4.3用乘法公式分解因式(2)

4.3 用乘法公式分解因式（2）课型：新授 主备人：魏柯平 审核人：姚琼晖班级： 姓名：【学习目标】知识：会判断多项式是完全平方式，并掌握用此公式分解因式的方法。

能力：（1）培养学生换元的思想，养成严密的思维习惯，进一步培养学生观察能力、 分析能力和概括能力（2）培养学生主动探索，敢于实践，勇于发现，合作交流的精神。

情感：（1）通过对形式不同的问题解答，激发学生的学习兴趣，使全体学生积极参与，体验到成功的喜悦。

（2）引导学生在课堂活动中感悟知识的生成，发展和变化。

【学习重难点】重点：用完全平方公式分解因式难点：灵活运用完全平方公式分解因式 【学习过程】一、课前预习1.叙述平方差公式，并写出公式.2.把下列各式分解因式： （1）216x+- （2）23xyx -（3）14-m（4）()()x y ab y x ab -+-33[归纳]：运用平方差公式进行因式分解的条件：①所给多项式为_______项，两项的符号_______；②这两项分别可以化为一个是数（或一个整式）的_______形式。

3.填空什么是完全平方公式？反过来我们能得到什么？ （1）()2a b +=（2）()2a b -=二、自主探究 思考：你能将多项式222b ab a ++与222bab a+-特点？ 归纳：()2222=++b ab a()2222=+-b ab a即：三、小组合作展示 分解因式1）16x 2+24x+9 2）-x 2+4xy-4y 23）3ax 2+6ay+3ay 24）（a+b ）2-12（a+b ）+36[归纳]：要判断一个多项式是否为完全平方式，必须符合三个条件：①该多项式有_____项，②有两项_____号且能写成某数（或式）的______，③第三项是两数（或式）的积_ _倍，符号可正可负。

3、下列多项式是不是完全平方式？为什么？（1）442+-a a ；（2）241a +；（3）1442-+b b ；（4）22b ab a ++ 4、若多项式912++kx x 是完全平方式，则k 的值为 5、在多项式：①22y xy x -+②222y xy x -+-③22y x xy ++④412x x +-中能用完全平方公式分解因式的是 。

4.3 公式法 第二课时一、学习准备：1、分解因式：492172+-x x2、填空：（1）=+2)(b a ； （2）2)(b a -= ； 二、学习目标：（1）了解运用公式法分解因式的意义； （2）会用完全平方公式进行因式分解； 三、自学提示： 活动一阅读课本57页例3上面部分，并回答问题或填空：(1) 如果一个多项式的各项不具备相同的因式，我们可以运用平方差公式进行分解因式，我们还学过其它的公式吗？哪个公式还可以进行分解因式？ 2、结合预习导学2，完成下列填空（1）222b ab a +- = ； （2）222b ab a ++= ； 3、乘法公式2)(b a ±= 。

4、形如222b ab a ++与222b ab a +-的式子称为完全平方式．把乘法公式反过来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做 。

活动二 观察222bab a +-；2244b ab a +-；25102++x x ,找出它们的共同特征。

然后讨论：1、什么样的多项式才可以用完全平方公式分解因式呢？2、下列各式是不是完全平方式？（1）a 2－4a ＋4；（2）x 2＋4x ＋4y 2；（3）4a 2＋2ab ＋41b 2； （4）22b ab a +-； （5）962--x x ； （6）25.02++a a ． 3、将下列各式分解因式。

（1）49142++x x （2）9)(6)(2++-+n m n m讨论：用完全平方公式分解因式我们首先要把题目中的多项式化为什么形式？由（2）知，公式中的a 、b 可以是单项式，也可以是4、将下列各式因式分解：（1）22363ay axy ax ++ （2）xy y x 4422+-- 四、学习小结：1、本节课你有哪些收获？2、预习时的疑难解决了吗？你还有哪些疑惑？3、你认为老师上课过程中还有哪些须要注意或改进的地方 五、夯实基础：1、判断正误： （1）222)(y x y x +=+( ) （2）222)(y x y x -=- ( )（3）222)(2y x y xy x -=-- ( ) （4）222)(2y x y xy x +-=--- ( ) 2、下列多项式中，哪些是完全平方式？请把是完全平方式的分解因式： （1）412+-x x （2）13922+-ab b a （3）251056+-x x3、把下列各式因式分解： （1）223612n mn m +- （2）422492416b b a a ++（3）222y x xy --- （4）2)(9)(124y x y x -+--六、能力提升： 1、,2,212=-=-ab b a 已知求42332444b a b a b a -+-的值。

4.3 用乘法公式分解因式（第2课时）课堂笔记两数的平方和，加上（或者减去）这两数的积的 倍，等于这两数和（或者差）的平方. 即a 2+2ab +b 2=（a +b ）2； a 2-2ab +b 2=（a -b ）2.注意：一般地，利用公式a 2-b 2=（a -b ）（a +b ），或a 2±2ab +b 2=（a ±b ）2把一个多项式分解因式的方法，叫做公式法. 公式中的a ，b 可以是数，也可以是整式.分层训练A 组 基础训练1. 下列各式是完全平方式的是（ ）A. x 2-x +1B. 4x 2+4xy +1C. x 2+xy +41y 2 D. x 2-4xz +z 2 2. （长春中考）把多项式x 2-6x +9分解因式，结果正确的是（ ）A ． （x -3）2B ． （x -9）2C ． （x +3）（x -3） D. （x +9）（x -9）3. 若等式x 2-x +k =（x -21）2成立，则k 的值是（ ） A. 21 B. -41 C. 41 D. ±41 4. 把代数式ax 2-4ax +4a 分解因式，下列结果中正确的是（ ）A. a （x -2）2B. a （x +2）2C. a （x -4）2D. a （x +2）（x -2）5. 如果A （5a +2b ）=25a 2+20ab +4b 2，则A 等于（ ）A. 5a +2bB. 5a -2bC. 5a +2ab +2bD. a 2-2b 26. 已知正方形的面积是（16-8x +x 2）cm 2（x >4），则正方形的周长是（ ）A ．（4-x ）cmB ．（x -4）cmC ．（16-4x ）cmD ．（4x -16）cm7. 下列多项式中，①x 2+2xy +4y 2；②a 2-2a +3；③41x 2-xy +y 2；④m 2-（-n ）2可以进行因式分解的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个8. 分解因式，若5a 2+ma +51=5（a -51）2，则m 的值是（ ） A. -2B. 2C. 52D. -529. 在括号内填入适当的数或单项式.（1）9a 2-（ ）+b 2=（ -b ）2；（2）x 4+4x 2+（ ）=（ ）2；（3）p 2-3p +（ ）=（p - ）2；（4）（a -b ）2-2（a -b ）+1=（ -1）2.10. 多项式a 3c -4a 2bc +4ab 2c 因式分解的结果是 .11. 若x =156，y =144，则多项式21x 2+xy +21y 2= . 12． 填空：（1）分解因式：x 2－4x ＋4＝ ．（2）4x 2 ＋9y 2＝（ ）2.（3）若4x 2＋mx ＋25是一个完全平方式，则实数m ＝ ．（4）分解因式：x 3＋2x 2＋x ＝ ．（5）分解因式：a 2－2ab ＋b 2－1= ．13. 多项式9x 2+1加上一个单项式后，使它能成为一个多项式的完全平方，那么加上的单项式可以是 （填上一个你认为正确的即可）.14. 把下列各式分解因式：（1）x 2+8x +16； （2）-4x 2+12xy -9y 2； （3）94m 2+34mn +n 2；（4）a 3+2a 2+a ； （5）（a +b ）2-18（a +b ）+81； （6）（x 2+2x ）2+2（x 2+2x ）+1.15. 利用因式分解计算下列各式：（1）872+87×26+132； （2）20182-4034×2018+20172.B 组 自主提高16． 把下列各式分解因式：（1）3x 2－12xy ＋12y 2； （2）a 2－ab ＋41b 2； （3）－2x 3＋24x 2－72x ；（4）9（p －q ）2－6p ＋6q ＋1； （5）（x 2－7）2－4（x 2－7）＋4.17. （1）已知b -a =-3，ab =-2，求-21a 3b +a 2b 2-21ab 3的值.（2）已知x 2+y 2-2x +6y +10=0，求x +y 的值.C组综合运用18.问题背景：对于形如x2-120x+3600这样的二次三项式，可以直接用完全平方公式将它分解成（x-60）2，对于二次三项式x2-120x+3456，就不能直接用完全平方公式分解因式了．此时常采用将x2-120x加上一项602，使它与x2-120x的和成为一个完全平方式，再减去602，整个式子的值不变，于是有：x2-120x+3456=x2-2×60x+602-602+3456=（x-60）2-144=（x-60）2-122=（x-60+12）（x-60-12）=（x-48）（x-72）.问题解决：（1）请你按照上面的方法分解因式：x2-140x+4756；（2）已知一个长方形的面积为a2+8ab+12b2，长为a+2b，求这个长方形的宽．参考答案【课堂笔记】2【分层训练】1—5. CACAA 6—8. DBA9. （1）6ab 3a （2）4 x 2+2 （3）49 23 （4）a -b 10. ac （a -2b ）211. 4500012. （1）（x －2）2 （2）±12xy 2x ±3y （3）±20（4）x （x ＋1）2 （5）（a －b ＋1）（a －b －1）13. 6x 或-6x 或481x 4 14. （1）（x +4）2 （2）-（2x -3y ）2 （3）（32m +n ）2 （4）a （a +1）2 （5）（a +b -9）2 （6）（x +1）415. （1）10000 （2）116. （1）原式＝3（x 2－4xy ＋4y 2）＝3（x －2y ）2（2）原式＝a 2－2·a ·21b ＋（21b ）2＝（a －21b ）2 （3）原式＝－2x （x 2－12x ＋36）＝－2x （x －6）2（4）原式＝9（p －q ）2－6（p －q ）＋1＝[3（p －q ）－1]2＝（3p －3q －1）2（5）原式＝（x 2－7－2）2＝（x 2－9）2＝[（x ＋3）（x －3）]2 ＝（x ＋3）2（x －3）217. （1）-21a 3b +a 2b 2-21ab 3=-21ab （a 2-2ab +b 2）=-21ab （a -b ）2=9 （2）由题意，得（x 2-2x +1）+（y 2+6y +9）=0，（x -1）2+（y +3）2=0. ∵（x -1）2与（y +3）2的值都是非负数，∴（x -1）2=0且（y +3）2=0，∴x =1，y =-3，∴x +y =-2.18. （1）x 2-140x +4756=x 2-2×70x +702-702+4756=（x -70）2-144=（x -70）2-122=（x -70+12）（x -70-12）=（x -58）（x -82）（2）∵a 2+8ab +12b 2=a 2+2×a ×4b +（4b ）2-（4b ）2+12b 2=（a +4b ）2-4b 2=（a +4b +2b ）（a +4b -2b ）=（a +2b ）（a +6b ），∴长为a +2b 时这个长方形的宽为a +6b.。

4.3用乘法公式分解因式第2课时用完全平方公式分解因式基础过关全练知识点1完全平方式1.若关于x的多项式x2-4x+a(其中a是常数)是完全平方式,则a的值是()A.2B.-2C.4D.-42.【新独家原创】若关于x的多项式x2+mx+n是完全平方式,则m,n 的值可能是()A.-1,14B.12,14C.14,-14D.-14,143.下列各式中,与2x2-6x的和是完全平方式的是()A.x+9B.3C.9D.9-x2知识点2用完全平方公式分解因式4.下列可以用完全平方公式因式分解的是()A.4a2-4a-1B.4a2+2a+1C.1-4a+4a2D.2a2+4a+15.(2022浙江杭州余杭期末)下列因式分解正确的是()A.x2+y2=(x+y)2B.x2+2xy+y2=(x-y)2C.x2+x=x(x-1)D.x2-y2=(x+y)(x-y)6.(2022贵州黔东南中考)分解因式:2 022x2-4 044x+2 022=.7.【一题多变】(2022黑龙江绥化中考)分解因式: (m+n)2-6(m+n)+9=.[变式] 分解因式:19-13(a+b)+14(a+b)2= . 8.【教材变式·P108T5变式】因式分解:(1)m 2-4mn+4n 2; (2)-a+2a 2-a 3;(3)4+12(a-b)+9(a-b)2; (4)(x 2+4)2-16x 2.9.(2021浙江杭州余杭模拟)给出三个多项式:①a 2+3ab-2b 2;②b 2-3ab;③ab+6b 2.请任意选择两个多项式进行加法运算,并把结果分解因式.知识点3 简便运算10.用简便方法计算: 1012+198×101+992.能力提升全练11.下列因式分解正确的是( ) A.ab+ac+a=a(b+c)B.a 2-4b 2=(a+4b)(a-4b)C.9a 2+6a+1=3a(3a+2)D.a 2-4ab+4b 2=(a-2b)212.(2022浙江绍兴柯桥期中,7,)若x 2+2(k+1)x+4是完全平方式,则k 的值为( ) A.1 B.-3 C.-1或3 D.1或-313.把(a+b)2-4(a 2-b 2)+4(a-b)2因式分解为( )A.(3a-b)2B.(3b+a)2C.(3b-a)2D.(3a+b)214.若ab=2,b-a=3,则-a 3b+2a 2b 2-ab 3的值为 .15.因式分解:a 2-b 2-x 2+y 2-2ay+2bx= .16.【新独家原创】下列单项式:①3x;②-5x;③-154;④-1516x 2;⑤-3x 中,加上x 2-x+4后成为一个完全平方式的有 .(填序号)17.【作差法比大小】已知P=2x2+4y+13,Q=x2-y2+6x-1,试比较P,Q的大小.18.【学科素养·运算能力】(2022浙江杭州外国语学校期中,22,)配方法是一种重要的解决问题的数学方法,它不仅可以将一个看似不能分解的多项式因式分解,还能解决一些与非负数有关的问题或代数式最大值、最小值的问题.请用配方法解决以下问题.(1)试说明:无论x,y取何值,多项式x2+y2-4x+2y+6的值总为正数;(2)分解因式:a4+a2+1;(3)已知实数a,b满足-a2+5a+b-3=0,求a+b的最小值.素养探究全练19.【运算能力】我们知道(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab,若将该式从右到左使用,就可得到用“十字相乘法”因式分解的公式:x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b).实例:分解因式:x2+5x+6=x2+(2+3)x+2×3=(x+2)(x+3).(1)分解因式:x2+6x+8=(x+)(x+);(2)请用上述方法解方程:x2-3x-4=0.答案全解全析基础过关全练1.C ∵关于x 的多项式x 2-4x+a(其中a 是常数)是完全平方式,∴a=4,故选C.2.A 当m=-1,n=14时,x 2+mx+n=x 2-x+14=(x −12)2,故选A. 3.D (2x 2-6x)+(9-x 2)=2x 2-6x+9-x 2=x 2-6x+9.故选D.4.C 1-4a+4a 2=(1-2a)2,故选C.5.D x 2+y 2不能分解,故A 错误;x 2+2xy+y 2=(x+y)2,故B 错误; x 2+x=x(x+1),故C 错误;x 2-y 2=(x+y)(x-y),故D 正确.故选D.6.答案 2 022(x-1)2解析 原式=2 022(x 2-2x+1)=2 022(x-1)2.7.答案 (m+n-3)2解析 原式=(m+n)2-2·(m+n)·3+32=(m+n-3)2.[变式] 答案 (13−12a −12b)2解析 原式=[13−12(a +b)]2=(13−12a −12b)2. 8.解析 (1)原式=m 2-2·m·2n+(2n)2=(m-2n)2.(2)原式=-a(a 2-2a+1)=-a(a 2-2·a·1+12)=-a(a-1)2.(3)原式=22+2·2·3(a-b)+[3(a-b)]2=[2+3(a-b)]2=(2+3a-3b)2.(4)原式=(x 2+4)2-(4x)2=(x 2+4+4x)(x 2+4-4x)=(x 2+4x+4)(x 2-4x+4)=(x+2)2(x-2)2.9.解析答案不唯一,写出以下任意一个即可.①+②得a2+3ab-2b2+b2-3ab=a2-b2=(a+b)(a-b).①+③得a2+3ab-2b2+ab+6b2=a2+4ab+4b2=(a+2b)2.②+③得b2-3ab+ab+6b2=7b2-2ab=b(7b-2a).10.解析1012+198×101+992=1012+2×99×101+992=(101+99)2=2002=40 000.能力提升全练11.D ab+ac+a=a(b+c+1),故A错误;a2-4b2=(a+2b)(a-2b),故B错误; 9a2+6a+1=(3a+1)2,故C错误;a2-4ab+4b2=(a-2b)2,故D正确.故选D.12.D∵x2±2·x·2+22=(x±2)2,∴k+1=±2,∴k=1或-3,故选D.13.C(a+b)2-4(a2-b2)+4(a-b)2=(a+b)2-2×2(a+b)(a-b)+[2(a-b)]2=(a+b-2a+2b)2=(3b-a)2.14.答案-18解析当ab=2,b-a=3时,-a3b+2a2b2-ab3=-ab(a2-2ab+b2)=-ab(b-a)2= -2×32=-18.15.答案(a-y+b-x)(a-y-b+x)解析a2-b2-x2+y2-2ay+2bx=(a2-2ay+y2)-(b2-2bx+x2)=(a-y)2-(b-x)2=(a-y+b-x)(a-y-b+x).16.答案③④⑤解析 ①3x+x 2-x+4=x 2+2x+4,不是完全平方式;②-5x+x 2-x+4=x 2-6x+4,不是完全平方式;③-154+x 2-x+4=x 2-x+14=(x −12)2,是完全平方式; ④-1516x 2+x 2-x+4=116x 2-x+4=(14x −2)2,是完全平方式; ⑤-3x+x 2-x+4=x 2-4x+4=(x-2)2,是完全平方式.综上,满足条件的有③④⑤.故答案为③④⑤.17.解析 ∵P=2x 2+4y+13,Q=x 2-y 2+6x-1,∴P-Q=(2x 2+4y+13)-(x 2-y 2+6x-1)=2x 2+4y+13-x 2+y 2-6x+1=x 2-6x+9+y 2+4y+4+1=(x-3)2+(y+2)2+1>0,∴P>Q.18.解析 (1)x 2+y 2-4x+2y+6=x 2-4x+4+y 2+2y+1+1=(x-2)2+(y+1)2+1,∵(x-2)2≥0,(y+1)2≥0,∴(x-2)2+(y+1)2+1>0,∴无论x,y 取何值,多项式x 2+y 2-4x+2y+6的值总为正数.(2)a 4+a 2+1=a 4+2a 2+1-a 2=(a 2+1)2-a 2=(a 2+a+1)(a 2-a+1).(3)∵-a 2+5a+b-3=0,∴b=a 2-5a+3,∴a+b=a 2-4a+3=(a-2)2-1,∴当a=2时,a+b 有最小值,为-1,∴a+b的最小值为-1.素养探究全练19.解析(1)2;4或4;2.(2)因为x2-3x-4=x2+(1-4)x+1×(-4)=(x-4)·(x+1)=0,所以x-4=0或x+1=0, 所以x=4或x=-1.。

2019-2020年七年级数学下册第4章因式分解4.3用乘法公式分解因式第1课时校本作业A本新版浙教版课堂笔记两个数的平方差，等于这两个数的与这两个数的的积. 即a2-b2=（a+b）（a-b）.分层训练A组基础训练1. 下列各式能用平方差公式分解因式的是（）A. 2x2+y2B. -x2+y2C. -x2-y2D. x3+（-y）22. 把多项式-4n2+m2分解因式，其结果正确的是（）A. （m+2n）（m-2n）B. （m+2n）2C. （m-2n）2D. （2n+m）（2n-m）3. 下列因式分解中，正确的有（）①4x2-1=（4x+1）（4x-1）②m2-n2=（m+n）（m-n）③-16+9x2=（4+3x）（-4+3x）④a2+（-b）2=（a+b）（a-b）A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④4. 在一个边长为12.75cm的正方形内挖去一个边长为7.25cm的正方形，则剩下部分的面积是（）A． 11cm2 B． 20cm2 C． 110cm2 D． 200cm25. （金华中考）把代数式2x2-18分解因式，结果正确的是（）A. 2（x2-9）B. 2（x-3）2C. 2（x+3）（x-3）D. 2（x+9）（x-9）6. 下列各式不是多项式x3-x的因式的是（）A. xB. 3x-1C. x-1D. x+17．小敏是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a－b，x－y，x＋y，a＋b，x2－y2，a2－b2分别对应下列六个字：乡、爱、我、家、游、美，现将（x2－y2）a2－（x2－y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）A. 我爱美B. 家乡游C. 爱我家乡D. 美我家乡8．小华在抄因式分解的题目时，不小心漏抄了x的指数，他只知道该数为不大于10的正整数，且能利用平方差公式分解因式，他抄到作业本上的式子是x□-4y2（□表示漏抄的指数），则这个指数可能的结果共有（）A． 2种 B． 3种 C． 4种 D． 5种9. 填空：（1）36x2y2-49a2=（）2-（）2；（2）-4n2+m2=（）2-（）2；（3）m4- =（m2+5）（m2- ）.10．（杭州中考）若整式x2+ky2（k为不等于零的常数）能在有理数范围内因式分解，则k 的值可以是（写出一个即可）.11．已知x+y=2，则x2-y2+4y= ．12. 分解因式：9x2（a-b）+y2（b-a）= .13. 把下列各式分解因式：（1）1-16x2；（2）-n2+0.81m2；（3）x2-64y2；（4）（a+b）2-4；（5）4m2-（m+n）2.（6）a4-b4；（7）x3y2-x3；（8）25（m+n）2-81（m-n）2.14. 用简便方法计算：（1）552-452；（2）99×100；（3）已知a+2b=5，a-2b=3，求5a2-20b2的值.B组自主提高15. 两个偶数的平方差，一定是（）A. 2B. 4C. 8D. 4的倍数16. 如图，某筑路工程队需要一种空心混凝土管道，它的规格是：内径d=120cm，外径D=150cm，长L=200cm. 利用分解因式计算：浇筑一节这样的管道需要多少立方米的混凝土（π取3.14，结果精确到0.1m3）.17. 阅读题：我们在计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）时，发现直接运算很麻烦，如果在算式前乘以（2-1）即1，原式的值不变，而且还使整个算式能运用平方差公式计算，解答过程如下：原式=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）=（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）=（24-1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）=…=264-1.你能用上述方法算出下列式子的值吗？请试试看.（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）.C组综合运用18．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如4=22-02，12=42-22，20=62-42，因此4，12，20这三个数都是和谐数．（1）36和xx这两个数是和谐数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的和谐数是4的倍数吗？为什么？（3）介于1到200之间的所有“和谐数”之和为．参考答案4.3 用乘法公式分解因式（第1课时）【课堂笔记】和差【分层训练】1—6. BABCC 6. B7. C 【点拨】原式＝（x2－y2）（a2－b2）＝（x＋y）（x－y）（a＋b）（a－b）．∵x＋y，x －y，a＋b，a－b四个代数式分别对应我、爱、家、乡，∴结果呈现的密码信息可能是“爱我家乡”．8. D9. （1）6xy 7a （2）m 2n （3）25 510. 答案不唯一，如-1，-4等11. 412. （a-b）（3x+y）（3x-y）13. （1）（1+4x）（1-4x）（2）（0.9m+n）（0.9m-n）（3）（x+8y）（x-8y）（4）（a+b+2）（a+b-2）（5）（3m+n）（m-n）（6）（a-b）（a+b）（a2+b2）（7）x3（y+1）（y-1）（8）4（7m-2n）（7n-2m）14. （1）1000 （2）9999 （3）7515. D16. 所需混凝土为[π（）2-π（）2]L=πL（-）（+）≈3.14×200（75-60）（75+60）=1271700（cm3）=1.2717（m3）≈1.3（m3）. 所以浇筑一节这样的管道需要1.3立方米的混凝土. 【点拨】混凝土的立方数即为图中阴影部分的体积，亦即大圆柱体与小圆柱体的体积差. 17. 原式=（3-1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）=（32-1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）=…=×（332-1）=.18. （1）36是“和谐数”，xx不是“和谐数”．理由如下：36=102-82，xx=1008×2；（2）∵两个连续偶数为2k+2和2k（k为自然数），∵（2k+2）2-（2k）2=（2k+2+2k）（2k+2-2k）=（4k+2）×2=4（2k+1），∵4（2k+1）能被4整除，∴“和谐数”一定是4的倍数；（3）介于1到200之间的所有“和谐数”之和，S=（22-02）+（42-22）+（62-42）+…+（502-482）=502=2500. 故答案：2500．2019-2020年七年级数学下册第4章因式分解4.3用乘法公式分解因式第2课时校本作业B本新版浙教版课堂笔记两数的平方和，加上（或者减去）这两数的积的倍，等于这两数和（或者差）的平方. 即a2+2ab+b2=（a+b）2； a2-2ab+b2=（a-b）2.注意：一般地，利用公式a2-b2=（a-b）（a+b），或a2±2ab+b2=（a±b）2把一个多项式分解因式的方法，叫做公式法. 公式中的a，b可以是数，也可以是整式.分层训练A组基础训练1. 下列各式是完全平方式的是（）A. x2-x+1B. 4x2+4xy+1C. x2+xy+y2D. x2-4xz+z22. （长春中考）把多项式x2-6x+9分解因式，结果正确的是（）A．（x-3）2 B．（x-9）2C．（x+3）（x-3） D. （x+9）（x-9）3. 若等式x2-x+k=（x-）2成立，则k的值是（）A. B. - C. D. ±4. 把代数式ax2-4ax+4a分解因式，下列结果中正确的是（）A. a（x-2）2B. a（x+2）2C. a（x-4）2D. a（x+2）（x-2）5. 如果A（5a+2b）=25a2+20ab+4b2，则A等于（）A. 5a+2bB. 5a-2bC. 5a+2ab+2bD. a2-2b26. 已知正方形的面积是（16-8x+x2）cm2（x>4），则正方形的周长是（）A．（4-x）cm B．（x-4）cm C．（16-4x）cm D．（4x-16）cm7. 下列多项式中，①x2+2xy+4y2；②a2-2a+3；③x2-xy+y2；④m2-（-n）2可以进行因式分解的个数有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8. 分解因式，若5a2+ma+=5（a-）2，则m的值是（）A. -2B. 2C.D. -9. 在括号内填入适当的数或单项式.（1）9a2-（）+b2=（ -b）2；（2）x4+4x2+（）=（）2；（3）p2-3p+（）=（p- ）2；（4）（a-b）2-2（a-b）+1=（ -1）2.10. 多项式a3c-4a2bc+4ab2c因式分解的结果是 .11. 若x=156，y=144，则多项式x2+xy+y2= .12．填空：（1）分解因式：x2－4x＋4＝．（2）4x2＋9y2＝（）2.（3）若4x2＋mx＋25是一个完全平方式，则实数m＝．（4）分解因式：x3＋2x2＋x＝．（5）分解因式：a2－2ab＋b2－1= ．13. 多项式9x2+1加上一个单项式后，使它能成为一个多项式的完全平方，那么加上的单项式可以是（填上一个你认为正确的即可）.14. 把下列各式分解因式：（1）x2+8x+16；（2）-4x2+12xy-9y2；（3）m2+mn+n2；（4）a3+2a2+a；（5）（a+b）2-18（a+b）+81；（6）（x2+2x）2+2（x2+2x）+1.15. 利用因式分解计算下列各式：（1）872+87×26+132；（2）xx2-4034×xx+xx2.B组自主提高16．把下列各式分解因式：（1）3x2－12xy＋12y2；（2）a2－ab＋b2；（3）－2x3＋24x2－72x；（4）9（p－q）2－6p＋6q＋1；（5）（x2－7）2－4（x2－7）＋4.17. （1）已知b-a=-3，ab=-2，求-a3b+a2b2-ab3的值. （2）已知x2+y2-2x+6y+10=0，求x+y的值.C组综合运用18.问题背景：对于形如x2-120x+3600这样的二次三项式，可以直接用完全平方公式将它分解成（x-60）2，对于二次三项式x2-120x+3456，就不能直接用完全平方公式分解因式了．此时常采用将x2-120x加上一项602，使它与x2-120x的和成为一个完全平方式，再减去602，整个式子的值不变，于是有：x2-120x+3456=x2-2×60x+602-602+3456=（x-60）2-144=（x-60）2-122=（x-60+12）（x-60-12）=（x-48）（x-72）.问题解决：（1）请你按照上面的方法分解因式：x2-140x+4756；（2）已知一个长方形的面积为a2+8ab+12b2，长为a+2b，求这个长方形的宽．参考答案4.3 用乘法公式分解因式（第2课时）【课堂笔记】2【分层训练】1—5. CACAA 6—8. DBA9. （1）6ab 3a （2）4 x2+2 （3）（4）a-b10. ac（a-2b）211. 4500012. （1）（x－2）2（2）±12xy 2x±3y （3）±20（4）x（x＋1）2 （5）（a－b＋1）（a－b－1）13. 6x或-6x或x414. （1）（x+4）2（2）-（2x-3y）2 （3）（m+n）2（4）a（a+1）2（5）（a+b-9）2（6）（x+1）415. （1）10000 （2）116. （1）原式＝3（x2－4xy＋4y2）＝3（x－2y）2（2）原式＝a2－2·a·b＋（b）2＝（a－b）2（3）原式＝－2x（x2－12x＋36）＝－2x（x－6）2（4）原式＝9（p－q）2－6（p－q）＋1＝[3（p－q）－1]2＝（3p－3q－1）2（5）原式＝（x2－7－2）2＝（x2－9）2＝[（x＋3）（x－3）]2＝（x＋3）2（x－3）217. （1）-a3b+a2b2-ab3=-ab（a2-2ab+b2）=-ab（a-b）2=9（2）由题意，得（x2-2x+1）+（y2+6y+9）=0，（x-1）2+（y+3）2=0. ∵（x-1）2与（y+3）2的值都是非负数，∴（x-1）2=0且（y+3）2=0，∴x=1，y=-3，∴x+y=-2.18. （1）x2-140x+4756=x2-2×70x+702-702+4756=（x-70）2-144=（x-70）2-122=（x-70+12）（x-70-12）=（x-58）（x-82）（2）∵a2+8ab+12b2=a2+2×a×4b+（4b）2-（4b）2+12b2=（a+4b）2-4b2=（a+4b+2b）（a+4b-2b）=（a+2b）（a+6b），∴长为a+2b时这个长方形的宽为a+6b.。

4.3 用乘法公式分解因式(二)A 组1．填空：(1)分解因式：x 2－4x ＋4＝(x －2)2．(2)分解因式：4a 2－4a ＋1＝(2a －1)2．(3)若4x 2＋mx ＋25是一个完全平方式，则实数m ＝±20．(4)分解因式：2x 2－4x ＋2＝2(x －1)2．(5)分解因式：x 3＋2x 2＋x ＝x(x ＋1)2．2．下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是(C )A. m ＋1＋m 24B. －x 2＋2xy －y 2C. －a 2＋14ab ＋49b 2D. n 29－23n ＋1 3．把多项式x 2－6x ＋9分解因式，结果正确的是(A )A. (x －3)2B. (x －9)2C. (x ＋3)(x －3)D. (x ＋9)(x －9)4．分解因式：(1)x 2－x ＋14. 【解】原式＝x 2－2·x ·12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122 ＝⎝⎛⎭⎪⎫x －122. (2)a 2－12ab ＋116b 2.【解】原式＝a 2－2·a ·14b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14b 2 ＝⎝⎛⎭⎪⎫a －14b 2. (3)9m 2－6mn ＋n 2.【解】原式＝(3m )2－2·(3m )·n ＋n 2＝(3m －n )2.5．把下列各式分解因式：(1)3x 2－12xy ＋12y 2.【解】原式＝3(x 2－4xy ＋4y 2)＝3(x －2y )2.(2)－2x 3＋24x 2－72x .【解】原式＝－2x (x 2－12x ＋36)＝－2x (x －6)2.(3)(a ＋b )2－12(a ＋b )－36.【解】原式＝[(a ＋b )－6]2＝(a ＋b －6)2.(4)2m 2＋2m ＋12. 【解】原式＝2⎝⎛⎭⎪⎫m 2＋m ＋14 ＝2⎝⎛⎭⎪⎫m ＋122. 6．用简便方法计算：(1)9992＋2×999＋1.【解】原式＝9992＋2×999×1＋12＝(999＋1)2＝10002＝1000000.(2)552－110×45＋452.【解】原式＝552－2×55×45＋452＝(55－45)2＝102＝100.B组7．若(x2＋y2)(x2＋y2－2)＝8，则x2＋y2的值为__4__．【解】∵(x2＋y2)(x2＋y2－2)＝8，∴(x2＋y2)2－2(x2＋y2)＝8，(x2＋y2)2－2(x2＋y2)＋1＝9，∴(x2＋y2－1)2＝9，∴x2＋y2－1＝3或x2＋y2－1＝－3，∴x2＋y2＝4或x2＋y2＝－2.∵x2＋y2≥0，∴x2＋y2＝4.8．分解因式：(1)(a2＋1)2－4a2.【解】原式＝(a2＋1＋2a)(a2＋1－2a)＝(a＋1)2(a－1)2.(2)81＋x4－18x2.【解】原式＝x4－18x2＋81＝(x 2)2－2·x 2·9＋92＝(x 2－9)2＝[(x ＋3)(x －3)]2＝(x ＋3)2(x －3)2.9．(1)已知x 2＋4x ＋y 2＋2y ＋5＝0，求x y 的值．【解】x 2＋4x ＋y 2＋2y ＋5＝0，x 2＋4x ＋4＋y 2＋2y ＋1＝0，(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝0，∴x ＋2＝0且y ＋1＝0，∴x ＝－2，y ＝－1，∴x y ＝(－2)－1＝－12. (2)已知a ＋b ＝3，ab ＝2，求代数式a 3b ＋2a 2b 2＋ab 3的值．【解】a 3b ＋2a 2b 2＋ab 3＝ab (a 2＋2ab ＋b 2)＝ab (a ＋b )2＝2×32＝18.10．阅读材料，并回答问题：分解因式：x 2－120x ＋3456.分析：由于常数项数值较大，可以把x 2－120x ＋3456变为平方差的形式进行分解，这样就简便易行．解：x 2－120x ＋3456＝x 2－2×60x ＋3600－3600＋3456＝(x －60)2－144＝(x－60)2－122＝(x－60＋12)(x－60－12)＝(x－48)(x－72)．请按照上面方法分解因式：x2－16x－561.【解】x2－16x－561＝x2－16x＋64－64－561＝(x－8)2－625＝(x－8)2－252＝(x－8＋25)(x－8－25)＝(x＋17)(x－33)．11．已知(a＋2b)2－2a－4b＋1＝0，求(a＋2b)2018的值．【解】∵(a＋2b)2－2a－4b＋1＝0，∴(a＋2b)2－2(a＋2b)＋1＝0，∴(a＋2b－1)2＝0，∴a＋2b－1＝0，∴a＋2b＝1，∴(a＋2b)2018＝12018＝1.数学乐园12．阅读材料，并回答问题：分解因式：x4＋4.分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用乘法公式，怎么办呢？19世纪的法国数学家苏菲·热门抓住了该式只有两项，且都是数或式的平方和的形式的特点，添加了一项4x2组成完全平方公式，然后将4x2减去，即可得x4＋4＝x4＋4x2＋4－4x2＝(x2＋2)2－(2x)2＝(x2＋2x＋2)·(x2－2x＋2)．人们为了纪念苏菲·热门给出的这一解法，就把它叫做“热门定理”．请你依照苏菲·热门的做法，将下面各式分解因式：(1)x4＋4y4. (2)x2－2ax－b2－2ab.【解】(1)x4＋4y4＝x4＋4x2y2＋4y4－4x2y2＝(x2＋2y2)2－(2xy)2＝(x2＋2y2＋2xy)(x2＋2y2－2xy)．(2)x2－2ax－b2－2ab＝x2－2ax＋a2－a2－2ab－b2＝(x－a)2－(a＋b)2＝[(x－a)＋(a＋b)][(x－a)－(a＋b)]＝(x＋b)(x－2a－b)．。

4.3因式分解——公式法（2）一、备课标1. 内容标准：能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超过二次）进行因式分解（指数是正整数）。

2.核心概念：本节课通过整式乘法的完全平方公式的逆向运用得出因式分解的完全平方公式的过程，让学生进一步了解分解因式与整式的乘法运算之间的互逆关系，在此过程中，通过观察、类比等方法，发展学生的观察能力与逆向思维能力，加深对类比数学思想的理解，渗透数学的“互逆”、降幂、整体的思想，感受数学知识的完整性．十大核心概念在本节课中突出培养的是学生的符号意识、运算能力、应用意识、推理能力。

二、备重点难点：1、教材分析：本节课是八下第四章《因式分解》的第三节课《公式法》的第2课时，属于“数与代数”领域中的“数与式”。

通过前面的学习，学生加深了对因式分解的概念的理解，学会了用提取公因式法、平方差公式进行因式分解，本节课通过整式乘法的完全平方公式的逆向运用得出因式分解的完全平方公式的过程，让学生进一步了解分解因式与整式的乘法运算之间的互逆关系，并会用完全平方公式进行因式分解,同时让学生能熟练地应对各种形式的多项式的因式分解，为下一章分式运算以及今后的方程、函数等知识的学习奠定一个良好的基础。

所以本课时的重点是用完全平方公式分解因式，难点是综合应用提取公因式法与公式法对一些比较复杂的多项式进行因式分解。

2、重点、难点分析本节课是对完全平方公式的再认识，通过整式乘法的逆向变形得到进行因式分解的方法，让学生进一步感受整式乘法与因式分解是互为逆变形的关系。

确定多项式是否具备完全平方式的特征是用完全平方公式因式分解的关键。

由此确定本节课的重难点是：重点：掌握完全平方公式的特点，会用此公式分解因式。

难点：综合应用提取公因式法与公式法对一些比较复杂的多项式进行因式分解。

三、备学情（一）学习条件和起点能力分析：1、学习条件分析（1）必要条件：学生在上几节课的基础上，已经了解了整式乘法运算与因式分解之间的互逆关系，在七年级的整式的乘法运算的学习过程中，学生已经学习了完全平方公式.（2）支持性条件：通过前几节课的活动和探索，学生对类比思想、数学对象之间的对比、观察等活动形式有了一定的认识与基础。

第4章 因式分解4.3 用乘法公式分解因式精选练习（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考开学考试）1. 下列因式分解正确的是（ ）A. ()222x xy y x y ++=+ B. ()()25623x x x x --=--C. ()3244x x x x -=- D. ()()22943232m n m n m n -=+-（2023春·七年级课时练习）2. 用分组分解2222a b c bc --+的因式，分组正确的是（ ）A. ()()222a b b bc --- B. ()2222a b c ab --+C. ()()2222a b c bc --- D. ()2222a b c bc -+-（2023春·广东佛山·七年级佛山市第四中学校联考阶段练习）3. 如图，有三种规格的卡片共9张，其中边长为a 的正方形卡片1张，边长为b 的正方形卡片4张，长，宽分别为a ，b 的长方形卡片4张．现使用这9张卡片拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为（ ）A. 2+a bB. 4a b +C. 2a b +D. 3a b +（2023春·全国·七年级专题练习）4. 已知2022202020212021202120202022x -=⨯⨯，则x 的值为（ ）A. 2023B. 2022C. 2021D. 2020（2023秋·山东淄博·八年级统考期末）5. 已知3b a -=，2ab =，计算：22a b ab -等于（ ）A. 6-B. 6C. 5D. 1-（2023春·七年级课时练习）6. 已知120212022a x =-+，120222022b x =-+，120232022c x =-+，那么，代数式222a b c ab bc ac ++---的值是（ ）A. 2022-B. 2022C. 3-D. 3（2023秋·广东韶关·八年级统考期末）7. 若+=3,+=1a b x y ，则代数式22+2++2 015a ab b x y －－的值是（ ）A. 2019B. 2017C. 2024D. 2023（2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆市凤鸣山中学校联考期末）8. 已知多项式224A x x n =++，多项式222633B x x n =+++．（1）2B A -≥；（2）若A B +=，4A B ⋅=-，则8A B -=-；（3）代数式22591262032A B A B A +-⋅-+的最小值为2023．以上结论正确的个数有（ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个（2022·湖南湘潭·校考一模）9. 分解因式：2288x x -+=_____．（2022秋·河南安阳·八年级统考期末）10. 如图，长与宽分别为a 、b 的长方形，它的周长为14，面积为10，则32232a b a b ab ++的值为________．（2022春·山东青岛·八年级山东省青岛市第五十七中学校考期中）11. 当12s t -=时，代数式22242s st t -+的值为______________．（2023春·全国·七年级专题练习）12. 若2310x x x +++=，则23201920201x x x x x ++++⋯++的值________．（2023春·四川达州·七年级校考阶段练习）13. 阅读材料：对于任何实数，我们规定符号a b c d 的意义是a b ad bc c d=-，例如：121423234=⨯-⨯=-，按照这个规定请你计算：当2440x x -+=时，12123x x x x +--的值是__________．（2023春·江苏·七年级专题练习）14. 阅读材料：根据多项式乘多项式法则，我们很容易计算：()()22356x x x x ++=++；()()21323x x x x -+=+-．而因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得：()()256=23x x x x ++++；()()223=13x x x x --++．通过这样的关系我们可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．如将式子223x x +-分解因式．这个式子的二次项系数是1=11⨯，常数项()3=13--⨯，一次项系数()2=13-+，可以用下图十字相乘的形式表示为：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次项系数，然后横向书写．这样，我们就可以得到：()()223=13x x x x --++．利用这种方法，将下列多项式分解因式：（1）2710=x x ++_______________；（2）223=x x --_________________；（3）2712=y y +-_________________；（4）2718=x x -+______________________．（2022春·山东青岛·八年级山东省青岛市第五十七中学校考期中）15. 因式分解：（1）22432a c c ac --+（2）()224216a b b --（2022春·山东青岛·八年级山东省青岛第七中学校考期中）16. 因式分解：（1）22()9()a x yb y x -+-（2）()222224x y x y +-（2023秋·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）17. 阅读材料：教科书中提到“222a ab b ++和222a ab b -+这样的式子叫做完全平方式．”有些多项式是完全平方式，我们可以通过添加项，凑成完全平方式，再减去这个添加项，使整个式子的值不变，这样也可以将多项式进行分解，并解决一些最值问题．例如：分解因式：()()()()()22222321412121213x x x x x x x x x --=-+-=--=-+--=+-求代数式223x x --的最小值()2222321414x x x x x --=-+-=--∵()210x -≥，∴当1x =时，代数式223x x --有最小值4-．结合以上材料解决下面的问题：（1）分解因式：267x x --；（2）当a ，b 为何值时，222242023a ab b b -+++有最小值？最小值是多少？（2023秋·重庆黔江·八年级统考期末）18. 阅读与思考：整式乘法与因式分解是方向相反的变形．由()()()2x p x q x p q x pq ++=+++得，()()()2x p q x pq x p x q +++=++；利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．例如：将式子256x x ++分解因式．分析：这个式子的常数项623=⨯，一次项系数523=+，所以()22562323x x x x ++=+++⨯．解：()()25623x x x x ++=++．请依照上面的方法，解答下列问题：（1）分解因式：2712x x ++；（2）分解因式：()()222332x x -+--；（3）若28x px +-可分解为两个一次因式的积，请写出整数p 的所有可能的值．（2023秋·云南昆明·八年级统考期末）19. （1）【知识再现】在研究平方差公式时，我们在边长为a 的正方形中剪掉一个边长为b 的小正方形（如图1），把余下的阴影部分再剪拼成一个长方形（如图2），根据图1、图2阴影部分的面积关系，可以得到一个关于a ，b 的等式①______．（2）【知识迁移】在边长为a 的正方体上挖去一个边长为b 的小正方体后，余下的部分（如图3）再切割拼成一个几何体（如图4）．根据它们的体积关系得到关于a ，b 的等式为②33a b -=______．（结果写成整式的积的形式）（3）【知识运用】已知4a b -=，3ab =，求33a b -的值．（2022春·湖南永州·七年级统考期中）20. 提出问题：你能把多项式256x x ++因式分解吗？探究问题：如图1所示，设a ，b 为常数，由面积相等可得：22()()()x a x b x ax bx ab x a b x ab ++=+++=+++，将该式从右到左使用，就可以对形如2()x a b x ab +++的多项式进行进行因式分解即2()()()x a b x ab x a x b +++=++．观察多项式2()x a b x ab +++的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项为两数之和．解决问题：2256(23)23(3)(2)x x x x x x ++=+++⨯=++运用结论：（1）基础运用：把多项式2524x x --进行因式分解．（2）知识迁移：对于多项式24415x x --进行因式分解还可以这样思考：将二次项24x 分解成图2中的两个2x 的积，再将常数项15-分解成5-与3的乘积，图中的对角线上的乘积的和为4x -，就是24415x x --的一次项，所以有24415(25)(23)x x x x --=-+．这种分解因式的方法叫做“十字相乘法”．请用十字相乘法进行因式分解：231914x x --（2023春·七年级课时练习）21. 将下列多项式因式分解，结果中不含因式(2)x +的是（ ）A. 224x x +B. 2312x -C. 26x x +- D. 2(2)8(2)16x x -+-+（2023·浙江宁波·校考一模）22. 如果328x ax bx +++能被232x x ++整除，则b a 的值是（ ）A. 2 B. 12 C.3 D. 13（2023春·全国·七年级专题练习）23. 计算22222111111111123456⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为（ ）．A. 512 B. 12 C. 712 D. 1130（2023春·新疆乌鲁木齐·八年级乌市八中校考开学考试）24. 已知2211244m n n m +=--，则22m n -的值为（ ）A. 2- B. 0 C. 1- D. 14-（2023·全国·九年级专题练习）25. 已知当22x m n =++和2x m n =+时，多项式246x x ++的值相等，且20m n -+≠，则当1x m n =++时，多项式246x x ++的值等于（ ）A. 439 B. 1399 C. 3 D. 11（2023春·七年级单元测试）26. 对于两个整式，22,A a ab B b ab =+=+，有下面四个结论：（1）当2,3a b ==时，A 的值为10；（2）当7,9A m B m =+=-时，则4a b +=；（3）当0A a =≠时，则1a b +=；（4）当248A B b ab -=+时，则2a b =-或6a b =；以上结论正确的有（ ）．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个（2022秋·北京·八年级校考阶段练习）27. 在日常生活中，如取款、上网等都需要密码，有一种利用“因式分解”法生成的密码，方便记忆．如：对于多项式44x y -，因式分解的结果是()()()22x y x y x y -++，若取9x =，9y =时，则各个因式的值是：()0x y -=，()18x y +=，()22162x y +=，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式329x xy -，取10x =，1y =时，用上述方法生成的密码可以是（ ）A. 101001B. 1307C. 1370D. 10137（2022秋·河南周口·八年级校考期末）28. 设m 、n 是实数，定义一种新运算：2()m n m n ⊗=-．下面四个推断正确的是（ ）A. m n n m⊗=⊗ B. 222()m n m n ⊗=⊗C. ()()m n p m n p ⊗⊗=⊗⊗ D. ()()()m n p m n m p ⊗-=⊗-⊗（2023·陕西渭南·统考一模）29. 因式分解：22x y y xy +-=________．（2023春·浙江·七年级专题练习）30. 利用配方法因式分解：22232a a a a +-=++______()2414a -=+-=______；（2023春·广东深圳·七年级坪山中学校考阶段练习）31. 已知12a a +=-，则441a a-的值是_____．（2023春·八年级课时练习）32. 已知2217m m +=（0m >），则代数式326103m m m -++=_____．（2023春·八年级课时练习）33. 若a 、b 是ABC 的两条边的长度，且满足226825a b a b +--=-，则ABC 面积的最大值是__________．（2022秋·全国·八年级专题练习）34. 阅读下面材料：分解因式：2232453x xy y x y +++++．因为()()22322x xy y x y x y ++=++，设()()22324532x xy y x y x y m x y n +++++=++++．比较系数得，425m n m n +=+=，．解得13m n ==，．所以()()2232453123x xy y x y x y x y +++++=++++．解答下面问题：在有理数范围内，分解因式2222111343x xy y x y ---+-=________．（2023春·浙江·七年级专题练习）35. 分解因式：（1）264a bc ab-（2）333x x -+（2023秋·辽宁沈阳·八年级校考期末）36. 因式分解（1）()()2294a x y b y x -+-（2）()2222214x y x y +-（2023·河北石家庄·统考一模）37. 发现：若两个已知正整数之差为奇数，则它们的平方差为奇数?若两个已知正整数之差为偶数，则它们的平方差为偶数．验证：如()22232+-=______________，()22343+-=______________．探究：设“发现”中的两个已知正整数为n ，n m +（两数之差为m ）．请论证“发现”中的结论的正确性．（2023秋·吉林长春·八年级统考期末）38. 如图，将一张长方形大铁皮切割成九块（切痕为虚线），其中有两块是边长都为cm a 的大正方形，两块是边长都为cm b 的小正方形，五块是长为cm a 、宽为cm b 的小长方形．（1）这张长方形大铁皮的长为____cm ，宽为_____cm ；（用含a 、b 的代数式表示）（2）求这张长方形大铁皮的面积S ；（用含a 、b 的代数式表示）（3）若一个小长方形的周长为22cm ，一个大正方形与一个小正方形的面积之差为233cm ，求a 、b 的值，并求这张长方形大铁皮的面积S ．（2023春·七年级课时练习）39. 把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负性这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用．例如：①用配方法因式分解：268a a ++．原式()()()()()2269131313124a a a a a a a =++-=+-=+-++=++②若222222M a ab b b =-+-+，利用配方法求M 的最小值：()()22222222222221111a ab b b a ab b b b a b b -+-+=-++-++=-+-+∵()20a b -≥，()210b -≥，∴当1a b ==时，M 有最小值1．请根据上述材料解决下列问题：（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：24a a ++______．（2）若231M a a =-+，求M 的最小值．（3）已知2222246130a b c ab b c ++---+=，求a b c ++的值．（2023秋·吉林长春·八年级统考期末）40. 我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图①可以得到()()22232a b a b a ab b ++=++．请回答下列问题：（1）写出图②中所表示的数学等式______；（2）猜测()2a b c d +++=______．（3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：已知12a b c ++=，48ab bc ca ++=，求222a b c ++的值；（4）在（3）的条件下，若a 、b 、c 分别是一个三角形的三边长，请判断该三角形的形状，并说明理由．第4章 因式分解4.3 用乘法公式分解因式精选练习（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考开学考试）【1题答案】【答案】D【解析】【分析】根据因式分解的方法进行逐一判断即可．【详解】解：A 、22x xy y ++不能进行因式分解，不符合题意；B 、()()25661x x x x --=-+，原因式分解错误，不符合题意；C 、()()()324422x x x x x x x -=-=+-，原因式分解错误，不符合题意；D 、()()22943232m n m n m n -=+-，因式分解正确，符合题意；故选D ．【点睛】本题主要考查了因式分解，熟知因式分解的方法是解题的关键．（2023春·七年级课时练习）【2题答案】【答案】D【解析】【分析】把二、三、四项作为一组，第一项作为一组，然后根据完全平方公式和平方差公式分解即可．【详解】解：2222a b c bc--+()2222a b c bc =-+-()22a b c =--()()a b c a b c =+--+．故选：D ．【点睛】本题考查了分组分解法分解因式，正确分组是解答本题的关键．（2023春·广东佛山·七年级佛山市第四中学校联考阶段练习）【3题答案】【答案】A【解析】【分析】计算大正方形的面积，因式分解即可得到边长．【详解】解：大正方形的面积为()222442a b ab a b ++=+，∴大正方形的边长为2+a b ，故选：A ．【点睛】此题考查了因式分解的应用，正确理解题意列得面积进行因式分解是解题的关键．（2023春·全国·七年级专题练习）【4题答案】【答案】D【解析】【分析】原式先提取公因式，再运用平方差公式进行计算即可求解．【详解】解：2022202020212021- ()20202202120211=⨯-()()202020212021120211=⨯+⨯-2020202220212020=⨯⨯，又2022202020212021202220212020x -=⨯⨯ ，2020202220212020202220212020x ∴⨯⨯=⨯⨯，2020x ∴=．故选：D ．【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．（2023秋·山东淄博·八年级统考期末）【答案】A【解析】【分析】先提取公因式ab ，再化为()ab b a --，再整体代入求值即可．【详解】解：∵3b a -=，2ab =，∴()()22236a b ab ab a b ab b a -=-=--=-⨯=-，故选：A【点睛】本题考查的是因式分解的应用，求解代数式的值，掌握“提公因式分解因式”是解本题的关键．（2023春·七年级课时练习）【6题答案】【答案】D【解析】【分析】先求解1a b -=-，1b c -=-，2a c -=-，再把原式化为()()()22212a b b c a c ⎡⎤-+-+-⎣⎦，再代入求值即可．【详解】解：∵120212022a x =-+，120222022b x =-+，120232022c x =-+，∴1a b -=-，1b c -=-，2a c -=-，∴222a b c ab bc ac++---()=++---22212222222a b c ab bc ac ()()()22212a b b c a c =-+-+-⎡⎤⎣⎦ ()11142=++ 3=；故选D ．【点睛】本题考查的是利用完全平方公式分解因式，因式分解的应用，求解代数式的值，掌握“完全平方公式的应用”是解本题的关键．（2023秋·广东韶关·八年级统考期末）【答案】D【解析】【分析】把所给代数式变形后把+=3,+=1a b x y 代入计算即可．【详解】解：∵+=3,+=1a b x y ，∴22+2++2 015a ab b x y －－()()2+2 015a b x y =+-+231+2 015=-2023=．故选D ．【点睛】此题考查了因式分解的应用，代数式求值问题，要熟练掌握，求代数式的值可以直接代入、计算，也可以运用整体代入的思想，本题就利用了整体代入进行计算．（2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆市凤鸣山中学校联考期末）【8题答案】【答案】C【解析】【分析】（1）把A ，B 代入化简后，根据完全平方公式变形为()()221111x n ++++≥，故（1）错误；（2）根据完全平方公式的变形可得8A B -=±，再由1B A -≥，可得8A B -=-，故（2）正确；（3）根据完全平方公式变形为()()2223320232023A B A -+-+≥，故（3）正确，即可．【详解】解：（1）()()222226334x x n B A x x n +++--+=+222226334x x n x x n =--+-++222223x x n n +++=+22221211x x n n +++++=+()()22111x n +++=+1≥，故（1）错误；（2）∵A B +=，∴()248A B +=，即22248A AB B +⋅+=∵4A B ⋅=-，∴2256A B +=，∴()222264A B A A B B -=-⋅+=，∴8A B -=±，∵1B A -≥，∴0A B -<，∴8A B -=-，故（2）正确；（3）22591262032A B A B A +-⋅-+2224129692023A AB B A A =-⋅++-++()()222332023A B A =-+-+2023≥，故（3）正确；故选：C【点睛】本题主要考查了完全平方公式的变形及其应用，熟练掌握完全平方公式的特征是解题的关键．（2022·湖南湘潭·校考一模）【9题答案】【答案】()222x -【解析】【分析】先提取公因式2，再利用完全平方公式分解因式即可．【详解】解：原式()2244x x -=+()222x =-．故答案为：()222x -．【点睛】本题考查了综合提公因式法和公式法分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．（2022秋·河南安阳·八年级统考期末）【10题答案】【答案】490【解析】【分析】利用面积公式得到10ab =，由周长公式得到7a b +=，所以将原式因式分解得出()2ab a b +．将其代入求值即可．【详解】解：∵长与宽分别为a 、b 的长方形，它的周长为14，面积为10，∴10,7ab a b =+=，∴()()2322322222107490a b a b ab ab a ab b ab a b ++=++=+=⨯=．故答案为：490【点睛】此题考查了因式分解的应用，熟记公式结构正确将原式分解因式是解题的关键．（2022春·山东青岛·八年级山东省青岛市第五十七中学校考期中）【11题答案】【答案】12【解析】【分析】将所求式子因式分解，再整体代入计算即可．【详解】解：∵12s t -=，∴22242s st t -+()2222s st t =-+()22s t =-2122⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭12=故答案为：12．【点睛】此题主要考查了代数式求值，因式分解，正确将原式变形得出是解题关键．（2023春·全国·七年级专题练习）【12题答案】【答案】1【解析】【分析】对所求代数式每相邻四项为一组提取公因式，然后代入已知条件式进行求解即可．【详解】解：2310x x x +++= ，∴原式()()()234567820172018201920201x x x x x x x x x x x x =+++++++++⋯++++()()()235232017231111x x x x x x x x x x x x =+++++++++⋯++++1000=+++⋯+1=．故答案为：1．【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，解答本题的关键是把原式每相邻的四项提取公因式，此题难度不大．（2023春·四川达州·七年级校考阶段练习）【13题答案】【答案】1-【解析】【分析】根据：2440x x -+=时，可得：2(2)0x -=，据此求出x 的值是多少，进而求出12123x x x x +--的值是多少即可．【详解】解：2440x x -+= 时，2(2)0x ∴-=，20x ∴-=，解得2x =，∴12123x xx x +--3411=3141=⨯-⨯34=-1=-故答案为：1-．【点睛】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．（2023春·江苏·七年级专题练习）【14题答案】【答案】 ①. ()()25x x ++ ②. ()()31x x -+ ③.()()34y y -- ④. ()()92x x +-【解析】【分析】根据题意，（1）将式子2710x x ++分解因式，这个式子的二次项系数是1=11⨯，常数项10=25⨯，一次项系数7=25+；（2）将式子223x x --分解因式，这个式子的二次项系数是1=11⨯，常数项()3=13-⨯-，一次项系数()2=1+3--；（3）将式子2712y y -+分解因式，这个式子的二次项系数是1=11⨯，常数项()()12=34-⨯-，一次项系数()7=3+4---；（4）将式子2718x x +-分解因式，这个式子的二次项系数是1=11⨯，常数项()18=29--⨯，一次项系数7=2+9-．【详解】（1）将式子2710x x ++分解因式，这个式子的二次项系数是1=11⨯，常数项10=25⨯，一次项系数7=25+，∴()()2710=25x x x x ++++．（2）将式子223x x --分解因式，这个式子的二次项系数是1=11⨯，常数项()3=13-⨯-，一次项系数()2=1+3--，∴()()223=31x x x x ---+．（3）将式子2712y y -+分解因式，这个式子的二次项系数是1=11⨯，常数项()()12=34-⨯-，一次项系数()7=3+4---，∴()()2712=34y y y y +---．（4）将式子2718x x +-分解因式，这个式子的二次项系数是1=11⨯，常数项()18=29--⨯，一次项系数7=2+9-，∴()()2718=92x x x x -++-．故答案为：（1）()()25x x ++，（2）()()31x x -+，（3）()()34y y --，（4）()()92x x +-．【点睛】本题主要考查了因式分解－十字相乘法，根据题意可知a 、b 是相互独立的，利用多项式相乘法则计算，再根据对应系数相等即可求出a 、b 的值是解题的关键．（2022春·山东青岛·八年级山东省青岛市第五十七中学校考期中）【15题答案】【答案】（1）()22c a c --（2）()44a a b -【解析】【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式分解；（2）先提公因式，再利用平方差公式分解．【小问1详解】解：22432a c c ac --+()2222c a c ac =-+-()22c a c =--；【小问2详解】()224216a b b --()22424a b b ⎡⎤=--⎣⎦()()42222a b b a b b =-+--()44a a b =-【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．（2022春·山东青岛·八年级山东省青岛第七中学校考期中）【16题答案】【答案】（1）()()()33x y a b a b -+-（2）()()22x y x y +-【解析】【分析】（1）先提公因式()x y -，然后根据平方差公式进行计算即可求解；（2）先根据完全平方公式展开，然后根据完全平方公式与平方差公式因式分解即可求解．【小问1详解】解：22()9()a x y b y x -+-()()229x y a b =--()()()33x y a b a b =-+-；【小问2详解】解：()222224x y x y +-42242224x x y y x y =++-()222x y =-()()22x y x y =+-．【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法以及乘法公式是解题的关键．（2023秋·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）【17题答案】【答案】（1）()()17+-x x ；（2）2a b ==-时，最小值为2019．【解析】【分析】（1）将多项式加9再减9，利用配方法可得；（2）将多项式配方后可得结论．【小问1详解】解：267x x --26916x x =-+-()2234x =--()()3434x x =-+--()()17x x =+-；【小问2详解】解：222242023a ab b b -+++2222442019a ab b b b =-+++++()()2222019a b b =-+++，∵()20a b -≥，()220b +≥，∴当0a b -=，20b +=，即2a b ==-时，原代数式有最小值，最小值为2019．【点睛】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，将多项式配方，再利用非负数的性质解答是解题的关键．（2023秋·重庆黔江·八年级统考期末）【18题答案】【答案】（1）()()34++x x（2）()()()()2211x x x x +-+-（3）7±，2±【解析】【分析】（1）利用十字相乘法分解因式即可；（2）将23x -看作整体，利用十字相乘法分解，再利用平方差公式分解可得；（3）找出所求满足题意p 的值即可．【小问1详解】解：()()271234x x x x ++=++【小问2详解】解：原式()()223132x x =---+()()2241x x =--()()()()2211x x x x =+-+-；【小问3详解】解：若28x px +-可分解为两个一次因式的积，则整数p 的所有可能的值是：817-+=-；187-+=；242-+=；422-+=-，即整数p 的所有可能的值是：7±，2±．【点睛】此题考查了因式分解——十字相乘法，弄清题中的分解因式方法是解本题的关键．（2023秋·云南昆明·八年级统考期末）【19题答案】【答案】【知识再现】()()22a b a b a b -=+-；【知识迁移】()()22a b a ab b -++；【知识运用】100．【解析】【分析】（1）由题意可知，图1 阴影面积为大正方形面积减小正方形面积，图2剪拼后一个长方形长为()a b +，宽为()a b -，据此列等式即可得到答案；（2）由题意可知，图3的体积为大正方形体积减小正方形体积，图4切割拼成的几何体正面面积为()22a ab b ++，高为()a b -，据此列等式即可得到答案；（3）先利用完全平方公式求出2222a b +=，再根据结论对33a b -进行变形，即可计算求值．【详解】（1）【知识再现】解：根据题意可得：()()22a b a b a b -=+-，故答案为：()()22a b a b a b -=+-；（2）【知识迁移】解：根据题意可得：()()3322a b a b a ab b -=-++，故答案为：()()22a b a ab b -++；（3）【知识运用】4a b -= ，3ab =，()222216622a b a b ab ∴+=-+=+=，()()()33224223425100a b a b a ab b ∴-=-++=⨯+=⨯=．【点睛】本题考查了因式分解的应用，利用数形结合的方法解决问题是解题关键．（2022春·湖南永州·七年级统考期中）【20题答案】【答案】（1）()()83x x -+（2）327()()x x +-【解析】【分析】（1）把24-拆成83-⨯即可；（2）把23x 拆成3x x ⋅，把-14拆成()27⨯-即可．【小问1详解】解：()()2524 83x x x x --=-+；【小问2详解】解：231914(32)(7)x x x x --=+-．【点睛】本题属于阅读理解题型，考查了因式分解的十字相乘法，解题关键是掌握十字相乘法的运算规律．（2023春·七年级课时练习）【21题答案】【答案】C【解析】【分析】将四个选项的式子分别进行因式分解，即可作出判断．【详解】A 、2242(2)x x x x +=+，故该选项不符合题意；B 、223123(4)3(2)(2)x x x x -=-=+-，故该选项不符合题意；C 、26(2)(3)x x x x +-=-+，故该选项符合题意；D 、()()222(2)8(2)16242x x x x -+-+=-+=+，故该选项不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了因式分解，涉及提公因式法、公式法、十字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解决本题的关键．（2023·浙江宁波·校考一模）【22题答案】【答案】A【解析】【分析】先把232x x ++因式分解为(2)(1)x x ++，找到进而得到21--，是方程328=0x ax bx +++的根，代入整理得2b a =，计算即可解题．【详解】解：∵232=(2)(1)x x x x ++++∴328x ax bx +++能被(2)(1)x x ++整除，即21--，是方程328=0x ax bx +++的根，∴84280180a b a b -+-+=⎧⎨-+-+=⎩，解得20a b -=，∴2b a =，∴=2b a，故选A ．【点睛】本题考查整除问题，转化为求方程的解是解题的关键．（2023春·全国·七年级专题练习）【23题答案】【答案】C【解析】【分析】原式各括号利用平方差公式变形，约分即可得到结果．【详解】原式111111111111111111112233445566⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，13243546572233445566=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯，1726=⨯，712=，故选：C ．【点睛】本题考查的是平方差公式，掌握运算法则和平方差公式是解题关键．（2023春·新疆乌鲁木齐·八年级乌市八中校考开学考试）【24题答案】【答案】A【解析】【分析】首先根据2211244m n n m +=--，可得：()()2222m n ++-＝0，据此求出m 、n 的值各是多少，然后代入即可．【详解】解：2211244m n n m +=-- ，22448m n n m ∴+--=，()()2244440m m n n +-∴+++=，()()22220m n ∴++-=，20m ∴+=，20n -=，解得：2m =-，2n =，22m n∴-11=--2=-．故选：A ．【点睛】此题主要考查了配方法的应用，以及偶次方的非负性质的应用，熟练掌握解题的方法是解题的关键．（2023·全国·九年级专题练习）【25题答案】【答案】C【解析】【分析】根据22x m n =++和2x m n =+时，多项式246x x ++的值相等，得到20m n -+=或20m n ++=，由20m n -+≠，得到20m n ++=，推出=1x -，即可得解．【详解】∵22x m n =++和2x m n =+时，多项式246x x ++的值相等，∴()()()()222242262426m n m n m n m n ++++++=++++，∴()()222422m n m n ++=++，∴()()2202422m n m n +-++=+∴()()242224220m n m n m n m n +++++++---=，即：()()3220m n m n ++-+=，∴20m n -+=或20m n ++=，∵20m n -+≠，∴20m n ++=，当1x m n =++时，=1x -，∴()()224614163x x ++=-+⨯-+=；故选C ．【点睛】本题考查代数式求值．解题的关键是利用整体思想，求出x 的值．（2023春·七年级单元测试）【26题答案】【答案】C【解析】【分析】将2,3a b ==代入代数式即可判断（1）计算()2A B a b +=+，又16A B +=根据平方根的定义即可判（2），利用因式分解即可判断（3）（4）．【详解】解：22,A a ab B b ab=+=+（1）当2,3a b ==时，A =2222310a ab +=+⨯=,故（1）正确；（2）∵()222A B a ab ab b a b +=+++=+又当7,9A m B m =+=-时，16A B +=∴4a b +=±，故（2）不正确（3）∵()2A a ab a a b =+=+，当0A a =≠时，则1a b +=；故（3）正确（4）∵222244434A B a ab b ab a ab b -=+--=--当248A B b ab -=+时，则222348a ab b b ab--=+∴224120a ab b --=即()()260a b a b +-=∴2a b =-或6a b =，故（4）正确；故选：C ．【点睛】本题考查了代数式求值，因式分解的应用，整式的加减，正确的计算是解题的关键．（2022秋·北京·八年级校考阶段练习）【27题答案】【答案】D【解析】【分析】首先对多项式提公因式，再利用平方差公式分解因式，然后把数值代入计算，即可确定出密码．【详解】解：329x xy -()229x x y =-()()33x x y x y =+-，当10x =，1y =时，10x =，310313x y +=+=，31037x y -=-=，∴上述方法生成的密码可以是10137．故选：D【点睛】本题考查了因式分解的应用，涉及分解因式的方法有：提公因式法，以及平方差公式法，属于阅读型的新定义题，其中根据阅读材料得出产生密码的方法是解本题的关键．（2022秋·河南周口·八年级校考期末）【28题答案】【答案】A【解析】【分析】各式利用题中的新定义判断即可．【详解】解：根据题中的新定义得：A ．()2m n m n ⊗=-，()2n m n m ⊗=-，故推断正确；B ．()()2242()m n m n m n ⎡⎤⊗=-=-⎣⎦，()()()()()22222222m n m n m m m n m n n n =-=+-=+-⎡⎤⎣⎦⊗，故推断不正确；C ．()()222()m n p m n p m n p ⎡⎤⊗⊗=-⊗=--⎣⎦，()()222()m n p m n p m n p ⎡⎤⊗⊗=⊗-=--⎣⎦，故推断不正确；D ．()()22()m n p m n p m n p ⊗-=--=-+⎡⎤⎣⎦，()()()()()()()()22()()2m n m p m n m p m n m p m n m p m n p p n ⊗-⊗=---=-+----=---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，故推断不正确．故选：A ．【点睛】此题考查了整式的运算和因式分解，弄清题中的新定义是解本题的关键．（2023·陕西渭南·统考一模）【29题答案】【答案】()21y x -【解析】【分析】先提取公因式，再根据完全平方公式进行因式分解．【详解】解：()()2222211x y y xy y x x y x +-=-+=-，故答案为：()21y x -．【点睛】本题考查了综合提公因式和公式法分解因式，正确运用完全平方公式分解因式是解题关键．（2023春·浙江·七年级专题练习）【30题答案】【答案】①. 1 ②. ()()31a a +-【解析】【分析】利用完全平方公式和平方差公式求解即可．【详解】解：223a a +-2214a a =++-()214a =+-()()1212a a =+++-()()31a a =+-，故答案为：1；()()31a a +-．【点睛】本题考查了公式法分解因式，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．（2023春·广东深圳·七年级坪山中学校考阶段练习）【31题答案】【答案】0【解析】【分析】利用完全平方公式进行计算即可求得221a a +和1a a -的值，再将441a a-利用平方差公式进行因式分解，即可求解．【详解】解： 12a a +=-，2221124a a a a ⎛⎫∴+=++= ⎪⎝⎭，2212a a ∴+=，又 222112a a a a ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，210a a ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭，10a a ∴-=．422242*********a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=++-= ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴．故答案为：0．【点睛】本题考查了代数式求值，因式分解，解题的关键是灵活运用完全平方公式和平方差公式，注意整体带入的思想．（2023春·八年级课时练习）【32题答案】【答案】6【解析】【分析】先将2217m m +=变形为219⎛⎫+= ⎪⎝⎭m m ，再根据0m >得出13m m +=即231m m -=-，最后对326103m m m -++进行因式分解即可求解．【详解】解：∵2217m m +=，∴221272m m ++=+，∴219⎛⎫+= ⎪⎝⎭m m ，∵0m >，∴13m m+=，∴231m m -=-，∵326103m m m -++3223393m m m m m =--+++()()()23333m m m m m =---++()()()2333m m m m =--++()()313m m =-⨯-++33m m =-+++6=，故答案为：6．【点睛】本题主要考查了完全平方公式及因式分解，掌握完全平方公式及因式分解的方法是解题的关键．（2023春·八年级课时练习）【33题答案】【答案】6【解析】【分析】利用因式分解得到()()22340a b -+-=，利用非负性，求出,a b 的值，再根据两条边互相垂直时，三角形的面积最大，进行求解即可．【详解】解：∵226825a b a b +--=-，∴2268250a b a b +--+=∴()()22340a b -+-=，∵()()2200,34a b ≥--≥，∴30,40a b -=-=，∴3,4a b ==，设：,AC b BC a ==，∵直角三角形的斜边大于直角边，∴BC 边上高AC ≤，∴当AC BC ⊥时，ABC 的面积最大，最大值为1134622ab =⨯⨯=；故答案为：6．【点睛】本题考查因式分解的应用，以及非负性．熟练掌握因式分解的方法，以及非负数的和为0，每一个非负数均为0，是解题的关键．（2022秋·全国·八年级专题练习）【34题答案】【答案】()()23111x y x y +--+【解析】【分析】先用十字相乘法分解因式得到()()2222111211x xy y x y x y --=+-，再设()()2222111343211x xy y x y x y m x y n ---+-=++-+，比较系数得到211134m n m n +=--+=，，解方程组即可求解．【详解】解：∵()()2222111211x xy y x y x y --=+-，设 ()()2222111343211x xy y x y x y m x y n ---+-=++-+，比较系数得，211134m n m n +=--+=，，解得31m n =-=，，∴()()222211134323111x xy y x y x y x y ---+-=+--+，故答案为：()()23111x y x y +--+．【点睛】本题考查分组分解法分解因式，十字相乘法分解因式等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．（2023春·浙江·七年级专题练习）【35题答案】【答案】（1）2(32)ab ac -（2）3(1)(1)x x x +-【解析】【分析】（1）用提公因式法因式分解即可；（2）先用提公因式，再根据平方差公式分解因式即可．【小问1详解】264a bc ab-解：原式2(32)ab ac =-【小问2详解】333x x -+解：原式23(1)x x =-3(1)(1)x x x =+-【点睛】本题考查了提公因式法因式分解，公式法因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．（2023秋·辽宁沈阳·八年级校考期末）【36题答案】【答案】（1）()()()3232a b a b x y +--（2）()()2211xy xy -+【解析】【分析】（1）先提取公因式()x y -，然后利用平方差公式分解因式即可；（2）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可．【小问1详解】解：()()2294a x y b y x -+-()()2294a x y b x y =---()()2294a b x y =--()()()3232a b a b x y =+--；【小问2详解】解：()2222214x y x y +-()()22221212x y xy x y xy =+++-()()2211xy xy =-+．【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．（2023·河北石家庄·统考一模）【37题答案】【答案】验证：21，40；探究：见解析【解析】【分析】验证：；根据算式计算出结果即可；探究：根据完全平方公式，合并同类项法则计算，再分解因式即可求解；【详解】解：验证：()22222325225421+-=-=-=；()22223437349940+-=-=-=；故答案为：21，40探究：()22n m n +-()2222222n nm m n nm m m n m =++-=+=+当m 为奇数时，2n 为偶数，则2n m +为奇数，所以()2m n m +为奇数；当m 为偶数时，2n 为偶数，则2n m +为偶数，所以()2m n m +为偶数；【点睛】本题考查了完全平方公式的计算，解答本题的关键是明确题意，找出题目中的式子的规律，写出相应的结论并进行验证．（2023秋·吉林长春·八年级统考期末）【38题答案】【答案】（1）()2a b +，()2b a +（2）22252a ab b ++（3）7a =，4b =，2270cm 【解析】【分析】（1）根据图形可知张长方形大铁皮长为(2)cm a b +，宽为(2)cm a b +；（2）根据长方形面积公式即可求出面积表达式；（3）根据题意列出方程，联立求值．【小问1详解】解：这张长方形大铁皮长为(2)a b +厘米，宽为(2)b a +厘米；故答案为：(2)a b +，(2)b a +；【小问2详解】根据题意得：2222(2)(2)422252a b b a ab a b ab a ab b ++=+++=++（平方厘米）；【小问3详解】根据题意得：2()22a b +=，2233a b -=，整理得：11a b +=，()()33a b a b +-=，解得：3a b -=，7a ∴=，4b =，225221409832270ab a b ∴++=++=，则这张长方形大铁皮的面积为270平方厘米．【点睛】本题考查了列代数式以及整式的混合运算，解答本题的关键是理解题意，列出等式方程．（2023春·七年级课时练习）【39题答案】【答案】（1）4。

1 4.3公式法（2）课型: 新授 设计人： 设计时间：4.3 使用时间：4.17一、学习目标：（1）了解运用公式法分解因式的意义；（2）会用完全平方公式进行因式分解；二、学习重点：掌握用完全平方公式进行分解因式，掌握多步骤、多方法分解因式的方法。

学习难点学会观察多项式的特点，恰当安排步骤，选用不同方法分解因式。

三、学习过程：课前学习：1.分解因式：7x 2-21x+492.填空：（1）（a +b ）2= ；（2）（a –b ）2= ；课上学习：1.阅读课本101页例3上面部分，并回答问题或填空：(1) 如果一个多项式的各项不具备相同的因式，我们可以运用平方差公式进行分解因式，我们还学过其它的公式吗？那个公式还可以进行分解因式？2.结合预习，完成下列填空（1）a 2–2ab +b 2= ；（2）a 2+2ab +b 2= ；3.乘法公式（a ±b ）2=观察a 2–2ab +b 2 ；4a 2－4ab ＋b 2；x 2+10x+25 ,找出它们的共同特征。

然后讨论：（1）什么样的多项式才可以用完全平方公式分解因式呢？（2）下列各式是不是完全平方式？①a 2－4a ＋4；②x 2＋4x ＋4y 2；③4a 2＋2ab ＋41b 2；④a 2－ab ＋b 2； ⑤x 2－6x －9； ⑥a 2＋a ＋0.25．4.自学例3，例4完成随堂练习25.巩固练习：习题2.5的第1题。

6.展示提升：习题2.5的第2题。

四、自我检测：1.判断正误：（1）x 2+y 2=（x+y ）2 ( )（2）x 2–y 2= (x –y )2 ( )（3）x 2–2xy –y 2= (x –y )2 ( )（4）–x 2–2xy –y 2=–（x+y ）2 ( )2.下列多项式中，哪些是完全平方式？请把是完全平方式的多项式分解因式：（1）x 2–x +41（2）9a 2b 2–3ab +1（3）229341n mn m ++ （4）251056+-x x3.把下列各式因式分解：（1）m 2–12mn +36n 2 （2）16a 4+24a 2b 2+9b 4五、资源连接：,2,212=-=-ab b a 已知求42332444b a b a b a -+-的值。

4.3用乘法公式分解因式（2）一、教学目标：1、知识与技能：（1）使学生了解运用公式法分解因式的意义；（2）会用完全平方公式进行因式分解；（3）使学生清楚地知道提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式或完全平方公式进行分解因式．2、过程与方法：（1）发展学生的观察能力和逆向思维能力；（2）培养学生对完全平方公式的运用能力．3、情感、态度与价值观：通过观察，推导分解因式与整式乘法的关系，让学生感受事物间的因果联系．二、教学重难点：1、重点：掌握运用完全平方公式进行因式分解．2、难点：灵活运用公式法或已学过的提公因式法进行因式分解，及正确判断因式分解的彻底性问题．三、教学过程：第一环节：做一做活动内容：填空：（1）（a+b）（a-b）=____________________；（2）（a+b）2=____________________；（3）（a–b）2=____________________．根据上面式子填空：（1）a2–b2=____________________；（2）a2–2ab+b2=____________________；（3）a2+2ab+b2=____________________．结论：形如a2+2ab+b2与a2–2ab+b2的式子称为完全平方式．活动目的：学生通过观察，把整式乘法中的完全平方公式进行逆向运用，发展学生的观察能力与逆向思维能力，第（1）组a2–b2是起提示作用．注意事项：学生通过观察能找到第一组式子与第二组式子之间的对应关系．第二环节：辨一辨活动内容：观察下列哪些式子是完全平方式？如果是，请将它们进行因式分解．（1）x2–4y2（2）x2+4xy–4y2（3）4m2–6mn+9n2（4）m2+6mn+9n2结论：找完全平方式可以紧扣下列口诀：首平方、尾平方，首尾相乘两倍在中央；完全平方式可以进行因式分解，a 2–2ab +b 2=（a –b ）2；a 2+2ab +b 2=（a+b ）2．活动目的：加深学生对完全平方式特征的理解，并由此得出因式分解的完全平方公式． 第三环节：试一试活动内容：把下列各式因式分解：（1）x 2–4x +4 （2）9a 2+6ab +b 2（3）m 2–9132+m （4）()()1682++++n m n m 活动目的：（1）培养学生对平方差公式的应用能力；（2）让学生理解在完全平方公式中的a 与b 不仅可以表示单项式，也可以表示多项式． 注意事项：学生对第（3）小题含有分数的完全平方公式应用起来有一定的困难，有的学生由于受解方程的影响，习惯首先去分母，再因式分解，这是很多学生经常犯的一个错误． 第四环节：想一想活动内容：将下列各式因式分解：（1）3ax 2+6axy +3ay 2 （2）–x 2–4y 2+4xy活动目的：使学生清楚地了解提公因式法（包括提取负号）是分解因式首先考虑的方法，再考虑用完全平方公式分解因式．注意事项：在综合应用提公因式法和公式法分解因式时，一般按以下两步完成：（1）有公因式，先提公因式；（2）再用公式法进行因式分解．第五环节：反馈练习活动内容：1、判断正误：（1）x 2+y 2=（x+y ）2 （ ）（2）x 2–y 2=（x –y ）2 （ ）（3）x 2–2xy –y 2=（x –y ）2 （ ）（4）–x 2–2xy –y 2=–（x+y ）2 （ ）2、下列多项式中，哪些是完全平方式？请把是完全平方式的多项式分解因式：（1）x 2–x +41 （2）9a 2b 2–3ab +1 （3）229341n mn m ++ （4）251056+-x x 3、把下列各式因式分解：（1）m 2–12mn +36n 2 （2）16a 4+24a 2b 2+9b 4（3）–2xy –x 2–y 2 （4）4–12（x –y ）+9（x –y ）2活动目的：通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对完全平方公式的特征是否清楚，对完全平方公式分解因式的运用是否得当，因式分解的步骤是否真正了解，以便教师能及时地进行查缺补漏．注意事项：当完全平方公式中的a与b表示两个或两个以上字母时，学生运用起来有一定的困难，此时，教师应结合完全平方公式的特征给学生以有效的学法指导．第六环节：学生反思活动内容：从今天的课程中，你学到了哪些知识？掌握了哪些方法？你认为分解因式中的平方差公式以及完全平方公式与乘法公式有什么关系？结论：由分解因式与整式乘法的关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法．活动目的：通过学生的回顾与反思，强化学生对整式乘法的完全平方公式与因式分解的完全平方公式的互逆关系的理解，发展学生的观察能力和逆向思维能力，加深对类比数学思想的理解．注意事项：学生认识到了以下事实：（1）有公因式则先提取公因式；（2）整式乘法的完全平方公式与因式分解的完全平方公式是互逆关系；（3）完全平方公式中的a与b既可以是单项式，又可以是多项式．。