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第9章 强度理论及组合变形概述如图9-1所示的各种处于复杂应力状态的点，当单元体微分面上的正应力满足正应力强度条件][σσ≤i，同时切应力满足切应力强度条件][ττ≤ij 时，依然不能判别其在强度上是否安全。
那么它们在什么情况下安全？又在什么情况下危险？本章的强度理论部分就要回答这个问题。
材料力学主要研究杆件以及杆件结构系统在外力作用下的强度，刚度和稳定性问题，而材料力学最复杂的问题是杆件的组合变形问题，最一般的组合变形杆件危险点的应力状态通常是复杂应力状态，如图9-2所示。
因此，本章强度理论的诸多结论主要用于组合变形杆件的强度计算和设计，所以，本章组合变形部分主要研究杆件各种组合变形情况下的强度计算。
9.1 强度理论概念根据材料力学的强度观点，构件在强度方面的安全性实质上可考察构件中的危险点是否安全，若危险点安全，则整个构件也安全；若危险点不安全，则整个构件就不安全。
假设构件中A 点是最危险的点，问题：当A 点处于任意应力状态时，亦即A 点的应力状态可以是简单应力状态，也可以是复杂应力状态，那么该点在什么情况下强度是安全的？又在什么情况下强度是不安全的？如何判断？如果A 点的应力状态是简单应力状态，如图9-3所示。
那么可以根据强度条件：][σσ≤ ][ττ≤ （9-1）判别A 点的安全性。
如果危险点是单向应力状态，则σ是A 点处的最大正应力(图9-3(a))；如果危险点是纯剪应力状态，则τ是A 点处的最大切应力(图9-3(b))。
从而也就知道杆件在强度上是否安全。
][σ是材料的许用正应力；][τ是材料的许用切应力。
大量事实说明，工程材料的破坏形式图9-1 复杂应力状态yσxσz σxy τxzτyxτyz τzxτzy τxσy σxy τστ(a)(b(c)ABFMm图9-2 组合变形危险点的应力状态στ主要有两种，一是脆性断裂，二是塑性屈服，脆性断裂的极限应力为强度极限)(b b τσ，而塑性屈服的极限应力为屈服应力)(s s τσ，考虑到诸多偶然因素的影响（如材料缺陷，加工误差，实际工作环境，载荷非理想化等等），所以通常将极限应力除以一个适当的安全系数1>n ，这样就得到材料的许用正应力][σ和许用切应力][τ。
组合变形和强度理论习题及解答
题1．图示，水平放置圆截面直角钢杆（2
ABC
p ?），直径100d mm =，2l m =，1q k N m =，[]MPa 160=σ，试校核该杆的强度。
解：
1）各力向根部简化，根截面A 为危险面 扭矩：212nA M
ql =
，弯矩 23
2
zA M ql =+，剪力2A Q ql = 2) 2348ZA M ql W d s p ==， 3132W d p =，3
116
p W d p =， 扭转剪应力：2
3
810.18n P M ql MPa W d
t p ===，
3) []364.42r MPa s s =
=<，
∴梁安全
题2、 平面曲杆在C 端受到铅重力P 作用。
材料的
[σ]=160MPa 。
若P=5KN ，l =1m ，a=0.6m 。
试根据第四强度理论设计轴AB 的直径d. 解：属于弯扭组合变形
危险面A 处的内力为：
题3、平面曲拐在C 端受到铅垂力P 作用，材料的[σ]=160MPa ，E=2.1⨯10
5
MPa ，。
杆的直径
d=80mm ，l =1.4m ，a=0.6m ，l 1=1.0m 。
若P=5KN (1) 试用第三强度理论校核曲拐的强度。
(2) 求1-1截面顶端处沿45︒方向的正应变。
解：
（1）危险A 上的内力为：5 1.4
7z M kN m =??
B
曲拐安全 （2）1-1截面内力：5,3z M kN m
T kN m =?? 顶点的应力状态
题4. 图示一悬臂滑车架，杆AB 为18 号工字钢，其长度为 2.6l m =。
试求当荷载F =25kN 作用在AB 的中点D 处时，杆内的最大正应力。
设工字钢的自重可略去不计。
B
解：18号工字钢4
3421851030610.,.W m A m --=??
AB 杆系弯庄组合变形。
题5. 砖砌烟囱高30h m =，底截面m m -的外径13d m =，内径22d m =，自重
2000P kN =，受1/q kN m =的风力作用。
试求：
（1）烟囱底截面上的最大正应力；
（2）若烟囱的基础埋深04h m =，基础及填土自重按21000P kN =计算，土壤的许用应力
[]0.3MPa s =圆形基础的直径D 应为多大？
注：计算风力时，可略去烟囱直径的变化，把它看作是等截面的。
解：烟囱底截面上的最大正应力：
题 6. 受拉构件形伏如图，已知截面尺寸为405mm mm ´，承受轴向拉力
12F kN =。
现拉杆开有切口，如不计应力集中影响，当材料的[]100MPa s =时，试确定切口的最大许可深度，并绘出切口截面的应力变化图。
解：
题7. 试确定图示各截面的截面核心边界。
解：① 截面几何 ② 截面核心
213
1400007290182400100
,..设中性轴为边，y z z y AB a mm a i y m a z -==?=-=-=-´=
相应荷载作用点为点1；利用对称性，同样可得荷载作用点2 , 3 , 4 。
因此截面核心为点1 ,
2 ,
3 .
4 组成的正方形，该正方形的对角线长度： 题8. 试确定图示各截面的截面核心边界。
解:① 截面几何 ② 截面核心
设中性轴为AB 边，2y
8.4910, z a m a -=-??，则相应的荷载作用点1的坐标为:
2
3
12
12791000329849100
...y
z i z m a y --´=-=-=+-?= 分别设中性轴与点A B 、 和C 相切，则其截跟以及相应的荷载作用点2 , 3 和4 的坐标分别为：中性轴截距：200115,;,z y
z y a a mm a mm a =??=?相应点坐标：
2323440502430,,,;.,.z y mm z mm y ==?-=
中性轴由点A 的切线绕角点A 转至AB 边和由AB 边绕角B 转至点B 的切线，相应的荷载作用点的轨迹为直线，故分别以直线连接点1 、2 和点1 、3 。
中性轴从点A 的切线沿半圆孤ACB 过渡到B 点的切线（始终与圆周相切）,则相应的荷载作用点的轨迹必为一曲线，于是以适应的曲线连接点2 、4 、3 即得该截面的截面核心，如图中阴影区域所示，为一扇形面积。
题9. 曲拐受力如图示，其圆杆部分的直径50d mm =。
试画出表示A 点处应力状态的单元体，求其主应力及最大切应力。
解：A 点所在的横截面上承受弯矩和扭矩作用，其值 它们在点A 分别产生拉应力和切应力，其应力状态如图，其中
注：剪力在A 点的切应力为零。
10. 试校核图示拉杆头部的剪切强度和挤压强度。
已知图中尺寸32,20D mm d mm ==和。
12h mm =，杆的许用切应力[]100MPa t =，许用挤压应力[]240bs MPa s =。
解：33
6
39
b C bs b 50501050106632012105010200101026254
.[][]22安全安全
（32-20）s s s s s F KN
F MPa A dh F MPa A t t p p s s p p -=创====<创?创====<´ 11. 两直径100d mm =的圆轴，由凸缘和螺栓连接，共有8 个螺栓布置在0200D mm =的圆周上 ，如图所示。
已知轴在扭转时的最大切应力为70MPa ，螺栓的许用切应力[]60MPa t =。
试求螺栓所需的直径1d 。
解： 9
636
9
1010701010010
1016
max T T t p p -´==４´´´ 12. 一托架如图所示。
已知外力35F kN =，铆钉的直径20d mm =，铆钉与钢板为搭接。
试求拉最危险的铆钉剪切面上切应力的数值及方向。
解；(l)在F 力作用下，因为每个铆钉直径相等．故每个铆钉上所受的力4
sy F
F =
(2)在3
22510M F -=创
力偶作用下，四个铆钉上所受的力应组成力偶与之平衡。
联解式（l ）、（2）得
1
1221213
2
6
3152628754
3273271010420
104
max .()
...sx sy s Mr F KN
r r F
F KN F KN
MPa t p -==-?===
´==´´
13. 平均半径为尺的四分之一圈弧的平面曲杆，在自由端承受水平和铅垂方向的两集中力P ，如图所示，试作曲杆的轴力、扭矩和弯矩图。
解：（1）列内力方程
由截面法，可得任一截面上的内力分量（不考虑剪力）为
（2）轴力、扭矩和弯矩图
M M分别如图所示。
由内力方程，可得袖力、扭矩和弯矩(,)
z g
轴力图扭矩图弯矩图。
