6虚功原理和结构的位移计算

FP=1
1）图示为求刚架K点沿i-i方向的 线位移时的虚拟力状态。
K
i
二、虚拟单位荷载的施加方法
M=1
2）图示为求刚架K截面角位移时 的虚拟力状态。
K
FP=1
3）图示为求刚架A、B两点沿其 连线方向相对线位移时的虚拟力 状态。 4）图示为求刚架A、B两截面相 对角位移时的虚拟力状态。
（6-9 )
此式适用于任何材料的静定或超静定结构。这种通过 虚设单位荷载作用下的平衡状态，利用虚力原理求结构 位移的方法，称为单位荷载法。该方法适用于结构小变 形情况。
广义单位荷载FP=1为外加单位荷载（FP上面不加横线表示），属 单位物理量，是量纲1的量（以往称为无量纲量）。
二、虚拟单位荷载的施加方法
● 本章教学内容的难点：广义力和广义位移的概念；
变形体系的虚功原理及其证明 。
●本章内容简介 6.1 概述 6.2 变形体系的虚功原理 6.3 结构位移计算的一般公式 单位荷载法 6.4 静定结构在荷载作用下的位移计算 6.5 图形相乘法 6.6 静定结构由于支座移动引起的位移计算 6.7 静定结构由于温度变化引起的位移计算 *6.8 具有弹性支座的静定结构的位移计算
位移状态
（6-7）
3、关于原理的说明 1）在上面的推证过程中，只考虑了力系的平衡条件和变 形的连续条件。所以，虚功方程既可以用来代替平衡方 程，也可以用来代替几何方程（即协调方程）。 2）虚功方程是个“两用方程”，具体应用时可有两种形 式。鉴于力系与变形彼此是独立无关的，因此，如果力 系是给定的，则可虚设位移，式（6-7）便称为变形体系 的虚位移方程，它代表力系的平衡方程，常可用于求力 系中的某未知力；如果位移是实有的，则可虚设力系， 式（6-7）便称为变形体系的虚力方程，它代表几何协调 方程，常可用于求实际位移状态中某个未知位移。本章 即主要介绍虚力方程及其应用。
刚体体系的虚功原理只是变形体系虚功原理的一个特例。
6.3 结构位移计算的一般公式 单位荷载法
一、利用虚功原理计算结构位移
FP2 i FP1 q i FP=1
ds
K
c2 K1 i c1
ds
FR1
i
D
d, du, dv
FR2
M , FQ , FN
+t1 +t2
根据平面杆件结构的虚功方程（6-7），其等号左侧为
应用单位荷载法每次只能求得一个位移。这个位移可 以是线位移，也可以是角位移或相对线位移、相对角 位移，即属广义位移。因此，需特别强调，当求任意 广义位移时，所需施加的虚单位荷载，应是一个在所 求位移截面、沿所求位移方向并且与所求广义位移相 应的广义力。这里，“相应”是指力与位移在做功关 上的对应，如集中力与线位移对应，力偶与角位移对 i 应，等等。
(c )
W变实际上是所有微段上内力在变形虚位移上所做虚功的 总和，称为变形虚功（数量上等于虚变形能）。
须注意的是：这里（2）中的W变与（1）中的W内是有 区别的。（1）中的W内是指所有微段上内力在截面的 总位移（包括刚体位移和变形位移两部分）上所做虚 功的总和，如前所述，它恒等于零；而这里（2）中的 W变仅指所有微段上内力在截面的变形位移上所做虚功 的总和。 比较（a）、（b）两式，可得 W外=W变 就是我们需要证明的结论。它不仅适用于杆件结构，也适用 于板、壳等非杆件结构。
第6章 虚功原理和结构的位移计算
● 本章教学基本要求：理解变形体系虚功原理的内容
及其在结构位移计算中的应用；理解广义力和广义位 移的概念；熟练掌握计算结构位移的单位荷载法；熟 练掌握图形相乘法在位移计算中的应用；了解线弹性 体系的互等定理。
● 本章教学内容的重点：静定结构由于荷载作用、支
座移动、温度变化和制造误差而产生的位移计算，特 别是用图形相乘法计算梁和刚架的位移。
式中，FP是做功的与力有关的因素，称为广义力，可 以是单个力、单个力偶、一组力、一组力偶等。Δ是 做功的与位移有关的因素，称为与广义力相应的广义 位移，可以是绝对线位移、绝对角位移、相对线位移、 相对角位移等。
三、刚体体系虚功原理
刚体体系处于平衡的必要和充分条件是，对于符合约 束条件的任意微小虚位移，刚体体系上所有外力所做 的虚功总和等于零 。 四、变形体的虚功原理 1、关于原理的表述 变形体系处于平衡的必要及充分条件是，对于符合约 束条件的任意微小虚位移，变形体系上所有外力在虚 位移上所做虚功总和等于各微段上内力在其变形虚位 移上所做虚功总和。
6.2
变形体系的虚功原理
一、功、实功与虚功
1、功 功包含了力和位移两个因素 2、静力荷载所做的功 静力荷载，是指荷载由零逐渐以微小的增量缓慢地 增加到最终值，结构在静力加载过程中，荷载与内 力始终保持平衡。 所谓实功，是指力在其自身引起的位移上所做的功。
一、功、实功与虚功
实功
1 W11 FP1 Δ11 2 F
dW变= Mdθ+ FNdu + FQdv 假如此微段上还有集中荷载或力偶荷载作用，可以认为 它们作用在截面AB上，因而当微段变形时，它们并不做 功。总之，仅考虑微段的变形虚位移而不考虑其刚体虚 位移时，外力不做功，只有截面上的内力做功。对于平 面杆系有
W变 dW变 Md FN du FQ dv
3、关于原理的说明 3）在推证式（6-6）时，没有涉及到材料的性质。因此， 变形体系的虚功方程是一个普遍方程，既适用于弹性问 题，也适用于非弹性问题。
4）变形体系的虚功原理同样适用于刚体体系。由于刚体 体系发生虚位移时，各微段不产生任何变形位移，故变形 虚功W变=0，于是式（6-6）成为
W=0
（6-8）
FP1 1、常力所做的虚功 所谓虚功，是指力在另外的原因（诸如另外的荷载、温度 变化、支座移动等）引起的位移上所做的功。
o
D11
D
一、功、实功与虚功
FP1在Δ12上做的功
FP1 (先) 1
D11 D12
W12 FP1 Δ12
M2(后)
21 22
FP1 1 2
2
M2 1 2
3、一个微杆段的位移
ds dv= g0 ds
g0
dθ = ds/R =kds
v
u
ds du= eds θ
微段相对 位移（轴 向变形）
g0
dv
ds
ds
微段相对 位移（弯 曲变形）
微段刚体位移
微段相对 位移（剪 切变形）
1）刚体位移（不计微段的变形）：u、v、θ
2）相对位移（反应微段的变形，因此又称为变形位移）： du、dv、dq。这是描述微段总变形的三个基本参数。
二、结构位移产生的原因
1）荷载作用；
2）温度变化或材料胀缩；
3）支座沉陷或制造误差。
三、结构位移计算的目的
1）从工程应用方面看——主要进行结构刚度验算。 2）从结构分析方面看——为超静定结构的内力分析 （如第7章力法等）打好基础（利用位移条件建立补 充方程）。
3）从土建施工方面看——在结构构件的制作、架设等 过程中，常需预先知道结构位移后的位置，以便制定 施工措施，确保安全和质量。
四、变形体的虚功原理
或者简单地说，外力虚功等于变形虚功（数量上等于 虚变形能）。
W外 W变
2、关于原理的证明
(1)按外力虚功与内力虚功计算（从变形的连续条件考虑）
FR1 FP M q ds
ds
FR2 q M FN FQ A ds M+dM FN+dFN FQ+dFQ FR3 B A C C1 ds D B1 A1 C2 D2 dθ
D1
g0
dv
力状态
g0
ds
将微段ds上的作用 力区分为外力与内 力,微段总的虚功
du
ds
ds
位移状态
dW总= dW外+dW内
整个结构的总虚功为
dW
或简写为
总
dW外 dW内
W总=W外+W内 由于任何两相邻微段的相邻截面上的内力是成对 出现的，它们大小相等，方向相反；又由于虚位 移是光滑的、连续的，两微段相邻的截面总是紧 密贴在一起的，而且有相同的位移，因此，每一 对相邻截面上的内力所做的虚功总是相互抵消的。
6.9 线弹性体系的互等定理
6.1 概述
一、结构的位移
在荷载等外因作用下结构都将产生形状的改变，称为 结构变形，结构变形引起结构上任一横截面位置和方 向的改变，称为位移。
q
1、一个截面的位移（绝对位移）
1）截面A位置的移动（用截面形心的移 动来表示）ΔA，称为线位移，可分解为： 水平线位移Δ AH（亦可记作uA）和竖向线 位移 （挠度） Δ AV（亦可记作vA）。
B
uA A D
A
vA
B1
θA A1 θA
C
2）截面A位置的转动（用该点切线方向的变化来表示）θA，称 为角位移或转角。
一、结构的位移
2、两个截面之间的位移（相对位移） 1）相对线位移
DA DB
A1 B1 B FP
ΔAB ΔA ΔB
2）相对角位移
FP
A
C
θC θCD
θD
D
CD C D
D12
W12是力FP1在另外的原因（M2）引起的位移上所做 的功，故为虚功。所谓“虚”，就是表示位移与做功 的力无关。在作虚功时，力不随位移而变化，是常力， 故在计算式中没有系数“1/2”。
二、广义力和广义位移
对于各种形式常力所做的虚功，用力和位移这两个彼此 独立无关的因子的乘积来表示，即
W FP Δ
D1
g0
dθ
dv
力状态
ds
g0
du
ds
ds
微段总的虚功