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第八讲 因式分解思维导图重难点分析重点分析：1.因式分解的实质是多项式的恒等变形，是将多项式转化为几个整式的积的形式，和整式乘法是互逆关系.2.提取公因式法是因式分解的基本方法，关键在于找公因式.找公因式的方法是：一看系数，二看相同的字母或因式.3.平方差公式：a 2-b 2=（a+b ）（a-b ）；完全平方公式：a 2±2ab+b 2=（a±b）2是常用的两个公式，平方差公式适用于二项式，完全平方公式适用于三项式.4.因式分解的一般步骤：（1）若多项式有公因式，先提取公因式；（2）若多项式没有公因式，对于二项式，可以考虑应用平方差公式；对于三项式可以考虑应用完全平方公式或十字相乘法［x 2+（a+b ）x+ab=（x+a ）（x+b ）］；（3）当多项式不能应用公式或者项数多于三项时，也就是既没有公因式也不能用公式分解时，可以尝试用分组分解法，项数较少时可通过拆项或添项后再分组.难点分析：1.因式分解的对象是多项式.2.因式分解的两种常见错误：一是“提不净”，即有公因式没提干净；二是“分不清”，即分解不彻底，因式分解一定要分解到每一个因式都不能再分解为止.3.十字相乘法和分组分解法虽然是课本上不作要求的方法，但对于整式的变形有很大的作用，建议学会这两种方法.4.配方法、换元法、待定系数法、求根法、拆（添）项法等都是因式分解的常用方法.例题精析例1、下列从左到右的变形：①15x 2y=3x·5xy；②（a+b ）（a-b ）=a 2-b 2；③a 2-2a+1=（a-1）2；④3x 3-6x 2+4=3x 2（x-2）+4；⑤a 2-21b =(a+b 1)(a-b1)，其中是因式分解的个数是（ ）. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个思路点拨：因式分解就是把多项式分解成几个整式的积的形式，根据定义即可进行判断.①⑤分解的对象不是多项式，所以不是因式分解；②是整式的乘法；④没有完全分解成整式的乘积形式；只有③是因式分解.参考答案：B方法归纳：因式分解的几个特点：（1）“和差化积”，即等式右边是整式的乘积形式；（2）分解的对象是多项式；（3）恒等变形，即等式两边恒相等.易错误区：注意a 2-21b =(a+b 1)(a-b1)虽然是利用平方差公式将代数式分解成乘积形式，但由于分解的对象不是多项式，所以不能称为因式分解.例2、分解因式：（1）-4+x2；（2）-4x2y+4xy2-y3；（3）9（a-b）2-4（a+b）2；（4）3a2+bc-3ac-ab；（5）16x4-8x2y2+y4.思路点拨：（1）交换两个加数的位置，即可运用平方差公式；（2）提取公因式-y，即可运用完全平方公式；（3）首先运用平方差公式，再对括号内的式子进行整理即可；（4）首先要合理分组，再运用提公因式法完成因式分解；（5）先运用完全平方公式因式分解，再运用平方差公式因式分解.解题过程：（1）原式=x2-4=（x+2）（x-2）.（2）原式=-y（4x2-4xy+y2）=-y（2x-y）2.（3）原式=（3a-3b+2a+2b）（3a-3b-2a-2b）=（5a-b）（a-5b）.（4）原式=（3a2-3ac）+（bc-ab）=3a（a-c）-b（a-c）=（3a-b）（a-c）.（5）原式=（4x2-y2）2=（2x+y）2（2x-y）2.方法归纳：本题考查了用公式法、分组分解法分解因式，熟练掌握公式结构是解答本题的关键，合理分组也很重要.易错误区：第（2）题要先提取公因式，第（4）题要合理分组，第（5）题要分解彻底.例3、分解因式：x2-120x+3456.分析：由于常数项数值较大，则采用将x2-120x变为差的平方的形式进行分解，这样简便易行：原式=x2-2×60x+3600-3600+3456=（x-60）2-144=（x-60+12）（x-60-12）=（x-48）（x-72）.请按照上面的方法分解因式：x2+42x-3528.思路点拨：先把x2+42x-3528转化为x2+2×21x+441-441-3528，因为前三项符合完全平方公式，将x2+2×21x+441作为一组，然后进一步分解.解题过程：原式=x2+2×21x+441-441-3528=（x+21）2-3969=（x+21+63）（x+21-63）=（x+84）（x-42）.方法归纳：本题考查的是用分组分解法分解因式，关键是将原式转化为完全平方的形式，然后分组分解.解题时要求同学们要有构造意识和想象力.易错误区：本题主要方法是配方法，关键是将x2+42x配成完全平方式，配上的数应该是42的一半的平方，不要配成42的平方.例4、阅读下列材料并解答问题：因为（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，所以对于二次项系数为1的二次三项式x2+px+q的因式分解，就是把常数项q分解成两个数的积且使这两个数的和等于p，即若有a，b两数满足a·b=q 且a+b=p，则有x2+px+q=（x+a）（x+b）.例如：分解因式x2+5x+6.解：∵2×3=6，2+3=5，∴x2+5x+6=（x+2）（x+3）.再如:分解因式x2-5x-6.解：∵-6×1=-6，-6+1=-5，∴x2-5x-6=（x-6）（x+1）.同学们，阅读完上述文字后，你能完成下面的题目吗？试试看.分解因式：（1）x2+7x+12；（2）x2-7x+12；（3）x2+4x-12；（4）x2-x-12.思路点拨：发现规律：二次项系数为1的二次三项式x2+px+q的因式分解，就是把常数项q分解成两个数的积且使这两个数的和等于p，则x2+px+q=（x+a）（x+b）.解题过程：（1）∵3×4=12，3+4=7，∴原式=（x+3）（x+4）.（2）∵（-3）×(-4)=12,-3+(-4)=-7,∴原式=（x-3）（x-4）.（3）∵6×(-2)=-12，6+（-2）=4，∴原式=（x+6）（x-2）.（4）∵（-4）×3=-12，-4+3=-1，∴原式=（x-4）（x+3）.方法归纳：本题考查用十字相乘法分解因式，是x2+（a+b）x+ab型式子的因式分解的应用，应掌握x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）.易错误区：注意系数的符号，将常数项分解成两个数的积的时候要将符号考虑周全.例5、阅读下面的材料，解答下列问题：材料1：公式法（平方差公式、完全平方公式）是因式分解的一种基本方法.如对于二次三项式a2+2ab+b2，可以逆用乘法公式将它分解成（a+b）2的形式，我们称a2+2ab+b2为完全平方式.但是对于一般的二次三项式，就不能直接应用完全平方公式了，我们可以在二次三项式中先加上一项，使其配成完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变，于是有：x2+2ax-3a2=x2+2ax+a2-a2-3a2=（x+a）2-（2a）2=（x+3a）（x-a）.材料2：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1.解：将“x+y”看成一个整体，令x+y=A，则原式=A2+2A+1=（A+1）2.再将“A”还原，得：原式=（x+y+1）2.上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：（1）根据材料1，把c2-6c+8分解因式；（2）结合材料1和材料2完成下面各题：①分解因式：（a-b）2+2（a-b）+1；②分解因式：（m+n）（m+n-4）+3.思路点拨：（1）利用已知结合完全平方公式以及平方差公式分解因式得出答案；（2）①直接利用完全平方公式分解因式得出答案；②利用已知结合完全平方公式以及平方差公式分解因式得出答案.解题过程：（1）c2-6c+8=c2-6c+32-32+8=（c-3）2-1=（c-3+1）（c-3-1）=（c-2）（c-4）. （2）①（a-b）2+2（a-b）+1=（a-b+1）2.②设m+n=t，则t（t-4）+3=t2-4t+3=t2-4t+22-22+3=（t-2）2-1=（t-1）（t-3），∴（m+n）（m+n-4）+3=（m+n-1）（m+n-3）.方法归纳：本题主要考查了用公式法分解因式以及整体换元思想，熟练应用公式是解题关键. 易错误区：完全平方公式是配方的基本公式，特别注意配方是根据a2+2ab+b2来配常数，即若二次项系数是1，则常数项配一次项系数一半的平方，不是一次项系数的平方.探究提升例、分解因式：（1）4x3-31x+15；（2）x3+5x2+3x-9；（3）2a4-a3-6a2-a+2.思路点拨：（1）需把-31x拆项成-x-30x，再分组分解；（2）把x3+5x2+3x-9拆项成（x3-x2）+（6x2-6x）+（9x-9），再提取公因式因式分解；（3）先分组分解因式，再用拆项法把因式分解彻底.解题过程：（1）原式=4x3-x-30x+15=x（2x+1）（2x-1）-15（2x-1）=（2x-1）（2x2+x-15）=（2x-1）（2x-5）（x+3）.（2）原式=（x3-x2）+（6x2-6x）+（9x-9）=x2（x-1）+6x（x-1）+9（x-1）=(x-1)(x2+6x+9)=（x-1）（x+3）2.（3）原式=a3（2a-1）-（2a-1）（3a+2）=（2a-1）（a3-3a-2）=（2a-1）（a3+a2-a2-a-2a-2）=（2a-1）［a 2（a+1）-a （a+1）-2（a+1）］=（2a-1）（a+1）（a 2-a-2）=（a+1）2（a-2）（2a-1）.方法归纳：本题考查用公式法、分组分解法、十字相乘法、提取公因式法等方法进行因式分解，同时都应用了“拆项”、“添项”，所以难度较大.易错误区：本题是通过拆项法因式分解，拆项要围绕因式分解的基本方法进行，主要是为了出现公因式或可以应用公式，不能盲目去拆.走进重高1.【潍坊】将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（）. A.a 2-1 B.a 2+a C.a 2+a-2 D.（a+2）2-2（a+2）+12.【贺州】将m 3（x-2）+m （2-x ）分解因式的结果是 .3.【大庆】已知a+b=3，ab=2，求代数式a 3b+2a 2b 2+ab 3的值.4.先阅读第（1）题的解答过程，再解答第（2）题.（1）已知多项式2x 3-x 2+m 有一个因式是2x+1，求m 的值.解法一：设2x 3-x 2+m=（2x+1）（x 2+ax+b ），则2x 3-x 2+m=2x 3+（2a+1）x 2+（a+2b ）x+b.比较系数得⎪⎩⎪⎨⎧==+=+m,b 0,2b a -1,12a 解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===.21m ,21b -1,a ∴m=21.解法二：设2x 3-x 2+m=A·（2x+1）（A 为整式）.由于上式为恒等式，为方便计算取x=-21，2×-(21)3-(-21)2+m=0，故m=21.（2）已知x 4+mx 3+nx-16有因式x-1和x-2，求m ，n 的值.高分夺冠1.分解因式：（1）x4-1-4x2-4x；（2）x5+x+1；（3）a2-b2+4a+2b+3.2.因为（x+2）（x-1）=x2+x-2，所以（x2+x-2）÷（x-1）=x+2，这说明x2+x-2能被x-1整除，同时也说明多项式x2+x-2有一个因式为x-1，另外当x=1时，多项式x2+x-2的值为0.利用上述阅读材料求解：（1）已知x-2能整除x2+kx-16，求k的值；（2）已知（x+2）（x-1）能整除2x4-4x3+ax2+7x+b，试求a,b的值.无答案）4.已知x，y为正整数，并且xy+x+y=71，x2y+xy2=880，求3x2+8xy+3y2的值.。
4.3 用乘法公式分解因式第1课时用平方差公式分解因式知识点1平方差公式分解因式把乘法公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2反过来，得a2－b2＝(a＋b)(a－b)．两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．我们可以运用这个公式对某些多项式进行分解因式，这种方法叫运用平方差公式法．1．把下列多项式分解因式：(1)x2－36；(2)36－25y2；(3)(x＋p)2－(x＋q)2.一提公因式与平方差公式综合运用把下列各式分解因式：(1)18a2－8b2；(2)a5－81ab4.[归纳总结] (1)用平方差公式分解因式的条件：①二次(能写成平方的形式)；②异号．(2)对于多项式中的两部分不是很明显的平方形式，应先变形为平方形式，再运用公式进行因式分解，以免出现16a2－9b2＝(16a＋9b)·(16a－9b)的错误．(3)还要注意不要出现分解后又乘开的现象．(4)因式分解应遵循：一提二公式．同时因式分解需彻底．二尝试用平方差公式进行简便运算教材作业题第3题变式题用简便方法计算：(1)3142－2142；(2)3.14×752－3.14×252.探究三平方差公式分解因式的应用教材补充题如图4－3－1所示，在半径为R的大圆内部挖去四个半径为r的小圆．(1)用含R，r的式子表示剩余部分的面积S；(2)当R＝35 cm，r＝12.5 cm时，应用分解因式的知识计算剩余部分的面积(结果保留π)．图4－3－1[反思] 判断下列分解因式的过程是否正确，若不正确，请改正．①4a2－1＝(4a－1)(4a＋1)；②(x－y)2－4x2＝x2－2xy＋y2－4x2＝－3x2－2xy＋y2.1．下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是( )A．－m4－n4B．－16x2＋y2C．1.21－a2D．9a2－64b22．将整式9－x2分解因式的结果是( )A．(3－x)2B．(3＋x)(3－x)C．(9－x)2D．(9＋x)(9－x)3．将多项式x3－xy2分解因式，结果正确的是( )A．x(x2－y2) B．x(x－y)2C．x(x＋y)2D．x(x＋y)(x－y)4．已知－(2a－b)(2a＋b)是下列一个多项式分解因式的结果，则这个多项式是( )A．4a2－b2B．4a2＋b2C．－4a2－b2D．－4a2＋b25．观察下面4个分解因式的过程：(1)(x－3)2－y2＝x2－6x＋9－y2；(2)a2－4b2＝(a＋4b)(a－4b)；(3)4x6－1＝(2x3＋1)(2x3－1)；(4)m4n2－9＝(m2n＋3)(m2n－3)；(5)－a2－b2＝(－a＋b)(－a－b)．其中正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个6．某同学粗心大意，在分解因式时，把等式x4－■＝(x2＋4)(x＋2)(x－▲)中的两个数字弄污了，则式子中的■，▲对应的一组数字可以是( )A．8，1 B．16，2C．24，3 D．64，8二、填空题7．xx·嘉兴、舟山分解因式：a2－9＝__________．8．xx·长沙分解因式：x2y－4y＝________．9．xx·荆门分解因式：(m＋1)(m－9)＋8m＝________．10．xx·株洲因式分解：x2(x－2)－16(x－2)＝____________________．11．已知58－1能被20～30之间的两个整数整除，则这两个整数是________．三、解答题12．分解因式：(1)a3－16a；(2)16(a＋b)2－9(a－b)2；(3)m4(m－2)＋16(2－m)．13.用简便方法计算：(1)6.42－3.62；(2)1.42×16－2.22×4.14．设n是整数，用因式分解的方法说明：(2n＋1)2－25能被4整除．n(m>2n)的小正方形．(1)用含m，n的式子表示剩余部分的面积S；(2)当m＝13.2厘米，n＝3.4厘米时，利用分解因式计算剩余部分的面积．图4－3－2详解详析【预习效果检测】1．解：(1)x2－36＝x2－62＝(x＋6)(x－6)．(2)36－25y2＝62－(5y)2＝(6＋5y)(6－5y)．(3)(x＋p)2－(x＋q)2＝[(x＋p)＋(x＋q)][(x＋p)－(x＋q)]＝(2x＋p＋q)(p－q)．【重难互动探究】例1[解析] 分解因式时，要先观察多项式，有公因式的要先提取公因式再考虑是否符合公式．解：(1)18a2－8b2＝2(9a2－4b2)＝2(3a＋2b)(3a－2b)．(2)a5－81ab4＝a(a4－81b4)＝a(a2＋9b2)(a2－9b2)＝a(a2＋9b2)(a＋3b)(a－3b)．例2解：(1)原式＝(314＋214)×(314－214)＝52800.(2)原式＝3.14×(752－252)＝3.14×(75＋25)×(75－25)＝15700.例3[解析] 剩余部分的面积为大圆面积减去四个小圆的面积．解：(1)剩余部分的面积为S＝πR2－4πr2＝π(R2－4r2)＝π(R＋2r)(R－2r)．(2)当R＝35 cm，r＝12.5 cm时，S＝π(R＋2r)(R－2r)＝π(35＋2×12.5)×(35－2×12.5)＝π·60×10＝600π(cm2)．【课堂总结反思】[反思] 两个均不正确．改正：①4a2－1＝(2a)2－12＝(2a－1)(2a＋1)．②(x－y)2－4x2＝(x－y)2－(2x)2＝(x－y－2x)·(x－y＋2x)＝－(x＋y)(3x－y)．【作业高效训练】[课堂达标]1．A 2.B3．[解析] D x3－xy2＝x(x2－y2)＝x(x＋y)(x－y)．4．D 5.B 6.B7．[答案] (a＋3)(a－3)8．[答案] y(x＋2)(x－2)9．[答案] (m－3)(m＋3)10．[答案] (x－2)(x－4)(x＋4)11．[答案] 26，24[解析] 58－1＝(54＋1)(52＋1)(52－1)，因为52＋1＝26，52－1＝24，所以这两个数是26，24. 12．解：(1)原式＝a(a＋4)(a－4)．(2)原式＝(7a＋b)(a＋7b)．(3)原式＝m4(m－2)－16(m－2)＝(m－2)(m4－16)＝(m－2)(m2＋4)(m2－4)＝(m－2)(m2＋4)(m＋2)(m－2)＝(m－2)2(m＋2)(m2＋4)．13．[解析] 利用平方差公式简化计算过程．解：(1)6.42－3.62＝(6.4＋3.6)(6.4－3.6)＝10×2.8＝28.(2)1.42×16－2.22×4＝(1.4×4)2－(2.2×2)2＝5.62－4.42＝(5.6＋4.4)(5.6－4.4)＝10×1.2＝12.14．解：原式＝(2n＋1)2－52＝(2n＋1＋5)(2n＋1－5)＝(2n＋6)(2n－4)＝4(n＋3)(n－2)，即(2n＋1)2－25能被4整除．[数学活动][解析] 剩余部分的面积为大正方形的面积减去四个小正方形的面积．解：(1)S＝m2－4n2＝(m＋2n)(m－2n)．(2)当m＝13.2厘米，n＝3.4厘米时，S＝(m＋2n)(m－2n)＝(13.2＋3.4×2)(13.2－3.4×2)＝20×6.4＝128(厘米2)．所以剩余部分的面积为128平方厘米．。
浙教版七年级数学下册知识点汇总七年级（下册）1.平行线1.1.平行线在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
“平行”用符号“//”表示。
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
如图所示：同位角：∠1和∠5内错角：∠3和∠5同旁内角：∠4和∠51.3.平行线的判定两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
(同位角相等，两直线平行)两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。
(内错角相等，两直线平行)两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。
(同旁内角互补，两直线平行)在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
1.4.平行线的性质两条直线被第三条直线所截，同位角相等。
(两直线平行，同位角相等)两条直线被第三条直线所截，内错角相等。
(两直线平行，内错角相等)两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补。
(两直线平行，同旁内角互补)1.5.图形的平移图形平移的定义：一个图形沿某个方向移动，在移动的过程中，原图形上所有的点都沿同一个方向移动相同的距离，这样的图形运动叫做图形的平移。
图形平移的性质：（1）图形平移不改变图形的形状和大小。
（2）一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等。
图形平移的描述：要描述一个平移，必须先指出平移的方向和距离。
平移的方向和距离是决定平移的因素。
平移图形的画法：（1）找出原图形的关键点（如顶点或者端点）（2）按平移的方向和距离分别描出各个关键点平移后的对应点（3）按原图将各对应点顺次连接2.二元一次方程组2.1.二元一次方程像0.6x + 0.8y = 3.8这样，含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做二元一次方程。
使二元一次方程两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的解。
2.2.二元一次方程组由两个一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组，叫做二元一次方程组。
一■分式知识要点回顾1.因式分解几中常用方法①提取公因式法。
②乘法公式法：a2-b2二a b a-b ；a2_2ab b2二a_b 2。
③分组分解法：ma mb na nb = m a b n a b j i：a b m n。
④十字相乘法：x2・a・bx・ab=x・ax・b。
2.分式的有关概念A A .C A A 十C(1 )分式的基本性质：一=——C或—= --------- (C M0),其中A , B, C均为整式。
B B *C B B + C(2)分式的约分分式的约分依据是分式的基本性质，约去分子和分母中相同因式的最低次幕，约去分子和分母系数的最大公约数。
(3)分式的通分把两个或多个因式通分，先求出各个分式分母的最简公分母，再用分式的基本性质变形，达到通分目的。
(4)分式的运算①分式乘法法则： a c•—=ac - 。
b d bd②分式除法法则： a c / d : _ adb d bc bca c a 二c③分式的加减法：(1)同分母分式相加减：；(2)异分母分式相加减:b b ba c ad bc ad 二bc———= 十 = -------------- 。
b 一d bd bd bd3.分式方程(1)定义：只含分式或分式和整式，并且分母里含有未知数的方程叫做分式方程。
(2)解分式方程。
温馨提示：(1)在方程两边都乘以最简公分母时，切勿漏项；(2)验根是必要步骤。
二•巩固练习1.解下列分式方程‘ 2 小x 1 -x 2x (2)x_2 x -5x 6 x_3 2 -x , 11 -x -3 3 - x2.因式分解2 2a -6ab 12b 9b -4a x2_ 2xy「xz yz y2x2 -7x 6 x2 4x - 523x -11x 10 2x -11x 242 2x y 「3xy 2 2y -12y-282 2 2 x 4 -16xx 2「4xy _1 4y 2o12a b x-y -4ab y-x3.分式的混合运算(a 2-5a 21) 且-b . a? -a+2b‘ a 2+4ab+4 b 2a 1 a 1a —1 a -2a 1 a亠 a 2 -42 2xr. E y _ 2y打如* x2+6xy+9y £ 时卩2x-6 ,4-4x x 2(x 3)x 2 x -6 3—x其中a=1.4. 化简求值2x 2x -8/ X -2 x 4、—2十(x 3 2x xx x 1a 2「5a 6 a 2 -5a 4 a 「3 T—2 2a —16 a -4 a 41 —x 3 (2)x^ g 厂2)，其中1 x= . 25•计算2 2x -x_2x x-6X2_X_6 X2X_2的结果是6.当m为非负数时，求代数式———3有最大值还是最小值，并求出此最值。
4.3 用乘法公式分解因式(二)A 组1．填空：(1)分解因式：x 2－4x ＋4＝(x －2)2．(2)分解因式：4a 2－4a ＋1＝(2a －1)2．(3)若4x 2＋mx ＋25是一个完全平方式，则实数m ＝±20．(4)分解因式：2x 2－4x ＋2＝2(x －1)2．(5)分解因式：x 3＋2x 2＋x ＝x(x ＋1)2．2．下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是(C )A. m ＋1＋m 24B. －x 2＋2xy －y 2C. －a 2＋14ab ＋49b 2D. n 29－23n ＋1 3．把多项式x 2－6x ＋9分解因式，结果正确的是(A )A. (x －3)2B. (x －9)2C. (x ＋3)(x －3)D. (x ＋9)(x －9)4．分解因式：(1)x 2－x ＋14. 【解】原式＝x 2－2·x ·12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122 ＝⎝⎛⎭⎪⎫x －122. (2)a 2－12ab ＋116b 2.【解】原式＝a 2－2·a ·14b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14b 2 ＝⎝⎛⎭⎪⎫a －14b 2. (3)9m 2－6mn ＋n 2.【解】原式＝(3m )2－2·(3m )·n ＋n 2＝(3m －n )2.5．把下列各式分解因式：(1)3x 2－12xy ＋12y 2.【解】原式＝3(x 2－4xy ＋4y 2)＝3(x －2y )2.(2)－2x 3＋24x 2－72x .【解】原式＝－2x (x 2－12x ＋36)＝－2x (x －6)2.(3)(a ＋b )2－12(a ＋b )－36.【解】原式＝[(a ＋b )－6]2＝(a ＋b －6)2.(4)2m 2＋2m ＋12. 【解】原式＝2⎝⎛⎭⎪⎫m 2＋m ＋14 ＝2⎝⎛⎭⎪⎫m ＋122. 6．用简便方法计算：(1)9992＋2×999＋1.【解】原式＝9992＋2×999×1＋12＝(999＋1)2＝10002＝1000000.(2)552－110×45＋452.【解】原式＝552－2×55×45＋452＝(55－45)2＝102＝100.B组7．若(x2＋y2)(x2＋y2－2)＝8，则x2＋y2的值为__4__．【解】∵(x2＋y2)(x2＋y2－2)＝8，∴(x2＋y2)2－2(x2＋y2)＝8，(x2＋y2)2－2(x2＋y2)＋1＝9，∴(x2＋y2－1)2＝9，∴x2＋y2－1＝3或x2＋y2－1＝－3，∴x2＋y2＝4或x2＋y2＝－2.∵x2＋y2≥0，∴x2＋y2＝4.8．分解因式：(1)(a2＋1)2－4a2.【解】原式＝(a2＋1＋2a)(a2＋1－2a)＝(a＋1)2(a－1)2.(2)81＋x4－18x2.【解】原式＝x4－18x2＋81＝(x 2)2－2·x 2·9＋92＝(x 2－9)2＝[(x ＋3)(x －3)]2＝(x ＋3)2(x －3)2.9．(1)已知x 2＋4x ＋y 2＋2y ＋5＝0，求x y 的值．【解】x 2＋4x ＋y 2＋2y ＋5＝0，x 2＋4x ＋4＋y 2＋2y ＋1＝0，(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝0，∴x ＋2＝0且y ＋1＝0，∴x ＝－2，y ＝－1，∴x y ＝(－2)－1＝－12. (2)已知a ＋b ＝3，ab ＝2，求代数式a 3b ＋2a 2b 2＋ab 3的值．【解】a 3b ＋2a 2b 2＋ab 3＝ab (a 2＋2ab ＋b 2)＝ab (a ＋b )2＝2×32＝18.10．阅读材料，并回答问题：分解因式：x 2－120x ＋3456.分析：由于常数项数值较大，可以把x 2－120x ＋3456变为平方差的形式进行分解，这样就简便易行．解：x 2－120x ＋3456＝x 2－2×60x ＋3600－3600＋3456＝(x －60)2－144＝(x－60)2－122＝(x－60＋12)(x－60－12)＝(x－48)(x－72)．请按照上面方法分解因式：x2－16x－561.【解】x2－16x－561＝x2－16x＋64－64－561＝(x－8)2－625＝(x－8)2－252＝(x－8＋25)(x－8－25)＝(x＋17)(x－33)．11．已知(a＋2b)2－2a－4b＋1＝0，求(a＋2b)2018的值．【解】∵(a＋2b)2－2a－4b＋1＝0，∴(a＋2b)2－2(a＋2b)＋1＝0，∴(a＋2b－1)2＝0，∴a＋2b－1＝0，∴a＋2b＝1，∴(a＋2b)2018＝12018＝1.数学乐园12．阅读材料，并回答问题：分解因式：x4＋4.分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用乘法公式，怎么办呢？19世纪的法国数学家苏菲·热门抓住了该式只有两项，且都是数或式的平方和的形式的特点，添加了一项4x2组成完全平方公式，然后将4x2减去，即可得x4＋4＝x4＋4x2＋4－4x2＝(x2＋2)2－(2x)2＝(x2＋2x＋2)·(x2－2x＋2)．人们为了纪念苏菲·热门给出的这一解法，就把它叫做“热门定理”．请你依照苏菲·热门的做法，将下面各式分解因式：(1)x4＋4y4. (2)x2－2ax－b2－2ab.【解】(1)x4＋4y4＝x4＋4x2y2＋4y4－4x2y2＝(x2＋2y2)2－(2xy)2＝(x2＋2y2＋2xy)(x2＋2y2－2xy)．(2)x2－2ax－b2－2ab＝x2－2ax＋a2－a2－2ab－b2＝(x－a)2－(a＋b)2＝[(x－a)＋(a＋b)][(x－a)－(a＋b)]＝(x＋b)(x－2a－b)．。
4.3 用乘法公式分解因式（第1课时）课堂笔记两个数的平方差，等于这两个数的与这两个数的的积. 即a2-b2=（a+b）（a-b）. 分层训练A组基础训练1. 下列各式能用平方差公式分解因式的是（）A. 2x2+y2B. -x2+y2C. -x2-y2D. x3+（-y）22. 把多项式-4n2+m2分解因式，其结果正确的是（）A. （m+2n）（m-2n）B. （m+2n）2C. （m-2n）2D. （2n+m）（2n-m）3. 下列因式分解中，正确的有（）①4x2-1=（4x+1）（4x-1）②m2-n2=（m+n）（m-n）③-16+9x2=（4+3x）（-4+3x）④a2+（-b）2=（a+b）（a-b）A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④4. 在一个边长为12.75cm的正方形内挖去一个边长为7.25cm的正方形，则剩下部分的面积是（）A．11cm2B．20cm2C．110cm2D．200cm25. （金华中考）把代数式2x2-18分解因式，结果正确的是（）A. 2（x2-9）B. 2（x-3）2C. 2（x+3）（x-3）D. 2（x+9）（x-9）6. 下列各式不是多项式x3-x的因式的是（）A. xB. 3x-1C. x-1D. x+17．小敏是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a－b，x－y，x＋y，a＋b，x2－y2，a2－b2分别对应下列六个字：乡、爱、我、家、游、美，现将（x2－y2）a2－（x2－y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）A. 我爱美B. 家乡游C. 爱我家乡D. 美我家乡8．小华在抄因式分解的题目时，不小心漏抄了x的指数，他只知道该数为不大于10的正整数，且能利用平方差公式分解因式，他抄到作业本上的式子是x□-4y2（□表示漏抄的指数），则这个指数可能的结果共有（）A．2种B．3种C．4种D．5种9. 填空：（1）36x 2y 2-49a 2=（ ）2-（ ）2；（2）-4n 2+m 2=（ ）2-（ ）2；（3）m 4- =（m 2+5）（m 2- ）.10． （杭州中考）若整式x 2+ky 2（k 为不等于零的常数）能在有理数范围内因式分解，则k 的值可以是 （写出一个即可）.11． 已知x +y =2，则x 2-y 2+4y = ．12. 分解因式：9x 2（a -b ）+y 2（b -a ）= .13. 把下列各式分解因式：（1）1-16x 2；（2）-n 2+0.81m 2； （3）925x 2-64y 2；（4）（a +b ）2-4； （5）4m 2-（m +n ）2. （6）a 4-b 4；（7）x 3y 2-x 3； （8）25（m +n ）2-81（m -n ）2.14. 用简便方法计算：（1）552- 452； （2）9941×10043；（3）已知a +2b =5，a -2b =3，求5a 2-20b 2的值.B组自主提高15. 两个偶数的平方差，一定是（）A. 2B. 4C. 8D. 4的倍数16. 如图，某筑路工程队需要一种空心混凝土管道，它的规格是：内径d=120cm，外径D=150cm，长L=200cm. 利用分解因式计算：浇筑一节这样的管道需要多少立方米的混凝土（π取3.14，结果精确到0.1m3）.17. 阅读题：我们在计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）时，发现直接运算很麻烦，如果在算式前乘以（2-1）即1，原式的值不变，而且还使整个算式能运用平方差公式计算，解答过程如下：原式=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）=（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）=（24-1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）=…=264-1.你能用上述方法算出下列式子的值吗？请试试看.（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）.C组综合运用18．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如4=22-02，12=42-22，20=62-42，因此4，12，20这三个数都是和谐数．（1）36和2016这两个数是和谐数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的和谐数是4的倍数吗？为什么？（3）介于1到200之间的所有“和谐数”之和为．参考答案【课堂笔记】和 差【分层训练】1—6. BABCC 6. B7. C 【点拨】原式＝（x 2－y 2）（a 2－b 2）＝（x ＋y ）（x －y ）（a ＋b ）（a －b ）． ∵x ＋y ，x －y ，a ＋b ，a －b 四个代数式分别对应我、爱、家、乡，∴结果呈现的密码信息可能是“爱我家乡”．8. D9. （1）6xy 7a （2）m 2n （3）25 510. 答案不唯一，如-1，-4等11. 412. （a -b ）（3x +y ）（3x -y ）13. （1）（1+4x ）（1-4x ） （2）（0.9m +n ）（0.9m -n ）（3）（35x +8y ）（35x -8y ） （4）（a +b +2）（a +b -2） （5）（3m +n ）（m -n ） （6）（a -b ）（a +b ）（a 2+b 2）（7）x 3（y +1）（y -1） （8）4（7m -2n ）（7n -2m ）14. （1）1000 （2）9999167 （3）75 15. D16. 所需混凝土为[π（2D ）2-π（2d ）2]L =πL （2D -2d ）（2D +2d ）≈3.14×200（75-60）（75+60）=1271700（cm 3）=1.2717（m 3）≈1.3（m 3）. 所以浇筑一节这样的管道需要1.3立方米的混凝土.【点拨】混凝土的立方数即为图中阴影部分的体积，亦即大圆柱体与小圆柱体的体积差.17. 原式=21（3-1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）=21（32-1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）=…=21×（332-1）=21332 . 18. （1）36是“和谐数”，2016不是“和谐数”． 理由如下：36=102-82，2016=1008×2；（2）∵两个连续偶数为2k +2和2k （k 为自然数），∵（2k +2）2-（2k ）2=（2k +2+2k ）（2k +2-2k ）=（4k+2）×2=4（2k+1），∵4（2k+1）能被4整除，∴“和谐数”一定是4的倍数；（3）介于1到200之间的所有“和谐数”之和，S=（22-02）+（42-22）+（62-42）+…+（502-482）=502=2500. 故答案：2500．。
《用乘法公式分解因式（第1课时）》教学设计一、背景介绍本节课是学生学习了因式分解的概念，用提取公因式法分解因式后继续学习的。
在整式的乘法中学习了平方差公式，今天应用此公式因式分解，关键在于学生必须有逆向的思维，换元的思想，能体会到公式中a、b可以是数字、单项式、多项式。
把多项式转换到平方差公式的模型然后依据公式因式分解。
二、教学设计第1课时[教学内容分析]在前一课时，学生加深了对因式分解的概念的理解，学会了用提取公因式法因式分解，所以本课时的重点在于让学生体会到哪些多项式可用平方差公式分解，以及综合应用提取公因式法与平方差公式法对一些比较复杂的多项式进行因式分解。
[教学目标]1、经历平方差公式的产生过程，会用公式a2－b2=（a＋b）（a－b）分解因式2、认识a2－b2=（a＋b）（a－b）与（a＋b）（a－b）=a2－b2之间区别联系3、体验换元思想，培养学生观察、分析和解决问题能力。
4、体会用符号表示公式的意义，形成初步的符号感。
[教学重、难点]重点：掌握平方差公式的特点及运用此公式分解因式。
难点：把多项式转换到能用平方差公式分解因式的模式，综合运用多种方法因式分解。
[教学准备]每两名学生准备一张正方形纸板和画图工具[教学过程]设计理念：1、从情景的引入——模型构建——应用拓展来呈现教学内容，在本节课的前面安排了平方差公式产生的背景，使学生经历过实际问题“符号化”的过程，有了一定的符号感。
2、在复习了平方差公式后，通过一组由浅入深、由易到难的题组逐题递进，落实本节课的教学重点。
在教学形式上采用学生口述、互评等多种方法，激活学生的思维，营造良好的课堂氛围。
