63用乘法公式分解因式(精编资料)

因式分解(超全方法)因式分解的常用方法多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是解决许多数学问题的有力工具。

因式分解方法灵活，技巧性强，研究这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。

初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法。

本文将在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍。

一、提取公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法：在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：1) (a+b)(a-b) = a^2-b^2，a^2-b^2=(a+b)(a-b)；2) a^2-b^2=(a+b)(a-b)；3) (a+b)(a-ab+b) = a^2+b^2，a^2+b^2=(a+b)(a-ab+b)；4) (a-b)(a+ab+b) = a^2-b^2，a^2-b^2=(a-b)(a+ab+b)。

下面再补充两个常用的公式：5) a+b+c+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)^2；6) a+b+c-3abc=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)。

练题：已知a，b，c是三角形ABC的三边，且a+b+c=ab+bc+ca，则三角形ABC的形状是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形三、分组分解法一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：am+an+bm+bn=m(a+b)+n(a+b)=(a+b)(m+n)例2、分解因式：2ax-10ay+5by-bx=2a(x-5y)-b(x-5y)=(2a-b)(x-5y)练题：分解因式1、a-ab+ac-bc2、xy-x-y+1二）分组后能直接运用公式例3、分解因式：x-y+ax+ay=(a+1)(x-y)例4、分解因式：a-2ab+b-c=(a-b)(1-2b)-c练题：分解因式3、x-x-9y-3y^2 4、x-y-z-2yz综合练：1) x+xy-xy-y=(x-y)(1+x)2) ax-bx+bx-ax+a-b=2(a-b)3) x+6xy+9y-16a+8a-1=(x+3y-4a+1)^24) a-6ab+12b+9b-4a=-(2a-3b)^2四、十字相乘法。

可编辑修改精选全文完整版整式的乘法与因式分解一：[整式的乘法与因式分解]初二数学知识点之整式乘除与因式分解讲解及汇总1.单项式的乘法法那么：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式;对于只在一个单项式里含有的字母，那么连同它的指数作为积的一个因式.单项式与多项式的乘法法那么：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加.多项式与多项式的乘法法那么：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加.单项式的除法法那么：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，那么连同它的指数作为商的一个因式.多项式除以单项式的法那么：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.2、乘法公式：①平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2文字语言表达：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差.②完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2文字语言表达：两个数的和(或差)的平方等于这两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍.3、因式分解：因式分解的定义.把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解.掌握其定义应注意以下几点：(1)分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可;(2)因式分解必须是恒等变形;(3)因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止.弄清因式分解与整式乘法的内在的关系.因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式.除了课堂上的学习外,数学知识点也是学生提高数学成绩的重要途径，本文为大家提供了初二数学知识点解析：二次函数的应用，希望对大家的学习有一定帮助。

2.有一个抛物线形桥拱，其最大高度为16米，跨度为40米，现在它的示意图放在平面直角坐标系中(如右图)，那么此抛物线的解析式为().3.某公司的生产利润原来是a元，经过连续两年的增长到达了y万元，如果每年增长的百分数都是x，那么y与x的函数关系是()4.把一段长1.6米的铁丝围长方形ABCD，设宽为x，面积为y.那么当y最大时，x所取的值是()A.0.5B.0.4C.0.3D.0.6【考点归纳】1.二次函数的解析式：(1)一般式：();(2)顶点式：();(3)交点式：().2.顶点式的几种特殊形式.线()对称，顶点坐标为(，).⑴当a 0时，抛物线开口向()，有最()(填"高"或"低")点,当X=()时，有最()("大"或"小")值是();⑵当a 0时，抛物线开口向()，有最()(填"高"或"低")点,当X=()时，有最()("大"或"小")值是().【典型例题】一、例1橘子洲头要建造一个圆形的喷水池，并在水池中央垂直安装一个柱子OP，柱子顶端P处装上喷头，由P处向外喷出的水流(在各个方向上)沿形状相同的抛物线路径落下(如下图).假设OP=3米，喷出的水流的最高点A距水平面的高度是4米，离柱子OP的距离为1米.(1)求这条抛物线的解析式;(2)假设不计其它因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外6.以下函数关系中，是二次函数的是( )A.在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系B.当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系C.等边三角形的周长C与边长a之间的关系D.圆心角为120°的扇形面积S与半径R之间的关系小编为大家整理的初二数学知识点解析：二次函数的应用相关内容大家一定要牢记，以便不断提高自己的数学成绩，祝大家学习愉快!二、熟练掌握因式分解的常用方法．1、提公因式法(1)掌握提公因式法的概念;(2)提公因式法的关键是找出公因式，公因式的构成一般情况下有三局部：①系数一各项系数的最大公约数;②字母--各项含有的相同字母;③指数--相同字母的最低次数;(3)提公因式法的步骤：第一步是找出公因式;第二步是提取公因式并确定另一因式.需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项.(4)注意点：①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底〞;②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“-〞号，使括号内的第一项的系数是正的.2、公式法运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用;常用的公式：①平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)②完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2一.常量、变量：在一个变化过程中,数值发生变化的量叫做变量;数值始终不变的量叫做常量。

乘法公式和因式分解练习题乘法公式和因式分解练习题一、选择题1.已知2264b Nab a +-是一个完全平方式，则N 等于 ( )A 、8B 、±8C 、±16D 、±322.如果22)()(y x M y x +=+-，那么M 等于 ( )A 、 2xyB 、－2xyC 、4xyD 、－4xy3.下列可以用平方差公式计算的是( )A 、(x －y) (x + y)B 、(x －y) (y －x)C 、(x －y)(－y + x)D 、(x －y)(－x + y)4.下列各式中，运算结果是22169b a -的是( )A 、)43)(43(b a b a --+-B 、)34)(34(a b a b --+-C 、)34)(34(a b a b -+D 、)83)(23(b a b a -+5、下列各式中,能运用平方差分式分解因式的是（ ）A 、21x +-B 、22y x +C 、42--xD 、()22b a ---6、若m x x +-82是完全平方式, 则m 的值为（ ）A 、4B 、8C 、16D 、327.计算（x +2）2的结果为x 2+□x +4,则“□”中的数为（ ）A ．－2B ．2C ．－4 D．4 8、把多项式1222+--y x xy 分解因式的结果是（ ）A ．)1)(1(+-+-x y y x B.)1)(1(---+x y y xC.)1)(1+--+y x y xD..)1)(1(--+-y x y x8.已知x 2＋16x ＋k 是完全平方式，则常数k 等于（ ）A ．64B ．48C ．32D ．169.若949)7(22+-=-bx x a x ，则b a +之值为何？A ．18B ．24C ．39D ． 4510.已知8)(2=-n m ，2)(2=+n m ，则=+22n m （ ）A ．10B ．6C ．5D ．311.把多项式a 2－4a 分解因式，结果正确的是( )A ．a (a －4)B ．(a +2)(a －2)C ．a (a +2) (a －2)D ．(a －2)2－412.化简)23(4)325x x -+-（的结果为（ ）A ．32-xB ．92+xC ．38-xD ．318-x13.下列计算正确的是Ａ．()222x y x y +=+ B ．()2222x y x xy y -=--C ．()()22222x y x y x y +-=-D ．()2222x y x xy y -+=-+14.下列各因式分解正确的是（ ）A.)2)(2()2(22+-=-+-x x xB.22)1(12-=-+x x xC.22)12(144-=+-x x xD.)2)(2(42-+=-x x x x x15.下列分解因式正确的是（ ）A ．）（23a 1-a a a -+=+B ．2a-4b+2=2（a-2b ）C ．()222-a 4-a =D ．()221-a 1a 2-a =+16.下列各式能用完全平方式进行分解因式的是（ ）A ．x 2 +1 B.x 2+2x －1 C.x 2+x +1 D.x 2+4x +417.下面的多项式中，能因式分解的是（ ）A ．m 2+nB ．m 2﹣m+1C ．m 2﹣nD ．m 2﹣2m+118. a 4b －6a 3b ＋9a 2b 分解因式的正确结果是A ．a 2b (a 2－6a ＋9)B ．a 2b (a ＋3) (a －3)C ．b (a 2－3)2D ．a 2b (a －3)26. 4. 19.分解因式(x －1)2 －2(x －1)+1的结果是 ( )A ．(x －1)(x －2)B ． x 2C ．(x +1)2D ． (x －2)220.已知a - b =1，则代数式2a -2b -3的值是A ．-1B ．1C ．-5D ．521.将代数式262++x x 化成q p x ++2)(的形式为（ ）A. 11)3(2+-xB. 7)3(2-+xC. 11)3(2-+xD. 4)2(2++x22.计算222(a+b)(a b)+a a b -等于（ ）A ．4aB ．6aC ．22a bD ．22a b -23.如图，边长为(m +3)的正方形纸片剪出一个边长为m 的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是（ ）A ．m +3B ．m +6C ．2m +3D ．2m +624.图（1）是一个长为2m ，宽为2n （m>n)的长方形，用剪刀 沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（ ）A.2mnB.(m+n)2C.(m-n)2 D .m 2 -n 2二、填空题1.若2a －b =5，则多项式6a 一3b 的值是 ．2.整式A 与m 2﹣2mn+n 2的和是（m+n ）2，则A= ．3．(x ＋1)(x －1)(1＋x )＝4.已知x + y =—5 ，xy =6 ，则x 2 + y 2=_______.m +3 m3m n 图 图5.二次三项式29x kx -+是一个完全平方式，则k 的值是 .6.将4个数a 、b 、c 、d 排成两行、两列，两边各加一条竖线记成a b c d，定义a c b d =ad －bc ，上述等式就叫做二阶行列式．若 1 181 1x x x x +-=-+，则x = ． 7.写出一个在实数范围内能用平方差公式分解因式的多项式： ．8.分解因式：25x x - =________ ．9.分解因式：=-822x ___________________10.分解因式：ab 3－4ab = ．11.分解因式：a －6ab ＋9ab 2＝ .12.分解因式：=+-22363n mn m _______ .13.分解因式:22331212x y xy y ++=14.若2m n -=，5m n +=，则22m n -的值为 ．15.若622=-n m ，且2m n -=，则=+n m ．16.有足够多的长方形和正方形的卡片，如下图.3a 2a 1如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、4张、4张，可拼成一个正方形（不重叠无缝隙）那么这个正方形的边长是三、解答题1.化简：)2()12+-+x x x （ 2.化简：1)1()1(2-++-a a a3.先化简，再求值：(x+3)(x-3)-x (x-2)，其中x=4.4. 先化简，再求值：22b ＋(a ＋b )(a －b )－(a －)2b ，其中a ＝－3，b ＝12.5.先化简，再求值：()()()x x x -+++2232，其中2-=x6.已知y x A +=2，y x B -=2，计算22B A -7.先化简，再求值：()222a b b --，其中2,3a b =-=8、已知x + y = a , xy = b ,求(x －y) 2 ， x 2 + y 2 ， x 2－xy + y 2的值9．当7x =-时，求代数式(2x +5)(x +1)-(x -3)(x +1)的值．10.观察下列算式：① 1 × 3 - 22 = 3 - 4 = -1 ② 2 × 4 - 32 = 8 - 9 = -1③ 3 × 5 - 42 = 15 - 16 = -1 ④……（1）请你按以上规律写出第4个算式；（2）把这个规律用含字母的式子表示出来；（3）你认为（2）中所写出的式子一定成立吗？并说明理由．。

因式分解的14种方法1因式分解的14种方法因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。

而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。

注意三原则1分解要彻底2最后结果只有小括号3最后结果中多项式首项系数为正（例如：??1332xxxx）分解因式技巧1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。

2.分解因式技巧掌握：①等式左边必须是多项式；②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。

注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。

基本方法⑴提公因式法各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。

如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。

如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。

提出“-”号时，多项式的各项都要变号。

提公因式法基本步骤：（1）找出公因式；（2）提公因式并确定另一个因式：①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母；②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。

口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。

例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。

因 式 分 解类型二、公式法1、利用平方差公式因式分解：()()b a b a b a -+=-22注意：①条件：两个二次幂的差的形式；②平方差公式中的a 、b 可以表示一个数、一个单项式或一个多项式；③在用公式前，应将要分解的多项式表示成22b a -的形式，并弄清a 、b 分别表示什么。

例如：分解因式：（1）291x -； （2）221694b a -； （3）22)(4)(n m n m --+2、利用完全平方公式因式分解：()2222b a b ab a ±=+± 注意：①是关于某个字母（或式子）的二次三项式；②其首尾两项是两个符号相同的平方形式；③中间项恰是这两数乘积的2倍（或乘积2倍的相反数）；④使用前应根据题目结构特点，按“先两头，后中间”的步骤，把二次三项式整理成 222)(2b a b ab a ±=+±公式原型，弄清a 、b 分别表示的量。

例如：分解因式：（1）2961x x +-； ⑵ 36)(12)(2+---n m n m 1682++x x典型例题：例1 用平方差公式分解因式：（1）22)(9y x x -+-； （2）22331n m - 说明 因式分解中，多项式的第一项的符号一般不能为负；分数系数一般化为整系数。

例2 分解因式：（1）ab b a -5；（2）)()(44n m b n m a +-+. 说明 将公式法与提公因式法有机结合起来，先提公因式，再运用公式.例3 判断下列各式能否用完全平方公式分解因式，为什么？（1）962+-a a ； （2）982+-x x ； （3）91242--x x ； （4）223612y x xy ++-. 说明 可否用公式，就要看所给多项式是否具备公式的特点.例4 把下列各式分解因式：⑴ 442-+-x x ； ⑵ 22914942y x xy -- ⑶ mn n m 4422+-- 说明：在使用完全平方公式时，要保证平方项前的符号为正，当平方项前的符号是负号 时，先提出负号.例5 分解因式：⑴ 22363ay axy ax ++. ⑵ 22222)(624b a b a +-说明 ⑴分解因式时，首先考虑有无公因式可提，当有公因式时，先提再分解. ⑵分解因式必须进行彻底，直至每个因式都不能再分解为止.例6 分解因式：⑴ 22)(9))(2(6)2(n m n m m n n m +++---；⑵ 4224168b b a a +-；⑶ 1)2(2)2(222++++m m m m .⑷ 63244914b b a a +- ⑸ 1)2(6)2(92+---b a b a说明 在运用完全平方公式的过程中，再次体现换元思想的应用，可见换元思想是重 要而且常用思想方法，要真正理解，学会运用.例7 若25)4(22+++x a x 是完全平方式，求a 的值. 说明 根据完全平方公式特点求待定系数a ，熟练公式中的“a 、b ”便可自如求解.例8 已知2=+b a ，求222121b ab a ++的值. 说明 将所求的代数式变形，使之成为b a +的表达式，然后整体代入求值.例9 已知1=-y x ，2=xy ，求32232xy y x y x +-的值. 说明 这类问题一般不适合通过解出x 、y 的值来代入计算，巧妙的方法是先对所求的代数式进行因式分解，使之转化为关于xy 与y x -的式子，再整体代入求值.例10 证明：四个连续自然数的积加1，一定是一个完全平方数.说明 可用字母表示出四个连续自然数，通过因式分解说明结果是完全平方数.例11 已知x 和y 满足方程组⎩⎨⎧=-=+346423y x y x ，求代数式2249y x -的值。

第4章 因式分解4.3 用乘法公式分解因式精选练习（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考开学考试）1. 下列因式分解正确的是（ ）A. ()222x xy y x y ++=+ B. ()()25623x x x x --=--C. ()3244x x x x -=- D. ()()22943232m n m n m n -=+-（2023春·七年级课时练习）2. 用分组分解2222a b c bc --+的因式，分组正确的是（ ）A. ()()222a b b bc --- B. ()2222a b c ab --+C. ()()2222a b c bc --- D. ()2222a b c bc -+-（2023春·广东佛山·七年级佛山市第四中学校联考阶段练习）3. 如图，有三种规格的卡片共9张，其中边长为a 的正方形卡片1张，边长为b 的正方形卡片4张，长，宽分别为a ，b 的长方形卡片4张．现使用这9张卡片拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为（ ）A. 2+a bB. 4a b +C. 2a b +D. 3a b +（2023春·全国·七年级专题练习）4. 已知2022202020212021202120202022x -=⨯⨯，则x 的值为（ ）A. 2023B. 2022C. 2021D. 2020（2023秋·山东淄博·八年级统考期末）5. 已知3b a -=，2ab =，计算：22a b ab -等于（ ）A. 6-B. 6C. 5D. 1-（2023春·七年级课时练习）6. 已知120212022a x =-+，120222022b x =-+，120232022c x =-+，那么，代数式222a b c ab bc ac ++---的值是（ ）A. 2022-B. 2022C. 3-D. 3（2023秋·广东韶关·八年级统考期末）7. 若+=3,+=1a b x y ，则代数式22+2++2 015a ab b x y －－的值是（ ）A. 2019B. 2017C. 2024D. 2023（2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆市凤鸣山中学校联考期末）8. 已知多项式224A x x n =++，多项式222633B x x n =+++．（1）2B A -≥；（2）若A B +=，4A B ⋅=-，则8A B -=-；（3）代数式22591262032A B A B A +-⋅-+的最小值为2023．以上结论正确的个数有（ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个（2022·湖南湘潭·校考一模）9. 分解因式：2288x x -+=_____．（2022秋·河南安阳·八年级统考期末）10. 如图，长与宽分别为a 、b 的长方形，它的周长为14，面积为10，则32232a b a b ab ++的值为________．（2022春·山东青岛·八年级山东省青岛市第五十七中学校考期中）11. 当12s t -=时，代数式22242s st t -+的值为______________．（2023春·全国·七年级专题练习）12. 若2310x x x +++=，则23201920201x x x x x ++++⋯++的值________．（2023春·四川达州·七年级校考阶段练习）13. 阅读材料：对于任何实数，我们规定符号a b c d 的意义是a b ad bc c d=-，例如：121423234=⨯-⨯=-，按照这个规定请你计算：当2440x x -+=时，12123x x x x +--的值是__________．（2023春·江苏·七年级专题练习）14. 阅读材料：根据多项式乘多项式法则，我们很容易计算：()()22356x x x x ++=++；()()21323x x x x -+=+-．而因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得：()()256=23x x x x ++++；()()223=13x x x x --++．通过这样的关系我们可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．如将式子223x x +-分解因式．这个式子的二次项系数是1=11⨯，常数项()3=13--⨯，一次项系数()2=13-+，可以用下图十字相乘的形式表示为：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次项系数，然后横向书写．这样，我们就可以得到：()()223=13x x x x --++．利用这种方法，将下列多项式分解因式：（1）2710=x x ++_______________；（2）223=x x --_________________；（3）2712=y y +-_________________；（4）2718=x x -+______________________．（2022春·山东青岛·八年级山东省青岛市第五十七中学校考期中）15. 因式分解：（1）22432a c c ac --+（2）()224216a b b --（2022春·山东青岛·八年级山东省青岛第七中学校考期中）16. 因式分解：（1）22()9()a x yb y x -+-（2）()222224x y x y +-（2023秋·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）17. 阅读材料：教科书中提到“222a ab b ++和222a ab b -+这样的式子叫做完全平方式．”有些多项式是完全平方式，我们可以通过添加项，凑成完全平方式，再减去这个添加项，使整个式子的值不变，这样也可以将多项式进行分解，并解决一些最值问题．例如：分解因式：()()()()()22222321412121213x x x x x x x x x --=-+-=--=-+--=+-求代数式223x x --的最小值()2222321414x x x x x --=-+-=--∵()210x -≥，∴当1x =时，代数式223x x --有最小值4-．结合以上材料解决下面的问题：（1）分解因式：267x x --；（2）当a ，b 为何值时，222242023a ab b b -+++有最小值？最小值是多少？（2023秋·重庆黔江·八年级统考期末）18. 阅读与思考：整式乘法与因式分解是方向相反的变形．由()()()2x p x q x p q x pq ++=+++得，()()()2x p q x pq x p x q +++=++；利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．例如：将式子256x x ++分解因式．分析：这个式子的常数项623=⨯，一次项系数523=+，所以()22562323x x x x ++=+++⨯．解：()()25623x x x x ++=++．请依照上面的方法，解答下列问题：（1）分解因式：2712x x ++；（2）分解因式：()()222332x x -+--；（3）若28x px +-可分解为两个一次因式的积，请写出整数p 的所有可能的值．（2023秋·云南昆明·八年级统考期末）19. （1）【知识再现】在研究平方差公式时，我们在边长为a 的正方形中剪掉一个边长为b 的小正方形（如图1），把余下的阴影部分再剪拼成一个长方形（如图2），根据图1、图2阴影部分的面积关系，可以得到一个关于a ，b 的等式①______．（2）【知识迁移】在边长为a 的正方体上挖去一个边长为b 的小正方体后，余下的部分（如图3）再切割拼成一个几何体（如图4）．根据它们的体积关系得到关于a ，b 的等式为②33a b -=______．（结果写成整式的积的形式）（3）【知识运用】已知4a b -=，3ab =，求33a b -的值．（2022春·湖南永州·七年级统考期中）20. 提出问题：你能把多项式256x x ++因式分解吗？探究问题：如图1所示，设a ，b 为常数，由面积相等可得：22()()()x a x b x ax bx ab x a b x ab ++=+++=+++，将该式从右到左使用，就可以对形如2()x a b x ab +++的多项式进行进行因式分解即2()()()x a b x ab x a x b +++=++．观察多项式2()x a b x ab +++的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项为两数之和．解决问题：2256(23)23(3)(2)x x x x x x ++=+++⨯=++运用结论：（1）基础运用：把多项式2524x x --进行因式分解．（2）知识迁移：对于多项式24415x x --进行因式分解还可以这样思考：将二次项24x 分解成图2中的两个2x 的积，再将常数项15-分解成5-与3的乘积，图中的对角线上的乘积的和为4x -，就是24415x x --的一次项，所以有24415(25)(23)x x x x --=-+．这种分解因式的方法叫做“十字相乘法”．请用十字相乘法进行因式分解：231914x x --（2023春·七年级课时练习）21. 将下列多项式因式分解，结果中不含因式(2)x +的是（ ）A. 224x x +B. 2312x -C. 26x x +- D. 2(2)8(2)16x x -+-+（2023·浙江宁波·校考一模）22. 如果328x ax bx +++能被232x x ++整除，则b a 的值是（ ）A. 2 B. 12 C.3 D. 13（2023春·全国·七年级专题练习）23. 计算22222111111111123456⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为（ ）．A. 512 B. 12 C. 712 D. 1130（2023春·新疆乌鲁木齐·八年级乌市八中校考开学考试）24. 已知2211244m n n m +=--，则22m n -的值为（ ）A. 2- B. 0 C. 1- D. 14-（2023·全国·九年级专题练习）25. 已知当22x m n =++和2x m n =+时，多项式246x x ++的值相等，且20m n -+≠，则当1x m n =++时，多项式246x x ++的值等于（ ）A. 439 B. 1399 C. 3 D. 11（2023春·七年级单元测试）26. 对于两个整式，22,A a ab B b ab =+=+，有下面四个结论：（1）当2,3a b ==时，A 的值为10；（2）当7,9A m B m =+=-时，则4a b +=；（3）当0A a =≠时，则1a b +=；（4）当248A B b ab -=+时，则2a b =-或6a b =；以上结论正确的有（ ）．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个（2022秋·北京·八年级校考阶段练习）27. 在日常生活中，如取款、上网等都需要密码，有一种利用“因式分解”法生成的密码，方便记忆．如：对于多项式44x y -，因式分解的结果是()()()22x y x y x y -++，若取9x =，9y =时，则各个因式的值是：()0x y -=，()18x y +=，()22162x y +=，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式329x xy -，取10x =，1y =时，用上述方法生成的密码可以是（ ）A. 101001B. 1307C. 1370D. 10137（2022秋·河南周口·八年级校考期末）28. 设m 、n 是实数，定义一种新运算：2()m n m n ⊗=-．下面四个推断正确的是（ ）A. m n n m⊗=⊗ B. 222()m n m n ⊗=⊗C. ()()m n p m n p ⊗⊗=⊗⊗ D. ()()()m n p m n m p ⊗-=⊗-⊗（2023·陕西渭南·统考一模）29. 因式分解：22x y y xy +-=________．（2023春·浙江·七年级专题练习）30. 利用配方法因式分解：22232a a a a +-=++______()2414a -=+-=______；（2023春·广东深圳·七年级坪山中学校考阶段练习）31. 已知12a a +=-，则441a a-的值是_____．（2023春·八年级课时练习）32. 已知2217m m +=（0m >），则代数式326103m m m -++=_____．（2023春·八年级课时练习）33. 若a 、b 是ABC 的两条边的长度，且满足226825a b a b +--=-，则ABC 面积的最大值是__________．（2022秋·全国·八年级专题练习）34. 阅读下面材料：分解因式：2232453x xy y x y +++++．因为()()22322x xy y x y x y ++=++，设()()22324532x xy y x y x y m x y n +++++=++++．比较系数得，425m n m n +=+=，．解得13m n ==，．所以()()2232453123x xy y x y x y x y +++++=++++．解答下面问题：在有理数范围内，分解因式2222111343x xy y x y ---+-=________．（2023春·浙江·七年级专题练习）35. 分解因式：（1）264a bc ab-（2）333x x -+（2023秋·辽宁沈阳·八年级校考期末）36. 因式分解（1）()()2294a x y b y x -+-（2）()2222214x y x y +-（2023·河北石家庄·统考一模）37. 发现：若两个已知正整数之差为奇数，则它们的平方差为奇数?若两个已知正整数之差为偶数，则它们的平方差为偶数．验证：如()22232+-=______________，()22343+-=______________．探究：设“发现”中的两个已知正整数为n ，n m +（两数之差为m ）．请论证“发现”中的结论的正确性．（2023秋·吉林长春·八年级统考期末）38. 如图，将一张长方形大铁皮切割成九块（切痕为虚线），其中有两块是边长都为cm a 的大正方形，两块是边长都为cm b 的小正方形，五块是长为cm a 、宽为cm b 的小长方形．（1）这张长方形大铁皮的长为____cm ，宽为_____cm ；（用含a 、b 的代数式表示）（2）求这张长方形大铁皮的面积S ；（用含a 、b 的代数式表示）（3）若一个小长方形的周长为22cm ，一个大正方形与一个小正方形的面积之差为233cm ，求a 、b 的值，并求这张长方形大铁皮的面积S ．（2023春·七年级课时练习）39. 把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负性这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用．例如：①用配方法因式分解：268a a ++．原式()()()()()2269131313124a a a a a a a =++-=+-=+-++=++②若222222M a ab b b =-+-+，利用配方法求M 的最小值：()()22222222222221111a ab b b a ab b b b a b b -+-+=-++-++=-+-+∵()20a b -≥，()210b -≥，∴当1a b ==时，M 有最小值1．请根据上述材料解决下列问题：（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：24a a ++______．（2）若231M a a =-+，求M 的最小值．（3）已知2222246130a b c ab b c ++---+=，求a b c ++的值．（2023秋·吉林长春·八年级统考期末）40. 我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图①可以得到()()22232a b a b a ab b ++=++．请回答下列问题：（1）写出图②中所表示的数学等式______；（2）猜测()2a b c d +++=______．（3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：已知12a b c ++=，48ab bc ca ++=，求222a b c ++的值；（4）在（3）的条件下，若a 、b 、c 分别是一个三角形的三边长，请判断该三角形的形状，并说明理由．第4章 因式分解4.3 用乘法公式分解因式精选练习（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考开学考试）【1题答案】【答案】D【解析】【分析】根据因式分解的方法进行逐一判断即可．【详解】解：A 、22x xy y ++不能进行因式分解，不符合题意；B 、()()25661x x x x --=-+，原因式分解错误，不符合题意；C 、()()()324422x x x x x x x -=-=+-，原因式分解错误，不符合题意；D 、()()22943232m n m n m n -=+-，因式分解正确，符合题意；故选D ．【点睛】本题主要考查了因式分解，熟知因式分解的方法是解题的关键．（2023春·七年级课时练习）【2题答案】【答案】D【解析】【分析】把二、三、四项作为一组，第一项作为一组，然后根据完全平方公式和平方差公式分解即可．【详解】解：2222a b c bc--+()2222a b c bc =-+-()22a b c =--()()a b c a b c =+--+．故选：D ．【点睛】本题考查了分组分解法分解因式，正确分组是解答本题的关键．（2023春·广东佛山·七年级佛山市第四中学校联考阶段练习）【3题答案】【答案】A【解析】【分析】计算大正方形的面积，因式分解即可得到边长．【详解】解：大正方形的面积为()222442a b ab a b ++=+，∴大正方形的边长为2+a b ，故选：A ．【点睛】此题考查了因式分解的应用，正确理解题意列得面积进行因式分解是解题的关键．（2023春·全国·七年级专题练习）【4题答案】【答案】D【解析】【分析】原式先提取公因式，再运用平方差公式进行计算即可求解．【详解】解：2022202020212021- ()20202202120211=⨯-()()202020212021120211=⨯+⨯-2020202220212020=⨯⨯，又2022202020212021202220212020x -=⨯⨯ ，2020202220212020202220212020x ∴⨯⨯=⨯⨯，2020x ∴=．故选：D ．【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．（2023秋·山东淄博·八年级统考期末）【答案】A【解析】【分析】先提取公因式ab ，再化为()ab b a --，再整体代入求值即可．【详解】解：∵3b a -=，2ab =，∴()()22236a b ab ab a b ab b a -=-=--=-⨯=-，故选：A【点睛】本题考查的是因式分解的应用，求解代数式的值，掌握“提公因式分解因式”是解本题的关键．（2023春·七年级课时练习）【6题答案】【答案】D【解析】【分析】先求解1a b -=-，1b c -=-，2a c -=-，再把原式化为()()()22212a b b c a c ⎡⎤-+-+-⎣⎦，再代入求值即可．【详解】解：∵120212022a x =-+，120222022b x =-+，120232022c x =-+，∴1a b -=-，1b c -=-，2a c -=-，∴222a b c ab bc ac++---()=++---22212222222a b c ab bc ac ()()()22212a b b c a c =-+-+-⎡⎤⎣⎦ ()11142=++ 3=；故选D ．【点睛】本题考查的是利用完全平方公式分解因式，因式分解的应用，求解代数式的值，掌握“完全平方公式的应用”是解本题的关键．（2023秋·广东韶关·八年级统考期末）【答案】D【解析】【分析】把所给代数式变形后把+=3,+=1a b x y 代入计算即可．【详解】解：∵+=3,+=1a b x y ，∴22+2++2 015a ab b x y －－()()2+2 015a b x y =+-+231+2 015=-2023=．故选D ．【点睛】此题考查了因式分解的应用，代数式求值问题，要熟练掌握，求代数式的值可以直接代入、计算，也可以运用整体代入的思想，本题就利用了整体代入进行计算．（2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆市凤鸣山中学校联考期末）【8题答案】【答案】C【解析】【分析】（1）把A ，B 代入化简后，根据完全平方公式变形为()()221111x n ++++≥，故（1）错误；（2）根据完全平方公式的变形可得8A B -=±，再由1B A -≥，可得8A B -=-，故（2）正确；（3）根据完全平方公式变形为()()2223320232023A B A -+-+≥，故（3）正确，即可．【详解】解：（1）()()222226334x x n B A x x n +++--+=+222226334x x n x x n =--+-++222223x x n n +++=+22221211x x n n +++++=+()()22111x n +++=+1≥，故（1）错误；（2）∵A B +=，∴()248A B +=，即22248A AB B +⋅+=∵4A B ⋅=-，∴2256A B +=，∴()222264A B A A B B -=-⋅+=，∴8A B -=±，∵1B A -≥，∴0A B -<，∴8A B -=-，故（2）正确；（3）22591262032A B A B A +-⋅-+2224129692023A AB B A A =-⋅++-++()()222332023A B A =-+-+2023≥，故（3）正确；故选：C【点睛】本题主要考查了完全平方公式的变形及其应用，熟练掌握完全平方公式的特征是解题的关键．（2022·湖南湘潭·校考一模）【9题答案】【答案】()222x -【解析】【分析】先提取公因式2，再利用完全平方公式分解因式即可．【详解】解：原式()2244x x -=+()222x =-．故答案为：()222x -．【点睛】本题考查了综合提公因式法和公式法分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．（2022秋·河南安阳·八年级统考期末）【10题答案】【答案】490【解析】【分析】利用面积公式得到10ab =，由周长公式得到7a b +=，所以将原式因式分解得出()2ab a b +．将其代入求值即可．【详解】解：∵长与宽分别为a 、b 的长方形，它的周长为14，面积为10，∴10,7ab a b =+=，∴()()2322322222107490a b a b ab ab a ab b ab a b ++=++=+=⨯=．故答案为：490【点睛】此题考查了因式分解的应用，熟记公式结构正确将原式分解因式是解题的关键．（2022春·山东青岛·八年级山东省青岛市第五十七中学校考期中）【11题答案】【答案】12【解析】【分析】将所求式子因式分解，再整体代入计算即可．【详解】解：∵12s t -=，∴22242s st t -+()2222s st t =-+()22s t =-2122⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭12=故答案为：12．【点睛】此题主要考查了代数式求值，因式分解，正确将原式变形得出是解题关键．（2023春·全国·七年级专题练习）【12题答案】【答案】1【解析】【分析】对所求代数式每相邻四项为一组提取公因式，然后代入已知条件式进行求解即可．【详解】解：2310x x x +++= ，∴原式()()()234567820172018201920201x x x x x x x x x x x x =+++++++++⋯++++()()()235232017231111x x x x x x x x x x x x =+++++++++⋯++++1000=+++⋯+1=．故答案为：1．【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，解答本题的关键是把原式每相邻的四项提取公因式，此题难度不大．（2023春·四川达州·七年级校考阶段练习）【13题答案】【答案】1-【解析】【分析】根据：2440x x -+=时，可得：2(2)0x -=，据此求出x 的值是多少，进而求出12123x x x x +--的值是多少即可．【详解】解：2440x x -+= 时，2(2)0x ∴-=，20x ∴-=，解得2x =，∴12123x xx x +--3411=3141=⨯-⨯34=-1=-故答案为：1-．【点睛】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．（2023春·江苏·七年级专题练习）【14题答案】【答案】 ①. ()()25x x ++ ②. ()()31x x -+ ③.()()34y y -- ④. ()()92x x +-【解析】【分析】根据题意，（1）将式子2710x x ++分解因式，这个式子的二次项系数是1=11⨯，常数项10=25⨯，一次项系数7=25+；（2）将式子223x x --分解因式，这个式子的二次项系数是1=11⨯，常数项()3=13-⨯-，一次项系数()2=1+3--；（3）将式子2712y y -+分解因式，这个式子的二次项系数是1=11⨯，常数项()()12=34-⨯-，一次项系数()7=3+4---；（4）将式子2718x x +-分解因式，这个式子的二次项系数是1=11⨯，常数项()18=29--⨯，一次项系数7=2+9-．【详解】（1）将式子2710x x ++分解因式，这个式子的二次项系数是1=11⨯，常数项10=25⨯，一次项系数7=25+，∴()()2710=25x x x x ++++．（2）将式子223x x --分解因式，这个式子的二次项系数是1=11⨯，常数项()3=13-⨯-，一次项系数()2=1+3--，∴()()223=31x x x x ---+．（3）将式子2712y y -+分解因式，这个式子的二次项系数是1=11⨯，常数项()()12=34-⨯-，一次项系数()7=3+4---，∴()()2712=34y y y y +---．（4）将式子2718x x +-分解因式，这个式子的二次项系数是1=11⨯，常数项()18=29--⨯，一次项系数7=2+9-，∴()()2718=92x x x x -++-．故答案为：（1）()()25x x ++，（2）()()31x x -+，（3）()()34y y --，（4）()()92x x +-．【点睛】本题主要考查了因式分解－十字相乘法，根据题意可知a 、b 是相互独立的，利用多项式相乘法则计算，再根据对应系数相等即可求出a 、b 的值是解题的关键．（2022春·山东青岛·八年级山东省青岛市第五十七中学校考期中）【15题答案】【答案】（1）()22c a c --（2）()44a a b -【解析】【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式分解；（2）先提公因式，再利用平方差公式分解．【小问1详解】解：22432a c c ac --+()2222c a c ac =-+-()22c a c =--；【小问2详解】()224216a b b --()22424a b b ⎡⎤=--⎣⎦()()42222a b b a b b =-+--()44a a b =-【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．（2022春·山东青岛·八年级山东省青岛第七中学校考期中）【16题答案】【答案】（1）()()()33x y a b a b -+-（2）()()22x y x y +-【解析】【分析】（1）先提公因式()x y -，然后根据平方差公式进行计算即可求解；（2）先根据完全平方公式展开，然后根据完全平方公式与平方差公式因式分解即可求解．【小问1详解】解：22()9()a x y b y x -+-()()229x y a b =--()()()33x y a b a b =-+-；【小问2详解】解：()222224x y x y +-42242224x x y y x y =++-()222x y =-()()22x y x y =+-．【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法以及乘法公式是解题的关键．（2023秋·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）【17题答案】【答案】（1）()()17+-x x ；（2）2a b ==-时，最小值为2019．【解析】【分析】（1）将多项式加9再减9，利用配方法可得；（2）将多项式配方后可得结论．【小问1详解】解：267x x --26916x x =-+-()2234x =--()()3434x x =-+--()()17x x =+-；【小问2详解】解：222242023a ab b b -+++2222442019a ab b b b =-+++++()()2222019a b b =-+++，∵()20a b -≥，()220b +≥，∴当0a b -=，20b +=，即2a b ==-时，原代数式有最小值，最小值为2019．【点睛】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，将多项式配方，再利用非负数的性质解答是解题的关键．（2023秋·重庆黔江·八年级统考期末）【18题答案】【答案】（1）()()34++x x（2）()()()()2211x x x x +-+-（3）7±，2±【解析】【分析】（1）利用十字相乘法分解因式即可；（2）将23x -看作整体，利用十字相乘法分解，再利用平方差公式分解可得；（3）找出所求满足题意p 的值即可．【小问1详解】解：()()271234x x x x ++=++【小问2详解】解：原式()()223132x x =---+()()2241x x =--()()()()2211x x x x =+-+-；【小问3详解】解：若28x px +-可分解为两个一次因式的积，则整数p 的所有可能的值是：817-+=-；187-+=；242-+=；422-+=-，即整数p 的所有可能的值是：7±，2±．【点睛】此题考查了因式分解——十字相乘法，弄清题中的分解因式方法是解本题的关键．（2023秋·云南昆明·八年级统考期末）【19题答案】【答案】【知识再现】()()22a b a b a b -=+-；【知识迁移】()()22a b a ab b -++；【知识运用】100．【解析】【分析】（1）由题意可知，图1 阴影面积为大正方形面积减小正方形面积，图2剪拼后一个长方形长为()a b +，宽为()a b -，据此列等式即可得到答案；（2）由题意可知，图3的体积为大正方形体积减小正方形体积，图4切割拼成的几何体正面面积为()22a ab b ++，高为()a b -，据此列等式即可得到答案；（3）先利用完全平方公式求出2222a b +=，再根据结论对33a b -进行变形，即可计算求值．【详解】（1）【知识再现】解：根据题意可得：()()22a b a b a b -=+-，故答案为：()()22a b a b a b -=+-；（2）【知识迁移】解：根据题意可得：()()3322a b a b a ab b -=-++，故答案为：()()22a b a ab b -++；（3）【知识运用】4a b -= ，3ab =，()222216622a b a b ab ∴+=-+=+=，()()()33224223425100a b a b a ab b ∴-=-++=⨯+=⨯=．【点睛】本题考查了因式分解的应用，利用数形结合的方法解决问题是解题关键．（2022春·湖南永州·七年级统考期中）【20题答案】【答案】（1）()()83x x -+（2）327()()x x +-【解析】【分析】（1）把24-拆成83-⨯即可；（2）把23x 拆成3x x ⋅，把-14拆成()27⨯-即可．【小问1详解】解：()()2524 83x x x x --=-+；【小问2详解】解：231914(32)(7)x x x x --=+-．【点睛】本题属于阅读理解题型，考查了因式分解的十字相乘法，解题关键是掌握十字相乘法的运算规律．（2023春·七年级课时练习）【21题答案】【答案】C【解析】【分析】将四个选项的式子分别进行因式分解，即可作出判断．【详解】A 、2242(2)x x x x +=+，故该选项不符合题意；B 、223123(4)3(2)(2)x x x x -=-=+-，故该选项不符合题意；C 、26(2)(3)x x x x +-=-+，故该选项符合题意；D 、()()222(2)8(2)16242x x x x -+-+=-+=+，故该选项不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了因式分解，涉及提公因式法、公式法、十字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解决本题的关键．（2023·浙江宁波·校考一模）【22题答案】【答案】A【解析】【分析】先把232x x ++因式分解为(2)(1)x x ++，找到进而得到21--，是方程328=0x ax bx +++的根，代入整理得2b a =，计算即可解题．【详解】解：∵232=(2)(1)x x x x ++++∴328x ax bx +++能被(2)(1)x x ++整除，即21--，是方程328=0x ax bx +++的根，∴84280180a b a b -+-+=⎧⎨-+-+=⎩，解得20a b -=，∴2b a =，∴=2b a，故选A ．【点睛】本题考查整除问题，转化为求方程的解是解题的关键．（2023春·全国·七年级专题练习）【23题答案】【答案】C【解析】【分析】原式各括号利用平方差公式变形，约分即可得到结果．【详解】原式111111111111111111112233445566⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，13243546572233445566=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯，1726=⨯，712=，故选：C ．【点睛】本题考查的是平方差公式，掌握运算法则和平方差公式是解题关键．（2023春·新疆乌鲁木齐·八年级乌市八中校考开学考试）【24题答案】【答案】A【解析】【分析】首先根据2211244m n n m +=--，可得：()()2222m n ++-＝0，据此求出m 、n 的值各是多少，然后代入即可．【详解】解：2211244m n n m +=-- ，22448m n n m ∴+--=，()()2244440m m n n +-∴+++=，()()22220m n ∴++-=，20m ∴+=，20n -=，解得：2m =-，2n =，22m n∴-11=--2=-．故选：A ．【点睛】此题主要考查了配方法的应用，以及偶次方的非负性质的应用，熟练掌握解题的方法是解题的关键．（2023·全国·九年级专题练习）【25题答案】【答案】C【解析】【分析】根据22x m n =++和2x m n =+时，多项式246x x ++的值相等，得到20m n -+=或20m n ++=，由20m n -+≠，得到20m n ++=，推出=1x -，即可得解．【详解】∵22x m n =++和2x m n =+时，多项式246x x ++的值相等，∴()()()()222242262426m n m n m n m n ++++++=++++，∴()()222422m n m n ++=++，∴()()2202422m n m n +-++=+∴()()242224220m n m n m n m n +++++++---=，即：()()3220m n m n ++-+=，∴20m n -+=或20m n ++=，∵20m n -+≠，∴20m n ++=，当1x m n =++时，=1x -，∴()()224614163x x ++=-+⨯-+=；故选C ．【点睛】本题考查代数式求值．解题的关键是利用整体思想，求出x 的值．（2023春·七年级单元测试）【26题答案】【答案】C【解析】【分析】将2,3a b ==代入代数式即可判断（1）计算()2A B a b +=+，又16A B +=根据平方根的定义即可判（2），利用因式分解即可判断（3）（4）．【详解】解：22,A a ab B b ab=+=+（1）当2,3a b ==时，A =2222310a ab +=+⨯=,故（1）正确；（2）∵()222A B a ab ab b a b +=+++=+又当7,9A m B m =+=-时，16A B +=∴4a b +=±，故（2）不正确（3）∵()2A a ab a a b =+=+，当0A a =≠时，则1a b +=；故（3）正确（4）∵222244434A B a ab b ab a ab b -=+--=--当248A B b ab -=+时，则222348a ab b b ab--=+∴224120a ab b --=即()()260a b a b +-=∴2a b =-或6a b =，故（4）正确；故选：C ．【点睛】本题考查了代数式求值，因式分解的应用，整式的加减，正确的计算是解题的关键．（2022秋·北京·八年级校考阶段练习）【27题答案】【答案】D【解析】【分析】首先对多项式提公因式，再利用平方差公式分解因式，然后把数值代入计算，即可确定出密码．【详解】解：329x xy -()229x x y =-()()33x x y x y =+-，当10x =，1y =时，10x =，310313x y +=+=，31037x y -=-=，∴上述方法生成的密码可以是10137．故选：D【点睛】本题考查了因式分解的应用，涉及分解因式的方法有：提公因式法，以及平方差公式法，属于阅读型的新定义题，其中根据阅读材料得出产生密码的方法是解本题的关键．（2022秋·河南周口·八年级校考期末）【28题答案】【答案】A【解析】【分析】各式利用题中的新定义判断即可．【详解】解：根据题中的新定义得：A ．()2m n m n ⊗=-，()2n m n m ⊗=-，故推断正确；B ．()()2242()m n m n m n ⎡⎤⊗=-=-⎣⎦，()()()()()22222222m n m n m m m n m n n n =-=+-=+-⎡⎤⎣⎦⊗，故推断不正确；C ．()()222()m n p m n p m n p ⎡⎤⊗⊗=-⊗=--⎣⎦，()()222()m n p m n p m n p ⎡⎤⊗⊗=⊗-=--⎣⎦，故推断不正确；D ．()()22()m n p m n p m n p ⊗-=--=-+⎡⎤⎣⎦，()()()()()()()()22()()2m n m p m n m p m n m p m n m p m n p p n ⊗-⊗=---=-+----=---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，故推断不正确．故选：A ．【点睛】此题考查了整式的运算和因式分解，弄清题中的新定义是解本题的关键．（2023·陕西渭南·统考一模）【29题答案】【答案】()21y x -【解析】【分析】先提取公因式，再根据完全平方公式进行因式分解．【详解】解：()()2222211x y y xy y x x y x +-=-+=-，故答案为：()21y x -．【点睛】本题考查了综合提公因式和公式法分解因式，正确运用完全平方公式分解因式是解题关键．（2023春·浙江·七年级专题练习）【30题答案】【答案】①. 1 ②. ()()31a a +-【解析】【分析】利用完全平方公式和平方差公式求解即可．【详解】解：223a a +-2214a a =++-()214a =+-()()1212a a =+++-()()31a a =+-，故答案为：1；()()31a a +-．【点睛】本题考查了公式法分解因式，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．（2023春·广东深圳·七年级坪山中学校考阶段练习）【31题答案】【答案】0【解析】【分析】利用完全平方公式进行计算即可求得221a a +和1a a -的值，再将441a a-利用平方差公式进行因式分解，即可求解．【详解】解： 12a a +=-，2221124a a a a ⎛⎫∴+=++= ⎪⎝⎭，2212a a ∴+=，又 222112a a a a ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，210a a ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭，10a a ∴-=．422242*********a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=++-= ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴．故答案为：0．【点睛】本题考查了代数式求值，因式分解，解题的关键是灵活运用完全平方公式和平方差公式，注意整体带入的思想．（2023春·八年级课时练习）【32题答案】【答案】6【解析】【分析】先将2217m m +=变形为219⎛⎫+= ⎪⎝⎭m m ，再根据0m >得出13m m +=即231m m -=-，最后对326103m m m -++进行因式分解即可求解．【详解】解：∵2217m m +=，∴221272m m ++=+，∴219⎛⎫+= ⎪⎝⎭m m ，∵0m >，∴13m m+=，∴231m m -=-，∵326103m m m -++3223393m m m m m =--+++()()()23333m m m m m =---++()()()2333m m m m =--++()()313m m =-⨯-++33m m =-+++6=，故答案为：6．【点睛】本题主要考查了完全平方公式及因式分解，掌握完全平方公式及因式分解的方法是解题的关键．（2023春·八年级课时练习）【33题答案】【答案】6【解析】【分析】利用因式分解得到()()22340a b -+-=，利用非负性，求出,a b 的值，再根据两条边互相垂直时，三角形的面积最大，进行求解即可．【详解】解：∵226825a b a b +--=-，∴2268250a b a b +--+=∴()()22340a b -+-=，∵()()2200,34a b ≥--≥，∴30,40a b -=-=，∴3,4a b ==，设：,AC b BC a ==，∵直角三角形的斜边大于直角边，∴BC 边上高AC ≤，∴当AC BC ⊥时，ABC 的面积最大，最大值为1134622ab =⨯⨯=；故答案为：6．【点睛】本题考查因式分解的应用，以及非负性．熟练掌握因式分解的方法，以及非负数的和为0，每一个非负数均为0，是解题的关键．（2022秋·全国·八年级专题练习）【34题答案】【答案】()()23111x y x y +--+【解析】【分析】先用十字相乘法分解因式得到()()2222111211x xy y x y x y --=+-，再设()()2222111343211x xy y x y x y m x y n ---+-=++-+，比较系数得到211134m n m n +=--+=，，解方程组即可求解．【详解】解：∵()()2222111211x xy y x y x y --=+-，设 ()()2222111343211x xy y x y x y m x y n ---+-=++-+，比较系数得，211134m n m n +=--+=，，解得31m n =-=，，∴()()222211134323111x xy y x y x y x y ---+-=+--+，故答案为：()()23111x y x y +--+．【点睛】本题考查分组分解法分解因式，十字相乘法分解因式等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．（2023春·浙江·七年级专题练习）【35题答案】【答案】（1）2(32)ab ac -（2）3(1)(1)x x x +-【解析】【分析】（1）用提公因式法因式分解即可；（2）先用提公因式，再根据平方差公式分解因式即可．【小问1详解】264a bc ab-解：原式2(32)ab ac =-【小问2详解】333x x -+解：原式23(1)x x =-3(1)(1)x x x =+-【点睛】本题考查了提公因式法因式分解，公式法因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．（2023秋·辽宁沈阳·八年级校考期末）【36题答案】【答案】（1）()()()3232a b a b x y +--（2）()()2211xy xy -+【解析】【分析】（1）先提取公因式()x y -，然后利用平方差公式分解因式即可；（2）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可．【小问1详解】解：()()2294a x y b y x -+-()()2294a x y b x y =---()()2294a b x y =--()()()3232a b a b x y =+--；【小问2详解】解：()2222214x y x y +-()()22221212x y xy x y xy =+++-()()2211xy xy =-+．【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．（2023·河北石家庄·统考一模）【37题答案】【答案】验证：21，40；探究：见解析【解析】【分析】验证：；根据算式计算出结果即可；探究：根据完全平方公式，合并同类项法则计算，再分解因式即可求解；【详解】解：验证：()22222325225421+-=-=-=；()22223437349940+-=-=-=；故答案为：21，40探究：()22n m n +-()2222222n nm m n nm m m n m =++-=+=+当m 为奇数时，2n 为偶数，则2n m +为奇数，所以()2m n m +为奇数；当m 为偶数时，2n 为偶数，则2n m +为偶数，所以()2m n m +为偶数；【点睛】本题考查了完全平方公式的计算，解答本题的关键是明确题意，找出题目中的式子的规律，写出相应的结论并进行验证．（2023秋·吉林长春·八年级统考期末）【38题答案】【答案】（1）()2a b +，()2b a +（2）22252a ab b ++（3）7a =，4b =，2270cm 【解析】【分析】（1）根据图形可知张长方形大铁皮长为(2)cm a b +，宽为(2)cm a b +；（2）根据长方形面积公式即可求出面积表达式；（3）根据题意列出方程，联立求值．【小问1详解】解：这张长方形大铁皮长为(2)a b +厘米，宽为(2)b a +厘米；故答案为：(2)a b +，(2)b a +；【小问2详解】根据题意得：2222(2)(2)422252a b b a ab a b ab a ab b ++=+++=++（平方厘米）；【小问3详解】根据题意得：2()22a b +=，2233a b -=，整理得：11a b +=，()()33a b a b +-=，解得：3a b -=，7a ∴=，4b =，225221409832270ab a b ∴++=++=，则这张长方形大铁皮的面积为270平方厘米．【点睛】本题考查了列代数式以及整式的混合运算，解答本题的关键是理解题意，列出等式方程．（2023春·七年级课时练习）【39题答案】【答案】（1）4。