,因为f(x)既有极大值又有极小值,所以Δ=4a2-4×3×(a+6)>0,即a2-3a-18>0.解得a>6或a<-3.答案：D8函数y=f(x)的图象如图所示,下列数值排序正确的是( 9=,3π4]D .[3π4,π)解析：∵y'≤y'<0,即曲线在点P 处的切线的斜率-1≤k<0,=-4e x(e x +1)2,∴‒1∴-1≤tan α<0,又α∈[0,π),≤α<π.∴34π答案：D10若曲线y=x -12在点(a ,a -12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18,则a 等于()11∴x 0=1,即切点为(1,1),斜率为-1,∴直线方程为x+y-2=0.答案：x+y-2=012已知三次函数f (x ),当x=1时有极大值4,当x=3时有极小值0,且函数图象过原点,则f (x )= .解析：设f (x )=ax 3+bx 2+cx+d ,由题意,知f (x )=x 3-6x 2+9x.{f '(1)=0,f '(3)=0,f (1)=4,f (3)=0,f (0)=0,解得{a =1,b =-6,c =9,d =0.故13间[1214若a又a1=16,∴a3=2a2=4a1=4,a5=4a3=1,∴a1+a3+a5=16+4+1=21.答案：2115下列四个命题中正确命题的个数为 .①若f(x)=x,则f'(0)=0;②若函数f(x)=2x2+1图象上与点(1,3)邻近的一点ΔyΔx=4+2Δx;③加速度是动点位移函数s(t)对时间t的导数;④曲线.解析：f(x)x=0处无导数,因此①不正确;速度是动点位移函数s(t)对时间t的导数=x在③不正确;y=x3在(0,0)处的切线方程为y=0,故④不正确.16分析：因为(x2-13x3)'=2x‒x2,(23x3-2x2)'=2x2‒4x,所以S=(x2-13x3)|20‒(23x3-2x2)|20=4.17(8分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=‒23与x=1时都取得极值.(1)求a,b的值及函数f(x)的单调区间;若对x∈[-1,2],不等式f(x)<c2恒成立,求c的取值范围.分析：先由f a,b,再由f'(x)求单调区间,对于(2)可转化为求f(x)的最'(-23)=0,f'(1)=0求出大值来求解.(1)f(x)=x3+ax2+bx+c,f'(x)=3x2+2ax+b,18(9分)设函数f (x )=a ln x+x -1x +1,其中a 为常数.(1)若a=0,求曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线方程;讨论函数f (x )的单调性.(1)由题意知当a=0时,f (x )∈(0,+∞).=x -1x +1,x 此时f'(x )=2(x +1)2.可得f'(1)f (1)=0,=12,又所以曲线y=f (x )在(1,f (1))处的切线方程为x-2y-1=0.(2)函数f (x )的定义域为(0,+∞).所以x ∈(0,x 1)时,g (x )<0,f'(x )<0,函数f (x )单调递减,x ∈(x 1,x 2)时,g (x )>0,f'(x )>0,函数f (x )单调递增,x ∈(x 2,+∞)时,g (x )<0,f'(x )<0,函数f (x )单调递减.综上可得:当a ≥0时,函数f (x )在(0,+∞)内单调递增;当a ≤,函数f (x )在(0,+∞)内单调递减;‒12时,f (x ),当‒12<a <0时在(0,-(a +1)+2a +1a ),(-(a +1)-2a +1a ,+∞)内单调递减.(a +1)+2a +1a ,-(a +1)-2a +1a )内单调递增。

第一章 1.2 第1课时一、选择题1．f (x )＝0的导数为( ) A ．0 B ．1 C ．不存在 D ．不确定[答案] A[解析] 常数函数的导数为0. 2．y ＝13x 2的导数为( )A.23x －13 B ．x 23C ．x －23D ．－23x －53[答案] D[解析] y ′＝(x －23)′＝－23·x －53.∴选D.3．y ＝2x 在点A (1,2)处的切线方程为( )A ．2x ＋y －4＝0B ．2x －y ＋2＝0C ．2x ＋y ＋4＝0D ．2x －y －2＝0[答案] A[解析] ∵f ′(x )＝－2x2，f ′(1)＝－2，∴由点斜式直线方程得y －2＝－2(x －1)，即2x ＋y －4＝0.4．(2014·北京东城区联考)曲线y ＝13x 3在x ＝1处切线的倾斜角为( )A ．1B ．－π4C.π4 D ．5π4[答案] C[解析] ∵y ＝13x 3，∴y ′|x ＝1＝1，∴切线的倾斜角α满足tan α＝1，∵0≤α<π，∴α＝π4.5．(2014·潍坊三县高二期末测试)函数y ＝cose x 的导数是( ) A ．cose xB ．sine xC ．－e x sine xD ．－e x[答案] C[解析] y ′＝(cose x )1＝－sine x ·(e x )′＝－e x sine x ，故选C.6．直线y ＝x 5的斜率等于5的切线的方程为( ) A ．5x －y ＋4＝0 B ．x －y －4＝0C ．x －y ＋4＝0或x －y －4＝0D ．5x －y ＋4＝0或5x －y －4＝0 [答案] D[解析] ∵y ′|x ＝x 0＝5x 40＝5，∴x 0＝±1.∴切点坐标为(1,1)，(－1，－1)．又切线斜率为5，由点斜式得切线方程为5x －y ＋4＝0或5x －y －4＝0.故选D. 7．质点沿直线运动的路程和时间的关系是s ＝5t ，则质点在t ＝4时的速度为( ) A.12523B ．110523C.25523 D ．110523[答案] B[解析] ∵s ′|t ＝4＝15t －45|t ＝4＝110523.故选B.8．曲线y ＝x 3－2x ＋1在点(1,0)处的切线方程为( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝－x －1 C ．y ＝2x －2 D ．y ＝－2x －2[答案] A[解析] 本题考查了导数的几何意义，切线方程的求法，在解题时应首先验证点是否在曲线上，然后通过求导得出切线的斜率，题目定位于简单题．由题可知，点(1,0)在曲线y ＝x 3－2x ＋1上，求导可得y ′＝3x 2－2，所以在点(1,0)处的切线的斜率k ＝1，切线过点(1,0)，根据直线的点斜式可得过点(1,0)的曲线y ＝x 3－2x ＋1的切线方程为y ＝x －1，故选A.二、填空题9．曲线y ＝x n 在x ＝2处的导数为12，则n 等于________． [答案] 3[解析] ∵y ′＝n ·x n －1，y ′|x ＝2＝n ·2n －1＝12.∴n ＝3. 10．y ＝13x的导数为________．[答案] －13－4311．在曲线y ＝4x 2上求一点P ，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°，则P 点坐标为________．[答案] (2,1)[解析] ∵y ＝4x －2，∴y ′＝－8x －3， ∴－8x －3＝－1， ∴x 3＝8， ∴x ＝2，∴P 点坐标为(2,1)． 三、解答题12．已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程．[解析] (1)设y ＝f (x )＝13x 3＋43，则y ′＝x 2，∴k ＝f ′(2)＝4，∴所求切线方程为y －4＝4(x －2)， 即4x －y －4＝0.(2)设切点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43， 则切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)． 又切线过点P (2,4)， ∴4－⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(2－x 0)，即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 0＝－1或x 0＝2，∴切线方程为x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0.一、选择题1．已知函数f (x )＝x 3的切线斜率等于1，则切线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．不确定[答案] B[解析] 设切点为(x 0，x 30)，∵f ′(x )＝3x 2， ∴k ＝f ′(x 0)＝3x 20，即3x 20＝1，∴x 0＝±33，即在点⎝⎛⎭⎫33，39和点⎝⎛⎭⎫－33，－39处有斜率为1的切线，故选B. 2．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝( ) A ．－1 B ．－2 C ．2 D ．0[答案] B[解析] 本题考查函数知识、求导运算及整体代换的思想，f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，f ′(－1)＝－4a －2b ＝－(4a ＋2b )，f ′(1)＝4a ＋2b ，∴f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2，要善于观察，故选B.3．若对任意的x ，有f ′(x )＝4x 3，f (1)＝－1，则此函数解析式为( ) A ．f (x )＝x 4 B ．f (x )＝x 4－2 C ．f (x )＝x 4＋1 D ．f (x )＝x 4－1 [答案] B[解析] 由f ′(x )＝4x 3知，f (x )中含有x 4项，然后将x ＝1代入四个选项中验证，B 正确，故选B.4．(2013·山西省太原五中月考)已知曲线y ＝x 3－1与曲线y ＝3－12x 2在x ＝x 0处的切线互相垂直，则x 0的值为( )A.33 B ．333 C. 3 D ．393 [答案] D[解析] 由导数的定义容易求得，曲线y ＝x 3－1在x ＝x 0处切线的斜率k 1＝3x 20，曲线y ＝3－12x 2在x ＝x 0处切线的斜率为k 2＝－x 0，由于两曲线在x ＝x 0处的切线互相垂直，∴3x 20·(－x 0)＝－1，∴x 0＝393，故选D. 二、填空题5．函数y ＝x 2过点(2,1)的切线方程为________．[答案] (4＋23)x －y －7－43＝0或(4－23)x －y －7＋43＝0. [解析] y ′＝2x ，设切点P (x 0，y 0)，则y 0＝x 20.切线斜率为2x 0＝x 20－1x 0－2，∴x 20－4x 0＋1＝0，∴x 0＝2±3， ∴斜率k ＝2x 0＝4±23，∴切线方程为y －1＝(4±23)(x －2)．6．已P (－1,1)，Q (2,4)是曲线f (x )＝x 2上的两点，则与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程是________．[答案] 4x －4y －1＝0[解析] y ＝x 2的导数为y ′＝2x ，设切点M (x 0，y 0)， 则y ′|x ＝x 0＝2x 0.∵PQ 的斜率k ＝4－12＋1＝1，又切线平行于PQ ，∴k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0＝1.∴x 0＝12.∴切点M ⎝⎛⎭⎫12，14.∴切线方程为y －14＝x －12，即4x －4y －1＝0.7．(2014·枣阳一中、襄州一中、宜城一中、曾都一中高二期中联考)若曲线y ＝x 在点P (a ，a )处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a 的值是________．[答案] 4 [解析] y ′＝12x ，切线方程为y －a ＝12a (x －a )， 令x ＝0得，y ＝a2， 令y ＝0得，x ＝－a ，由题意知12·a2·a ＝2，∴a ＝4.三、解答题8．若曲线y ＝e x 在x ＝1处的切线与直线2x ＋my ＋1＝0垂直，求m 的值． [解析] ∵y ′＝e x ，∴曲线y ＝e x 在x ＝1处的切线的斜率k ＝e. ∴切线方程为y －e ＝e(x －1)， 即e x －y ＝0.由题意，得 2e －m ＝0，∴m ＝2e.9．求抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0的最短距离．[解析] ∵过抛物线上一点的切线且与直线x －y －2＝0平行的直线与x －y －2＝0的距离最短． y ′＝2x ，令2x ＝1 ∴x ＝12代入y ＝x 2得y ＝14，∴切点为⎝⎛⎭⎫12，14，则切线方程为y －14＝x －12， 即x －y －14＝0.∴x －y －14＝0与x －y －2＝0的距离为|2－14|12＋(－1)2＝728， ∴728即为所求的最短距离．。

第一章 1.3 第2课时一、选择题1．已知函数f (x )在点x 0处连续，下列命题中正确的是( ) A ．导数为零的点一定是极值点B ．如果在点x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极小值C ．如果在点x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值D ．如果在点x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是极大值 [答案] C[解析] 由极大值的定义可知C 正确．2．函数f (x )的定义域为R ，导函数f ′(x )的图象如图所示，则函数f (x )( )A ．无极大值点，有四个极小值点B ．有三个极大值点，两个极小值点C ．有两个极大值点，两个极小值点D ．有四个极大值点，无极小值点 [答案] C[解析] f ′(x )的图象有4个零点，且全为变号零点，所以f (x )有4个极值点，且f ′(x )的函数值由正变负为极大值点，由负变正为极小值点，故选C.3．函数f (x )＝x ＋1x 的极值情况是( )A ．当x ＝1时，极小值为2，但无极大值B ．当x ＝－1时，极大值为－2，但无极小值C ．当x ＝－1时，极小值为－2；当x ＝1时，极大值为2D ．当x ＝－1时，极大值为－2；当x ＝1时，极小值为2 [答案] D[解析] f ′(x )＝1－1x2，令f ′(x )＝0，得x ＝±1，函数f (x )在区间(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调增，在(－1,0)和(0,1)上单调减，∴当x ＝－1时，取极大值－2，当x ＝1时，取极小值2.故选D.4．(2013·北师大附中高二期中)函数y ＝14x 4－13x 3的极值点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] B[解析] y ′＝x 3－x 2＝x 2(x －1)，由y ′＝0得x 1＝0，x 2＝1. 当x 变化时，y ′、y 的变化情况如下表故选5．函数y ＝f (x )＝x 3－3x 的极大值为m ，极小值为n ，则m ＋n 为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4[答案] A[解析] y ′＝3x 2－3，令y ′＝0，得3(x ＋1)(x －1)＝0， 解得x 1＝－1，x 2＝1，当x <－1时，y ′>0；当－1<x <1时，y ′<0； 当x >1时，y ′>0，∴函数在x ＝－1处取得极大值，m ＝f (－1)＝2； 函数在x ＝1处取得极小值，n ＝f (1)＝－2. ∴m ＋n ＝2＋(－2)＝0.6．函数y ＝f (x )＝(x 2－1)3＋1在x ＝－1处( ) A ．有极大值 B ．有极小值C ．无极值D ．无法判断极值情况 [答案] C[解析] f ′(x )＝6x (x 2－1)2＝6x (x －1)2·(x ＋1)2虽有f ′(－1)＝0，但f ′(x )在x ＝－1的左右不变号，∴函数f (x )在x ＝－1处没有极值．故选C.7．对于函数f (x )＝x 3－3x 2，给出命题： ①f (x )是增函数，无极值；②f (x )是减函数，无极值；③f (x )的递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，递减区间为(0,2)； ④f (0)＝0是极大值，f (2)＝－4是极小值． 其中正确的命题有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4 个[答案] B[解析] f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，令f ′(x )>0，得x >2或x <0， 令f ′(x )<0，得0<x <2，∴①②错误．故选B.8．(2013·辽宁实验中学期中)函数f (x )＝－xe x (a <b <1)，则( )A ．f (a )＝f (b )B ．f (a )<f (b )C ．f (a )>f (b )D ．f (a )，f (b )的大小关系不能确定 [答案] C[解析] f ′(x )＝(－x e x )′＝(－x )′·e x －(－x )·(e x )′(e x )2＝x －1ex .当x <1时，f ′(x )<0，∴f (x )为减函数， ∵a <b <1，∴f (a )>f (b )．9．函数f (x )＝x 2－x ＋1在区间[－3,0]上的最值为( ) A ．最大值为13，最小值为34B ．最大值为1，最小值为4C ．最大值为13，最小值为1D ．最大值为－1，最小值为－7 [答案] A[解析] 由y ′＝2x －1＝0，得x ＝12，f (－3)＝13，f ⎝⎛⎭⎫12＝34，f (0)＝1，∴f (x )在[－3,0]上的最大值为13，最小值为34.故选A.二、填空题10．函数f (x )＝x (x －m )2在x ＝2处有极大值，则常数m 的值为____________． [答案] 6[解析] ∵f (x )＝x (x －m )2＝x 3－2mx 2＋m 2x ， ∴f ′(x )＝3x 2－4mx ＋m 2，由题意得，f ′(2)＝0， ∴m ＝6或2，当m ＝2时，函数f (x )在x ＝2处取极小值，故m ＝6.11．函数y ＝x －2x 在[0,4]上的最大值是__________，最小值是____________． [答案] 0 －1 [解析] y ′＝1－1x，令y ′＝0，得x ＝1， f (0)＝0，f (1)＝－1，f (4)＝0，∴函数y ＝x －2x 的最大值为0，最小值为－1.12．(2014·河北冀州中学期中)若函数f (x )＝x ＋a sin x 在R 上递增，则实数a 的取值范围为________．[答案] [－1,1][解析] f ′(x )＝1＋a cos x ，由条件知f ′(x )≥0在R 上恒成立，∴1＋a cos x ≥0，a ＝0时显然成立；a >0时，∵－1a ≤cos x 恒成立，∴－1a ≤－1，∴a ≤1，∴0<a ≤1；a <0时，∵－1a ≥cos x 恒成立，∴－1a ≥1，∴a ≥－1，即－1≤a <0，综上知－1≤a ≤1.三、解答题13．求下列函数的极值． (1)y ＝x 2－7x ＋6；(2)y ＝x 3－27x .[分析] 求函数极值需求f ′(x )＝0的解及f ′(x )>0和f ′(x )<0的范围． [解析] (1)y ′＝(x 2－7x ＋6)′＝2x －7. 令y ′＝0，解得x ＝72.当x 变化时，y ′，y 的变化情况如下表.当x ＝72时，y 有极小值，且y 极小值＝－254.(2)y ′＝(x 3－27x )′＝3x 2－27＝3(x ＋3)(x －3)．令y ′＝0，解得x 1＝－3，x 2＝3. 当x 变化时，y ′，y 的变化情况如下表：极大值极小值一、选择题1．(2013·聊城市莘县实验高中高二下学期模块测试)函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内极值点有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[答案] C[解析] 由f ′(x )的图象可知，函数f (x )在区间(a ，b )内，先增，再减，再增，最后再减，故函数f (x )在区间(a ，b )内有三个极值点．故选C.2．已知f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为( ) A ．－1<a <2 B ．－3<a <6 C ．a <－1或a >2 D ．a <－3或a >6 [答案] D[解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a ＋6.因为f (x )既有极大值又有极小值，所以Δ>0，即4a 2－4×3×(a ＋6)>0，即a 2－3a －18>0，解得a >6或a <－3.故选D.3．函数y ＝ax 3＋bx 2取得极大值或极小值时的x 的值分别为0和13，则( )A ．a －2b ＝0B ．2a －b ＝0C ．2a ＋b ＝0D ．a ＋2b ＝0 [答案] D[解析] y ′＝3ax 2＋2bx ，由题设知0和13是方程3ax 2＋2bx ＝0的两根，∴a ＋2b ＝0.故选D.4．(2014·山东省德州市期中)已知函数f (x )＝e x (sin x －cos x )，x ∈(0,2013π)，则函数f (x )的极大值之和为( )A.e 2π(1－e 2012π)e 2π－1B ．e π(1－e 2012π)1－e 2πC.e π(1－e 1006π)1－e 2πD ．e π(1－e 1006π)1－e π[答案] B[解析] f ′(x )＝2e x sin x ，令f ′(x )＝0得sin x ＝0，∴x ＝k π，k ∈Z ，当2k π<x <2k π＋π时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当(2k －1)π<x <2k π时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，∴当x ＝(2k ＋1)π时，f (x )取到极大值，∵x ∈(0,2013π)，∴0<(2k ＋1)π<2013π，∴0≤k <1006，k ∈Z .∴f (x )的极大值之和为S ＝f (π)＋f (3π)＋f (5π)＋…＋f (2011π)＝e π＋e 3π＋e 5π＋…＋e 2011π＝e π[1－(e 2π)1006]1－e 2π＝e π(1－e 2012π)1－e 2π，故选B.二、填空题5．若函数y ＝2x 3－3x 2＋a 的极大值是6，则a ＝________. [答案] 6[解析] y ′＝6x 2－6x ＝6x (x －1)，易知函数f (x )在x ＝0处取得极大值6，即f (0)＝6，∴a ＝6. 6．函数f (x )＝sin x ＋cos x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2的最大、最小值分别是________． [答案]2，－1[解析] f ′(x )＝cos x －sin x ＝0， ∴tan x ＝1，∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，∴x ＝π4， 当－π2<x <π4时，f ′(x )>0，π4<x <π2时，f ′(x )<0， ∴x ＝π4是函数f (x )的极大值点．∵f ⎝⎛⎭⎫－π2＝－1，f ⎝⎛⎭⎫π2＝1，f ⎝⎛⎭⎫π4＝ 2. ∴f (x )的最大值为2，最小值为－1.7．已知f (x )＝x 3－3bx ＋3b 在(0,1)内有极小值，则实数b 的取值范围是________． [答案] (0,1)[解析] ∵f ′(x )＝3x 2－3b ＝3(x 2－b )．因为函数f (x )在(0,1)内有极小值，故方程3(x 2－b )＝0在(0,1)内有解，所以0<b <1，即0<b <1. 三、解答题8．(2013·新课标Ⅰ文，20)已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值． [解析] (1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4. 由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4，故b ＝4，a ＋b ＝8. 从而a ＝4，b ＝4.(2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ， f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)(e x －12)．令f ′(x )＝0得，x ＝－ln2或x ＝－2.从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln2，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(－2，－ln2)时，f ′(x )<0. 故f (x )在(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln2)上单调递减． 当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2)． 9．(2014·三峡名校联盟联考)已知函数f (x )＝ln x ＋x 2＋ax . (1)当a ＝－3时，求函数y ＝f (x )的极值点；(2)当a ＝－4时，求方程f (x )＋x 2＝0在(1，＋∞)上的根的个数． [解析] (1)f (x )＝ln x ＋x 2－3x ，f ′(x )＝1x ＋2x －3，令f ′(x )＝0，则x ＝1或x ＝12，由f ′(x )>0得0<x <12，或x >1，∴f (x )在(0，12)和(1，＋∞)上单调递增，在(12，1)上单调递减，∴f (x )的极大值点x ＝12，极小值点x ＝1.(2)当a ＝－4时，f (x )＋x 2＝0，即ln x ＋2x 2－4x ＝0， 设g (x )＝ln x ＋2x 2－4x ，则g ′(x )＝1x ＋4x －4＝4x 2－4x ＋1x≥0，则g(x)在(0，＋∞)上单调递增，又g(1)＝－2<0，g(2)＝ln2>0，所以g(x)在(1，＋∞)上有唯一实数根．。

描述：例题：高中数学选修2-2(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案
第一章 导数及其应用 1.3 导数的应用
一、学习任务
1. 理解函数的单调性与导数的关系；会利用导数研究函数的单调性；会求不超过三次的多项式
函数的单调区间．2. 了解函数的极大（小）值，最大（小）值的概念；了解函数的极值与最值的区别和联系；掌
握求函数的极值与最值的方法．
3. 体会导数在解决实际问题中的作用；会利用导数解决实际生活中的有关利润最大、用料最
省、效率最高等优化问题；掌握最优化问题的建模及求解．二、知识清单
导数与函数的图象
利用导数研究函数的单调性
利用导数求函数的极值
利用导数求函数的最值
利用导数处理生活中的优化问题
三、知识讲解
1.导数与函数的图象
（1）导数 表示函数 在点 处的切线斜率．当切线斜率为正值时，
切线的倾斜角小于 ，函数曲线呈上升状态；当切线的斜率为负值时，切线的倾斜角大于 且小于 ，函数曲线呈下降状态．
（2）如果在区间 内恒有 ，那么函数 在区间 内是常函数．
()f ′x 0y =f (x )(,f ()x 0x 090∘90∘180∘(a ,
b )
(x )=0f ′y =f (x )(a ,b ) 是函数 的导函数， 的图象如图所示，则 的图象最有可能是下列选
项中的（ ）
(x )f ′f (x )y =(x )f ′f (x )
y=f
(x)
已知函数 的图象如图所示，则导函数
f(x)(a,b)则函数 在开区间
0.001 m
）？
S
（2）求面积 的最大值．解：（1）依题意，以
y=f(x)(−3,1)
2。

第一章 1.3 第3课时一、选择题1．某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y (万元)与营运年数x (x ∈N ＋)满足y ＝－x 2＋12x －25，则每辆客车营运多少年可使其营运年平均利润最大( )A ．3B ．4C ．5D ．6[答案] C[解析] 年平均利润f (x )＝y x ＝－x －25x ＋12(x ∈N ＋)，又f ′(x )＝－1＋25x 2，令f ′(x )＝0，解得x ＝5. 又极值唯一，故选C.2．以长为10的线段AB 为直径画半圆，则它的内接矩形面积的最大值为( ) A ．10 B ．15 C ．25 D ．50 [答案] C[解析] 如图，设∠NOB ＝θ，则矩形面积S ＝5sin θ×2×5cos θ＝50sin θcos θ＝25sin2θ，故S max ＝25.故选C.3．设底面为正三角形的直棱柱的体积为V ，那么其表面积最小时，底面边长为( ) A.3V B ．32V C.34V D ．23V[答案] C[解析] 设底面边长为x ，侧棱长为l ， 则V ＝12x 2·sin60°·l ，∴l ＝4V 3x 2.∴S 表＝2S 底＋3S 侧＝x 2sin60°＋3xl ＝32x 2＋43V x. 令S ′表＝3x －43Vx 2＝0，则x 3＝4V ，即x ＝34V . 又当x ∈(0，34V )时，S ′表<0； x ∈(34V ，V )时，S ′表>0.∴当x ＝34V 时，表面积最小．故选C.4．用边长为48cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四个角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四个角截去的正方形的边长为( )A ．6cmB ．8cmC ．10cmD ．12cm[答案] B[解析] 设截去的正方形的边长为x cm ，则做成的长方体无盖铁盒的底面边长为(48－2x )cm ，高为x cm ，体积V (x )＝(48－2x )2·x ＝4x 3－192x 2＋482x .其中0<x <24，V ′(x )＝12x 2－384x ＋482＝12(x 2－32x ＋192) 令V ′(x )＝0，则x 2－32x ＋192＝0，∴x 1＝8，x 2＝24(舍去)．在(0,24)中V (x )只有一个极值点，所以当正方形边长为8cm 时，铁盒容积最大．故选B. 5．福建炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时时，原油温度(单位：℃)为f (x )＝13x 3－x 2＋8(0≤x ≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是( )A ．8B ．203C ．－1D ．－8 [答案] C[解析] ∵f ′(x )＝x 2－2x (0≤x ≤5)，∴原油温度的瞬时变化率为：x 2－2x ，其最小值为－1. 6．内接于半径为R 的球且体积最大的圆柱体的高为( ) A.233RB ．33RC.332R D ．32R [答案] A[解析] 作轴截面如图，设圆柱高为2h ，则底面半径为R 2－h 2，圆柱体体积为V ＝π·(R 2－h 2)·2h ＝2πR 2h －2πh 3.令V ′＝0得2πR 2－6πh 2＝0，∴h ＝33R . 即当2h ＝233R 时，圆柱体的体积最大．故选A.7．有一长为16米的篱笆，要围成一个矩形场地，则此矩形场地的最大面积为( ) A ．32m 2 B ．14m 2 C ．16m 2 D ．18m 2[答案] C[解析] 设矩形的长为x 米，则宽为8－x ，矩形面积为S ＝x (8－x )(x >0)， 令S ′＝8－2x ＝0，得x ＝4，此时S 最大＝42＝16.故选C.8．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大的年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件 [答案] C[解析] 本题考查了导数的应用及求导运算，∵x >0，y ′＝－x 2＋81＝(9－x )(9＋x )，令y ′＝0，x ＝9，x ∈(0,9)，y ′>0，x ∈(9，＋∞)，y ′<0，y 先增后减，∴x ＝9时函数取最大值，选C ，属导数法求最值问题．二、填空题9．面积为S 的一切矩形中，其周长最小的是________． [答案] 以S 为边长的正方形 [解析] 设矩形的长为x ，则宽为Sx ，其周长l ＝2x ＋2S x (0<x <S )，l ′＝2－2Sx2，令l ′＝0得x ＝S ，当0<x <S 时，l ′<0，当S <x <S 时，l ′>0，∴当x ＝S 时，l 取极小值，这个极小值就是最小值．故面积为S 的一切矩形中，其周长最小的是以S 为边长的正方形．10．把长60cm 的铁丝围成矩形，当长为________cm ，宽为________cm 时，矩形面积最大． [答案] 15 15[解析] 设矩形的长为x cm ，则宽为60－2x2＝(30－x )cm(0<x <30)，矩形的面积S ＝x ·(30－x )＝30x －x 2，S ′＝30－2x ＝2(15－x )，令S ′＝0得x ＝15， 当0<x <15时S ′>0，当15<x <30时S ′<0，∴当x ＝15时，S 取极大值，这个极大值就是最大值，故当矩形长为15cm ，宽为15cm 时面积最大．11．某商品一件的成本为30元，在某段时间内，若以每件x 元出售，可卖出(200－x )件，当每件商品的定价为________元时，利润最大．[答案] 115[解析] 利润为S (x )＝(x －30)(200－x )＝－x 2＋230x －6000，(30≤x ≤200) S ′(x )＝－2x ＋230，由S ′(x )＝0得x ＝115，这时利润达到最大． 三、解答题12．(2014·福州市八县联考)永泰某景区为提高经济效益，现对某一景点进行改造升级，从而扩大内需，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值y 万元与投入x (x ≥10)万元之间满足：y ＝f (x )＝ax 2＋10150x －b ln x 10，a ，b 为常数．当x ＝10万元时，y ＝19.2万元；当x ＝30万元时，y ＝50.5万元．(参考数据：ln2＝0.7，ln3＝1.1，ln5＝1.6)．(1)求f (x )的解析式；(2)求该景点改造升级后旅游利润T (x )的最大值．(利润＝旅游增加值－投入)． [解析] (1)由条件可得⎩⎨⎧a ×102＋10150×10－b ln1＝19.2，a ×302＋10150×30－b ln3＝50.5，解得a ＝－1100，b ＝1，则f (x )＝－x 2100＋10150x －ln x10(x ≥10)．(2)T (x )＝f (x )－x ＝－x 2100＋5150x －ln x10(x ≥10)，则T ′(x )＝－x 50＋5150－1x ＝－(x －1)(x －50)50x ，令T ′(x )＝0，则x ＝1(舍)或x ＝50，当x ∈(10,50)时，T ′(x )>0，因此T (x )在(10,50)上是增函数； 当x ∈(50，＋∞)时，T ′(x )<0，因此T (x )在(50，＋∞)上是减函数， ∴当x ＝50时，T (x )取最大值．T (50)＝－502100＋5150×50－ln 5010＝24.4(万元)．即该景点改造升级后旅游利润T (x )的最大值为24.4万元.一、选择题1．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R 与年产量x 的关系是R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2(0≤x ≤400)80000(x >400)，则总利润最大时，每年生产的产品是( )A ．100B ．200C ．250D ．300[答案] D[解析] 由题意，总成本为C ＝20000＋100x ，所以总利润为P ＝R －C ＝ ⎩⎪⎨⎪⎧300x －12x 2－20000 (0≤x ≤400)60000－100x (x >400). P ′＝⎩⎪⎨⎪⎧300－x (0≤x ≤400)－100 (x >400).令P ′＝0，当0≤x ≤400时，得x ＝300；当x >400时，P ′<0恒成立，易知当x ＝300时，总利润最大．故选D.2．若一球的半径为r ，作内接于球的圆柱，则其侧面积最大为( ) A ．2πr 2B ．πr 2C ．4πr 2D ．12πr 2[答案] A[解析] 如图所示，设内接圆柱的底面半径为R ，母线长为l ，则R ＝r cos θ，l ＝2r sin θ.∴S 侧＝2πr cos θ·2r sin θ＝4πr 2sin θcos θ， ∴S ′＝4πr (cos 2θ－sin 2θ)＝0，∴θ＝π4，即当θ＝π4，R ＝2r 2时，S 侧最大，且最大值为2πr 2.故选A.3．用总长为6m 的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的相邻两边长之比为，那么容器容积最大时，高为( ) A ．0.5m B ．1m C ．0.8m D ．1.5m[答案] A[解析] 设容器底面相邻两边长分别为3x m,4x m ，则高为6－12x －16x 4＝⎝⎛⎭⎫32－7x (m)，容积V ＝3x ·4x ·⎝⎛⎭⎫32－7x ＝18x 2－84x 3⎝⎛⎭⎫0<x <314，V ′＝36x －252x 2，由V ′＝0得x ＝17或x ＝0(舍去)．x ∈⎝⎛⎭⎫0，17时，V ′>0，x ∈⎝⎛⎭⎫17，314时，V ′<0，所以在x ＝17处，V 有最大值，此时高为0.5m. 4．某工厂要围建一个面积为512 m 2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌墙所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为( )A ．32 16B ．30 15C ．40 20D ．36 18[答案] A[解析] 要求材料最省，则要求新砌的墙壁总长最短，设场地宽为x m ，则长为512xm ，因此新墙总长为L ＝2x ＋512x (x >0)，则L ′＝2－512x2，令L ′＝0得x ＝±16，又x >0，∴x ＝16，则当x ＝16时，L min ＝64，∴长为51216＝32(m)．故选A.二、填空题5．货车欲以x km/h 的速度行驶去130km 远的某地，按交通法规，限制x 的允许范围是[50,100]，假设汽油的价格为2元/升，而汽车耗油的速率是⎝⎛⎭⎫2＋x2360升/小时，司机的工资是14元/小时，则最经济的车速是________，这次行车的总费用最低是________．[答案] 1810km/h 2610元 [解析] 行车的总费用 y ＝130x ⎝⎛⎭⎫2＋x 2360×2＋130x ×14＝2340x ＋1318x ，y ′＝1318－2340x2令y ′＝0，解得x ＝1810∈[50,100]．∴当x ＝1810(km/h)时，总费用最低，且y min ＝2610(元)．6．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________． [答案] 3[解析] 设圆柱的底面半径为R ，母线长为L ，则V ＝πR 2L ＝27π， ∴L ＝27R 2，要使用料最省，只需使圆柱形表面积最小，∴S 表＝πR 2＋2πRL ＝πR 2＋2π27R ，∴S ′(R )＝2πR －54πR 2＝0，∴R ＝3，则当R ＝3时，S 表最小．7．在半径为R 的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为________时它的面积最大．[答案]3R 2[解析] 设∠OBC ＝θ， 则0<θ<π2.OD ＝R sin θ，BD ＝R cos θ，∴S △ABC ＝R cos θ(R ＋R sin θ)＝R 2cos θ＋R 2sin θcos θ.S ′(θ)＝－R 2sin θ＋R 2(cos 2θ－sin 2θ)＝0∴cos2θ＝sin θ，∴θ＝π6，即当θ＝π6时，△ABC 的面积最大，此时高为OA ＋OD ＝R ＋R 2＝3R2.三、解答题8．(2014·三峡名校联盟联考)时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y (单位：千套)与销售价格x (单位：元/套)满足的关系式y ＝mx －2＋4(x －6)2，其中2<x <6，m 为常数．已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套．(1)求m 的值；(2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格x 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．(保留1位小数)[解析] (1)因为x ＝4时，y ＝21，代入关系式y ＝m x －2＋4(x －6)2，得m2＋16＝21，解得m ＝10.(2)由(1)可知，套题每日的销售量y ＝10x －2＋4(x －6)2，所以每日销售套题所获得的利润f (x )＝(x －2)[10x －2＋4(x －6)2]＝10＋4(x －6)2(x －2)＝4x 3－56x 2＋240x －278(2<x <6)，从而f ′(x )＝12x 2－112x ＋240＝4(3x －10)(x －6)(2<x <6)．令f ′(x )＝0，得x ＝103，且在(0，103)上，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；在(103，6)上，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，所以x ＝103是函数f (x )在(2,6)内的极大值点，也是最大值点，所以当x ＝103≈3.3时，函数f (x )取得最大值．故当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大．9．(2014·山东省德州市期中)统计表明某型号汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升)关于行驶速度x (千米/小时)的函数为y ＝1128000x 3－380x ＋8(0<x <120)． (1)当x ＝64千米/小时时，行驶100千米耗油多少升？ (2)若油箱有22.5升油，则该型号汽车最多行驶多少千米？[解析] (1)当x ＝64千米/小时时，要行驶100千米需要10064＝2516小时，要耗油(1128000×643－380×64＋8)×2516＝11.95(升)．(2)设22.5升油能使该型号汽车行驶a 千米，由题意得， (1128000x 3－380x ＋8)×ax ＝22.5， ∴a ＝22.51128000x 2＋8x －380，设h (x )＝1128000x 2＋8x －380， 则当h (x )最小时，a 取最大值，h ′(x )＝164000x －8x 2＝x 3－80364000x 2，令h ′(x )＝0⇒x ＝80，当x ∈(0,80)时，h ′(x )<0，当x ∈(80,120)时，h ′(x )>0，故当x ∈(0,80)时，函数h (x )为减函数，当x ∈(80,120)时，函数h (x )为增函数， ∴当x ＝80时，h (x )取得最小值，此时a 取最大值为 ∴a ＝22.51128000×802＋880－380＝200.答：若油箱有22.5升油，则该型号汽车最多行驶200千米．。